Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Математическая культура и ее значение в профессиональной деятельности учителя информатики 23
1.1. Анализ теории и практики формирования математической культуры (учителя математики, технических, экономических специальностей) 23
1.2. Анализ научно-педагогических исследований в области интеграции предметных областей «Математика» и «Информатика» 36
1.3. Интеграция содержательных линий «Математика» и «Информатика» как основа формирования математической культуры учителя информатики 47
1.4. Структура и содержание основных компонентов математической культуры учителя информатики 64
1.5. Тенденции развития математической культуры учителя информатики в информационном обществе 78
Выводы по первой главе 89
Глава 2. Теоретические подходы к формированию математической культуры будущего учителя информатики 93
2.1. Личностно-ориентированный, деятельностный и компетентностный подходы к формированию математической культуры будущего учителя информатики 93
2.2. Основные компоненты профессиональной деятельности учителя информатики при формировании математической культуры 102
2.3. Содержание общекультурных и специальных компонентов
математической компетентности будущего учителя информатики.. 112
2.4. Педагогические условия и принципы формирования математической культуры будущего учителя информатики 128
Выводы по второй главе 139
Глава 3. Методические подходы к формированию математической культуры будущего учителя информатики 144
3.1. Цели формирования математической культуры будущего учителя информатики 144
3.2. Структура и содержание математических дисциплин, направленные на формирование математической культуры будущего учителя информатики 159
3.3. Методы и средства ИКТ для формирования математической культуры будущего учителя информатики 180
3.4. Интеграция традиционных форм обучения с дистанционными технологиями обучения в процессе формирования математической культуры будущего учителя информатики 199
Выводы по третьей главе 210
Глава 4. Учебно-методическое обеспечение формирования атематической культуры будущего учителя информатики на базе икт 216
4.1. Структура и состав учебно-методического комплекса по математическим дисциплинам в условиях использования ИКТ 216
4.2. Использование электронного образовательного ресурса по математическим дисциплинам на основе технологии модульного обучения 233
4.3. Практико-ориентированное формирование компонентов математической культуры будущего учителя информатики на примере преподавания математической логики и теории алгоритмов 259
4.4. Методические рекомендации по формированию математической культуры будущего учителя информатики в условиях использования ИКТ 282
Выводы по четвертой главе 294
Заключение 299
Литература
- Анализ научно-педагогических исследований в области интеграции предметных областей «Математика» и «Информатика»
- Основные компоненты профессиональной деятельности учителя информатики при формировании математической культуры
- Интеграция традиционных форм обучения с дистанционными технологиями обучения в процессе формирования математической культуры будущего учителя информатики
- Использование электронного образовательного ресурса по математическим дисциплинам на основе технологии модульного обучения
Анализ научно-педагогических исследований в области интеграции предметных областей «Математика» и «Информатика»
Анализируем суть понятий «культура», «профессиональная культура» и «математическая культура» как категорий, составляющих основу профессионально-педагогической деятельности учителя.
Понятие культура не имеет однозначного определения, и в современном понимании она больше приобретает универсальной облик, характеризующий уровень развития общества, творческого развития личности, проявляющегося в разных видах деятельности, в том числе создаваемых его ценностей.
Поздняков Э.А. в работе [219] отмечает, что в литературе существует много определений культуры, но нет такого, которое наиболее полно бы выразило это сложное понятие, потому что оно слишком неопределенно и выбирает в себя много аспектов.
Понятие «культура» позднего происхождения: оно появилось в научной терминологии во второй половине XIX века и вскоре стало самостоятельным предметом исследования [219]. Культура в переводе с латинского означает возделывание, обработка, забота. Позже культура стала означать, совокупность умений, навыков, на основе которых у человека формируется опыт для достижения поставленных целей.
Культуру необходимо рассматривать во всех ее аспектах, так как они взаимосвязаны между собой. Такие качества ума, как интуиция, абстракция, гибкость, критичность, сообразительность, творческое воображение и др., лежащие в основе продуктивной деятельности человека, являются основой и движущей силой культуры. Математическая наука как знаковая система отражает культуру как мировоззренческую среду, в которой живет и творит личность. Уровень культуры человека прослеживается в течение всей его продуктивной деятельности и определяется не только тем, что он есть сегодня, но и тем, к чему он стремится [6,10] и др.
