Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПРОЦЕССА ОБУЧЕНИЯ ДОКАЗАТЕЛЬСТВУ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ АЛГЕБРЫ ПОСРЕДСТВОМ ЗАДАЧ 13
1.1. Психолого-педагогические основы обучения умению доказывать 13
1.2. Доказательство, его роль и место в обучении алгебре 27
1.3. Дидактико-методические особенности школьного курса алгебры
и возможности обучения доказательству средствами этого курса 40
1.4. Требования к системе задач, направленной на формирование умения доказывать в курсе алгебры 63
Выводы по главе 1 73
ГЛАВА 2. МЕТОДИКА РЕАЛИЗАЦИИ УРОВНЕВОИ ДИФФЕРЕНЦИАЦИИ ПРОЦЕССА ОБУЧЕНИЯ УЧАЩИХСЯ ДОКАЗАТЕЛЬСТВУ В КУРСЕ АЛГЕБРЫ 76
2.1. Задачи как средство обучения доказательству и методика обучения учащихся их решению 76
2.2. Методика обучения учащихся методам доказательства, обеспечивающая уровень стандартных требований и уровень повышенных требований 110
2.3. Организация и результаты педагогического эксперимента 129
Выводы по главе 2 143
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 145
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 148
ПРИЛОЖЕНИЯ 162
- Психолого-педагогические основы обучения умению доказывать
- Доказательство, его роль и место в обучении алгебре
- Задачи как средство обучения доказательству и методика обучения учащихся их решению
Введение к работе
Современная тенденция гуманизации образования предполагает всестороннее развитие личности ученика, в том числе развитие его мышления, что невозможно без формирования одного из важнейших интеллектуальных умений — умения доказывать. Основным предметом школьного учебного плана, выполняющим функцию обучения учащихся доказательству, является математика. Изучая математику, школьники должны получать представление о ней, как о дедуктивной науке.
В научных исследованиях проблемы обучения доказательству отражены следующие аспекты:
обучение доказательным рассуждениям в пропедевтическом курсе алгебры (К.О. Ананченко [7], В.А. Далингер [39], А.Н. Капиносов [61, 62] и др.);
обучение приемам работы над формулировкой и доказательством теоремы (Я.И. Груденов [32], М.Б. Волович [26], В.А. Далингер [36], Ф.Ф. Притуле [120], А. А. Столяр [138] и др.);
выделение уровней обучения доказательству (Э.И. Айвазян [1], О.Н. Журавлева [51 ], К. Поппер [77], З.И. Слепкань [134] и др.);
формирование понятийного аппарата как основы обучения доказательству (В.А. Далингер [37, 38], С.С, Салыков [127], СБ. Суворова [141] и др.);
взаимосвязь логического и интуитивного компонентов мышления (Дж. Брунер [22], Т.С. Маликов [82], Дж. Пойа [118] и др.);
психологические основы обучения доказательству (Я.И. Груденов [33], В.А. Крутецкий [73], Э.Л. Торндайк [148], И.С. Якиманская [168] и др.);
функции примеров и контрпримеров (Н.А. Курдюмова [76], И. Лакатос [77] и др.);
методы доказательства (Н.П. Комов [70], Г.Н. Солтан [137] и др.).
Для большинства исследователей проблемы обучения доказательству объектом изучения является процесс обучения геометрии. Однако в трудах Я.С. Дубнова и других ученых не раз высказывалось мнение, что процесс обу-
чения алгебре имеет в плане обучения доказательству не меньшие потенциальные возможности. Я.С. Дубнов по этому поводу писал, что «школьная геометрия должна отказаться от претензии служить «привилегированной школой дедукции», дедуктивное мышление можно и следует воспитывать также в преподавании арифметики, алгебры, реже - физики» [ 48, с. 53 ]. А.Я. Блох считает, что попытки в направлении положительного решения проблемы усиления доказательной линии в курсе алгебры могут иметь определенный педагогический эффект, поскольку, «например, любое задание на упрощение выражения является, в сущности, задачей на доказательство, только не выраженной явно в условии» [17, с. 31].
