Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ УРОВНЕВОИ ДИФФЕРЕНЦИАЦИИ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ГРАФОВЫХ МОДЕЛЕЙ 10
1.1. Уровневая дифференциация 11
1.2. Графовое моделирование структур решении текстовых зада ч 17
1.3. Обр азова тельный стандарт как основа
Уровневои дифференциации текстовых задач 29
1.4. Сравнительная характеристика текстовых задач стандарта, учебника и сборника заданий 40
ГЛАВА II. МЕТОДИКА РЕАЛИЗАЦИИ УРОВНЕВОИ ДИФФЕРЕНЦИАЦИИ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ В КУРСЕ АЛГЕБРЫ 8-9 КЛАССОВ МЕТОДОМ ГРАФОВОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ 57
2.1. Сравнитепьная характеристика текстовых задач в учебниках алгебры для 8-9 классов 57
2.2. Система текстовых зада ч по нар а стающей сложности структур их решений 77
2.3. Методические особенности подготовки учащихся 9 классов к письменному экзамену по алгебре по теме « текстовые задачи» 88
2.4. Организация и результа ты педагогического эксперимента 95
Заключение 104
Библиографический список 106
- Уровневая дифференциация
- Сравнитепьная характеристика текстовых задач в учебниках алгебры для 8-9 классов
- Методические особенности подготовки учащихся 9 классов к письменному экзамену по алгебре по теме « текстовые задачи»
Введение к работе
Изменения, происходящие в жизни нашего общества, выражающиеся в демократизации различных его сфер, повышении активности и личной ответственности каждого члена общества, привели к появлению новых ориентиров в системе образования. Главным ориентиром этой системы становится ученик, его потребности и интересы. Ориентация на ученика как субъекта образовательного процесса привела к пересмотру принципов реформирования системы образования. Ведущим из них стал принцип гуманизации.
Гуманизация образования предполагает, в первую очередь, максимальный учет неповторимой индивидуальности учащегося посредством дифференциации обучения.
Так, Г.В. Дорофеев, Л.В. Кузнецова, СБ. Суворова, ВВ. Фирсов под дифференциацией понимают такую систему обучения, при которой каждый ученик, овладевая некоторым минимумом общеобразовательной подготовки, являющейся общезначимой и обеспечивающей возможность адаптации в постоянно изменяющихся жизненных условиях, получает право и гарантированную возможность уделять преимущественное внимание тем направлениям, которые в наибольшей степени отвечают его склонностям.
Наряду с подготовкой учащихся, которые в дальнейшем в своей профессиональной деятельности будут пользоваться математикой, важнейшей задачей обучения становится обеспечение некоторого гарантированного уровня математической подготовки всех школьников независимо от специальности, которую они изберут в дальнейшем.
Современный период характеризуется комплексным исследованием дифференцированного обучения. При этом изучают психологические, педагогические и методические особенности в дифференциации обучения.
На Всесоюзном съезде работников народного образования (Москва, декабрь 1988 г.) была принята Концепция общего среднего образования. Одной из главных задач была провозглашена необходимость дифференциации обучения.
Закон РФ «Об образовании» (1992 г.) открыл широкие возможности для внедрения дифференцированного обучения в школьную практику. Этим законом устанавливаются государственные образовательные стандарты, предусматривающие уровневую дифференциацию обучения. Причем пространство между уровнями обязательной и повышенной подготовки заполнено своеобразной «лестницей» деятельности, добровольное восхождение по которой от обяза тельного к повышенным уровням способно реально обеспечить школьнику постоянное пребывание в зоне ближайшего развития, обучение на индивидуальном максимально посильном уровне.
Психологические, педагогические, методические аспекты дифференциации рассматриваются в исследованиях Ю.К. Бабанского, МИ. Башмакова, щ А.А. Бударного, И.Д. Бутузова, Г.Д. Глейзера, В.А. Гусева, Г.В. Дорофеева, .В. Кузнецовой, В.М. Монахова, ВВ. Фирсова, И.М. Чередова и др.
Уровень обязательной подготовки проверяется умением учащимися решать типовые задачи, приведенные в стандарте.
Таким образом, инструментальная проверка выполнимости стандарта озложена на задачи.
