Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Функциональная дополнительность процессов познания физической реальности и геометрии и ре-шение проблемы наглядной образности в обучении 30
1.1. Проблема наглядной образности в обучении геометрии 30
1.1.1. Анализ различных направлений построения систематического курса геометрии и проблема наглядной образности в обучении 30
1.1.2. Предметная область математики и проблема дополнительности в обучении геометрии 38
1.2. Психофизиологические особенности процесса познания 57
1.3. Принцип дополнительности в обучении геометрии 71
1.4. Взаимодополнительность процессов познания геометрии пространства-времени и материи 85
Выводы по первой главе. 106
Глава 2 Процесс формирования геометрических понятий на основе соотношения геометрии и физической реальности
2.1. Методологический смысл взаимосвязи геометрических и физических понятий 110
2.2. Символизм и образность в обучении геометрии 128
2.3. Интерпретация абстрактных геометрических понятий на материале физики 144
Выводы по второй главе. 175
Глава 3 Формирование понятия пространственно-временной структуры мира в свете представлений о единстве научного знания 180
3.1. Формирование научного понятия пространства на основе единства представлений о пространстве реальном и математическом 182
3.2. Формирование понятия и-мерного евклидова пространства на тензорной основе 196
3.3. Понятие континуума в решении проблемы соотношения геометрии и физической реальности 219
3.3.1. Происхождение и развитие фундаментального математического понятия континуума 219
3.3.2. Формирование представлений о пространственно-временном континууме общей теории относительности 227
3.4. Формирование понятия причинной структуры в теории относительности 237
3.4.1. Причинность как определенная внутренняя связь явлений (философский аспект) 237
3.4.2. Пространственно-временная структура мира как абстрактная модель его причинно-следственной структуры 241
3.4.3. Хронологическое упорядочение как основа специальной теории относительности 245
3.5. Экспликация понятия времени как один из аспектов решения проблемы соотношения геометрии и физической реальности 251
Выводы по третьей главе 260
Глава 4 Реализация принципа дополнительности как решение проблемы соотношения геометрии и физической реальности (педагогический эксперимент в вузе) 264
4.1. Спецкурс «Геометрия и теория относительности» как практическая реализация принципа дополнительности геометрии и физики 266
4.2. Методика проведения и результаты педагогического эксперимента 277
4.2.1. Особенности методики педагогических исследований 277
4.2.2. Анализ результатов экспериментальной проверки 282
Выводы по четвертой главе. 303
Заключение 306
Список литературы 310
Приложения 324
- Проблема наглядной образности в обучении геометрии
- Методологический смысл взаимосвязи геометрических и физических понятий
- Формирование научного понятия пространства на основе единства представлений о пространстве реальном и математическом
Введение к работе
Содержательное, структурное и функциональное развитие физических и математических теорий привело к превращению их в чисто символическую конструкцию, оперирующую знаковыми моделями, не имеющими отношения к лежащей в основе явлений реальности. В результате образная наглядность как инструмент научного познания все более утрачивает свой приоритет. Научная интерпретация мира осуществляется с помощью символов, не являющихся составной частью действительности и не связанных с чувственными восприятиями. Научная информация имеет большую степень общности и вследствие своей абстрактности с трудом поддается усвоению в виде учебных знаний. Поэтому необходим процесс конкретизации, дезабстрагирования научной информации применительно к обучению. Центр тяжести переносится с усвоения научных знаний на выработку адекватных педагогическим задачам способов действий, умения интерпретировать в наглядной форме сложные формальные решения.
Объективное развитие науки на сегодняшний день не имеет арсенала средств, дающих возможность перейти от абстрактных форм объяснения представлений открытых явлений в области естествознания, физики, математики к доступным и наглядным. В связи с этим возможность использования имманентно присущей человеку способности к наглядно-образному восприятию становится все более ограниченной. Между тем еще П.Ф.Каптерев в свое время считал, что обучение должно основываться на естественном ходе развития человека и начинать с того же, с чего начинает природа - пробуждать чувственный разум человека и постепенно приводить его к отвлечениям. «Наглядное обучение есть единственно правильный и естественный метод обучения, вполне отвечающий ходу развития отдельных личностей» [122, с. 297].
