Изучение различных видов проекций фигур как средства их изображения учащимися средней школы Старшинова Алевтина Викторовна

Содержание к диссертации

Введение

ГЛАВА I Пути изучения различных видов проекций геометрических фигур как средства их изображения в курсе геометрии средней школы 14

1 Изображение геометрических фигур в процессе изучения систематического курса геометрии и роль проекций фигур в этом процессе 14

2 Возможные направления изучения и применения параллельной, ортогональной и центральной проекций в курсе геометрии средней школы 31

ВЫВОДЫ ПО I ГЛАВЕ 95

ГЛАВА II Методика изучения различных видов проекций геометрических фигур в средней школе в процессе дифференцированного обучения математике 98

1 Изучение параллельной и ортогональной проекций в курсе геометрии старших классов в условиях дифференцированного обучения 98

2 Изучение свойств центральной проекции и ее приложений при углубленном изучении геометрии 135

3 Описание экспериментальной работы по теме исследования 156

ВЫВОДЫ ПО II ГЛАВЕ 173

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 176

БИБЛИОГРАФИЯ 179

• Изображение геометрических фигур в процессе изучения систематического курса геометрии и роль проекций фигур в этом процессе
• Возможные направления изучения и применения параллельной, ортогональной и центральной проекций в курсе геометрии средней школы
• Изучение параллельной и ортогональной проекций в курсе геометрии старших классов в условиях дифференцированного обучения

Введение к работе

Перед педагогической наукой и школой постоянно ставятся задачи совершенствования содержания и методов обучения учащихся в общеобразовательных школах и школах и классах с углубленным изучением отдельных дисциплин, в частности математики. При этом уделяется особое внимание вопросам, связанным с повышением уровня математической подготовки учащихся, формированием у них практических умений и навыков, развитие приемов мыслительной деятельности, а также развития пространственного воображения. От уровня развития пространственного воображения школьников зависит успешность изучения ими не только математики, но и других дисциплин (физики, химии, географии, биологии и ДР-) Развитие пространственного воображения учащихся представляет одну из самых трудных задач обучения геометрии в средней школе. Учителя отмечают низкий уровень развития пространственного воображения учащихся, приступающих к изучению стереометрии. Действительно, за 9 лет изучения геометрии почти не происходит формирования пространственных представлений, и поэтому особое значение в решении данной проблемы имеет изучение стереометрии в 10-11 классах. Развитие пространственного воображения зависит от уровня графической подготовки школьников.

В вопросах развития графических умений и навыков учащихся на уроках геометрии особая роль отводится процессу изображения геометрических фигур и объектов окружающего мира.

Одним из самых эффективных средств изображения геометрических фигур и объектов окружающего мира являются, так называемые, геометрические проекции. Вот что по этому поводу писал известный математик Четверухин Н.Ф. в своей книге «Изображение фигур в стереометрии»: «Попытки изображений, зарисовок имеют более древнее происхождение, чем возникновение письменности. Рисунки на примитивных предметах первобытного инвентаря, стенная живопись и живопись на вазах, иконопись и тому подобные изображения отражали быт, верования людей, а также их эстетические стремления.

Поэтому понятно, что первые зачатки и идеи будущего геометрического учения о соответствии точек изображаемого объекта с точками его изображения на плоскости или какой-то другой поверхности относятся к глубокой древности. Эти древнейшие изображения постепенно развивались, и подмеченные правила послужили началом для образования метода проекций, следы которого можно видеть уже у многих греческих математиков». [225]

Формированию и развитию пространственного воображения (пространственного мышления) на уроках геометрии посвятили свои научные исследования многие математики, методисты и психологи: СБ. Верченко, И.Г. Вяльцева, Г.Д. Глейзер, Н.П. Ирошников, К.И. Камбаров, Г.Г.Маслова, В.Л. Матросов, Л.А. Минасян, М. Мухаммадов, Г.Н. Никитина, СВ. Петров, Н. Рузиев, З.Р. Федосеева, А.Я. Цукарь, И.С Якиманская и др.