Анализ школьной практики показал, что умение доказывать в курсе алгебры формируется целенаправленно и систематически лишь в классах математического профиля, а в классах других профилей и обычных классах такое формирование происходит стихийно, и, следовательно, на низком уровне. Поэтому большинство учащихся таких классов воспринимают курс алгебры как набор не связанных между собой правил, которые заучиваются для применения их к решению задач.
Знания учащихся по алгебре носят в основном формальный характер. Учащиеся не владеют такими умениями, как: подведение объекта под понятие, выведение следствий из заданных условий, правильное использование примеров и контрпримеров; не справляются с заданиями на доказательство утверждений, за исключением несложных тождеств; лишь около 20 % учащихся могут отличить определение понятия от формулировки теоремы.
Причин тому несколько. Это и специфика курса алгебры (отсутствие аксиоматической структуры, наличие относительно небольшого количества теорем), и содержание учебников, и недостаточная методическая подготовка учителей к обучению доказательству (например, лишь 30 % опрошенных нами учителей математики смогли назвать некоторые общие методы доказательства).
Большое количество ошибок учащихся и абитуриентов при решении алгебраических задач является результатом недостаточного внимания на уроках
алгебры к аргументации рассуждений, слишком раннего выпадения обосновывающего компонента при формировании умения применять то или иное теоретическое знание при решении задач, тогда как «осознание правила или определяет действия или, по крайней мере, их контролирует. Знание правила необходимо и для того, чтобы осуществить проверку решения и дать его обоснование, т. е, доказать, что решение выполнено верно» [57, с. 108].
Основная же причина отсутствия у учащихся умения доказывать, а в более широком смысле — обосновывать те или иные математические действия, заключается в том, что перед ними, как правило, учитель не ставит цель научиться этому умению, то есть не ставит соответствующую учебную задачу. «Умение логически обрабатывать материал... развивается у способных учащихся стихийно..., у менее способных может быть не развито совсем» [ 34, с. 115].
При обучении математике и, в частности, обучении доказательству, большое значение традиционно придается логическому компоненту и его развитию. Ряд исследователей (А.А. Столяр, О.И. Мартыщук [96] и др.) пытались решить задачу обучения доказательству при помощи обучения элементам формальной логики. Однако этот подход не нашел применения в школьной практике.
Анализ показал, что обучение доказательству в курсе алгебры должно происходить в основном через специальную систему задач, с помощью которой решается также и проблема формирования у школьников общих приемов умственной деятельности, таких как сравнение, обобщение, абстрагирование и др.
Мы придаем большое значение развитию интуиции, формированию умения выдвигать гипотезы, поскольку выдвижение гипотез, а затем их доказательство или опровержение является движущей силой развития математики и, следовательно, создает для учащихся методологическую основу процесса познания.
И.С. Якиманская [168] выделяет три типа учеников: «гуманитарий», «алгебраист» и «геометр» в зависимости от преимущественного использования ими определенной формы выражения теоретического знания - словесной, символической или графической, поэтому на уроках алгебры необходимо знакомить учащихся со всеми формами выражения конкретного теоретического зна-
6 ния, чтобы каждый из них мог выбрать наиболее удобную для себя форму. Выступая на Герценовских чтениях в 1996 г. по проблеме профильной и уровневой дифференциации, И.С. Якиманская высказала мнение, что ученик из гуманитарного класса может быть ближе к «алгебраисту», чем «геометр» к «алгебраисту». Следовательно, дифференциация должна проводиться не по научным областям, а по виду мышления.
Под обучением доказательству мы понимаем не только обучение доказательству теорем и решению задач на доказательство, но и обучение обоснованию выполнения того или иного действия при решении задач на тождественные преобразования выражений, решении уравнений, неравенств и т. д.