Из психологии известно, что наглядно представить в деталях можно лишь те процессы, которые подчиняются законам механики. В иных явлениях наглядность отсутствует, что легко видеть на примере квантовой физики, в кото-
рой «... на смену механической (образной) наглядности вошла новая, более высокая, если можно так выразиться, форма наглядности - логическая «наглядность» абстрактной математической схемы явлений. Это и позволило нам научиться, по меткому выражению Л.Д. Ландау, понимать то, что представить себе невозможно» (В.И.Родичев [219, с. 412]). Другим примером служит теория относительности - сущностно глубокая теоретическая модель физической реальности, отличающаяся высоким уровнем общности и абстрактности. По известному образному выражению, в общей теории относительности «... материя исчезла, остались одни уравнения» (В.И.Ленин).
Между тем релятивистская концепция пространства-времени лежит вместе с квантовыми понятиями в основе современной физической картины мира. В этих теориях имеет место относительная связь между символом и тем, что дано в восприятии, а познавательный процесс основан на умении создавать целостный образ - логически обработанный, отвлеченный образ реальных объектов, но не естественных вещей, как у гуманитариев. «Физик понимает, что «подразумевается» в символике, когда он проверяет на опыте записанные в ней физические законы» (Г.Вейль [58, с. 59]), чего нельзя сказать в применении к математическим понятиям и отношениям с их «безразличным» формальнологическим характером по отношению к конкретной природе связываемых ими объектов.
Таким образом, мы имеем на сегодняшний день противоречие, всеобщее для учебного познания естествознания, физики, но особенно характерное для математики, проявляющееся в преобладании символической абстраюрт над наглядной образностью и создающее серьезную дидактическую проблему необходимости разработки новых методов преподавания, основанных на максимальном использовании образного типа переработки информации. Это актуализирует, в частности, и проблему нашего исследования, содержательную основу которого составляет система предметных знаний геометрии с органически включенными в нее элементами классической механики, специальной и общей
теорий относительности, - проблему соотношения геометрии и физической реальности в процессе профессиональной подготовки учителя математики.
Частью выше названной общей проблемы исследования является проблема дополнительности геометрии и физики в обучении, неразрывно связанная с одноименной методологической проблемой, поставленной и проанализированной А.Эйнштейном в теории относительности. Последняя, в свою очередь, тесно связана с диалектическими противоречиями (дихотомией): логики и интуиции в мышлении, аксиоматической и конструктивной процедур в математике, чувственного и рационального в научном познании, с проблемой асимметрии полушарий головного мозга, с всеобщим принципом взаимодополнительности (Н.Бор), а также с диалектикой абсолютной и относительной истин. Дополнительность геометрии и физики может рассматриваться «... как одно из проявлений диалектического характера процесса научного познания в его стремлении ко все более полному и адекватному отражению действительности» [175, с. 240].
Покажем, что одновременно с уже охарактеризованным нами основным противоречием поставленная проблема - дополнительность геометрии и физики как часть более общей проблемы соотношения геометрии и физической реальности в обучении, разрешает целый ряд противоречий, накопившихся в системе подготовки учителя математики.
1. В настоящее время в системе образования имеет место тенденция к чрезмерной дифференциации наук. Между дисциплинами как бы образовались искусственные стены, которые препятствуют формированию представлений о единстве научных знаний, о связи между наукой и практикой, не дают возможности осмысливать понятия математики как результаты абстракции реальных отношений между вещами окружающего нас мира. Это во многом определяет актуальность заявленного нами интердисциплинарного исследования, решающего чрезвычайно важную для педагогического образования задачу укрепления связей межцу блоками дисциплин и устраняющего при этом один из основных
дефектов классической системы высшего педагогического образования. Содержательной основой исследования является система знаний по геометрии с органически включенными в нее элементами классической механики, специальной и общей теорий относительности.
