Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ НЕОБХОДИМОСТИ РАЗВИТИЯ БАЗОВЫХ СВОЙСТВ МЫСЛИТЕЛЬНЫХ ОПЕРАЦИЙ УЧАЩИХСЯ ПРИ ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ 17
1.1. Проблема развития базовых свойств мыслительных операций в психолого-педагогической литературе 17
1.2. Роль темы «Целые числа» в развитии базовых свойств мыслительных операций учащихся 32
1.3. Требования к организации познавательной деятельности «учащихся по развитию базовых свойств мыслительных операций 47
ГЛАВА 2. МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ, СПОСОБСТВУЮЩАЯ РАЗВИТИЮ БАЗОВЫХ СВОЙСТВ МЫСЛИТЕЛЬНЫХ ОПЕРАЦИЙ УЧАЩИХСЯ (НА ПРИМЕРЕ ТЕМЫ «ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА») 62
2.1. Методика изучения операций над целыми числами 62
2.2. Система заданий, направленная на развитие системности, обратимости, рефлексивности и гибкости мыслительных операций., .98
2.3. Организация и результаты педагогического эксперимента 142
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 159
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 161
ПРИЛОЖЕНИЯ 178
- Проблема развития базовых свойств мыслительных операций в психолого-педагогической литературе
- Роль темы «Целые числа» в развитии базовых свойств мыслительных операций учащихся
- Методика изучения операций над целыми числами
Введение к работе
Одним из наиболее важных вопросов проектирования школьного образования является вопрос о принципах конструирования его содержания. В документах по стратегии модернизации российского образования отмечается, что содержание образования - важнейшая составляющая образовательной системы и соответственно главная цель планируемых в ней изменений,
В современных психолого-педагогических исследованиях все чаще ставится вопрос о такой организации предметного содержания, которая учитывала бы реальные механизмы интеллектуального развития учащихся. В связи с этим возникает вопрос о развивающей направленности и возрастной адекватности содержания математического образования.
Особую значимость приобретает принцип самоценности каждого возраста, который может быть раскрыт посредством двоякого требования к содержанию и методам образования: обеспечение полноты реализации возможностей ребенка определенного возраста и опоры на достижения предыдущего этапа развития. В частности, при методической организации содержания математического образования в основной школе возникает ряд проблем. Например, что должно быть положено в основу отбора содержания математического образования, создающего условия для интеллектуального развития учащихся 5-6 классов? Какова роль этого возрастного периода в обучении математике? Каким должно быть содержание математического образования в 5-6 классах с точки зрения пропедевтики школьного курса алгебры? Успешность в изучении систематического курса алгебры в средней школе во многом зависит от особенностей преподавания математики в 5-6 классах, поскольку, как показывают многочисленные исследования, именно на этом этапе обучения складываются содержательные и психологические предпосылки усвоения алгебраического материала. Эти предпосылки необходимым образом должны быть основаны на специфических особенностях
4 алгебры как учебного предмета, на базовых элементах алгебраического знания, к которым обычно относят: алгебраический язык как универсальный язык описания реальности и как средство ее моделирования, алгебраическую операцию в контексте ее основных свойств, алгебраические структуры как специфическую форму представления (кодирования) информации, семантику алгебраических понятий как предпосылку создания особых аспектов реальности, которые связаны не только со сферой «возможного» (обыденного), но и со сферой «невозможного» опыта.
Кроме того, при изучении систематического курса алгебры важно учитывать особенности мыслительной деятельности учащихся. Соответственно необходимо выделить те психологические условия, которые необходимы для, усвоения алгебраических понятий, что позволит организовать поиск путей и методов изучения предмета, способствующих успешному обучению. Подготовка учащегося к систематическому курсу алгебры должна включать постепенное формирование у него тех содержательных и психологических структур (то есть определенным образом организованной системы знаний и сформированной системы свойств мыслительных операций), которые выступают предпосылкой успешности математической деятельности учащихся при изучении систематического курса алгебры.
Н. Бурбаки пишет во введении в книгу «Алгебра», что изучение алгебры — это «медленный, но неуклонный процесс абстракции, посредством которой понятие алгебраической операции, первоначально ограниченное натуральными числами и измеряемыми величинами, постепенно расширялось параллельно расширению понятия числа» [28, с. 13].
На необходимость специальной подготовки к систематическому курсу алгебры обращают внимание в своих работах такие исследователи в области методики преподавания математики, как Е.И. Жилина, А.Л. Жохов, Л.С. Иванова, Н.Г. Килина, В.А. Колосова, Г.В. Краснослабоцкая, Л,Р. Прин-дуле, A.MJ Пышкало, А.С. Сычиков, В.И. Таточенко, Ж. Фарсиян, М.Н. Чукотаев и др. Так, например, М.Н. Чукотаев, изучая вопросы пропе-
5 девтики школьного курса алгебры, большое значение придает формированию понятия буквенного выражения [171]; Ж. Фарсиян [165] считает, что еще в начальной школе необходимо научить школьника под буквой понимать переменную величину; В.А. Колосова, исследуя природу математических ошибок, большое значение придает общим интеллектуальным умениям, в частности, обучению контролю и самоконтролю [80]. Е.И. Жилина считает необходимым научить школьников алгоритмической деятельности [62].
