Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ СОЗДАНИЯ УСЛОВИЙ ДЛЯ ПОНИМАНИЯ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКИ НА ПРАКТИКУМЕ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ 13
1. Анализ состояния знаний по элементарной математике студентов математических факультетов педагогических вузов 13
2. Понимание как один из путей снижения формализма знаний 25
3. Качественные задания - методическое средство создания условий для понимания математики , 40
ГЛАВА II. МЕТОДИКА ИСПОЛЬЗОВАНИЯ КАЧЕСТВЕННЫХ ЗАДАНИЙ ПРИ ИЗУЧЕНИИ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКИ (НА ПРИМЕРЕ ТЕМЫ "КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ") 68
4. Особенности процесса изучения темы "Квадратичная функция" на практикуме по решению задач 68
5. Разработка содержания темы "Квадратичная функция" с использованием качественных заданий для проведения занятий практикума по решению задач 79
6. Результаты опытной проверки гипотезы исследования 103
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 118
ЛИТЕРАТУРА 121
- Анализ состояния знаний по элементарной математике студентов математических факультетов педагогических вузов
- Понимание как один из путей снижения формализма знаний
- Особенности процесса изучения темы "Квадратичная функция" на практикуме по решению задач
Введение к работе
Вопросы совершенствования профессиональной подготовки будущего специалиста в высшей школе, в том числе и учителя, были и остаются одними из приоритетных задач отечественной методической теории и практики.
Вузовская подготовка будущего учителя математики имеет несколько направлений: математическое, психолого-педагогическое, методическое, общеобразовательное и др., что находит отражение в учебных планах математических факультетов педагогических вузов 40].
Содержание математической подготовки, хотя и с долей условности, может быть разделено на две части: высшая математика и элементарная математика. Если на цикл предметов высшей математики имеется определенный устоявшийся взгляд, то цели и место изучения элементарной математики в педвузе длительное время являются предметом научно-методических дискуссий. Еще в 50-е годы шла полемика [3; 13; 61; 71; 90] о сроках, содержании и формах изучения элементарной математики и путях совершенствования этого процесса.
В продолжение многих лет в учебном плане математических факультетов стоял предмет "Практикум по решению задач", состоящий из четырех частей: практикумы по алгебре, тригонометрии, геометрии и практикум по решению задач повышенной трудности. Были разработаны соответствующие программы [54; 72; 73]. При переходе на новые учебные планы практические занятия по решению задач дополнились лекционным курсом по элементарной математике, что нашло отражение и в названии предмета - "Элементарная математика и практикум по решению задач".
Но обычно перестройка учебных планов, изменения в содержании дисциплины не влекут за собой кардинального изменения в результатах обучения выпускников математических факультетов педвузов: их знания по элементарной математике по-прежнему остаются в значительной степени формальными, бездейственными, что проявляется при решении пусть и несложных, но нестандартных математических задач. Мы считаем, что при построении курса элементарной математики в педвузе нужно учитьтать не только содержательный аспект, но и психологические особенности усвоения студентами предполагаемого учебного материала, использовать средства "оживления" знаний.
В настоящее время обсуждаются требования к математической подготовке различных групп учащихся и студентов. Выпускники математических факультетов педвузов - будущие специалисты, для которых математика, и особенно элементарная, - предмет последующей профессиональной деятельности, ее нужно усвоить на неформальном уровне, с пониманием. Понимание элементарной математики - это фундамент профессиональной деятельности учителя математики, обеспечивающий возможность самостоятельной продуктивной деятельности, особенно в нынешних условиях частой смены базовых учебников и дифференциации обучения в средней школе.
Процесс понимания состоит в установлении и осознании субъектом связей между элементами знаний. Объектом понимания могут быть как имеющиеся у субъекта знания, так и приобретаемые. Вскрытые и осознанные связи математических объектов являются свидетельством достижения субъектом состояния понимания математики. При достигнутом понимании математической ситуации она представляется как целостность, как единое. Подобное видение объектов позволяет более эффективно решать математические задачи: выявлять целесообразный ракурс при анализе их условия, отыскивать новые, в т.ч. рациональные, способы решения. Расширение сферы применимости знаний есть выражение повышения их действенности.
