Введение к работе
Актуальность работы.
В последние два десятилетия возникло и интенсивно развивается, проникая в различные области человеческого знания, новое направление в науке - вычислительная (компьютерная) томография. Метод компьютерной томографии позволяет по характеристикам пропущенного (трансмиссионная томография) через исследуемый объект или его собственного (эмиссионная томография) излучения 'судить о внутреннем устройстве, физическом состоянии или химическом составе этого объекта. К настоящему времени в геофизическую терминологию прочно вошел термин "сейсмическая томография". Это обусловлено тем, что постановки ряда основных задач в сейсмике являются, по существу, классическими для томографии.
Типичным примером такой задачи является обратная кинематическая задача (ОКЗ), результат решения которой определяет скорость распространения зондирующего сигнала в исследуемой среде, что весьма важно не только для геофизики, но и, в частности, для оптики, гидроакустики. Возникновение обратной кинематической задачи в различных областях науки и человеческой * деятельности характеризует фундаментальность и большое прикладное значение данной задачи. Впервые обратная кинематическая задача была решена в предположении сферической симметрии Земли Г.Герглотцем и Е.Вихертом (1907 г.), и только в 60-х годах, начиная с работ М.М.Лаврентьева и В.Г.Романова, началось систематическое исследование неодномерной ОКЗ. Результат М.М. Лаврентьева и В.Г. Романова был сформулирован для случая двух переменных и относится к линеаризованной постановке, характер некорректности полученной задачи сильный, как у задачи Коши для уравнения Лапласа. Конструктивное решение ОКЗ в общей "классической" постановке довольно затруднительно и до сих пор не получено.
Использование линеаризованной постановки частично снимает трудности, присущие данной задаче, но и в этом случае задача остается достаточно сложной и ее решение продолжает оставаться сильно неустойчивым. В такой ситуации требуется поиск новых подходов к решению данной задачи, позволяющих повысить надежность и эффективность ее решения. Проведенные в диссертационной работе исследования позволили, используя метод вычислительной томографии, получить новое, конструктивное и более устойчивое решение этой важной научной проблемы в трехмерной линеаризованной постановке, имеющей слабый характер некорректности, как у задачи численного дифференцирования таблично заданной функции.
Обратная кинематическая задача относится к обратным задачам для волнового уравнения: по кинематической информации его решения определяется коэффициент, имеющий физический смысл скорости распространения сигнала. Другой типичной обратной задачей для волнового уравнения является задача определения его правой части, по функционалам от его решения, измеренным в конечном числе точек.
Данная задача, как задача пассивной локации, имеет большое прикладное значение. Практический интерес представляют не хорошо исследованные эквидистантные прямолинейные антенны (системы наблюдений), а круговые, криволинейные антенны. В диссертации, в главе IV, проведено исследование этой задачи в случае расположения источников в дальней зоне, а приемников - на круговой антенне. Разработан численный алгоритм, позволяющий уверенно и оперативно диагностировать источники в сложных помехо-сигнальных, неустойчивых случаях.
Исследуемые в диссертации обратные задачи - задачи некорректные, и для их решения необходимо использовать метод регуляризации, основы которого заложены в работах А. Н. Тихонова, М. М. Лаврентьева и других известных специалистов в этой области. Если при решении слабо некорректной ОКЗ с полными данными применяется простая дескриптивная регуляризация, использующая априорную информацию о гладкости решения, векторе измерений, и заключающаяся в сглаживании массива данных и результата решения обратной задачи кубическими сплайнами, то решение ОКЗ с неполными данными и задачи определения правой части волнового уравнения в исследуемой дискретной постановке требует более сложной комбинации итеративной и дескриптивной регуляризации.
Обе рассмотренные в диссертации задачи развивают сейсмическую томографию, причем обратная кинематическая задача развивает трансмиссионную нелинейную томографию. Задача определения правой части специального вида волнового уравнения является задачей эмиссионной томографии, так как используемое излучение генерирует сам объект исследования.
Цель работы: а) получение более устойчивого, конструктивного решения обратной кинематической задачи в трехмерной линеаризованной постановке для сред с квазилинейной зависимостью ( скорости распространения сейсмического сигнала от глубины как для всюду регулярных сред, так и для сред, содержащих непрозрачные для зондирующего излучения области;
б) решение задачи диагностики расположенных в дальней зоне и взаимно близко источников волнового поля по измеренным функционалам от него в конечном числе точек криволинейной (круговой) антенны применительно к сложным неустойчивым помехо-сигнальным ситуациям;
в) разработка устойчивых эффективных численных алгоритмов, реализующих
решение задач а) и б);
г) развитие на основе проведенных исследований сейсмической томографии.
Научная новизна диссертационной работы определяется следующими результатами:
Рассмотрена новая (сейсмотомографическая) постановка обратной кинематической задачи, позволяющая снять ее переопределенность и обеспечивающая слабый характер некорректности задачи.
Впервые осуществлена редукция решения трехмерной обратной кинематической задачи к инверсии интегрального преобразования Радона, получена формула обращения.