Каждое из исследований подчеркивает значение пропедевтической подготовки учащихся к курсу алгебры. Таким образом, для того, чтобы деятельность учащихся по усвоению систематического курса алгебры была успешной, необходимо сформировать у них уже в 5-6 классах такие интеллектуальные механизмы, которые смогли бы «принять на себя» сложный алгебраический учебный материал, то есть мыслительные операции школьников должны обладать определенными свойствами. В связи с этим актуальной является проблема выявления психологических условий, способствующих такому развитию мыслительной деятельности при изучении математики в 5-6 классах, которое давало бы учащимся возможность подготовиться к успешному изучению систематического курса алгебры.
Исследования процесса формирования мышления в онтогенезе показывают, что к подростковому возрасту складывается высшая форма мыслительной деятельности, а именно: понятийное мышление («стадия формального или рефлексивного мышления», в терминах теории Ж. Пиаже, или «мышление в понятиях», в терминах теории JLC. Выготского). Отличительной чертой понятийного мышления является сформированность мыслительных операций с определенными свойствами, такими как: системность, обратимость, рефлексивность, гибкость. Впервые эти свойства мыслительных операций бьши описаны в фундаментальных работах Л.С. Выготского. Впоследствии эти свойства мыслительных операций как важнейшее условие продуктивной учебной деятельности, в том числе в условиях школьного обучения, рассматривались целым рядом авторов (П.П. Блонский, Л.С. Выготский, В.А. Кру-
тецкий, Н.С. Лукин, А.З. Редько, С.Л. Рубинштейн, М.А. Холодная и др.). Таким образом, у учащихся 5-6 классов происходит переход от наглядно-образного мышления к понятийному, то есть мыслительные операции приобретают новые свойства. Соответственно меняются требования к организации учебной деятельности учащихся с точки зрения создания условий для формирования:
системности мыслительных операций (под системностью будем понимать наличие взаимосвязи между основными мыслительными операциями, а также умение их применять, понимать место каждой из них в системе собственных знаний);
обратимости мыслительных операций, (то есть способности мысли совершать мысленное действие, противоположное по своему характеру предшествующему, а также обеспечивающее возможность мысленно вернуться от полученного результата к исходным условиям и требованиям);
рефлексивности мыслительных операций (под рефлексивностью мы понимаем меру осознанности мыслительных операций, в том числе умение оценивать и контролировать ходы собственной мыслительной деятельности при выполнении определенных мыслительных операций; обосновывать использование тех или иных операций при планировании своей деятельности; формулировать последствия и результативность применения разных мыслительных операций в ситуации решения различных задач);
гибкости мыслительных операций (под гибкостью имеется в виду вариативность мыслительных операций, их оперативность в применении к различным ситуациям, в том числе умение преодолевать барьер прошлого опыта, способность варьировать способы действия с одним и тем же математическим объектом; легкость перехода от одной деятельности к другой в соответствии с измененными условиями задачи).
Обеспечить формирование мыслительных операций, обладающих такими свойствами, которые создадут условия для успешного освоения уча-
7 щимися курса алгебры, способны, с нашей точки зрения, специальные учебные тексты и задания.
Анализируя возможности подросткового возраста, психологи и педагоги отмечают, что подросток готов к новым видам учебной работы, новым формам деятельности, на границах которой лежат резервы его развития. Этот период характеризуется еще и тем, что «параллельно с формированием способностей к выполнению основных мыслительных операций происходит формирование способностей к учебной деятельности, направленной на освоение методов построения теоретических оснований курса математики» [116, с. 194]. В связи с этим представляется важным выбор учебного материала, на котором возможно создать условия для развития необходимых свойств мыслительных операций.
Значительную часть в курсе математики 5-6 классов занимает изучение числовых множеств. Именно здесь учащиеся приобретают опыт введения новых чисел. При этом они могут использовать и усовершенствовать свой опыт в кодировании информации о числе с помощью слов, образов, предметных действий. Осознавая связи между операциями в расширяемой и расширенной числовых системах, учащиеся могут конструировать алгоритмы выполнения операций, сравнивая их с предложенными. При этом большое внимание может быть уделено осознанию проблем, возникающих при введении новых чисел, осознанию теоретических и практических результатов этого шага в познании, что способствует развитию индуктивно-дедуктивной деятельности учащихся. Особое место в курсе математики 5-6 классов занимает тема «Целые числа». Эта тема традиционно считалась методистами переходной от арифметики к алгебре (И.В. Арнольд, К.С. Барыбин, А.Н. Барсуков, В.М.Брадис, И.А. Гибш, В.Л. Гончаров, П.Я. Дорф, В.Ф. Каган, М.Д. Кошкина, В.М. Кухарь, В.Н. Молодший, К.Ф. Лебединцев, В.В. Репьев, И. Ружа, А.А. Столяр, И.И. Чистяков, Ф.М. Шустев и др.). Не случайно А.И. Кострикин пишет: «С чего начинается алгебра? С некоторым приближением можно сказать, что истоки алгебры кроются в искусстве складывать,
8 умножать и возводить в степень целые числа. ...алгебра определяется как наука об алгебраических операциях, выполняемых над элементами различных множеств. Сами алгебраические операции выросли из элементарной арифметики» [86, с. 10].