И.С. Якиманская в своей книге «Развитие пространственного мышления школьников» под содержанием пространственного мышления понимает деятельность по созданию пространственных образов и оперированию ими» и выделяет три основных показателя в его развитии:

«-тип создания образа (оперирование им);

-выбор и изменение точки отсчета;

-перекодирование образа, то есть перевод одного содержания образа в другое (например, двумерных образов в трехмерные и обратно)».[239]

Исследуя проблему формирования и развития пространственного воображения на уроках геометрии, Г.Д. Глейзер в своей докторской диссертации охарактеризовал этапы этого процесса следующим образом:

«1. Создание целостного образа на наглядной или абстрактно-логической основе путем опоры на ранее сформированные пространственные представления и ранее усвоенные понятия. На этом этапе узнавание, различение, воспроизведение образа должно проходить в тех же условиях, в которых проходило его формирование.

2. Оперирование образом в односложных связях в несколько измененных условиях, закрепление его существенных признаков путем варьирования несущественных.

3. Оперирование образами в сильно измененных условиях, логическое установление таких отношений как конгруэнтность, подобие между элементами образа в простой проблемной ситуации без наглядной опоры.

4. Активное оперирование образами в существенно измененных условиях, внутрипредметных и межпредметных связей и зависимостей.

5. Творческое конструирование новых образов и отношений на базе сформированных ранее обобщенных подвижных и действенных образов». [58]

СВ. Петров в своем диссертационном исследовании предложил систему упражнений на развитие пространственных представлений и пространственного воображения у учащихся при изучении простейших многогранников и круглых тел:

1 )Упражнения в изображении простейших многогранников.

2)Упражнения в составлении и чтении проекций простейших многогранников натри взаимно перпендикулярные плоскости.

3)Упражнения в восстановлении модели (изображения) многогранника по отдельным элементам, сохранившимся на модели (изображении).

4)Упражнения в эффективных построениях на поверхностях моделей простейших многогранников, сопровождаемых выполнением соответствующих построений на их изображениях.

5)Упражнения в «чтении» чертежей.

6)Упражнения в анализе данной пространственной фигуры.

7)Упражнения в установлении различных случаев взаимного расположения данных фигур. [158]

Для нас наиболее важными являются работы, связанные с методикой изучения различных видов проекций.

Вопросами изучения различных видов проекций и использования их для построения изображений фигур на уроках геометрии занимались Л.Н. Бескин , Г.Д. Глейзер, А.Р. Зенгин, Д.Ф. Изаак, П.Г. Казаков, В.Н. Костицин, Л.М. Лоповок, В.Е. Назаретский, А.А. Панкратов, А.Н. Поляков , А.Д. Семушин, А.Н. Чалов, Н.Ф. Четверухин и др.

Чаще всего предлагается строить изображения в курсе геометрии в произвольной параллельной проекции (Н.Ф. Четверухин, А.Д. Семушин и др.). При таком подходе к построению изображений не фиксируются ни направление проектирования, ни размеры проектируемого оригинала, ни его положение относительно картинной плоскости (плоскости проекций, плоскости изображений).

В своей диссертационной работе, исследуя проблему изложения построения изображений в произвольных параллельных проекциях на уроках стереометрии в форме, доступной для учащихся средней школы В.Е. Назаретский подчеркивает, что «в произвольной параллельной проекции действительно можно строить чертежи некоторых пространственных фигур, удовлетворяющие требованиям, предъявляемым в своих работах Н.Ф. Четверухиным: верность, наглядность, свобода выполнения».. [146]

Методику ознакомления учащихся со свойствами параллельного проектирования и с принципом изображения пространственных фигур на плоскости предлагает в своем диссертационном исследовании Д.Ф. Изаак По этой методике «учащиеся сначала знакомятся с основными свойствами параллельной проекции практически, наблюдая за тенью на доске от проволочной модели куба и от моделей других геометрических фигур при солнечном освещении их. Потом эти свойства доказываются. После изучения с учащимися свойств параллельной проекции перед ними специально ставится вопрос об изображении геометрических фигур на плоскости чертежа». Под «построением изображения некоторой геометрической фигуры» он понимает «построение параллельной проекции этой фигуры на плоскости чертежа в определенном масштабе». [96]

В отличии от Д.Ф. Изаака, А.Д. Семушин разделяет понятия «изображение» и «проекция». «Изображением оригинала» он называет «проекцию геометрического тела, подобного данному геометрическому телу. Различие между проекцией и изображением состоит, таким образом, в том, что каждая проекция данного геометрического тела есть изображение, но, наоборот, не всякое изображение есть проекция данного оригинала».