Анализ современной учебной программы курса геометрии и соответствующих пособий для студентов математических факультетов педвузов (А.Д.Александрова и Н.Ю.Нецветаева [2], Л.С.Атанасяна и В.Т.Базылева [18], [19], А.В.Погорелова [197]) показывает, что в настоящее время сложился подход к реализации профессиональной (содержательной) подготовки учителя к преподаванию школьного курса геометрии, для которого характерны:
максимальная приближенность к современному состоянию математической науки (благодаря структурной схеме Вейля); высокий уровень теоретизации и строгости в изложении материала и. в то же время, излишняя формализация в ущерб наглядно-содержатальной стороне процесса обучения (в отношении учебного пособия Л.С.Атанасяна и В.Т.Базылева [18], [19]);
достаточно высокий уровень наглядной содержательности изложения и доступности за счет отказа от векторной аксиоматики Вейля, от структурной точки зрения на геометрию (в отношении учебного пособия А.Д.Александрова и Н.Ю.Нецветаева [2]);
отсутствие интеграционных функций, позволяющих формировать диалектические представления о единстве научного понятия пространства в геометрии (евклидовой и неевклидовой) и физике (нерелятивистской и релятивистской) и рассматривать учебный предмет «Геометрия» как систему видов учебно-познавательной деятельности, инвариантным содержанием которых выступает упорядоченное знание об определенных аспектах действительности;
отсутствие формирования методологических познаний о материалистических корнях геометрии, связи ее с реальным миром, приложениях в естественных науках и технике (в отношении учебного пособия Л.С.Атанасяна и В.Т.Базылева [18], [19]).
Таким образом, в настоящее время в традиционной системе геометрического образования сложилась тенденция к чрезмерной дифференциации, формализации, абстрактности и логическому совершенству в изложений материала в ущерб доступности, наглядности и раскрытию связей математики с задачами естествознания. Классическая система активно осуществляет только лишь развитие абстрактной теории математических пространств и практически не оставляет возможностей для сколько-нибудь динамичного развития представлений об эмпирико-физическом происхождении изучаемых ими абстрактных геометрических теорий и последующем применении их к задачам практики.
Между тем единство представлений о понятиях реального физического и абстрактного математического пространств лежит в основе познавательных процессов, ибо человеческое познание идет «от живого созерцания к абстрактному мышлению и от него к практике». Аксиоматическая и конструктивная процедуры, логический и образно-ассоциативный компоненты в педагогическом мышлении учителя математики должны взаимно дополнять друг друга (всеобщий принцип взаимодополнительности Н.Бора).
Можно сказать, что назрело (1) противоречие между идеальным характером геометрии, дедукпшено-аксиоматически изучаемой в блоке математических дисциплин педвуза, и ее апостериорностью, обусловленной консщзуктивной ролью геометрии в теории реального физического пространства.
Определенный вклад в разрешение этого противоречия вносит предлагаемое нами исследование.
2, В современный период сложился взгляд на геометрию как на некую конкретизацию алгебраических структур. Евклидова плоскость, например, при таком подходе рассматривается как аффинная плоскость, в ассоциированном векторном пространстве которой введено скалярное произведение (положительно определенная билинейная форма). В современных курсах геометрии изложение такого подхода стало уже классическим, - в обоснованиях и доказа-
іельствах алгебраической геометрии «господствуют» абстрактные алгеораиче-ские методы.
С точки зрения методологии истории математики, таким образом, прослеживается путь от физической наглядности "Начал" Евклида до рафинированной алгебраической логики формул, порой без всякого геометрического и физического содержания. По объективным причинам исторически сложилось так, что наглядно-содержательная эмпирическая наука - геометрия, в которой можно было показать на чертеже и даже предсказать результаты исследований. превратилась в закрытую виртуальной реальностью алгебраического аппарата отвлеченно-идеализированную дисциплину, представляющую большие трудности для восприятия.
