Теория и методика обучения элементам топологии в основной школе Сангалова Марина Евгеньевна

Содержание к диссертации

Введение

ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ФОРМИРОВАНИЯ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ У УЧАЩИХСЯ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ 12

1. Предпосылки совершенствования обучения математике в основной школе (топологический аспект) 12

2. Анализ проблемы исследования в учебно-методической литературе 28

3. Принципы отбора содержания учебного материала по топологии .35

4. Содержание учебного материала и распределение его по годам обучения 62

Выводы по первой главе 79

ГЛАВА 2. ОСНОВНЫЕ ВОПРОСЫ МЕТОДИКИ ИЗУЧЕНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ ТОПОЛОГИИ 82

1. Методы топологии, их структура 82

2. Формирование методов топологии 98

2.1. Формирование метода графового моделирования 98

2.2. Формирование метода математической индукции по топологическим инвариантам 116

2.3. Формирование метода объемного моделирования 121

2.4. Формирование методов решения лабиринтов 131

2.5. Формирование метода раскраски карт 137

3. Методика изучения темы "топологически эквивалентные фигуры. топологические инварианты" 144

4. Постановка педагогического эксперимента и его результаты 154

Выводы по второй главе 162

Заключение 163

• Предпосылки совершенствования обучения математике в основной школе (топологический аспект)
• Методы топологии, их структура
• Формирование методов топологии

Введение к работе

В настоящее время на фоне динамики процессов изменения структуры, содержания и даже самой концепции школьного математического образования особенно остро стоит вопрос повышения качества, а значит и глубины математических знаний учащихся.

В связи с этим актуально рассмотрение вопроса природы математических, в том числе и геометрических знаний.

Элементарная геометрия имеет дело с величинами (расстояния, углы, площади), которые не меняют своих значений при движении фигур, тогда как проективная геометрия занимается такими понятиями (точка, прямая, отношение инцидентности, двойное отношение), которые сохраняются при более широкой группе проективных преобразований. Однако и движения, и подобия, и проективные преобразования - только частные случаи гораздо более общих топологических преобразований. Топология изучает наиболее общие свойства геометрических фигур, связанные с "прикосновением" друг к другу частей фигуры и с "непрерывностью" в самом общем виде [15].

Топологические свойства фигур представляют большой интерес: в известном смысле это самые глубокие, самые основные геометрические свойства, так как они сохраняются при самых "резких" преобразованиях [48].

В настоящее время геометрию понимают как теорию структур более богатых, чем структура топологического пространства. То есть все пространства, изучаемые в геометрии, прежде всего топологические пространства. Более того, это топологические пространства с обогащенной структурой. Такой взгляд на геометрию является обобщением точки зрения Ф.Клейна, сформулированной более ста лет назад [7].

С топологическими понятиями школьнику постоянно приходится иметь дело в курсе геометрии: граничные и внутренние точки, геометрическое тело, его поверхность и тому подобные. Такие фундаментальные топологические понятия как "внутренняя область", "внешняя область", "граница"

4 лежат в основе восприятия любой двумерной или трехмерной фигуры, изучаемой в школьном курсе планиметрии и стереометрии, и определяемой как часть плоскости или пространства, ограниченной некоторой линией или поверхностью, соответственно.

На современном этапе развития математического образования к исходным положениям, определяющим специфику методической системы обучения математике, также следует относить психологическую структуру личности, закономерности её развития. То есть, необходимо иметь некоторую модель, описывающую возрастные и индивидуальные особенности математического мышления школьников, чтобы в соответствии с ней строить процесс обучения. Такая модель построена Ж. Пиаже [68] и далее развита в трудах П.-Х. Ван Хилле, Л.М. Веккера [12, 13], Н. Винера [14], А.Н. Колмогорова [44], В.А. Крутецкого [46] и других. Она базируется на положении об изоморфизме основных математических структур (выделенных Н. Бурбаки: алгебраические, метрические, порядковые, проективные и топологические) структурам мышления ребёнка. Причем, топологическая структура является первичной по отношению к проективной и метрической подструктурам мышления. Топологические пространственные представления лежат в основе восприятия объектов, в том числе и геометрических фигур, и создают базу для развития у учащихся проективных и метрических пространственных представлений. Следовательно, и обучение должно строиться согласно развитию математического мышления обучаемых.

Однако ни в одном из действующих учебников "Математика 5,6" не прослеживается топологическая линия. Элементарные топологические представления присутствуют, однако они бессистемны, "случайны", играют вспомогательную роль, не имеют развития.

Проблемой введения элементов топологии в школьный курс математики в разные годы занимались: А.Н. Колмогоров [44], И.Ф. Шарыгин, Л.Н. Ер-ганжиева [91], А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик [2], Б.Е. Кантор,

5 C.A. Франгулов [15], A.A. Саркисян, Ю.М. Колягин [79], А. Ибраев [34], Ф.Р. Усманов [86], И.Я. Каплунович [37], Н.С. Подходова [69] и др.

В диссертационном исследовании проанализированы следующие

подходы.

1. Включение в систематический курс математики теории графов и её приложений. Для начальной школы (1-3 классы) этот вопрос обсуждается в [82] (СВ. Сурикова, М.В. Анисимова "Использование графовых моделей при решении задач"). Сторонники этой точки зрения (М.М. Тоненкова, Е.Е. Белокурова, Л.Г. Петерсон и др.) обращают внимание на доступность, наглядность и, что немаловажно, широкое применение теории графов к решению задач (арифметических, логических, задач на сравнение числа элементов множеств, комбинаторных задач).

2. Некоторые задачи топологического характера включаются в основное содержание курса математики с пометкой "для учеников, увлекающихся математикой" (Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, СИ. Шварцбург [56, 57], Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин [54,55]).

3. Топологический материал предлагается для внеклассной работы в 5-6-ых классах, причём он выделен в отдельный блок (И.Ф. Шарыгин, Л.Н. Ерганжиева [91], И.И.Баженов, А.Г. По-рошкин, А.Ю. Тимофеев, В.Д. Яковлев [6], М.Н. Ерохина [32]).

4. Отдельные темы предлагаются для 10-11-ых классов с углублённым изучением математики (А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик [2], А.Л. Вернер, Б.Е. Кантор, С.А. Франгулов [15], "Математика", сост. Г.В. Пичурина [53]).

5. Некоторые вопросы топологии предлагаются для внеклассной работы в старших классах (10-11 классы) (А.А. Саркисян, Ю.М. Колягин [79]).

Подходы к этой проблеме отличаются различными аспектами: глубиной, характером и организацией изложения топологического материала, возрастной группой учащихся, для которой предназначается то или иное пособие.

Большинство авторов рассматривают обучение элементам топологии лишь для кружков, факультативов или для классов и школ с углубленным изучением математики. При этом они ограничиваются рассмотрением узкого класса топологических задач (например, задач решаемых с помощью графов) или отдельных топологических задач как занимательных.

Основным недостатком кружковых и факультативных занятий, описанных в существующих пособиях, является их слабая связь с материалом, который изучается на уроках. Это ведёт к тому, что топологические свойства различных объектов воспринимаются в отрыве от остальных их свойств. При этом у учащихся складывается впечатление, что топология - это нечто совершенно иное, нежели геометрия. Учитывая эти факторы, оптимальным способом организации учебного процесса представляется пара "урок - внеклассное мероприятие" (впервые выделена Г.И. Саранцевым). Внеклассное мероприятие пролонгирует, развивает урок. Такой подход позволяет выявить наиболее глубокие (топологические) свойства геометрических объектов, изучаемых на уроке, то есть делает знания учащихся более основательными, развивает их творческие способности и интерес к математике как к предмету.

Ряд авторов (А.Л. Вернер, Б.Е. Кантор, С.А. Франгулов [15]) высказывают мнение, что изучение топологических свойств геометрических объектов наиболее целесообразно начинать в старшей школе.

Однако, наиболее приемлемым для введения топологической линии является среднее звено (5-6 классы). Действительно, с одной стороны, сообразуясь с вышеизложенными идеями, необходимо как можно более ранее знакомство с топологией. А с другой стороны, учащиеся уже имеют первичные навыки вычислений, оперирования числовыми и буквенными выраже-

7 ниями, начальные понятия о геометрических фигурах, что представляет возможности для рассмотрения более широких классов топологических задач.

Все вышесказанное обуславливает актуальность проблемы поиска условий и средств реализации обучения элементам топологии в курсе математики основной школы.

Цель исследования заключается в разработке теоретических основ и методического обеспечения обучения элементам топологии в курсе математики основной школы.

Объектом исследования является процесс обучения геометрии в основной школе, а его предметом — методическая система, включающая цели, содержание, методы, средства и формы обучения элементам топологии.

В основу исследования положена гипотеза: если в процесс обучения математике в основной школе органично включить обучение элементам топологии в форме пар "урок - внеклассное мероприятие", то это приведет к повышению качества знаний и умений школьников.

Для достижения поставленной цели и проверки сформулированной гипотезы потребовалось решить следующие задачи:

1. анализ существующих подходов к введению элементов топологии в школьный курс математики;

2. выявление роли и места элементарных топологических представлений в математическом образовании учащихся и уточнение их сущности;

3. исследование возможностей школьного курса математики для развития топологических представлений учащихся;

4. разработка системы принципов отбора и конструирования содержания топологического материала;

5. отбор содержания топологического материала для изучения с учетом принципов отбора;

6. выделение методов топологии и действий их составляющих;

7. разработка методики проведения пар "урок - внеклассное мероприятие" (методическое обеспечение введения элементов топологии в курс основной школы);

8. экспериментальная проверка разработанного методического обеспечения.

Решение поставленных задач потребовало привлечения следующих методов педагогического исследования: изучение и анализ психолого-педагогической и научно-методической литературы по проблеме исследования; сравнительный анализ программ, учебников и учебных пособий для общеобразовательных школ и школ (классов) с углубленным изучением математики; изучение и анализ опыта учителей математики, работающих в среднем школьном звене; беседа с учителями и анализ продуктов учебной деятельности школьников; констатирующий, поисковый и обучающий эксперименты; статистическая обработка и анализ результатов экспериментов.

Методологической основой исследования явились:

структура личности и закономерности ее развития;

концепция математического образования;

диалектика и системный анализ;

деятельностный подход (в контексте выделения действий, со-

ставляющих методы топологии);

основные положения теории использования задач в обучении ма
тематике (формирование понятий, методов, работа с теоремами).

Исследование проводилось поэтапно. На первом этапе осуществлялось изучение и анализ психолого-педагогической и научно-методической литературы по проблеме исследования, фиксировалось состояние методической работы по данному вопросу; анализировался опыт учителей; проводился констатирующий эксперимент. На втором этапе разрабатывались теоретические основы введения элементов топологии в среднюю школу; создавалось соответствующее методическое обеспечение и проходила его первичная проверка. На третьем этапе проводился обучающий эксперимент. Полученные ре-

9
зультаты были проанализированы и обработаны средствами математической
t статистики, что позволило подтвердить справедливость теоретических

выводов и эффективность разработанного методического обеспечения.

Научная новизна исследования: проблема обучения элементам топологии решается на принципиально новой основе, которую составляет совместное формирование взаимосвязанных понятий и методов курса геометрии основной школы и топологии в контексте формы учебного процесса "урок — внеклассное мероприятие".

Теоретическая значимость исследования заключается в выявлении роли топологических представлений в математическом образовании школьников; выделении принципов отбора и конструирования содержания топологического материала; выделении методов топологии и составляющих их действий, а также выявлении этапов процесса формирования этих действий; обосновании целесообразности построения методического обеспечения обучения топологии в форме "урок - внеклассное мероприятие".

Практическая ценность результатов исследования состоит в том, что
I разработанное методическое обеспечение обучения элементам топологии в

курсе основной школы может применяться в практике обучения математике в основной школе. Результаты исследования могут быть использованы также при составлении учебно-методических пособий для учителей, учащихся и студентов.

Обоснованность и достоверность полученных результатов обеспечена опорой на методологические основы теории и методики обучения математике с учетом современных положений психологии обучения; применением методов исследования, адекватных его целям, задачам и логике; а также проведенным экспериментом.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Обучение элементам топологии строится на основе системного рассмотрения: действий, адекватных методам топологии; методики их формирования и программного содержания математики в контексте формы обучения "урок - внеклассное мероприятие".

2. Отбор топологического материала осуществляется с помощью следующей совокупности принципов: единство содержания и ме-

10 тодов топологии, гармоническое развитие личности средствами содержания, соответствие содержания форме обучения "урок - внеклассное мероприятие" и так далее - всего 11 принципов.

3. К действиями, адекватными методу топологических преобразований, от
носятся следующие: перевод вербального языка на топологический и об
ратно; видение (построение) топологической структуры соответствую
щей условиям задачи; использование топологических свойств объектов,
топологических закономерностей и теорем, справедливых для объектов
определенной природы; видение (построение) фигуры топологически эк
вивалентной данной; исследование задачи.

При решении задачи данный метод конкретизируется, и в зависимости от условий и требований задачи, преобразуется в один из методов совокупности: метод графового моделирования, метод объемного моделирования, метод математической индукции по топологическим инвариантам, метод решения лабиринтов, метод раскраски карт.

4. Важным средством обучения учащихся методам топологии являются
циклы задач, отражающие особенности каждого из методов топологии, а
также особенности процесса усвоения учащимися отдельных действий,
составляющих данный метод.

На защиту также выносится методическое обеспечение, включающее задачи для формирования у учащихся методов топологии.

Апробация основных положений и результатов настоящего исследования проводилась в форме докладов на заседании семинара аспирантов кафедры теории и методики обучения математике АГПИ (2003 г.), на заседании семинара аспирантов кафедры методики обучения математике Мордовского педагогического института (2003 г.), на Всероссийских, региональных и межвузовских научно-практических конференциях в Саранске (2002 г.), Нижнем Новгороде (2002 г.), Арзамасе (2002 г.).

Внедрение результатов диссертационного исследования осуществлялось в ходе экспериментальной проверки разработанного методического

обеспечения введения элементов топологии в курс математики основной школы.

По теме исследования имеется 10 публикаций.

Структура диссертации определена логикой и последовательностью решения задач исследования. Работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка используемой литературы. Основное содержание работы изложено на 174 страницах машинописного текста. Работа иллюстрирована 70 рисунками и содержит 84 задачи.

Г ЛАВ Ah ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ФОРМИРОВАНИЯ

ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ У УЧАЩИХСЯ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ

1. Предпосылки совершенствования

обучения математике в основной школе

(топологический аспект)

Авторы проекта стандартов школьного образования (сентябрь, 2002 год) обозначили основную цель общего среднего образования. Это подготовка разносторонне развитой личности гражданина, ориентирующейся в традициях отечественной и мировой культуры, в современной системе ценностей и потребностей современной жизни, способной к активной социальной позиции в обществе и самостоятельному жизненному выбору, к началу трудовой деятельности и продолжению профессионального образования, к самообразованию и самосовершенствованию. В качестве основных принципов и базовых оснований построения образовательного стандарта, направленных на реализацию указанной цели в частности фигурируют:

личностная ориентация содержания образования;

усиление гуманитарной направленности содержания образования;

1. Как указывается в "Концепции модернизации российского образования на период до 2010 года", модернизация общеобразовательной школы предполагает "ориентацию образования ... на развитие личности обучающегося, его познавательных и созидательных способностей". Этой проблемой продолжает заниматься ряд отечественных и зарубежных ученых. По данным психологических исследований наибольший сдвиг в развитии ребенка происходит на первых годах обучения.

Далее темпы умственного развития учащихся замедляются, а интерес к учебе падает вследствие недостаточного внимания к развивающей стороне обучения: так как, школьные уроки по-прежнему в своей массе направлены на изучение обязательной программы, а не на развитие мышления детей. Это положение может усугубиться в связи с переходом школ на новый базисный план и использованием образовательных стандартов. При этом переходе есть одна опасность: часть учителей может вновь нацелиться исключительно на ту сумму знаний, умений и навыков, которая включена в стандарт (а также см. п.1).

