Введение к работе
Актуальность темы работы. Мощным методом исследования систем нелинейных дифференциальных уравнений, позволяющим находить их точные решения на основе допускаемых групп симметрии, является метод группового анализа, созданный норвежским математиком Мариусом Софусом Ли (1842-1899) в конце прошлого века и получивший заметное развитие в последние десятилетня (см. монографии12 и цитированную в них литературу, а также "Справочник по групповому анализу"3, в котором представлены основные достижения в этой области за последние сто лет). Однако в рамках традиционного подхода не могут быть рассмотрены уравнения с нелокалытыми вкладами. К таким уравнениям, представляющим как общефизический, так и прикладной интерес, относится, например, кинетическое уравнение Власова с самосогласованным полем, являющееся основным уравнением теории бесстолкновнтельной плазмы. Поэтому актуальної! представляется задача распространения методов группового анализа на интегро-дифференциальные уравнения (системы уравнений), применение этих методов для вычисления симметрии указанных уравнений и нахождения на их основе точных аналитических решений.
Целью настоящей работы является а) развитие метода нахождения симметрии интегро-днфференцпальных уравнений; б) вычисление с помощью этого метода симметрии уравнений Власова-Максвелла для различных плазменных систем.
Научная новизна и значимость работы определяется тем, что в ней
— развит регулярный метод нахождения симметрии систем иптегро-диффе-
ренциальных уравнений;
- впервые найдены группы точечных преобразований уравнений Власова-
Максвелла в бесстолкновительпой плазме при различных формулировках исходных моделей плазмы, связанных с учетом многих сортов частиц, конечного значения скорости света и массы частиц плазмы и др.;
— пайдены группы точечных симметрии, учитывающие преобразования пара-
метров системы наравне с динамическими переменными;
- предложен способ, дозволяющий осуществлять продолжение найденных
симметрии на нелокальные переменные и функционалы от функции распределения частиц плазмы.
Эти основные положения и выносятся на защиту.
'Овсянников Л.В. Групповые свойства дифференциальных уравнений. Новосибирск, СО АН СССР, 1962.
'Ибрагимов Н.Х. Группы преобразований в математической физике. М., Наука, 19S3 г.
3CRC Handbook of Lie Group Analysis of Differential Equations, Ed.N.H.Ibragimov, CRC Press, Boca Raton, Florida, USA. Vol.1 (1994), Vol.2 (1995), Vol.3 (1995).
Практическая значимость работы заключается в том, что в ней предложен эффективный метод группового анализа интегро-дифференциальных уравнений, позволяющий регулярным образом находить их симметрии. С помощью этого метода вычислены группы точечных симметрии для более чем десяти моделей, описывающих различные плазменные системы, отличающиеся числом сортов частиц, их массой, учетом релятивистского движения, наличием внешнего магнитного поля и т.д. Полученные группы симметрии являются основой для построения инвариантных и частично-инвариантных решений исследованных систем уравнений, используемых для интерпретации физических явлений в лабораторной и ионосферной плазме.
Структура работы. Работа состоит из введения, пяти глав и списка цитируемой литературы 48 наименований, содержит 161 страницу текста, включая оглавление и список литературы.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на конференциях по "Современному групповому анализу и его применениям" (Уфа-91, Нижний-Новгород-92, Самара-93), а также на конференциях "Методы симметрии в физике" (памяти проф. Я.А. Смородинового, Дубна 93), на "Международном Конгрессе по компьютерным системам и прикладной математике" (Санкт-Петербург-93), на Международной конференции "Симметрии в нелинейной математической физике" (Киев-95), на семинарах лабораторий ЛТФ, ЛВТА Объединенного института ядерных исследований, Физического института РАН и кафедры прикладной математики Нижегородского государственного университета.