Тем не менее, физическая наглядность и пространственная интуиция («картинки») всегда останутся исходным пунктом рассуждений геометра, а «устрашающая» строгость алгебраических методов, подавляющих собственно геометрию, ее наглядную содержательность и физический смысл, «отпугивают» не одно поколение начинающих ее изучать школьников и студентов, ибо не соответствуют наглядной природе обучения, не отвечают естественному развитию мышления учащегося.
Как уже отмечалось, в настоящее время в курсе геометрии педвуза в соответствии с учебным пособием Л.С.Атанасяна, В.Т.Базыдева [18], [19] рассматривается изучение высшей геометрии в схеме Вейля.
Согласно древнегреческой легенде, Евклид ответил царю Птолемею, пожелавшему легко познать геометрическую науку, что «царского пути в геометрию нет». По мнению Г. Шоке, векторная аксиоматика Г. Вей ля («Пространство, время, материя». ]9\8 г.) открыла такой «царский путь». Однако много труда и терпения, настойчивости и внимания потребуется от преподавателя и студента, чтобы последний смог овладеть этим якобы «легким» путем. К сожалению, совершенные средства и методы обучения, эффективность которых позволила бы понимать высшую математику «всякому желающему из публики»
(Н.Е.Жуковский), в психологии и педагогике еще не найдены. Не открыт пока «царский путь» в методику обучения высшей математике.
Система аксиом Вейля представляет собой векторный способ обоснова-
* ния геометрии. Наиболее сильной стороной аксиоматики Вейля является воз-
можность в значительной мере алгебраизировать доказательства и без предварительных выводов развивать геометрию как аналитическую в векторной форме. По мнению Ж.Дьедонне, «... при рассмотрении векторных пространств размерности 2 и 5 над полем вещественных чисел сразу же обнаруживается, что линейная алгебра и классическая "элементарная геометрия "отличаются друг от друга только языком: каждую из них можно понимать как перевод другой» [106]. По мнению А.Д.Александрова. «... аксиоматика эта предполагает много.
- Она не только использует понятие вещественного числа. Например, в свойствах
скалярного произведения уже заключается, по существу, теорема Пифагора» [3,
v.i. j. J. |.
Однако указанные достоинства аксиоматики Вейля при обучении геометрии снижают ее дидактическую ценность: по мнению некоторых методистов-математиков, аксиоматика Вейля не способствует развитию пространственных представлений обучаемых, их геометрической интуиции, не соответствует наглядной природе обучения и не отвечает естественному развитию мышления учащегося. Так, А.Д. Александров отмечает: «Внедрение векторной аксиоматики в изложение геометрии связано с общей тенденцией, направленной на то, чтобы по возможности поглотить геометрию алгеброй, подавить геометрические представления алгебраическими выкладками» \3. с.211].
Тем не менее, мы считаем, что именно аксиоматика Вейля должна быть положена в основу изучения геометрии будущими учителями математики, ибо из нее достаточно естественным путем можно получить любую возможную ак-сиоматику школьного курса геометрии. Преодоление же трудностей ее изучения, обусловленных высокой степенью абстрактности и общности, следует возложить на методическую науку - на использование притптов дополтгтелъно-
emu и Свойственности, открывающих путь к «пиршеству образной мысли», обеспечивающих постоянную опору студентов на чувственные образы в процессе усвоения содержания формального геометрического материала.
Традиционно сложилось, что процесс познания теорий математических структур был явно обделен вниманием методистов. Для вузовского курса геометрии методика, как наука, оказалась невостребованной. Как правило, в высшей школе структуру содержательного материала учебной дисциплины определяют лишь формально-логическими связями самой математической науки, не учитывая при этом психолого-педагогические закономерности усвоения математических знаний. Между тем формально-логические соображения не являются главными при решении вопросов методики. Как отмечает М.В.Потоцкий, «всякие попытки педагогической оценки математического материала, исходя из самой математики, заведомо обречены на провал и способны только дискредитировать методику» [209, с 25].
