Введение к работе
Актуальность темы. Развитие науки п техники приводит к необходимости постановки и решения новых задач механики, что включает разработку и исследование новых математических моделей механических систем. К таким задачам относятся, например, задача исследования колебаний проводов воздушных линий электропередачи, которые необходимо рассматривать как гибкие нити с малой стрелой провисания, задачи динамики новых типов спортивных снарядов, представляющих собой механические системы с неголономными связями, и ряд других задач. Вместе с тем и традиционные задачи статики и динамики конструкций нельзя считать окончательно исследованными. Здесь, в первую очередь, необходимы совершенствование имеющихся и разработка новых численных методов решения задач.
Математические модели в задачах механики, отражающие всё многообразие свойств исследуемого объекта, являются весьма сложными. Даже в линейных задачах большое различие численных значений параметров системы, высокий порядок дифференциальных уравнений, переменные коэффициенты в этих уравнениях, большое число алгебраических уравнений — всё это затрудняет как аналитическое исследование, так и получение численного решения. С другой стороны, если отдельные элементы исследуемого объекта сильно различаются по своим характеристикам, можно ввести подходящие малые параметры и провести асимптотический анализ математической модели или численного метода решения задачи.
В результате асимптотического анализа сложных математических моделей механических систем удается получить упрощенные варианты этих моделей и в дальнейшем исследовании эффективно использовать численные методы. В некоторых случаях после применения асимптотического подхода решение построено в аналитической форме, и необходимость в численном исследовании отпадает.
В задачах изгиба тонких тел асимптотический метод применяется для сравнительного анализа поведения точной, бесконечномерной, и приближенных, конечномерных, моделей. В результате асимптотического анализа удается установить, что асимптотическое поведение одних конечномерных моделей соответствует асимптотическому поведению исходной точной модели, а асимптотическое поведение других — не соответствует. На основе асимптотического анализа сформулированы требования, которым должны удовлетворять конечномерные модели и построены новые модели, которые полностью удовлетворяют этим требованиям.
Наконец, асимптотический анализ применяется при исследовании и разработке численных методов решения нестационарных задач механики, в частности, методов решения задачи Коши для конечномерных моделей механических систем. При этом учитываются основные внутренние свойства механических систем и их конечномерных моделей.
Анализ показывает, что весьма существенным является асимптотическое поведение численного алгоритма при больших шагах интегрирования. На основе проведенного анализа можно предложить новые методы численного решения задачи Коши для различных классов задач механики.
Цель и задачи исследования. В диссертационной работе ставится задача разработки новых математических моделей некоторых механических систем, построения и исследования на основе асимптотических методов упрощенных моделей этих систем, а также исследования и разработки численных методов решения стационарных и нестационарных задач механики конструкций.
Методы исследования. Для решения поставленных задач используются методы механики, математики и численное моделирование на ЭВМ.
Научную новизну составляют следующие результаты работы, являющиеся предметом защиты
-
Постановка и решение задачи о свободных колебаниях растяжимой гибкой нити с малой стрелой провисания; получение зависимости решения от двух малых параметров, характеризующих величину стрелы провисания и степень растяжения нити. Асимптотический анализ колебаний балки Тимошенко.
-
Решение задачи о динамическом гашении колебаний вязко-упругого стержня, возбуждаемых узкополосной случайной нагрузкой. Получение асимптотических оценок характеристик переходного процесса в двухкас-кадной системе амортизации при ударном воздействии.
3. Постановка и решение задачи динамики управляемого движения
скейтборда. Асимптотический анализ уравнений движения скейтборда.
-
Сравнительный асимптотический анализ точной и конечно-элементной моделей балки Тимошенко и пластины Рейсснера, в результате которого установлено, что причиной возникновения больших погрешностей в конечно-элементном решении является различное асимптотическое поведение точной и конечно-элементной моделей при уменьшении толщины тела.
-
Получение с помощью предложенных "волнового" и "моментного" локинг-тестов количественной оценки локинг-эффекта. Построение новых конечно-элементных моделей балки Тимошенко, в которых локинг-эффект полностью устранен.