На примере изучения темы «Целые числа» учащиеся могут в явном виде познакомиться с мотивами, которые стимулируют введение новых математических объектов. Аналогичные мотивы могут быть впоследствии использованы при введении таких алгебраических понятий, как одночлен, многочлен, алгебраическая дробь и т. д. Здесь от учащегося потребуется умение кодировать информацию разными способами, переходить от одной формы ее представления к другой. При введении операций сложения и умножения целых чисел предоставляется возможность обсудить целесообразность сохранения известных свойств операций над «старыми» числами, развивать такие умения, как умение обосновывать свои действия, абстрагировать и обобщать, видеть целостность объектов и явлений. Ф. Клейн по этому поводу пишет: «Здесь в первый раз приходится делать переход от реальной математики к формальной, для полного уяснения которой нужно значительное развитие способности к абстракции» [82, с. 38]. Именно в этой теме учащиеся смогут проследить «особенность человеческой натуры, заключающуюся в том, что мы невольно стремимся распространить правила, выведенные для частных случаев, на другие, более общие случаи» [82, с. 42].
В истории преподавания математики тема «Целые числа» долгое время являлась темой курса алгебры. В современных учебниках эта тема выделена в качестве самостоятельной в сериях учебных книг под редакцией Г.В. Дорофеева [ПО], под редакцией СМ. Никольского [7] и в проекте «Математика. Психология. Интеллект» (МПИ) [42]. Выделение темы «Целые числа» в отдельный раздел является методически целесообразным, так как отсутствие вычислительных затруднений, характерных для изучения положительных и отрицательных рациональных чисел, даст возможность реализовать психоло-
9 го-педагогические и методологические возможности этого учебного материала.
Все, сказанное выше, позволяет сделать вывод о том, что актуальность диссертационного исследования определяется противоречием между потенциальными возможностями курса математики в 5-6 классах (в частности, темы «Целые числа») как средства пропедевтики систематического курса алгебры на основе формирования таких базовых свойств мыслительных операций учащихся, как системность, обратимость, рефлексивность и гибкость, с одной стороны, и существующей практикой обучения математике в 5-6 классах, с другой стороны.
Разрешение данного противоречия составило проблему диссертационного исследования.
Целью данного диссертационного исследования является разработка и обоснование методических средств реализации психолого-педагогических требований, которым должна отвечать мыслительная деятельность учащихся 5-6 классов при обучении математике (на примере темы «Целые числа»).
Объектом данного исследования является процесс обучения математике учащихся 5-6 классов основной школы.
Предмет диссертационного исследования связан с выявлением и развитием средствами содержания математического образования у учащихся 5-6 классов базовых свойств мыслительных операций, (таких, как системность, обратимость, рефлексивность, гибкость) в качестве предпосылки последующего успешного освоения ими систематического курса алгебры.
При этом мы исходили из следующей гипотезы: если содержание образования (в частности, изучение темы «Целые числа») будет строиться с учетом особенностей развития базовых свойств мыслительных операций, то это позволит повысить уровень знаний по данной теме и обеспечит необходимую содержательную и психологическую подготовку учащихся 5-6 классов к изучению систематического курса алгебры.
Такой подход к организации процесса обучения обеспечит тем самым возможность целенаправленного руководства со стороны учителя процессом развития мыслительных операций учащихся в плане оптимизации их мыслительной деятельности.
При этом работа учителя по развитию мыслительных операций при усвоении темы «Целые числа» должна строиться, с одной стороны, на основе требований, сформулированных с учетом психологических закономерностей формирования понятийного мышления у подростков (гл.1, 1.1), и, с другой стороны, с учетом положительного опыта изложения данной темы в разных технологиях обучения (в первую очередь, в «Обогащающей модели обучения» в рамках проекта МПИ - «Математика. Психология. Интеллект»).
В соответствии с проблемой и гипотезой исследования и для реализации поставленной цели потребовалось решить следующие частные задачи:
определить роль темы «Целые числа» как средства пропедевтики систематического курса алгебры;
выявить психолого-педагогические и методические условия развития базовых свойств мыслительных операций учащихся 5-6 классов (системности, обратимости, рефлексивности, гибкости) и классифицировать интеллектуальные умения учащихся, способствующие их развитию;
разработать систему деятельности учителя по преподаванию темы «Целые числа» с учетом развития базовых свойств мыслительных операций;
проверить уровень развития базовых свойств мыслительных операций учащихся, а также качество их подготовки к изучению систематического курса алгебры по итогам экспериментального обучения..