Кроме этого, А.Д. Семушин разделяет основные свойства параллельных проекций и основные свойства изображений при параллельных проекциях.

Исследованием возможности параллельной проекции для обучения учащихся построению изображений и решению задач с целью повышения эффективности усвоения школьного курса стереометрии занимался П.Г. Казаков. Он, в частности, предлагал «начинать изучение свойств параллельной проекции сразу же после изучения основных понятий и аксиом пространства». И сделал вывод, что «два свойства параллельной проекции: проекция прямой есть прямая; отношение отрезков, лежащих на параллельных прямых, сохраняется при параллельном проектировании, являются прямым следствием аксиом пространства». И показал, что «имеется возможность одновременно доказать и третье свойство параллельной проекции - проекции параллельных прямых параллельны». [103]

А.Р. Зенгин в пособии для учителей пишет, что «в отличии от много гран ников шар на плоском чертеже принято изображать в ортогональной проекции, так как только в этой проекции его очерк представляет собой окружность, что соответствует нашему зрительному восприятию». [89] Кроме шара, по мнению автора, в ортогональной проекции целесообразно изображать все тела вращения, изучаемые в школе (цилиндр, конус, усеченный конус).

Использованию ортогональных проекций для решения геометрических задач посвятил свое исследование А.Н. Чалов С этой целью он предложил использовать, так называемые, «канонические проекции», под которыми он понимает «изображения геометрических тел в ортогональной проекции на одну плоскость. Причем, геометрический образ располагается относительно плоскости проекций так, чтобы получить наиболее простое, в смысле техники выполнения, изображение». В своем исследовании он утверждал, что «если в черчении берется изображение на три и более плоскостей, то в геометрии часто можно ограничиваться изображением на одну плоскость» [223].

Обучению учащихся построению центральных проекций геометрических фигур посвящено много работ по методике преподавания рисования.

Изучению приложений различных видов проекций в искусстве, архитектуре, технике, черчении посвятили свои работы следующие ученые: А.С. Адыгезалов, В.Н. Виноградов, Г.А. Владимирский, Е.Н. Власова, А.В. Волошинов, И.А. Воротников, В.А. Гервер, В.О. Гордон, С.Г. Гульд, М.Е. Знаменский, А.С. Лейбин, И.А. Панкратов, Б.В. Раушенбах, И.А. Рейнгард , И.А. Ройтман, А.Л.Терещенко, Л.М. Эйдельс и др.

Е.Н. Власова и А.Л. Терещенко в своих диссертационных исследованиях предлагают методику изучения и построения ортогональных проекций объектов на три взаимно-перпендикулярные плоскости.

Н.Ф. Четверухин и Г.Д. Глейзер в своих работах рассматривали задачу, обратную построению ортогональных проекций — реконструкцию оригинала по его ортогональным проекциям. Всего ими выделено и описана методика использования четырех способов реконструкции: способа обратного проектирования; способа корректировки; способа соответствия (Н.Ф. Четверухин); способа синтеза проекций (Г.Д. Глейзер).

Имеются, также, работы по применению различных видов проекций в искусстве, архитектуре. Так, академик Б.В. Раушенбах в своей книге «Системы перспективы в изобразительном искусстве. Общая теория перспективы» описал проблемы передачи пространства и объемов на плоскости картины и предложил их строгое математическое обоснование, а в книге «Геометрия картины и зрительное восприятие» выделил две группы методов передачи пространственности, в основе которых лежат три основных вида проекций: параллельная, ортогональная, центральная. А.В. Волошинов в своей книге «Математика и искусство» показал, как эти методы использовались и используются в живописи: «Все эти принципиальные возможности изображения пространства на плоскости были реализованы в искусстве живописи, причем в разных пластах художественной культуры каждый из этих методов находил свое наиболее полное и чистое выражение» [43].

С.Г. Гульду принадлежит следующее высказывание: «Основная идея этой чистой геометрии (имеется в виду геометрическая теория проекций) родилась из желания художников Возрождения создать «зрительную» геометрию. Как выглядят предметы в действительности и как их можно изобразить на плоскости чертежа? Например, там нет параллельных прямых, так как глазу такие прямые кажутся сходящимися» [114].

