Введение к работе
Актуальность темы. Проблема разработки математического аппарата, вычислительных алгоритмов и программных средств для проектирования опорных и уплотнительных узлов на газовой смазке является одной из актуальных задач прикладной математики и механики, так как подобные узлы имеют ряд преимуществ, по сравнению с обычными, и уже сегодня нашли широкое применение в различных областях.
Экспериментальные исследования в области газовой смазки чрезвычайно затруднены, так как рабочий газовый слой в газодинамических узлах очень тонок - порядка микрон. В связи с этим, эксперименты являются дорогостоящими, а зачастую и опасными, поскольку могут привести к разрушению испытуемого изделия. Кроме того, в ряде случаев эксперимент является технически неосуществимым. В связи с этим, в данной области особое значение имеет математическое моделирование.
Бурное развитие вычислительной техники обеспечило возможность решения недоступных ранее вычислительных задач. В настоящее время имеется большое число работ, посвященных расчётам существующих и проектированию новых узлов, использующих в своей работе принцип газовой смазки. Значительный вклад здесь внесли отечественные учёные: Бургвиц А.Г., Галахов М.А., Григорьев Б.С, Заблоцкий Н.Д., Завьялов Г.А., Емельянов А.В., Коровчинский А.В., Котляр Е.М., Левина Г.А., Лойцянский Л.Г., Лучин Г.А., Пинегин СВ., Поспелов Г.А., Сергеев СИ., Сипенков И.Е., Слезкин Н.А., Снопов А.И., Сте-панянц Л.Г., Шейнберг С.А., Шидловский В.П., Яковлев В.И., а также зарубежные: Аусмен Д., Зоммерфельд Д., Кастелли В., Константинеску В., Штернлихт Б., Элрод X., и многие другие.
Вместе с тем, на пути разработки вычислительных алгоритмов и проведения вычислений имеются определённые трудности, связанные с отсутствием или недостаточностью теоретических исследований вопросов корректности, устойчивости и сходимости этих алгоритмов. Без подобной теоретической базы ценность вычислительного эксперимента значительно снижается, так как невозможно сказать, насколько результаты, полученные при помощи вычислений, соответствуют рассматриваемой математической модели.
Изучение сходимости вычислительных алгоритмов базируется на исследовании вопросов корректности краевых или начально-краевых задач, которые данные алгоритмы призваны аппроксимировать. Под корректностью краевой задачи мы здесь понимаем её разрешимость в тех или иных классах функций, единствен-
ность её решения, а также его регулярность (то есть повышение гладкости решения при повышении гладкости исходных данных задачи). Подобные проблемы, кроме указанной выше практической ценности, имеют ещё и значительный теоретический интерес. Однако на пути исследователя возникают существенные математические трудности, так как стационарное уравнение Рейнольдса - нелинейное, допускает вырождение, и, более того, в общем случае просто не является эллиптическим.
Цель работы. Всестороннее исследование корректности задачи Дирихле и сходных с ней краевых задач для стационарного уравнения Рейнольдса теории газовой смазки, как в общем случае, при минимальных ограничениях на исходные данные задачи, так и в ряде частных, наиболее интересных с практической точки зрения случаев. Построение алгоритмов численного решения этих краевых задач и исследование их сходимости. Существенное место в работе уделяется расчётам при помощи построенных методов основных характеристик некоторых практически важных узлов, использующих в своей работе принцип газовой смазки.
Методика исследования. При доказательстве существования решения задачи Дирихле для уравнения Рейнольдса применяется техника регуляризации. При исследовании регулярности используются разностные отношения. Для доказательства сходимости численных методов применяются энергетические оценки. Научная новизна. Все основные результаты работы являются новыми. Практическая ценность. Разработанные методы могут быть использованы для предварительного и численного анализа газодинамических узлов. Также в диссертации приведены результаты расчётов ряда практически важных узлов, использующих в своей работе принцип газовой смазки. Результаты исследований по теме диссертации получили свое развитие в хоздоговорных работах № 306414, 507503 и 507504 с заводом "Киров-Энергомаш" АО "Кировский завод". Апробация работы. Результаты работы докладывались на международных конференциях IC1AM-95 (Гамбург, июль 1995), ECMI-96 (Копенгаген, июль 1996), "Дифференциальные уравнения и их применение" (Санкт-Петербург, СПбГТУ, декабрь 1996 г.), "Фундаментальные исследования в технических университетах" (Санкт-Петербург, СПбГТУ, июнь 1997 г.), а также на семинаре кафедры «Прикладная математика» под руководством д. ф. -м.н., проф. Л.В. Петухова в СПбГТУ. Публикации. По теме диссертации опубликовано 18 работ.
Структура н объём диссертации. Диссертация состоит из введения, списка обозначений, четырёх глав, разбитых на параграфы, заключения и двух приложений. Объём диссертации - 135 страниц в MS Word 95, 52 рисунка и 4 таблицы. Список литературы содержит 113 наименований.