Теоретико-методологическую основу исследования составили: работы отечественных и зарубежных психологов, посвященные проблеме развития мышления (А.В. Брушлинский, Дж. Брунер, Л.С. Выготский, П.Я. Гальперин, В.В. Давыдов, А.З. Зак, Е.Н. Кабанова-Меллер, З.И. Калмы-
кова, А.М. Матюшкин, Н.А. Менчинская, Ж. Пиаже, Я.А. Пономарев, O.K. Тихомиров, А.С. Шаров, СИ. Шапиро, и др.);
работы, посвященные формированию мыслительных операций (Л.С. Выготский, В.А. Гусев, В.А. Крутецкий, Ж. Пиаже, С.Л. Рубинштейн, СИ. Шапиро);
работы, посвященные деятельностному подходу в обучении (Л.С. Выготский, В.В. Давыдов, А.Н. Леонтьев, Н.Г. Салмина, Н.Ф. Талызина, Д.Б. Эльконин) и деятельностному подходу в обучении математике (В.А. Байдак, О.Б. Епишева, А.А. Столяр, Л.М. Фридман и др.);
работы, посвященные формированию понятийного мышления (М.Б. Гельфанд, Э.Г. Гельфман, В.А. Далингер, Т.А. Иванова, Л.В. Занков, Ю,М. Колягин, В.А. Крутецкий, И.Я. Лернер, Е.И. Лященко, A.M. Пышкало, Г.И. Саранцев, А.А. Столяр, М.Н. Скаткин, А.В. Усова, М.А. Холодная, П.М. Эрдниев и др.);
работы по теории развивающего и личностно-ориентированного обучения (Э.К. Брейтигам, В.В. Давыдов, Л.В. Занков, В.В. Репкин, И.С. Якиманская);
работы по обоснованию содержания курса математики 5-6 классов (Э.Г. Гельфман, Г.В. Дорофеев, Е.И. Жилина, И.Е. Малова, З.П. Матушкина, А.Г. Мордкович, Л.Г. Петерсон и др.).
Для решения поставленных задач были использованы следующие методы исследования:
изучение и теоретический анализ философской, психолого-педагогической, математической и методической литературы по проблеме исследования;
анализ учебной литературы, программ, государственных стандартов общего среднего и профессионального образования, учебных пособий и дидактических материалов по математике для общеобразовательной школы;
обобщение собственного опыта и опыта работы учителей математики с учащимися в средней школе;
проведение педагогических измерений: анкетирование учителей математики, тестирование и опросы учащихся;
педагогический эксперимент по проверке основных теоретических положений исследования и статистическая обработка результатов.
Научная новизна исследования заключается в том, что:
обоснована возможность и необходимость развития базовых свойств мыслительных операций учащихся 5-6 классов (системности, обратимости, рефлексивности, гибкости) при обучении математике как условия повышения качества знаний и предпосылки успешного освоения основных понятий алгебры;
разработан подход к изложению курса математики 5-6 на примере темы «Целые числа», основанный на учете закономерностей развития мыслительных операций учащихся на понятийном уровне.
Теоретическая значимость исследования заключается в том, что:
выделены базовые свойства мыслительных операций учащихся, соответствующие уровню понятийного мышления: системность, обратимость, рефлексивность и гибкость;
обоснованы содержательные и психологические условия успешной подготовки учащихся 5-6 классов к усвоению систематического курса алгебры;
разработана типология учебных текстов и заданий, с помощью которых возможно создать условия для развития базовых свойств мыслительных операций, обеспечивая тем самым подготовку учащихся к усвоению систематического курса алгебры.
Практическая значимость работы.
Разработана методика, способствующая развитию базовых свойств мыслительных операций учащихся (системности, обратимости, рефлексивности, гибкости) с помощью специальных учебных текстов и заданий на примере изучения темы «Целые числа», что позволяет повысить качество усвоения соответствующей темы, а также уровень подготовки учащихся к усвое-
13 нию систематического курса алгебры на основе одновременного учета содержательного и психологического аспектов учебной деятельности.
Разработана и внедрена система учебных текстов и заданий, логическая структура которых обеспечивает развитие базовых свойств мыслительных операций. Предложены и апробированы средства диагностики их сформированное при усвоении темы «Целые числа».
Методика обучения математике на примере темы «Целые числа», разработанная в соответствии с методическими требованиями к развитию таких свойств мыслительных операций, как обратимость, рефлексивность, гибкость, системность, активно применяется в практике обучения математике в 5-6 классах.
Материалы диссертационного исследования (в виде учебных заданий и учебных текстов) включены в учебное пособие «Математика - 5. Ч. 2. Положительные и отрицательные числа». - Томск: Изд-во Томского гос. ун-та, 2004 (Э.Г. Гельфман, Л. Н. Демидова и др.).
На основе материалов исследования проводятся проблемные семинары с учителями математики, работающими в 5-6 классах общеобразовательной школы.
