Содержание к диссертации
Введение
Глава I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РАЗВИТИЯ ЛОГИЧЕСКОГО И ЭВРИСТИЧЕСКОГО МЫШЛЕНИЯ УЧАЩИХСЯ В ПРОЦЕССЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 11
1.1. Понятие эвристики и логики
1.2. Цели обучения математике в общеобразовательной школе 17
1.3. Сущность и особенности эвристического и логического мышления 20
1.4. Возрастные особенности развития детского мышления 33
1.5. Задачи в обучении математике 42
1.6. Эвристическая составляющая учебной деятельности 47
1.7. Классификация эвристик 51
1.8. Эвристика как обратная сторона логики 59
Выводы по главе I 64
Глава II. РАЗВИТИЕ ЛОГИЧЕСКОГО И ЭВРИСТИЧЕСКОГО МЫШЛЕНИЯ УЧАЩИХСЯ В ПРОЦЕССЕ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ ПОСРЕДСТВОМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ ЗАКОНОВ ЛОГИКИ СОЮЗОВ 66
2.1. Эвристические возможности законов логики союзов и методика их реализации в процессе обучения математике 66
2.2. Элективный курс «Законы логики союзов и их применение для решения задач» 111
2.3. Результаты педагогического эксперимента 150
Выводы по главе II 168
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 170
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 172
ПРИЛОЖЕНИЕ 1 186
ПРИЛОЖЕНИЕ 2 188
- Понятие эвристики и логики
- Сущность и особенности эвристического и логического мышления
- Эвристические возможности законов логики союзов и методика их реализации в процессе обучения математике
Введение к работе
Одной из особенностей образования на современном этапе является усиление внимания к ученику. В связи с этим в определении целей образования учитываются не только потребности общества, но и потребности личности, что проявляется в двух аспектах характеристики целей: социальном, отражающем требования общества к образованию; и личностном, заключающемся в определении целей образования с позиции становления личности. Поэтому целью современного образования является предельно полное развитие тех способностей личности, которые нужны и ей и обществу, включение ее в социально ценную активность; обеспечение возможностей эффективного самообразования и за пределами образовательных систем [9, с. 3].
В связи с этим одной из приоритетных целей образования является интеллектуальное развитие учащихся. Весьма важную роль в этом развитии играет математическое образование, так как изучение математики вносит заметный вклад в умственное развитие человека, поскольку математика, как заметил ещё Дж. В. А. Юнг, даёт наиболее типичные, отчётливые и простые примеры приёмов мысли, представляющие исключительную важность для каждого, причём никакой другой учебный предмет не может сравниться с ней в этом отношении1.
В настоящее время точной формулировкой этих приёмов мысли занимается математическая логика. Отсюда может возникнуть мысль о включении в курс математики средней школы элементов математической логики. В явном виде это вряд ли возможно, ибо строгое изложение соответствующего фрагмента математической логики отличается высокой сложностью и требует привлечения обширных сведений о языке, понятиях предложения, высказывания, истинности-ложности, высказывательной схемы и т.д. Поэтому решение проблемы развития логического мышления школьников, как подчеркнул А. А. Столяр, «состоит не в том, чтобы изучать специально и обособленно логику, а в том, чтобы необходимые элементы логики стали неотъемлемой частью самого пре-
1 Юнг Дж. В. А. Как преподавать математику? - М.: Госиздат, 1911. - С. 12.
4 подавання математики - важным вспомогательным инструментом, повышающим эффективность обучения и влияющим на логическое развитие» [125, с. 20].
Каким же образом, не изучая специально и обособленно логику, сделать её «важным вспомогательным инструментом, повышающим эффективность обучения и влияющим на логическое развитие»? Решение подсказывает идея Г. И. Саранцева о единстве эвристического и логического, реализованная им при изучении проблемы обучения доказательствам. Развивать логическое мышление с помощью эвристического, развивая, тем самым, и эвристическое мышление, - таков замысел нашего исследования. При этом мы ограничились рассмотрением лишь той части проблемы развития логического мышления, которая связана с логическими союзами; для аналогичного рассмотрения проблем, связанных с кванторами, требуется, на наш взгляд, отдельное исследование. А поскольку общепризнанно, что для развития мышления важнейшим средством является решение задач, именно задачи и были выбраны в качестве средства решения проблемы исследования, которая, в соответствии со всем сказанным выше, формулируется следующим образом: разработать теорию и методику развития эвристического и логического мышления в их единстве в процессе обучения математике посредством решения задач с помощью законов логики союзов.