Бытует мнение [70], что студент, прослушавший в течение нескольких семестров лекции по высшей математике, настолько повышает свою математическую культуру, что без особого труда начинает решать многие задачи из школьного курса, которые раньше ему были недоступны. Мы согласны с высказанной М.В. Потоцким мыслью в той части, что изучение высшей математики расширяет представления студентов о математической науке, способствует формированию научного мировоззрения, допускаем возможность описанного влияния на отдельных студентов, но вместе с тем выражаем значительные сомнения в массовости описанного явления. И данные наших коллег, и наши собственные свидетельствуют о его единичности.
Имеются два основных пути усвоения математики: с преобладанием опоры на запоминание и с преобладанием опоры на понимание. Первый путь приводит к появлению формальных, статичных, бездейственных, "мертвых" знаний. Второй путь - путь рождения и развития "живых", действенных, неформально усвоенных, переносимых в новые ситуации знаний. Отсутствие методики изучения элементарной математики в высшей педагогической школе, ориентированной на понимание, и потребность в ней обуславливают актуальность настоящего исследования.
Объектом нашего исследования является процесс изучения элементарной математики студентами педвуза.
Основной действующий в настоящее время принцип построения практических занятий по элементарной математике - охват максимально возможного объема содержания в соответствии с отводимым учебным временем. При таком подходе знания подавляющего большинства студентов имеют заведомо поверхностный, неглубокий характер, а их действия при решении задачи сводятся к припоминанию похожей решенной ранее задачи.
Для понимания математики необходимо в ходе изучения ее реализовать процедуры, входящие в операционный состав понимания. Степень и глубина реализации их находят свое отражение в уровне понимания как результате соответствующего процесса. Проблема настоящего исследования заключается в поиске методических средств, создающих условия для понимания студентами элементарной математики.
Глубина, действенность, прочность и другие качества знаний по математике определяются в значительной степени пониманием субъектом изучаемого материала. Непреложность этой истины следует из характера математики. Как философская и психологическая категория феномен понимания осмыслен относительно недавно. Операционный состав понимания разработан недостаточно. Это приводит к нечастому пока использованию термина "понимание" в методической литературе и отсутствию методических исследований по вопросам достижения понимания математики как в высшей школе, так и в средней. Скорее как исключение чем как характерное явление можно выделить работы В.М. Брадиса [7], А.А. Столяра [85], ЕЙ. Лященко [Щ, ВЛ. Пестеревой [64], в которых ставится проблема понимания математики в процессе изучения ее.
В настоящей работе дан ответ на вопрос, как совершенствовать понимание студентами элементарной математики за счет реорганизации учебного материала. При этом: а) сформулированы новые принципы отбора традиционного содержания практикума по решению задач; б) обоснована необходимость включения в учебный материал не использовавшихся ранее заданий особого вида.
Выдвигаемыми нами принципами отбора математического содержания и работы с ним, способствующими достижению понимания, являются "многое об одном" и "по-разному об одном". Первый из указанных принципов близок к известному из дидактики принципу полноты, а второй - принципу вариативности. Мы стремимся к выделению возможно большей группы содержательно связанных фактов об одном математическом явлении (или имеющих одну исходную, генетическую основу феноменах) с тем, чтобы построенный спектр связей позволил ввести изучаемый объект в разные контексты, найти ему разные интерпретации, и таким образом создавались бы объективные предпосылки достижения студентами понимания элементарной математики.
Чтобы субъект обогатил себя "живыми" знаниями, он должен произвести работу по извлечению и усвоению их. Один из путей реализации этого процесса нам видится в форме выполнения так называемых качественных заданий. Качественные математические задания имеют очевидный эвристический характер, для их выполнения субъект должен вскрыть имеющиеся, но не данные явно в условии смысловые связи между математическими явлениями. Методический аспект процесса понимания состоит в установлении содержательных взаимосвязей между объектами и явлениями, в связи с чем качественные задания в скрытом виде несут в себе предпосылки для деятельности, способствующей пониманию теоретического материала. Поэтому предмет исследования составляют порожденные математическим содержанием качественные задания как средство понимания элементарной математики.
