Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. АНАЛИЗ СОВРЕМЕННОГО СОСТОЯНИЯ ПРОБЛЕМЫ ПРЕЕМСТВЕННОСТИ В ОБУЧЕНИИ (ПОСТАНОВКА ПРОБЛЕМЫ)
1 Характеристика традиционного и развивающего обучения 25
2 Философское понимание взаимосвязи преемственности и развития 44
3 Проблема установления преемственных связей в педагогиче ских исследованиях 62
4 Проблема установления преемственных связей в методике обучения математике 81
ГЛАВА 2. ЗАКОНОМЕРНОСТИ УСТАНОВЛЕНИЯ ПРЕЕМСТВЕННЫХ СВЯЗЕЙ В РАЗВИВАЮЩЕМ ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ
5 Математические основания реализации преемственных связей в обучении математике
6 Взаимосвязь понятий развития и преемственности в возрастной и педагогической психологии 129
7 Роль различных видов мышления в установлении преемственных связей при обучении математике 144
ГЛАВА 3. ОРГАНИЗАЦИЯ РАЗВИВАЮЩЕГО ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ НА ОСНОВЕ УСТАНОВЛЕНИЯ ПРЕЕМСТВЕННЫХ СВЯЗЕЙ САМИМ УЧЕНИКОМ
8 Основные положения концепции организации развивающего обучения математике на основе установления преемственных связей самим учеником 166
9 Постановка и решение учебных задач как средство создания поля преемственных связей 170
10 Организация содержания математического материала на основе установления преемственных связей самим учеником 180
11 Требования к организации развивающего обучения математике на основе установления преемственных связей самим учеником 187
ГЛАВА 4. УСТАНОВЛЕНИЕ ПРЕЕМСТВЕННЫХ СВЯЗЕЙ В РАЗВИТИИ УМЕНИЯ ДОКАЗЫВАТЬ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ УТВЕРЖДЕНИЯ
12 Общие вопросы проблемы установления преемственных связей в развитии умения доказывать математические утверждения 217
13 Развитие умения проводить содержательные рассуждения в начальной школе 237
14 Преемственность и развитие умения проводить доказательство математических утверждений в 5 - 6 классах 249
15 Преемственность и развитие умения искать доказательства на уроках геометрии в 7 классе
ГЛАВА 5. ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОГО ИССЛЕДОВАНИЯ
16 Общая характеристика организации исследования 275
17 Исследование развития умения доказывать математические утверждения 278
18 Исследование развития личности ученика в процессе экспериментального обучения 298
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 307
БИБЛИОГРАФИЯ 312
- Характеристика традиционного и развивающего обучения
- Математические основания реализации преемственных связей в обучении математике
- Основные положения концепции организации развивающего обучения математике на основе установления преемственных связей самим учеником
Введение к работе
Социальные изменения, происходящие в России, коснулись и сферы образования, что проявляется в выработке ее новой парадигмы. Новая парадигма характеризуется тем, что если раньше акцент делался на формирование знаний, умений и навыков, необходимых учащимся в будущем, то теперь он переносится на создание условий для развития учащихся. В центре образовательной системы находится ученик с его потребностями, интересами, способностями, индивидуальными склонностями, развитым - в соответствии с возрастными особенностями - мышлением, и т.д. Поэтому в современной системе образования важен не только, и не столько объем усвоенных знаний, но и соединение последних с личными качествами школьника, выработка умения использовать их как «инструмент» для решения новых задач. При этом в процессах обучения и учения, воспитания и самовоспитания, развития и саморазвития определяющим стержнем является развитие.
В традиционной («знаниецентристкой») системе обучения также ставится задача развития ученика. Однако она решается частично через формирование определенного набора знаний и умений и не реализует всех развивающих возможностей каждого учебного предмета. Задачу развития ученика учителя решают эпизодически, если появляется резерв времени.
Проблема развития учащихся средствами математики исследовалась в работах В.А. Гусева, В. А. Далингера, Н.Б.Истоминой, Е.И. Лященко, Н. В. Метельского, А. Г. Мордковича, Г. И. Саранцева, А.А. Столяра и др. Задача создания целостной системы развивающего обучения, в том числе и обучения математике, была поставлена и разрабатывалась Л.В.Занковым, В.В. Давыдовым, Д.Б.Элькониным и др. Они и их последователи считают, что основной характеристикой развивающего обучения является изменение позиции ученика в процессе учения. В отличие от традиционного обучения, где ученик является объектом педагогических воздействий учителя, в развивающем обучении создаются условия, при которых ученик становится субъектом обучения;
5 Под рубрикой развивающего обучения появилось много различных программ и учебных пособий по математике, как для начальных классов (учебники И.И.Аргинской, В.В. Давыдова, Н.Б. Истоминой, Л.Г. Петерсон и т.д.), так и для средней школы (учебники Г.В. Дорофеева, А.Г. Мордковича, СМ. Решетникова, Л.Н. Шеврина и т.д.)
Разные авторы учебных пособий по-разному понимают развитие личности в процессе изучения математики. Одни авторы (ИИ. Аргинская, Л.Г. Петерсон и др.) делают акцент на развитие наблюдения, мышления и практических действий, другие (Н.Б. Истомина и др.) - на формирование определенных умственных действий, третьи (В.В. Давыдов, A.M. Захарова и др.) - на создание условий, обеспечивающих становление учебной деятельности, развитие теоретического мышления.