Традиционные программы и учебники, по которым обучается большинство учащихся, страдают рядом существенных недостатков. Так, если проанализировать ныне действующую программу и учебники по математике для средней школы, то нетрудно заметить, что упор в ней делается на типовые задачи со стандартным алгоритмом решения. При таком подходе, фактически ориентированном на среднего ученика, страдают наиболее способные учащиеся, которые не получают достаточного материала для развития своих способностей. Поэтому возникает потребность в некотором компромиссном варианте: использовать традиционные учебники, но для более способных учащихся включать в программу (в той или иной форме) некоторый дополнительный материал как теоретического, так и практического характера. Этот материал должен быть направлен, прежде всего, на развитие личности учащегося, а также на углубление теоретических знаний.

В ряде исследований установлено, что разноуровневая форма обучения не может дать положительного результата сама по себе, она требует огромной работы над содержанием и методикой преподавания. Какие же характеристики и положения должны являться определяющими при отборе содержания и выделении методических аспектов обучения?

Мощный толчок развитию современной методики дало появление идей гуманизации и гуманитаризации образования. Их реализация предполагает приобщение учащихся к творческой деятельности и требует так организовывать учебный процесс, чтобы знания имели для ученика личностный смысл, и при этом учитывалась бы индивидуальность учеников. Стало очевидным, что нельзя надеяться на эффективность преподавания, не стремясь подвигнуть учащихся к самостоятельному добыванию знаний. Актуально развитие таких качеств личности как познавательная самостоятельность, интерес к предмету и так далее.

Главное в новой педагогической парадигме - личностно ориентированное обучение. Поэтому к исходным положениям, определяющим специфику методической системы обучения математике, следует отнести психологическую структуру личности, закономерности её развития.

Такой подход противоположен характерному для традиционной педагогики коррекционному подходу. При коррекционном подходе первоначально выявляются пробелы в знаниях' и умениях учащегося, а затем они ликвидируются посредством специальной дополнительной системы упражнений. Такой подход неэффективен по целому ряду причин (отрицательная мотивация, негативные эмоции).

Для осуществления подхода, включающего гуманитаризацию во внешнюю среду необходимо иметь некоторую модель, описывающую возрастные и индивидуальные особенности математического мышления школьников, чтобы в соответствии с ней строить процесс обучения.

2. Такая модель построена Ж. Пиаже [68] и далее развита в трудах П.-Х. Ван Хилле, Л.М. Веккера, Н. Винера, А.Н. Колмогорова, В.А. Крутец-кого и других. Она базируется на положении об изоморфизме основных математических структур (выделенных Н. Бурбаки) структурам мышления ребёнка. Согласно этому положению, мыслительные операции, на которых базируется математическое мышление ребёнка, существуют не изолированно, а координируются (объединяются) в системы, непосредственно соответствующие структурам математическим.

В математике идеи структурно-системного анализа оказались связаны, прежде всего, с развитием теории множеств, абстрактной алгебры, топологии, математической логики. Значительный вклад в систематизацию современной математики на базе основных математических структур внесла работа группы французских ученых математиков (А. Вейль, Ж. Дьедонне, Л. Шварц, К. Шевалле, С. Эйленберг и другие), выступавших под псевдонимом Н. Бурбаки. Однако, как отмечал А.Н. Колмогоров [44], концепция математических структур сложилась еще на рубеже XIX и XX веков. Широкие круги математиков познакомились с ней по "Основаниям геометрии" Д. Гильберта. Группа Н. Бурбаки поставила своей целью провести систематизацию всей математики так, чтобы различные до тех пор разделы математики стали бы звеньями единого организма. В основу этой систематизации они положили аксиоматический метод, теорию множеств и понятие математической структуры, Н. Бурбаки следующим образом объясняют, что надо понимать в общем случае под математической структурой: "Общей чертой различных понятий, объединенных этим родовым понятием, является то, что они применимы к множеству элементов, природа которых не определена. Чтобы определить структуру, задают одно или несколько отношений, в которых находятся его элементы; затем постулируют, что данное отношение или данные отношения удовлетворяют некоторым условиям ( которые перечисляют и которые являются аксиомами рассматриваемой структуры)"[10].

Таким образом, математическая структура Н. Бурбаки - это система S = <Мь Мг,...М_п; Ri, R2, ..., Rk⁵*» состоящая из определенных базовых множеств Mi, М2,."Мп и заданных на этих множествах отношений Ri, R2, ..., Rk, свойства которых описываются аксиомами.

Математика интересуется, по словам А.Н. Колмогорова [44], только теми свойствами структур, которые вытекают из принятой системы аксиом, то есть изучает структуры только с точностью до изоморфизма. Изоморфные структуры могут отличаться элементами, отношениями, но они неразличимы с точки зрения свойств этих отношений. Использование понятия изоморфизма структур приводит в математических исследованиях к значительной экономии мысли.

В своей аксиоматической основе математика представляется совокупностью математических структур. Эти структуры, согласно Н. Бурбаки, подразделяются на три основных типа: алгебраические, порядковые и топологические. Но число три не является абсолютным, некоторые последователи Н. Бурбаки считают необходимым добавить в этот список проективные и метрические структуры.

Развивая свою идею дальше, Ж. Пиаже приходит к выводу, что в своём математическом развитии ребёнок не повторяет исторически сложившиеся этапы становления математики как науки (от метрических структур к топологическим), а двигается в прямо противоположном направлении (от топологических структур к метрическим). Движение здесь происходит в следующей последовательности: "Исходя... от интуиции фундаментальной топологии, ребенок ориентируется в дальнейшем в направлении проективных структур и структур метрических" [67]. Так обнаружилось, что уже в трёхлетнем возрасте ребёнок легко различает такие топологические характеристики как "открытые" и "замкнутые" фигуры: если попросить ребёнка нарисовать квадрат или треугольник, он рисует замкнутую линию, рисует крест двумя отдельными линиями и тому подобное.

Если показать ему рисунок большого круга с маленьким кругом внутри, он может воспроизвести это отношение, но может также нарисовать маленький круг вне большого или соприкасающийся с ним. И всё это он может сделать прежде, чем сумеет нарисовать прямоугольник или отразить евклидовы характеристики фигуры (число сторон, углы и так далее). Лишь значительно позже того, как ребёнок овладевает топологическими отношениями, он начинает развивать свои понятия евклидовой и проективной геометрий [67].

Ж. Пиаже считает, что в мышлении ребенка уже изначально (как бы обусловлено самой природой) заложены предпосылки для образования понятий, соответствующих основным математическим структурам, которые с необходимостью определяют логику их развития. Характеризуя развитие детского мышления, он утверждает, что оно детерминировано внутренними законами и происходит спонтанно.

Онтогенез восприятия, согласно Ж. Пиаже, Л.М. Веккеру и другим психологам, строится от топологии к метрике, хотя исторически, как считается, геометрия развивалась от метрики к топологии. Последнее утверждение может быть поставлено под сомнение, если говорить о зарождении геометрии, которое связывают с необходимостью измерения земельных участков, периодически скрывающихся под водами Нила. Любые замеры требуют предварительного выделения объекта для измерения, в данном случае участка и его формы (хотя бы приблизительной). Но это исключает утверждение о первичности метрических пространственных представлений.

На начальной стадии восприятия информация, поступающая в мозг, развивается в образ объекта, который занимает уже какую-то часть пространства, в котором можно выделить наличие контура без четкой дифференциации его формы. Именно на этой стадии формируются топологические структуры, в основе которых лежит способность выделять объект и фон. Восприятие является той первой функцией, которая участвует в деятельности внимания. Осознанность и произвольность внимания характеризуется рань-

18 ше всего умением произвольно отметить фигуру и фон. Л.С. Выготский отмечает: "Если я умею видеть вещь только таким способом, который диктуется структурой этой вещи, то мое внимание максимально непроизвольно. Если же я умею видеть вещь так, что я могу любой элемент этой вещи сделать центром, фигурой, а все остальное фоном, то мое внимание становится максимально произвольным" [17].

Итак, произвольное восприятие начинается с выделения объекта на фоне. Эта деятельность лежит в основе рассмотрения геометрических фигур, решения геометрических задач на "загруженных" чертежах, когда на чертеже присутствуют элементы, не "работающие" в ситуации задачи или на каком-то этапе ее решения. Так, например, в процессе решения задач часто приходится на фоне многоугольника или других фигур с внутренними элементами увидеть определенную фигуру или отношение (школьный курс планиметрии насыщен такими задачами).

Деление на объект и фон относительно. Они могут меняться местами. Наличие такой динамики необходимо не только при рассмотрении картинок типа "Старуха и дама", связанных со зрительными иллюзиями, но и при решении математических задач. Изначально на рисунке, чертеже ученик рассматривает указанный в задаче объект или рисует его сам, а далее для доказательства часто требуется последовательно выделять объекты, принимая ранее выделенный объект или его часть за фон. В основе действия выделения фигуры лежат ответы на такие вопросы: обладает ли часть плоскости или пространства свойством связности, ограничена она или нет, замкнута или нет, каковы внутренняя и внешняя области фигуры, ее граница, что предполагает понимание такого фундаментального свойства окружающего нас пространства как непрерывность. Это означает, что именно соответствующие топологические пространственные представления лежат в основе восприятия объектов, в том числе и геометрических фигур, и создают базу для развития у учащихся проективных и метрических пространственных представлений.

Следовательно, и обучение должно быть построено согласно развитию мышления учащихся. Оценивая этот подход к обучению, известный математик и педагог А.И. Маркушевич назвал его "подлинно "детским" путём" в математику. А В.В. Давыдов утверждал, что "если школьное обучение идёт вразрез с формированием математической интуиции самого ребёнка, более адекватной развёртыванию математических структур, то появляется основание для суждения о том, что обучение не столько развивает математическое мышление ребёнка, сколько препятствует этому" [71].

Некоторые исследователи расширяют номенклатуру основных типов структур. Так, выделяют следующие основные подструктуры математического мышления: топологическую, проективную, порядковую, метрическую и алгебраическую (А.Н. Колмогоров, И.Я. Каплунович). Топологические подструктуры обеспечивают замкнутость, компактность, связность имеющихся математических представлений, непрерывность их трансформаций, установление областей их включения и пересечения. Проективные - детерминированы феноменом сходства, которое позволяет человеку распознавать и оперировать геометрическими объектами с различных точек отсчёта и устанавливать сходство (соответствие) между моделью геометрического объекта (реальной или символической) и её различными изображениями. Порядковые - позволяют вычленять в математических объектах такие отношения как больше - меньше, ближе — дальше, часть - целое, положение, форму, конструкцию предмета и другие отношения квазилинейного и частичного порядка. С помощью метрических подструктур удаётся устанавливать количественные величины и отношения (численные значения линейных размеров, углов, расстояний). Наконец, с помощью алгебраических подструктур осуществляют не только прямые, но и обратные операции, замену нескольких из них одной из данной совокупности, выполнение их в любой последовательности и так далее [37].

Заметим, что в существующем курсе математики развитию топологических структур как таковых почти не уделяется внимания. Но из вышеска-

20 занного следует, что без такого развития невозможно в полной мере развитие и других структур математического мышления, а, значит, и формирование гармонически развитой личности.

Таким образом, необходимость существования топологической линии в школьном курсе математики обуславливается фундаментальными особенностями развития мышления человека.

3. Говоря о топологическом аспекте совершенствования геометрического образования нельзя не отметить значение топологии для понимания предмета геометрии, ее методов, а также общекультурную роль топологических представлений. Топологический материал способствует ознакомлению учащихся с современными математическими идеями и путями их развития.

Отдельной областью математики топологию стали считать примерно 80 лет назад [81]. Но в основном её развитие приходится на последние 60 лет. Будучи самой молодой и наиболее энергично развивающейся из ветвей математики, она оказала огромное влияние на большинство более старых ветвей. Топология была вызвана к жизни потребностями математического анализа. Но она не является его разделом, а скорее стоит ближе к геометрии. Самое поразительное - то, что идеи топологии проникают почти во все области математики.

Топология изучает наиболее общие свойства геометрических фигур, связанные с "прикосновением" друг к другу частей фигуры и с непрерывностью в самом общем виде. Поэтому в определении топологического пространства оставленны лишь те свойства, которые связаны с этими понятиями. Имеется несколько равносильных аксиоматик топологического пространства. Приведем одну из них.

Итак, пусть задано некоторое множество X. Его элементы будем называть точками. Выделим семейство Ф некоторых подмножеств G_a множества X. Будем говорить, что семейство Ф = {G_a} является топологической структурой в X, если оно удовлетворяет следующим условиям:

А1. Объединение любой системы множеств из Ф принадлежит Ф.

А2. Пересечение любых двух множеств из Ф принадлежит Ф.

A3. Пустое множество принадлежит Ф.

А4. Само множество X принадлежит Ф.

Часто топологическую структуру Ф называют топологией в Х.Г11]

Первые топологические сведения можно найти в работах К. Вейершрасса (60-е годы 18 столетия). Затем появляются первые точные топологические определения, соотношения, инварианты, найденные Кантором, Эйлером, Гауссом, Риманом. Комбинаторной или алгебраической топологии положили начало в 90-х годах прошлого столетия работы А. Пуанкаре. Теоретико-множественная топология была поставлена на твёрдое основание Ф. Хаусдорфом и его последователями на протяжении первого десятилетия прошлого века. Объединение комбинаторного и теоретико-множественного направлений топологии впервые было осуществлено Л.Э. Брауэром при изучении понятия размерности (1908— 1912 г.). Существенное развитие этой объединённой теории было произведено в период с 1915 по 1930 г. Д.У. Александером, П.С. Александровым, П.С. Урысоном, С. Лефшецем и другими.

Первым, кто использовал и популяризировал термин топология был Лефшец, опубликовавший в 1930 году книгу под таким названием. С 1930 года топология развивалась ускоренными темпами. Однако, приблизительно до конца 50-х годов, она рассматривалась даже математиками других областей как красивая, но бесполезная игрушка. Затем были найдены многочисленные приложения топологии не только к другим разделам математики, но и к другим наукам. Обычно такие приложения осуществлялись через посредство какой-либо промежуточной математической дисциплины. Например, изменения, внесенные топологией в дифференциальную геометрию, положили начало топологическим представлениям в теории относительности. С начала 70-х годов началось интенсивное проникновение методов топологии в аппарат современной физики. Сейчас важность топологических методов для различных разделов физики уже не вызывает сомнений — эти методы играют важную роль в теории поля и общей теории относительности, физики анизотропных сплошных сред и низких температур, современной квантовой теории и так далее. [92].

Говоря о топологических структурах или топологиях Н. Бурбаки [11] отмечает, что "в них находят абстрактную математическую формулировку интуитивные понятия окрестности, предела, непрерывности, к которым нас приводит наше представление о пространстве". Понятия об этих структурах возникли также в процессе исторического развития. Они обеспечивают замкнутость, компактность, связность пространственных объектов, непрерывность их трансформаций, мысленное "выращивание", "вылепление" в представлении рассматриваемого объекта.

Сейчас топология превратилась в один из основных разделов математики, фактически стала необходимой для многих её областей и объединяющей основой почти для всей математики. Современная топология находит ряд важнейших приложений в математике, физике, в молекулярной биологии, в космогонии и так далее.

Топологический материал способствует более глубокому пониманию геометрии и ее методов, выявлению наиболее фундаментальных геометрических (топологических) свойств объектов различной природы, формированию стиля научного мышления.