Таким образом, заявленное нами исследование вносит определенный вклад в разрешение противоречий
между необходимостью использования абстрактных алгебраических методов в курсе геометрии, с одной стороны, и методическими сложностями преподавания, обусловленными оторванностью курса, алгебраической геометрии от привычных пространственных представлений и наглядной содержательности геометрических понятий;
между потребностью в доступном наглядно-содержательном изложении алгебраизированного геометрического материала и фактическим состоянием методики преподавания геометрии в педвузе.
3. Обратимся вновь к методологии истории естествознания и математики. В начале XIX в. для выработки новых взглядов на предмет геометрии кардинальную роль сыграло создание Лобачевским, Бойаи, Гауссом и Риманом неевклидовой геометрии. Естественным образом возник вопрос: какая из логически мыслимых («умозрительных») систем геометрии реально осуществляется в
«физическом» пространстве, в котором мы живем и действуем? Вопрос этот способствовал перебрасыванию мостов между областями чистой математики и физики.
В соответствии с классической механикой Ньютона в пределах точности наших наблюдений в реальном пространстве действует геометрия Евклида. Только в XX в., с созданием теории относительности, получило осуществление предположение Лобачевского о возможности применения его геометрических идей к исследованию реального физического пространства, а также предположение Римана о физичности его геометрии. Общий принцип относительности Эйнштейна внес дальнейшие изменения в постановку вопроса о геометрии реального физического пространства.
К сожалению, этот важнейший мировоззренческий вопрос не отражался в рамках традиционной системы геометрического образования. Как правило, в вузовском курсе геометрии изучаются лишь формально-логические вопросы непротиворечивости, осуществляемые внутриматематическим путем, - «... не на основании экспериментально установленной приближенной ее пригодности в окружающем нас "физическом" пространстве, а существованием ее "координатной" аналитической модели» (Г.Вейль [58, с. 64-65]), посредством чисто математических конструкций, без обращения к физическому эксперименту.
С методологической точки зрения в этом проявляется отвлеченный аксиоматический способ понимания в чистой математике: геометрия считается непротиворечивой в том смысле, что существует хотя бы одно ее осуществление в виде системы объектов любой природы, для которой единственным требованием является выполнимость аксиом. Такие системы объектов любой природы (модели) и называются в чистой математике "пространствами" (Евклида, Лобачевского-Бойаи, Римана).
В противоположность идеальным пространствам, рассматриваемым чистой математикой, пространство реального физического мира известно только приближенно. Поэтому никакая из геометрий, изучаемых чистой математикой.
не может полностью отражать свойства реального пространства. Полное изучение всех свойств реального пространства, по современным понятиям, относится к физике. Физическая теория есть мысленное отражение определенного фрагмента реального физического мира, но не его копия, а физико-математический образ, модель.
Вся физика со времен Галилея развивалась как выявление математических структур в физической реальности. Мир современной физической теории представляет собой образно-понятийный конструкт, состоящий из абстрактно-идеализированных объектов, представляемых соответствующей математической структурой.
В современном понимании математические структуры составляют предмет математики. С определением математики как науки о математических структурах (Н.Бурбаки [54]) студенты физико-математических и математических факультетов педвуза в соответствии с действующей учебной программой впервые встречаются в курсе оснований геометрии в разделе «Обшие вопросы аксиоматики». Здесь достаточно полно, на наш взгляд, осуществляется формирование системы понятий математической струкгуры, системы аксиом, непротиворечивости, полноты, независимости, интерпретации систем аксиом, модели структур, изоморфизма и др. Однако при этом у студентов возникает превратное представление об изолированности абстрактной теории структур от других наук, в частности, от физики. На наш взгляд, необходимо акцентировать внимание на том, что именно в силу высокой степени абстрактности своих образов аппарат математики можег быть использован для описания различных областей реальности. Этим обусловлена, по выражению Э.Вигнера, «невероятная эффективность математики» в применении к другим наукам.