Различными методами решения текстовых задач занимались АР. Арте менко, В.Г. Болтянский, Л.В. Виноградова, В.А. Далингер, Н.В. Лахова, .С. Муравин и Г.К. Муравин, Н.Н. Никифоров, Ф.А. Орехов, Е.Н. Перевощи кова, Д. Пойа, АР. Рязановский, В.К. Совайленко, Л.В. Тарасов, БД. Фокин, .Ф. Чаплыгин, ТВ. Чекренева, В.Я. Шевцов, А.А. Щепоткин и др.
Обучению решению текстовых задач с неравенствами посвящены иссле дования А.В. Коржуева и Н.Э. Богатыревой, ИМ. Кипнис.
Канин исследует вопросы, связанные не только с решением задач, порожденных данной, но и их составлением.
Вопросы повышения эффективности обучения решению текстовьгх задач сред ствами моделирования рассматриваются в работах А.Г. Грекуловой, К.А. Загородных, .Т. Кац, ИА. Мешковой, Д.С. Фонина и ИИ. Целищевой, А.Я. Цукаря и др. Г.В. Дорофеев и О.В. Тараканова, ИВ. Дробышева, К.К. Ким и ИВ Мик-ляева, Н.К. Рузин исследуют влияние задач на мотивацию учебной деятельности учащихся.
Влияние текстовых задач на развитие продуктивного мышления исследует В. П. Радченко. Г.Е. Крейдлин и А.Д. Шмелев исследуют проблему языкового анализа ус ловия текстовой задачи.
Системно-структурному подходу к задаче как к сложной системе посвящены исследования Ю.М. Колягина, ВИ. Крупича, А.А. Столяра, Л.М. Фридмана и др.
Структуры решений сюжетных задач, сложности их решения исследуют- ся в работах Н.Г. Рыженко, Н.А. Жигачевой.
В российской школе накоплен значительный опыт в части дифференциации обучения математике: существуют и работают школы с углубленным изучением математики, специальные классы той же направленности, система факультативных занятий, кружков. Пишутся учебники, где учебный материал излагается дифференцированно. Например, учебник Ш.А. Алимова, Ю.М. Коля- гина, Ю.В. Сидорова и др., в котором авторы выделяют три уровня: обязательные задачи, дополнительные более сложные задачи и трудные задачи. Каждый уровень выделен соответствующим цветом. Но ранжирование задач по уровням никак не учитывает структуру решения этих задач и, соответственно, сложность решения. Таким образом, как в теоретических исследованиях указанных авторов,
так и в практике работы школ по организации дифференцированного обучения:
- теоретически не обоснована возможность использования полученных методом графового моделирования структурных характеристик решений текстовых задач (в частности - сложности решения) для организации их уровневой
дифференциации;
- не выявлены числовые характеристики сложности решений текстовых задач
-5 в учебниках и учебных пособиях по курсу алгебры 8-9 классов;
- не установлены критерии уровней сложности решений текстовых задач, характеризующих уровни обязательной и повышенной подготовки учащихся;
- не составлена система уровневых дифференцированных текстовых задач в курсе алгебры 8-9 классов.
В связи с этим возникла проблема настоящего диссертационного исследования, которая заключается в выявлении возможностей использования метода графового моделирования как средства уровневой дифференциации текстовых задач в курсе алгебры 8-9 классов.
Таким образом, имеет место противоречие между востребованностью современной школой концепции уровневой дифференциации обучения математики и недостаточно разработанной методологией уровневой дифференциации текстовых задач в курсе алгебры 8-9 классов, что и обуславливает актуальность нашего исследования.
Объектом исследования являются текстовые задачи учебников и учебных пособий по алгебре для 8-9 классов.
Предметом исследования является метод графового моделирования как средство уровневой дифференциации текстовых задач курса алгебры 8-9 классов.
Изложенное выше послужило основанием для формулировки темы нашего исследования, цель которого - обоснование необходимости проектирования целостной системы уровневых дифференцированных текстовых задач курса алгебры 8-9 классов с использованием метода графового моделирования и выявление условий, обеспечивающих ее эффективность при дифференциации обучения математике.
В своем исследовании мы исходили из следующей гипотезы: планомерное и целенаправленное использование метода графового моделирования даст возможность создать систему уровневых дифференцированных текстовых задач в курсе алгебры 8-9 классов, способствующую формированию у учащихся обобщенных умений решению текстовых задач, повышению качества и резуль тативности обучения.