Рассмотрение понятия развития в обучении с методологических позиций показывает, что это целостный непрерывный процесс, движущей силой которого является разрешение противоречий, возникающих в процессе изменений. Противоречия возникают в "конфликтной зоне" (Л.С. Выготский), где наблюдается разрыв, "разность потенциалов" (В.П. Зинченко), "барьер" (Р.Х. Шакуров) и др. Психологи утверждают, что процесс преодоления противоречия создает условия для развития, в результате которого отдельные знания и умения перерастают в новое целостное новообразование, в новую способность. Но это происходит только в том случае, если в месте разрыва устанавливаются преемственные связи между старыми и вновь формируемыми знаниями и умениями. Всякое развитие осуществляется только на основе преемственности, поскольку оно всегда детерминируется прошлым и направлено в будущее (А.В. Брушлинский). Проблема развития ученика в процессе обучения тесно связана с проблемой установления преемственных связей.
Вопросы преемственности в традиционном обучении рассматривались с разных позиций: методологической (А.В. Батаршев, В.В. Жуковский, Г.Н. Исаенко, Ю.А. Кустов, К.В. Мороз, М.П. Полясов и др.), педагогической (Б.Г. Ананьев, Ш.И. Ганелин, СМ. Годник, СЕ .Драбкина, А.А. Люблинская,
6 М.Н. Скаткин, А.В. В.А. Черкасов, и др.), в меньшей степени - с методической (Г.В. Воителева, Л.В. Воронина, Н.Б. Истомина П.А. Компанийц, Л.М. Короткова К.И. Нешков, В.А. Тестов и др.).
В педагогической литературе (А.В. Батаршев, Ш.И. Ганелин, СМ. Год-ник, В.В. Жуковский, Ю.А. Кустов, В.А. Черкасов и др.), подчеркивается, что проблема преемственности в обучении - многоаспектная и многосторонняя проблема. В связи с задачами конкретного исследования ее следует рассматривать каждый раз под конкретным углом зрения.
С методологических позиций преемственность является неотъемлемой характеристикой развития. При решении проблемы преемственности в обучении необходимо учитывать составляющие части этого единого процесса:
развивающееся целое (способности ученика, его умения и т.д.);
противоречия, возникающие в ходе развития объекта;
способы установления преемственной связи, позволяющие этому целому не разрушиться.
Установление преемственных связей - основной фактор и одновременно основной механизм разрешения противоречия. В ходе обучения возникают разные противоречия. Одним из основных противоречий учебного познания является противоречие между дискретностью системы обучения и необходимостью создания в сознании ребенка целостной картины мира.
С общепедагогических позиций преемственность в обучении понимают как обеспечение связи между отдельными сторонами, этапами и ступенями обучения, расширение и углубление знаний, приобретаемых на предшествующих этапах обучения, развертывание всего учебного процесса на новом этапе обучения в соответствии с содержанием, формами и методами обучения, которые были приоритетными на прошедшем этапе. При решении проблемы преемственности в обучении математике необходимо учитывать специфику этого учебного предмета.
Анализ методической литературы (Л.В. Воронина, Г.В. Дорофеев, Л.М. Короткова, В.А. Тестов и др.) показывает, что проблема преемственно-
7 сти в обучении математике решается в основном с общепедагогических позиций, методический аспект проблемы в исследованиях не выделен.
Математика имеет свои специфические особенности: абстрактность математических объектов, наличие символического языка, доказательность и т.д. Эти особенности выражаются в преобладании формы представления математических объектов над их содержательными характеристиками. Практика работы школы показывает, что часто усилия учителей направлены на изучение формальной стороны математики: формулировок определений, свойств понятий, разного рода формальных преобразований, способов решения задач и т.д., что практически не связано с личным опытом ребенка. Содержательная сторона математики остается в тени. Самостоятельно, без помощи учителя, большинство учеников не могут увидеть эту сторону математики, а следовательно, не могут установить содержательные преемственные связи, в настоящее время чаще устанавливаются поверхностные преемственные связи. Под содержательными преемственными связями мы понимаем связи, которые касаются сути явления, затрагивают существенные стороны содержания, требуют теоретического осознания и осмысления материала. Практика работы школы показывает: если учащиеся не устанавливают содержательные преемственные связи между старыми и вновь усваиваемыми знаниями и умениями, то эти знания и умения носят фрагментарный характер, представляют набор слабо связанных между собой догматически усвоенных сведений и закрепленных навыков выполнения стандартных алгоритмов вычислений, преобразований, решения типовых задач и т.д. Такие знания с трудом актуализируются школьниками на уроках математики, а тем более на смежных дисциплинах, бывают мало востребованы учеником, быстро забываются. При этом у учащихся не возникает представления о математике как о единой науке со своим предметом и своими методами. Психологи (В.В. Давыдов, Л.А. Венгер, В.Т. Кудрявцев и др.) утверждают, что отсутствие целостного образа мира, в том числе и его математической составляющей, тормозит развитие ученика.
Отсюда вытекает необходимость поиска такой методики развивающего обучения математике, которая будет запускать механизм установления содержательных преемственных связей самим учеником в изучаемом формальном математическом материале, на базе которых возможно развитие учащегося, формирование у него целостного представления о математике. Вышесказанное позволяет выделить поиск методической составляющей преемственности в развивающем обучении математике как одного из средств создания целостного представления о математике, преодоления дискретности в ее усвоении школьниками в качестве проблемы исследования.
Теоретический анализ психолого-педагогической литературы, практика работы школы показывают, что проблему преемственности в педагогике связывают с преодолением разрывов в учебном процессе, которые можно разделить на две группы:
разрывы, связанные с преобразованием знаний и умений учащихся в процессе учебного познания;
разрывы, связанные с переходом учащихся на новую ступень обучения.
В последние годы больший акцент делается на исследование разрывов второй группы (В. К. Кузнецова, А. Я. Котов, Н. В. Лебедева, Н. В. Смирнова, П. И. Сорокин и др.), исследование проблемы преемственности с точки зрения учебного познания остается в тени. Совершенно очевидно, однако, что необходимо искать пути преодоления разрывов и первой группы, ибо без этого проблему преемственности в развивающем обучении математике не решить. В своем исследовании мы будем рассматривать установление содержательных преемственных связей в процессе учебного познания как средство преодоления разрывов в изучении математики.