Таким образом, возникает методологический вопрос о диалектической противоположности, функциональной двойственности, взаимодополнительности двух процессов в обучении - 1) формирования понятия идеального математического пространства: 2) познания теории реального физического простран-
ства, - который создает предпосылки для постановки дидактической проблемы, суть которой в изолированности первого процесса от второго. Изучение состояния исследуемой проблемы показало наличие противоречий
между традиционно спожившимся дедуктгівнд-аксиоматтіческим изучением идеальных математических пространств в курсе геометрии педвуза и необходимостью формирования представлений о конструктивной роли математики в создании теории реального пространства;
между традиционным преподаванием геометрии как дедуктивной теории в смысле формальной логики и назревшими предпосылками для мировоззрен-ческо-методологического расширения методики преподавания геометрии в педвузе.
Наличие указанных противоречий определило проблему исследования: определение дидактических условий, форм, средств и методов решения проблемы соотношения геометрии и физической реальности в обучении, которое разрешает важнейшие противоречия процесса подготовки учителя математики в педвузе, в том числе:
позволяет отойти от догматического преподавания геометрии в рамках дедуктивного изложения в смысле формальной логики, предусматривающего изучение только лишь формальнологических вопросов непротиворечивости, осуществляемых внутриматематическим путем, без обраіцения к физическому эксперименту;
открывает возможность построения достаточно детализированной и одновременно целостной картины многообразия применения разделов математического знания, раскрытия его происхождения и связи с задачами практики;
обеспечивает возможность познания действительности как основу развития личности в процессе формирования научного мышления студента;
осуществляет междисциплинарный подход, связанный с ориентацией образования на интересы студента, с формированием его отношения к природе и
обществу, с познавательной стороны дающий возможность объяснения окружающей действительности в ее единстве.
В качестве решения указанной проблемы выступает инициированная нами реализация принципа дополнительности геометрии и физики в прогрессе обучения геометрии как решение проблемы соотношения геометрии и физической реальности, частью которой выступает концепция «дополнительности» геохметрии и физики в теории относительности и в процессе обучения геометрии. Все это говорит о безусловной актуальности заявленного исследования.
Замысел исследования включает исходные факты, основную идею и теоретическую его концепцию.
В качестве исходных фактов выступает эмпирически установленный нами чрезвычайно низкий уровень знаний, умений и навыков студентов, их компетенции в отношении прикладных аспектов геометрии, связи ее с задачами практики, естествознания и физики, а также глубокий профессиональный интерес студентов-математиков к проблеме соотношения геометрии и физической реальности и отсутствие способов его удовлетворения в рамках существующей системы геометрической подготовки.
Анализ и оценка исходных фактов привели к основной идее исследования, суть которой в реализации в процессе подготовки учителя математики принципа дополнительности геометрии и физики, характеризующей решение проблемы соотношения геометрии и физической реальности.
Теоретическую концепцию исследования составляют следующие положения, которые в основном продуцируются выделенными нами ранее противоречиями и являются достаточно общепризнанными.
- В контексте решения проблемы дополнительности геометрии и физики абстрактные геометрические пространства приобретают реальное физическое содержание в результате сопоставления схемы понятий аксиоматической геометрии с реальными объектами материального мира. Собственно геометрические понятия (мегрические свойства, свойства симметрии, топологические и
порядковые свойства и т.п.) рассматриваются одновременно как понятия физи-I
ческой геометрии - опытной науки. Идеальным объектам математики ставятся в
соответствие практически твердые тела физики. Геометрическое пространство
і
\ф интерпретируется как пространственно-временной континуум реального мира.