Проблеме формирования и развития логического и/или эвристического мышления посвящены работы многих отечественных и зарубежных психологов и педагогов: А. В. Брушлинского, Л. С. Выготского, П. Я. Гальперина, В. А. Гусева, А. 3. Зака, Ю. М. Колягина, В. И. Крупича, В. А. Крутицкого, Ю. Н. Кулюткина, А. Н. Леонтьева, И: Я. Лернера, А. М. Матюшкина, Я. А. Пономарева, Г. И. Саранцева, А. А. Столяра, Ж. Адамара, Г. Биркгофа, Дж. Брунера, К. Дункера, Д. Пойа, А. Пуанкаре и других.
Логические проблемы обучения математике в школе и вузе изучали мно
гие крупные отечественные и зарубежные математики и педагоги:
В. И. Арнольд, В. Г. Болтянский, А. В. Гладкий, Б. В. Гнеденко, Г. В. Дорофеев,
Л. А. Калужнин, А. Н. Колмогоров, Л. Д. Кудрявцев, И. Лакатос,
5 В. Л. Матросов, А.И.Маркушевич, И. Л. Никольская, Г. И. Саранцев,
A. А. Столяр, В. А. Успенский, Л. М. Фридман, А. Я. Хинчин, Ф.Клейн,
Д. Пойа, Г. Фройденталь и др.
Важный вклад в исследование рассматриваемых проблем внесли работы
Е. М. Вечтомова, Т. П. Григорьевой, С. Н. Дорофеева, И. В. Егорченко,
М. И. Зайкина, Т. А. Ивановой, В. И. Игошина, М. М. Кипниса,
Л. М. Курдюмовой, Ю. А. Моторинского, А. X. Назиева, Л. М. Наумовой,
Н. Н. Непейводы, Б. Д. Пайсона, М. А. Родионова, Е. Е. Семёнова,
B. А. Тестова, И. Л. Тимофеевой, Р. А. Утеевой и др.
Однако, несмотря на большое количество и несомненную важность этих и других работ, теория и методика формирования эвристического и логического мышления в их единстве остаются ещё в значительной степени неразработанными. Это свидетельствует об актуальности проблемы исследования.
Цель исследования: теоретически обосновать и экспериментально подтвердить возможность и эффективность развития логического и эвристического мышления учащихся в их единстве посредством решения математических задач с привлечением эвристик, подсказанных законами логики союзов.
Объект исследования: процесс обучения математике учащихся общеобразовательных школ, ориентированный на развитие логического и эвристического мышления школьников.
Предмет исследования: влияние на развитие эвристического и логического мышления школьников учебной деятельности по решению задач с привлечением на эвристическом уровне законов логики союзов.
Гипотеза исследования: Если выявить основные законы логики союзов, следование которым необходимо для успешного овладения школьной математикой, и разработать методику вовлечения школьников в эвристические рассуждения, напоминающие применение этих законов, в процессе решения специально составленных задач, то обучение по этой методике будет способствовать развитию как эвристического, так и логического мышления школьников.
Для достижения поставленной цели и проверки гипотезы нами были сформулированы и решены в ходе исследования следующие задачи:
выявить сущность и особенности логического и эвристического мышления и обосновать необходимость целенаправленной работы учителя по формированию логических и эвристических качеств мышления учащихся в процессе обучения математике;
раскрыть значение логических и эвристических мыслительных операций на каждом этапе решения задачи;
проанализировать существующие подходы к классификации эвристик; выявить эвристические возможности законов логики союзов;
составить перечень основных законов логики союзов, следование которым необходимо для успешного овладения школьной математикой;
разработать типологию задач, с помощью которых целесообразно развивать эвристическое и логическое мышление школьников в процессе обучения математике, и подобрать или составить соответствующие задачи;
разработать методику вовлечения школьников в эвристические рассуждения, напоминающие применение законов логики союзов, в процессе решения математических задач, строгое решение которых потребовало бы явного применения этих законов;
разработать элективный курс, в содержание которого будут включены задачи, требующие для своего решения знание основных законов логики союзов и их применение в качестве эвристик;
экспериментально проверить эффективность разработанного элективного курса в учебной работе с учащимися одиннадцатых классов.
