Введение к работе
Актуальность темы. Для решения задач, имеющих сложные нелинейные граничные условия применяются различные численные и численно-аналитические методы. К преимуществам чисто численных методов (к которым относятся методы конечных разностей и конечных элементов) следует отнести универсальность по отношению к виду решаемых уравнений с частными производными. С другой стороны, при решении задач этими методами на ЭВМ требуется значительная машинная память и время. В связи с этим достигаемая точность, как правило, характеризуется величиной порядка 0.1...1%. Этого вполне достаточно для сравнения с аэро- гидродинамическим экспериментом, однако, для обоснования достоверности результатов необходимо иметь возможность управлять точностью и понижать погрешность хотя бы на 1-2 порядка. Возможность достигать высокой точности (до 4-8 точных десятичных знаков при разумных затратах машинного времени на современных ЭВМ) является одним из основных преимуществ численно-аналитических методов (например, метода граничных интегральных уравнений, Леви-Чивиты). Возможности этих методов позволяют не только получать численные результаты, но и проверять на численном эксперименте точность и достоверность этих результатов. Это качество очень важно для теоретических исследований задач, поскольку в последнее время в научной литературе появляется множество численных данных, которые не имеют какого-либо обоснования и иногда вызывают сомнения.
В диссертационной работе рассматривается приложение численно-аналитических методов к построению математических моделей течений идеальной весомой жидкости. Данные задачи имеют ряд важных практических приложений в тех областях исследований, где вязкостью жидкости можно пренебречь, например, кавитационные течения, течения воды в гидротехнических сооружениях, а также течения различных жидкостей в технических устройствах, таких как центробежные форсунки.
Постановки задач известны, однако специфика этого раздела гидромеханики такова, что интеграл Бернулли, используемый в качестзе нелинейного краевого условия, допускает решения существенно различного вида: волновые и безволновые (типа солитона), с гладкой свободной границей и с наличием ее излома (в случае волны Стокса на свободной поверхности образуется излом с внутренним углом 120 градусов). Каждый из рассматриваемых типов течений требует разработки своей модели решения, в качестве которой выступает некоторая функция, обладающая рядом особенностей, отражающая основные свойства точного решения. В связи с этим до последнего времени не существовало систематического исследования таких решений, которое стало возможным благодаря разработанным в диссертации методам.
Цель работы. Разработка математических моделей, численно-аналитических методов, алгоритмов и программного обеспечения для исследования плоских задач математической физики, имеющих сложные краевые условия, и численное исследование с помощью этих моделей и методов ряда задач о течении весомой жидкости.
На защиту выносятся:
-
Два варианта математической модели течений, основанные на прямом конформном отображении и использовании функции Леви-Чивиты или Жуковского с выделением особенностей высшего порядка.
-
Экспериментальное исследование скорости сходимости этих методов на разных задачах и определение характерного значения коэффициента уменьшения погрешности при удвоении числа точек коллокаций (к «3 для первого метода и к » б для второго).
-
Разработка комплекса приемов оценки погрешности результата на основе сравнения результатов решения двумя методами; с более точным решением, полученным при возрастании числа точек коллокаций; с максимальным значением невязки в промежуточных между узлами коллокаций точках.
-
Решение задачи о затопленном источнике с различным углом наклона стенки, включая предельные случаи.
-
Получение различных типов решения задачи о погруженном источнике (при заданном расстоянии от источника до дна), определение диапазона существования предельного решения типа волны Стокса.
Научная новизна. Новыми в работе являются математические модели течений, которые, в отличие от имевшихся ранее, более точно учитывают особенности решения, что позволяет сократить объем вычислений и получить результаты с более высокой точностью, проверить их достоверность, отделить решения, порожденные способом дискретизации задачи и не имеющие тенденции сходимости к точному.
Новыми являются полученные численные решения с оценкой погрешности задач о затопленном и погруженном источнике с различным углом наклона стенок и расстоянием от источника до дна, предельные решения с критическим значением числа Фруда, докритические решения солитонного типа, несколько видов решений с особенностями на свободной поверхности.
Практическая ценность. Разработанные численно-аналитические методы решения плоских краевых задач расширяют возможности численного моделирования струйных течений с границами различного вида. Автором разработаны алгоритмы и программы решения таких задач, получены численные результаты, которые могут быть практически использованы для определения опасных сочетаний параметров, при которых возможно появление и отрыв солитонов в гидротехнических сооружениях и технических устройствах.
Работа проводилась по госбюджетной тематике согласно тематическому плану Уфимского государственного авиационного технического университета (№ гос. регистрации темы 01940008023). Результаты работы использованы в учебном процессе в УГАТУ в рамках курса "Специальные главы математики".
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на международной научно-технической конференции "Механика машиностроения" (1995, г. Набережные Челны), на международной научно-технической конференции "Ленинские горы -95" (1995, г. Москва), на семинаре НИИММ при КГУ (1996, г. Казань), на научно-технической конференции "Динамика сплошных сред со свободными границами" (1996, г. Чебоксары), на международной научно-технической конференции "Молодежь и наука - третье тысячелетие" (1996, г. Москва), на международной научно-технической конференции "Молодая наука - новому тысячелетию" (1996, г. Набережные Челны), на семинаре в институте математики Башкирского отделения РАН (1996, г. Уфа), на семинарах кафедры ВМиК УГАТУ.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 работ.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы из 75 названий. Общий объем работы - 111 страниц, рисунков -17, таблиц - 38.