Топология как раздел геометрии по существу в школьном курсе никак не представлена. Лишь отдельные определения и задачи скрыто опираются на топологические свойства фигур. Например, определения: "Окружность-это граница круга" или "Многоугольником называется часть плоскости, ограниченная простой замкнутой ломаной", задача на подсчёт всех диагоналей выпуклого многоугольника. Однако вполне возможно установить определённые связи между элементарной геометрией и топологией. Более того, стремление выявить наиболее глубокие геометрические свойства фигур необходимо приводит к идеям топологии. Например, такие фундаментальные топологические понятия как "внутренняя область", "внешняя область", "граница" лежат в основе понимания любой двумерной или трехмерной фигуры, изучаемой в школьном курсе планиметрии и стереометрии, и определяемой как часть плоскости или пространства, ограниченной определенной линией или поверхностью соответственно.

К топологическим свойствам относятся такие, которые не меняются при деформациях пространства, допускающих любые растяжения без разрывов (допускается разрыв или разрез, если затем производится склейка в том же месте): непрерывность (континуальный порядок), протяженность - свойство пространства, определяющее его топологию. Что касается мерности пространства (количества измерений), то в современных концепциях мерность не всегда относят к основным топологическим свойствам пространст-

23 ва. Свойства, связанные с измерениями длины, а также изотропность и однородность, относятся к метрическим свойствам пространства. Топологические свойства обладают большей фундаментальностью, нежели метрические. Это проявляется, например, в том, что "если бы все тела во вселенной увеличились в одинаковое количество раз, то подобного изменения, скорее всего, никто бы и не заметил. В то же время нарушение непрерывности (порядка) привело бы к нарушению близкодействия, что уже можно было бы обнаружить" [20]. В математике топологическими свойствами называют свойства фигуры, не меняющиеся при таких деформациях как гомеоморфизм (отображение одной фигуры на другую, если оно непрерывно — задано при помощи некоторой непрерывной функции в какой-либо декартовой системе координат, и взаимнооднозначно, то есть устанавливает взаимнооднозначное соответствие между точками обеих фигур).

Большую роль в современной геометрии как науке играют группы геометрических преобразований. Впервые это подметил Ф. Клейн ещё в XIX веке. Понятие геометрического преобразования является одним из основных в школьном курсе геометрии. Свойства фигур, которые сохраняются при данном преобразовании, называются инвариантами этого преобразования.

Рассмотрим некоторые известные из школьного курса преобразования и их инварианты.

а). Центральная симметрия. Нетрудно убедиться в том, что следующие свойства являются инвариантами этого преобразования (рис.1):

1. свойство фигуры быть прямой; .

2. свойство фигуры быть отрез- / \\

ком; /**^ч»ч\ \\

3) свойство фигуры быть окруж- ^.-./^.^,4

"Vv .- *

ностью; ^'"'Vv//

4. свойство угла иметь данную \ V/ ^->С величину; Рис. 1 \\ /

5. свойство фигуры иметь опре-

24 делённую площадь;

6) свойство фигуры иметь определённый диаметр;

7) свойство фигуры быть незамкнутой
кривой;

8) свойство фигуры быть замкнутой кри
вой.

б). Гомотетия.

Сравнение свойств центральной сим-метрии и гомотетии показывает (рис. 1,2), что *"" рассмотренные выше свойства 1,2,3,4,7,8 являются также инвариантами гомотетии. Но свойства 5 и 6 при гомотетии не сохраняются.

Из нескольких геометрических свойств фигуры более глубоким считается то, которое оказывается более устойчивым, то есть такое, которое выдерживает большее количество различных преобразований, оставаясь неизменным. Несомненный интерес представляет вопрос о том, какие из геометрических свойств данной фигуры являются наиболее глубокими. Для того чтобы на него ответить, нужно отыскать более общие преобразования, частными случаями которых являлись бы рассмотренные ранее преобразования. Ведь если некоторое свойство является инвариантом общего преобразования, то оно будет инвариантом и для всех преобразований, которые являются частными случаями данного.

Например, нетрудно убедиться в том, что центральная симметрия - это гомотетия с коэффициентом k = -1. Поэтому, все инварианты гомотетии будут инвариантами и для центральной симметрии. В свою очередь для гомотетии будут инвариантами все инварианты аффинных преобразований плоскости и так далее.

Ответ на поставленный вопрос сводится, таким образом, к поискам соответствующих групп преобразований. Будем исходить из следующих сооб-

25 ражений. Попытаемся выявить те общие условия, которым удовлетворяет каждое из рассмотренных преобразований, и, таким образом, подойдём к характеристике искомых преобразований - топологических. Они обладают свойствами взаимнооднозначности и взаимнонепрерывности. При преобразованиях более общих, чем топологические, не сохраняется такое фундаментальное свойство как размерность. При топологических преобразованиях оно сохраняется, как это было доказано Л.Э. Брауэром в 1911 году.

Таким образом, топологические преобразования являются, в некотором смысле, наиболее общими преобразованиями, сохраняющими размерность. Поэтому, изучение топологии даёт возможность выявления наиболее глубоких свойств геометрических фигур.

Из обозначенных выше предпосылок следует, что обучение топологии (развитие топологической подструктуры математического мышления учащихся) должно занимать подобающее место в школьном курсе математики.

Очевидно, что обучение топологии невозможно без учета особенностей современного курса математики основной школы и динамики процесса его изменения, протекающего в настоящее время.

4. Существенно сокращено количество часов, отводимых на изучение математики (а, следовательно, и геометрии). С 80-х по 1995 год математика потеряла 25,4% времени. На Втором международном исследовании математической подготовки учащихся (TIMSS) в 1990-91 годах Россия показала 4— 5-ый результат по качеству математических знаний, но уже на Третьем международном исследовании в 1995 г. наша страна заняла лишь 16-е место. Если разделить участвующие в тестировании страны по уровню результатов условно на три группы: с результатами значительно выше международного среднего, на уровне международного среднего, существенно ниже среднего, то Россия попадает только в третью группу. В то же время по результатам Первого международного исследования математической подготовки учащихся, проведенного в 1987-89 годах Центром педагогического тестирования -

26 ETS (Educational Testing Service), Россия входила в пятерку стран, показавших наиболее высокий результат [42].

Грядущая реформа "предусматривает дальнейшее сокращение программ и часов по естественнонаучным предметам, включая математику" [43].

5. Важнейшей педагогической проблемой является разрешение противоречия между первичностью пространственных форм с точки зрения процесса познания мира, их физическим реализмом сравнительно с абстрактностью плоских фигур и традиционной логикой построения геометрических курсов, развивающихся от плоской к пространственной геометрии. Стереометрия появляется лишь в 10-м классе.

В результате этого противоречия к старшему школьному звену большинство школьников называют геометрию в ряду самых сложных учебных предметов. Учителя сталкиваются со слабым развитием пространственных представлений учащихся: легко справляясь с вычислительными задачами (вычисление объёмов, площадей) они не могут правильно строить сечения, решать задачи на комбинации пространственных фигур и тому подобное.

Таким образом, необходимость модернизации курса геометрии осознаётся и поддерживается многими математиками и методистами.

Исходя из изложенных предпосылок и общих целей обучения математике, сформулируем цели изучения элементов топологии.

Общеобразовательные цели.

Овладение системой математических знаний, умений и навыков, дающей представление о предмете топологии, ее языке, топологическом моделировании, топологических методах и приемах, связанных с ними, о развитии топологии.

Воспитательные цели.

Формирование мировоззрения учащихся, формирование логической и эвристической составляющей мышления, формирование алгоритмической культуры, приобщение к творческой деятельности, воспитание нравственно-

27 сти, культуры общения, самостоятельности, активности, эстетическое воспитание школьников, воспитание трудолюбия.

Практические цели.

Формирование умения строить топологические модели простейших реальных объектов и явлений, исследовать их по заданным моделям, конструировать приложения моделям, ознакомление с ролью топологии в современной науке.

2. Анализ проблемы исследования в учебно-методической литературе

Проблему обучения элементам топологии невозможно рассматривать вне контекста обновления школьного курса геометрии.

В настоящее время существует множество мнений по совершенствованию курса геометрии. Некоторые идеи и предложения уже воплотились в конкретных учебниках, дидактических материалах, пособиях.

Геометрическая составляющая курса математики заметно усилилась уже в начальных классах (Н.Я.Виленкин и Л.Г.Петерсон; В.А.Панчищина, Э.Г.Гельфман, В.Н.Ксенева, Н.Б.Лобаненко). Созданы учебники геометрии для 5-6 классов (И.Ф.Шарыгин и Л.Н.Ерганжиева). Широко используются геометрические (графические) представления в новых учебниках алгебры (А.Г.Мордкович) и при изучении начал комбинаторики (Математика 6/ под ред. Г.В.Дорофеева, И.Ф.Шарыгина) и так далее.

Некоторые методисты выступают за внедрение геометрического материала на всех этапах школьного обучения. Например, И.Ф. Шарыгин [91] предлагает следующую систему обучения геометрии. На первом этапе (1-6 класс) единый курс математики с широкой геометризацией всего изучаемого материала, приоритетность пространственных форм. Причём в течение двух последних, лет присутствует выделение чёткой геометрической линии. На втором этапе (7-9 классы) вводится систематический курс геометрии, частично фузионистический (к плоской геометрии добавляются элементы пространственной). На последнем этапе (10-11 классы) предлагаются многочисленные спецкурсы, программы которых определяются целями и потребностями соответствующих категорий школьников.

Н.С. Подходова [69] разработала концепцию обучения геометрии в 1-6 классах. Процесс обучения геометрии строится в рамках личностно ориентированного подхода и развивающего обучения. Изучение геометрического материала должно реально являться пропедевтическим этапом как в плане раз-

29 вития определенных умений, необходимых для работы в геометрическом пространстве, так и в плане владения необходимой информацией. Основой приобретения знаний служит практическая деятельность, привлечение знакомых понятий из личного опыта, использование собственных стратегий учащихся. Основными идеями данного курса являются: идея фузионизма (в повседневной жизни учащиеся имеют дело с объемными фигурами, и с плоскими - как производными от объемных фигур); материал должен предполагать практическую деятельность учащихся (рисование, разрезание чего-либо, лепка из пластилина, конструирование); использование заданий, включающих сказочные персонажи, увлекательную фабулу, близкую детям, исторический материал.

Автор обращает внимание на топологический аспект процесса обучения геометрии и, вслед за Ж. Пиаже, говорит о первичности топологических представлений перед метрическими. Однако круг топологических понятий, рассматриваемых в диссертации, ограничивается понятиями области и ее границы, а предлагаемые задачи связаны с прохождением лабиринтов. При этом отсутствует четкая система методов решения даже этого узкого класса задач.

В.В. Орлов разрабатывает единый курс геометрии 1-12, первым этапом которого должен быть пропедевтический курс геометрии 1-6, разработанный Н.С. Подходовой.

За выделение отдельного курса геометрии в среднем звене (5-6 классы) выступают также Т. Ходот [89] и С.В.Кириллова [41].

Широкое распространение в последнее время получило изложение геометрического материала согласно принципу фузионизма (плоские фигуры рассматриваются как элементы пространственных) (СВ. Кириллова, Н.С. Подходова и другие). В качестве аргумента в пользу этого подхода приводится жизненный опыт учащихся (в повседневной жизни плоские фигуры существуют как элементы пространственных). Однако в практике обучения выявилась и "обратная сторона медали" - учащиеся не могут узнавать (вое-

принимать) плоские фигуры и оперировать ими в отрыве от пространственных.

В настоящее время всё больше методистов приходят к необходимости введения топологии в школьный курс геометрии.

Сейчас обсуждаются следующие предложения:

1. Включение в систематический курс математики теории графов и её приложений. Для начальной школы (1-3 классы) этот вопрос обсуждается в [82] (СВ. Сурикова, М.В. Анисимова "Использование графовых моделей при решении задач"). Сторонники этой точки зрения (М.М. Тоненкова, Е.Е. Белокурова, Л.Г. Петерсон и др.) обращают внимание на доступность, наглядность и, что немаловажно, широкое применение теории графов к решению задач (арифметических, логических, задач на сравнение числа элементов множеств, комбинаторных задач). Графовая схема проста в исполнении и посильна для ребенка (графы могут быть исполнены детьми, которые не умеют читать и писать), и, кроме того, вызывает положительные эмоции: дети с удовольствием составляют схемы, рисуют их. Исследования, проведенные М.М. Тоненковой, показывают, что графы способствуют развитию логического и абстрактного мышления. Американские педагоги также считают, что изучение графов ценно, поскольку графы существуют везде, и даже маленькие дети неожиданно сталкиваются с ними, когда рисуют или играют. Кроме того, графы полезны, они встречаются на картах дорог, созвездий, круговых диаграммах, при построении схем и чертежей; графы важны, они лежат в основе многих компьютерных программ, которые делают возможными современные коммуникации и технологические процессы. Наконец, американские ученые полагают, что графы просто забавны. В настоящее время некоторые программы для начальной школы включают задания о графах (например, учащиеся знакомятся с деревом возможностей, которое используется для упорядочения вариантов решения комбинаторных задач).

2. Некоторые задачи топологического характера включаются в основное содержание курса математики с пометкой "для учеников, увлекающихся математикой" (Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С.Чесноков, СИ. Шварцбург [56, 57], Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин [54, 55]). В этих учебниках учащиеся встречаются с такими терминами, связанными с топологией, как "вне", "внутри", "граница", но либо эти термины "привязаны" к какой-либо конкретной геометрической фигуре и в дальнейшем "не работают", либо встречаются после знакомства учащихся с величинами. Практически во всех учебниках ознакомление учащихся с топологическими и мет рическими свойствами проводится параллельно. С точки зрения математики в топологических структурах отражаются представления об окрестности, пределе, непрерывности, к которым приводит само окружающее нас пространство. Но в указанных учебниках не создаются условия для формирования этих представлений у учащихся. Отсутствуют задания, направленные на создание у учащихся интуитивных представлений о непрерывности, об области, как части пространства или плоскости, обладающей свойством непрерывности. А именно эти понятия будут часто использоваться в дальнейшем при определении геометрических фигур и отношений между ними. В этом подходе топологическая линия как таковая не прослеживается.

3. Топологический материал предлагается для внеклассной работы в 5-6-ых классах, причём он выделен в отдельный блок (И.Ф.Шарыгин, Л.Н. Ер-ганжиева [91], И.И. Баженов, А.Г. Порошкин, А.Ю. Тимофеев, В.Д. Яковлев [6], М.Н. Ерохина [32]). Одной из задач курса "Наглядная геометрия" И.Ф. Шараыгина, Л.Н. Ерганжиевой является привитие учащимся интереса к математике, а для этого необходимо показать математику во всей ее многогранности, акцентируя внимание на интересных, занимательных темах. Данный курс также направлен на эстетическое развитие учащихся. Ведущей методической линией курса является организация разнообразной геометрической деятельности: наблюдение, экспериментирование, конструи-

32 рование и тому подобное. В результате учащиеся самостоятельно добывают геометрические знания, развивают специальные качества и умения: геометрическую интуицию, пространственное воображение, глазомер, изобразительные навыки. Последовательность изучаемых тем определяется не столько логикой предмета, сколько установкой на разнообразие и регулярное изменение видов геометрической деятельности. Топологические задачи присутствуют эпизодически с чисто занимательной целью. Однако наряду с другими присутствуют параграфы "Правильные многогранники", "Топологические опыты" и "Лабиринты", имеющие прямое отношение к топологии. Учащиеся знакомятся с формулой Эйлера, листом Мебиуса (с которым проводится несколько экспериментов), понятием графа, задачами на вычерчивание фигур одним росчерком, некоторыми правилами прохождения лабиринтов. Каждая тема рассмотрена как обособленная, вне какой-либо связи с другими темами и понятиями. Топологические представления эпизодичны и не имеют развития. Характер изложения в данных пособиях может быть определён как занимательно-ознакомительный.