Анализ научной и методической литературы показал, что в ней в основном выделяются три или четыре уровня овладения умением доказывать. Мы же выделяем следующие уровни;
умение понять доказательство, предложенное учителем;
умение повторить готовое доказательство;
умение самостоятельно провести доказательство методом, указанным учителем;
умение найти ошибку в «доказательстве» софизма;
5) умение самостоятельно найти метод доказательства и применить его.
Задача учителя состоит в том, чтобы определить, до какого из уровней
следует формировать умение доказывать по отношению к конкретному ученику, учитывая индивидуальную траекторию развития последнего.
Однако наши исследования показывают, что учителя математики недостаточно владеют методикой обучения доказательству. В связи с этим приведем слова Н.Ф. Талызиной: «Например, математик успешно может осуществить доказательство теоремы методом от противного. Но он не сможет указать содержания и последовательности выполняемых при этом умственных действий и операций; в силу этого он не может целенаправленно строить деятельность по доказательству теорем у своих учеников» [144, с. 38].
Нельзя не учитывать перспективу перехода средних школ всех регионов России к единому государственному экзамену по математике. Умение выпускника школы логически рассуждать, обосновывать свои действия при решении алгебраических задач, которые составляют подавляющее большинство в тексте экзаменационной работы, будет являться необходимым условием получения выпускником высокого балла.
Все вышесказанное обусловило актуальность проблемы исследования.
Проблема исследования состоит в разрешении противоречия между потенциальными возможностями курса алгебры в процессе обучения доказательству, как через изучение теории, так и посредством решения задач, и сложившейся практикой обучения в средней общеобразовательной школе, где этот процесс идет несистематично, нецеленаправленно, без учета способностей учащихся.
Цель исследования: разработать теоретические основы и методику обучения доказательству в курсе алгебры средней общеобразовательной школы посредством разноуровневой системы задач.
Объект исследования: процесс обучения алгебре в средней общеобразовательной школе.
Предмет исследования: содержание и методические особенности обучения школьников доказательству посредством системы задач, обеспечивающей уровневую дифференциацию.
Гипотеза исследования: если осуществлять процесс обучения доказательству в школьном курсе алгебры посредством специально разработанной разноуровневой системы задач, при построении которой учтены как специфические особенности курса алгебры (конгломератность учебного материала, превалирование компонента «способы деятельности» над компонентом «научные знания», специфика взаимодействия между содержательно-методическими линиями), так и способности учащихся, то это обеспечит дифференциацию указанного процесса, позволит развить у школьников логическое мышление, сформировать у них умение использовать знания в нестандартных ситуациях.
Проблема, цель и гипотеза исследования обусловили следующие частные задачи:
выявить психолого-педагогические основы учебно-познавательной деятельности учащихся и дидактико-методические особенности обучающей деятельности учителя по формированию умения доказывать в курсе алгебры;
определить роль и место доказательства в процессе обучения алгебре;
определить содержание понятия «умение доказывать» и разработать критерии, выявляющие сформированное^ этого умения на разных уровнях;
выявить требования к системе задач, направленной на формирование умения доказывать, разработать разноуровневую систему таких задач и методику обучения их решению в курсе алгебры,
Теоретико-методологической основой исследования являются труды отечественных и зарубежных философов, психологов, занимавшихся изучением проблем мышления, способностей человека (Л.С. Выготский, Я.И. Груденов, И. Лакатос, З.И. Калмыкова, В.А. Крутецкий, Э.Л. Торндайк, И.С. Якиманская и др.), педагогов и методистов по теории познания, воспитания и обучения (В.А. Далингер, Я.С. Дубнов, Л.Я. Зорина, О.Б. Епишева, Ю.М. Колягин, Н.А. Курдюмова, И. Лакатос, Н.А. Менчинская, Г.И. Саранцев, З.И. Слепкань, А.А. Столяр и др.). В работе также использованы исследования, посвященные проблеме совершенствования обучения в курсе алгебры (А.Я. Блох, С.Б. Суворова и др.).