В связи с особенностью процесса обучения, где взаимодействуют два субъекта: «учитель» и «ученик», - в проблеме преемственности в обучении необходимо рассматривать два аспекта.
- внешний: деятельность учителя по установлению преемственных связей в процессе обучения;
9 - внутренний: организация процесса обучения, обеспечивающая установление преемственных связей самим учеником. В литературе (В.А. Байдак, Г. В. Дорофеев, А.А. Иванова, Л.Г. Петерсон, В.А. Черкасов, и др.), предлагаются пути решения проблемы преимущественно в первом аспекте (внешняя преемственность), что не решает всей проблемы в целом. Поскольку мы рассматриваем проблему преемственности в развивающем обучении математике, где ученик признается субъектом обучения, то закономерно обращение ко второму аспекту этой проблемы. Возникает противоречие: с одной стороны в развивающем обучении учитель и ученик - равноправные партнеры, а с другой стороны, в процессе установления преемственных связей ведущая роль принадлежит учителю, ученик в этом случае пассивен. Следует отметить, что задача поиска решения проблемы преемственности с позиций организации процесса обучения математике, который обеспечивает установление преемственных связей самим учеником, в существующей литературе не ставилась.
Таким образом, в настоящее время проблема преемственности в развивающем обучении математике приобретает особую аКШуШІЬНОСШЬ. Анализ литературы (В.В. Давыдов, ВТ. Кудрявцев, В.В. Репкин и др.), показывает, что данная проблема в условиях развивающего обучения только поставлена, а методический аспект ее даже не обозначен. Наша работа - одна из первых в этом направлении.
В качестве объекта исследования был выбран процесс обучения математике в 1-7 классах. Выбор данного объекта исследования обусловлен следующими причинами.
Во-первых, в период обучения математике с первого по седьмой класс явно обнаруживаются два вида разрывов в процессе обучения, указанные выше.
Во-вторых, мы исходим из того, что в 5 - 6 классах происходит становление математических способностей, поэтому этот этап обучения математике является для нас ключевым. С точки зрения преемственности рассмотрение
данного этапа обучения математике необходимо вести в динамике: начальная школа - 5-6 классы - 7 класс.
Предмет исследования - проблема преемственности в методике обучения математике и методическая система, обеспечивающая установление преемственных связей самим учеником при изучении математики в условиях развивающего обучения.
Цель исследования - разработка концепции организации развивающего обучения математике на основе установления преемственных связей самим учеником и условий ее реализации.
Выделенная проблема решалась на основе следующих теоретических-положений:
Развитие и преемственность в обучении - два взаимосвязанных и взаимозависимых процесса, не существующих один без другого. В процессе установления преемственных связей при изменении развивающегося целого необходимо учитывать три временных промежутка: прошлое, настоящее и будущее целого.
Обучение математике будет развивающим при условии взаимосвязи 3-х составляющих учебного процесса:
в процессе обучения происходит изменение позиции ученика: из объекта обучающих воздействий учителя он становится субъектом учения;
обучение ведется в зоне ближайшего развития ученика;
обучение обеспечивает развитие математических способностей.
В результате дальнейшего обучения в средней школе учебная математическая способность преобразуется либо в собственно математическую способность, что становится основой будущей профессиональной деятельности ученика, либо в математический стиль мышления, основной характеристикой которого является аргументированность суждений.
Доказательность является характерной чертой различных разделов школьного курса математики. Поэтому умение проводить доказательства необходимо при изучении любого математического материала, что дает
11 возможность на базе общего метода - дедуктивного доказательства объединить отдельные темы в единое целое, создать целостное представление о математике.
В процессе выявления методической составляющей преемственности в процессе развивающего обучения математике на основе установления преемственных связей в процессе учебного познания самим учеником мы рассматривали эту проблему с разных точек зрения: методологической, педагогической, психологической, математической и методической. В результате теоретического и экспериментального исследования мы сформулировали основные положения концепции организации развивающего обучения математике на основе установления преемственных связей самим учеником:
С методологической точки зрения преемственность - это связь между различными этапами или ступенями развития целого (способностей ученика, его умений и т.д.), основная задача которой состоит в сохранении отдельных элементов целого при изменении его как системы. Так как движущей силой развития является процесс разрешения противоречий, то устанавливаемая при этом преемственная связь является стабилизирующим фактором в развитии. Преемственные связи могут носить внешний и внутренний, содержательный характер.
Установление содержательных преемственных связей в процессе развивающего обучения математике способствует устранению разрывов, отражающих наличие объективно существующих противоречий (между объективно дискретным характером школьного курса математики и необходимостью создания целостного представления об изучаемом предмете; между необходимостью решать новую математическую задачу и недостаточностью знаний и умений, которыми владеет ученик; между необходимостью усваивать математический материал на высоком уровне абстракции и неразвитостью словесно-логического мышления).
Отметим, что ситуация обучения будет идеальной, если противоречия устраняет сам учащийся. В процессе разрешения противоречия (преодо-
12 ления разрывов) самим школьником он становится субъектом обучения, получает импульс к развитию. В этой ситуации учащийся выходит на новый качественный уровень овладения математическими умениями. В преемственности целесообразно выделить две стороны этого явления: преемственность как процесс (установление преемственных связей) и преемственность как результат (сама преемственная связь). Установление преемственных связей в обучении математике рассматривается нами как перестройка самим учеником своего опыта, знаний и умений в новое целостное умение, что обеспечивает развитие математических способностей ученика.