4. Отдельные темы предлагаются для 10-11-ых классов с углублённым изучением математики (А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик [2], А.Л. Вернер, Б.Е. Кантор, С.А. Франгулов [15], "Математика", сост. Г.В. Пи-чурина [53]). В первой из этих книг на достаточно высоком научном уровне излагаются темы "Топологические отношения точки к множеству", "Теорема Эйлера", "Правильные многогранники" и близлежащие к ним. Эти темы выделены в отдельный блок, внутри которого прослеживаются система и взаимосвязь, доказывается ряд теорем. Во втором пособии необходимость изучения топологии аргументируется следующим образом. В стереометрии круг изучаемых геометрических фигур становится значительно шире, уровень строгости повышается, и в старших классах вполне естественно достаточно подробно обсудить с учениками встречающиеся топологические понятия. Это, прежде всего понятие геометрического тела, его внутренности, внешно-

33 сти и границы. А для введения этих понятий необходимы понятия внутренней и граничной точек фигуры. На базе таких понятий возможно рассмотрение уже на новом уровне понятий многоугольника, многогранника и их элементов, развертки многогранника, вопроса классификации топологически правильных многогранников.

5. Некоторые вопросы топологии предлагаются для внеклассной работы в старших классах (10-11 классы) (А.А.Саркисян, Ю.М.Колягин [79]). В данном пособии последовательно изложены следующие темы "Уникурсаль-ные фигуры", "Лабиринты", "Геометрия нитей", "Теорема Эйлера для плоского графа", "Задачи, решаемые с помощью графов", "Правильные многогранники". Пособие направлено на развитие интереса учащихся к математике вообще и к топологии в частности. Предлагаются к рассмотрению как занимательные, так и исследовательские задания, задачи на доказательство.

Из анализа подходов 1-5, представленных в методической литературе, а также, исходя из сказанного в 1, можно сделать следующие выводы:

1. Ни в одном из действующих учебников "Математика 5,6" не просле
живается топологическая линия. Элементарные топологические представле
ния присутствуют, однако они бессистемны, "случайны", играют вспомога
тельную роль, не имеют развития. Внесение дополнительно элементов
топологии в уже сложившееся содержание курса геометрии представляется
невозможным в виду сокращения количества часов на изучение естественно
научных дисциплин, как отмечалось выше ( 1 п.1). При этом потребуется
кардинальная перестройка этого курса, затрагивающая основы математиче
ского образования в целом. Поэтому в настоящее время требуется поиск но
вых форм включения учебного материала по топологии в курс геометрии ос
новной школы.

2. Наиболее приемлемым для обучения элементам топологии является
среднее звено (5-6 классы). Это обусловлено необходимостью как можно бо
лее раннего знакомства с топологией (как указывалось в 1) с одной сторо-

34 ны. А с другой стороны, учащиеся уже имеют первичные навыки вычислений, оперирования числовыми и буквенными выражениями, начальные понятия о геометрических фигурах, что представляет возможности для рассмотрения более широких классов топологических задач.

3. Основным недостатком кружковых и факультативных занятий, описанных в существующих пособиях, является их слабая связь с материалом, который изучается на уроках. Это ведёт к тому, что топологические свойства различных объектов воспринимаются в отрыве от остальных их свойств. При этом у учащихся складывается впечатление, что топология - это нечто совершенно иное, нежели геометрия.

Учитывая эти факторы, оптимальным способом организации учебного процесса представляется пара " урок - внеклассное мероприятие" (Г.И. Саранцев, Е.В. Востокова). Внеклассное мероприятие продолжает, развивает урок. Такой подход позволяет выявить наиболее глубокие (топологические) свойства геометрических объектов, изучаемых на уроке, то есть делает знания учащихся более основательными, развивает их творческие способности и интерес к математике как к предмету. Знание топологических свойств и закономерностей способствует более успешному усвоению теоретического материала и решению задач по геометрии школьного курса. То есть существует и обратная связь: внеклассное мероприятие - урок.

Для успешной реализации этого направления необходимо осуществить:

отбор вопросов топологии для внеклассных мероприятий;

разработку методики проведения пар "урок - внеклассное мероприятие".

3. Принципы отбора содержания учебного материала по топологии

Важным аспектом исследования является отбор содержания топологического материала. В связи с этим возникает проблема принципов отбора содержания. Для избежания разночтений отметим, что под содержанием будут пониматься не только предметные факты (аксиомы, теоремы, определения), но и действия, адекватные им, общенаучные методы познания, а также специальные эвристические приемы и различные эвристики [76]. Принципы отбора содержания учебного материала по топологии должны вытекать в основном из целей изучения элементов топологии, сформулированных в 1, и методологических основ.

Во взаимодействии целей и содержания обучения выделены следующие уровни: уровень теоретического представления; уровень учебных материалов; уровень реального учебного процесса [76]. Их можно рассматривать как уровни принципов отбора содержания и их применения.

Таким образом, процесс разработки и постепенной конкретизации содержания топологического материала можно представить схемой.

В данной схеме использованы принципы и критерии отбора содержания. Чтобы избежать неясностей, уточним эти понятия.

Принцип - исходное положение, основная особенность в устройстве чего-нибудь, критерий — механизм реализации принципа.

На первом уровне, исходя из поставленных целей, формулируются принципы отбора содержания. Они определяют номенклатуру математических фактов, идей, методов, заключенную в специальных знаниях, умениях, эвристиках. На данном уровне содержание является дидактической моделью целей обучения и полностью определяется принципами отбора. Но уже на следующем уровне это же содержание играет ведущую роль в формировании принципов второго уровня, далее взаимодействует с ними и переходит в новое качество. Сказанное справедливо и для нижеследующих уровней.

Принципы второго уровня почти совпадают с принципами первого, то есть представляют собой конкретизацию этих принципов с учетом специфики уже отобранного содержания. Принципы второго уровня определяют учебный материал, который войдет в конкретную тему.

На третьем уровне принципы трансформируются в критерии отбора содержания, которые учитывают индивидуальные, личностные черты учеников; посещающих занятия, а также динамику реального учебного процесса.

Результатом взаимодействия уже отобранного содержания и сформулированных особенностей будет разработка содержания урока.

На отбор содержания обучения существуют различные точки зрения. В педагогической литературе разными авторами выделены различного рода принципы отбора, структурирования, а также критерии отбора и различные

37 характеристики содержания учебного материала, в зависимости от требований, которыми они руководствовались.

Например, Г.В. Дорофеев [31] выделяет следующие критерии отбора содержания гуманитарного курса математики:

1. Интеллектуальная ёмкость. Предполагает максимальные возможности для организации полноценной математической деятельности учащихся.

2. Дифференцированная реализуемость. Предполагает реализуемость усвоения программных знаний всеми учащимися в условиях развитой уровневой и профильной дифференциации и ограниченности объёма учебного времени совокупностью внешних факторов.

3. Познавательная ёмкость. Предполагает максимальные возможности для формирования, поддержания и развития интереса к изучению математики на каждом этапе обучения.

4. Диагностико-прогностическая ёмкость - выяснение математических и общеинтеллектуальных способностей учащихся с целью их обоснованной ориентации на профиль обучения и выбор специальности.

5. Возможность изучения других школьных предметов на современном уровне развития соответствующих наук - методик обучения.

VI. . Устойчивость и разумный консерватизм. Разумность консерва
тизма требует не столько приверженности к традиционному содержанию, а,
главное, к локальным целям изучения отдельных его компонентов, к иерар
хии конкретных компонентов, сколько выявления и адекватной реализации
значимости этих компонентов в процессе обучения. Это требует, в частности,
внесения в номенклатуру содержания компонентов, не включенных явно в
существующие программы, определённым образом выходящих за пределы
стандарта, однако, не только способствующих интеллектуальному и обще
культурному развитию учащихся, но и повышающих их возможности в ос
воении конкретных математических знаний.

Проанализируем эти критерии в соотнесении с целями данного исследования. В формулировке многих из них присутствует слово "ёмкость". "Ёмкий", по СИ. Ожегову, - вместительный, способный много вместить чего-нибудь.

Что же такое - интеллектуальная ёмкость? Интеллект [73] - это относительно устойчивая структура умственных способностей индивида, отождествляющаяся с системой умственных операций, со стилем и стратегией решения проблемы. Таким образом, критерий интеллектуальной ёмкости можно трактовать как "вместительность" содержания обучения относительно материала, развивающего умственные способности, интеллект учащихся. При анализе также возникает вопрос: что понимать под полноценной математической деятельностью? Обратившись к словарям и справочникам, выясняем, что: "полноценный" - полностью соответствующий требованиям; "математическая деятельность" [65] - активное отношение человека к окружающей среде, направленное на усвоение математических знаний, умений и навыков. Этот критерий даёт лишь весьма общее представление о направлении построения содержания. В таком виде для разработки содержания курса школьной математики его применение затруднительно, он нуждается в дополнительных пояснениях и уточнениях.

Второй критерий совсем не приемлем в этом отношении. Он требует отражения в содержании идей уровневой и профильной дифференциации. Уровневая дифференциация предполагает различную глубину усвоения материала учащимися одного класса. При этом определяющим является достижение обязательного уровня. Профильная же предполагает обучение различных групп школьников по программам, отличающимся объёмом сведений и глубиной их изложения.

Четвёртый критерий требует включения в содержание математики материала (упражнений и заданий), который выявлял бы умственные способности учащихся, определял направление их профессиональной деятельности в будущем.

І,

Весьма ценным является пятый критерий, однако в нем следует сделать акцент на соответствие содержания учебного предмета, прежде всего современному уровню развития методик обучения.

В целом, можно отметить, что предлагаемые критерии, хотя и содержат многие весьма ценные для разработки содержания обучения математике идеи, однако являются слишком общими и поэтому в таком виде не могут быть использованы для конструирования содержания материалов по топологии. У Г.В. Дорофеева имеются как принципы первого и второго уровня, так и критерии (например, дифференцированная реализуемость), которые не приемлемы для отбора общих тем содержания.

В.А. Оганесян [62] выдвигает ряд принципов отбора основного содержания обучения, исходя из дидактических принципов, затем каждый принцип реализуется в соответствующих критериях отбора.

I. Дидактический принцип воспитывающего и развивающего обу-

чения реализуется в принципах отбора содержания:

4. Мировоззренческая направленность обучения математике.

5. Направленность обучения математике на развитие интереса и мышления.

II. Дидактический принцип научности и доступности обучения реа
лизуется в принципах отбора содержания:

3. Научная строгость и логическая последовательность курса математики.

4. Системность и обобщенность математических знаний и опыта.

III. Дидактический принцип систематичности и последовательности
обучения реализуется в принципах отбора содержания:

5. Линейность расположения учебного материала систематических курсов алгебры и геометрии.

6. Логическая непротиворечивость и "экономичность" отобранного содержания обучения математике.

7. Дидактическая непротиворечивость логики построения курса математики и логики его познания.

8. Системность содержания обучения математики.

IY. Дидактический принцип связи обучения с жизнью и его политехнической направленности.

9. Практическая направленность обучения математике.

10. Прикладная направленность обучения математике.

11. Принцип межпредметных связей.

Каждому из приведенных принципов отбора у В.А. Оганесяна соответствует 3-6 критериев отбора содержания.

Несмотря на важность всех перечисленных направлений, можно отметить, что данный аппарат принципов и критериев довольно сложно применить на практике, в первую очередь, ввиду его громоздкости - он содержит около 50 критериев. Кроме того, формулировки принципов слишком обобщены и расплывчаты.

СП. Амутнова [4] предлагает следующие критерии отбора содержания учебного материала, удовлетворяющего требованию гуманизации образования и - как одному из составляющих - комплексному подходу к отбору содержания:

1. Критерий целостности содержания образования. Предполагает достаточно полное отражение в нём требований современного общества к всестороннему, гармоническому развитию личности и охват всех основных направлений науки, производства, общественной жизни и культуры.

2. Критерий научной и практической значимости элементов образования. Обеспечивает вычленение главных, наиболее существенных компонентов содержания, необходимых и достаточных для характеристики основных теорий, законов и понятий.

3. Критерий соответствия возрастным особенностям учеников. Предполагает выявление тех элементов содержания, которые вызывают

российская 41 государственная

большие затруднения у значительной части учащихся соответствующего возраста, поиск возможных путей устранения этих затруднений.

4. Критерий соответствия времени, отведенному на изучение данного учебного материала. Предполагает, что затраты времени, необходимые для глубокого и прочного усвоения соответствующих тем содержания, соответствуют критериям качества усвоения знаний, практических умений и навыков.

5. Критерий соответствия содержания учебно-методической и материальной базе современных образовательных учреждений.

По сравнению с критериями Г.В. Дорофеева, эти критерии более конкретны и более применимы к разработке содержания курса математики. Все оговоренные в них направления, действительно, очень значимы. Вызывает сомнения необходимость присутствия критерия целостности. Можно ли в содержании весьма ограниченного временными и иными рамками отдельного предмета отразить все направления развития науки, производства и общественной жизни, причем сделать это на должном научном уровне?

Болтянский В.Г., Глейзер Г.Д., Черкасов Р.С. [61] выделяют следующие принципы, которые должны лежать в основе концепции математического образования:

всеобщность, непрерывность математического образования на всех ступенях средней школы;

преемственность и перспективность содержания, организационных форм и методов обучения на каждой ступени;

дифференциация и индивидуализация математического образования, создание таких условий, при которых будет возможен свободный уровень изучения курса на 3-ей, а возможно и на 2-ой ступени обучения в соответствии со склонностями, способностями и личными планами учащихся;

гуманизация математического образования;

усиление воспитывающего характера обучения математике;

осуществление интегративности математической подготовки учащихся;

компьютеризация обучения;

перенос акцента в обучении на математическое развитие учащегося и обеспечение его гармоничности, то есть органически взаимосвязанного и сбалансированного развития интуитивного, логического, пространственного, метрического, конструктивного, символического компонентов умственной деятельности;

применение альтернативных вариантов учебно-методического обеспечения процесса обучения математики, предоставление учителю права выбора учебной и методической литературы.

Анализируя эти принципы, можно отметить, что принцип дифференциации и индивидуализации является критерием и "работает" только на третьем уровне. Другим недостатком является расплывчатость формулировок принципов, в связи с этим делается проблематичным их использование. Также можно заметить, что принципы не только тесно переплетаются между собой, но и включаются один в другой (например, принцип переноса акцента на развитие личности и обеспечение его гармоничности включает принцип гуманизации математического образования).

Скаткин М.Н., говоря об отборе содержания учебного предмета, отмечает необходимость определения глубины и степени детализации изучения соответствующих теорий. Такое определение даст возможность избежать вредных для целей общего образования усложнений, а также искажений и вульгаризации. Далее, пишет он, должна быть установлена глубина раскрытия сущности закона, понятия или теории с учётом возрастных особенностей учащихся и времени, отводимого на изучение курса. После того как осуществлен отбор теоретического материала, определяют последовательность его изучения. При этом необходимо учитывать связи данного предмета со смежными курсами. Он также отмечает необходимость развития творческого мышления учащихся [80].

Леднев B.C. выделяет два основных принципа, которых следует придерживаться при структурировании содержания образования:

1 .Комплексный подход к структуре содержания. Суть его он выражает так: "Подлинная комплексность учитывает и предметную структуру научного знания, и структуру деятельности, и структуру личности, и логику формирования личности" [50].

2.Функциональная полнота компонентов содержания образования. Она состоит в следующем: "В содержании общего образования должны быть представлены как в явном виде, так и имплицитно (в качестве "сквозных" включений) все его базисные компоненты, обеспечивающие физическое, нравственное, эстетическое, коммуникативное, умственное и трудовое образование" [50]. Содержание образования должно включать четыре основных компонента:

знания о человеке, природе, обществе, технике, мышлении и способах деятельности;

опыт коммуникативной, умственной, физической и трудовой деятельности;

опыт творческой, поисковой деятельности, преобразующей действительность материально и духовно;

опыт общественных и личных отношений, опыт эмоционально-ценностного отношения к деятельности и ее объектам.