Для решения поставленных задач были использованы следующие методы исследования: анализ философской, психолого-педагогической, методической литературы по проблеме исследования; анализ программ, стандартов и учебных пособий по курсу алгебры средней школы; изучение практики обучения доказательству на уроках алгебры, беседы с учителями и учащимися; анкетирование учителей; констатирующий, поисковый и обучающий эксперименты, статистическая обработка их результатов.
На констатирующем этапе исследования было проведено изучение философской, психолого-педагогической и методической литературы по проблеме
исследования, практики преподавания школьного курса алгебры в плане обучения доказательству, анкетирование учителей.
На поисковом этапе уточнялось содержание понятий «обучение доказательству» и «умение доказывать» в школьном курсе алгебры в условиях уров-невой дифференциации; выдвигалась гипотеза исследования, создавалась система задач как методическая основа, соответствующая этому содержанию, и разрабатывалась методика обучения.
На этапе обучающего эксперимента проводилась проверка эффективности построенной системы задач и разработанной методики обучения умению доказывать на основе этой системы.
Научная новизна исследования состоит в том, что выявлены возможности курса алгебры в формировании у школьников умения доказывать и разработана методика, позволяющая дифференцированно строить процесс обучения доказательству посредством разработанной системы задач, адекватно отражающей структуру учебной деятельности учащихся, включающей три этапа: мотивационно-ориентировочный, исполнительно-операционный и контрольно-оценочный.
Теоретическая значимость исследования заключается в следующем:
уточнен категориально-понятийный аппарат, связанный с обучением школьников доказательству в курсе алгебры, а именно: выявлены виды определений понятий, правила вывода; расширено представление об общих методах доказательства (вместо четырех традиционно используемых методов: синтетического, аналитического, от противного, полной индукции, рассматриваются одиннадцать методов, включающие, в частности, метод перебора, метод исключения и др.);
с целью реализации уровневой дифференциации, определены уровни овладения умением доказывать в курсе алгебры, что позволяет строить процесс обучения на сочетании репродуктивного и продуктивного видов деятельности учащихся;
выявлены особенности курса алгебры (конгломератность учебного материала, превалирование компонента «способы деятельности» над компонентом «научные знания», специфика взаимодействия между содержательно-методическими линиями), которые были учтены при разработке требований к системе задач, направленной на обучение доказательству в курсе алгебры. Указанная система должна содержать задачи, которые:
способствуют мотивации введения теоремы;
способствуют поиску закономерности, выдвижению гипотезы;
способствуют пониманию логической структуры, усвоению содержания теоремы; пониманию значения каждого слова, смысла символов в формулировке теоремы; обеспечивают прочное и осознанное запоминание формулировки теоремы;
актуализируют теоретические положения, необходимые для построения доказательства теоремы;
способствуют формированию умения выводить следствия из определения понятия или заданных условий, характеризующих математические объекты;
обеспечивают восприятие идеи доказательства, раскрывают приемы доказательства, подготавливать к восприятию логической структуры доказательства;
способствуют распознаванию ситуаций, удовлетворяющих теореме;
демонстрируют применение теоремы в стандартных ситуациях;
демонстрируют применение теоремы в нестандартных ситуациях;
способствуют выявлению дополнительных условий, при которых некоторые неверные утверждения становятся верными;
способствуют формированию умения использовать примеры и контрпримеры при доказательстве;
способствуют формированию умения опровергать неверные доказательства;
раскрывают взаимосвязи изученной теоремы с другими теоремами;
направлены на выявление связей между содержательно-методическими линиями курса алгебры;
предполагают использование различных форм представления информации, ее перевод из одной формы в другую;
направлены на осуществление логической реорганизации учебного материала.