В вузовских учебниках и в учебных пособиях для средних школ по геометрии Л.С. Атанасяна [52], И.М. Яглома и В.Г.Ашкинузе [237], С.А. Анищенко [8], А.Л. Вернера [30,31], А.В. Погорелова и др.[163], И.М.Смирновой и В.А. Смирнова [196] имеется довольно серьезный материал, касающийся теории проекций. Однако школьные программы и учебники по геометрии для старших классов средней школы содержат ограниченный материал по данной теории. При этом вопросы использования теории проекций и их приложений в курсе геометрии средней школы практически не рассматриваются.

Проблема диссертационного исследования заключается в преодолении разрыва между необходимостью обучения учащихся изображению геометрических фигур и отсутствием какой-либо разработанной методики изучения различных видов проекций геометрических фигур в условиях дифференцированного изучения геометрии в современной школе. Необходимость разрешения этого противоречия определяет актуальность проблемы нашего исследования.

Объектом исследования является процесс обучения геометрии в старших классах средней школы в условиях дифференцированного обучения.

Предметом исследования является методика изучения параллельных, ортогональных и центральных проекций фигур в процессе обучения геометрии в старших классах средней школы.

Цель исследования состоит в разработке методики изучения различных видов проекций и их приложений на базовом уровне в общеобразовательной школе и при углубленном изучении курса геометрии, направленной на обучение учащихся изображению геометрических фигур и объектов окружающего мира.

Гипотеза исследования состоит в том, что разработанная методика изучения параллельной, ортогональной и центральной проекций в старших классах средней школы, включающая в себя построение этих проекций различных геометрических фигур и рассмотрение их приложений в технике, искусстве, архитектуре, позволит организовать эффективное обучение учащихся изображению геометрических фигур и формирование в процессе обучения геометрии пространственного воображения, необходимого для успешного усвоения всего курса стереометрии.

Предмет, проблема, цель и гипотеза исследования определили его задачи:

1. Изучить и провести анализ разработанности отдельных вопросов методики изображения плоских и пространственных фигур на плоскости.

2. Определить содержание учебного материала по изучению различных видов проекций геометрических фигур, выделив при этом базовый объем знаний, которым должны располагать учащиеся массовой школы.

3. Разработать методику обучения учащихся решению задач на построение параллельной, ортогональной и центральной проекций геометрических фигур.

4. Разработать методику изучения параллельной, ортогональной и центральной проекций при углубленном изучении курса геометрии, включающую в себя подбор материала для изучения возможности применения различных видов проекций в геометрии, черчении, живописи, технике, архитектуре

5. Проверить эффективность разработанной методики в ходе педагогического эксперимента.

Теоретико-методологической базой диссертационного исследования послужили личностно-ориентированное и творческо-продуктивное направления концепции образования детей; теория управления учебно-воспитательным процессом в школе; концепция деятельностного подхода в обучении; теория дифференциации и индивидуализации обучения.

Методологической основой исследования явились основные положения теории и методики обучения геометрии, включающие изучение исследуемых вопросов с точки зрения психологии, дидактики, методики.

Среди методов исследования мы выделили следующие: теоретические: анализ психолого-педагогической, методической и математической литературы, а также диссертационных исследований, связанных с изучением различных видов проекций и их приложений; социопедагогические: анализ школьных учебников и учебных пособий; эмпирические методы наблюдения и опроса, обобщение педагогического опыта; экспериментальные: диагностические методы, анализ продуктов деятельности учащихся, методы статистической обработки экспериментальных данных.

Научная новизна проведенного исследования состоит в том, что - Разработана методика изучения параллельной, ортогональной и центральной проекций в курсе геометрии старших классов средней школы, включающая в себя следующие четыре направления:

1) определение целей и содержания методики изучения различных видов проекций в курсе геометрии в общеобразовательной школе;

2) выявление методов и средств построения различных видов проекций геометрических фигур;

3) определение целей и содержания методики изучения различных видов проекций при углубленном изучении курса геометрии;

4) рассмотрение возможностей применения параллельной, ортогональной и центральной проекций в искусстве, технике, архитектуре и т.д.

- Проведен анализ существующих свойств различных видов проекций и разработан авторский подход к изложению доказательств.