Методологическую основу исследования составили:
психологические исследования мышления (М. Вертгеймер, Л. С. Выготский, А. М. Матюшкин, Я. А. Пономарев, О. К. Тихомиров и др.) и педагогические (П. П. Блонский, В. И. Загвязинский, В. П. Зинченко, М. И. Махмутов, М. Н. Скаткин и др.);
теория деятельностного подхода в обучении (П. Я. Гальперин, В. В. Давыдов, А. Н. Леонтьев, С. Л. Рубинштейн, Н. Ф. Талызина и др.);
теория личностно-ориентированного подхода в обучении (Е. В. Бондаревская, В. В. Сериков, В. Д. Шадриков, И. С. Якиманская и др.);
- теория развивающего обучения (Л. С. Выготский, Т. А. Иванова
Н. А. Менчинская, X. Ж. Танеев и др.);
теория проблемного обучения (И. Я. Лернер, А. М. Матюшкин, М. И. Махмутов и др.);
теоретические основы педагогической эвристики (В. И. Андреев, Ю. Н. Кулюткин, В. Н. Соколов, А. В. Хуторской и др.);
исследования педагогов и математиков посвященные проблеме выявления и использования эвристик в процессе обучения математике (Ю. Н. Кулюткин, А. X. Назиев, Д. Пойа, В. Н. Пушкин, Г. И. Саранцев, X. Ж. Танеев, И. Л. Тимофеева, Л. М. Фридман, Б. Больцано, Р. Декарт, Б. Паскаль, А. Пуанкаре и др.).
Для решения поставленных задач использовались методы педагогического исследования:
1) Методы подготовки и организации исследования:
теоретический анализ психолого-педагогической и научно-методической литературы по проблеме исследования, учебных программ и стандарта школьного математического образования;
изучение и обобщение педагогического опыта по развитию логического и эвристического мышления учащихся в процессе решения задач;
проведение педагогического эксперимента.
2) Методы сбора эмпирических данных:
непосредственное наблюдение учебного процесса;
беседа с учителями и учащимися, анализ ученических работ;
анализ и обобщение опыта работы учителей;
проведение контрольных работ с целью диагностики уровня развития у школьников логического и эвристического мышления.
3) Метод обработки и интерпретации данных:
- сравнительно-сопоставительный анализ.
Организация исследования: Исследование проводилось в три этапа: На первом этапе (2005-2007 гг.) осуществлялся сбор, обобщение и анализ психолого-педагогической и методической литературы по проблеме исследова-
8 ния; определена гипотеза исследования; составлен общий план исследования;
разработан и проведён констатирующий этап эксперимента.
На втором этапе (2006-2007 гг.) проведен поисковый эксперимент - выявлены новые действенные эвристические и логические средства развития мышления школьников; подобраны задачи для демонстрации эффективности предложенных средств развития мышления; разработан элективный курс «Законы логики союзов и их применение для решения задач», включающего в себя все основные идеи, полученные на данном этапе эксперимента.
На третьем этапе (2007-2008 гг.) осуществлялся формирующий и контролирующий эксперимент - проведено обобщение и анализ полученных экспериментальных данных, сделаны соответствующие уточнения теоретических и методических положений исследования, подведены итоги, выполнено литературное оформление диссертации.
Научная новизна исследования заключается в том, что в нём впервые:
проблема развития эвристического и логического мышления старшеклассников решается в единстве эвристического и логического на основе реализации эвристического потенциала законов логики союзов;
составлен упорядоченный перечень необходимых элементов логики союзов, овладение которыми является важным вспомогательным инструментом, повышающим эффективность обучения математике и влияющим на эвристическое и логическое развитие учащихся;
разработана методика обучения школьников эвристическим рассуждениям, основанным на законах логики союзов, при решении школьных математических задач, абсолютно строгое решение которых потребовало бы явного применения этих законов.
Теоретическая значимость исследования заключается в том, что:
- обоснована возможность развития эвристического и логического мыш
ления школьников в их единстве посредством эвристических рассуждений, на
поминающих применение законов логики союзов;
выявлены уровни и типы задач, в процессе решения которых по разработанной в исследовании методике эффективно развиваются эвристическое и логическое мышление школьников в их единстве;
выявлены новые эвристические возможности законов логики союзов и доказана эффективность их использования для решения задач с целью развития логического и эвристического мышления учащихся в процессе обучения математике.
Практическая значимость исследования обусловлена тем, что в нём:
- составлены задачи для каждого типа и уровня разработанной нами ти
пологии, предложенная методика их решения может быть использована други
ми учителями в их практической деятельности;
- на этой основе разработан элективный курс «Законы логики союзов и
их применение для решения задач», эффективность которого в плане развития
логического и эвристического мышления школьников подтверждена экспери
ментально. Данный элективный курс может служить элементарным введением
в математическую логику для самих учителей, которые в последствии могут
организовывать аналогичную работу по решению задач с использованием зако
нов логики союзов непосредственно на уроках математики.
