Введение к работе
Актуальность темы диссертации определяется тем, что практика научных исследований требует развития новых перспективных направлений в изучении и использовании процессов распространения волн в неоднородных слоистых средах, расширения круга исследуемых математических моделей, создания устойчивых математических методов решения встающих при этом обратных задач на основе применения вычислительной техники. Современное развитие естественных наук неразрывно связано с разработкой, анализом и практическим использованием математических моделей, возникающих при изучении процессов распространения возмущений в материальной среде. Полное описание этих моделей требует задания информации о среде, источнике колебаний, начальном и граничном режимах. Во многих случаях такие данные не доступны непосредственному измерению и являются искомыми. Обратные задачи распространения волн состоят в определении материальных параметров среды, а также в восстановлении характеристик источника возмущений по измеренным в некоторых точках волновым полям. В рамках математического моделирования обратные задачи распространения волн заключаются в определении коэффициентов дифференциальных уравнений или систем гиперболического типа, а также дополнительных данных в виде начальных или граничных условий по заданной на известном многообразии информации о решении рассматриваемой задачи.
Обратные задачи являются, как правило, некорректно поставленными. Основы теории обратных и некорректных задач, методов их решения были заложены в трудах А. Н. Тихонова, М. М. Лаврентьева, В. К. Иванова и получили дальнейшее развитие в работах Ю. Е. Аниконова, В. Я. Арсе-нина, А. В. Бакушинского, М. И. Велишева, А. Л. Бухгейма, В. Б. Гласко,
A. В. Гончарского, Ф. П. Васильева, В. А. Винокурова, А. М. Денисова,
B. И. Дмитриева, Е. В. Захарова, А. С. Ильинского, С. И. Кабанихи-
на, А. С. Леонова, А. И. Прилепко, В. Г. Романова, А. Г. Свешникова,
В. Н. Страхова, А. В. Тихонравова, А. М. Федотова, А. Г. Яголы и многих
других. Развитие теории обратных и некорректно поставленных задач,
появление высокопроизводительной вычислительной техники позволили
практически решить многие прикладные задачи обработки и интерпрета
ции данных наблюдений, вычислительной диагностики, синтеза сложных
систем и ряда других областей. Отличительная черта обратных задач,
-3~
связанных с исследованием математических моделей реальных процессов, состоит в том, что характер дополнительной информации определяется возможностями эксперимента. Другим важным фактором, влияющим на решение обратных задач, является наличие погрешностей экспериментальных данных. При этом принципиальное значение приобретают вопросы исследования обратных задач, постановка которых определяется характером эксперимента, и разработка устойчивых методов их решения. В диссертации рассматриваются одномерные обратные динамические задачи, возникающие в рамках математического моделирования процессов распространения волн в неоднородных слоистых средах, а также связанные с ними обратные спектральные задачи. Исследование различных обратных задач рассеяния, прохождения, поглощения волн при зондировании или просвечивании рассматриваемого класса сред и создание устойчивых методов их решения несомненно актуальны для дальнейшего развития методов математического моделирования и их применения.
Цель работы состоит в постановке и исследовании обратных задач для процессов распространения волн в неоднородных слоистых поглощающих средах, разработке устойчивых методов их решения, позволяющих оценивать состоятельность рассматриваемых моделей и определять характеристики материальной среды и временные параметры источника возмущений по имеющейся экспериментальной информации, а также практическом решении ряда актуальных обратных задач вертикального сейсмического профилирования в скважинной разведочной геофизике.
Научная новизна, теоретическое и прикладное значение работы заключаются в следующем:
1. Рассмотренные в рамках математического моделирования уравнения в частных производных гиперболического типа описывают широкий класс реальных процессов распространения волн. Для изучения этих процессов важное значение имеют методы определения характеристик среды, таких как скорость, жесткость, коэффициент поглощения. В работе исследованы обратные задачи рассеяния для волнового уравнения, уравнения колебаний, гиперболической системы уравнений с гладкими и непрерывными коэффициентами, когда параметры, т. е. функциональная зависимость во времени, источника возмущений неизвестны. Доказана единственность одновременного определения функций, характеризующих слабо-неоднородную среду и импульсный источник колебаний. Предложен общий подход и методы решения подобных обратных задач, позволяющие определять искомые характеристики модели по заданной информации.
-
Модели слоисто-однородных и слоисто-неоднородных сред широко используются в различных областях теоретических и прикладных исследований в науке и технике. В связи с этим большое значение имеет развитие математических методов определения характеристик таких сред в обратных задачах рассеяния. В работе исследованы обратные задачи рассеяния в слоисто-однородной и слоисто-неоднородной средах для гиперболической системы уравнений с неизвестным источником. Доказана единственность одновременного определения характеристик слабонеоднородной среды и параметров источника возмущений. Предложен метод решения обратных задач, позволяющий определять характеристик слоистых структур, когда импульсный источник колебаний неизвестен.