В работе Лернера И.Я. и Журавлева И.К. описываются восемь принципов структурирования содержания образования, но основные из них в той или иной степени отражают два общих подхода, выделенных Ледневым B.C., и все они направлены, как говорят авторы, на развитие личности и формирование адекватного ее самоопределения.

Принципы, сформулированные B.C. Ледневым, работают на всех трех уровнях, и охватывают важные для отбора содержания направления, однако высокая степень обобщенности делает затруднительным конкретное применение этих принципов.

44 Иванова Т.А. [35] в контексте своей общей концепции гуманитарно-ориентированного образования выделяет следующие принципы отбора содержания обучения:

1. Системный подход. Он имеет ряд характеристик:

целостность, то есть принципиальная несводимость системы к
сумме ее частей, что и определяет новое качество системы;

> иерархичность, то есть каждый элемент этой системы тоже является системой;

сложные взаимосвязи внутри системы.

2. Синтез предметно-ориентированного и личностно-ориентированно-
го подходов к обучению.

3. Деятельностный подход. Он имеет следующие аспекты:

построение учебного процесса в соответствии с психологической структурой учебной деятельности, в которую входят три основных блока: мотивационный, операциоьчо-познавательный и рефлексивно-оценочный;

обучение следует вести так, чтобы оно в сжатой сокращенной форме воспроизводило исторический процесс рождения и становления знаний;

. в содержание образования должны быть включены действия,
адекватные понятиям, как общие, так и специфические.

4. Технологический подход. Применяется не ко всему содержанию, а
лишь при овладении основными дидактическими единицами: понятиями,
теоремами, алгоритмами. Также на каждом этапе ученик должен быть вклю
чен в математическую деятельность.

Принципы, сформулированные Т.А. Ивановой, скорее являются общими методологическими положениями, применимыми к любому компоненту процесса обучения. Каждое из этих положений должно быть дополнительно адаптировано непосредственно к отбору содержания. Весьма перспективными в этом отношении представляются принцип системности и

45 второй из сформулированных автором принципов. Также важными представляются направления, соответствующие деятельностному подходу.

Н.С. Подходова [69] в своем диссертационном исследовании выделяет следующие основные принципы построения курса геометрии 1-6:

I. Основой построения курса геометрии является развитие психо-

логической структуры перцепт-понятие. Процесс развития перцепта от простой гомогенной основы до целостной сложной разноуровневой иерархически организованной структуры - понятия лежит в основе изучения курса геометрии, направленного на психическое развитие ребенка. Этот процесс должен обеспечить переход от перцептивного пространства (в основе постижения которого лежат перцептивная деятельность, работа с образами, имеющиеся у учащихся знания о реальном пространстве) к концептуальному (геометрическому), представленному логической системой понятий с целью познания в конечном итоге реального пространства. (Структура перцепт-понятие связана у автора с процессом восприятия).

И. Использование идеи фузионизма при обучении геометрии, выделение курса геометрии отдельно от элементов алгебры и арифметики.

III. Приоритет целостного подхода по отношению к аналитическому при изучении геометрии.

Применение первого принципа выделенного Н.С. Подходовой представляется проблематичным в виду специфичности применяемых терминов и размытости в формулировке. Действие второго принципа также ограниченно (он применим лишь на начальной ступени образования).

Е.В. Востокова [16] отмечает важность для построения курса математики начальных классов следующих положений:

— выбор универсальной модели содержательного аспекта внеурочной работы по математике предполагает на первом этапе диагностику математических тем, которые следует квалифицировать как наиболее трудные для младших школьников;

выработка у учащихся качества математической креативности, то есть потребности к творческой деятельности при обучении математике и применение её, наряду с репродуктивными, эвристическими и исследовательскими методами;

ориентация обучения математике в начальных классах на развитие интеллектуальной деятельности в соотношении с выработкой мотивации и интереса к учёбе, к предмету, оказывая тем самым положительное влияние на развитие таких качеств, как внимание, память, эмоции;

урок и внеурочные мероприятия должны находиться во взаимодополняющих отношениях: внеурочная работа по математике является естественным продолжением и дополнением урока.

Все предложения Е.В. Востоковой представляются важными для отбора содержания. Особенно ценной является идея построения содержания в соответствии диагностируемыми трудностями учащихся, это позволяет сделать содержание направленным на развитие как группы, так и конкретного ученика. В виду сокращения программ и часов по математике, весьма актуальным в настоящее время является положение о взаимодополнении уроков и внеурочных мероприятий. Это положение выводит внеурочные мероприятия на новый уровень, делая их органичной составляющей учебного процесса. Второе предложение Е.В. Востоковой предполагает выделение метода творческой деятельности наряду с традиционными методами, что отвечает идее гуманитаризации образования, но применение его к отбору содержания остается неоговоренным. Данные положения лишь упоминаются автором в общем контексте, но не являются четко сформулированной системой принципов.

Е.Ю. Миганова [60] предлагает следующие принципы при конструировании систем математических задач:

I. Принцип соответствия функциям задач.

И. Принцип преемственности.

III. Принцип профессиональной направленности обучения.

6. Принцип обучения эвристикам.

7. Принцип дифференциации обучения.

При отборе задач вузовского курса геометрии эти принципы реализуются в критериях:

1. Критерии отбора задач, формирующих понятия:

1. критерий соответствия функции задач - быть носителем действий, адекватных содержанию;

2. критерий соответствия функции задач - являться средством целенаправленного формирования знаний, умений и навыков.

2. Критерии отбора задач для изучения теории:

3. развитие содержательных линий школьного курса математики;

4. ликвидация пробелов в школьных знаниях, умениях и навыках;

5. развитие умений и навыков, формирование которых было начато в школе;

4) проведение ретроспективного анализа приобретенных в педвузе
знаний и соотнесение их со своей профессией.

3. Критерии, реализующие профессиональную направленность обучения геометрии:

6. формирование творческих умений будущего учителя;

7. развитие математических способностей студентов;

8. формирование профессиональных умений будущего учителя математики.

4. Критерии отбора задач, формирующих эвристики:

9. обучение методам научного познания;

10. обучение эвристическим приемам.

5. Критерии, реализующие принцип дифференциации обучения:

11. развитие мотивационного компонента личности студента;

12. развитие содержательно-операционного компонента личности студента;

13. развитие эмоционально-волевого компонента личности студента.

48 Анализируя принципы Е.Ю. Мигановой, можно заметить, что принципом первого уровня является лишь принцип преемственности, а принцип профессиональной направленности обучения приемлем лишь для курсов высших учебных заведений. Принцип дифференцированного обучения по сути является критерием и работает на уровне реального процесса.

Таким образом, сообразуясь с целями данного исследования, можно выдвинуть следующее положение: в основу отбора и построения содержания материалов по топологии должен быть положен ряд определённых принципов. Причём, они должны удовлетворять требованиям удобства и простоты применения принципов к отбору содержания, а также учитывать специфики данного исследования (принципы должны соответствовать целям обучения топологии). Некоторые из них представляют собой интерпретации принципов и критериев других авторов (проанализированных выше). Назовём выделенные принципы.

1. Принцип единства содержания и методов топологии.

Содержание должно быть адекватно методам и приемам, присущим топологии, таким как метод топологических преобразований, метод объемного моделирования, метод графового моделирования, методы решения лабиринтов, метод раскраски карт, метод математической индукции по топологическим инвариантам. Оно должно обеспечивать формирование перечисленных методов, то есть содержать упражнения на овладение действиями и совокупностями действий, составляющими конкретный метод.

Этот принцип работает на всех трех уровнях. На втором уровне - является ведущим для отбора теоретического и задачного материала. На третьем уровне он трансформируется в критерий дифференциации и индивидуализации обучения.

Одной из основных целей обучения топологии является обучение методам и приемам топологии (действиям, составляющим методы и приемы),

49 их применению к решению учебных задач. Отсюда вытекает необходимость этого принципа.

2. Принцип внутренней взаимосвязи, системности и последова
тельности построения содержания.

На первом уровне данный принцип предполагает концентрацию содержания вокруг нескольких основных понятий и методов (топологический инвариант, граф, метод решения задач с помощью графов, применение формулы Эйлера к решению задач, классификация поверхностей). Это повышает доступность материала, позволяет за небольшой промежуток времени, отведенный для занятий, добиться наибольшей эффективности и качества обучения. Также этот принцип проявляется в четком выделении ведущих идей курса математики и обеспечении в материале для внеклассных занятий возможности углубления основного содержания обучения математики. А также последовательность тем и изложение материала внутри темы должны отвечать общедидактическому принципу "от простого к сложному".

На втором уровне принцип проявляется в том, что реализация каждой темы должна отвечать следующим характеристикам: непротиворечивость, логическая последовательность, методологическая направленность, обще-принятость трактовок, взаимосвязь теории и практики. Изложение каждого вопроса должно определяться логикой построения соответствующей теории.

Необходимость этого принципа диктуется, прежде всего, строением самой математики как науки. Следовательно, невозможно обучать математике, избегая взаимосвязей, систем и последовательностей ей присущих.

3. Принцип соответствия возрастным особенностям учащихся.

Этот принцип предполагает, прежде всего, доступность изучаемого материала учащимся. То есть сложность и трудность вопросов должны быть адекватны учебным возможностям школьников. Так все определения должны вводиться не аксиоматически, как в высшей школе, а описательно; такие понятия как топологическое преобразование, топологически эквивалентные

50 объекты также не должны строго определяться, а скорее постепенно "вырисовываться" перед учащимися по мере изучения их свойств и моделирования. Также из всего многообразия топологических теорий в программу занятий должны войти лишь наиболее доступные, наглядные из них: элементы теории графов, теорема Эйлера, теория раскраски карт, теория поверхностей. Этот принцип также работает на всех трех уровнях. На уровне реального процесса этот принцип трансформируется в критерий дифференциации и индивидуализации обучения. Предлагаемый материал должен соответствовать индивидуальным особенностям каждого ученика.

Необходимость этого принципа диктуется соображениями невозможности построения обучения конкретной группы учащихся без учета их особенностей (будь то возрастные или индивидуальные). Это подтверждает неудача реформы образования 60-х годов (учебники А.Н. Колмогорова).

4. Принцип соответствия имеющемуся времени.

На втором уровне этот принцип предполагает планирование содержания работы по занятиям, соответствие объёма материала каждого занятия времени, отведенному на это занятие, а на первом - соответствие всего объёма содержания мероприятий времени, отведенному на их проведение. В этом случае их посещение не будет перегрузкой для учащихся. В направлении минимизации затрачиваемого времени предприняты следующие шаги:

а) весь теоретический материал, рассматриваемый на занятиях, являет
ся необходимым для решения задач;

б) доказательство теорем приводится лишь в случае, когда оно невели
ко по объёму;

в) задачи, решаемые непосредственно на занятиях, требуют меньших
затрат времени, чем домашние.

Такой подход не наносит ущерба полноте и целостности содержания работы, нисколько не умаляет его направленности на интеллектуальное раз-

51 витие учащихся, на развитие интереса к математике и, достигая поставленной цели, не затрагивает других важных аспектов содержания.

Принцип соответствия имеющемуся времени проявляется на всех трех уровнях.

Необходимость этого принципа диктуется существующей системой образования, учебными программами и, наконец, спецификой организации учебного процесса в конкретном учебном заведении.

5. Принцип гармоничного развития личности.

Говоря о гармоничном развитии личности, следует исходить непосредственно из структуры личности. То есть нужно развивать все компоненты личности (мотивационный, содержательно-операционный и эмоционально-волевой) в их целостности и совокупности. Таким образом, личность может быть представлена как объект , где Mj - уровень мотивационного компонента, Q - отражает содержательно-операционный компонент, Вк - волевой, i, j, к - параметры, характеризующие уровни соответствующего компонента [75].

Мотивационный компонент включает две группы мотивов:

Mi - социальные мотивы, связанные с разными взаимодействиями обучаемого с другими людьми. У учащегося с такой мотивацией наблюдается интерес только к результату решения задачи, стремление скорее выполнить упражнение, не задумываясь о правильности результата или оптимальности способа решения;

М₂ - познавательные мотивы, связанные с содержанием учебной дисциплины и процессом ее изучения. Учеников с такой мотивацией увлекает процесс решения задач, поиск дополнительных средств и опор, перебор различных вариантов решения с целью выбора лучшего, стремление самостоятельно оценить процесс и результаты своего труда.

Г.И. Саранцев и P.P. Бикмурзина выделяют три уровня сформированное содержательно-операционного компонента.

Сі - репродуктивный. Ученик знает основные теоремы и определения курса математики, умеет решать стандартные задачи. При ответах допускает нарушение логической последовательности изложения, испытывает трудности при доказательстве сложных утверждений и решении нестандартных задач.

Сг - полуэвристический. Ученики с данным уровнем сформированно-сти операционного компонента правильно применяют теоретические положения при решении задач, не допускают существенных неточностей при формулировке теорем и определений, доказательстве теорем, увязывают теорию с практикой, устанавливают межпредметные связи, в изложении допускают небольшие пробелы, не искажающие содержания.

Сз - творческий. Ученик воспринимает и воспроизводит главную идею сообщения, программный материал усвоен им в полном объеме и грамотно им излагается, ученик четко формулирует основные понятия и теоремы, не испытывает затруднений при доказательстве утверждений, умеет доказывать и опровергать доказательства, приводит примеры и контрпримеры. Четко выделяет главное в предстоящей учебно-познавательной деятельности и, в соответствии с этим, ставит ее цель, последовательно раскрывая ее в задачах. С учетом целей и задач составляет полный план работы. Осуществляет самоконтроль в соответствии с целями и задачами работы.

Выделяют следующие уровни сформированности волевых усилий.

Ві - волевые усилия по преодолению познавательных затруднений проявляются слабо: ученик не стремится довести работу до конца, отказывается от выполнения задания при первых затруднениях, не проявляет систематичности в самостоятельной работе.

В₂ - волевые усилия ученика проявляются в большинстве случаев: на занятиях по математическим дисциплинам работает напряженно, часто проявляет стремление довести работу до конца, но при серьезных познавательных затруднениях отступает, пытается работать систематически.

В₃ - волевые усилия учащегося проявляются во всех видах учебно-познавательной деятельности; на занятиях по всем предметам работает напряженно в течении всего времени, всегда доводит любую учебную работу до конца, работает систематически.

От самого элементарного объекта (i Q, Ві> до самого сложного, характеризующегося самыми высокими уровнями всех трех компонентов, можно продвигаться по-разному, повышая уровень либо мотивационного, либо содержательно-операционного, либо волевого компонентов.

Указанные особенности должны учитываться при построении и разработке содержания.

Известно, что от степени заинтересованности часто зависит и характер внимания учеников на занятиях, их активность и творческий подъем. Поэтому для развития мотивационного компонента содержание топологического материала должно способствовать развитию интереса к математике как к науке. С этой целью в содержание должны быть включены задачи занимательного характера, а также элементы истории развития той или иной проблемы или теории (теория раскраски карт). Повышению интереса к математике вообще, и к топологии в частности, способствует изготовление топологических моделей и эксперименты с ними.

Развитие содержательно-операционного компонента предполагает, что содержание учебного материала должно обеспечивать приобщение ученика к творческой деятельности, вооружение его методами научного поиска, среди которых особую роль играют эвристические приёмы и методы научного познания и исследования.

В основном изложение материала данного курса проводится эвристическим методом, то есть учащиеся сами устанавливают различные закономерности, решают задачи. Роль учителя сводится при этом к организаторской, регулирующей и контролирующей самостоятельную деятельность учащихся.

На занятиях по теме "Поверхности и их классификация. Топологические модели" используются методы наблюдения и опыта (опытное определение числа Бетти и хроматического числа), сравнения (классификация поверхностей).