Материалы диссертационного исследования используются при чтении курса «Методика преподавания математики» для студентов Томского государственного педагогического университета.
Достоверность и обоснованность полученных научных результатов обусловлены методологическим и методическим инструментарием исследования, адекватным его целям, предмету и задачам; кроме того, они подтверждаются совпадением выводов теоретического анализа проблемы исследования с результатами педагогического эксперимента и статистической обработкой данных.
На защиту выносятся следующие положения: Развитие базовых свойств мыслительных операций (системности, обратимости, рефлексивности и гибкости), характеризующих понятийное мыш-
ление, способствует повышению качества усвоения учебного материала учащимися 5-6 классов и создает условия для их подготовки к усвоению систематического курса алгебры.
Выделение темы «Целые числа» в курсе математики 5-6 классов методически целесообразно для организации активной познавательной деятельности учащихся по изучению способов расширения числовых множеств.
Целенаправленное развитие базовых свойств мыслительных операций (системности, обратимости, рефлексивности и гибкости) возможно при условии использования учебных материалов, логическая структура которых способствует выработке умений, направленных на формирование выделенных свойств мыслительных операций.
Апробация и внедрение результатов исследования. Основные теоретические положения и результаты диссертационного исследования докладывались автором и обсуждались на семинарах и заседаниях кафедры математики Томского гос. пед. ун-та (1999-2004 гг.). По результатам работы были сделаны доклады на Всесибирских чтениях по математике и механике (Томск, 1997 г.); на I Сибирских методических чтениях «Современные проблемы методики преподавания математики и информатики» (Омск, 1998 г.); на Международной конференции, посвященной проблемам преподавания математики (Саранск, 2002 г.), на Международной научно-практической конференции «Школьное математическое образование на пороге XXI века» (Самара, 18-20 мая 1999 г.); на Всероссийской конференции «Модернизация содержания школьного образования: проблемы, решения, перспективы» (Томск, 2003 г.). Экспериментальная проверка теоретических положений диссертации и их внедрение проводилась в 1998- 2003 гг. на базе общеобразовательных школ г. Томска.
Основные этапы исследования.
1) На этапе констатирующего эксперимента, который проходил в 1998-1999 гг., был проведен анализ психолого-педагогической и методической литературы по теме исследования с целью определения особенностей
15 мышления учащихся в процессе изучения математики в 5-6 классах. Это позволило выделить базовые свойства мыслительных операций (системность, обратимость, рефлексивность гибкость), обеспечивающие эффективность обучения математики и, в частности, подготовку учащихся подросткового возраста к усвоению систематического курса алгебры. Эксперимент позволил выявить типичные недостатки в подготовке учащихся к систематическому курсу алгебры, и дал возможность скорректировать дальнейшие исследования. В констатирующем эксперименте приняли участие 113 учащихся 6-х классов школ № 1, 2, 9, 12 г. Томска. Уточнена и определена роль темы «Целые числа» в формировании базовых свойств мыслительных операций учащихся и в подготовке их к усвоению систематического курса алгебры.
2) Поисковый этап был осуществлен в 1999-2000 гг. в 5-7 классах
средних школ № 1, 2, 9,.12 г.Томска. Задачи поискового этапа эксперимента
состояли в следующем: выявить зависимость качества знаний учащихся по
учебному предмету, а также уровня подготовленности к усвоению система
тического курса алгебры от уровня развития базовых свойств мыслительных
операций; сформулировать и уточнить общие требования к методике обуче
ния математике в 5-6 классах основной школы; выделить интеллектуальные
умения учащихся, способствующие формированию базовых свойств мысли
тельных операций; разработать и внедрить систему учебных текстов и зада
ний по теме «Целые числа», логическая структура которых способствовала
бы формированию у учащихся базовых свойств мыслительных операций. В
процессе поискового эксперимента была выдвинута гипотеза исследования и
определена его цель.
Как показал эксперимент, уровень сформированности базовых свойств мыслительных операций, а также уровень подготовленности к усвоению систематического курса алгебры, оказался выше в экспериментальных классах.
3) Обучающий этап проходил в 2000-2003гг. в восьми экспери
ментальных классах средних школ № 1, 2, 9, 12 г. Томска, четыре из которых
были контрольными. Задачи обучающего эксперимента заключались в еле-
дующем: проверить эффективность разработанной системы учебных текстов и заданий; определить, существует ли зависимость качества предметной подготовки учащихся, а также уровня подготовленности к усвоению систематического курса алгебры от сформированности базовых свойств мыслительных операций.
4) На контрольно-измерительном этапе осуществлялась проверка
эффективности предлагаемой методики. Учащимся экспериментальных и контрольных классов были предложены две контрольные работы (гл. 2, 2.3.) с целью проверки уровня сформированности базовых свойств мыслительных операций, а также уровня подготовленности учащихся к усвоению систематического курса алгебры. Полученные результаты показали, что методика, построенная на системе специально разработанных учебных текстов и заданий, а также рекомендаций учителям по теме «Целые числа», способствует сознательному и прочному усвоению учащимися учебного материала. Полученные результаты анализировались с помощью методов математической статистики.
