Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Теоретические основы графового моделирования при обучении решению сюжетных задач 11
1.1. Психолого-педагогическая концепция обучения математической деятельности 12
1.2. Психолого-дидактический аспект понятий «задача» и «сюжетная задача» 17
1.3. Системный анализ понятия «решение сюжетной задачи» 24
1.4. Логико-философский анализ понятий «связь» и «отношение» 30
2.1. Графовые модели в педагогических исследованиях 33
2.2. Основные понятия теории графов 37
2.3. Концептуальные основы понятия модели 40
2.4. Структурные элементы графового моделирования 46
3.1. Понятие сложности и трудности задачи 52
3.2. Семантические графы первого порядка сложности -модели основных отношений решения сюжетной задачи 60
3.3. Некоторые общедидактические принципы построения системы задач 69
Глава II. Методика обучения учащихся математической деятельности при графовом моделировании сюжетных задач 75
4.1. Сравнительная характеристика сложности решений сюжетных задач в учебниках алгебры для седьмого класса 75
4.2. Структурный анализ сложности решений задач 80
5.1. Методика построения и использования графовых моделей в процессе обучения решению сюжетных задач 94
5.2. Систематизация задач с учетом сложности их решения 101
6. Организация и результаты педагогического эксперимента 108
Заключение 118
Библиография 121
Приложение 137
- Психолого-педагогическая концепция обучения математической деятельности
- Психолого-дидактический аспект понятий «задача» и «сюжетная задача»
- Сравнительная характеристика сложности решений сюжетных задач в учебниках алгебры для седьмого класса
Введение к работе
Научно-технический прогресс, проникновение математических методов практически во все области деятельности человека, большие возможности школьной математики для общего развития учащихся предъявляют новые требования ко всем структурным элементам методической системы обучения математике в школе. Это обусловлено ориентацией на глубокие демократические реформы и общечеловеческие, гуманистические идеалы и ценности. Главной целью школы на современном этапе развития нашего общества является воспитание личности каждого школьника, а процесс обучения знаниям, умениям и навыкам должен стать составной частью воспитания.
Фактор содержания влияет на цели обучения не только в зависимости от того, какие понятия, знания и умения входят в это содержание, но и от того, как структурировано это содержание, каков характер структурных единиц школьного курса математики. В соответствии с теорией учебной деятельности, которая разрабатывалась многими психологами (Л.С.Выготский [40], В.В.Давыдов [54], Д.Б.Эльконин [184], П.Я.Гальперин, Н.Ф.Талызина [41], Е.Н.Кабанова-Меллер [75], А.Н.Леонтьев [99,100] и др.), главным содержанием обучения должны быть общие способы действий по решению широких классов задач, при этом деятельность учащихся должна быть направлена на овладение этими способами действий.
На основе теории учебной деятельности разработана теория обучения математической деятельности (А.А.Столяр [152], В. А. Байдак [58], О.Б.Епишева [60]), включающая три аспекта: 1) МЭМ - математизация эмпирического материала, 2) ЛОММ - логическая организация математического материала, 3) ПМТ - применение математической теории.
Действие моделирования (понятие модели; этапы моделирования; список умений, необходимый для осуществления моделирования; внутримодельное решение и др.) исследуется в работах В.М.Монахова, Т.В.Малковой [105],
Г.И.Рузавина[142], С.ИЛІварцбурда[177], В.В.Фирсова[170], В.А.Стукалова [153], Т.А.Ширшовой [180], З.В.Семеновой [146], И.И.Зубко[71], Т.Б.Захаровой [70] и др.
Специфика моделей, по отношению к другим средствам обучения, состоит в том, что модели являются «формой научной абстракции особого рода» [53, с. 282], обеспечивающей предметно-наглядное изображение скрытых закономерностей, особым средством «символизации в научно-теоретическом мышлении» [53, с. 226]. Кроме того, модель является отражением общего в изучаемых явлениях, поэтому моделирование представляет собой не частный прием усвоения знаний, а один из общих методов познания, применяемый в самых различных областях.