В качестве средства для разрешения учеником противоречий используются специально созданные учебные математические ситуации, в центре которых находится возникшее противоречие между имеющимся опытом учеников и невозможностью решить неизвестную для ученика задачу. В процессе обсуждения учащимися возникшего противоречия и способов его устранения создается «поле преемственности»: ученик осознает границы своего знания и незнания математики, с помощью партнера (учитель, взрослый, ученик и др.) находит средства для разрешения возникшего противоречия. Эти ситуации должны соответствовать следующим сформулированными нами закономерностям, которые положены в основу установления преемственных связей в процессе изучения математики:
a. Содержание учебного материала в школьном курсе математики стро
ится в виде вытекающих друг из друга учебных задач;
b. В процессе обучения математике обеспечивается единство зоны акту
ального, ближайшего и перспективного развития ученика;
c. В процессе обучения математике должно быть обеспечено одно
временное функционирование наглядно-действенного, наглядно-
образного и словесно-логического мышления.
Курс школьной математики является объединением отдельных математических тем. Одновременно для развития математических способностей у
13 учащегося необходимо формировать целостное представление о математике. Интегрирование разделов, тем в единое целое возможно через установление содержательных преемственных связей в процессе развития базовых математических умений: построения идеальных объектов, оперирования идеальными объектами, обоснования суждений. Овладение данными умениями идет в ходе изучения всего курса математики. Выполнение одних и тех же действий на разном учебном материале помогает ученику овладевать не только данными умениями, но и способствует целостному восприятию школьного курса математики, развитию математических способностей, математическому стилю мышления.
Наше экспериментальное исследование показало, что установление содержательных преемственных связей в развивающем обучении математике связано с созданием специальных учебных ситуаций, в частности, с постановкой и решением учебной задачи. Под учебной задачей мы понимаем задачу, которую поставил ученик для себя сам и которая направлена на поиск общего принципа выполнения действия.
На базе разработанной концепции были сформулированы требования к организации развивающего обучения математике, направленного на запуск механизма установления содержательных преемственных связей самим учеником:
- Психолого-логическая направленность развертывания математического
содержания: от психологических возможностей ученика к логике учебно
го предмета.
Последовательность изучения математического материала должна быть выстроена с учетом логики усвоения знаний учеником и логики математики, а также так, чтобы изучение одной темы было мотивировано необходимостью изучения следующей темы.
- организация «понимающего» усвоения математики.
14 Процесс обучения математике должен быть направлен, в первую очередь на понимание смысла математического материала, что будет обеспечивать его осознание, обобщение и запоминание.
- осознание учеником возникающих противоречий.
В ходе обучения необходимо организовать процесс осознания учениками сути тех затруднений, которые возникают у них при изучении математики.
- перспективность в обучении.
Процесс обучения должен быть организован не только в зоне актуального и ближайшего развития, но и учитывать зону перспективного развития ученика.
- единство предметного действия, образа и слова.
В процессе обучения математике необходимо опираться на наглядно-действенное, наглядно-образное и словесно-логическое мышление, функционирующие одновременно.
- диалогичностъ процесса обучения.
Для запуска механизма процесса установления содержательных преемственных связей самими учениками в процессе развивающего обучения математике необходимо организовать диалоговое общение на уроке.
Организация развивающего обучения математике, в основу которой положена выработанная нами концепция установления преемственных связей самим учеником, осуществляется на базе использования специально подобранных конкретно-практических задач. Требования к этим задачам сформулированы в работе.
Гипотеза исследования состоит в предположении о том, что организация развивающего обучения математике, реализуемая на базе разработанной нами концепции установления преемственных связей самим учеником и в соответствии с сформулированными нами требованиями, будет способствовать: 1) математическому развитию учащегося, которое будет проявляться
в развитии одной из основных характеристик математических способностей - умения доказывать математические утверждения;
в формировании осознанной системы математических знаний, определенных программой;
2) развитию личности учащегося, которое будет проявляться
в изменении мотивации изучения математики: преобразованию внешней мотивации во внутреннюю;
в формировании теоретического мышления;
в наличии доверия учащегося к себе как решателю математических задач.
В процессе исследования решались следующие задачи:
Изучение основных направлений и состояния разработанности проблемы преемственности в научной литературе и в практике работы школы.
Исследование методологических, психолого-педагогических и методических положений по установлению преемственных связей при обучении математике в основной школе.
Выявление и формулирование основных положений концепции установления преемственных связей при развивающем обучении математике в основной школе.
Теоретическая разработка требований к организации развивающего обучения математике на основе разработанной концепции установления преемственных связей самим учеником.
Экспериментальная проверка эффективности разработанной концепции в школьной практике.
Для решения поставленных задач использовались следующие методы исследования:
анализ философской, психолого-педагогической, математической и методической литературы по теме исследования;
анализ практики работы школ по осуществлению преемственности в обучении математике, в том числе собственного опыта работы в школе;
психолого-педагогические наблюдения за работой учителей и учебной деятельностью учащихся;
моделирование педагогических ситуаций;
анкетирование учителей и учащихся;
проведение педагогического эксперимента;
статистическая обработка результатов педагогического эксперимента.
Методологической основой исследования являются теория системного подхода и ее применение к обучению математике (B.C. Леднев, В.В. Краев-ский и др.), культурно-историческая теория развития и теории развивающего обучения (Л.С. Выготский, В.В. Давыдов, Л.В. Занков, В.П. Зинченко, Г.А. Цукерман и др.), работы по философии и методологии математики (Б.В. Гнеденко, А.Н. Колмогоров, Л.Д. Кудрявцев, А.Я. Хинчин, А. Реньи, X. Фройдеталь и др.), теоретические исследования по методике обучения математике (В.А. Гусев, Н.Б.Истомина, Е.И. Лященко, А.Г. Мордкович, Л.М.Короткова, В.А. Тестов и др.)
Основные этапы и организация исследования.