Практическая значимость исследования заключается в следующем:
разработана система задач для обучения доказательству в школьном курсе алгебры, обеспечивающая достижение учащимися стандартного и продвинутого уровней овладения знаниями, умениями и навыками, с учетом способностей учащихся;
разработана методика обучения методам доказательства, основу которой составляет деятельность учителя по формированию у школьников умений использовать различные формы математического языка, составлять и использовать алгоритмические предписания по осуществлению доказательства;
разработанные дидактические материалы и методика обучения доказательству в курсе алгебры могут быть использованы авторами учебных пособий по математике, при обучении студентов педвузов теории и методике обучения математике, а также на курсах повышения квалификации учителей математики.
Обоснованность и достоверность результатов обеспечены непротиворечивостью полученных основных результатов положениям, сформулированным в исследованиях психологов, педагогов и методистов, касающихся поставленной проблемы, глубоким анализом научных воззрений на проблему исследования, выбором методов исследования, адекватных поставленным цели и задачам, а также проведением педагогического эксперимента и применением математических методов обработки его результатов.
Апробация и внедрение результатов исследования.
Основные теоретические положения и результаты диссертационного исследования докладывались автором и обсуждались на заседаниях кафедры методики преподавания математики ОмГПУ (Омск, 1994-1996 гг.), а также докладывались на областной научно-практической конференции «Проблемы развития естественно-математического и профессионального образования» (Омск,
1994 г.), на Герценовских чтениях (С.-Петербург, 1996 г.), на II Всероссийской научно-методической конференции «Образование XXI века: инновационные технологии, диагностика и управление в условиях информатизации и гуманизации» (Красноярск, 2000 г.). По теме исследования имеется 6 публикаций.
Экспериментальная проверка теоретических положений диссертации и их внедрение осуществлялись в 1994-2002 гг. на базе школ №№ 58, 89, 134, 141, 142 г. Омска, а также на занятиях по математике со слушателями подготовительного отделения Омского государственного института сервиса (ОГИС).
Положения, выносимые на защиту.
1. Процесс обучения доказательству, строящийся с учетом особенностей
курса алгебры (конгломератность учебного материала, доминирование компонента
«способы деятельности» над компонентом «научные знания», специфика взаимо
действия содержательно-методических линий), позволяет: разработать такую мето
дику обучения учащихся доказательству, которая обеспечивает более полную реа
лизацию связей между содержательно-методическими линиями курса алгебры;
формировать у школьников умение представлять информацию на естественном,
символическом и геометрическом языках и переводить ее с одного языка на другой.
Обучение доказательству в курсе алгебры способствует формированию у школьников умения оперировать семантическими и синтаксическими конструкциями математического языка и позволяет развивать такие качества мышления учащихся, как логичность и гибкость.
Построенная на основе разработанных требований система задач, направленная на обучение доказательству в курсе алгебры, позволяет осуществлять уровневую дифференциацию процесса обучения, вооружать учащихся различными методами доказательства, вырабатывать у них такие умения, как подведение объекта под понятие, выведение следствий, правильное использование примеров и контрпримеров, а также рефлексивных умений, связанных с поиском и осознанием ошибки в «доказательстве» софизма.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, библиографического списка литературы и приложений.
Психолого-педагогические основы обучения умению доказывать
При обучении учащихся доказательству, как и при обучении любому виду деятельности, необходимо учитывать психологические особенности обучаемых. Проанализируем различные точки зрения на психолого-педагогические основы обучения доказательству.
В основу ассоциативной теории, имеющей прямое отношение к проблеме исследования, положено понятие ассоциации. По определению П.А. Шеварева, «связь двух психических процессов Р и Pj, при которой процесс Pi влечет за собой возникновение процесса Р?», называется ассоциацией [166, с. 77]. Ассоциация называется обобщенной, если существенные компоненты одного или обоих ее членов могут изменяться, и константной, если они всегда неизменны.
Пример константной ассоциации: 3+4=7. Пример обобщенной ассоциации: х (-х4) = -х7.