Выступая в процессе решения задачи как продукт мыслительного анализа, модели затем становятся особым средством мыслительной деятельности [54, с. 156]. Поэтому моделирование задачи с помощью материализованных средств можно рассматривать также как метод формирования умственных действий, а сами модели - как средство обучения решению задач.
Содержание школьного курса математики определяется не только структурными единицами, но главным образом теми отношениями, которые связывают их в целостный единый курс (систему).
Независимо от различных трактовок понятия задачи теоретическим базисом большинства концепций является субъективная информация, реализованная в задаче. Это означает, что содержание и возможности объективной информации задачи, а также взаимосвязь объективной и субъективной информации, при этом не учитываются. В связи с этим исследователи изучают лишь внешнее строение задачи, определяя тем самым ее информационную структуру.
В.Г.Болтянский и Я.И.Груденов [27] рассматривают использование методов анализа, синтеза, обобщения, аналогии, интуиции, прогнозирования, перебора в процессе поиска решения задач.
Поиску эвристических приемов (испытание на правдоподобность; обобщение плюс индукция; выявление предельных случаев; метод малых изменений; аналогия; выделение подзадач и др.) посвящены исследования Г.Д.Балка и М.Б.Балка [12].
А.К.Артемов тоже выделяет такие эвристические приемы, как прием равносильного преобразования требования задачи, прием незавершенных задач, прием постановки и выполнения производного задания, прием сопоставительного вычисления и др. [7].
Работы Г.И.Саранцева, посвященные упорядочению геометрических задач с помощью методов аналогии, обобщения и конкретизации, позволяют строить блоки динамических задач по возрастающей сложности [144].
Е.С.Канин [77] исследует вопросы, связанные не только с решением задач, порожденных данной, но и с их составлением.
Исследователи И.А.Кушнир [97], М.П.Буловацкий [31], Г.П.Недогарок [117] предлагают различные приемы определения достаточности и недостаточности условий задачи для ее решения.
В работах В.Н.Литвиненко [104], И.А.Терехова [156] совершенствуются различные методы решения задач.
Исследования Л.О.Денищевой [57], М.Б.Воловича [39], Н.С.Новичковой [123], И.Ф.Протасова [137] посвящены приемам работы с теоретическим материалом.
Обучению математике через задачи и обучению решению задач посвящены исследования Д.Пойа [133], ВАДалингера [55] и др.
Системно-структурному подходу к задаче, как к сложной системе, посвящены исследования ААСтоляра [152], Ю.М.Колягина [80, 81, 82], В.И.Крупича [89, 91, 92], Л.М.Фридмана [171, 172], С.Л.Валитовой [32], К.А.Загородных [67], Ч.Хамраева [174] и др.
Исследование структур сюжетных задач с помощью трехчленных графов позволило Л. М. Фридману выделить отношения, которые связывают структурные элементы задачи, построить исчисление сюжетных задач.
В.И.Крупич провел систематизацию задач по степени возрастания сложности их структур и дал количественную оценку сложности задачи. В.И.Крупич впервые ввел понятие основного отношения, которое дало возможность выделить структурный элемент задачи.
Все выше перечисленные исследования связаны в основном с выявлением структур задач и с построением их моделей. Структурам же решения задач, их структурным элементам, отношениям между элементами, сложности решений сюжетных задач, моделям решений посвящено крайне мало исследований.
Таким образом, актуальность данной работы определяется противоречием между декларируемыми целями современного образования, направленного на воспитание личности каждого школьника, и имеющимися достижениями психолого-педагогической науки, позволяющими реализовать эти цели, (с одной стороны) и реально существующей методической системой обучения, которая недостаточно учитывает и использует действие моделирования в качестве средства, оказывающего позитивное влияние на включение учащихся в процесс математической деятельности (с другой стороны).
Все сказанное выше определяет проблему исследования: выявление возможностей совершенствования методики обучения решению сюжетных задач с использованием графовых моделей на основе деятельностного подхода.
Цель исследования - разработка методического обеспечения для целенаправленного использования графового моделирования при обучении решению сюжетных задач в курсе алгебры седьмого класса.
Объект исследования - процесс обучения учащихся седьмых классов решению сюжетных задач.