Достоверность и обоснованность проведенного исследования, его результатов и выводов обусловлены четкостью методологических, математических, историко-математических, психолого-педагогических и методических позиций; логической непротиворечивостью проведенных рассуждений и выводов, их согласованностью с концепциями базисных наук и принципиальным соответствием основным результатам других исследований.
Апробация и внедрение результатов исследования осуществлялось на элективных занятиях в средних общеобразовательных школах № 1 и № 2 поселка Лесной Шиловского района Рязанской области. Основные положения и результаты исследования докладывались на аспирантских научно-методических семинарах, организованных при кафедре математического анализа Рязанского государственного университета имени С. А. Есенина (2006-2007 гг.), на заседаниях методического объединения учителей математики Лес-
10 новских средних общеобразовательных школ № 1 и № 2 (2007-2008 гг.), на научно-практической конференции Воронежской зимней математической школы С. Г. Крейна ВЗМШ-2008, а также на межрегиональном семинаре «Преподавание математики в профильной школе» (г. Рязань, 2008 г.).
Результаты исследования отражены в 8 публикациях, список которых приведён в конце автореферата.
На защиту выносятся следующие положения:
Развитие эвристического и логического мышления школьников в процессе обучения математике следует осуществлять посредством вовлечения их в эвристические рассуждения, основанные на законах логики союзов.
Эффективным средством развития эвристического и логического мышления школьников в их единстве является решение математических задач с применением эвристик, основанных на законах логики союзов. Эти задачи должны образовывать систему, соответствующую разработанной в исследовании типологии задач и основанную на выделенных логических и эвристических умениях школьников, связанных с законами логики союзов.
Элективный курс «Законы логики союзов и их применение для решения задач» позволяет обобщить и систематизировать навыки работы с логическими союзами и, тем самым, повысить уровень логического и эвристического мышления школьников, достигнутый на предыдущих этапах обучения.
Структура диссертации: Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы и приложений.
Понятие эвристики и логики
Термин «эвристика» (от греч. «heuresko» — «нахожу», «отыскиваю», «открываю») ввел в III веке н. э. древнегреческий математик Папп Александрийский. Он объединил под ним отличные от логических математические методы. В дальнейшем большой вклад в развитие представлений об эвристиках внесли Р. Декарт, Г. В. Лейбниц, Дж. Пойа, А. Пуанкаре и многие другие.
В современной научной литературе понятию «эвристика» нет единого толкования. В Советском энциклопедическом словаре даются следующие определения эвристики: «1) специальные методы, используемые в процессе открытия (создания) нового (эвристические методы); 2) наука, изучающая продуктивное творческое мышление (эвристическую деятельность); 3) восходящий к Сократу метод обучения (майевтика)» [118, с. 1544]. Отдельно остановимся на каждом из перечисленных определений эвристики.
В первом значении термин «эвристика» «применяется в качестве родового названия целой группы специфических методов и приемов активизации творческого поиска, находящих свою реализацию: в техническом изобретательстве и проектировании, в принятии управленческих решений, в обучении самых различных категорий людей (студентов, руководителей разного уровня, воспитанников детских садов и т.д.) разноплановому содержанию (от иностранного языка до тонкостей переговорного процесса), в решении сложных слабоструктурированных проблем и во многих других областях» [120, с. 183-184].
В психолого-педагогической литературе нет единого толкования понятия эвристического приема - эвристики. По мнению Ю. Н. Кулюткина, эвристики -это «метаспособы, с помощью которых отыскиваются конкретно-содержательные способы решения» [69, с. 8]. В. Ф. Спиридонов, исходя из положений культурно-исторического подхода, определил эвристики «как социо 12 культурный опыт творческой мысли, присвоение которого в ходе онтогенеза приводит к становлению развитых форм процессов решения» [120, с. 193]. По мнению В. И. Андреева, эвристики - это такие общедидактические приемы, целенаправленное применение которых активно формирует у учащихся стратегии рационального поиска отдельных этапов решения учебных проблем, учебно-исследовательских задач [4]. О. К. Тихомиров под эвристиками понимает специальные функциональные механизмы, с помощью которых осуществляется управление течением поиска, а их смена представляет преодоление «познавательно-психологического барьера» — характерной черты наиболее сложных форм творческой деятельности [137]. В ряде исследований [104] под эвристическими приемами понимают также такие приемы, которые человек сформировал у себя в ходе решения одних задач и более или менее сознательно переносит их на другие задачи. Мы же вслед за Г. И. Саранцевым будем понимать под эвристикой «всякий способ, применение которого может привести к отысканию нужного метода решения задачи или доказательства теоремы» [109, с. 106].