При решении задач широко используется обобщённый аналитико-синтетический метод. Большинство задач решаются с помощью эвристик. Примерами использования эвристик являются задачи, решаемые с помощью графов (им посвящено отдельное занятие). В процессе поиска решения задачи учащиеся моделируют её условие и переходят к рассмотрению графа, применяя затем известные для графов закономерности (теорему Эйлера и другие).

Этот принцип предполагает также включение в содержание элементов, развивающих математические способности учащихся. Такими элементами являются нестандартные задачи, многие из рассматриваемых теорий и проблем (проблема раскраски карт, проблема вложимости графа в плоскость и другие), а также сам подход к различным объектам с точки зрения топологии. Роль математики в развитии интеллектуальных и творческих способностей человека исключительно велика. Ни один школьный предмет не может конкурировать с возможностями математики в развитии мышления учащихся. Причина столь исключительной роли математики в том, что это самая теоретическая наука из всех изучаемых в школе, она обладает высокий уровень абстракции и в ней наиболее естественным способом изложения знаний является способ восхождения от абстрактного к конкретному. Математическому мышлению присущи все качества научного мышления.

Развитие содержательно-операционного компонента также предполагает, что содержание топологического материала должно обеспечивать понимание учащимися предмета математики и её методов. Развитие математики с начала XX столетия постепенно привело к современному определению математики как науки о математических структурах и их моделях, с помощью которых изучаются свойства этих структур. Содержание предполагает

55 моделирование топологических структур с помощью плоских и пространственных графов, а также включает специальное занятие "Топологические модели", на котором учащиеся непосредственно осуществляют моделирование поверхностей и изучение их свойств на моделях. Занятия по элементам топологии способствуют более глубокому пониманию предмета геометрии в определении Клейна, как науки изучающей свойства объектов, инвариантные некоторому преобразованию. Этому способствует центральная линия построения материала по топологии - линия топологических инвариантов. Понятие инварианта сопоставимо с понятием равенства в евклидовой геометрии.

Развитию эмоционально-волевого компонента способствуют самостоятельное решение задач, а также выполнение исследовательских заданий.

Ученики с низким уровнем развития эмоционально-волевого компонента часто испытывают чувство неуверенности в своих силах. Известно, что различные чувства человека по-разному влияют на его волевую деятельность. Одни могут содействовать достижению поставленной цели, другие тормозить. Динамика чувств уверенности и неуверенности зависит от оценки тех трудностей, которые необходимо преодолеть, чтобы добиться цели. Трудности преодолимы, если человек опирается на знания объективных законов и проникнут желанием преодолеть эти трудности. Уверенность - не только следствие успешного выполнения действий. Возникнув раз, она сама становится причиной успешного выполнения заданий. Чувство успеха, пережитое учащимся при выполнении трудной для него задачи, поднимает его в собственных глазах, вселяет бодрость, вызывает прилив энергии. Все это в большой степени содействует новым успехам.

Для развития эмоционально-волевого компонента процесс получения знаний должен иметь положительную эмоциональную окраску. Для содержания обучения это означает, что оно должно предоставлять большое количество возможностей для самостоятельных открытий учащихся. Знание

56 должно стать личностно значимым. Сами топологические закономерности, красивые решения задач дают богатые возможности на этом пути.

На третьем уровне этот принцип реализуется в критерии дифференциации и индивидуализации обучения. Этот критерий предполагает развитие мотивационного, содержательно-операционного и волевого компонентов личности конкретного учащегося. Например, ученик <М_Ь С2, Bj> - мотива-ционный компонент развит слабо, мотивы направлены не на познание, слабо развиты и волевые усилия, однако ученик способен при этом выполнять частично продуктивную деятельность. В этом случае индивидуальная работа с учеником, должна быть направлена на повышение уровня мотивации (занимательные задания, задания на изготовление моделей и тому подобные). Изменение мотивации приводит к изменению волевых действий человека. А, развивая волевой компонент, учитель предоставляет ученику возможности для саморазвития и самосовершенствования.

Следует отметить, что принцип гармоничного развития личности включает обозначенный группой авторов (Болтянский В.Г., Глейзер Г.Д., Черкасов Р.С.) принцип гуманизации математического образования, а также принцип гуманитаризации. Последний из них означает приобщение к творчеству или, переходя на язык структуры компонентов личности, обучение, направленное на развитие содержательно-операционного компонента, высшим уровнем которого и является творческий.

Необходимость этого принципа диктуется развивающими целями образования, которые в современной концепции обучения выдвигаются на первый план.

6. Принцип преемственности и непрерывности содержания на каждой ступени обучения.

Пропедевтикой изучения топологии служит жизненный опыт учащихся. Первые интуитивные представления о фигуре, ее границе, связности и непрерывности, о топологических инвариантах объектов человек начинает получать, уже начиная с рождения. Как отмечает ряд психологов (см. 1),

57 топологические представления являются первичными по отношению к метрическим. Следуя этому принципу, содержание должно включать темы (на первом уровне), теории и задачи (на втором и третьем уровнях), развивающие уже имеющиеся топологические представления учащихся.

Изучая топологию, учащиеся приобретают первоначальные общие понятия и представления о ней, что в дальнейшем, несомненно, будет способствовать лучшему восприятию и пониманию топологических идей на более глубоком научном уровне (в старших классах и вузах).

Школьное образование является одной из ступеней в сфере непрерывного образования. Знания обособленные, никак не связанные с предшествующим опытом, не имеющие последующего развития и применения в деятельности, - это знания неосновательные, в целом бесполезные для конкретной личности. Отсюда вытекает необходимость данного принципа.

7. Принцип пары "урок - внеклассное мероприятие".

Одно из "слабых звеньев" современного процесса обучения - это отсутствие сбалансированной системы взаимодействия классно-урочной и внеурочных форм обучения.

Интенсификация процесса обучения, внедрение информационноёмких технологий чаще все же строится на базе и вокруг классно-урочной системы организации занятий. Внеурочная работа при этом выливается в подготовку к тому же уроку. Между тем, уроки и внеурочные мероприятия должны находиться во взаимодополняющих отношениях.

В рамках данного исследования это значит, что содержание внеклассного занятия, должно раскрывать топологические характеристики объектов, рассматриваемых на уроке. Важно прослеживать и обратную связь внеклассное мероприятие - урок. Усвоенные топологические свойства и взаимосвязи позволяют рассматривать математические объекты на новом уровне, что помогает при решении учебных задач в их широком понимании. Следует отметить, что эта обратная связь может проявляться не обязательно на следующем уроке.

На уровне теоретических представлений этот принцип является одним из основных образующих содержание курса. Для изучения в топологическом материале нужно отбирать темы и вопросы, согласующиеся с темами школьного курса и допускающие изложение в тесной взаимосвязи с ними. На втором уровне содержание должно обеспечивать плавный переход, преемственность между уроком и внеклассным мероприятием.

Необходимость этого принципа обуславливается предпосылками, рассмотренными в 1 и выводами из анализа литературы.

8. Принцип воспитывающего характера содержания.

На уровне теоретических представлений каждая выбранная тема должна содержать вопросы, изложение которых реализует хотя бы одно из следующих направлений формирования мировоззрения: материалистическое происхождение математики, диалектику развития математических идей, широту приложений математики, формирование эстетического восприятия действительности.

Не следует забывать о богатом эстетическом потенциале топологического материала. По мнению многих математиков, математическая деятельность пронизана стремлением к творчеству по законам эстетики. Так, Д. фон Нейман отмечал, что математика "движима почти исключительно эстетическими мотивами". Ж. Адамар [1] утверждал, что ученый, видя структурно несовершенную, несимметричную, кривобокую математическую конструкцию, начинает испытывать потребность в активной деятельности по ее гармоничному дополнению. На этом в большой степени и основывается математическая интуиция. Ж. Адамар говорит о важности развития этого чувства для математика-исследователя. Если эстетическим факторам отводится большая роль в развитии математической науки, то эти же факторы должны занимать важное место в обучении математике. Однако их реализация предполагает выяснение того, что понимается под красотой математического объекта.

Попытки раскрыть содержание понятия "чувство красоты" предпринимаются многими математиками, психологами, поэтами, философами. Одни исследователи полагают, что чувство красоты есть продукт отражения в сознании человека эстетических свойств окружающего мира. Это отражение видят, в частности, в гармонии чисел и форм, в геометрической выразительности, в стройности математических формул, в порядке, в универсальности математических методов. Другие считают, что красота - это продукт ума, свободной мысли.

Наиболее четкая характеристика эстетической привлекательности математического объекта дана Г. Биркгофом: М = О/С, где М - мера красоты, О - мера порядка, С - мера усилий, затрачиваемых для понимания сущности объекта. С формулой красоты, предложенной Г. Биркгофом, созвучна модель, разработанная В.Г. Болтянским . По его мнению, красота математического объекта может быть выражена посредством изоморфизма между объектом и его наглядной моделью, простотой модели и неожиданностью ее появления. Это выражение названо В.Г. Болтянским формулой "математической эстетики": красота = наглядность + неожиданность = изоморфизм + простота + неожиданность.

Итак, в качестве источников эстетической привлекательности математических объектов выступают категория порядка, проявляющаяся в гармонии отдельных частей, в логической строгости, и категория простоты, раскрывающаяся в неожиданности, обусловленной контрастом между трудностью проблемы и простотой методов, используемых для ее решения [77].

Этот принцип также работает на всех трех уровнях.

9. Принцип соответствия современному уровню развития теории и методики обучения математике.

Теория и методика обучения математики на современном уровне её развития формулирует цели, принципы, методы и формы обучения. Поэтому, на первом уровне при отборе тем по топологии следует учитывать общие

60 принципы отбора содержания, известные в теории и методике обучения математике. На втором уровне отбор конкретного теоретического и задачного материала проводится в соответствии с топологическими методами и приёмами, характеризуемыми определённой совокупностью действий. На третьем уровне содержание отбирается с учетом организационных форм обучения и специфики методической подготовки контингента преподавателей.

10. Принцип соответствия диагностико-прогностической функции
содержания.

На уровне теоретических представлений выбор универсальной модели содержательного аспекта работы по математике предполагает диагностику математических тем, которые следует квалифицировать как наиболее трудные для школьников. В содержание следует включать топологические вопросы, способствующие более глубокому, основательному пониманию таких тем. На втором уровне этот принцип применяется для отбора теоретического и задачного материала. Наконец, на третьем уровне принцип трансформируется в критерий дифференциации и индивидуализации обучения: диагностируются, а затем устраняются затруднения, возникающие у конкретного учащегося.

11. Принцип соответствия содержания учебно-методической и ма
териально-технической базе образовательного учреждения.

Этот принцип предполагает соответствие содержания имеющейся учебно-методической и научной литературе, наглядным пособиям, наличию технических средств обучения, ведущее место среди которых занимают компьютерные классы. Наличие или отсутствие такой базы диктует как круг выбираемых тем, так и глубину их изложения. Принцип действует на всех трёх уровнях.

Между принципами существуют связи, придающие их совокупности специфические свойства, обеспечивающие ей логическую целостность.

61 В данной совокупности:

У учтены все основные компоненты процесса обучения и его особенности (целевой, содержательный и так далее);

отражен круг проблем, связанных со спецификой обучения топологии;

учтены характеристики компонентов триады "учитель -предмет изучения - ученик".

і 4. Содержание учебного материала и распределение его по годам

обучения

Как вытекает из целей обучения топологии и принципов отбора топологического содержания (сформулированных соответственно в 1,3 данной главы), одним из существенных аспектов диссертационного исследования является изучение возможностей курса математики для развития топологических представлений учащихся. Для изучения в топологическом материале нужно отбирать темы и вопросы, согласующиеся с темами школьного курса и допускающие изложение в тесной взаимосвязи с ними. Анализируя школьный геометрический материал и его распределение по годам обучения, можно отметить следующее:

I. Геометрический материал, изучаемый в 5-6 классах, предполага-

ет первичное знакомство с некоторыми плоскими и пространственными гео-

метрическими фигурами (точка, отрезок, луч, прямая, треугольник, прямо-

угольник, круг, куб, шар и так далее); знакомство с измерением параметров фигур и измерительными приборами, формирование первичной культуры измерений; знакомство с простейшими формулами вычисления периметра и площади плоских фигур; знакомство с центральной, осевой и плоскостной симметрией, изображение симметричных фигур.

И. Геометрический курс 7-9 класса почти полностью посвящен изучению метрических характеристик и измерению различных фигур, первичное знакомство с которыми состоялось в 5-6 классах, а также рассмотрению новых фигур и их свойств. Это признаки равенства и подобия треугольников, соотношения между сторонами и углами треугольника, четырехугольники (признаки параллелограмма, трапеция, ромб, квадрат), параллельные и перпендикулярные прямые. Учащиеся вычисляют различные метрические ха-

- рактеристики: площадь, градусную меру угла и дуги, длину окружности, си-

нус и косинус угла. Вводятся понятия вектора, прямоугольной системы

63 координат. Последней темой девятого класса является тема "Движения", где рассматриваются осевая симметрия, параллельный перенос и поворот. Также происходит весьма поверхностное знакомство с аксиомами планиметрии.

III. Геометрический курс 10-11 класса знакомит учащихся с аксиомами стереометрии. Также рассматриваются вопросы о взаимном расположении прямых и плоскостей в пространстве, учащиеся знакомятся с понятием геометрическое тело, простейшими видами многогранников (тетраэдр, параллелепипед, призма, пирамида, правильные многогранники), телами вращения (цилиндр, конус, шар). Получают дальнейшее развитие и обобщение понятия вектора, прямоугольной системы координат и движения.

Из анализа литературы по проблеме исследования следует вывод о необходимости первичного знакомства с топологическими понятиями еще в 5-6 классах (как уже упоминалось в 2), в которых изучается геометрический материал, пропедевтический к основному курсу геометрии.

Учитывая сформулированные принципы, топологическое содержание должно формироваться исходя из топологического потенциала отдельных тем, составляющих пропедевтический курс геометрии. А также должен осуществляться плавный переход между урочным и внеурочным материалом по топологии. Для этого необходим подробный анализ геометрического материала 5-6 классов, предусматриваемого программой [72]. Далее все определения и задачи взяты из учебников математики под редакцией Г.В. Дорофеева, И.Ф. Шарыгина (как одного из вариантов изложения программного материала).

I. Линии. Углы.

Данная тема содержит следующие топологические понятия и определения:

Замкнутая и незамкнутая линия. Замкнутую линию мы можем обводить несколько раз, не отрывая карандаша от бумаги. В то же время для незамкнутой линии мы всякий раз, чтобы ее вновь обвести, должны располо-

64 жить кончик карандаша в одном из ее концов. Самопересекающаяся линия и линия без самопересечений. Замкнутая линия без самопересечений делит плоскость на две области — внутреннюю и внешнюю. Сама линия служит границей этих областей. Чтобы из одной области попасть в другую, надо пересечь ее границу. Отметим на прямой две точки Е и F, они ограничивают отрезок EF с концами в этих точках. Возьмем несколько точек А, В, С, D, Е, не лежащих на одной прямой, и соединим их одну за другой отрезками. Получим ломаную линию. Точки А, В, С, D, Е называют вершинами ломаной, а отрезки АВ, ВС, CD, DE — ее сторонами или звеньями. Части окружности тоже имеют свое название - они называются дугами.

Понятия "отрезок" и "ломаная" сами по себе не являются топологическими, но подводят к определению графа и его элементов. Естественно ломаная может рассматриваться как граф, однако при таком рассмотрении не следует учитывать метрические свойства (такие как длина, углы между звеньями), прямолинейность ребер графа. Любая ломаная топологически эквивалентна нити с завязанными на ней узлами. Для них могут быть получены топологические закономерности, далее приводящие к формуле Эйлера.

Топологические понятия области, ее внутренности, внешности, границы, о которых шла речь на уроке, приобретут более конкретные очертания при рассмотрении лабиринтов, правил их прохождения.