-
Широкий класс обратных задач, возникающих при исследовании математических моделей различных процессов, сводится к спектральным задачам для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) и систем ОДУ. В связи с этим важное значение имеют обратные спектральные задачи, состоящие в определении коэффициентов дифференциальных уравнений по спектральным данным, В работе получены новые результаты по обратной спектральной задаче Штурма-Лиувилля с вхождением спектрального параметра в граничное условие и обратной спектральной задаче для системы Дирака ОДУ в несамосопряженном случае. Доказана единственность определения дифференциальных операторов рассмотренных задач по одному спектру. На основе этих результатов по обратным спектральным задачам доказана единственность «в целом» одновременного определения характеристик неоднородной среды и временных параметров неизвестного источника колебаний из определенного класса.
-
Эксперименты по просвечиванию неоднородных сред являются одними из основных источников информации о строении исследуемых структур. В связи с этим большое значение имеют обратные задачи просвечивания, состоящие в определении характеристик среды, а также неизвестного источника колебаний по прошедшему через среду волновому полю. На основе спектральных рассмотрений в работе исследованы обратные задачи для неоднородных поглощающих сред с внутренним, внешним и граничным расположением источника возмущений. Доказана единственность «в целом» одновременного определения характеристик неоднородной поглощающей среды и неизвестного источника колебаний из определенного класса.
-
Многие обратные задачи, возникающие при моделировании процессов распространения волн в неоднородных средах, сводятся к решению
обратной задачи рассеяния для гиперболической системы уравнений, когда прямая задача имеет решение в смысле обобщенного. В связи с этим важное значение имеет построение обобщенного решения задачи рассеяния и создание устойчивых методов определения характеристик неоднородной среды по информации о таком решении. В работе предложен устойчивый метод решения нелинейных интегрофункциональных уравнений типа Вольтерра I рода, возникающих в обратной задаче рассеяния с обобщенным решением. Доказаны регуляризующие свойства построенного алгоритма, имеющего широкую область применения при решении нелинейных операторных уравнений типа Вольтерра I рода.
-
Использование разностных методов в моделировании процессов распространения волн в неоднородных поглощающих средах является важным инструментом в научных исследованиях. В связи с этим большое значение приобретает создание устойчивых методов обращения разностных схем, аппроксимирующих исходную дифференциальную модель в обратных задачах рассеяния. В работе исследован класс консервативных условно-устойчивых разностных схем для расчета обобщенного решения задачи рассеяния и построен метод регуляризованного обращения явной разностной схемы из рассмотренного класса. Доказаны существование, единственность и сходимость регуляризованного решения разностной обратной задачи к решению дифференциальной. Исследована зависимость регуляризующих свойств построенного метода от величины погрешности входной информации, параметров разностной схемы и регуляризации, указан оптимальный способ их задания.
-
Вертикальное сейсмическое профилирование (ВСП) является одним из наиболее эффективных методов в скважинной геофизической разведке. В связи с этим важное значение имеют обратные задачи ВСП, состоящие в определении неоднородных слоистых поглощающих геологических структур по регистрируемым на стволе скважины сейсмическим полям. В работе исследован ряд обратных задач ВСП с различными схемами возбуждения и наблюдения волновых полей как известным, так и неизвестным источником колебаний для широкого класса моделей неоднородных слоистых поглощающих сейсмических сред. Разработан метод, позволяющий одновременно определять характеристики среды и неизвестного импульсного источника волн. В рамках планирования эксперимента указан класс таких источников. Проведены вычислительные эксперименты для квазиреальных и реальных сейсмических данных, которые показали, что предложенные в диссертации методы отвечают таким требованиям к их свойствам как устойчивость и практическая сходимость.
8. Предложенные в диссертации методы решения обратных задач распространения волн в неоднородных слоистых поглощающих средах реализованы в виде программ. Разработанные методы и программы использованы для решения ряда конкретных задач на поиск нефти по данным ВСП в ВОИГиРГИ (Волжском отделении института геологии и разведки горючих ископаемых), а также в ЦГЭ (Центральной геофизической экспедиции) Минтопэнерго РФ. Создан комплекс программ для прогноза геологического разреза и обработки спектральных данных в методе ВСП, который включен в состав комплексной системы интерпретации сейсмической информации ВСП VSP-DOS.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на Всесоюзных школах-семинарах по теории и методам решения некорректно поставленных задач (Самарканд, 1983; Саратов, 1985), Сибирской школе-семинаре по условно-корректным задачам математической физики и анализа (Красноярск, 1986), на Всесоюзной конференции «Условно-корректные задачи математической физики» (Алма-Ата, 1989), Международных конференциях «Некорректно поставленные задачи в естественных науках» (Москва, 1991), «Inverse and Ill-Posed Problems» IIPP-96 (Москва, 1996), конференции «Обратные и некорректно поставленные задачи» (Москва, 1995), Международной геофизической конференции ЕАГО-EAGO-SEG (Санкт-Петербург, 1995), 58-th EAGE Conference and Technical Exibition (Holland, Amsterdam, 1996), Ломоносовских чтениях в МГУ (1990), научно-исследовательских семинарах в ЛОМИ АН СССР (Ленинград), МГУ, университете SUNY (Нью-Йорк, США), научном центре Shclumberger-Doll-Research. Corp. (Коннектикут, США).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 33 работы.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, приложения, списка литературы, включающего 180 наименований, содержит 282 страницы текста, 8 таблиц и 32 рисунка.