Обоснованность и достоверность результатов исследования обеспечивается: построением исследования на основе положений современной психологии, дидактики и методики; согласованностью полученных выводов с основными положениями теории и методики обучения математике и концепций школьного математического образования; положительной оценкой учителями и методистами разработанных учебных материалов и методики их использования; результатами опытного обучения и внедрения.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Теоретические основы изучения различных видов проекций в общеобразовательной школе и классах с углубленным изучением математики и соответствующий набор задач, которые в совокупности позволяют формировать пространственное воображение учащихся старших классов средней школы в условиях дифференцированного обучения математике.

2. Разработанная нами методика проведения доказательств свойств различных видов проекций, решения задач на построение проекций, в основе которой лежат следующие требования:

1) Формулировка общей стратегии доказательства;

2) Выделение шагов доказательства;

3) Мотивация выполненных шагов доказательства;

4) Аргументация полученных выводов.

3. Приложения различных видов проекций, которые помогают показать применение математического материала в архитектуре, живописи, черчении

Апробация результатов исследования. Основные положения диссертации, результаты педагогического эксперимента и сделанные по ним выводы получили отражение в докладах и сообщениях на Амурской областной конференции учителей школ и преподавателей средних специальных учебных заведений и вузов (г. Благовещенск, 2000 г.); Амурской областной научно-практическая конференции (г. Благовещенск, 2000 г.); 52-й научно-практической конференции преподавателей и студентов Благовещенского государственного педагогического университета; международной научно-практической конференции (г. Благовещенск, 2002 г.); аспирантских семинарах кафедры методики преподавания математики МПГУ (г. Москва, 2004 г., 2005 г.).

Структура диссертации определена логикой и последовательностью поставленных задач. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы.

Изображение геометрических фигур в процессе изучения систематического курса геометрии и роль проекций фигур в этом процессе

Вот, например, что пишет один из известных специалистов в данной области Л.Н. Бескин: «В планиметрии специального вопроса о чертежах не возникает. Там имеет место счастливое совпадение, состоящее в том, что планиметрия изучает свойства только одной плоскости, а чертежи выполняются тоже на плоскости (на бумаге или на доске). Поэтому чертежи плоских фигур не только соответствуют этим фигурам или изображают их условно; они просто равны (или, в крайнем случае, подобны) самим фигурам. Например, проволочный квадрат можно совместить с его чертежом в натуральную величину, уложив этот квадратик в плоскость чертежа и двигая его по плоскости (рис. 1.а). Поэтому все планиметрические построения сводятся к построениям на чертеже.

В стереометрии между пространственными фигурами и их плоскими чертежами такого совпадения нет. Чертеж куба при всей своей наглядности лишь условно изображает куб; он не равен самому кубу, т.е. не может быть с ним совмещен (рис. 1.6). Поэтому, имея чертеж пространственной фигуры или не имея его, мы все равно не видим непосредственно самой фигуры.

Следовательно, чтобы успешно изучать стереометрию, мы должны научиться представлять пространственные фигуры, т.е. развить в себе пространственное воображение.

Из всего сказанного вытекает, что построения в стереометрии бывают двух родов:

1) Построения на чертеже. Реальные, выполняемые карандашом или мелом на бумаге или доске (т.е. на плоскости).

2) Построения в пространстве. Воображаемые, мысленные (в лучшем случае - на модели).

Развивая пространственное воображение, мы должны научиться, во-первых, изображать на чертеже те или иные пространственные фигуры и построения, которые выполняем мысленно, а во-вторых, по данному чертежу находить свойства изображенной пространственной фигуры». [19, с.23]

Эта большая цитата Л.Н. Бескина очень богата по содержанию. В этой работе автор использует большое количество понятий и словосочетаний.

1) «в планиметрии специального вопроса о чертежах не возникает».

2) «чертежи не только соответствуют этим фигурам, но и изображают их условно».

3) «Все плоские построения сводятся к построениям на чертеже».

4) «Чертеж куба лишь условно изображает куб».

5) «Чтобы изучать стереометрию, мы должны мысленно представлять геометрическую фигуру».

6) «Плоский чертеж лишь помогает этому воображению, но незаменяет его».

7) «По этой причине большую роль при изучении стереометриииграют модели - своего рода пространственные «чертежи».

8) «Отличие моделей от чертежей в том, что модели равны (или подобны) самим пространственным фигурам».