Во втором значении термин «эвристика» применяется в качестве названия науки, изучающей продуктивное творческое мышление (эвристическую деятельность). Эвристика, как единственная научная дисциплина, целиком посвященная феномену эвристики, возникла на рубеже 1950-1960-х годов на стыке таких наук как философия, кибернетика, психология и педагогика. Создатели этого комплексного исследовательского направления (А. Ньюэлл, Дж. Шоу, Г. Саймон, а так же В. Н. Пушкин, Д. А. Поспелов и др.) предполагали создать дееспособные модели творческого мышления человека, по своим разрешающим способностям намного превосходящие естественные аналоги. Основная форма реализации этих систем - специальные программы для ЭВМ, разработкой которых занималось эвристическое программирование.
В рамках данного подхода были получены определенные достижения, в частности была выявлена большая группа эвристических методов, а также расширена феноменология эвристических явлений. Однако к настоящему времени он исчерпал себя в силу объективных трудностей и ошибок [120]. На основополагающих идеях, закономерностях, классических методах и системах эвристического поиска науки эвристики основывается педагогическая эвристика, которая представляет собой самостоятельное научное направление. В. Н. Соколов определяет педагогическую эвристику «как дидактическое направление эвристики, которое изучает принципиальные закономерности построения новых для обучаемого действий в специально созданных новых учебных ситуациях для целенаправленного развития на их основе продуктивно-познавательных качеств мышления» [119, с. 66].
Кроме того, эвристику определяют как раздел психологии, изучающий природу мыслительных операций, главным образом продуктивное творческое мышление человека при решении задач (эвристическую деятельность).
В третьем значении термин «эвристика» применяется в качестве названия метода обучения. Этот метод применялся еще в Древней Греции Сократом и назывался тогда майевтикой (от греч. - акушерство, повивальное искусство) или сократической беседой. Структура этой беседы состоит из системы вопросов, наводящих обучаемого на правильное решение поставленной перед ним проблемы. Развивающий эффект такой вопросно-ответной формы обучения во многом зависит от мастерства педагога, цель которого — научить ученика самостоятельно задавать себе такие вопросы «про себя», без вмешательства со стороны учителя.
Впервые термин «эвристический метод обучения» ввел русский методист А. Я. Герд в 1860 году [5]. Об этом методе обучения в своих работах писали так же М. И. Демков, В. П. Вахтеров, К. В. Ельницкий, К. Д. Ушинский, Н. И. Пирогов. Н. И. Пирогов под эвристическим методом понимал «искусство делать логические наведения так, чтобы учащиеся незаметно и непринужденно доходили до сознательного ответа на заданный вопрос» [94]. Научную разработку эвристических методов обучения начал П. Ф. Каптерев. В своих работах он предлагает строить обучение в эвристической форме, «по которой научные законы, формулы, правила и истины открываются и вырабатываются самими учениками под руководством учителя» [60, с. 221]. П. Ф. Каптерев отмечает, что такая форма обучения неразрывно связана с наглядным обучением, «сооб 14 разна» детскому возрасту и является средством сильного возбуждения умственной самостоятельности. Однако, как отмечает Я. И. Груденов, существуют и недостатки применения этого метода, состоящие в следующем: метод требует больших временных затрат, чем при сообщении готовых знаний, поэтому в массовой школе с фиксированным числом часов, отводимых на математику, мало применим; метод не позволяет в полной мере учитывать индивидуальные различия учащихся, поскольку в обсуждении лишь часть учащихся способна принимать активное участие, а остальные, в силу своих психических особенностей, пассивны [31].
Далее перейдем к рассмотрению понятия традиционной и математической логики.
Ю. В. Ивлев, проанализировал исторический процесс развития традиционной и математической логики следующим образом: «Логика, основанная на учении Аристотеля, существовала до начала XX века. Она носит название традиционной формальной логики. В начале XX века в логике произошла своеобразная революция, связанная с широким применением методов символической, или математической, логики. Идеи последней высказаны немецким ученым Г. В. Лейбницем (1646-1716): «Единственное средство улучшить,наши умозаключения - сделать их, как и у математиков, наглядными, так, чтобы свои ошибки находить глазами, и, если среди людей возникает спор, нужно сказать: «Посчитаем!», тогда без особых формальностей можно будет увидеть, кто прав».