На первом этапе (1985-1990 г.г.) проводился анализ психолого-педагогической и методической литературы с целью определения степени разработанности проблемы установления преемственных связей в обучении математике. Были выделены различные виды преемственности в обучении математике, исследовано их наличие в школьной практике и научных разработках. Происходило накопление фактов, подтверждающих мысль о внешнем характере установления преемственных связей в традиционном обучении. Автор исследования, работая преподавателем вуза и учителем математики в 4 - 9 классах, проводил поисковый эксперимент.
На втором этапе исследования (1989 - 1996 г.г.) осуществлялся анализ учебно-методической литературы по математике с целью выявления содержательных преемственных связей в курсе математики, выделения сквозных умственных действий. В это время был сформулирован первый вариант концепции установления преемственных связей. В 1991 году началась экспери-
17 ментальная работа с учителями начальных классов и учителями математики старших классов, которая проводилась в соответствии с выявленными закономерностями установления преемственных связей при обучении математике в условиях развивающего обучения.
В экспериментальном исследовании мы в большей мере сотрудничали с учителями, работающими в начальной школе по программе Эльконина-Давыдова. Обучение детей в 5 - 6 классах шло по разным учебникам (Н.Я. Виленкина, В.Г. Дорофеева и др.). С 1991 начал проводиться семинар учителей, работающих в системе развивающего обучения, которым руководил автор данного исследования.
Важное место в исследовании отводилось организации содержания, обеспечивающего установление преемственных связей, корректировалась методика установления преемственных связей в развитии сквозных математических умений.
На третьем этапе исследования (1994 - 2000 г.г.) осуществлялась практическая проверка разработанной концепции установления преемственных связей в развивающем обучении математике, ее корректировка и внедрение в школы Республики Карелия. Составлялись модели уроков постановки учебной задачи и ее решения.
Научная новизна исследования заключается в том, что: в методике обучения математике выделена собственно методическая составляющая проблемы преемственности в развивающем обучении математике;
выявлены закономерности установления преемственных связей в развивающем обучении математике, доказана высокая эффективность процесса обучения математике, построенного с учетом сформулированных закономерностей;
выявлены сквозные умственные действия, владение которыми дает возможность учащемуся устанавливать содержательные преемственные связи в изучении математики, способствуют формированию целостного
18 представления о предмете в его сознании;
на базе вновь разработанного понятийного аппарата и выявленных закономерностей разработана методическая концепция установления преемственных связей при обучении математике в условиях развивающего обучения, в которой заложены идея интеграции методологической, педагогической, психологической и методической составляющих решения проблемы и идея создания условий, обеспечивающих установление преемственных связей самим учеником через создание учебных ситуаций, через решение специально подобранных учебно-практических задач. Реализация данных идей позволяет включить ученика в процесс установления содержательных преемственных связей в качестве активного участника. Теоретическая значимость исследования состоит в том, что:
предложено теоретическое обоснование концепции установления преемственных связей самим учеником в развивающем обучении математике;
выделены теоретико-методологические условия установления преемственных связей самим учеником в процессе развивающего обучения математике;
дополнен понятийный аппарат, составляющий основу методических знаний:
«зона перспективного развития ученика»;
«установление преемственных связей самим учеником»;
«развитие умения доказывать математические утверждения»; уточнено понимание понятия «учебная задача» относительно обучения математике;
выявлены сквозные математические умения, пронизывающие весь школьный курс математики;
обосновано, что период обучения в 5 - 6 классах является сенситивным для становления математических способностей.
Практическая значимость исследования состоит в том, что разработана и реализована модель организации развивающего обучения математике на основе установления преемственных связей самим учеником; разработана методика развития умения доказывать математические утверждения, обеспечивающая установление преемственных связей в развитии этого умения. Разработаны учебные пособия для начальной и основной школы, использование которых дает возможность учителю организовывать учебные ситуации для создания «поля преемственности». Разработан и читается спецкурс «Установление преемственных связей в обучении математике» для студентов вузов и учителей. Материал исследования может быть использован при реализации различных образовательных курсов психолого-педагогического и методического циклов, а также при создании учебных пособий для учителей и студентов педвузов.
Результаты исследования внедрены в учебный процесс на кафедре геометрии и кафедре естественно-математических дисциплин и методик их преподавания Карельского государственного педагогического университета, в школах Карелии.
Достоверность и обоснованность теоретических выводов обеспечивается основными положениями теории познания и философии образования; методологией системного подхода; общими законами психического развития; теоретическими основами развивающего обучения; использованием метода моделирования; апробацией концепции и методической системы в экспериментальном обучении; многоаспектным анализом фактического материла, полученного в ходе формирующего эксперимента.
Апробация идей и результатов исследования. Основные положения и выводы диссертации излагались в научных докладах, сделанных:
на международных конференциях (Петрозаводск 1996, Петрозаводск 1998, С- Петербург 2001, Сортавала 2002, Сортавала 2003)'
на российских научных конференциях (Вятка 1992, 1998, Псков 2001)"
в выступлениях на Герценовских чтениях (С- Петербург 1997 - 2002 г.г.)'
в выступлениях на заседаниях кафедры естественно математических дисциплин и методик их преподавания Карельского педуниверситета (1996 -2002 г.г.), на методологических семинарах кафедры методики обучения математики РГПУ им. А.И.Герцена (1990 - 2002 г.г.);
-' в выступлениях для учителей школ Республики Карелия, Красноярска, Лодейное поле, Тольятти, и т.д. (1990 - 2002 г.г.).
На защиту выносятся:
1). Концепция развивающего обучения математике, построенного на основе установления преемственных связей самим учеником, которая интегрирует методологическую, педагогическую, психологическую и методическую составляющие:
В основе методологической составляющей лежит идея единства развития и преемственности, которая проявляется в процессе разрешения противоречий, возникающих в познании.