Предмет исследования - модели структур и сложность решения сюжетных задач.
В основу исследования положена гипотеза: если разработать концептуальные основы графового моделирования структур решений
сюжетных задач и реализовать их в процессе обучения учащихся, то это даст возможность активизировать математическую деятельность учащихся, повысит качество и результативность обучения.
Цель и предмет исследования определили необходимость решения следующих задач:
1. Раскрыть психолого-педагогические основы деятельностного подхода в обучении математике.
2. Исследовать психолого-педагогические основы обучения решению сюжетных задач с применением графовых моделей.
3. Провести структурный анализ решений сюжетных задач, содержащихся в учебниках алгебры для седьмого класса.
4. Систематизировать задачи по сложности их решения.
5. Разработать методику обучения решению сюжетных задач с применением графовых моделей, ориентированную на реализацию деятельностного подхода.
6. Провести экспериментальную проверку доступности и эффективности разработанной методики.
Для решения задач исследования использовались следующие методы: теоретический анализ психолого-педагогической, математической и методической литературы школьных программ, учебников и учебных пособий; изучение и анализ состояния исследуемой проблемы в школьной практике (наблюдение за процессом обучения математике, анкетирование учителей и учащихся, беседы с ними, анализ письменных работ и устных ответов учащихся); педагогический эксперимент и обработка его результатов.
Научная новизна и теоретическая значимость исследования состоит в том, что в нем:
- выявлены структурные элементы решения задачи;
- выявлены отношения, связывающие эти структурные элементы;
- построены семантические графы первого порядка сложности, моделирующие эти отношения;
- дана количественная характеристика сложности решения задачи (а);
- выявлены и систематизированы структуры решений сюжетных задач по числовой характеристике - сложности решения;
- определены психолого-педагогические условия применения графовых моделей как средства обучения;
- разработана методика организации обучения учащихся седьмых классов решению сюжетных задач с применением графовых моделей.
Практическая значимость работы состоит в том, что разработанные в диссертации теоретические положения и практические рекомендации могут быть использованы учителями математики, преподавателями педагогических вузов, авторами учебников, методических пособий и сборников задач по математике, методистами в научных исследованиях.
Обоснованность и достоверность результатов обеспечивается использованием различных методов исследования, адекватных предмету, целям и задачам работы: проведенным анализом сложившейся к настоящему времени практики обучения решению сюжетных задач с целью выявления неиспользованных резервов совершенствования процесса обучения в аспекте исследуемой проблемы; согласованностью полученных выводов и конкретных рекомендаций с результатами ряда психолого-педагогических и методических исследований, лежащих в русле проблемы диссертации; результатами педагогического эксперимента и статистической обработкой этих результатов, положительной оценкой материалов экспертами, учителями и методистами, участвующими в экспериментальной и опытной работе.
На защиту выносятся следующие положения:
1. Использование графового моделирования способствует формированию обобщенного подхода к решению сюжетных задач и управлению математической деятельностью учащихся.
2. Методическое обеспечение графового моделирования структур решений сюжетных задач составляют обобщенные модели структур решений задач в учебниках алгебры для седьмого класса, структурные элементы
графового моделирования, которые реализуются на основе деятельностного подхода.
Апробация и внедрение результатов исследования. Основные положения и результаты исследования обсуждались на III областной научно-практической конференции «Использование средств обучения в различных формах организации учебных заведений» (1997, г. Омск); на научно-практической конференции «От теории творчества - к педагогической практике» (1998, г.Омск); на XМеждународной конференции «Применение новых технологий в образовании» (1999, г. Троицк); на III Сибирских методических чтениях (1999, г. Омск); на заседании кафедры методики преподавания математики ОмГПУ.
Эксперимент проводился в 1993-1999гг. в школах № 157 и № 109 г. Омска.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, библиографии и приложения.
Психолого-педагогическая концепция обучения математической деятельности
Особенности содержания и функционирования учебной деятельности, в частности математической, могут быть поняты только в свете общего представления о человеческой деятельности. «Под деятельностью человека понимаются все мыслимые формы его взаимодействия с природой и обществом в материальной и духовной сферах» [21, с. 52].