Исходя из цели и гипотезы исследования в работе решались следующие задачи:
1. Раскрыть психологические, педагогические и методические особенности дифференциации обучения;
2. Используя метод графового моделирования, провести структурный анализ решений текстовых задач в учебниках и учебных пособия алгебры для 8-9 классов;
3. Систематизировать текстовые задачи курса алгебры 8-9 классов по нарастающей сложности структур их решений;
4. Определить критерии уровней сложности решений текстовых задач, удовлетворяющих уровневой дифференциации;
5. Разработать методику обучения уровневой дифференциации решения текстовых задач при подготовке к письменному экзамену по алгебре за курс основной школы.
Для решения поставленных задач были использованы следующие методы.
- теоретический анализ научно-методической литературы, школьных программ, образовательных стандартов, учебников и учебных пособий по математике;
- педагогический эксперимент и статистическая обработка полученных результатов.
Методологическую основу исследования составляет системно-структурный анализ и метод графового моделирования.
В качестве психолого-дидактической основы исследования выступают труды классиков педагогики и психологии, современных психологов и дидак-тов (Д.Н. Богоявленский, Л.С. Выготский, П.Я. Гальперин и Н.Ф. Талызина, ВВ. Давыдов, Е.Н. Кабанова-Меллер, З.И. Калмыкова, В.А. Крутецкий, A.M. Матюшкин, М.И. Махмутов и др.).
Научная новизна исследования состоит в том, что в нем проблема про ектирования уровневой дифференциации текстовых задач курса алгебры 8-9 классов решается на основе метода графового моделирования.
Теоретическая значимость исследования заключается в основных результатах теоретического уровня:
1. Обоснована целесообразность и возможность использования метода графового моделирования для выявления структурных характеристик решений текстовых задач - сложности решения;
2. Проведена оценка сложности решений текстовых задач образовательных стандартов;
3. Методом графового моделирования выявлены все структуры решений текстовых задач в учебных пособиях алгебры за курс основной школы;
4. Проведен сравнительный анализ сложности структур решений текстовых задач стандарта и учебных пособий алгебры за курс основной школы;
5. Выявлены критерии уровней сложности решений текстовых задач. Практическая значимость исследования заключается:
- в создании системы уровневых дифференцированных текстовых задач по нарастающей сложности структур их решений;
- в разработке научно-методических рекомендаций по подготовке учащихся к письменному экзамену по алгебре.
Материалы и выводы диссертации могут быть использованы в практике преподавания алгебры 8-9 классов, студентами при изучении курса методики преподавания математики, а также авторами учебников и учебных пособий На защиту выносятся:
- обоснование целесообразности и возможности использования метода графового моделирования как средства уровневой дифференциации текстовых задач в курсе алгебры 8-9 классов;
- критерии уровней сложности решений текстовых задач курса алгебры 8-9 классов,
- целостная система уровневых дифференцированных текстовых задач курса
алгебры 8-9 классов.
Апробация и внедрение результатов исследования. Основные теоретические положения и результаты диссертационного исследования докладывались автором и обсуждались на X Международной конференции «Применение новых технологий в образовании» (1999, г. Троицк); на Всероссийской научно- практической конференции «Инновационные процессы в системе современного бразования» (1999, г. Горно-Алтайск); на III Сибирских методических чтениях (1999, г. Омск); на V научно-практической конференции негосударственных образовательных учреждений «Опытно-экспериментальная работа как условие повышения качества обучения» (2000, г. Омск); на 2-й межрегиональной межотраслевой научно-практической конференции «Проблемы педагогической ин- Ц, новатики в профессиональной школе» (2001, г. Санкт-Петербург), на заседании афедры методики преподавания математики ОмГПУ.
Эксперимент проводился в 1997-2001 гг. в школах №11, №135, №157 г. Омска.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, библиографии и приложений.
Уровневая дифференциация
Гуманизация обучения математике требует создания такой системы обучения, которая позволяет в наибольшей степени развить индивидуальные способности учащихся. Такой системой является дифференцированное обучение.
Основные идеи данной системы были разработаны в НИИ содержания и методов обучения АПН СССР под руководством В.В. Фирсова [166, 167, 168].
«Дифференцированное обучение не новое явление для российской школы. Его истоком можно считать фуркацию обучения - разделение учебных планов с целью специализации учащихся, которая совместима с сохранением общеобразовательного характера школы. Уже в прошлом веке (XIX в) проявлением фуркации было разделение учебных заведений на классические гимназии и реальные училища» [143, с. 3].