В основе педагогической составляющей лежит идея единства двух видов преемственности в учебном познании (внешняя и внутренняя), направленная на преодоление дискретности процесса обучения.
В основе психологической составляющей лежит идея единства наглядно-действенного, наглядно-образного и словесно-логического мышления в процессе познания и единства трех зон развития ученика (актуального, ближайшего и перспективного), они играют роль стабилизирующего и развивающего факторов при разрешении противоречий.
В основе методической составляющих лежит идея организации математического содержания в виде вытекающих друг из друга учебных задач и создания условий для развития сквозных математических умений, которые обеспечивают непрерывность учебного познания в обучении математике.
21 2). Требования к организации развивающего обучения математике, в которой реализуются основные положения концепции установления преемственных связей в процессе развивающего обучения математике:
психолого-логическая направленность развертывания школьного курса математики,
организация «понимающего» усвоения математики, осознание учеником возникающих противоречий, перспективность в обучении, единство предметного действия, образа и слова, диалогичность процесса обучения. 3). Требования к специально подобранным конкретно-практическим задачам, обеспечивающим установление преемственных связей самим учеником:
наличие личностного смысла и значимости решения задачи для учащегося;
возможность решения задачи различными способами;
приобретение учащимся нового знания в процессе решения задачи.
Содержание диссертации отражено в 64 работах теоретического и прикладного характера, излагающих основные положения разработанной концепции и условия ее реализации, среди них мы выделяем следующие:
Аксиоматический метод доказательства в школьном курсе математики. В кн. Методические рекомендации и практические задания по методике формирования математических методов у учащихся средней школы. - Л., 1987, с. 8-23
Использование моделей в учебном процессе. В сб. Вопросы совершенствования урока в современной школе. - Петрозаводск, 1988, с. 12 - 23
Задания для формирования математических понятий // Начальная школа, 1988,№12,с.29-32
Использование предметной наглядности при изучении математики на факультетах начальных классов. В сб.: Непрерывное педагогическое образование / Выпуск V|||. Наглядное обучение математике. - Ярославль, 1995, с. 108-117
Дополнительные задачи по математике (|| класс, дети 9 лет). - Петрозаводск, 1996. - 36 с.
Организация вычислительной деятельности в процессе изучения математики в средней школе. В сб. Прикладная математика, ин-форматика, электроника.- СПб.: РГПУ им. А.И.Герцена, 1997, с.115-122
Работа по составлению таблицы умножения. // Начальная школа, 1998, №5, с. 58-64
Дополнительные немного нестандартные задачи по математике. - Петрозаводск, 1998, 36 с.
Обобщение способов записи чисел при изучении математики в 5-6 классах. В сб. Вестник математического факультета: Межвузовский сборник научных трудов. Выпуск 2. - Архангельск: Изд-во Поморского гос. Университета им. М.В.Ломоносова, 1999, с.79 - 84
10.Виды преемственности в преподавании математики. В сб.: Методические аспекты реализации гуманитарного потенциала математического образования: Сборник научных трудов, представленных на 53 Герценовские чтения. - СПб.: Изд-во РГПУ им. А.И.Герцена, 2000, с.ЗЗ - 36
11.Проблема обучения школьников пониманию математики. В сб. Вестник математического факультета: Межвузовский сборник научных трудов. Выпуск 3. - Архангельск: Изд-во Поморского гос. университета им. М.В.Ломоносова, 2000, с.28-35
12.Различные подходы к осуществлению преемственных связей в обучении математике. В сб. Математический вестник педвузов Волго-Вятского региона: Периодический сборник научно-методических работ. Выпуск З.Киров: Изд-во Вятского госпедуниверситета, 2001. - с.218 - 224
13.Подготовка студентов к установлению преемственных связей в преподавании математики. Актуальные проблемы подготовки будущего учителя математики: Межвузовский сборник научных трудов. Выпуск 3. - Калуга: Изд-во КГПУ им. К.Э.Циолковского, 2001. - с. 155 - 164
14.Преемственность при изучении натуральных чисел. Актуальные проблемы математики и методики ее преподавания: Межвузовский сборник научных трудов. - Пенза: Изд-во Пензенского гос. Пед. ун-ва. - с.385 - 390
15.Магические квадраты как средство развития умения рассуждать. // Начальная школа, 2001, №9, С.
16.Математический стиль деятельности как основа понимания проблем преемственности в обучении математике. Вестник математического факультета: Межвузовский сборник научных трудов. Выпуск 4. - Архангельск: Поморский государственный университет, 2001. - с.69 - 74
17.Основные характеристики развивающего обучения. Новые подходы к пониманию сущности развивающего начального обучения//Материалы региональной научно-методической конференции- Псков: ПГПИ, 2001, с.11-15
18.Теоретические аспекты понимания преемственности в обучении математике. В сб.: Проблемы теории и практики обучения математике: Сборник научных работ, представленных на международную научную конференцию «55 - е Герценовские чтения» - СПб.: Изд-во РГПУ им. А.И.Герцена, 2002. с.67-71
19.Учимся вычислять, рассуждать, доказывать. - СПб.: «Петербургская новая школа», 2002. - 117 с.
20.Установление преемственных связей в обучении математике (теоретический аспект): Монография. - СПб.: Изд-во РГПУ им. А.И.Герцена, 2002.
21.Учебная задача как средство создания «поля преемственности» // Начальная школа, 2003, №5, С.50 - 56.
24 22.Методическая система установления преемственных связей в развивающем обучении математике: Монография. - СПб.: Изд-во РГПУ им. А.И.Герцена, 2002.- 211с. 23.Introduction of the Concept of Ration Numbers on the Basis of the Idea of the Quantitative Measurement. В сб. Teaching Mathematics and Physics in Secondary and Higher Education. - Joensuu University Press, 1998, p.128 - 131 24.Basic Skills Which Are Nessessary for Learning Mathematics. В кн. Third U.S. - Russia Joint Conference on Mathematics Education - NY-St.Petersburg, 2001,c.44-50
Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы.