&

Тема содержит следующие задачи топологического характера:

Задача 5, стр.6

Не отрывая карандаша от бумаги и не проводя дважды
никакой отрезок, нарисуйте в тетради такую же пятиконеч
ную звезду как на рисунке (рис. 3). Рис. 3

Задача прямо подводит к понятию уникурсальности фигур. Если первоначально решение задачи находится случайно, то впоследствии, пользуясь правилами Эйлера, учащиеся смогут обосновать свое решение, а также ответить на вопрос о существовании и количестве решений конкретной задачи.

Задача 9, стр.7

На рисунке 4 назовите точки, лежащие во внутренней области "звездочки".

Задача 10, стр.7

Начертите в тетради треугольник. Закрасьте его внутреннюю область.

Задача 11, стр.7

Нарисуйте в тетради замкнутую линию без самопересечений и закрасьте внутреннюю область получившейся фигуры. Отметьте одну точку во внутренней области фигуры и одну - во внешней.

Приведенные задачи подводят к работе с лабиринтами, выявлению правил их прохождения. При решении задачи 11 учащиеся могут столкнуться с определенными трудностями: если нарисованная линия имеет замысловатую форму, то сложно определить является ли произвольно отмеченная точка внутренней или внешней. Задачу можно решить методом закрашивания внутренней области фигуры. Также можно воспользоваться правилом: чтобы определить, лежат ли точки в одной области, необходимо соединить эти точки и подсчитать количество точек пересечения с границей фигуры, если оно четно, то точки лежат в одной области, если же нечетно, то - в разных. Это правило следует из приводившегося выше утверждения: чтобы попасть из внутренней области фигуры во внешнюю следует пересечь границу.

2. Многоугольники.

Данная тема содержит следующие топологические понятия и определения:

Замкнутая ломаная линия без самопересечений называется многоугольником. Отрезок, соединяющий две несоседние вершины многоугольника - диагональ многоугольника. Внутренняя область многоугольника.

Приводится достаточное количество задач на усвоение и оперирование элементами многоугольника (вершина, сторона, диагональ), а также различными видами многоугольников (треугольник, прямоугольник, квадрат, пятиугольник, выпуклые и невыпуклые многоугольники). Любой многоугольник может рассматриваться как граф (конечно, не учитывая метрические и аффинные характеристики многоугольника). Многоугольник делит плоскость на две части: внешнюю и внутреннюю. На основании этого можно ввести определение грани графа и получить формулу Эйлера для плоского графа. Достаточно задач посвящено отысканию геометрических фигур определенного вида на сложном рисунке. На этих же рисунках можно сформулировать и решить

задачи на формулу Эйлера.

Рис. 5 Например, к условию задачи 59, стр. 140

Сколько равносторонних треугольников вы видите на рисунке (рис. 5)? Можно добавить вопрос: сколько ребер имеет данный граф?

Задача 10, стр.129

Перерисуйте в тетрадь фигуры, изображенные на рисунке 6. Проведите, если можно, все диагонали и назовите их. Запишите углы четырехугольника.

Задача 21, стр.132

Сколько всего диагоналей у выпуклого четырехугольника, пятиугольника,

Рис. 6 шестиугольника? Можете ли

вы сказать, сколько диагоналей имеет выпуклый стоугольник?

Вопрос проведения и подсчета всевозможных диагоналей многоугольника, безусловно, является топологическим и его решение вытекает из теоремы: полный граф с п вершинами имеет п(п-1)/2 ребер (граф называется полным, если любые его две вершины соединены ребром).

3. Равенство фигур.

Равенство фигур не является топологическим понятием. Однако понятия равенства и топологической эквивалентности близки. Действительно: равные фигуры - это неразличимые, одинаковые, обладающие одним и тем же набором свойств (с точки зрения евклидовой геометрии); топологически эквивалентные фигуры - это фигуры неразличимые с точки зрения топологии. Поэтому целесообразно параллельное формирование и развитие этих понятий.

Понятие равенства фигур на интуитивном уровне сформировалось в ходе выполнения таких заданий, как вырезание фигур из бумаги, перечерчивание фигуры по клеткам на квадратной сетке и других.

_ез»

В качестве примера можно привести такие задания:

Задача 8, стр.6

Рис.7 Скопируйте в тетрадь линию, изображенную на

рисунке 7.

Задача 33, стр.15

Скопируйте в тетрадь фигуру, составленную из окружности и частей окружности (рисунок 8). Раскрасьте ее.

При решении этих задач шла речь о построении "такой же" фигуры, как данная, о вырезании "одинаковых" фигур. Для отрезков и углов есть два способа сравнения: геометрический -с помощью наложения и арифметический - с помощью измерения. Критерием же равенства фигур является их совместимость при наложении.

Для параллельного усвоения понятий равенства и топологической эквивалентности можно предложить следующие задания:

4. Многогранники.

Математики изучают не сами предметы, а их формы, то есть вместо предметов они рассматривают геометрические тела: цилиндр, шар, конус, пирамида и так далее. Каждое геометрическое тело имеет внутреннюю и внешнюю области. Внутренняя и внешняя области геометрического тела отделены друг от друга поверхностью этого тела. Среди множества разнообразных геометрических тел есть большая группа многогранников. При всем различии многогранники имеют ряд общих свойств. Поверхность многогранника состоит из многоугольников, каждый из которых называется гранью многогранника. Вершины этих многоугольников являются также и вершинами многогранника, а стороны многоугольников - ребрами многогранника.

Нужно помнить, что, рассматривая многогранник как топологический объект, не следует учитывать его метрические и аффинные свойства. На уроке рассматриваются лишь простые многогранники (поверхность которых можно каким-либо образом деформировать в сферу), на внеклассном занятии учащиеся расширяют поле рассмотрения: знакомятся с многогранниками

69 первого и второго рода. Свободно оперируя терминами грань, ребро, вершина, учащиеся могут самостоятельно получить формулу Эйлера для простого многогранника, сравнивая различные их виды.

На уроке рассматриваются следующие задачи:

Задача 13, стр. 231

У многогранника 4 вершины. Как вы думаете, сколько у него ребер? Найдите такой многогранник на каком-нибудь рисунке в учебнике.

Данная задача тривиальна. Любые три несовпадающие точки образуют треугольник, то, добавляя еще одну вершину, легко получить треугольную пирамиду. Но, исходя из этой задачи, можно задать и более интересные с точки зрения топологии вопросы, например:

Некоторый многогранник имеет 5 граней. Какими могут быть числа его вершин и ребер?

Задача 14, стр. 231

У многогранника 100 вершин. Какое наибольшее число сторон может иметь одна грань?

Задача 15, стр. 231

Как пройти по всем ребрам многогранника, изображенного на рисунке 9, проходя каждое ребро только один раз? Выпишите последовательность вершин.

Задача 50, стр. 242

Нужно изготовить каркасную модель треугольной пирамиды, все ребра которой равны 7 см. Сколько потребуется проволоки?

Решение задачи сводится к определению количества ребер треугольной пирамиды, которое находится в данном случае простым подсчетом. Задача становится сложнее и приобретает топологический характер, если вид многогранника не указан, но зато даны какие-либо другие его характеристики (например, количество граней, вершин, количество граней определенной формы, эйлерова характеристика или род многогранника). Такая задача может быть решена по формуле Эйлера. Также можно несколько переформули-

70 ровать вопрос задачи 50: сколько кусков проволоки потребуется? При такой постановке вопроса следует воспользоваться правилами Эйлера для вычерчивания графа несколькими росчерками. Кстати, ответ на вопрос задачи 15, приведенной выше, также легко следует из этих правил.

Задача 58, стр. 243

Сумма числа ребер и вершин пирамиды равна 25. Какая это пирамида?

Задача 59, стр. 243

Сумма числа вершин, ребер и граней пирамиды равна 26. Какая это пирамида?

Намного упрощает решение этих задач формула Эйлера (следует учесть, что для пирамиды В = Г).

5. Взаимное расположение прямых, прямой и окружности, двух окружностей.

Здесь рассматриваются такие задачи:

Задача 186, стр. 68

Сколько точек пересечения могут иметь три прямые, проведенные на плоскости? Изобразите все случаи.

Задача 187, стр. 68

Какое наибольшее число точек пересечения могут иметь четыре прямые на плоскости? (Сделайте чертеж).

Ценность задачи повысится, если предложить решать ее без помощи чертежа, а также дополнить вопросом: на сколько огрниченных областей в этом случае они (прямые) разобьют плоскость?

Решение.

Наибольшее количество точек пересечения получится, если каждая

прямая пересечется с тремя остальными в трех разных точках. Учитывая

3 также, что в каждой точке пересекаются две прямые получим В= 4—=6. Так

как эти три точки образуют на каждой прямой два отрезка, то Р= 4-2= 8. То-

71 гда по формуле Эйлера Г= Р-В+2 = 4, и, выбрасывая внешние части, получим 3.

При такой постановке эта задача выводит на более общий случай.

На плоскости даны п прямых, из которых никакие две не параллельны и никакие три не проходят через одну точку. Ответьте:

а) в скольких точках пересекаются все эти прямые?

б) чему равно число прямых, если число ограниченных ими областей
равно 21.

Задача 223, стр. 79

Начертите квадрат, и постройте окружность, касающуюся всех сторон квадрата.

Меняя взаимное расположение квадрата и круга можно предложить для решения на уроке следующую задачу топологического содержания.

Окружность и квадрат, пересекаясь, могут разделить плоскость не более чем на 10 частей. Найти число ребер графа, образующегося при таком пересечении. Сколько ребер будут иметь полный и полный плоский фаф с таким же количеством вершин?

Обобщая задачу, получаем следующую, решение которой происходит уже на внеклассном мероприятии.

На плоскости дан выпуклый n-угольник, пересекающийся с окружностью. На какое наибольшее число областей делит плоскость эта фигура?

Решение.

Каждая из сторон п-угольника пересекается с окружностью самое большее в двух точках. Поэтому получившийся граф будет иметь В = n + 2п вершин (учитывая ещё и вершины п-угольника). Вершины делят каждую из сторон п-угольника на три части, таким образом, получается Зп рёбер. Кроме того, 2п точек пересечения п-угольника и окружности делят окружность на 2п частей. Поэтому число рёбер графа Р = Зп + 2п = 5п.

Воспользовавшись формулой Эйлера, получим: Г = Р-В + 2 = 5n-3n + 2 = 2n + 2.

Рассматривая возможные взаимные расположения двух окружностей, а также проведя аналогию с задачей про пересечение п прямых на плоскости, можно предложить следующую задачу.

На плоскости дано п окружностей так, что любые две из них пересекаются и никакие три не проходят через одну точку. На сколько частей разделят плоскость эти окружности?

Причем частные случаи этой задачи можно рассмотреть в классе, а логический путь решения - на внеклассной работе.

6. Симметрия. Правильные многоугольники.

Собственно симметрия не относится к топологическим понятиям: как известно, симметрия является движением. Но с понятием симметрии тесно связаны задачи на выкладывание бордюров и паркетов.

В связи с этим, естественно возникает вопрос о том, какими фигурами (одинаковыми, различными или их сочетаниями) можно покрыть плоскость (настелить паркетный пол).

В урочное время рассматриваются правильные паркеты (составленные из правильных треугольников, квадратов и шестиугольников). Можно расширить круг рассмотрения, включив полуправильные паркеты (особенно интересно, а главное емко по временному аспекту использование компьютера при изучении этой темы). А затем перейти к задаче определения минимального числа цветов для правильной раскраски паркета (то есть, чтобы никакие две соседние области не были окрашены в один цвет). В классе решение этой задачи происходит чисто опытным путем (путем проб и ошибок). А на внеклассном занятии учащиеся знакомятся с теорией и теоремами раскраски карт и довольно просто решают эту задачу, уже применяя эти знания.

Задача 34, стр.15

Постройте в тетради такой же "цветок", как на рисунке 10, и раскрасьте его.

Рис. 10

73 При уточнении требований задачи: речь идет о правильной раскраске (в указанном выше смысле), задача из учебника приобретает топологический смысл.

7. Комбинаторика.

Существует единый подход к решению самых разных комбинаторных задач с помощью составления специальных схем. Внешне такая схема напоминает дерево, отсюда название - дерево возможных вариантов. При правильном построении дерева ни один из возможных вариантов не будет потерян.

Фактически речь идет о графе-дереве, который широко используется при решении задач из самых разных областей науки.

Задача 381, стр. 120

Служитель зоопарка должен дать зайцу два различных овоща. Сколькими различными способами он может это сделать, если у него есть морковь, свекла и капуста?

Задача 383, стр. 121

Проводится олимпиада по биологии. Для подарков участникам приготовили различные растения: кактусы, фикусы, лимоны, герань. Сколько различных призов можно из них составить, если каждому победителю решено давать по два любых растения? Как изменится решение задачи, если призы можно составлять только из двух разных растений?

Наложив некоторые дополнительные условия можно усложнить задачу, так что для ее решения уже не будет достаточно составления графа-дерева, и потребуются графовые схемы несколько иного рода.

Например, можно предложить для решения в урочное время следующую задачу.

Известно, что при составлении экипажа космического корабля, предусмотрена обязательная психологическая совместимость всех его членов. Пусть экипаж состоит из трёх человек: командира, бортинженера и врача.

74 Имеются четыре кандидата на должность командира (аі,а₂,аз,а₄), три кандидата на должность бортинженера (Ь],Ь2,Ьз) и три - на должность врача

(ClC₂C₃).

Специальные испытания показали:

а) командир а\ психологически совместим с бортинженерами bi и Ьз и
врачами с₂ и Сз;

б) командир а₂ психологически совместим с бортинженерами Ъ\ и Ь₂ и
всеми врачами;

в) командир аз психологически совместим с бортинженерами b>i и Ь₂ и
врачами с і и сз;

г) командир ад психологически совместим со всеми бортинженерами и
врачом с₂..

Кроме того, бортинженер bi психологически несовместим с врачом с₃, Ь₂- с врачом Сі, а Ьз- с врачом с₂.

Сколькими способами, при этих условиях, может быть составлен экипаж космического корабля?

С помощью графа-дерева, но несколько модифицированного, можно также решать задачи на переправу, простейшей из которых является задача о волке, козе и капусте (ее также можно решить на уроке).

Мужику нужно переправить через реку волка, козу и капусту, причём известно, что лодка вмещает мужика и либо волка, либо козу, либо капусту. Естественно, нельзя оставлять волка наедине с козой, а козу - наедине с капустой. Как осуществить переправу?

На внеклассной работе можно познакомить учащихся с другими видами графовых схем, применяемых к решению задач (в первую очередь логических, нестандартных). Это графы, ребра и вершины которых раскрашены в несколько цветов, помечены цифрами; графы, на ребрах которых расставлены стрелки (орграфы). Примером применения таких схем являются следующие задачи.

1. В нашем лесу каждый занимается своим делом: одни плетут корзины, другие ловят рыбу. Ремеслу мы научились друг у друга. Кот учился у Выдры, Еж - у Зайца, Лиса у Волка, а Мышь у Ежа. Бобер учил Волка и Выдру, Заяц - Белку, а Барсук - Зайца. Бобер был учеником Медведя, а Еж -учителем Дятла. Лучше всех плел корзины Еж. Чем занимались Заяц, Дятел, Волк и Лиса? Кто из зверей нашего леса раньше всех научился ловить рыбу, а кто плести корзины?

2. В некотором государстве система авиалиний устроена таким образом, что любой город соединён авиалиниями не более чем с тремя другими, и из любого города можно попасть в другой, сделав не более одной пересадки. Найти максимальное число городов в этом государстве.

3. Петров, Иванов, Сидоров и Морозов имеют разные специальности. Один из них - конструктор, другой — художник, третий - певец, четвёртый -музыкант. Известно следующее:

1. журналист написал очерк о Морозове и собирается писать об Иванове;

2. Петров и журналист вместе позировали художнику;

3. Иванов и Сидоров бывали на концертах певца;

4) Иванов не знаком с Сидоровым.
Кто кем работает?

