Введение к работе
Актуальность проблемы. Метод обратной задачи теории рассеяния, разработанный Лаксом и примененный Крускалом в решении задач для уравнения Кортевепа-де Вриза (КдВ), для многих уравнений типа КдВ пока не применим. В «Увязи с этим становится актуальным исследование таких уравнений различными другими методами. Изучением распространения нелинейных волн занимались Захаров В.Е.,Новиков СП.,Марченко В.А..Карпман В.И.,Шабат А.Б.,Итс А.Р., Матвеев В.Б.; Аб-ловиц М..Сигур X.,Лэм Д.,Лейбович С..Сибасс А., Калодкеро Ф., Дегасперис А.,Ньюэлл А. и другие. К уравнениям типа КдВ относятся уравнение Бпргерса, Бона-Смитта, Кадомцева-Петвиашвили, система уравнений Буссинеска. Все они с физической точки зрения описывают уединенные волны или, так называемые, солитоны и встречаются в задачах гидродинамики, нелинейной сейсмологии, нелинейной акустики, теории мелкой воды, физики плазмы. Нелинейные уравнения исследуются также в работах Врагова В.Н., Новикова В.А., Яненко Н.Н., Антонцева С.Н., Кажихова А.В., Монахова В.Н., Воеводина А.Ф., Смагулова III.С., Отелбаева M.U.. Кальменова Т.Ш., Кузнецова Б.Г., Амиралиева Г.М., Абылкаиро-ва У.У. и др.
В данной работе исследуются задачи для системы Хироты-Сатсумы или связанных уравнений КдВ, полученных редукцией иерархии Кадомцева-Петлиашвили *, известным методом регуляризации и методом конечных разностей.
Цель работы. Исследование корректности смешанных задач для системы Хироты-Сатсумы, описывающей взаимодействие двух уединенных волн с различными дисперсионными соотношениями, построение приближенного решения краевых зацач системы Хиро-тн-Сатсумы и альтернативной системы, проведение численных, расчетов.
* 'luiU й.; SuUuma. ^. Л conpPjfd U\J M^udiow, <л ova row o\
Научная новизна. В работе получены следующие новые результаты:
-Доказано существование обощенного решения краевой задачи дяя системы Хироты-Сатсумы.
Получена однозначная разрешимость в целом по -fc краевой за-задачи системы Хироты-Сатсумы.
-Доказано существование обобщенного решения периодической задачи системы Хироты-Сатсумы. -Предложены эффективные разностные схемы, аппроксимирующие краевую задачу системы Хироты-Сатсумы и альтернативной системы. -Доказана устойчивость простроенных разностных схем, исследована скорость сходимости, получена равностепенная непрерывность по і .
Теоретическое и практическое значение результатов.
Полученные результаты могут быть использованы при исследовании многомерных нелинейных волновых процессов, при исследовании упругих волн в нелинейных пластинах, уединенных волн в узком канале, уединенных тектонических волн в литосфере.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на научном семинаре под руководством д.ф;-м.н., профессора Смагулова.Ш.С., к.ф.-м.н., доцента Данаева Н.Т. "Численные методы механики сплошной среды" в Казгосуниверси-тете, на конференциях молодых ученых в Казгосуниверситете ( 1987,1988,1990 ), на ІУ Уральской региональной конференции "Функционально-дифференциальные уравнения и их применения" ( Уфа, 1989 ), на IX Республиканской межвузовской конфе--ренции по математике и механике ( Алма-Ата, 1989 ), в работе Ш Всесоюзной школы молодых ученых по численным методам механики сплошной среды ВЦ СО АН СССР г.Красноярска, НИИМ и Ш и ВЦ РГУ г.Ростова-на Дону ( Абрау-Дюрсо,1991 ).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [і]-|б].