Первым профессиональным педагогом в России, занимавшимся теоретическими исследованиями и одновременно реформой школы, был К.Д. Ушин-ский. Именно с его именем связано начало теоретического уровня разработки индивидуального подхода к учащимся в обучении. К.Д. Ушинскому [164] принадлежит идея сочетания коллективных и индивидуальных форм учебной работы школьников на уроке. Он впервые обратил внимание на то, что мы теперь называем уровневой дифференциацией. «Такое деление класса на группы, из которых одна сильнее другой, не только не вредно, но даже полезно, если наставник умеет, занимаясь с одной группой сам, дать двум другим полезное самостоятельное упражнение»[84, с. 417].
20-30-е годы прошлого века (XX в.) характеризуются попытками создания наилучших условий для индивидуально-дифференцированной работы с учащимися. Происходит деление класса на группы, звенья, бригады.
Тем не менее, долгое время индивидуальный подход рассматривался главным образом как средство предупреждения неуспеваемости. Начиная с 50-х годов XX в. проблема дифференцированного обучения становится в центр внимания советской дидактики и психологии [25].
На современном этапе в педагогической, психологической, методической литературе рассматриваются различные подходы к определению понятия «дифференцированное обучение» При этом выделяются два вида дифференциации: уровневая (внутренняя) и профильная (внешняя). Уровневая дифференциация характеризуется тем, что ученики могут осваивать учебный материал на различных уровнях в соответствии со своими способностями и возможностями. Второй вид дифференциации
А (профильная) предполагает обучение разных групп школьников по програм мам, отличающимся глубиной изложения материала, объемом сведений и перечнем включенных вопросов. Профильная дифференциация бывает гибкой (элективной) и жесткой (селективной). Элективная профильная дифференциация не предполагает выделения профильных классов и школ, селективная - наоборот.
Различные аспекты дифференциации в обучении как профильной, так и уровневой рассматриваются в работах М.И. Башмакова [10], Г Д. Глейзера [32], В.А. Гусева [39, 40], А.Н. Дахина [45], Г.В. Дорофеева [47, 48], Г.В. Злоцкого [56], Л.В. Кузнецовой [81], М.А. Мартыновича [91], В.М. Монахова [99, 100], ИМ. Осмоловской [112], Н.М. Рогановского [127], ПА. Руднева [128], К.А. Рыбникова [130], П.И. Самовола [133], Е.Е. Семенова [138, 139], И.М. Смирновой [143, 144], В.В. Фирсова [166], И.М. Чередова [180], Н.М. Шахмаева [182] и др.
Исследованию проблемы дифференциации обучения с психологических позиций посвящены работы А.А. Бударного [22], И.Д. Бутузова [23], Е.Н. Каба-новой-Меллер [59], З.И. Калмыковой [60, 61], В.А. Крутецкого [79], В.В. Ку ф прияновича [82], А.Н. Леонтьева [86], НИ. Мурачковского [104], И.С. Якиман ской [191] и др.
Изучению проблемы дифференциации обучения с педагогических позиций посвящены работы Ю.К. Бабанского [7, 8], В.М. Гольховой [33], А.Н. Ка-пиносова [63], А.А. Кирсанова [69], И.Я. Лернера [87, 88], Л.В. Морозо р вой [101], ЕС. Рабунского [123], М.Н. Скаткина [141, 142], И.Э. Унт [161],
РА. Утеевой [162] и др. В них представляются системы обучения, отвечающие
- 1.3 склонностям учащихся.
В перечисленных исследованиях ставились и решались важные общие психологические и педагогические проблемы учета индивидуальных особенностей учащихся.
Так, В.А. Гусев под дифференцированным обучением понимает учебно-воспитательный процесс, протекающий с учетом доминирующих особенностей групп учащихся. «При этом индивидуализированное обучение рассматривается как один из видов дифференцированного обучения, его наиболее полное воплощение» [40, с. 19].
ИД. Бутузов считает, что «основной смысл дифференцированного под
хода в обучении заключается в том, чтобы, зная и учитывая индивидуальные
ф»; различия в обучении учащихся, определить для каждого из них наиболее ра циональный характер работы на уроке» [23, с. 4].