Основы психологической теории деятельности разрабатывались БХ.Ананьевым [5], Л.С.Выготским [40], А.В.Запорожцем [69], АЛЛеонтьевым [99,100], С Л.Рубинштейном [140] и др. В систему психологических знаний были введены такие взаимосвязанные понятия, как «совместная деятельность», «индивидуальная деятельность» и «предмет деятельности». При этом, по словам А.Н.Леонтьева, предмет понимается не как объект, существующий сам по себе и воздействующий на субъекта, а как «... то, на что направлен акт,... то есть как нечто, к чему относится живое существо, как предмет его деятельности - безразлично, деятельности внешней или внутренней» [100, с. 169].
На основе теории отражения деятельность рассматривается как процесс, в котором происходит переход отражаемого в отражение (переход предмета в образ). Одним из основных методов изучения процессов возникновения и развития психического отражения, проведенного А.Н.Леонтьевым и его последователями, стал анализ изменений во внешней предметной деятельности, опосредствующий связь объекта с реальным миром: «Деятельность - это не реакция и не совокупность реакций, а система, имеющая строение, свои внутренние переходы и превращения, свое развитие» [99, с. 82].
Согласно А.Н.Леонтьеву, структура деятельности имеет следующие элементы: потребность, мотив, цель, условия достижения цели, действия, операции. Особое внимание обращено на изменение и трансформацию структуры деятельности в процессе ее осуществления: «Деятельность представляет собой процесс, который характеризуется постоянно происходящими трансформациями. Деятельность может утратить мотив, вызвавший ее к жизни, и тогда она превращается в действие, реализующее, может быть, совсем другое отношение к миру, другую деятельность; наоборот, действие может приобрести самостоятельную побудительную силу и стать особой деятельностью; наконец, действие может трансформироваться в способ достижения цели, в операцию, способную реализовать различные действия» [99, с. ПО].
Для каждого периода жизни человека выявлен тип ведущей деятельности.
Для школьного возраста выделены следующие: учебная деятельность (от 6 до 10 лет); общественно-полезная деятельность (от 10 до 15 лет); учебно-профессиональная деятельность (от 15 до 17-18 лет). Учебная деятельность включается в последние. два типа деятельности [54, с. 61-62]. В.В.Давыдов выделяет следующие структурные элементы учебной деятельности: учебно-познавательные потребность и мотив, учебную задачу, соответствующие действия и операции [54, с. 42].
К учебно-познавательным мотивам Д.Б.Эльконин относит только те, которые непосредственно связаны с содержанием учебной деятельности и направлены на приобретение обобщенных способов действий, мотивы собственного роста, собственного совершенствования. Формирование различных видов учебной деятельности, которые включают в себя и систему знаний, происходит при решении учебных задач. «Учебная задача, - считает Д.Б.Эльконин, - это не просто задание, которое выполняет ученик на уроке или дома. Прежде всего, это не одно задание, а целая их система. В результате решения системы заданий открываются и осваиваются наиболее общие способы решения относительно широкого круга вопросов в данной научной области» [185, с. 47]. Учебная задача решается путем выполнения следующих учебных действий:
- преобразование условия задачи для нахождения всеобщего отношения изучаемого объекта;
- моделирование выделенного отношения;
- преобразование модели отношения для изучения его свойств;
- построение частных задач, решаемых общим способом;
- контроль за выполнением предыдущих действий;
- оценка усвоения общего способа решения.
Каждое из действий состоит из соответствующих операций, которые определяются условием задачи.
Психологи исследовали различные аспекты деятельности, в том числе и учебной.
Так, НА.Менчинская и Д.Н.Богоявленский [23] исследовали роль аналитико-синтетичеекой деятельности, сравнений, ассоциаций, обобщения, опирающихся на конкретные данные, а также значение самостоятельного поиска признаков усваиваемых понятий и способов решения новых типов задач в процессе усвоения.