В ходе исследования была сформулирована гипотеза о том, что использование на практикуме по решению математических задач учебного материала, реорганизованного посредством включения в него качественных заданий, позволяет вскрыть разноплановые связи объектов элементарной математики и способствует повышению действенности знаний студентов математических Факультетов педагогических вузов.
Целью работы является выявление и обоснование роли и места качественных заданий в процессе достижения понимания элементарной математики студентами педвуза.
Для достижения цели нами были поставлены и решались следующие задачи исследования: философский, психологический и методический анализы феномена понимания; анализ имеющегося в методической литературе понятия качественной математической задачи и уточнение его для ij^ch данного исследования: отбор содержания одной из тем практикума по решению задач и разработка методики работы с этим содержанием, создающей условия для понимания темы; апробация разработанной методики и анализ результатов использования ее.
Исследование проводилось в течение 1988 - 2000 гг. и шло в следующих направлениях' изучение системы обучения элементарной математике в педвузе; установление связей проблемы понимания с вопросами совершенствования математического образования; выявление содержания и способов работы с ним, способствующих "оживлению" знаний по элементарной математике; внедрение в практику разрабатываемой системы заданий для проведения практикума по решению задач и совершенствование ее.
В качестве методов исследования использовались теоретический анализ проблемы, наблюдение, изучение накопленного опыта, практическая апробация и др.
Ход исследования проблемы можно условно разделить на чеіьірезтапа.
Первый этап исследования заключался в анализе содержания, форм и методов изучения элементарной математики в педвузе. В результате отбора фактического материала мы пришли к выводу о необходимости использования качественных заданий как средства предупреждения и искоренения формализма знаний при обучении математике.
В ходе второго этапа осуществлялся поиск содержания, освоение которого студентами в наибольшей степени способствовало бы дости- жению понимания. В итоге была построена типология качественных заданий и произошло наполнение ее содержанием, применительно к конкретным темам предмета.
На третьем этапе, в условиях курса по выбору, мы проверили на практике возможность использования созданной нами системы качественных заданий по теме "Квадратичная функция и ее график". Были внесены уточнения в методику применения названного задания-сюжета.
Четвертый этап является апробацией системы изучения темы "Квадратичная функция", но уже в рядовых условиях. Полученные нами факты свидетельствуют о совершенствовании понимания студентами элементарной математики іірииспользованиигфедпошгаемой методики.
Научная новизна и теоретическая значимость настоящей работы состоят в том, что в ней: показана целесообразность особой конструкции содержания практикума по решению задач через создание целостной системы фактов, объединенных одной генетической основой, для совершенствования понимания этого материала; доказана возможность раскрытия этой целостности через систему качественных и дополняющих их методических заданий.
Практическая значимость исследования заключается в том, что: предложена практическая реализация разработанных теоретических положений для изучения алгебраического содержания, построенного на базе понятия квадратичной формы в курсе "Практикум по решению задач" в высшей педагогической школе; предложен подход, который позволяет конструировать и другие разделы практикума по решению задач; разработано содержание, которое может быть использовано при изучении курса "Алгебра и математический анализ" в классах с углубленным изучением математики.
На защиту выносятся следующие теоретические положения: \у Качественные задания являются средством установления содержательных взаимосвязей учебного материала по элементарной математике.
2) Курс "Практикум по решению задач" целесообразно конструировать на основе установления содержательных взаимосвязей учебного материала с учетом принципов полноты ("многое об одном") и вариативности ("по-разному об одном").
Работа включает в себя введение, две главы, заключение, список литературы.
В главе I описываются теоретические основы создания условий для понимания элементарной математики. При этом в 1 дается характеристика знаний по элементарной математике студентов математических факультетов педагогических вузов и делается вывод о их главном недостатке - формализме. В 2 показана связь понимания с "живыми" знаниями. В 3 дается развернутая характеристика качественных заданий, их типология.