Идея Г. В. Лейбница о возможности и продуктивности сведения рассуждений к вычислениям в течение многих лет не находила развития и применения. Символическая логика начала создаваться лишь в середине XIX века. Ее развитие связано с деятельностью Дж. Буля, А. М. Де-Моргана, Ч. Пирса, Г. Фреге и других известных ученых. Значительный вклад в создание символической логики внесли русские ученые П. С. Порецкий, Е. Л. Буницкий и др.
Таким образом, к началу XX века символическая логика оформилась в качестве относительно самостоятельной дисциплины в рамках логической науки. Первым капитальным трудом по символической логике была работа Б.Рассела и А. Уайтхеда «Principia mathematica» (3 тома), вышедшая в 1910 15 1913 гг. Применение методов символической логики к решению проблем, поставленных традиционной логикой, а также проблем, которые даже не могли быть ею поставлены, вызвало в начале XX века революцию в логике. Именно использование методов символической логики отличают логику современную от традиционной. Вместе с тем в современной логике сохраняются все достижения и вся проблематика традиционной логики» [52, с. 9]. Однако, по мнению А. А. Столяра, в настоящее время «для анализа рассуждений нет надобности обращаться к громоздкому и несовершенному аппарату традиционной логики. Математическая логика разработала более совершенный и удобный аппарат» [122, с. 12]. Этой же точки зрения придерживаются Г. Иве и К. В. Ньюсом. Они обращают внимание на то, что даже сейчас большинство людей (неспециалисты) считают законы логики, открытые Аристотелем чем-то вечным, чем-то не допускающим альтернативы. «По общему убеждению, аристотелевы законы являются как бы частью мироздания и присущи самой природе человеческого мышления. Лишь в 1921 году с этим заблуждением было покончено...» [53, с. 24-25]. В заключение отметим, что по этому поводу пишет Алонзо Черч: .
«Ни одной из логических систем мы не приписываем характера единственности или абсолютной истинности. Понятия формальной логики были введены в науку в качестве абстракций, используемых для описания и систематизации опытных фактов; однако сами эти понятия не определяются вполне соответствующими практическим потребностями, и при окончательном их оформлении многое зависит от произвола ученого. Возьмем в качестве аналогии трехмерную геометрию... Поскольку геометрия строится с целью описания физического пространства, то тем самым, в известной мере, вырисовывается и характер абстрактных понятий геометрии, однако предполагаемые приложения не определяют этих понятий полностью. Следовательно, может существовать - и действительно существует - несколько геометрий, служащих для описания физического пространства.
Сущность и особенности эвристического и логического мышления
Б. М. Теплов определяет мышление как прогресс опосредованного и обобщенного познания действительности3. При этом «опосредованное» значит «производимое не на основе прямого контакта с объектом познания, а через посредство других предметов». «Обобщенное» значит «основанное на общих свойствах вещей, то есть на свойствах, относящихся к целой группе сходных предметов или явлений».
Существуют различные виды мышления. В данном диссертационном исследовании, в соответствии с его названием, мы уделяем основное внимание эвристическому и логическому мышлению, причем рассматриваем их как составляющие творческого мышления.
Уточним теперь, чем отличаются друг от друга творческое и продуктивное мышление. Творческое мышление характеризуется созданием субъективно нового продукта и новообразованиями в самой познавательной деятельности по его созданию, касающимися целей, мотивов, оценок и смыслов самой деятельности. В отличие от творческого мышления продуктивное мышление характеризуется объективной новизной продукта выполнения, то есть на уровне продуктивного мышления решаются проблемы и задачи, ранее никем не решенные. Таким образом, продуктивное мышление всегда является творческим.
Итак, результатом творческого мышления является новый продукт - открытие. При этом в каждом открытии присутствуют, по меньшей мере, две стороны: открываемый факт и его доказательство. Последнее объясняется тем, что всякая наука предназначена для познания истины, а истина неочевидна и потому должна быть обоснована. Правила обоснования разрабатываются в специальной дисциплине логике, которая ведает законами истинности. Мышление, осуществляемое в соответствии с законами логики, называется логическим мышлением. Для него характерны убедительные рассуждения, когда каждое по следующее умозаключение основывается на ранее сделанных, строго доказанных умозаключениях.