9) «1) Построения на чертеже. Реальные, выполняемые карандашом или мелом на бумаге или доске (т.е. на плоскости).

2) Построения в пространстве. Воображаемые, мысленные (в лучшем случае - на модели)».

Начнем постепенно отвечать на многие из поставленных нами и Л.Н. Бескиным вопросов.

В терминологическом словаре «Апполон. Изобразительное и декоративное искусство. Архитектура» про рисунок написано так, «Рисунок - изобразительное начертание на какой-либо поверхности, сделанное от руки... с помощью графических средств». [9, с.5П]

А в книге «Математика в понятиях, определениях и терминах» читаем: «Одноцветное изображение предмета, выполненное от руки с учетом зрительного восприятия и глазомерной оценки выбранного масштаба. В педагогическом процессе, в преподавании математики в школе учителю чаще всего приходится пользоваться рисунком, а не чертежом» [138, с.208] (про понятие чертеж см. дальше). Из этих толкований и из дальнейшего материала становится понятно, что когда мы говорим и пишем на уроках геометрии «рисунок», что типично для всех учебников геометрии, то это противоречит мнению специалистов, так как рисунок выполняется от руки, а «рисунок» на уроках геометрии выполняется с помощью чертежных инструментов. Поэтому было бы правильней, конечно, на уроках геометрии говорить не о «рисунках», а о «чертежах». Но мы не будем менять существующих традиций.

Теперь рассмотрим понятие чертеж.

В книге «Апполон. Изобразительное и декоративное искусство. Архитектура» про это понятие написано следующее: «Чертеж - изображение сооружения, предмета,... в избранном масштабе и в основных проекциях на плоскости (бумага, калька, пленка). Чертежи используются как документы для строительства и производства, как иллюстрации к специальному ... тексту». [9, с.681]

Из текста совершенно ясно, что речь идет не о чертеже геометрической фигуры.

В книге «Математика в понятиях, определениях и терминах» читаем: «Чертеж фигуры - изображение этой фигуры, выполненное в той или иной проекции с соблюдением установленных обозначений и указания масштаба». [138, с.322]

Возможные направления изучения и применения параллельной, ортогональной и центральной проекций в курсе геометрии средней школы

1. Проанализируем различные определения параллельной проекции, взятые из различных источников.

А.Л. Вернер и др. в своем учебнике рассмотрел определение параллельной проекции как отображения пространства на плоскость: «Пусть а - некоторая плоскость и а - некоторая прямая, пересекающая эту плоскость. Пусть М - произвольная точка пространства. Через точку М проведем прямую, параллельную прямой а. Точка Л/ пересечения этой прямой с плоскостью а называется параллельной проекцией точки М на плоскость а в направлении прямой d. Проекцией фигуры F называется множество проекций всех ее точек» [30, с. 196]

А.Б. Василевский в пособии для учителя предложил определение параллельной проекции фигуры на плоскость: «Даны плоскость а, прямая /, пересекающая эту плоскость, и некоторая фигура F. Через все точки фигуры F проводим прямые, параллельные прямой /. Множество всех точек пересечения этих прямых с плоскостью а обозначим F. Плоская фигура Ґ называется параллельной проекцией фигуры F на плоскость а вдоль прямой /. Прямая / называется проектирующей прямой. Плоскость а называется плоскостью проекции. .. Всякая фигура, подобная фигуре Ґ называется изображением фигуры F». [26, с.6]

В этом определении автор вводит такие важные понятия, как проектирующая прямая и плоскость проекций, чего не было в предыдущем определении и рассматривает понятие изображения фигуры при параллельном проектировании.

За последние годы одним из основных учебников по геометрии в школе является учебник академика А.В. Погорелова. В этом учебнике определение параллельной проекции сформулировано так: «Для изображения пространственных фигур на плоскости обычно пользуются параллельным проектированием. Этот способ состоит в следующем. Берем произвольную прямую h, пересекающую плоскость чертежа а, проводим через произвольную точку А фигуры прямую, параллельную h. Точка А\ пересечения этой прямой с плоскостью чертежа будет изображением точки А (рис. 3).

