Введение к работе
Актуальность темы. Построение математических моделей дифракции электромагнитных волн на цилиндрических поверхностях в кусочно-однородной среде занимают важное место в современной радиофизике, дефектоскопии, геофизике. Одним из наиболее распространенных методов строгого решения задач дифракции является метод интегральных уравнений. Однако область его применения ограничена и не охватывает ряд важных с точки зрения практических приложений задач дифракции на металлодиэлектри-ческпх рассеивателях, граница которых может быть бесконечной и (или) неодносвязной, а диэлектрическая проницаемость среды описывается произвольной кусочно-постоянной функцией. Особое место занимают рассеиватели, поперечное сечение которых образовано областями с некомпактными непериодическими границами (бесконечные экраны с произвольными неоднородностями). Здесь разработка математических моделей требует постановки специальных условий на бесконечности, учитывающих геометрию некомпактных участков и позволяющих корректно описать все типы собственных колебаний и волн в системе. В связи с этим возникает необходимость введения в рассмотрение обобщенных постановок соответствующих краевых задач. Дальнейшее развитие подхода, опирающегося на понятие обобщенного решения, и его применение для решения задач прикладного характера связано с использованием проекционных методов построения приближенного решения и прогрессом вычислительной техники.
С неоднородными граничными задачами электродинамики тесно связаны соответствующие спектральные, описывающие собственные колебания и волны открытых резонаторов и волноводов. Здесь наиболее перспективными в миллиметровом и субмиллиметровом диапазонах являются металлодиэлектрические волноводы, например, микрополосковые линии передачи, на основе которых создаются интегральные схемы СВЧ, выполненные в виде как планарных, так и объемных многослойных конструкций. Для таких волноводов характерно меньшее, чем у металлических волноводов, затухание и они, как правило, свободны от недостатков, присущих чисто диэлек-
трнческим структурам.
Открытые волноведущие структуры и резонаторы принципиально отличаются от экранированных, поскольку даже в предположении идеально проводящих граничных поверхностей возможны потери на излучение и, кроме того, в спектральных задачах ставится условие на бесконечности, содержащее спектральный параметр и определяющее их характер. Поэтому корректное описание резонансных свойств и распространения волн в открытых структурах возможно только на основе специально разработанных математических моделей, учитывающих все вышеуказанные факторы.
Одним из наиболее универсальных методов решения сложных нелинейных спектральных задач электродинамики является метод оператор-функций одной или многих комплексных переменных. Суть этого метода состоит в том, что исходная оператор-функция для дифференциальных уравнений краевой задачи в полной электродинамической постановке заменяется какой-либо другой, возможно несамосопряженной, более удобной для исследования, и доказывается их спектральная эквивалентность на изучаемой области значений параметров. Метод оператор-функций позволяет связать воедино однородные (спектральные) и неоднородные задачи для операторных уравнений, так как одновременно позволяет определить области локализации спектра и резольвентного множества операторов, т.е. доказывать теоремы существования и единственности решения. Впервые этот метод с использованием интегральных уравнений и результатов теории потенциала был наиболее последовательно применен в работах А.С. Ильинского и Ю.В. Шестопалова для построения спектральной теории МПЛ. Подход, основанный на использовании понятия обобщенного решения и метода оператор-функций применялся Ю.Г. Смирновым для доказательства полноты системы собственных и присоединенных волн экранированного частично заполненного волновода с нерегулярной границей.
Целью работы является:
1. Разработка универсальной математической модели, позволяющей на основе анализа краевых задач в обобщенной постановке с использованием метода оператор-функций исследовать задачи дифракции, о собственных колебаний и волнах и восстановления фор-
мы и электродинамических характеристик цилиндрических металлодиэлектрических рассеивателей широкого класса с некомпактной границей;
-
Разработка, обоснование и реализация алгоритма построения приближенного решения задач дифракции на основе метода Галер-кнна.
-
Численное моделирование свойств рассеянных полей в дальней и ближней зонах в резонансном диапазоне частот.
Научная новизна результатов диссертационной работы состоит в следующем:
-
Построена математическая модель задач дифракции волн для широкого класса рассеивателей с некомпактной границей, позволяющая корректно описывать резонансные свойства и рассчитывать комплексный спектр собственных колебаний и волн.
-
Доказана фредгольмовость задач о спектре собственных колебаний и волн открытых цилиндрических резонаторов и волноводов широкого класса с неоднородным диэлектрическим заполнением.
-
Доказаны теоремы существования и единственности решения задач дифракции плоской волны на металлодиэлектрических рассеивателях широкого класса в обобщенной постановке, единственность решения задач восстановления диэлектрической проницаемости и формы металлодиэлектрических рассеивателей по данным рассеяния.
-
Разработан и обоснован алгоритм приближенного решения задач дифракции на металлодиэлектрических рассеивателях широкого класса с некомпактной границей.
Практическая ценность работы:
-
Разработан комплекс программ для численного моделирования рассеянных полей для задач дифракции волн на рассеивателях с различным характером нерегулярности металлизированной границы и неоднородности диэлектрического заполнения.
-
Проведено исследование влияния изменения параметров, характеризующих возбуждающее поле и металлодиэлектрический рас-сенватель на поведение рассеянных полей в дальней и ближней зонах. Выявлены области, где проявляются резонансные свойства рассеивателей.
Обоснованность и достоверность результатов диссертационной работы обусловлена корректностью постановок исследуемых задач и полным математическим обоснованием предложенных алгоритмов. Сходимость приближенного решения к точному проверялась путем изменения числа узлов в квадратурных формулах и размерности матриц СЛАУ. Полученные результаты согласуются с работами других авторов.
Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на международных конференциях "Day on Diffraction-'94", "Day on Diffraction'95" (Санкт-Петербург, 1994, 1995), международных симпозиумах "Progress in Electromagnetics Research Symposium" (PIERS'94) (Нордвийк, Голландия, 1994), "Journees Internationales de Nice sur les Antennes" (JINA'94) (Ницца, Франция, 1994), научно-исследовательских семинарах Института Радиотехники и Электроники РАН, кафедр математической физики и общей математики факультета ВМиК, кафедры математики Физического факультета МГУ.
Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в статьях и тезисах [1-7].
Объем и структура диссертации. Диссертационная работа изложена на 121 странице машинописного текста и состоит из введения, четырех глав основного текста и списка литературы, содержащего 57 наименований.