В главе П на примере темы "Квадратичная функция" показан путь достижения понимания на практикуме по решению задач в педвузе. 4 отводится анализу содержания и места темы в курсе математики с позиций проблемы понимания. 5 посвящен отбору содержания темы и наполнению выделенного материала качественными заданиями. В 6 описано увиденное в ходе опытной проверки влияние изучения темы, построенной на основе новой методики, на достижение понимания элементарной математики.
Использованные при написании данной работы материалы были получены автором в процессе работы на кафедре методики обучения (преподавания) математике РГПУ им. А.И. Герцена в течение 1988 -2000 гг.
По материалам исследования автор выступал на Герценовских чтениях в 1999 и 2000 годах, а также на методическом и методологическом семинарах упомянутой выше кафедры.
Основные положения исследования отражены в следующих публикациях'.
Математическая деятельность студентов педвузов в процессе изучения эле-ментарной математики// Гуманитарный потенциал математического образования в школе и педвузе: Тезисы докладов XV Всероссийского семинара претодавателей математики педвузов, посвяіценнюго 200-летию РГПУ им. А.И. Герцена. - СПб.: Образование, 19%.- 192 с. - С.89.
Об одном аспекте взаимосвязи школьной и вузовской математики//Теоретические и методические проблемы подготовки учителя в системе непрерывного образования: Межвузовский сборник научныхтрудов. - Мурманск^ 1997. - 169с. -С.И5-120.
Исшпьэование комплексных заданий на практических занятиях по элементарной математике // Сочетание общекультурной и предметной составляющих в общем математическом образовании учащихся и в профессиональной подготовке будущихучиїелей маїематикшТезисьі доклада ш
Образование, 1997.- 80 с. - С.19.
4. Об одном спехюбеиндивиду^^ ских занятиях по элементарной математике // Личнослнсч?риентированньш подход при обучении математике (Содержательный и пгюцессуальньш аспекты): Тезисы докладов 51-х Герценовских чтений. - СПб.: Образование, 1998.- 111 с-С.46-47.
5. Использование качественных задач при подготовке учителей на чальных классов // Подготовка будущего учителя к работе в классах с углубленным изучением математики: Тезисы докладов XVII Всероссий ского семинара преподавателей математики университетов и педагоги ческих вузов. - Калуга, 1998. - 230 с. - С.215-216.
Математическая деятельность при построении "Практикума по решению задач" в системе бакалавриата // Проблемы и перспективы развития методики обучения математике: Сборник научных работ, представленных на 52-е Герценовские чтения. - СПб.: Изд-во РГПУ им. А.И. Герцена, І999.-176 с. - СЛ17.
Об уточнении типологии математических задач // Методические аспекты реализации гуманитарного потенциала математического образования /Сборник научных работ, представленных на 53-и Герценовские чтения. - СПб.: Изд-во РГПУ им. А.И. Герцена, 2000. - 163 с-С.26-29.
Виды объяснений при обучении математике // Методические аспекты реализации гуманитарного потенциала математического образования /Сборник научных работ, представленных на 53-и Герценовские чтения. - СПб.: Изд-во РГПУ им. А.И. Герцена, 2000. - 163 с-СЛ8-23. (в соавт.).
Анализ состояния знаний по элементарной математике студентов математических факультетов педагогических вузов
Уровень математической подготовки выпускников математических факультетов педагогических вузов в течение уже многих лет является объектом критики. Одним из основных недостатков математической подготовки будущих учителей, по мнению Н.Я. Виленкина и А.Г. Мордковича [12], является формализм знаний выпускников педвуза.
Формализм в процессе обучения математике охарактеризован в работах В.М. Брадиса [7], А.А. Столяра [85], А.Я. Хинчина [91] и др. Сущность этого явления заключается в наличии внешних признаков знаний при отсутствии последних. Формальные знания приобретаются путем заучивания и запоминания внешнего, формального, символического выражения содержания математического факта, при этом сам факт или вовсе отсутствует в сознании, или присутствует вне всякой связи со своим формальным выражением, никак не ассоциируется в представлении учащегося. Формальное знание обладает следующими особенностями: 1) отрыв формы от содержания; 2) отрыв теории от практики; 3) преобладание памяти над пониманием; 4) господство трафарета, шаблона.