Ю.К. Бабанский основным принципом уровневой дифференциации считает дифференциацию помощи учащимся со стороны учителя, т. е. особый подход учителя к отдельным ученикам или группам учеников. Учитель организует
учебную работу, различающуюся по содержанию, методам и приемам. «Лейт Ш;
мотивом дифференциации в наших условиях является дифференциация помощи ученикам в учебе, а не упрощение сложности требований» [7, с. 277].
В подборе учебных заданий, соответствующих уровню знаний ученика, его развитию, особенностям мышления, интересу к предмету заключается, по мнению В.П. Стрезикозина, основная идея дифференцированного подхода к Щ) обучению [150].
Таким образом, возникает необходимость создания учебников с дифференцированным изложением материала.
Дифференциация учебного материала рассматривается в работах
Л.О. Денищевой [55], ВИ. Крупича [77, 78], МБ. Миндюк [98], Н.Г. Рыженко
Ц [131], В.П. Стрезикозина [150] и др.
Например, М.Б. Миндюк [98] рассматривает варианты упражнений, на - 14 чинающиеся с простейших и располагающихся по возрастающей сложности. Однако отсутствует измеритель, позволяющий фиксировать уровень сложности учебного материала.
ВИ. Крупич [78] провел систематизацию задач по степени возрастания сложности их структур и дал количественную оценку сложности задачи.
Н.Г. Рыженко [131] использует структурные формулы для оценки сложности и трудности решения геометрических задач, организации геометрических задач в циклы (последовательность задач, последняя из которых является наиболее сложной по решению).
Методу графового моделирования структур решений сюжетных задач, определения сложности решений сюжетных задач посвящены исследования Н.Г. Рыженко, НА. Жигачевой [51, 52, 131].
Структурам решений сюжетных задач в курсе алгебры 7 класса, их структурным элементам, отношениям между элементами, сложности решений сюжетных задач, моделям решений посвящено исследование Н.А. Жигачевой [51].
Следование принципам уровневой дифференциации подразумевает предоставление ученику возможности усвоения программного материала на различных уровнях сложности с учетом своих способностей, интересов, потребностей, но не ниже уровня, определенного стандартом. Для этого необходима система уровневых дифференцированных текстовых задач.
Принципы построения системы задач рассматриваются в работах Я.И. Груденова [36], Ю.М. Колягина [70, 71], В.И. Крупича [77], Г.И. Саранцева [134], В.П. Стрезикозина [150], А.И. Умана [160], А.Я. Цукаря [175], А.В. Шевкина [183], П.М. Эрдниева [189] и др.
А.Я. Цукарь [175] отмечает, что в школьных учебниках математики имеются текстовые задачи, которые аналогичны друг другу по связям между данными и по структуре решения. Такие задачи должны служить материалом для обучения умению видеть общее. К сожалению, зачастую эти задачи хаотично разбросаны по учебнику, что мешает обнаружить их общность..В. Шевкин [183] говорит о том, что надо брать не числом задач, а умением учителя преподнести их в нужной последовательности. Для этого задачи должны размещаться в учебниках блоками по нарастающей сложности.
В.П. Стрезикозин [150] акцентирует внимание на ошибочном утверждении, что дифференциация осуществляется только за счет различий в объеме работы.
Основополагающими требованиями к дифференцированным заданиям должны быть, по мнению В.П. Стрезикозина, подбор заданий сообразно индивидуальным различиям учащихся, а также единость тематики, но различная трудность выполнения.
Сравнитепьная характеристика текстовых задач в учебниках алгебры для 8-9 классов
Для раскрытия методики реализации уровневой дифференциации текстовых задач был проведен структурный анализ решений задач методом графового моделирования. Структурный анализ направлен на решение следующих задач:
1. Установить количество структур решений текстовых задач в учебниках алгебры для 8-9 классов;
2. Провести сравнение выявленных структур с целью установления их общности и различия;
3. Найти количественную характеристику (оценку) сложности решения каждой текстовой задачи;
4. С помощью количественной характеристики - сложности решения задачи:
- оценить структурную полноту систем задач в учебниках алгебры,
- выделить критерии (количественные) уровневой дифференциации текстовых задач;
5. Составить систему задач, обладающую свойством структурной полноты;
6. Разработать методику реализации уровневой дифференциации обучения учащихся решению текстовых задач и экспериментальную ее проверку
2.1. Сравнительная характеристика текстовых задач в учебниках алгебры для 8-9 классов
Рассмотрим системы текстовых задач, содержащихся в учебниках алгебры для 8-9 классов, с позиции возможности реализации уровневой дифференциации текстовых задач. Для этого проведем анализ систем задач учебников, которые, согласно информационно-методическому письму Министерства образования Российской Федерации «О преподавании математики в общеобразовательных учреждениях в 1995/96 учебном году (№200/11 от 06. 03. 95)», рекомендуется использовать для преподавания алгебры в 8-9 классах [122]:
1. Алгебра 8. Ш.А. Алимов, ЮМ. Колягин и др. [1];
2. Алгебра 8. К.С. Муравин, Г.К. Муравин [102];
3. Алгебра 8. Под ред. С.А. Теляковского [2];
4. Алгебра 9. Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин и др. [3];
5. Алгебра 9. К.С. Муравин, Г.К. Муравин [102];
6. Алгебра 9. Под ред. С.А. Теляковского [5].