Структура работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, библиографического списка использованной литературы, приложений.
Проблема развития базовых свойств мыслительных операций в психолого-педагогической литературе
Как показывает практика, успешность в изучении систематического курса алгебры в средней школе во многом зависит от особенностей организации учебной деятельности учащихся 5-6 классов. Вопросы пропедевтики курса алгебры рассматриваются в работах Е.И. Жилиной [53], А.Л. Жохова [63], Л.С. Ивановой [69], Н.Г. Килиной [75], В.А. Колосовой [62], Г.В. Крас-нослабоцкой [87], А.М. Пышкало [139], Л.Р. Приндуле [136], В.И. Сычикова [158], А.С. Таточенко [159], М.Н. Чукотаева [171], N. Malara [188] и др.
Целью обучения школьников математике и, в частности, алгебре являются не только глубокие знания предмета, но и умение применять их на практике. Под знаниями в педагогике понимают не любую информацию, а лишь ту, которая обретает «системное качество, вводящее ее в содержательные связи с другими знаниями» [55, с.9]. Поскольку все в реальном мире системно, взаимообусловлено и взаимосвязано, то и знания, описывающие многообразие форм этого мира, должны быть системными. Множество знаний перерастает в систему знаний лишь в случае организации специальной работы по установлению связей и отношений между различными элементами знаний. Под системностью будем понимать, следуя Л.Я. Зориной, «качество знаний, которое характеризует наличие в сознании ученика структурных связей строения знаний внутри научной теории» [66, с.4]. Отсутствие системности знаний в большой степени способствует неуспешности учащихся в обучении, причем не только в математике. Различные аспекты систематизации знаний исследовались многими психологами и дидактами (Ю.К. Бабанский [8], Дж. Брунер [26], В.В. Давыдов [54], Л.В. Занков [65], Л.Я. Зорина [66], И.Д. Зверев, И.Я. Лернер [102], Ю.А, Самарин и др.) и методистами (Т.К. Авдеева, Я.Ф. Гапюк, М. И. Зайкин [64], Н.В. Зайченко, СВ. Каплан [74], Т.М. Мищенко, М.А. Родионов [142], П.М. Эрдниев [180] и др.). Ю.А. Самарин на основе экспериментального исследования выделил несколько уровней в формировании системности умственной деятельности у школьников по критерию обобщения ассоциативных связей: уровень локальных ассоциаций; уровень ограниченно системных или частносистемных ассоциаций; уровень внутрипредметных и внутрисистемных ассоциаций; уровень межпредметных или межсистемных ассоциаций.
Ю.А. Самарин выявил неразрывную связь между системностью, динамичностью умственной деятельности учащихся и формированием у них диалектического мировоззрения. Эффективность учебного процесса может быть достигнута, отмечает Ю.А. Самарин, лишь при наличии внутрипредметных ассоциаций, которые обеспечивают должную динамичность знаний, умений и навыков.
Вскрывая психологические и педагогические причины неуспешности учащихся, авторы отмечают, что необходимо искать способы усовершенствования методов преподавания и предметного содержания школьного курса алгебры.
В работах, посвященных вопросам преемственности обучения математике [84, 92, 136,139,165, 188,189 - 192], обращается внимание на необходимость исследования и определения тех качеств мышления, без которых успешность усвоения систематического курса алгебры становится проблематичной. Таким образом, актуальной является задача выделения качеств мыслительных операций, наличие которых необходимо для успешной подготовки школьников к курсу алгебры, а также определения и разработки содержания образования, способствующего их развитию.
Отмечая важность содержания знаний, следует особое внимание уделить тому, как эти знания были усвоены. По мнению И.С. Якиманской «без понимания законов психической деятельности, обеспечивающей усвоение, невозможно конструирование учебных программ, разработка методов обучения, повседневная организация учебного процесса, обеспечение контроля за ходом овладения знаниями. Никакое содержание знаний, как бы однозначно оно ни задавалось, как бы тщательно и последовательно ни разрабатывались методы изложения знаний, не может эффективно усваиваться, если не выявлены внутренние условия усвоения, то есть та реальная учебная деятельность, которая обеспечивает усвоение» [181, с. 12].
В настоящее время акцент смещается с накопления знаний в сторону интеллектуального развития, то есть основная цель обучения состоит в формировании у учащегося таких качеств мыслительной деятельности, которые позволяли бы ему оперировать отвлеченными понятиями и их знаковыми моделями.