В.М. Брадис [63] считает формальные знания мертвыми, недейственными, бесполезными. Действительно, при отрыве формы знания от его содержания возникает поверхностное понимание математических объектов и явлений. При этом действия с ними производятся на основе усвоенных мнемонических правил. Некая "игра с математическими символами", быть может, и приводящая в отдельных случаях к правильному результату, но никак не способствующая разъяснению сути математики, имеет крайне ограниченное поле функционирования. Формально приобретенное знание не может использовано в видоизмененных условиях, тем более - в новой ситуации. При этом субъект обречен на бездействие и беспомощность при решении сколько-нибудь отличной от стандартной задачи, тле. он не владеет принципом, ключом, подходом к разрешению проблемы.
Покажем, опираясь на опубликованные материалы и наши наблюдения, что знания и студентов педвузов, и выпускников средней школы - абитуриентов, будущих студентов - страдают формализмом.
ЙЛ. Виленкин и А.Г. Мордкович [12] отмечают имевшие место на государственных экзаменах по математике проявления формализма в знаниях студентов: недостаточные умения приводить примеры и контрпримеры, применять теорию к предложенным примерам, неумение выйти за рамки узкого круга заученных стандартных примеров практического применения того или иного математического понятия или утверждения, а также выделить главное в рассматриваемом вопросе, обобщить и систематизировать некоторую совокупность отдельных фактов, неуверенность при отклонении от стандартного изложения материала и при ответах на дополнительные вопросы. У большинства студентов решающую роль в изучении математики играет запоминание, недооценивается роль примеров и конкретного знания при изучении абстрактных понятий. Выпускниками педвузов демонстрируются недостаточное понимание и осуществление внутри- и межпредметных связей, связи между институтским и школьным курсами математики.
Понимание как один из путей снижения формализма знаний
В предыдущем параграфе было показано, что существующий процесс обучения математике в средней и в высшей школе обладает рядом недостатков, одним из которых является формализм в знаниях учащихся и студентов, невозможность активно использовать формально приобретенные знания.
В психологической литературе формальным знаниям противопоставляются "живые" знания. Эта метафора использована В.П. Зинченко [25; 26] им же выделена структура "живых" знаний. Следуя В.П. Зинченко, охарактеризуем состав "живых" знаний по математике.
1) Знание отдельных элементов содержания математики или ее раздела - понятий и их определений, утверждений и их формулировок, алгоритмов, общематематических методов и частных приемов решения задач и др.
2) Знание содержательных связей между выделенными в п. 1 элементами.
3) Представление содержательных систем знаний в виде, удобном для сохранения и использования их как информации.
4) Знание об ограниченности знаний, осознание своих возможностей и невозможностей, постановка и решение проблем субъектом. "Живые" знания - динамичные, совершенствующиеся, включающие незнаниенезнания,\ "знание незнания", "незнаниезнания", "знаниезнания".
5) Действия, с помощью которых получают новые знания: методы познания, мыслительные операции, специфические математические приемы - эвристики.
6) Нацеленность на описание окружающей действительности средствами математики; установка на выявление, формулирование и разрешение математических проблем.
Таким образом, "живые" знания по математике - это разноплановая система знаний, "букет", связанный с конкретным субъектом и развивающийся в процессе его познавательной деятельности, в том числе и при изучении математики.
Основу любых математических знаний составляет знание отдельных перечисленных в п. 1 элементов содержания. Формальные знания представляют собой подобный набор с малым числом незначительных связей. "Живые" же знания подвергают каждый дополнительный, включаемый в систему их элемент на предмет наличия смысловых связей с ним. В этом случае использующий знание субъект имеет дело уже не с изолированными понятиями и фактами, а с включенными в систему, где у каждого есть некий фон, план, панорама.
"Живые" знания включают и приемы, позволяющие добывать новые и фиксировать наличные знания. Средством выражения знаний могут быть таблицы, схемы, формулы и пр.
"Живые" знания - не только результат, итог понимания, но и условие достижения его в последующем.