Все вышеизложенное свидетельствует о том, что культура - сложное социальное явление. В связи с этим наблюдаются различные подходы, к ее пониманию: -совокупность материальных и духовных ценностей, созданных человеческим обществом в процессе его исторического развития; - характеристика качественного состояния, определенной деятельности и поведения человека, отражающая нормативные требования к осуществлению этой деятельности и к формам поведения; -свойства и качества человека как субъекта жизнетворчества, характеристика уровня, степени развития индивида и способ достижения этого уровня.
М.С. Каган [96] считает, что культура, достигаемая под воздействием человеческой деятельности, характеризуется некоторыми компонентами, а именно: качество личности, где человек рассматривается как творец и участник возделывания культуры; способы деятельности, совершенствуемые и передаваемые человеком из поколение в поколение; совокупность духовных и материальных предметов; а также вторичные способы деятельности, которые необходимы для разграничения человеческих качеств.
Человек создает материальную и духовную культуру с помощью личностных качеств и способов деятельности. Разграничивая культуру, он формирует себя как носителя высокой культуры.
Исходя из приведенного анализа, мы считаем, что человек, владея качествами и способами деятельности, создает культуру (материальную и духовную), а распредмечивая ее, формирует себя как носителя более высокой, индивидуальной культуры. Проведенный анализ понятия культуры личности свидетельствует о том, что нет однозначного определения культуры личности. Каждый исследователь, по-разному трактуя суть культуры личности, в качестве ее составляющих компонентов указывает качества личности и способ деятельности. Нам кажется, что в перечисленных работах, отражающих суть культуры личности, четко не отражена среда деятельности, мы считаем, что среда деятельности играет существенную роль в формировании элементов культуры личности, поэтому необходимо отдельно отметить значимость среды деятельности в ее формировании.
Таким образом, суть понятия культуры личности, по нашему мнению, составляют три взаимосвязанных компонента: качества личности, способ деятельности, среда деятельности. В виде схемы это выглядит так:
Исторически складывается так, что на всех стадиях развития общества среда играла важнейшую роль в воспитании, образовании, становлении личности. В современном обществе среда приобретает новый облик, особое внимание уделяется созданию интеллектуальной среды как необходимого условия развития личности. В нашем исследовании мы в качестве среды коснемся только образовательной среды, где интеграция предметных областей играет доминирующую роль в развитии личности. В подготовке профессиональных педагогов, в том числе учителей информатики, особое внимание нужно уделить организации образовательной среды в русле интеграции предметных областей.
Нами рассматривается интеграция предметных областей «Математика» и «Информатика», как важное условие формирования МКБУИ, включающее содержательные линии, общие для математики и информатики, общие понятийные аппараты, общие организационные формы, методы обучения и инструменты деятельности, общие методологические подходы к профессиональной деятельности учителей информатики и математики, общность средств прикладного и инструментального программного обеспечения, используемого как объект изучения и средства обучения соответственно в информатике и математике. (Подробно об интеграции предметных областей «Математика» и «Информатика» см. параграф 1.2, 1.3.)
После определения понятия культуры личности нам предстоит выбрать подходы к исследованию математической культуры личности, удовлетворяющие гипотезу исследования. Анализ научно-методической литературы [6,10,105,275] показывает, что в исследовании сущности культуры личности используются различные подходы. Наиболее значимыми из них являются: -аксиологический подход (О.Г Дробничкий, Н.З. Чачавазде, Г.А. Францев), рассматривающий культуру личности как систему ценностей взятую под углом человеческой значимости и целостности; - деятельностно-технологический подход (Э.С Маркарня, В.М Межуев и др.) рассматривающий культуру личности как качественную характеристику деятельности; -эвристический подход (А.А Арнольдов, Ю.Р Вишневский, М.С. Коган), рассматривающий культуру личности как творческое мышление человека, связанное с продуктивной деятельностью; -семиотический подход (Ю.М. Лотман и др.) рассматривающий культуру личности как набор знаков, посредством которых человечество передает информацию из поколения в поколение, которое приведёт к непрерывному развитию культуры; -суммарный подход (Э.В. Соколов и др.), рассматривающий личностную культуру как совокупность разнообразных процессов и результатов деятельности человека.