Они в дальнейшем обозначены номерами [1], [2,] [3], [4], [5], [6] соответственно.
Метод графового моделирования структур решений текстовых задач в учебниках алгебры для 8-9 классов позволил выделить 267 различных структур, причем 169 структур в учебниках алгебры для 8 класса и 131 структуру в учебниках алгебры для 9 класса. Оказалось, что 33 структуры совпадают, т.е. встречаются как в учебниках алгебры для 8 класса, так и в учебниках алгебры для 9 класса (табл. 10).
На диаграммах (диагр. 9, 10) представлена информация о количестве текстовых задач определенной сложности решения в учебниках для 8 и 9 классов (см. также прил. 1 и 2).
Таблица 1 приложения 2 состоит из шести колонок, каждая из которых подразделяется на две: номера задач и сложность решения а. Шесть колонок соответствуют шести проанализированным учебникам: [1], [2], [3], [4], [5], [6].
Данные таблицы подтверждают, что в учебниках система текстовых задач строится не по нарастающей сложности структур их решений. Например, в учебнике [1] задача № 34 имеет сложность решения ст = 60, а следующая за ней задача № 108 - сг = 6. Более того, задача, имеющая наибольшую сложность решения а = 114 дана в середине учебника (задача № 488 ), а следующая за ней (задача № 489 ) имеет сложность решения а = 44.
Таблица 2 приложения 2 дает информацию о том, сколько задач и какой сложности решения встречаются в данных учебниках. Первая колонка таблицы - сложность решения задачи. Следующие шесть колонок - анализируемые учебники. Пользуясь этой таблицей можно определить, что, например, задач сложности решения сг = 6 в учебниках для 9 класса только две (учебник [4]) или что задач сложности решения а = 116 нет ни в одном из шести учебников (т.е. ни в 8, ни в 9 классах). Такая таблица очень удобна для систематизации текстовых задач по нарастающей сложности структур их решений.
Методические особенности подготовки учащихся 9 классов к письменному экзамену по алгебре по теме « текстовые задачи»
Текстовые задачи традиционно считаются для учащихся одними из самых сложных. Особенное значение имеет эта тема для учащихся 9 классов. На письменном экзамене по алгебре учащимся предстоит решить текстовую задачу.
Темы «Текстовые задачи» в курсе алгебры 9 класса нет. Поэтому перед учителем стоит сложная задача - за короткий срок актуализировать знания учащихся по теме «Текстовые задачи», расширить класс содержательных текстовых задач, решаемых с помощью систем уравнений.
Учитывая все вышесказанное, мы решили провести эксперимент в 9 классах.
При подготовке учащихся к письменному экзамену по алгебре по теме «Текстовые задачи» мы преследовали цель - формирование у учащихся обобщенных умений решения текстовых задач:
- разбор задачи, осуществляемый методом анализа через синтез;
- выделение и словесная фиксация отношений первого порядка сложности, которые связывают структурные элементы решения задачи;
- составление графовой математической модели решения задачи;
- аналитико-синтетический или синтетический метод решения задачи;
- составление графовой обобщенной модели решения задачи,
- анализ результатов решения.
Проведенный анализ текстовых задач стандарта, сборника заданий и учебных пособий позволил выделить четыре уровня сложности решения:
I уровень с = 16 - 40 (обязательный уровень),
II уровень ст = 42 - 76,
III уровень а = 78 - 108,
IV уровень а = 110 - 146 (факультатив).