Согласно возрастной периодизации Ж. Пиаже, возраст учащихся 5-6 классов соответствует стадии формальных операций, то есть понятия освобождаются от своего материального носителя — вещи и выступают как идеальные модели отношений. Возникает возможность подлинно «теоретического обучения» [132, с.36]. В этом возрасте формируются формальные (категориально-логические) схемы, позволяющие строить гипотетико-дедуктивные рассуждения на основе формальных посылок без необходимости связи с конкретной действительностью. Интеллектуальное развитие — это развитие операциональных структур интеллекта, в ходе которого мыслительные операции постепенно приобретают новые свойства: скоординирован-ность (взаимосвязанность и согласованность множества операций), обратимость (возможность в любой момент вернуться к начальной точке своих рассуждений, перейти к рассмотрению объекта с прямо противоположной точки зрения и т. д.), автоматизированность (непроизвольность применения), со-кращенность (свернутость отдельных звеньев, «мгновенность» актуализации).
Роль темы «Целые числа» в развитии базовых свойств мыслительных операций учащихся
Одним из острых вопросов в проектировании общего среднего образования всегда являлся и является в настоящее время вопрос о содержании образования, в частности, математического образования. Каковы принципы от бора содержания школьного образования? Что может быть положено в основу отбора содержания математического образования в 5-6 классах? Эти, проблемы будучи весьма актуальными, обсуждаются и педагогами, и психологами, и исследователями в области математического образования. Так, например, А.В. Хуторской [169] выделяет несколько подходов к определению понятия содержания образования. Рассмотрим некоторые из них.
1. Содержание образования — это педагогически адаптированные основы наук. Ведущими принципами отбора и построения содержания образования, согласно данному подходу, выступают общие методы и принципы построения знания. Данная концепция характеризуется как технократическая.
2. Содержание образования — это система знаний, умений и навыков (ЗУН), которые должны быть усвоены учащимися, а также опыт творческой деятельности и эмоционально-волевого отношения к миру. Знания, умения и навыки, относящиеся к основам наук и соответствующим учебным предметам, необходимы для передачи учащимся, чтобы те умели жить и действовать в социуме (М.А. Данилов, Б.П. Есипов, В.А. Онищук и др.).
3. Содержание образования — это педагогически адаптированный социальный опыт человечества, тождественный по структуре человеческой культуре. В данном случае содержание образования изоморфно социальному опыту и состоит из четырех структурных элементов: опыта познавательной деятельности, фиксированной в форме ее результатов — знаний; опыта репродуктивной деятельности в — форме способов ее осуществления (умений, навыков); опыта творческой деятельности — в форме проблемных ситуаций, познавательных задач и т. п.; опыта осуществления эмоционально-ценностных отношений (И.Я. Лернер, М.Н. Скаткин, В.В. Кра-евский).
4. Содержание образования — это содержание и результат процесса прогрессивных изменений свойств и качеств личности. Набор общеобразовательных курсов обусловливается структурой изучаемой области действительности (живая и. неживая природа, человек, общество, системы и структуры, техника и технологии и др.) и структурой деятельности, отражаемой в инвариантных сторонах культуры личности — познавательной, коммуникативной, эстетической, нравственной, трудовой, физической (B.C. Леднев). 5. Содержание образования — это образовательная среда, способная вызывать личностное образовательное движение ученика и его внутреннее приращение. Содержание образования делится на внешнее— среду и внутреннее — создаваемое учеником при взаимодействии с внешней образовательной средой. Внешнее и внутреннее содержания образования не совпадают. Диагностике и оценке подлежит не полнота усвоения учеником внешнего содержания, а приращение его внутреннего содержания образования за определенный учебный период [169, с. 170-171].
Анализ данных определений показывает многогранность самого понятия содержания образования. При этом существенным является вопрос о том, насколько оно отражает необходимость учета психологических особенностей учащихся, насколько «деятельностно» это содержание. Проанализируем факторы, влияющие на выбор содержания образования.
Одним из условий формирования содержания образования является учет социальных условий и потребностей общества. Наше общество нуждается и в будущем еще больше будет нуждаться в людях с навыками четкого логического мышления, с хорошими математическими знаниями и умением видеть и реализовывать возможности применения математики в различных конкретных ситуациях. Возрастание роли математического образования в современном обществе отмечают такие ученые, как И.В. Арнольд [4], Д.В.Аносов [32], А.М. Абрамов [32], СП. Новиков [32], В.М. Тихомиров [162] и др. Характеризуя роль математики в современном обществе, В.М. Тихомиров отмечает, что «математика всегда была неотъемлемой и существеннейшей составной частью человеческой культуры, она является ключом к познанию окружающего мира, базой научно-технического прогресса и важной компонентой развития личности» [162, с. 3].
Роль математического образования не исчерпывается накоплением фактического материала. Математика создает условия для интеллектуального развития личности, и именно это обстоятельство представляется принципиально важным - общество в настоящее время нуждается не просто в образованном человеке, но человеке, обладающем такими качествами, как инициативность, оригинальность, критичность, понятливость, принципиальность. «Очевидно, что автоматизация предъявит особый спрос на высокоразвитое творческое начало» [155, с.21-22]. «Обучение математике есть, - по словам А.А. Столяра, - дидактически целесообразное (обоснованное) сочетание обучения математическим знаниям и познавательной деятельности по приобретению этих знаний, т. е. специфической для математики познавательной деятельности, которую для краткости, хотя и несколько условно, назовем математической» [153, с. 52].