6. Построение новых конечно-элементных моделей пластины Рейс
снера, в которых локинг-эффект полностью устранен. Использование
при аппроксимации поля поворотов экспоненциально убывающих при
удалении от края пластины функций, которые адекватно описывают по-
гранслойную часть решения.
-
Сравнительный анализ бесконечномерных и соответствующих конечномерных моделей механических систем а также численных методов решения задачи Коши для этих систем.
-
Формулировка и доказательство теоремы, устанавливающей необходимые и достаточные условия того, чтобы численный метод Рунге —
Кутты сохранял энергию конечномерной модели линейной консервативной системы.
9. Построение нового численного метода решения задач нестационар
ной теплопроводности, имеющего вторую степень точности, абсолютно
устойчивого и L-устойчивого. Построение алгоритма практической реа
лизации метода.
10. Построение нового численного метода конечно-элементного ана
лиза термо-упруго-пластичности и ползучести и численного алгоритма
реализации метода.
Практическая ценность работы состоит в создании на основе асимптотических методов новых, более простых, математических моделей некоторых механических систем, позволяющих проводить аналитическое исследование динамики этих систем, а также в разработке новых методов численного решения стационарных и нестационарных задач механики конструкций. Разработанные численные методы и алгоритмы являются основой программной системы конечно-элементного анализа нестационарной теплопроводности, термо-упруго-пластичности и ползучести. Имеется положительный опыт использования программной системы при проведении расчетов термонапряженного состояния элементов электромагнитных установок в научно-исследовательском институте электрофизической аппаратуры им. Д. Е. Ефремова, при исследовании теплового и напряженно-деформированного состояния элементов энергетического оборудования в АО Ленинградский Металлический Завод и в других организациях.
Достоверность результатов обеспечивается использованием в диссертационной работе строгих методов механики и математики, сравнением результатов, полученных асимптотическими методами, с точными решениями, сравнением решений, полученных предлагаемыми численными методами, с решениями, полученными другими численными методами.
Апробация работы. Научные результаты и основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на Всесоюзных, Всероссийских и Международных конференциях: 4 Научно-техническая конференция "Механические управляемые системы" (Иркутск, 1982), 12 Всесоюзное научное совещание по проблемам прочности двигателей (Москва, 1988), Всесоюзная конференция "Современные проблемы механики и технологии машиностроения" (Москва, 1989), 7 Всесоюзная конференция "Управление в механических системах" (Свердловск, 1990), 7 Всесоюзный съезд по теоретической и прикладной механике (Москва, 1991), Всероссийский научный семинар "Проблемы динамики и прочности электро- и энергомашин" (Санкт-Петербург, 1993), Международная конференция "Асимптотические методы в механике" (Санкт-Петербург, 1994), Третий международный конгресс по промышленной и прикладной математике (Гамбург, 1995), Международная конференция "Оптимизация конечно-элементных аппроксимаций" (Санкт-Петербург, 1995), Российская научно-техническая конференция "Инновационные наукоемкие
технологии для России" (Санкт-Петербург, 1995), Первая международная научно-практическая конференщщ "Дифференциальные уравнения и применения" (Санкт-Петербург, 1996), Ежегодная научная конференция GAMM97 (Регенсбург, 1997); на семинарах кафедр: "Теоретическая механика" (Санкт-Петербург, Горный институт, 1988), "Теоретическая механика" (Москва, Московский Государственный Университет, 1988), "Теоретическая механика" (Санкт-Петербургский Государственный Технический Университет, 1993), "Механика и процессы управления" (Санкт-Петербургский Государственный Технический Университет, 1997).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 36 работ, список которых приведен в конце автореферата.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения (глава 1), трех частей (часть I: главы 2 —6, часть II: главы 7 —11, часть III: главы 12 —15) и заключения (глава 16). Диссертационная работа изложена на 308 страницах текста в формате TgX и содержит 34 рисунка. Список литературы содержит 179 наименований.