Первый уровень соответствует уровню обязательной подготовки стандарта [163]. Уровни II, III, IV соотнесены с текстовыми задачами учебных пособий, авторы которых относят их к задачам, направленным на более глубокое усвое -88 ниє материала. Например, в книге [152] авторы выделяют три уровня сложности: А - легкие задачи, Б - задачи, более сложные по сравнению с предыдущими, В - задачи наибольшей сложности. Однако не известно, что служит измерителем, позволяющим относить задачи к тому или иному уровню. По мнению авторов, уровень А предполагает умение применять стандартные навыки в стандартных ситуациях. Например, следующие задачи.
Задача 7.1.4. [152].
Мотоциклист задержался у шлагбаума на 24 минуты. Увеличив после этого свою скорость на 10 км/ч, он наверстал опоздание за 80 км. Определить скорость мотоциклиста до задержки. (Сложность решения задачи а = 32.)
Два туриста вышли из А в В одновременно, причем первый турист каждый километр проходит на 5 минут быстрее второго. Первый, пройдя пятую часть пути, вернулся в А и, пробыв там 10 минут, снова пошел в В. При этом в В оба туриста пришли одновременно. Каково расстояние от А до В, если второй турист прошел его за 2,5 часа? (Сложность решения задачи а = 86.)
Вряд ли последнюю задачу можно отнести к данному уровню. Поэтому была проведена соответствующая корректировка уровней сложности решений.
Задачи II и III уровня входят также во второй раздел сборника заданий для проведения письменного экзамена по алгебре [136].
Таким образом, мы получили систему уровневых дифференцированных текстовых задач (см. прил. 3).
Рассмотрим методику формирования у учащихся обобщенных умений решения текстовых задач.
Задача 1. В один сосуд налили на 2 кг воды больше, чем в другой. При нагревании вода в обоих сосудах получила по 240 ккал, а разность температур достигла 4С. Сколько воды было налито в каждый из сосудов? (Теплоотдачу в окружающую среду не учитывать.)
В данной задаче рассматриваются две ситуации: первая ситуация - нагревание воды в первом сосуде; вторая ситуация - нагревание воды во втором сосуде.
Обе ситуации описываются тремя величинами: с - количество ккал; b, b - температура; а, а - масса воды.
Для построения графовой модели используется метод восходящего анализа (см. п. 1.2): для нахождения количества ккал (с) необходимо знать температуру (Ь) воды во втором сосуде и массу (а) воды во втором сосуде, массы (а) воды в первом сосуде - необходимо знать массу (а) воды во втором сосуде и размер разностного сравнения (2 кг), температуры (Ь ) воды в первом сосуде -необходимо знать температуру (Ь) воды во втором сосуде и размер разностного сравнения (4С) (рис. 30).
По этой обобщенной модели ученики должны выбрать из списка предложенных задач задачи, имеющие ту же структуру решения. Затем учащимся предлагалось самим сформулировать задачу по обобщенной модели или найти ее в учебнике.
Например, следующие задачи имеют ту же структуру решения, что и задача 1.
Задача 2. Два самолета вылетели одновременно с одного аэродрома на другой, расстояние между которыми 1800 км. Скорость одного самолета на 100 км/ч меньше скорости другого, а поэтому он прибыл в пункт назначения на 36 мин позже. Найдите скорость каждого самолета.
Задача 3. Ученик прочел книгу в 480 страниц, ежедневно читая одинаковое количество страниц. Если бы он читал каждый день на 16 страниц больше, то прочел бы книгу на 5 дней раньше. Сколько дней ученик читал книгу?
Задача 4. Несколько человек обедали вместе и по счету должны были уплатить 175 шиллингов. Так как у двоих из них денег не оказалось, каждому из оставшихся пришлось уплатить на 10 шиллингов больше. Сколько человек обедало?
-91 Мы рассмотрели задачу I уровня.
Приведем пример задачи, в которой рассматриваются четыре ситуации (II уровень).
Задача 5. Две машины, работая вместе, могут расчистить каток за 20 мин. Если первая машина будет работать 25 мин, а затем ее сменит вторая, то она закончит расчистку катка через 16 мин. За сколько времени может расчистить каток каждая из машин, работая отдельно? В задаче 2-4 ситуации: первая ситуация - работа двух машин вместе; вторая ситуация - работа двух машин по очереди; третья ситуация - работа одной первой машины; четвертая ситуация - работа одной второй машины.