В учебниках по геометрии общеобразовательной школы И.М.Смирновой и В.А. Смирнова [196], Л.С. Атанасяна и др. [52] и в учебнике для углубленного изучения геометрии А.Д. Александрова др. [4] параллельная проекция определена аналогично тому, как это сделано в пособии А.Б. Василевского [26].

2. Перейдем к анализу изложения свойств параллельной проекции.

А.Б. Василевский приводит с доказательствами следующие свойства параллельного проектирования:

«Проекция прямой АВ, непараллельной проектирующей прямой I, есть прямая.

Доказательство. Пусть точки А\ и В\ являются параллельными проекциями точек A w В на плоскость а вдоль прямой / (рис. 4). Покажем, что и проекция произвольной точки С прямой АВ принадлежит прямой А\В\.

Проведем через точку С прямую, параллельную прямой /. Она пересекает плоскость а в точке С\, принадлежащей прямой А Ви потому что плоскость АА\В\ параллельна прямой /». [26, с.6]

Это рассуждение вообще нельзя назвать доказательством. Здесь только указана теорема, которая лежит в основе доказательства.

«Проекции параллельных прямых параллельны.

Доказательство. На рисунке 6 даны параллельные прямые АВ и CD и их параллельные проекции А\В\ и C\D\ на плоскость а вдоль прямой /. Прямая АВ параллельна прямой CD и прямая АА\ параллельна прямой СС\, поэтому плоскости ВАА\ и DCC\ параллельны. Параллельные плоскости пресекаются третьей плоскостью а по параллельным прямым А\В\ и C,D,». [26, с.6] .

Изучение параллельной и ортогональной проекций в курсе геометрии старших классов в условиях дифференцированного обучения

В первой главе мы указали материал по изучению различных видов проекций, который можно, на наш взгляд, предложить учащимся общеобразовательной школы и школ и классов с углубленным изучением математики и привели изложение некоторых вопросов. Здесь мы рассмотрим весь оставшийся материал, касающийся параллельной и ортогональной проекций для общеобразовательной школы и для углубленного изучения геометрии.

I. Изучение параллельной проекции

1. Определение параллельной проекции фигуры и доказательство свойства 1 мы предлагаем в общеобразовательной школе (стр. 42). Там же были доказаны свойства 1.1 и 1.2 (о параллельных проекциях прямой и отрезка) и свойства 3.1 и 3.2 (о сохранении отношения параллельных проекций отрезков, лежащих на одной прямой или параллельных прямых), которое предлагается при углубленном изучении курса геометрии.

Докажем свойство 2.2 (о параллельной проекции параллельных прямых, не параллельных проектирующей прямой) для углубленного изучения геометрии. Доказательство свойства 2.1 (о параллельной проекции параллельных прямых, параллельных проектирующей прямой) основано на свойстве .

Эта задача представляет собой серьезное исследовательское задание, выполнение которого требует от учащихся достаточно развитого пространственного воображения и применение теоретического материала, связанного с взаимным расположением прямых и плоскостей в пространстве. Но ее можно предложить как в общеобразовательной школе (решение с помощью учителя), так и при углубленном изучении геометрии (для самостоятельного решения).

Итак, мы имеем 11 вариантов параллельных проекций двух отрезков неизвестным образом расположенных в пространстве. Требуется определить, во-первых, направление проектирования, во-вторых, каким должно быть расположение отрезков в пространстве, чтобы при определенном направлении проектирования получилась указанная в условии задачи фигура.

Рассмотрим случай, показанный на рисунке 62.а.

В результате проектирования двух отрезков получили одну точку. Требуется определить, в каких случаях это возможно.

В условии задачи даны плоскость проекций и сама параллельная проекция фигуры. Направление проектирования не указано. Значит сначала надо его определить.

В основе решения данной задачи лежит свойство 1.3, в котором мы рассматривали параллельную проекцию отрезка, параллельного проектирующей прямой. Используя это свойство, мы приходим к выводу, что за проектирующую прямую можно принять любую прямую, пересекающую плоскость проекций.

Проведем произвольную прямую, пересекающую плоскость проекций в данной точке и примем ее за направление проектирования.

Какой бы отрезок на этой прямой мы не рассматривали, его параллельной проекцией (по свойству 1.3 параллельной проекции) будет данная точка.

Следовательно, получаем: чтобы параллельной проекцией двух отрезков была одна точка, последние должны лежать на проектирующей прямой.