Большинство специалистов признает, что содержание математического образования должно быть таким, чтобы оно позволяло использовать математику в качестве инструмента принятия решений при анализе различных явлений действительности. «Математика является меньше знанием, чем умением. Вот почему она может развить свойства ума и характера, связанные с навыками к абстракции, к строгой, целеустремленной дисциплине, к выражению на различных языках (языке общения, фигур, формул и графиков), со схематической мыслью, сжатой и четкой», - пишет К.Ф. Лебединцев [99, с. 40].
Методика изучения операций над целыми числами
Целью данной главы является раскрытие системы работы учителя при обучении действиям над целыми числами, направленной на развитие таких свойств мыслительных операций, как системность, обратимость, рефлексивность и гибкость. Глава состоит из трех параграфов. В первом из них рассмотрены методические приемы построения учебных текстов, которые дают возможность организовать уроки по изучению учащимися действий над целыми числами. Во втором параграфе предлагается система заданий, которая способствует развитию умений, направленных на формирование базовых свойств мыслительных операций учащихся. В третьем параграфе описывается педагогический эксперимент и его результаты.
Прежде всего, проанализируем узловые методические проблемы, связанные с логикой изложения учебного материала и с его структурой. Заметим, что наиболее сложной в изучении действий над целыми числами является задача введения прямых арифметических действий — сложения и умножения. Действия вычитания и деления вводятся как обратные к ним.
Методика изучения действия сложения целых чисел В методике математики существует несколько путей введения правила сложения целых чисел: формально-логический, мотивированный и их сочетание. Мотивированный путь изучения данного действия начинается с того, что учащимся предлагается задание, выполняя которое они могут увидеть целесообразность соответствующего правила и принять активное участие в его выводе и формулировке. Мотивация правила может осуществляться по-разному. Чаще всего учащимся предлагается серия жизненных ситуаций, разделенных по классам: сложение положительных чисел, сложение отрицательных чисел, сложение чисел с разными знаками и специальные случаи. Учащиеся при этом не принимают участие в классификации различных случаев сложения целых чисел, что в дальнейшем часто становится одной из причин появления ошибок при выполнении действий. Мы считаем, что работа по получению правила должна быть организована так, чтобы учащиеся могли не только обнаружить связи между компонентами действия сложения целых чисел, но и самостоятельно выявить различные случаи, то есть провести классификацию. При этом большое значение имеет первая задача. Обсуждение и решение ее необходимо так организовать методически, чтобы возникла потребность в привлечении различных интерпретаций целых чисел: физических (долг- доход, повышение - понижение) и геометрических (вправо - влево). Это даст возможность учащимся перейти от хорошо знакомых житейских ситуаций к самостоятельным обобщениям, позволит построить гипотезу о правиле сложения целых чисел. Большое внимание при этом следует уделить образному представлению информации как источнику схематизации.
Получение правила в словесно-символической форме требует от учащегося активной работы, направленной на развитие таких умений, как умения переходить от одной формы кодирования информации к другой, выделять существенные отношения между изучаемыми объектами, устанавливать связи между различными явлениями. Иными словами, учащиеся приобретают опыт математической деятельности.
Исходя из задачи развития основных свойств мыслительных операций и в соответствии с методическими принципами, изложенными в первой главе исследования, мы предлагаем следующую схему изучения действия сложения целых чисел:
мотивационное открытое задание, актуализирующее опыт учащихся и знания их о действиях над натуральными числами;
поиск различных моделей, с помощью которых прогнозируются положения искомого правила;
установление и фиксация существенных связей между компонентами действия на словесно-символическом и визуальном уровнях;
выделение различных случаев сложения целых чисел;
поиск формулировки правила и сравнение его с нормативным;
овладение правилом на уровне осознанного отношения к отдельным его шагам;
применение полученного правила к решению различных задач.
Предлагаемая система работы строится с учетом использования учебного пособия «Математика 6: «Положительные и отрицательные числа» [42], одним из авторов которого является автор данного диссертационного исследования. Учебное пособие написано в форме диалога, так как именно диалог дает возможность учащимся преодолевать барьер прошлого опыта, разрешать противоречия между актуализированными знаниями и требованиями проблемной ситуации, принимать и понимать чей-то план, чье-то решение, обосновывать свои предложения, смотреть на одно и то же с разных точек зрения. Каждый участник диалога наделен вполне определенными функциями: Мальвина отвечает за систематизацию учебного материала, является инициатором формулирования правил, составления конспектов; Буратино задает вопросы, находит неожиданные ситуации использования изучаемого материала, обращает внимание на частные случаи; Тюбик представляет информацию образно; Винтик и Шпунтик применяют изученное на практике; Пьеро фантазирует; Сверчок приходит на помощь в критических ситуациях, а мудрая Тортила помогает советами, обладая глубокими знаниями.