Характеристика традиционного и развивающего обучения
Под термином «традиционное обучение» мы будем обозначать тот процесс обучения, который действует в массовой практике многие десятилетия.
Анализируя процесс обучения, В.В.Репкин [245] выделяет следующие уровни взаимодействия ученика и учителя:
- уровень операций: ребенок следует в выполнении своих действий за учителем. Часто такой способ обучения называют «Делай, как я». Автор отмечает, что в этом случае можно добиться сверхвысокой активности, но активность эта часто бывает чисто механической. Ребенок выполняет операции, являющиеся чисто внешней исполнительской реакцией на требование учителя.
- уровень действий: в данном случае учитель формулирует ученику цель выполнения задания. Для достижения поставленной цели учеников учат решать типовые задачи. Зная заранее последовательность необходимых для решения задачи действий, ученик выполняет их и получает правильный результат. Здесь мы наблюдаем несколько иной вид активности, более осознанный. Но в случае появления нетиповой задачи у ученика появляются проблемы.
- уровень деятельности: это сложный вид взаимодействия, который направлен не только на достижение какой-то цели, но и на реализацию определенной потребности ученика. Именно в этом случае ученик становится субъектом деятельности. Если нет потребности, нет и деятельности.
Основная цель традиционного обучения - подготовка подрастающего поколения к жизни, «развитие тех свойств личности, которые нужны ей и обществу для включения в социально ценную деятельность» [336, С. 189].
Исходя из поставленной цели, такое обучение можно назвать функциональным обучением: ученика готовят к исполнению некоторых функций в будущем. Поэтому в основе содержания обучения лежит набор конкретных задач, в результате решения которых ученик овладеет некоторым набором знаний и умений, необходимых в жизни. Но так как точно неизвестно, какие функции будет выполнять конкретный ученик в будущем, то этот набор достаточно широк.
Для того, чтобы иметь возможность изучить большой объем содержания, необходимо иметь достаточно много времени. Но время обучения в школе ограничено. Поэтому приоритет отдается репродуктивным методам обучения, так как именно их использование дает возможность передать большое количество информации в ограниченный промежуток времени. В таком случае точно обозначены роль учителя и ученика в процессе обучения. Обучение идет в форме монолога. Учитель с готовым знанием идет к ученику и принуждает его, применяя систему поощрений и наказаний, принять информацию как безусловно необходимую и обязательную для учащихся. Ученик, вне зависимости от его возможностей, должен усвоить то, что излагает учитель.
В традиционном обучении позиции учителя и ученика четко определены: ученик является объектом воздействий учителя, его учат, учитель - субъект процесса обучения, он обучает ученика. Исходя из цели функционального обучения, можно выделить ключевые слова, характеризующие этот процесс: управление, формирование, ученик должен ... Можно заметить, что взаимодействие учителя и ученика в традиционном обучении происходит в лучшем случае - на уровне действий.
Является ли функциональное обучение развивающим?
Если понимать развитие как «направленное, закономерное количественно-качественное, конструктивное изменение и формирование материальных и идеальных объектов, связанное с преобразованием их структуры, идеально предрасположенным результатом которого является совершенствование» [128, С. 164] , то это обучение развивает ученика.
Но существенно то, что развитие ученика не было прямой целью обучения, оно было побочным результатом обучения. В целях обучения формулируется необходимость развития ученика, но на первый план выдвигается формирование набора прочных знаний, умений и навыков. В основе традиционного способа обучения заложено принуждение, которое афористически можно сформулировать так: "не можешь - научим, не хочешь - заставим". Успешно решать дидактические задачи удается педагогам, требовательным к детям, которые умеют не только доступно излагать учебный материал, но и способны заставить детей усвоить полученную информацию. Учитель, обладающий такими качествами, признается хорошим учителем. К сожалению, этот стереотип хорошего учителя живет в бытовом сознании и сегодня.
В качестве положительного результата обычно называют то, что в традиционной системе наши школьники получали большой объем знаний, много больший, чем в других странах. Но одновременно отмечается, что у большинства школьников к концу обучения складывается отрицательное отношение к учению (лишь 4 -7% детей в обычных школах и 7 - 11% студентов сохраняют интерес к учению) [137, С.23]. Так является ли такое обучение хорошим?
Математические основания реализации преемственных связей в обучении математике
Для построения концепции установления преемственных связей в обучении математике необходимо понять:
1) как устанавливаются преемственные связи в математике;
2) что делает математику, состоящую из многих разделов, цельной.
Для ответа на первый вопрос нужно выделить основное противоречие, которое разрешается в математике, и способ его разрешения. Для ответа на второй вопрос нужно выделить специфические черты математики, ее основные методы. Кроме того, специфика математики обуславливает те противоречия, которые могут возникнуть у ученика в процессе изучения математики. Далее, мы считаем, что в процессе развивающего обучения математике необходимо создавать условия для развития математических способностей. Выше мы выделили характерные черты математических способностей, но необходимо более четко определить математическую составляющую математических способностей, так как именно на их базе можно обеспечить целостное представление о математике.
5.7. Математика как развивающаяся система
Нужно отметить, что в литературе по истории математики описываются изменения, происходящие в процессе развития науки. Однако проблема преемственности во всех источниках никак не исследуется. Как было показано выше, проблема преемственности возникает каждый раз, когда требуется разрешить противоречие. Анализ этапов развития математики позволит выделить эти противоречия, а затем и способ установления преемственных связей в развитии науки.
Обычно выделяют следующие этапы развития математики:
А) Зарождения математики и накопления математических знаний, попытка систематизации знаний.