Между "живыми" знаниями по математике и умением решать математические задачи есть двусторонняя связь:
a) наличие "живых" знаний, полученных в процессе изучения элементарной математики, способствует успешности решения математических задач;
b) развитое умение решать задачи предполагает получение субъектом в процессе решения задачи познавательных следствий, образование дополнительных связей между элементами знания, переход от незнания к знанию и др., т.е. совершенствование понимания.
Особенности процесса изучения темы "Квадратичная функция" на практикуме по решению задач
К построению методической системы проведения практикума по решению задач в рамках изучения элементарной математики в педагогическом вузе могут быть использованы разные подходы. Традиционные варианты планирования практикума по решению задач [72; 73] предусматривают охват содержания большинства тем школьного курса математики и дополнение их фактами, методами и обоснованиями, выходящими за рамки базового школьного курса, но используемыми в практике учителей при работе в специализированных классах и во внеклассной работе с наиболее "продвинутыми" учениками. Такой принцип отбора тем, направленный на совершенствование знаний будущих учителей по многим разделам школьного курса, как показывает опыт, не дает значительного результата, так как на отдельные вопросы содержания (а количество их достаточно велико) отводится слишком мало времени. Поэтому существующую ныне систему можно назвать ознакомительно-повторительной . Она недостаточно эффективна и для студентов с хорошей довузовской подготовкой из-за недостатка учебного времени, нехватки его на рассмотрение сложного материала, и для слабо подготовленных в школе студентов: для них изучение элементарной математики представляет собой калейдоскоп новых фактов и методов.
Другая, разрабатываемая нами в данном исследовании, концепция опирается на противоположную идею: не "кое-что о многом", а "многое об одном". Этот принцип в дидактических терминах может быть назван как принцип полноты. В этом случае, погружаясь в объединенный общим содержанием, его генетической основой, материал, субъект может углубляться в него, и повышая уровень сложности выполняемых заданий, и устанавливая связи между отдельными фактами частного характера и тем самым добиваясь понимания его, а также совершенствуя свою теоретическую подготовку. Подобное обучение элементарной математике можно охарактеризовать как обучение, нацеленное на понимание. К отрицательным чертам его следует отнести невозможность охвата всех тем школьного курса математики. Но, выбирая наиболее значимые, узловые вопросы содержания, имеющие широкий спектр связей, эту проблему можно приглушить.
Наша концепция предполагает так же дополнение принципа "многое об одном" принципом "по-разному об одном", в дидактической терминологии последний может быть назван принципом вариативности. Мы считаем, что для достижения понимания нужно не только углубление в содержание для установления взаимосвязей в нем и получение дополнительных фактов об одном и том же математическом объекте, но и рассмотрение его в разных ракурсах, в разных отношениях, в разных интерпретациях, описание его на разных языках. Только на этом пути возможно приближение к такому идеальному состоянию как "живое" знание. Ориентированное на понимание обучение также имеет свои недостатки, но бесспорным достоинством его является возможность привнесения будущим учителем в школу той парадигмы, в которой он обучался в педвузе. Потребность в осмыслении учениками изучаемого материала, забота о предупреждении формализма в их знаниях будут иметь место в работе такого учителя приоритетное значение.
Покажем на материале темы "Квадратичная функция" возможность реализации названных выше принципов. При этом выделим две группы предпосылок: 1) связанные с особенностями содержания рассматриваемой темы; 2) проистекающие из особенностей места темы в системе изучения математики. Перейдем к рассмотрению первой группы предпосылок.
Центральные объекты изучения в теме - собственно задаваемая уравнением у-ах2 +Ьх+с (я 0) квадратичная функция , а также стоящий в правой части указанного уравнения квадратный трехчлен ах2 +Ьх + с(а 0) и сопутствующее ему квадратное уравнение ах2 + Ьх + с - о (а Ф о). Предлагая студентам выполнение задания с фигурирующим в нем одним из этих объектов, мы предполагаем возможность переформулирования и замену его другим, в котором речь пойдет, например, не о квадратичной функции , а о квадратном трехчлене или о квадратном уравнении.