Важно отметить, что логическое мышление принимает непосредственное участие не только в доказательстве какого-либо факта, но зачастую наводит на его открытие. Причем «неожиданный» результат открывается, как правило, логическим путем. Именно так, например, Н. И. Лобачевский открыл неевклидову геометрию. Сначала он попытался доказать пятый постулат Евклида как теорему, затем выделил в геометрии Евклида все то, что не зависело от этого постулата и пришел к мысли доказать пятый постулат от противного, чтобы прийти к противоречию. Однако противоречия не обнаружилось, а была создана новая геометрическая система. Таким образом, с помощью цепочки логических рассуждений Н. И. Лобачевский совершил открытие в науке - доказал существование более чем одной «истинной» геометрии.
Теорема Банаха-Тарского о том, что шар единичного радиуса можно разрезать на несколько частей и переместить их в пространстве так, что получатся два шара с единичными радиусами, также представляет собой «неожиданный» результат, открытый логическим путем, так как изначально ученые собирались доказать, что этого сделать невозможно. В результате был получен ответ на вопрос: «Можно ли каждой фигуре присвоить объем, чтобы при параллельных переносах и поворотах этот объем сохранялся?» Оказалось, что нет.
Однако так происходит не всегда. Иногда открытию предшествуют некоторые предварительные, правдоподобные рассуждения. Они составляют эвристическое мышление. Иначе говоря, эвристическое мышление в отличие от логического мышления основано на правдоподобных рассуждениях, правилах, операциях и стратегиях. Его результатом являются идеи, гипотезы, догадки и вероятные факты. Однако это не умоляет его значения. Эвристическое мышление играет в процессе открытия роль не меньшую, чем логическое мышление. Об этом говорит даже этимология прилагательного «эвристический», которое означает «служащий для открытия». В общих чертах эвристическое мышление напоминает логическое. Различие состоит в оценке обоснованности окончательных выводов. Выводы, полученные в ходе логического мышления, носят окончательный характер. Тогда как выводы, полученные в ходе эвристического мышления, носят предварительный, правдоподобный характер, требующий проверки и подтверждения.
Рассмотрим пример открытия какого-либо факта с помощью эвристического мышления. Для этого вспомним, как Д. И. Менделеев открыл периодическую систему химических элементов. Ему пришла неожиданная мысль расположить химические элементы по возрастанию их атомных масс. Он проверил эту гипотезу на нескольких элементах и постепенно путем логических рассуждений пришел к окончательному выводу, что элементы, расположенные таким образом, обнаруживают явную периодичность физических и химических свойств. Таким образом, Д. И. Менделеев сначала составил периодическую систему химических элементов, а затем обосновал ее правомерность.
Аналогичным путем сделал открытие и Вейерштрасс. До него полагали, что всякая непрерывная функция всюду дифференцируема за исключением конечного числа точек. Вейерштрасс построил пример функции непрерывной на отрезке, которая не имеет производной ни в одной точке. Руководящим примером для него служил график функции у=\ х I. Тот факт, что она не имеет производной в нуле, связан с наличием излома графика. Вейерштрасс мысленно представил себе функцию, график которой имеет излом в каждой точке. А затем сумел построить такую функцию и логически доказать, что она обладает таким свойством.
Но эвристическое мышление участвует не только в процессе открытия какого-либо факта, оно имеет большое значение и при доказательстве этого факта. Дело в том, что вслед за «открытием» факта его доказательство не появляется само собой — его тоже нужно открывать. Об этом говорил в своих работах еще Д. Пойа: «... Вы должны догадаться о математической теореме, перед тем как ее докажете, вы должны догадаться об идее доказательства, перед тем как проведете его в деталях» [97, с. 388].
Эвристические возможности законов логики союзов и методика их реализации в процессе обучения математике
И. Л. Тимофеева предложила применять некоторые логические правила вывода в качестве эвристических средств, помогающих решать задачи [135].
Напомним: Правила вывода показывают, что если выполняются некоторые исходные предложения, то выполняются и некоторые другие предложения, определенным (указанным в правиле) образом связанные с исходными. Правила вывода делятся на правила введения и правила удаления связок и кванторов.
Таким образом, в процессе построения доказательств правила введения и правила удаления, используемые как эвристические средства, играют разную роль. И. Л. Тимофеева сформулировала рекомендации (советы) по применению каждого из рассмотренных ею правил вывода. «Каким именно правилом воспользоваться на том или ином шаге построения доказательства, зависит, прежде всего, от логической структуры доказываемого утверждения, а также от структуры допущений, возникающих в процессе рассуждения, и от структуры используемых определений и теорем» [135, с. 42-43]. При этом И. Л. Тимофеева отмечает, что при всей эвристичности правил вывода не стоит расценивать данные рекомендации как возможность создания алгоритма построения доказательств. «Приведенные рекомендации не содержат указаний по поводу того, в каком порядке использовать правила, когда делать шаги «снизу вверх», а когда «сверху вниз», какие определения привлекать и какие ранее доказанные теоремы использовать и т.п.» [135, с. 49-50]. Однако помочь при поиске и проведении доказательств эти рекомендации, безусловно, могут.