Математические знания возникают как результат абстрагирования от явлений действительности. Ф. Энгельс пишет: «Понятия числа и фигуры взяты не откуда-нибудь, а только из действительного мира. ... Как и все другие науки, математика возникла из практических потребностей людей: из измерения площадей земельных участков и вместимости сосудов, из счисления времени и из механики» [342, с.ЗЗ]. Хозяйственные потребности вынуждали людей совершенствовать правила вычислений, измерения расстояний, а также расширять объем математических понятий. В течение длительного времени накопленные сведения имели в значительной степени рецептурный характер. Исследователи истории математики (Э.Т. Белл, И.Я. Депман, К.А. Рыбников, Д.Я. Стронк) отмечают, что на этой стадии развития математические сведения различных народов, практически даже не общавшихся между собой, поразительно близки по форме и содержанию.
Б) Период создания математики переменных величин.
Развитие мануфактурного производства, дальние путешествия, создание артиллерии требовали иных способов расчетов. Проблема математического описания движения превратилась в центральную задачу той эпохи. Ее решение привело к созданию дифференциального и интегрального исчислений. В математику вошло новое действие - переход к пределу. Решение проблем механики, физики, инженерных применений требовало создания новых математических теорий, что, в свою очередь, способствовало и появлению новых математических идей, которые требовали своего обоснования.
В) Период обоснования математики.
Накопленный ранее огромный фактический материал в математике привел к необходимости углубленного логического анализа и его объединения с новых точек зрения. Большие новые математические теории возникают не только в результате решения непосредственных вопросов практики, но и из внутренних потребностей самой математики. Связь математики с практической деятельностью человека, оставаясь по существу не менее тесной, приобретает теперь более сложные формы.
Основные положения концепции организации развивающего обучения математике на основе установления преемственных связей самим учеником
В предыдущих главах мы рассмотрели философские и психоло- педагогические подходы к пониманию преемственности и установлению преемственных связей в обучении математике, выявили специфику математики и базовые умения по овладению ею, сформулировали закономерности установления преемственных связей в обучении математике.
В процессе проведенного теоретического анализа литературы, собственного опыта работы в школе и в вузе, опыта работы учителей, проведенного эксперимента мы разработали концепцию организации развивающего обучения математике на основе установления преемственных связей самим учеником.
Примером одной из реализаций данной концепции может быть описанная ниже методика развития умения доказывать математические утверждения, охватывающая математический материал основной школы.
Разработанная концепция организации развивающего обучения математике на основе установления преемственных связей самим учеником, интегрирует три взаимосвязанных компонента: методологический, психолого-педагогический и методический. В основе методологической составляющей лежит идея единства развития и преемственности, которое проявляется в процессе разрешения противоречий. В основе психологической составляющей лежат идеи единства наглядно-действенного, наглядно-образного и словесно-логического мышления и единства трех зон развития (актуального, ближайшего и перспективного), которые играют роль стабилизирующего и развивающего факторов при разрешении противоречий. В основе методической составляющей лежит идея организации математического содержания в виде вытекающих друг из друга учебных задач и создания условий для развития сквозных математических умений, которые обеспечивают непрерывность учебного познания в обучении математике.
Основными положениями концепции являются следующие:
1. С методологической точки зрения преемственность - это связь между различными этапами развития целого (ученика, его способности, его умения и т.д.), сущность которой состоит в сохранении тех или иных элементов целого или отдельных сторон его организации при изменении целого как системы. Развитие и преемственность - два взаимосвязанных и взаимозависимых друг от друга процесса, они не существуют один без другого. Движущей силой развития является процесс разрешения противоречий. Преемственность является стабилизирующим фактором в развитии. Преемственная связь устанавливается в процессе разрешения противоречия. Преемственные связи могут носить внешний и внутренний, содержательный характер.
2. Имея в виду психолого - педагогическую и методическую точки зрения на понятие преемственности, целесообразно выделить две стороны этого явления: преемственность как процесс (установление преемственных связей) и преемственность как результат (сама преемственная связь). Под установлением содержательных преемственных связей будем понимать перестройку самим учеником его опыта, его знаний и умений в соответствии с новой учебной задачей, в результате решения которой происходит преобразование отдельных умений в новое целостное умственное действие, развитие математических способностей. Задача учителя заключается в том, чтобы создать условия для установления содержательных преемственных связей самим учеником.
3. В процессе овладения математикой у ученика возникает базовые противоречия: и необходимостью создания целостного представления об изучаемом предмете;
- между необходимостью решать новую математическую задачу и недостаточностью знаний и умений, которыми владеет ученик;
- между необходимостью усваивать математический материал на высоком уровне абстракции и неразвитостью словесно-логического мышления.
Данные противоречия объективны, обуславливают наличие разрывов в усвоении математики. Установление содержательных преемственных связей способствует устранению этих разрывов. Принимается за аксиому утверждение: устранить противоречия может только сам ученик. Именно в период преодоления разрыва он совершает скачок, становится субъектом обучения, получает импульс к развитию.
4. В качестве средства для разрешения противоречий учеником используются специально созданные учебные ситуации, в центре которых находится возникшее противоречие между уже имеющимся опытом и невозможностью решить задачу. В процессе обсуждения учениками возникшего противоречия и способов его устранения создается «поле преемственности»: ученик осознает границы своего знания и незнания, находит средства для разрешения возникшего противоречия. Эти ситуации должны быть таковы, чтобы в процессе их развертывания обязательно учитывались закономерности установления преемственных связей:
- Организация математического материала в школьном курсе математики в виде вытекающих друг из друга учебных задач способствует установлению содержательных преемственных связей в изучении математики самим учеником.
- Организация процесса обучения математике, обеспечивающая единство зоны актуального, ближайшего и перспективного развития ученика, способствует установлению преемственных связей в усвоении им математики.