П.Я.Гальперин и Н.Ф.Талызина [41] разработали этапы усвоения знаний. В соответствии с их взглядом усвоение новых действий должно проходить пять этапов: предварительное ознакомление с действием, с условиями его выполнения; формирование действия в материальном (или материализованном с помощью моделей) виде с развертыванием всех входящих в него операций; формирование действия как внешнеречевого; формирование действия с проговариванием отдельных элементов этого действия про себя; формирование действия как внутреннего, умственного. На каждом из этапов происходят 15 качественные изменения и в ориентировочной, и в контрольной, и в исполнительной частях действия.
Психолого-дидактический аспект понятий «задача» и «сюжетная задача»
Несмотря на то, что решение задач имеет опыт нескольких столетий и методика решения задач выделилась в специальную дисциплину, понятия «задача», «сюжетная задача», классификация задач имеют различные трактовки и различные подходы. Значительный вклад в теорию задач внесли: Г.А.Балл [13, 14, 15], И.Ганчев [44, 45], Л.Л.Гурова [52], Ю.М.Колягин [80, 81, 82], В.И.Крупич [89, 91, 92], И.Я.Лернер [103], А.М.Матюшкин [107], ДЛойа [133], Г.И.Саранцев [144], А.М.Сохор [151], А.А.Столяр [152], Л.М.Фридман [171, 172]и др.
В этих исследованиях ставятся и решаются кардинальные вопросы постановки задач, их структуры, методики обучения решению задач и обучения математике через задачи, а также типологии задач.
В психологических исследованиях понятие «задача» рассматривается как объект мышления. В процессе решения задачи мышление проявляет себя как особая деятельность. При этом появляется возможность описывать и проектировать деятельность субъекта как систему процессов решения разнообразных задач.
«Поскольку задачу можно рассматривать как некоторую особую форму познания действительности, - пишет К.А.Славская, - она сама выступает, прежде всего, как объект детерминирующий процесс мышления человека» [148, с. 211].
В работе «Детерминация процесса мышления», КА.Славская, раскрывая сущность принципа детерминизма, отмечает: «принцип детерминизма исходящий из того, что внешние причины действуют через внутренние условия, устанавливает определенное соотношение внешних и внутренних условий любого явления, процесса; он выступает как общий методологический принцип исследования в любой области знания, в любой науке» [148, с. 175].
Принцип детерминизма лежит в основе построения теории задач, так как задача как объект мыслительной деятельности, ее условия и требование являются той причиной, которая направляет мыслительный процесс на глубокое познание объекта, на раскрытие внутренних условий существования объекта (задачи).
Г.А.Балл [14] отмечает, что термин задача употребляется в психологической и педагогической литературе для обозначения объектов, относящихся к трем категориям:
1)к категории цели действия субъекта, требования, поставленного перед субъектом;
2) к категории ситуации, включающей наряду с целью условия, в которых она должна была быть достигнута;
3) к категории словесной формулировки этой ситуации.
Г.А.Балл считает, что в психологической литературе наиболее распространено употребление термина «задача» для обозначения объектов второй категории. Причем термин «проблемная ситуация», широко используемый для объектов этой категории, он считает целесообразным для обозначения только некоторого класса этих объектов.
Объекты первой категории можно обозначить терминами «цель действия» или «требование задачи». Определение задачи, данное А.Н.Леонтьевым, может быть отнесено к этой категории. Как пишет А.Н.Леонтьев, задача - это «цель, данная в определенных условиях» [101, с. 360]. Эта мысль конкретизируется в формулировке Я.АЛономарева «задача есть ... ситуация, которая определяет действия субъекта, удовлетворяющего потребность путем изменения ситуации» [134, с. 111].
Для объектов третьей категории вполне подходит термин «формулировка» задачи.
Предложенный Г.А.Баллом ряд определений, конечно же, не охватывает все точки зрения на понятие задачи. Примером наиболее широкой трактовки понятия задачи является определение, данное Я.А.Пономаревым, как «состояние возмущения взаимодействующей системы, как состояние ее неуравновешенности» [134, с. 90].
Специальное внимание в психолого-педагогической литературе уделяется рассмотрению вопроса о задачах и проблемных ситуациях. Анализ работ по психологии мышления показывает, что существенным в данной области знаний является соотношение поцятия «проблемная ситуация» и «задача».