ЯМ. Груденов утверждает, что ассоциация (Pi;P2) образуется, если психические процессы Р] и 2 возникают по ходу деятельности и повторяются или непосредственно друг за другом, или с участием стимулирующего звена М. Если это звено в дальнейшем сохраняется, то образуются две ассоциации (РьМ) и (М;Р2). Стимулирующие звенья - это применение определений, теорем, оперирование с фафиками и т.п. Если обобщенные ассоциации формируются при участии стимулирующих звеньев, то они эквивалентны логическим умозаключениям. В противном случае «навыки и знания... оказываются непрочными и бесполезными» [33, с. 44]. По определению Я.И. Груденова, умения и навыки решения мыслительных задач, в том числе и проведение доказательств, есть определенная система ассоциаций, преимущественно обобщенных.
В основу операциональной концепции положено учение об интериориза-ции, т.е. превращении внешних реальных действий с предметами во внутренние, идеальные. За основную структурную единицу процесса мышления в этой теории принимается действие.
Как отмечает З.И. Слепкань [134], чаще всего трудности, связанные с усвоением математических знаний, объясняются тем, что школьники не подготовлены к выполнению тех умственных действий, которые входят в состав основных видов познавательной деятельности. Поэтому адекватные каждому виду деятельности умственные действия должны стать не только средством, но и предметом усвоения учащимися.
Если классифицировать умственные действия по степени общности, то среди них можно выделить общие и специфические действия. К общим умственным действиям относятся: анализ, синтез, сравнение, абстрагирование и конкретизация, обобщение и специализация, аналогия, классификация и систематизация, К специфическим или конкретным умственным действиям относятся действия, которые характерны для той или иной области знаний.
Исследования психологов показывают, что анализ и синтез входят в состав каждого общего умственного действия. Например, решая уравнение
У —, необходимо выделить (анализ) правую часть уравнения и представить (переосмыслить) дробь — как степень числа 3, соотнеся (синтез) правую и левую части уравнения и выбрав за одно и тоже основание степеней число 3.
Приём умственной деятельности, когда один и тот же элемент задачи рассматривается с различных точек зрения, в психологии называется приемом переосмысливания элементов задачи.
И.И. Ильясов пишет, что «аналитико-синтетические операции н являются следствием внешних действий. Они изначально и всегда только психические
по форме. Внешними и внутренними их можно назвать только по тому, с какими преобразовательными действиями они вместе осуществляются - с внешними или внутренними» [56, с. 179].
Следует отметить, что несформированность у учащихся общих умственных действий или дефекты в формировании последних являются причиной многих ошибок учащихся. Особенно это относится к обобщению и аналогии.
В умах учеников часто правильное обобщение заменяется неправомерным, т.е. генерализацией, когда обобщение проводится не только по существенным, но и по несущественным признакам, иногда более сильным. Поскольку обобщение происходит через абстракцию, то преодолению генерализации может послужить так называемая расчленяющая абстракция, которая состоит в расчленении существенного и несущественного и в их противопоставлении.
Н.А. Менчинская [98] разбивает генерализацию на две категории: внут-рипонятийную и межпонятийную, отмечая при этом, что факты генерализации связаны с первоначальным этапом усвоения понятий.
Доказательство, его роль и место в обучении алгебре
Одной из основных задач в обучении математике является развитие у учащихся логического мышления, и, в частности, умения доказывать. Я.С. Дубнов отмечал, что «доказательства даются не только с познавательной целью (овладение новыми фактами), но и с образовательно-воспитательной (упражнение в рассуждениях, выяснение связей между фактами). Подобно этому физкультурные упражнения делаются не для того, чтобы переместить тяжелое ядро из одного пункта в другой» [48, с. 43].