По нашему мнению, каждая точка зрения имеет место в исследовании культуры человека. Однако, учитывая важность интеллектуальной составляющей в информационном обществе, мы придерживаемся, прежде всего, эвристического и деятельно-технологического подходов. Исследования компонентов МКБУИ проводятся в рамках деятельностного, компетентностного и личностно-ориентированного подходов.
Действительно, именно при таком подходе наиболее успешно можно раскрыть базовые компоненты математической культуры личности (знаниевый, деятельностный, ценностно-ориентированный и рефлексивный), способствующие развитию информационно-математической деятельности, обеспечивающей формирование МКБУИ.
Сравнительно недавно в оборот вошло понятие «Профессиональная культура». Профессиональная культура учителя как часть человеческой культуры, включает в себя те качества, способы деятельности и опыт которыми должен владеть педагог. В условиях реализации ФГОС ВПО третьего поколения профессиональная культура учителя в большей степени формируются через компетенции. Для каждого профиля педагогического образования набор компетенций имеет свои особенности. Уместно высказывание В.А. Конева о том, что организационно-педагогический аспект обучения во многом зависит от логики строения содержания культуры как целостности [113, с.7].
Основные компоненты профессиональной деятельности учителя информатики при формировании математической культуры
Анализ современных исследований позволил нам выбрать гуманистический подход к реализации личностно-ориентированного обучения, в основе которого лежит саморазвитие и самореализация личности.
Обоснован учебный процесс по математическим дисциплинам, направленный на формирование МКБУИ, основанный на психологической структуре деятельности с наличием всех этапов (целеполаганием, планированием, организацией, реализацией цели и оценки результатов), реализующий интеграции предметных областей математики и информатики, их междисциплинарных связей с различным уровнем сложности: познавательным, репродуктивным, творческим.
Выявлен и обоснован личностно-ориентированный подход к формированию МКБУИ через выстраивание индивидуальной траектории обучения студентам математическим дисциплинам.
Деятельностный подход к формированию МКБУИ нами использован, во-первых, для анализа структуры и содержания компонентов (информационно-целенаправленный, информационно-математический, проектно-моделирующий, мобилизационный, аналитический, организационно-коммуникативный, контрольно-оценочный) профессионально-педагогической деятельности учителя информатики, и во-вторых для реализации вышеперечисленных компонентов в его профессионально-педагогической деятельности.
Сформулировано и обоснованно определение информационно-математической деятельности учителя информатики, под которой будем понимать, его деятельность, направленную на изучение, анализ, синтез и исследование информационных объектов, информационных процессов, изучаемых в рамках образовательной программы среднего общего образования, а также построение информационных моделей методами математики, реализуемых средствами ИКТ.
Анализ работ по проблеме теории компетентности позволил обосновать и реализовать компетентностный подход к формированию компонентов МКБУИ.
Анализ позволил сформулировать и обосновать понятие математической компетентности БУИ, под которой будем понимать владение общекультурными компетенциями (ОК) и специальными компетенциями (СК), где -ОК включает: наличие знаний математических основ обработки информации; развитие математического языка; умение осуществлять математическую обработку информации; умение создать математические модели объектов и процессов; умение реализовывать математическую деятельность в преподавании курса информатики; умение использовать навыки моделирования в учебном процессе; - СК включает: сумму знаний из предметных областей дискретной математики, математической логики, теории алгоритмов, информационного моделирования; развитие языка математики с использованием ИТ; умения применять полученные знаний для исследования информационных объектов и информационных процессов; умения создавать математические и информационные модели; умения анализировать сложность алгоритма и оценивать его эффективность; умения реализовывать информационно-математическую деятельность в преподавании курса информатики и математики.
Помимо вышеуказанного, выявлено, что в формировании МКБУИ существенное влияние окажут такие педагогические условия как: интеграция предметных областей «Математика» и «Информатика»; личностно ориентированный подход к обучению БДМД в условиях использования средств ИКТ, обеспечивающих условия для развитие самостоятельной деятельности студентов; развитие мотивации и создание ситуаций успеха, позволяющее, с одной стороны, развить предметную математическую подготовку, с другой стороны, создать условия для самореализации и 141 самосовершенствования студентов в процессе обучения БДМД; наличие БДМД, обеспечивающее развитие математической подготовки БУИ; интеграция традиционных и дистанционных форм и методов обучения, повышающая продуктивность обучения БДМД, направленные на формирование компонентов МКБУИ за счет интеграции традиционных, дистанционных форм обучения и оптимальное использование ИКТ. На основе вышеизложенного и результатов первой главы нами выявлены и обоснованы педагогические принципы формирования МКБУИ: соответствие выдвигаемой цели обучения математическим дисциплинам, реализующее потребности и возможности применения ИКТ в обучении математическим дисциплинам, направленное на формирование МКБУИ; преемственность, реализующее формирование МКБУИ на протяжении всего периода обучения; непрерывность, реализующая формирование МКБУИ на уровне взаимодополняющего влияния довузовской, вузовской и послевузовской математической подготовки БУИ; научная последовательность, полагающая реализовывать формирование МКБУИ строго с позиции структурно-логической последовательности изложения содержания математических дисциплин с позиции современных научных достижений; системность, полагающая реализовывать формирование у студентов целостного математического образования, характеризующегося знаниевым, деятельностным, ценностно-ориентериованным и рефлексивным компонентами; доступность, полагающая реализовывать формирование МКБУИ по лестнице перехода от простого к сложному в обучении БДМД; адаптивность, полагающая реализовывать возможности и склонности студента в формировании МКБУИ; интеграция, обеспечивающая обучение содержательной линии предметных областей математики и информатики на систематическом уровне; практическая направленность обучения математическим дисциплинам, обеспечивающая формирование МКБУИ как результат информационно-математической деятельности БУИ; инвариантность обучения математическим дисциплинам к технологическим аспектам информатики, обеспечивающая согласованность содержания и структуры БДМД с современным курсом информатики, преподаваемым на различных кафедрах педагогических вузов; междисциплинарность, обеспечивающая изучение математических дисциплин в тесной связи с информатикой и другими дисциплинами; изучение курса в единстве теории, технологии и техники, обеспечивающее мобильность получения информации в сетевом ресурсе и возможность обмена мнениями с другими пользователями; изучение математических дисциплин с позиции метапредметного аспекта информатики, обеспечивающее формирование обобщенных умений; практическая реализация метапредметного аспекта курса информатики в других учебных предметах, обеспечивающая улучшение качества учебного процесса.
Таким образом, во второй главе были выявлены и обоснованы теоретические подходы к формированию МКБУИ (личностно-ориентированый, деятельностный и компетентностный). Выявлены и обоснованы основные компоненты профессиональной деятельности учителя информатики в формирование МКБУИ. Введены и обоснованы понятия математической компетентности, состоящие из общекультурных и специальных компонентов. Выявлены и обоснованы педагогические условия и педагогические принципы формирования МКБУИ.
Интеграция традиционных форм обучения с дистанционными технологиями обучения в процессе формирования математической культуры будущего учителя информатики
Принцип адаптивности осуществляется выбором рациональных видов деятельности студента. Критерии видов деятельности - содержание учебной деятельности, которая обуславливает усвоение математических дисциплин. При этом активность - требование воспроизведения и предметных, и творческих действий, в ходе которых решаются математические задачи (проблемы).
Таким образом, в случае рассмотрения задачи формирования компонентов МКБУИ, средства ИКТ выступают способом контроля организации деятельности студента, которая осуществляется по готовому алгоритму, заданному посредством компьютера.
При формировании компонентов математической культуры средства ИКТ выступают экспертом, предоставляя студенту возможность самостоятельно построить алгоритм различных математических моделей.
На идеях личностно-ориентированного подхода к студенту как к субъекту деятельности базируется принцип индивидуальности, а содержание предстает как система индивидуализированных приемов и способов сотрудничества.
Исходя из вышеизложенного, следует, что технологии обучения с использованием средств ИКТ нужно разрабатывать в рамках личностно-ориентированной модели обучения, т.к. только в этом случае компьютер проявляет свои специфические свойства, принципиально преобразовывая деятельность, в которую он включается.
В отличие от традиционного обучения, дистанционное для преподавателя дает самые широкие возможности по организации и контролю над деятельностью студента, поскольку она позволяет осуществлять контроль, накапливать информацию, относящуюся как к отдельному студенту, так и к группе в целом. Дистанцинное обучение позволяет качественно изменить систему педагогического взаимодействия, контроль результатов деятельности, что обеспечивает гибкость управления учебным процессом.
Дистанционное обучение (ДО), в которой сумма получаемых знаний и формирование умений и навыков происходят непосредственно при интерактивном взаимодействии как между обучающимся и преподавателем, так и между ними и интерактивным источником информационного ресурса, отражающим учебный процесс в целом, осуществляемый в условиях реализации дидактические возможностей ИКТ (Роберт И.В.).
Дистанционное обучение математическим дисциплинам реализовано в системе Moodle (модульная объектно-ориентированная динамическая среда обучения), в рамках портала дистанционной поддержки образовательного процесса Московского Педагогического Государственного университета, обеспечивающие непрерывное и открытое обучение. Система Moodle обладает многофункциональным характером, что позволяет для каждого учебного курса создать набор тематических модулей, информационных ресурсов, интерактивных элементов и др. Особое внимание нами было уделено разработке электронных ресурсов (лекций, заданий, обучающих программ, демонстрационных программ, электронных рабочих учебных программ, системы тестовых заданий и т.п.), направленных на формирование МКБУИ.
Дистанционное обучение: позволяет студентам определить продолжительность и последовательность изучения учебных материалов, адаптируя процесс обучения под свои возможности и потребности (гибкость обучения); предполагает доступ индивида к электронным курсам в удобное для него время и из любого места, где есть выход в сеть Интернет (доступность обучения); обеспечивает студентам приобретение необходимых компетенций за счет использования визуальных средств, интерактивных элементов и электронных коммуникаций (эффективность обучения).
Оценивание успеваемости студента в ходе дистационного обучения носит комплексный характер и учитывает: изученные электронные курсы, и другие учебные материалы; время, затраты обучаемого; активность и результативность студента в электронных образовательных телекоммуникациях; пополнение электронного портфолио творческими работами; выполнение тестовых заданий. Возможности оценки успеваемости студента путем тестирования, где используются разновидных тестовых заданий. Особенности тестов являются: автономность от преподавателя; адаптивность; тиражируемость и масштабируемость; привлекательность для обучаемого.
Другой вид организации обучение математическим дисциплинам в нашем исследовании - использование мультимедийных электронных учебников по математическим дисциплинам («Дискретная математика», «математическая логика», «Теория алгоритмов»), подготовленных в отдельных DVD [95,93,94]. С точки зрения структуры, содержания и технического исполнения, электронные учебники (ЭУ) по математическим дисциплинам [95,93,94] представляют собой подсистему информационно-образовательной среды (ИОС) в «Едином информационном пространстве» педагогического вуза. Каждый электронный учебник по математическим дисциплинам создан на основе блочно-модульного подхода как иерархической дидактической системы, состоящей из информационно-навигационной, содержательной, диагностирующей и управляющей подсистем.
Использование электронного образовательного ресурса по математическим дисциплинам на основе технологии модульного обучения
В формировании МКБУИ немалое значение имеет эстетическое восприятие (умение видеть красоту математики) и творческое развитие личности. Многие ученые считают, что одним из путей достижения творчества является эстетическое восприятие личности, включающее законы красоты. Именно эстетический фактор ориентирует студента на выбор наиболее оптимального пути из различных альтернативных направлений научного поиска.
Эстетический компонент МК БУИ направлен на выяснение сущности прекрасного в математической гармонии, на умение видеть красоту математики и на воспитание тех эмоций, которые вызывают у студента чувство прекрасного в процессе обучения математическим дисциплинам дискретного блока. Успешность эстетического развития студента обусловлена пониманием его как целостного процесса развития эстетического отношения во взаимосвязи и взаимообусловленности с развитием творческих способностей.
Раскроем суть развития эстетических качеств в процессе обучения математическим дисциплинам дискретного блока. Для начала рассмотрим пример использования методов на теме «Множества, операции над множествами». Известно, что 16 человек, из имеющихся на экскурсии людей, носят с собой бутерброды с мясом, 24 - бутерброды с колбасой, 15 -бутерброды с сыром, 11 - бутерброды с мясом и колбасой, 8 - бутерброды с мясом и сыром, 12 - бутерброды с колбасой и сыром, 6 - бутерброды со всеми тремя видами и 5 - вместо бутербродов взяли чебуреки. Определите, сколько человек на экскурсии?