Л.М.Фридман определяет задачу как «всякую знаковую модель проблемной ситуации», считая понятие проблемной ситуации исходным. Л.М.Фридман [172, с. 54-55] четко различает понятие задачи и проблемной ситуации по следующим признакам:
1) проблемная ситуация существует реально, вне зависимости от какого-то языка, а задача всегда связана с языком, на котором она изложена;
2) проблемная ситуация всегда богаче содержанием, чем задача, ибо задача - это модель ситуации, отражающая лишь некоторые ее стороны;
3)для каждой проблемной ситуации существует одна или несколько задач, которые могут отличаться друг от друга как совокупностью представленных в них свойств ситуации, так и языком, на котором задача выражена.
Л.Л.Гурова не проводит жесткой границы между понятиями «задача» и «проблемная ситуация». Однако при этом имеется в виду, что и то, и другое понятия имеют два значения: «задача (так же, как и проблемная ситуация) может рассматриваться объективно, в своей логической характеристике безотносительно к тому, занялся ли кто-либо ее решением, может существовать в мышлении субъекта» [52, с. 315].
Сравнительная характеристика сложности решений сюжетных задач в учебниках алгебры для седьмого класса
Особенность сюжетной задачи как системы проявляется в ее структуре и «поведении»: чем сложнее структура задачи, тем сложнее познавательная и практическая деятельность человека в процессе ее решения [89, с. 13]. Поэтому изучение структуры задачи и структуры ее решения, а также систематизация задач на этой основе имеет важное дидактическое значение.
Анализ сюжетных задач по сложности их решения проведем в следующих учебниках;
1. Ш.А.Алимов, Ю.И.Колягин и др. [1].
2. Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк и др. [2].
3. К.С.Муравин, Г.К.Муравин [3]. Результаты представлены на диаграммах.
По данным диаграммам можно сделать следующие выводы:
1. Наибольшее количество задач имеют сложность решения 32 в учебнике 1 и 3; 16 - в учебнике 2.
2. В анализируемых учебниках достаточно много задач со сложностью решения 16, 22, 32,40,42, 52.
3. Задача наибольшей сложности решения (а = 152) представлена в учебнике 1.
Проведем структурный анализ решений сюжетных задач в учебниках алгебры для седьмого класса с целью выявления различных структур решений задач, имеющих одинаковую сложность решения.
При рассмотрении структур решений ограничимся задачами трех сюжетов: на движение, на работу и на стоимость.
Приведем примеры структур решений задач, имеющих сложность решения а = 16.
Приступая к разработке методики обучения решению сюжетных задач с применением графовых моделей, мы исходим из концепции деятельностного подхода в обучении математике. Основная цель, которую мы ставим перед собой, состоит в том, чтобы сформировать обобщенный подход к решению сюжетных задач, активизировать математическую деятельность учащихся, используя графовое моделирование в качестве средства обучения.
Одним из основных факторов, определяющих дидактическую ценность того или иного средства обучения, является степень согласованности его содержания с содержанием изучаемого учебного материала, с выполнением того вида деятельности, который составляет непосредственный объект усвоения учащимися [59, с. 266]. Применительно к использованию графовых моделей в процессе обучения решению сюжетных задач это означает, что ощутимый методический эффект их применения может быть получен при условии, что их построение не будет превращаться в самоцель: основное назначение моделей должно состоять не в том, чтобы выполнять роль одного из элементов оформления решения задачи, а в том, чтобы способствовать формированию и развитию у школьников умений рассуждать, анализировать, обобщать, сравнивать, устанавливать отношения, находить путь решения.
Добиться этого можно, если графовая модель будет строиться не изолированно, а естественно включаться в процесс решения задачи, не создавая при этом дополнительных трудностей для обучаемых. В свою очередь, выполнение этого условия может быть достигнуто в том случае, если учащиеся будут соответствующим образом подготовлены. Задачи с простой структурой -это учебный материал, позволяющий сформировать у школьников потребность Щ в проведении тщательного анализа задачи, познакомить их с основными теоретическими сведениями, привить элементарные навыки моделирования.