Мы будем использовать следующее толкование понятия доказательства: «Доказательство - рассуждение по определенным правилам, обосновывающее какое-либо предложение (утверждение, теорему); основанием доказательства служат исходные утверждения (аксиомы). Конкретное доказательство не обязательно начинается с аксиом, оно может опираться на ранее доказанные предложения. Всякое доказательство - относительно, поскольку базируется на некоторых недоказываемых предложениях. Правила, по которым ведутся рассуждения, а также методы доказательства изучает логика» [93, столб. 373].
Охарактеризуем основные понятия, связанные с понятием доказательства.
Правило вывода — это способ порождения объектов, называемых заключением правила вывода, по множеству объектов, называемых посылками правила [94].
Теорема - это математическое предложение (утверждение, высказывание), истинность которого устанавливается посредством доказательства [135, 167 и др.].
Можно выделить следующие виды теорем: теорема-лемма, теорема-следствие, теорема-свойство, теорема-признак, теорема-гипотеза. Примером последней является гипотеза Гольдбаха: «Если целое число п четно и п 4, то п является суммой двух простых чисел».
Мы будем использовать следующее определение доказательства теоремы, сформулированное А.А. Столяром.
«Доказательство теоремы Т - это конечная последовательность предложений ,, А2, ..., Ап данной теории, к которой принадлежит и теорема Т, удовлетворяющая двум условиям:
1) каждое предложение этой последовательности представляет собой или аксиому, или определение, или ранее доказанную теорему, или допущения (условия доказываемой теоремы), или же получается из допустимых правил вывода;
2) последнее предложение Ап этой последовательности есть предложение [139, с. 134].
Теорема состоит из следующих частей.
1. Разъяснительная часть, в которой описывается множество М объектов, о которых идет речь в теореме.
2. Условие теоремы — некоторый предикат А(х), заданный на множестве М.
3. Заключение теоремы - некоторый предикат В(х), заданный на множестве М.
Задачи как средство обучения доказательству и методика обучения учащихся их решению
Рассмотрим методику реализации требований к системе задач, направленной на обучение учащихся доказательству и усвоению теорем, сформулированных в п. 1.4.
Мотивация введения теоремы является одним из факторов, повышающих интерес учащихся к обучению, показывает необходимость той или иной теоремы как инструмента выполнения действий, решения задач.
Приведем примеры задач, способствующих мотивации введения теоремы.
Прежде чем доказывать тождество (а + Ъ)г =а2 л-lab + b2, учащимся целесообразно предложить следующие задачи (7 кл.).
Задача 1. Вычислите: ЗОЇ2, 992.
Задача 2. Выполните умножение:
l)(2 + e)(2 + e); 2)(х + 1)(х + 1); 3) (у + 1)( + 1); 4) (т + п)(т + и).
Вычислительные трудности при решении первой задачи и однотипность выполняемых действий при решении второй задачи приведут учащихся к необходимости составить и доказать указанное тождество сокращенного умножения.
Заметим, что вывод формул сокращенного умножения традиционно осуществляется в учебниках «слева направо». Можно предложить сильным учащимся провести вывод «справа налево»:
a2 + 2ab + b2 = a2 + ab + ab + b2 = а{а + b) + b(a + b)-{a + b){a + b) = (a + b)2.
При необходимости учитель дает учащимся указание о том, что нужно представить второе слагаемое в виде суммы равных слагаемых и применить затем способ группировки для разложения выражения на множители.
В дальнейшем целесообразно продемонстрировать сильным учащимся доказательство формулы разности квадратов также «справа налево»:
а1 -Ъ1 = a1 + ab - ab -Ъ1 = а{а + Ь) Ыа + b) = {a-b){a + b). При этом учащиеся знакомятся с полезным приемом добавления к выражению суммы противоположных слагаемых, применение которого будет необходимо при дальнейшем изучении алгебры.
Перед тем, как доказать свойства степени с натуральным показателем (7 кл.), следует предложить учащимся следующую задачу: «Упростите выражения, используя определение степени с натуральным показателем и законы арифметических действий:
