Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Теоретические основы формирования понятий «площадь» и «объем» и вычисления площадей и объемов геометрических фигур 11
1.1 Теоретические основы изучения площадей и объемов в математике 11
1.2 О различных подходах введения и изучения понятий «площадь» и «объем» в школьном курсе математики 27
Глава II. Реализация принципа УДЕ при изучении площадей и объемов в школе как средство систематизации материала и повышения качества знаний учащихся 36
2.1 Реализация принципа УДЕ как средства повышения качества знаний учащихся при изучении площадей и объемов в школе 36
2.1.1 Целесообразность более раннего изучения некоторого материала по теме «Площадь и объем» в школе. ...48
2.2 Методологические аспекты изучения площадей и объемов в школе на основе реализации принципа УДЕ как средства систематизации материала и повышения качества знаний учащихся 55
2.2.1 Методика изучения площадей и объемов в основной школе на основе реализации принципа укрупнения дидактических единиц 57
2.2.2 Формирование математических понятий, связанных с изучением площадей и объемов в основной школе 83
2.2.3 Методика изучения площадей и объемов геометрических фигур в основной школе на основе применения практических способов их вычисления 86
Глава III. Методика организации экспериментального исследования и его результаты 104
3.1 Учебно-экспериментальный материал по изучению темы «Площадь и объем» на основе реализации принципа укрупнения дидактических единиц 104
3.2 Организация и проведение экспериментального исследования 125
3.3 Анализ результатов и выводы 132
Заключение 143
Список использованной литературы
- Теоретические основы изучения площадей и объемов в математике
- Реализация принципа УДЕ как средства повышения качества знаний учащихся при изучении площадей и объемов в школе
- Учебно-экспериментальный материал по изучению темы «Площадь и объем» на основе реализации принципа укрупнения дидактических единиц
Введение к работе
В настоящее время математика и ее методы все больше проникают во все сферы человеческой деятельности, и использование математики и ее приложений приобретает повсеместный характер. Более того, в условиях развития современного общества, глобальной компьютеризации и автоматизации, развития науки и техники, значение математики все больше ощутимо. «В условиях научно-технической революции, когда происходит качественный скачок производительных сил, наука вообще (и математика в особенности) превращается в ведущую силу производства, значение которой увеличивается с каждым годом» (ПО, С. 49). В связи с этим общество будет предъявлять все более высокие требования к уровню математического образования современного человека, которое должно меняться, совершенствоваться тем сильнее, чем ее значение в мире будет увеличиваться. Как справедливо отмечал Б.В. Гнеденко: «математическое образование не может оставаться изолированным. Его содержание так же обязано измениться как под влиянием требований общества к математическим знаниям его граждан, так и под влиянием прогресса самой науки» (53, С. 57).
Само собой разумеется, что основу математического образования закладывает школа, и она, несомненно, реагирует на все те изменения, которые происходят в жизни общества. Как пишет В. И. Левин: «...бурное развитие всех отраслей техники в последнее десятилетие и связанный с этим новый этап в развитии математики как науки начинают настоятельно влиять на школу» (92, С. 21).
Несмотря на всю важность соответствующей математической подготовки, нынешнее состояние уровня математического образования в нашей стране еще далеко от совершенства.
В связи с этим становится необходимым постоянное совершенствование уровня математического образования учащихся, повышения качества их знаний. Это касается таких вопросов, как совершенствование содержания
школьного курса математики, средств и методов ее преподавания, а также других вопросов. В частности, оно должно касаться не только всего школьного математического образования, но и его отдельных компонентов, одним из которых является изучение площадей и объемов геометрических фигур.
Актуальность постановки такого вопроса диктуется и тем, что вопросы измерения и вычисления площадей и объемов в средней школе, являясь одними из основных вопросов программы, играют очень важную роль в математическом образовании как ее неотъемлемая часть.
Высказываясь о значимости темы измерения величин, И. Яглом еще в 60-х годах XX века говорил: «...вопросы измерения величин являются одними из самых принципиальных в школьном курсе геометрии и притом одними из самых трудных для учащихся» (91, С. 6), а А. Н. Колмогоров более конкретизировал значение измерения величин: «Все действительные числа имеют общее происхождение - возникают из задачи измерения величин» (83, С. 90).
Таким образом, формирование уровня общего математического образования неотделимо от усвоения разделов «площадь» и «объем» и во многом зависит от знаний по этой теме. Без четкого и прочного усвоения школьниками понятий площади и объема и способов их измерения и вычисления и вместе с тем их дальнейшего применения на практике немыслим качественный уровень усвоения школьного курса математики. Более того, учитывая большое практическое применение данного раздела, прочное усвоение его учащимися повысит применимость математики школьниками на практике, то есть позволит приблизить математику к жизни, чего добиваются многие исследователи.
В подтверждение вышесказанного можно привести слова великого французского математика Анри Лебега: «Нет темы более важной: измерение величин является исходным пунктом всех приложений математики. Так как прикладная математика предшествовала, очевидно, чистой, или логике математики, то обычно думают, что начало измерения площадей и объемов
лежит у самых истоков геометрии; с другой стороны, измерение доставляет число, то есть предмет изучения анализа. Таким образом, об измерении величин говорят как в средних и старших классах средней школы, так и в высшей школе» (91, С. 18).
Вследствие своей такой важности проблема эффективного формирования понятий площади объема и их измерения существует давно. Еще в 1938 году вышла книга Анри Лебега «Об измерении величин», которая была посвящена основным понятиям длины, площади, объема и связанным с этими понятиями вопросам элементарной математики.
Но, несмотря на то, что с тех пор прошло немало времени, и, безусловно, учеными проделана большая работа по вопросам формирования понятий площади, объема и их измерения, существующая в настоящее время методика все еще, на наш взгляд, недостаточно эффективна.
И. Яглом утверждает: «...ни в одном другом пункте школьной программы мы не встречаемся с таким большим числом неправильных представлений и утвердившихся методических несообразностей, как при изложении темы «Площадь и объем»» (91, С. 6).
Недостаточный уровень усвоения учащимися понятий площади и объема, единиц их измерения, измерения площадей и объемов геометрических фигур, а также применения этих знаний на практике, который сложился в настоящее время, происходит, на наш взгляд, в силу нескольких причин:
1. Одна из причин недостаточной усвояемости материала по этой теме состоит в том, что изучение площадей и объемов в школе по сложившейся методике слишком разрознено, оно происходит эпизодически, встречаясь в различных классах. То есть при изучении площадей и объемов отсутствует какая-либо система, хотя, на наш взгляд, изучение этих понятий в школе можно некоторым образом систематизировать. Это возможно ввиду того, что понятия площади и объема являются частными случаями одного и того же понятия -величины и имеют много общего между собой. Отсутствие какой-либо систематизации знаний по этой теме влечет за собой более поверхностное,
6 эпизодическое усвоение понятий площади и объема, а также измерений площадей и объемов геометрических фигур, тем самым понижая качество знаний учащихся.
2. Другой причиной отсутствия высокого уровня знаний учащихся по этой
теме является недостаточно широкое применение эффективных методов и
принципов математики. Одним из таких принципов, который пока еще
полностью не реализован при изучении площадей и объемов, является принцип
укрупнения дидактических единиц (УДЕ), разработанный академиком П.М.
Эрдниевым. В настоящее время этот принцип нашел очень большое
применение во многих областях школьного курса математики и уже давно
зарекомендовал себя как высокоэффективный метод при изучении самых
различных разделов. Между тем принцип УДЕ еще недостаточно полно
находит своего применение в методике преподавания площадей и объемов в
школе, хотя возможность его эффективного использования, на наш взгляд,
очевидна. По существующей методике материал по изучению тем «Площадь» и
«Объем» изучается на разных этапах, как по времени, так и по материалу. Мы
считаем, что объединение их в один дидактический блок знаний на основе
реализации принципа УДЕ даст больший эффект при изучении этих понятий.
Применение этого принципа также позволит систематизировать материал по
изучению площадей и объемов в школе, тем самым улучшая методику
преподавания материала по этой теме и, следовательно, повышая качество
знаний учащихся. Таким образом, недостаточное применение принципа
укрупнения дидактических единиц и является, по нашему мнению, второй
причиной недостаточного усвоения знаний учащимися по этой теме.
3. Рассматривая назначение школьного курса математики, можно
выделить в нем два направления, условно называемые «прикладным» и
«теоретическим». Лучшее математическое образование получают школьники,
которые одновременно усваивают оба направления, то есть обладают
достаточным багажом теоретических знаний по математике, и могут
эффективно использовать их на практике.
Современное же состояние преподавания математики, к сожалению, не всегда приводит к достижению этого. Как правило, чаще страдает практическая часть подготовки учащихся, то есть, если даже ученик и подготовлен достаточно теоретически, он не может использовать эти знания на практике.
Такая же тенденция просматривается и при изучении величин в школе. При изучении площадей и объемов геометрических фигур в школе основной упор делается на теоретическую сторону материала. Вследствие такого подхода к изучению площадей и объемов школьники, которые достаточно хорошо усвоили понятия площади и объема, не могут вычислять площади и объемы объектов на практике.
Таким образом, одной из причин низкого уровня усвоения учащимися материала, связанного с площадями и объемами, является недостаточно эффективное формирование практических навыков по вычислению площадей и объемов, как на уроках математики, так и в жизненных ситуациях.
4. Потребности жизни требуют от учащихся умений вычисления площадей и объемов реальных объектов, а для этого актуален поиск возможностей более раннего изучения площадей и объемов для того, чтобы по окончании основной школы учащиеся имели хотя бы определенные практические навыки по нахождению площадей и объемов простейших фигур.
Итак, мы видим, что в настоящее время на фоне перестройки всего школьного математического образования, проблема, связанная с разработкой эффективной методики изучения площадей и объемов геометрических фигур в школе, действительно существует и является актуальной.
Проблема исследования состоит в выявлении возможностей изучения площадей и объемов геометрических фигур в основной школе на основе реализации УДЕ, на более раннем этапе по сравнению с традиционной методикой.
Цель исследования - обоснование целесообразности более раннего изучения площадей и объемов геометрических фигур на основе реализации принципа УДЕ, направленного на систематизацию этого материала и
повышение качества знаний учащихся, а также разработка соответствующей системы упражнений и методики ее реализации.
Объектом исследования является процесс обучения математике в 5-9 классах.
Предмет исследования - процесс формирования знаний по теме «Площадь и объем» на основе реализации принципа УДЕ в основной школе.
Гипотеза исследования: если разработать методику изучения площадей и объемов на основе реализации принципа УДЕ в 5-9 классах, то это будет способствовать систематизации изучаемого материала и, как следствие, соответственному улучшению сформированности знаний, умений и навыков.
Для достижения намеченной цели и проверки достоверности выдвинутой гипотезы нужно было решать ряд задач:
проведение анализа имеющейся научно-методической и учебной литературы, касающейся формирования понятий площади и объема и их вычисления в науке и школьной математике;
выявление и обоснование психолого-педагогических аспектов реализации принципа УДЕ при изучении площадей и объемов;
разработка методической системы обучения учащихся понятиям площади и объема и их вычислениям в средней школе;
экспериментальное исследование разработанной системы упражнений на предмет ее эффективности при формировании площади и объема и их вычислений.
Научная новизна исследования состоит в том, что на основе реализации принципа УДЕ разработана методика изучения площадей и объемов в основной школе, которая направлена на систематизацию материала по этой теме.
Теоретическая значимость заключается в том, что теоретически обоснована целесообразность и предложены пути реализации более раннего изучения площадей и объемов геометрических фигур в 5-9 классах.
Практическая значимость исследования заключается в том, что результаты исследования могут быть использованы в практической работе
учителями школ, лицеев, колледжей, а также авторами учебников и учебных пособий при их обновлении.
Методологической основой для исследования послужили работы психологов и педагогов в области школьного обучения (Л. С. Выготский, А. Н. Леонтьев, П. Л. Гальперин, В. В. Давыдов, Н. Ф. Талызина и др.), а также работы в области современного обновления школьного образования (Ю. М. Колягин, В. М. Монахов, X. Ш. Шихалиев, П. М. Эрдниев, Б. П. Эрдниев и др.).
На защиту выносятся;
обоснование целесообразности и возможности изучения площадей и объемов в основной школе на более раннем этапе по сравнению с традиционной методикой;
методика изучения площадей и объемов геометрических фигур на основе реализации принципа УДЕ в основной школе.
Достоверность и обоснованность полученных в исследовании результатов и выводов обеспечиваются:
опорой на фундаментальные психолого-педагогические и методологические исследования в области обучения школьной математике;
результатами внедрения в практику обучения разработанных задач, упражнений и методических рекомендаций;
экспериментальным подтверждением полученных результатов. Апробация и внедрение результатов исследования.
Основные результаты исследования докладывались и обсуждались на заседаниях кафедры методики математики и информатики Дагестанского государственного педагогического университета, на научно-методических семинарах, конференциях различного уровня (внутривузовского, межвузовского).
Разработанные автором методические рекомендации и план-конспекты занятий по математике апробированы и используются на практике работы учителей республики Дагестан (г. Махачкала, пос. Белиджи и с. Куллар
Дербентского района, с. Картас Магарамкентского района, с. Ново-Фриг Хивского района).
Исследование осуществлялось в три этапа.
На первом этапе были определены объект, предмет, цель и задачи исследования, проводились наблюдения, изучение и анализ психолого-педагогической и методической литературы; выделены предпосылки для разработки теоретических основ проблемы исследования, проводился констатирующий эксперимент.
На втором этапе было проведено теоретическое исследование. Были выявлены психолого-педагогические и теоретико-методологические основы реализации принципа УДЕ как средства систематизации материала и повышения качества знаний учащихся. На этом этапе также был проведен поисковый эксперимент и анализ его результатов.
На третьем этапе был проведен обучающий эксперимент, осуществлялся анализ полученных результатов и обосновывалась формулировка окончательных выводов.
Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка использованной литературы.
По диссертационному исследованию было опубликовано 5 работ (см. 34-38).
Теоретические основы изучения площадей и объемов в математике
Понятия площади и объема являются одними из древнейших понятий в истории математики. Представления о площади и объеме сложились примерно в XXX-XVII в.в. до нашей эры сразу же после возникновения понятий числа и счета (48, С. 121). Столь раннее возникновение понятий площади и объема объясняется тем, что уже в древности людям приходилось находить площади и объемы различных объектов окружающего их мира и математическое представление понятий площади и объема сложилось как следствие практических потребностей древних людей. В. Е. Фирстов, И. В. Серебрякова (151, С. 40) пишут, что дошедшие до нас клинописные таблички шумеров и вавилонян (около 3000 лет до н. э.) свидетельствуют, что единицы измерения площади и объема были при своем возникновении связаны с материальными потребностями. Необходимо было измерять емкости сосудов, вместимость амбаров, объемов вынутой или насыпанной земли при прокладке каналов или строительстве дамб. Расшифровка клинописных табличек вавилонян показала, что, например, иероглиф понятия «площадь» тождествен иероглифу «количество зерна» (нужного для посева на этой площади). Точно так же совпадают иероглифы понятий «объем» и «куча земли». Русская мера объема «ведро» также указывает на конкретный практический характер происхождения пространственных мер.
Первые представления о площади и объеме сформировались в таких странах древнего мира, как Египет, Вавилон и Китай. В Древнем Египте вычисление площадей было связано в основном с ежегодным разливом реки Нил и затоплением водой земельных участков древних египтян, расположенных на плодородных землях долины Нила. После схода воды возникала необходимость вычисления площадей участков их владельцами, так как границы между участками были размыты. Такая необходимость возникала ежегодно и в связи с этим в Древнем Египте постепенно начали формироваться первые представления о понятии площади, вычислении площадей элементарных фигур - в основном четырехугольников. Примерно аналогичные потребности в вычислении площадей происходили в Древнем Вавилоне и Древнем Китае. Понятие об объеме и его нахождение сложились в этих странах в связи с расчетами при строительстве стен домов и крепостей, башен, рвов, ям, валов и других сооружений (135, С. 31).
Как отмечает К. А. Рыбников (136, С. 21), первые упоминания о площади встречаются в древнеегипетских папирусах - Ринда и в московском папирусе. Содержащиеся в них математические сведения относятся примерно к 2000 г. до н. э. В папирусе Ринда вычисляются площади прямоугольника, треугольника, трапеции и круга, объемы параллелепипеда, цилиндра. Площадь круга египтянами вычислялась по формуле S = (-d)2, что соответствует грубому приближению 71 = 3,1605 В одной из задач московского папируса вычисляется объем усеченной пирамиды с квадратным основанием. В другой задаче вычисляется боковая поверхность корзины (то есть полуцилиндра), высота которого равна диаметру основания.
Следующий этап в развитии вычислений площади и объема - так называемая «Математика в девяти книгах», являющаяся своеобразным итогом математических достижений Китая к началу нашей эры. Как пишет К. А. Рыбников (136, С. 29), в первой из девяти книг мы встречаем правильное вычисление площадей прямолинейных фигур, причем единицей измерения служит прямоугольник со сторонами 15 и 16 бу (т.е. шагов, приблизительно равных 133 см). Далее вычисляются площади круга, сектора и кольца, причем я = 3. «Площадь сегмента вычисляется как площадь трапеции, большее основание которой совпадает с основанием сегмента, а меньшее основание и высота - каждое равно высоте сегмента» (136, С. 29).
Что же касается объемов, то большинство объемов различных элементарных тел было определено математиками Древней Греции. Так, формулы объема произвольной пирамиды и конуса были впервые найдены древнегреческим математиком Демокритом в VI в. до н. э. Далее объемы пирамид, цилиндров, конусов и шаров вычисляются в «Началах» Евклида с помощью так называемого «метода исчерпывания». Изобретение этого метода приписывают Евдоксу. Идея этого метода, представляющего своеобразную античную форму метода пределов, состоит в следующем: Евклид устанавливает, что подобные многоугольники, вписанные в круги, относятся как квадраты диаметров. Затем круги «исчерпываются» последовательностями правильных 2п-угольников (п =2, 3, 4, ...). Отношения последних при увеличении числа сторон остаются неизменными. После неявного перехода к пределу доказывается методом от противного, что и площади кругов относятся как квадраты их диаметров. Аналогичные суждения предельного характера приводятся во всех случаях отыскания отношений упомянутых выше тел (136, С. 65-66).
Математики прошлого ставили своей задачей вычисление площадей и объемов определенных фигур. Как отмечает П. С. Александров: «На протяжении многих столетий математики видели свою задачу в вычислении площадей и объемов. Им не приходило в голову, что площадь и объем нуждаются в специальном определении» (174, С. 7).
Таким образом, площади и объемы основных фигур были вычислены еще в древности. Зачатки теории площадей и объемов также сложились еще до нашей эры. До XX века математики занимались расширением количества геометрических фигур, для которых были вычислены площади или объемы, а также разработкой теорий площадей и объемов. Причем в это время математики принимали понятия «площадь» и «объем» первичными и не требующими определения и только в XX веке начали пытаться определить понятия «площадь» и «объем». Окончательно же теория площадей и объемов сформировалась такой, какой она существует в современном понимании, в XX веке. Рассмотрим теорию площадей и объемов так, как она рассматривается в современной науке математике.
Реализация принципа УДЕ как средства повышения качества знаний учащихся при изучении площадей и объемов в школе
Прежде чем рассматривать систематизацию изучения площадей и объемов в школе, выясним суть понятия систематизации и ее роль в процессе обучения. В своей работе 3. И. Слепкань дает следующие определения понятиям система и систематизация: «Система (греч. systema - целое, составленное из частей) - совокупность, объединение взаимосвязанных и расположенных в соответствующем определенном порядке элементов (частей) какого-то целостного образования. Систематизация - расположение материала в определенном порядке, в определенной последовательности. Систематизация учебного материала помогает учащимся глубже осознать связи между понятиями, их свойствами и отношениями, более четко представлять структуру учебного материала и предмета в целом» (139, С. 36).
В своей работе мы ставили цель систематизировать материал по изучению площадей и объемов. По нашему мнению, такая систематизация может быть достигнута путем применения принципа УДЕ. Способность усиления системности знаний при помощи УДЕ была рассмотрена П. М. Эрдниевым (179, С. 155-164). Он считает, что, «ведущим системообразующим фактором (созидающим системное качество знаний) в обучении выступает, прежде всего, технология обучения, применяемая педагогом. Исследователи справедливо подчеркивают примат метода над предметом изучения, считая, что для развития мышления важно не столько то, чему учат, сколько то, как учат» (179, С. 157). Далее он пишет, «что в методике обучения надо разграничивать понятия «системность знаний» и «систематичность знаний». Под последним обычно понимают строгое следование последовательности изучения тем и разделов, предусмотренных программой или учебником. Однако не всякое систематическое изложение приводит к системности знаний. Знания, получаемые школьником, по ряду причин могут не обрести системного качества и оставаться неорганизованным набором сведений, вследствие чего память детей переполняется осколками разрозненных знаний» (179, С. 157). Исследуя системность знаний как результат укрупнения дидактических единиц, П. М. Эрдниев пришел к выводу, что «если освоение знаний осуществляется укрупненными единицами, то создаются лучшие условия для возникновения и системного качества знаний, ибо элементы знания образуют укрупненную единицу усвоения лишь благодаря многообразным связям между этими элементами» (179, С. 156).
Принцип УДЕ, разработанный и впервые использованный академиком П. М. Эрдниевым, предполагает, в отличие от традиционного обучения, совершенно другой принцип изучения материала, сводящийся к объединению в один блок знаний, состоящих из различных логических элементов, но обладающих информационной и структурной общностью. Такой блок знаний П. М. Эрдниев называет укрупненной дидактической единицей и предлагает изучать курс математики, разбивая его на такие укрупненные единицы. П. М. Эрдниев указывает, что «укрупненная дидактическая единица обладает качествами системности и целостности, устойчивостью к сохранению во времени и быстрым проявлением в памяти. Понятие укрупнения единицы усвоения достаточно общо, оно вбирает следующие взаимосвязанные конкретные подходы к обучению:
- совместное и одновременное изучение взаимосвязанных действий, операций, функций, теорем и т. п.; - обеспечение единства процессов составления и решения задач (уравнений, неравенств и т. п.);
- рассмотрение во взаимопереходах определенных и неопределенных заданий;
- обращение структуры упражнения, что создает условия для противопоставления исходного и преобразованного заданий;
- выявление сложной природы математического знания, достижение системности знаний;
- реализация принципа дополнительности в системе упражнений (понимание достигается в результате межкодовых переходов между образным и логическим в мышлении, между его сознательным и подсознательным компонентами» (179, С. 6-7).
Итак, принцип УДЕ предполагает совместное и одновременное (на одном и том же уроке) изучение взаимообратных действий, задач и вообще группы родственных понятий, образующих единую систему знаний. Тем самым реализуется целостный, системный подход к изложению материала, что отражается на эффективности усвоения учащимися школьного курса математики. Реализация принципа УДЕ может иметь место как в младших, так и в старших классах, как в математике, так и в других учебных предметах, что показывает его широкую применимость и универсальность.
Достижение систематизации материала должно служить для совершенствования качества математических знаний учащихся, которые, в свою очередь, зависят от многих педагогических и психологических факторов. Ведь, как пишет Л. М. Фридман, «...учителя математики в своей повседневной практической деятельности встречаются с такими проблемами, которые можно разрешить лишь на основе психолого-педагогических знаний, а также при условии глубокого психологического осмысления сущности этих проблем» (152, С. 4). 3. И. Слепкань отмечает: «Объективные трудности изучения математики, связанные со спецификой предмета, обуславливает необходимость учета психологических закономерностей мышления, индивидуальных особенностей познавательной деятельности учащихся» (139, С. 3).
Психолого-педагогические проблемы обучения в школе (в частности, обучения математике), рассматривали такие авторы, как Н. Ф. Талызина (145, 146), Л. М. Фридман (152, 153), Н. А. Менчинская (101), Л. Б. Ительсон (72), Л.В. Занков (69), В. В. Давыдов (62), 3. И. Слепкань (139), Т. В. Габай (33), Н. В. Метельский (102, 103), Я. И. Груднев (58) и другие.
При разработке методики изучения площадей и объемов в школе нами учитывались особенности психологического развития учащихся, выявленные этими авторами в ходе своих исследований.
Учебно-экспериментальный материал по изучению темы «Площадь и объем» на основе реализации принципа укрупнения дидактических единиц
Система упражнений по изучаемому материалу, связанная с понятием «площадь» и «объем»:
1. Длину мы измеряем отрезками. Как называются эти отрезки? Начертите отрезок наименьшей длины. Чему равна его длина? А теперь начертите отрезок наибольшей длины. Чему равна длина наибольшего отрезка?
2. На рисунке 28 изображены несколько отрезков. Укажите из них равные отрезки по длине.
3. Начертите отрезки, которыми мы измеряем длину. Изготовьте отрезки, которыми мы измеряем длину.
4. Измерьте длину отрезка АВ, принимая отрезок ОМ за единичный (рис. 29).
5. Площадь измеряется квадратами. Как называются эти квадраты? Скажите, чем эти квадраты отличаются друг от друга? Начертите квадрат наименьшей площади.
6. Начертите квадраты, которыми мы измеряем площадь. Изготовьте квадраты, которыми мы измеряем площадь.
7. На рисунке 30 изображено несколько фигур. Укажите среди них равные фигуры. Укажите среди них фигуры, имеющие равные площади.
8. На рисунке 31 изображены две фигуры. Можно ли сказать, что они имеют одинаковую площадь?
20. Начертите в тетради квадратный дециметр, квадратный метр.
Возможно ли это? Почему?
21. Какие вы знаете единицы измерения площади и объема? Почему их существует много?
22. В каких единицах проще измерять:
а) площадь Каспийского моря - в квадратных миллиметрах или квадратных километрах?
б) площадь тетрадного листа - в квадратных сантиметрах или в гектарах?
в) объем ведра - в кубических метрах или в литрах (дм )?
г) объем комнаты - в кубических метрах или в кубических миллиметрах?
23. Начертите в тетради квадратный сантиметр и квадратный дециметр.
Во сколько раз квадратный дециметр больше по площади, чем квадратный сантиметр?
24. Напишите следующие единицы измерения в более крупных единицах:
а) 1 500 мм2, 25 000 см2, 150 ар, 34 560 м2;
б) 37 000 мм3, 137 500 см3, 300 л, 5 650 м3.
Например: 1 500 мм2 = 15 см2 = 0,15 дм2 = 0,0015 м2.
25. Напишите следующие единицы измерения в более мелких единицах:
а) 0,21 км2, 3,6 м2,4,3 га, 470 дм2;
б) 0,003 км3,4,5 м3, 2 л, 56 дм3.
26. Покажите примерные размеры:
а) квадратного дециметра, кубического дециметра;
б) квадратного метра, кубического метра;
в) квадратного километра, кубического километра.
Что для вас оказалось самым сложным? Почему?
27. Сравните величины:
а) 30 га и 300 ар, 1 га и 1 000 м2,45 ар и 4 500 м2;
б) 3 л и 300 см3, Зли 0,3 м3.
28. Выразите:
а) в квадратных метрах 5 га, 247 а, 42 км , 1200 см ;
б) в кубических метрах 125 л, 2500 см , 0,025 км .
29. Верста, которой измеряли расстояние в старину на Руси, имела протяженность около 1,06 км. Выразите квадратную версту в м , в км , в гектарах, в арах.
30. Площадь земельного участка составляет 6 соток. Чему равна площадь участка в квадратных метрах?
31. Для засева 1 гектара пахотной земли требуется 120 кг семян подсолнечника. Сколько килограмм семян необходимо для засева 100 м2 земли?
32. Объем комнаты равен 36 м3. Выразите объем комнаты в дм3; в см3.
33. У Магомеда сад площадью 325 м2, а у Ахмеда 0,3 га. Чей сад больше и на сколько м2; на сколько га?
34. Гусейн, проверяя объем бака, выяснил, что он составляет 4 больших ведра вместимостью 12 литров и одно маленькое ведро вместимостью 8 литров. Сколько кубических метров составляет объем бака?
35. Стороны прямоугольника равны 5 сантиметров и 8 сантиметров. Какова площадь прямоугольника?
36. На рисунке изображены два прямоугольника. Проделав измерения с помощью линейки, выясните, площадь какого прямоугольника больше и на сколько мм2, см2, м2.
37. Ширина прямоугольника равна 6 см, а его длина в 5 раз больше. Вычислите площадь прямоугольника.
38. Одну из сторон прямоугольника увеличили в 3 раза. Во сколько раз увеличится площадь прямоугольника?
39. Ребра прямоугольного параллелепипеда равны 5 см, 6 см и 9 см. Чему равен объем параллелепипеда?
40. Найдите объем классной комнаты, если ее длина 12 м, ширина 6 м, высота 3 м.
112
41. Даны два прямоугольных параллелепипеда равные по объему. Как вы думаете, останутся ли они равными, если у одного из них увеличить длину и ширину в 2 раза, а у другого увеличить высоту в 4 раза?
42. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда путем измерения его ребер. Найдите площади граней параллелепипеда и сравните между собой. Сколько различных значений площадей у вас получилось?
43. В фермерском хозяйстве два поля для посева. Первое поле имеет длину 2,5 км и ширину 1,5 км. Второе поле имеет длину 2,2 км и ширину 2 км. На 1 м необходимо 44 грамма удобрений. Хватит ли 1 т удобрений для фермерского хозяйства?
44. Банка вмещает 300 грамм краски. На покраску пола, которая имеет длину 4,5 м, а длину 6,3 м, ушло 170 грамм краски. Хватит ли оставшейся краски на покраску второй комнаты, если она имеет длину 5,3 м, а ширину 3,7 м?
45. Мастеру необходимо оштукатурить стену длиной 5 м и высотой 2,5 м, имеющей 2 оконных проема размерами 1 м на 1 м. За каждый квадратный метр работы он должен получить 50 рублей. Какую сумму денег получит мастер по окончании работы?
46. Длина кузова «Газели» составляет 3 м, ширина 2,5 м, высота 2 м. Определите, сколько ящиков вермишели поместится в «Газель», если длина ящика равна 50 см, а ширина и высота равны по 40 см.
47. Пожарный ящик длиной 1,8 м, шириной 0,9 м и высотой 1,2 м доверху заполнен песком. Определите массу песка в ящике, если плотность песка 1,3 кг/дм3.
48. Даны прямоугольный параллелепипед, имеющий длину 15 см, ширину 25 см, высоту 31 см, и куб с ребром 23 см. Чей объем больше - куба или прямоугольного параллелепипеда?
49. На рисунке 42 изображена фигура. Найдите ее площадь с помощью палетки.
50. На рисунке 43 изображены две фигуры. Выясните, площадь какой фигуры больше.
51. На рисунке 44 изображено несколько фигур. Найдите их площади сначала с помощью линейки путем измерения, затем с помощью палетки. Результаты сравните.
52. У вас имеется две палетки - одна с делениями в 1 см , другая - с делениями в 1 дм2. Какой из них будет точнее измерена площадь фигуры, изображенной на рисунке 45? Ответ обоснуйте.
53. Найдите объем тела произвольной формы с помощью жидкости.
54. Найдите объем модели прямоугольного параллелепипеда с помощью жидкости и путем измерения его ребер. Результаты сравните.
55. Найдите объем сосуда произвольной формы с помощью жидкости.
56. У вас на руках две емкости неизвестного размера. Каким образом можно выяснить, объем которой из них больше?
57. Найдите площадь треугольника, основание и высота которого равны 9 см и 7 см.
58. Найдите площадь треугольника, стороны которого равны 7 см, 7 см и 9 см.
59. Гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника равна 9 см. Найдите его площадь.