«При достаточном опыте построения доказательств нет необходимости каждый раз вспоминать о правилах вывода, поскольку развивается логическая интуиция, подсказывающая ход доказательства. Однако если требуется объяснить законность или ошибочность того или иного шага рассуждения, знание правил вывода окажет существенную помощь» [135, с. 49].
Рекомендации И. Л. Тимофеевой по использованию логических правил вывода для большей наглядности мы оформили в виде двух таблиц: «Правила введения логических связок» (таблица 5) и «Правіша удаления логических связок» (таблица 6). Таблицы имеют следующую струїстуру. В первом столбце перечислены соответствующие правила вывода в тех обозначениях, которые использовала И. Л. Тимофеева. Напротив каждого правила во втором столбце расположены советы (рекомендации) по их применению. Каждый совет проиллюстрирован на конкретных задачах, которые находятся в третьем столбце. Большинство задач взято из [83, 84]. Отметим, что в статье И. Л. Тимофеевой примеры приведены лишь к четырем правилам вывода из тринадцати.
Закон исключенного третьего
Как уже было сказано выше, Н. В. Садовников наделяет закон исключенного третьего эвристическими возможностями. Однако на практике он в этом качестве данный закон не применяет. Продемонстрируем здесь эвристические возможности закона исключенного третьего на одном из примеров, рассмотренных Н. В. Садовниковым по другому поводу.
Показания трех свидетелей Клода, Жака и Дика на допросе у следователя противоречили, и каждый из них обвинял кого-нибудь во лжи. Клод утверждал, что Жак лжет, Жак обвинял во лжи Дика, а Дик уговаривал следователя не верить ни Клоду, ни Жаку. Но следователь быстро вывел их на чистую воду, не задав им ни одного вопроса. Кто из свидетелей говорил правду?
Сначала приведем решение этой задачи, данное Н. В. Садовниковым.
«Для удобства решения обозначим показания свидетелей Клода, Жака и Дика соответственно через К, Ж и Д. Мы не знаем, какие из этих показаний истинны, а какие ложны, но из условия нам известно следующее:
1) Либо Клод сказал правду и тогда Жак солгал, либо Клод солгал, и тогда Жак сказал правду. Таким образом, имеет место логическое высказывание: КЛЖЧКЛЖ.
2) Либо Жак сказал правду, тогда Дик солгал, либо Жак солгал, и тогда Дик сказал правду. Получаем следующее высказывание: Ж л Д v Ж лД.
3) Либо Дик сказал правду и тогда Клод и Жак солгали, либо Дик солгал, тогда неверно, что оба других свидетеля солгали (т.е. хотя бы один из этих свидетелей сказал правду). На языке алгебры высказываний это можно записать следующим образом: Д л К л Ж v д л (Д v Ж).
Все условие задачи будет выполнено, если одновременно истинны все эти три логических выражения, т.е. истинна их конъюнкция:
Полученное логическое уравнение можно трактовать как математическую модель ситуации, описанной в задаче. До получения этого уравнения мы осуществляли первый этап математического моделирования, суть которого со 72 стоит в переводе задачи с исходного зыка на математический язык (точнее, на язык математической логики или еще точнее, теории высказываний).
На втором этапе математического моделирования осуществляем внутри-модельное решение полученного логического уравнения. Для этого необходимо с помощью законов булевой алгебры преобразовать левую часть нашего уравнения. В результате получаем простое логическое уравнение КлЖлД = \, левая часть которой представляет элементарную конъюнкцию. По определению конъюнкции в двузначной логике решениями уравнения будут: К = О, Ж = 1, Д = О. Это и есть результат внутримодельного решения.
На третьем этапе математического моделирования осуществляем обратный перевод нашей задачи с языка математической логики на исходный язык.
Полученное решение логического уравнения означает, что верно только высказывание Жака. Ответ: Жак сказал правду» [108, с. 310-312].
Решение данной задачи можно значительно сократить и упростить, если все же применить закон исключенного третьего в качестве эвристики. Сформулируем данный закон и продемонстрируем его эвристические возможности.