8. Фигуры на плоскости и пространстве. Развертки.

Один из основных вопросов этой темы - изготовление бумажных моделей многогранников, изученных учащимися. Рассматриваются вопросы, какой должна быть развертка конкретного многогранника, какой многогранник может получиться из данной развертки, какие точки и ребра совпадут при склеивании развертки. Моделирование поверхностей особенно актуально для данной возрастной группы учащихся (доминирующим является наглядно-образное мышление). И поэтому является целесообразным параллельное моделирование топологических поверхностей на внеклассных мероприятиях.

На внеклассном мероприятии учащиеся также изучают и самостоятельно находят топологические инварианты основных поверхностей. Изготавливают разнообразные их модели, проводят эксперименты с использованием разрезания и так далее.

С учётом проведенного выше анализа разработано следующее планирование пар "урок - внеклассное мероприятие":

5 класс

Многоугольники. (10 часов)

Равенство фигур. (5 часов)

Многогранники. (5 часов)

Геометрия нитей. Теорема Эйлера о плоском графе. Полные графы, плоские графы. Полные плоские графы. Задача об электро-водо-газо-снабже-нии. (4 часа)

Топологические инварианты. Топологически эквивалентные фигуры. (2 час)

Эйлерова характеристика многогранников.

Пять Платоновых тел. (2 час)

6 класс

Урочные часы

Кружковые часы

Взаимное расположение прямых, прямой и окружности, двух окружностей.

(10 часов) Симметрия.

Правильные многоугольники. (5 часов) Комбинаторика. (10 часов)

Применение формул теории графов к решению задач. (4 часа)

Проблема раскраски карт. Паркеты. (2 час)

Задачи, решаемые с помощью графов. (4 часа)

Как было отмечено выше, систематический курс геометрии 7-9 классов направлен на оперирование метрическими характеристиками геометрических фигур. Поэтому для этих классов целесообразно разработать спецкурс "Элементы топологии", позволяющий укрепить и развить топологические знания, полученные в 5-6 классах. Связь с урочным материалом осуществляется, если имеется такая возможность (например, тема "Признаки равенства треугольников" позволяет продолжить линию топологической эквивалентности фигур). В курсе стереометрии старших классов круг изучаемых геометрических понятий значительно расширяется, а также повышается уровень строгости изложения. Поэтому целесообразно (как отмечалось в пособии [15]) более подробное знакомство учащихся 10-11 классов с топологическими характеристиками встречающихся понятий уже на более высоком уровне строгости. Ученики к этому времени уже владеют достаточными знаниями по алгебре: аппаратом решения линейных и квадратных уравнений и неравенств, некоторыми знаниями по теории функций и так далее.

ВЫВОДЫ ПО ПЕРВОЙ ГЛАВЕ

Теоретическое исследование, посвященное формированию топологических представлений у учащихся средней школы, позволило получить следующие выводы и результаты:

1. Необходимость выделения топологической линии в школьном курсе математики обуславливается следующими предпосылками:

1. Психологическая. Топологическая структура является первичной по отношению к проективной и метрической подструктурам. Следовательно и обучение должно строиться согласно развитию математического мышления обучаемых.

2. Мировоззренческая. В настоящее время геометрию понимают как теорию структур более богатых, чем структура топологического многообразия. То есть все пространства, изучаемые в геометрии, прежде всего топологические пространства. Более того, это топологические многообразия с обогащенной структурой. Такой взгляд на геометрию (являющийся существенным обобщением точки зрения Ф.Клейна, сформулированной более ста лет назад) и определяет важность изучения топологии.

2. Очевидно, что обучение топологии невозможно без учета особенностей современного курса математики основной школы и динамики процесса его изменения, протекающего в настоящее время. К ним относятся:

сокращение количества часов, отводимых на изучение математики (а, следовательно, и геометрии);

современные тенденции модернизации курса математики: большая вариативность содержания курса математики, в частности его геометризация, изложение геометрического материала согласно идее фузионизма и так далее.

Изучение элементов топологии целесообразно начинать с 5-6 классов средней школы и строить в форме пар "урок - внеклассное мероприятие".

3. Основу отбора и построения содержания материала по топологии составляет следующий ряд принципов:

3. Принцип единства содержания и методов топологии.

4. Принцип внутренней взаимосвязи, системности и последовательности построения содержания.

5. Принцип соответствия возрастным особенностям учащихся.

6. Принцип соответствия имеющемуся времени.

7. Принцип гармонического развития личности.

8. Принцип преемственности и непрерывности содержания на каждой ступени обучения.

9. Принцип единства пары "урок - внеклассное мероприятие".

10. Принцип воспитывающего характера содержания.

11. Принцип соответствия современному уровню развития теории и методики обучения математики.

10. Принцип соответствия диагностико-прогностической функции содержания.

11. Принцип соответствия содержания учебно-методической и материально-технической базе образовательного учреждения.

Данная совокупность учитывает все основные компоненты процесса обучения и его особенности (целевой, содержательный и так далее) а также отражает круг проблем, связанных со спецификой обучения топологии.

4. Анализ топологических аспектов содержания школьного курса математики позволил сделать следующие заключения:

1. Курс математики 5-6 классов представляет значительные возможности для обучения элементам топологии в форме "урок - внеклассное мероприятие" ввиду наличия тем, связанных с определением простейших геометрических фигур, а также простейших логических и комбинаторных задач.

81 2. Курс геометрии 7-9 класса предполагает изучение метрических свойств геометрических фигур и поэтому представляет мало возможностей для обучения элементам топологии в форме "урок — внеклассное мероприятие". Организовать обучение элементам топологии в этих классах целесообразно в форме спецкурса.

class1

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ФОРМИРОВАНИЯ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ У УЧАЩИХСЯ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ class1

Предпосылки совершенствования обучения математике в основной школе (топологический аспект)

Авторы проекта стандартов школьного образования (сентябрь, 2002 год) обозначили основную цель общего среднего образования. Это подготовка разносторонне развитой личности гражданина, ориентирующейся в традициях отечественной и мировой культуры, в современной системе ценностей и потребностей современной жизни, способной к активной социальной позиции в обществе и самостоятельному жизненному выбору, к началу трудовой деятельности и продолжению профессионального образования, к самообразованию и самосовершенствованию. В качестве основных принципов и базовых оснований построения образовательного стандарта, направленных на реализацию указанной цели в частности фигурируют:

личностная ориентация содержания образования;

усиление гуманитарной направленности содержания образования;

Как указывается в "Концепции модернизации российского образования на период до 2010 года", модернизация общеобразовательной школы предполагает "ориентацию образования ... на развитие личности обучающегося, его познавательных и созидательных способностей". Этой проблемой продолжает заниматься ряд отечественных и зарубежных ученых. По данным психологических исследований наибольший сдвиг в развитии ребенка происходит на первых годах обучения.

Далее темпы умственного развития учащихся замедляются, а интерес к учебе падает вследствие недостаточного внимания к развивающей стороне обучения: так как, школьные уроки по-прежнему в своей массе направлены на изучение обязательной программы, а не на развитие мышления детей. Это положение может усугубиться в связи с переходом школ на новый базисный план и использованием образовательных стандартов. При этом переходе есть одна опасность: часть учителей может вновь нацелиться исключительно на ту сумму знаний, умений и навыков, которая включена в стандарт (а также см. п.1).

Традиционные программы и учебники, по которым обучается большинство учащихся, страдают рядом существенных недостатков. Так, если проанализировать ныне действующую программу и учебники по математике для средней школы, то нетрудно заметить, что упор в ней делается на типовые задачи со стандартным алгоритмом решения. При таком подходе, фактически ориентированном на среднего ученика, страдают наиболее способные учащиеся, которые не получают достаточного материала для развития своих способностей. Поэтому возникает потребность в некотором компромиссном варианте: использовать традиционные учебники, но для более способных учащихся включать в программу (в той или иной форме) некоторый дополнительный материал как теоретического, так и практического характера. Этот материал должен быть направлен, прежде всего, на развитие личности учащегося, а также на углубление теоретических знаний. В ряде исследований установлено, что разноуровневая форма обучения не может дать положительного результата сама по себе, она требует огромной работы над содержанием и методикой преподавания. Какие же характеристики и положения должны являться определяющими при отборе содержания и выделении методических аспектов обучения?

Мощный толчок развитию современной методики дало появление идей гуманизации и гуманитаризации образования. Их реализация предполагает приобщение учащихся к творческой деятельности и требует так организовывать учебный процесс, чтобы знания имели для ученика личностный смысл, и при этом учитывалась бы индивидуальность учеников. Стало очевидным, что нельзя надеяться на эффективность преподавания, не стремясь подвигнуть учащихся к самостоятельному добыванию знаний. Актуально развитие таких качеств личности как познавательная самостоятельность, интерес к предмету и так далее.

Главное в новой педагогической парадигме - личностно ориентированное обучение. Поэтому к исходным положениям, определяющим специфику методической системы обучения математике, следует отнести психологическую структуру личности, закономерности её развития.

Методы топологии, их структура

Как было отмечено в главе 1, геометрические преобразования, а, следовательно, и самые общие из них - топологические преобразования, играют исключительно важную роль в геометрии. Более того, известна трактовка геометрии как науки о свойствах фигур, инвариантных (не изменяющихся) относительно группы геометрических преобразований. Использование их в школьном курсе геометрии имеет большое методическое значение. Методы топологии позволяют решать довольно большой класс собственно топологических задач на доказательство, вычисление, построение топологических моделей, кроме того, они широко применимы при решении геометрических и алгебраических задач. Даже элементарные топологические задачи служат хорошим материалом для развития математического воображения и интуиции учащихся, способствуют более глубокому пониманию фундаментальных свойств математических объектов.

Действующая программа по геометрии основной школы не предполагает использовать идею геометрических преобразований в качестве руководящей идеи школьного курса геометрии, хотя предусматривает знакомство с отдельными видами движений (осевой симметрией, поворотом около точки и так далее) и подобием. Более полно геометрические преобразования рассматриваются на факультативных занятиях. В действующих учебниках геометрии раздел, посвященный преобразованиям, не связан с изложением основного геометрического материала.

Обучение топологии предполагает, прежде всего, овладение специальными методами данной науки - топологическими (это вытекает из принципа единства содержания и методов топологии, выделенного в 3 главы 1). Следует также отметить, что и общематематические методы при изучении топологии приобретают соответствующую окраску. Так методы классификации, сравнения, моделирования становятся топологическими, так как основанием для них служат топологические свойства объектов. И обратно, специфические методы топологии могут быть использованы полностью или частично для решения задач школьного курса математики.

Поэлементное овладение некоторым методом осуществляется в процессе усвоения его компонентов и их совокупностей, то есть действий, составляющих метод. Например, усвоение учащимися векторного метода предполагает овладение действиями перевода геометрического языка на векторный и обратно, сложения и вычитания векторов, представления вектора в виде суммы, разности векторов и тому подобными [74].

Анализ решения наиболее типичных задач разделов и тем топологии, отобранных ранее в главе 1 (теория графов, теория раскраски карт, моделирование топологических поверхностей, решение лабиринтов, топологические инварианты), позволил выделить действия, овладение которыми необходимо для использования топологических преобразований и характерных для них закономерностей в различных конкретных ситуациях. Выделенные действия и их совокупности специфичны для перечисленных разделов. Поэтому имеет смысл говорить о топологических методах и составляющих их действиях.

Рассмотрим следующие топологические задачи, выделяя при этом только специальные действия. Подобные задания часто предлагаются учащимся на уроках и внеклассных мероприятиях как занимательные и как задачи повышенной трудности, а также включаются в различные олимпиады и конкурсы.

Формирование методов топологии

При решении задачи данный метод конкретизируется, и в зависимости от условий и требований задачи, преобразуется в один из методов совокупности: метод графового моделирования, метод объемного моделирования, метод математической индукции по топологическим инвариантам, методы решения лабиринтов, метод раскраски карт.

Аналогичная картина наблюдается в геометрии, когда общий метод движения конкретизируется, например, в метод центральной симметрии.

Следует отметить, что и решение более сложных топологических задач сводится к более или менее сложным комбинациям вышеперечисленных действий, что определяет полноту приведенного метода

1) перевод вербального языка на язык теории графов и обратно;

2) построение графа, соответствующего условиям задачи (это действие включает, если это необходимо, иллюстрирование разного рода отношений разными цветами, а также выделение направлений);

3) видение топологических характеристик данного графа, а также нахождение этих характеристик из известных закономерностей для плоских и пространственных фигур;

4) использование свойств графов, теорем и формул теории графов, соответствующих известным характеристикам графа и требованиям конкретной задачи;

5) исследование задачи;

6) построение простейшего графа топологически эквивалентного данному.

Рассмотрим задачи, формирующие эти действия на разных уровнях.

1). Задачи, формирующие действие перевода вербального языка на язык теории графов и обратно.

Это действие аналогично переводу вербального языка на геометрический и тому подобным, которые учащиеся выполняют в процессе решения задач на уроках математики в 5-6 классах. Поэтому и процесс формирования этого действия должен быть аналогичен, то есть начинаться с рассмотрения и обсуждения условия задачи вместе с учителем. При решении любой задачи на графы данное действие выполняется в первую очередь, и поэтому от его успешного усвоения учащимися напрямую зависит и дальнейшее решение задачи. Зачастую после выполнения этого действия решение задачи стано 99 вится очевидным. При формировании действия перевода учащимся предлагаются задания на выбор отношений и объектов в качестве ребер и вершин графа; на перевод условий и требований задачи на язык теории графов в процессе эвристической беседы с учителем, а впоследствии уже на самостоятельный перевод; задания по обратному переводу с графового языка на вербальный (то есть составление задачи по описанию графа).

В некотором государстве система авиалиний устроена таким образом, что любой город соединён авиалиниями не более чем с тремя другими, и из любого города можно попасть в другой, сделав не более одной пересадки. Найти максимальное число городов в этом государстве.

Условие задачи непосредственно указывает на способ решения данной задачи - построение графа. Возникает желание наглядно представить себе города, соединенные авиалиниями, а это приводит к идее построения графа. Переформулируем условие задачи на языке теории графов: дан граф, любая вершина которого соединена дугами не более чем с тремя другими и из любой вершины можно попасть в другую, пройдя при этом не более чем по двум дугам графа.

Похожие диссертации на Теория и методика обучения элементам топологии в основной школе

Методика отбора и использования историко-научного материала в процессе обучения математике в школе (На прим. изучения элементов теории чисел) Алексеева Валентина Александровна

Теория и методика обучения информатике старшеклассников сельской школы на основе объективно-ценностного отношения к информации Богачев Александр Леонидович

Теория и методика обучения применению определений в курсе математики средней школыТатаринова Людмила Николаевна

Теория и методика изучения функций в основной школе в контексте модульного обучения Мишенина Ольга Викторовна

Теория и практика применения аудиовизуальных средств обучения в вузовском курсе "Методика преподавания русской литературы в национальной школе" (на материале национальных групп педвузов МССР) Денисова Эмилия Ивановна

Теория и практика обучения студентов педагогических колледжей методике развития русской устной речи в условиях билингвизма (На материале национальных школ Республики Татарстан и Удмуртии) Фаттахова Светлана Владимировна

Теория и методика изучения экологии города в школе Скалон Николай Васильевич

Методика обучения теории алгоритмов будущих учителей информатики Голанова Анна Викторовна

Сервисы обучения информационной безопасности в теории и методике обучения информатике студентов гуманитарных и социально-экономических специальностейАбиссова Марина Алексеевна

Теория и методика обучения студентов педвуза методам изображения геометрических фигур в контексте укрупнения дидактических единиц Атрощенко Светлана Аскольдовна