Предложенный практико-ориентированный подход к решению комбинаторных задач помимо научного мировоззрения, математического мышления, развивает эстетическое качество личности. В задаче такого типа присутствуют элементы проявления красоты математики (изоморфизм, простота и наглядная модель), предложенные В. Г. Болтянским [25].
В качестве другого примера, развивающего эстетическое восприятие личности, можно привести задачу установления связи между последовательностью чисел Фибоначчи и треугольника Паскаля с помощью метода рекуррентных соотношений.
Одно из направлений кибернетической науки - задачи синтеза оптимальных управляющих систем, занимающихся переработкой информации - внесло в теорию графов новые постановки проблем и методы их решения. Основная схема постановки задач синтеза выглядит следующим образом. В вершинах графа размещаются устройства переработки информации, а его рёбра являются информационными каналами, осуществляющими связь между этими устройствами. Каждое устройство и каждый информационный канал обладают характеристиками, сведения о которых используются при формировании маркированного графа, описывающего разрабатываемую (синтезируемую) систему. Среди вершин графа выделены полюса ввода и вывода. Информация поступает в систему через входные полюса {истоки), передаётся по рёбрам (дугам, если исследуется орграф), перерабатывается в элементарных устройствах, поступает на выходные полюса (стоки), откуда считывается из системы. Таким образом, в результате преобразований, проводимых в устройствах системы по некоторым законам, входная информация перерабатывается в выходную. Задача установления этих законов относится к классу задач анализа системы. Задача же синтеза системы состоит в том, чтобы, в согласии с установленным законом переработки информации, подобрать граф с соответствующими рёбрами (дугами), обеспечивающими эффективную передачу информации. При этом необходимо разместить в его вершинах устройства системы так, чтобы при минимальных суммарных затратах на комплектующие система с минимальными потерями информации реализовала бы требуемые законы переработки. Примером такого рода являются функциональные схемы переработки компьютером информации.
Функциональная (логическая) схема - это схема, состоящая из логических элементов, которая выполняет определённую функцию. Анализируя функциональную схему, можно понять, как работает логическое устройство, т.е. дать ответ на вопрос: какую функцию она выполняет.
Обработка любой информации на компьютере сводится к выполнению процессором различных арифметических и логических операций. Для этого в состав процессора входит, так называемое, арифметико-логическое устройство (АЛУ). Оно состоит из ряда устройств, построенных на рассмотренных выше логических элементах. Важнейшими из таких устройств являются триггеры, полусумматоры, сумматоры, шифраторы, дешифраторы, счетчики, регистры.
Сумматор выполняет сложение многозначных двоичных чисел. Он представляет собой последовательное соединение одноразрядных двоичных сумматоров, каждый из которых осуществляет сложение в одном разряде. Если при этом возникает переполнение разряда, то перенос суммируется с содержимым старшего соседнего разряда.
На рисунке показано, как из N сумматоров можно составить устройство для сложения двух N-разрядных двоичных кодов, это схема многоразрядного сумматора (схема 12). Решение подобных задач в процессе обучении математической логики расширяет и укрепляет логико-теоретические знания студентов, развивает математической компетентности, исследовательские умения и эстетические качества личности, обеспечивающие формирование МКБУИ.
Эстетическое развитие личности также достигается с помощью задач исторического характера. Приведем наиболее яркие из них, оказывающие положительное влияние в развитии знаний и умений студентов из области дискретной математики.
Первые положения математической теории графов были разработаны в XVIII веке Леонардом Эйлером и отображены в его знаменитой задаче о мостах в Кенигсберге. так, чтобы, не проходя по какому-либо из них дважды, пройти последовательно через все мосты, и вернуться в ту же часть города, откуда вышел. Причём большой остров был соединён с каждым из берегов двумя мостами, а малый остров - одним мостом с каждым берегом; кроме того, острова были соединены между собой ещё одним мостом. Для наглядности на рисунке 11 приведено расположение мостов в Кенигсберге того времени. К задачам на эйлеровы графы приводят головоломки, в которых требуется вычертить на плоскости одним росчерком замкнутые кривые, проходя каждый участок маршрута только один раз.
В 1857 году ирландский математик Вильям Р. Гамильтон предложил игру, названную «Кругосветное путешествие по додекаэдру». Игра сводилась к обходу всех вершин правильного додекаэдра (рисунок 12), по рёбрам их соединяющим,