Разработан и численно исследован алгоритм решения обратной кинематической задачи на основе метода вычислительной томографии.
Рассмотрена постановка ОКЗ для сред, содержащих непрозрачные включения, что приводит к задаче трансмиссионной томографии на неполных данных.
Получены численные результаты, демонстрирующие возможность диагностики с применением итеративной й дескриптивной регуляризации сред с сильно поглощающими включениями.
Рассмотрена задача диагностики находящихся в дальней зоне и взаимно близко расположенных точечных источников волнового поля по функционалам от него, измеренным на криволинейной антенне.
- На основе применения методов итеративной и дескриптивной
регуляризации численно исследована задача определения мощностей и
угловых координат источников в неустойчивых сложных помехо-сигнальных
ситуациях и разработан эффективный алгоритм решения задачи на ЭВМ.
Основными положениями, выносимыми на защиту, являются:
1. Формула обращения, позволяющая применить метод
вычислительной томографии для решения ОКЗ в трехмерной
линеаризованной постановке и анализ этой формулы.
2. Использование круговой системы наблюдений, снимающей
переопределенность трехмерной ОКЗ и обеспечивающей снятие
томографических данных и слабый характер некорректности исследуемой
задачи.
3. Алгоритм решения обратной кинематической задачи, основанный на
использовании формулы обращения и применении дескриптивной
регуляризации.
4. Обобщение формулы обращения в рамках трансмиссионной
томографии на случай неполных кинематических данных, обусловленных
локальной непрозрачностью исследуемой среды, и численное решение
полученной задачи на основе итеративной и дескриптивной регуляризации.
-
Итерационный подход к задаче разрешения сигналов в сложной помехо-сигнальной ситуации, делающей решение неустойчивым, позволяющий с использованием итеративной и дескриптивной регуляризации получать оперативную информацию в режиме реального времени.
-
Результаты численного решения и исследования ОКЗ в трехмерной линеаризованной (возле скорости линейно зависящей от глубины) постановке и задачи диагностики источников волнового поля, расположенных в дальней зоне и взаимно близко по данным на криволинейных системах наблюдений.
-
Развитие на основе проведенных исследований нового направления геофизике - сейсмической томографии.
Обоснованность и достоверность полученных в работе теоретических результатов обеспечивается использованием математического аппарата теории некорректно поставленных задач, интегральной геометрии, сплайн-функций, .вычислительной томографии и подтверждается вычислительными экспериментами. Разработанное программное обеспечение прошло достаточно полное тестирование.
Практическая ценность проведенных в работе исследований подтверждается следующими результатами:
полученные в диссертации теоретические результаты имеют явно выраженное прикладное значение, они конструктивны, то есть содержат схему их практической реализации. В работе выдерживался принцип "полного построения алгоритма", представляющий технологию процесса от постановки задачи, разработки алгоритма до программной реализации;
разработан численный алгоритм решения обратной кинематической задачи в линеаризованной возле функции (скорости), линейно зависящей от глубины постановке, показана возможность эффективного восстановления сред с непрозрачными включениями;
- разработан численный алгоритм решения задачи диагностики
источников волнового поля в сложной неустойчивой помехо-сигнальной
ситуации, позволяющей получать оперативную информацию в режиме
реального времени.
Внедрение результатов работы. Исследования по теме диссертации проводились в основном в соответствии с координационными планами НИР ВЦ СО АН СССР, Новосибирского госуниверситета с 1983 по 1986 гг. и Института математики СО РАН с 1987 по 1995 гг.
Созданное программное обеспечение внедрено в МНПО "Спектр", п/я В-2962, в/ч 69104, что подтверждается соответствующими актами о внедрении в приложении к диссертации.
Апробация работы. Основные результаты докладывались и обсуждались на:
- Всесоюзной школе-семинаре "Теория и методы решения некорректно
поставленных задач и их приложения" (Самарканд, 1983);
Всесоюзных симпозиумах по вычислительной томографии (Новосибирск, 1983; Куйбышев, 1985; Киев, 1986; Звенигород (Моск. обл.), 1991);
- Всесоюзном семинаре по оптической томографии (Таллин, 1988);
- Республиканской научно-технической конференции "Сейсмические
методы поиска и разведки месторождений полезных ископаемых"(Кнев,
1991);
Республиканской научно-технической конференции
"Дифференциальные уравнения и их приложения" (Таджикистан, Куляб, 1991);
- Международной школе-семинаре "Методы оптимизации и их
приложения" (Иркутск, 1995).
На семинарах ВЦ СО РАН, ИТПМ СО РАН, ИГФ СО РАН (руководитель чл. - корр., проф. СВ. Гольдин), ИМ СО РАН (руководитель академик РАН, проф. М.М. Лаврентьев) и других научных семинарах.
Публикации. Общее количество печатных работ более 30. Основные результаты диссертации опубликованы в 15 научных статьях, в том числе в центральных научных журналах "Доклады АН СССР", "Геология и геофизика", Известия РАН (серия "Физика Земли").
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка цитируемой литературы из 90 наименований и приложения. Работа содержит 194 страницы основного текста.