- В процессе реализации принципа дополнительности геометрии и физи
ки как решения проблемы соотношения геометрии и физической реальности
все понятия можно условно классифицировать на геометрические и физиче
ские. К первым относятся свойства пространства-времени, ко вторым - движе
ние, причинность, воздействие и др. Однако можно провести аналогию между
некоторыми свойствами пространства-времени (геометрическими свойствами
материи) и отдельными физическими понятиями. В результате получим дихо-
^ томические пары понятий, причем содержание одного термина пары целесооб-
разно разъяснять с привлечением другого. При этом элементы геометрии и физики рассматриваются в их действительном слиянии, взаимодополнительно.
- Дополнительность выступает как специфическая форма выражения диа
лектического противоречия. Дихотомические полярные категории геометрии и
физики, как диалектические противоположности в своей «извечной неразрыв
ной и противоречивой связи», помогают добыть «глубокие истины». Наиболь
ший дидактический эффекг получается, когда основные положения геометрии
сопровождаются немедленно физическим толкованием и наоборот, а традици
онные физические понятия получают геометрическую интерпретацию.
- Процессы формирования понятия идеального математического про
странства и познания теории реального физического пространства рассматри
ваются нами как функционально двойственные, взаимодополнительные. При
этом относящиеся к геометрий логические рассуждения как бы одновременно
подкрепляются эмпирической иллюстрацией, физическими «картинками» - че-
тырехмерным носителем информации, включающим особые механизмы цело
стной переработки и разгружающим одномерный линейный аппарат логики.
Дополнительность геометрии и физики, как реализация принципа дополнительности в обучении, обеспечивает органичное сочетание образного и логического компонентов информации, которое является главным физиологическим условием прочности знаний и следует, в конечном счете, из недавно открытой асимметричности полушарий головного мозга. Правое полушарие характеризуется средоточием образов, эмоций, визуального мышления, первых сигналов опыта, прошлого времени и потому преимущественно обеспечивает процесс познания физической реальности. Функциональные особенности левого полушария - речь, логика, счет, вторая сигнальная система, будущее время, прогноз - в большей степени адекватно отражают познание геометрической части.
В мышлении человека всегда присутствует элемент дополнительности, -работают логика контекста и логика подтекста. В результате подключения парных механизмов мышление как бы обретает новое качество, а геометрические дедуктивно-аксиоматические отвлеченные доказательства - большую убедительность. Таким образом, принцип дополнительности, предполагающий подачу математической информации одновременно на двух кодах - геометрическом и физическом, - открывает путь к «пиршеству образной мысли», к усилению деятельности правополушарных механизмов, корректирующих логико-вербальный знаковый код левого полушария.
Цель исследования - доказать необходимость и эффективность решения проблемы соотношения геометрии и физической реальности в процессе профессиональной подготовки учителей математики на базе реализации принципа дополнительности в обучении геометрии.
Объектом исследования является процесс профессиональной подготовки учителя математики.
Предметом исследования служат дидактические условия и методические средства решения проблемы соотношения геометрии и физической реальности.
Гипотеза исследования заключается в том, что реализация принципа дополнительности как решение методологической проблемы соотношения геометрии и физической реальности в процессе обучения геометрии в педвузе повысит эффективность профессиональной подготовки учителя математики, если:
- выявить дидактические условия и методические средства, позволяющие рас
сматривать процессы познания геометрии и физической реальности в условиях
традиционной предметной системы профессионального образования как функ- .
ционально-дополнительные и открывающие в этой связи возможность разра
ботки новых методов преподавания с учетом образно-асоциативного типа пере
работки информации;
разработать методический аппарат и содержательные основы решения проблемы дополнительности геометрии и физики как части более общей гносеологической проблемы концептуального выражения единой физической реальности;
разработать формы и методы решения проблемы наглядной образности в обучении геометрии на базе реализации принципа дополнительности геометрии и физики;
обеспечить целесообразное сочетание содержания, форм, методов и средств реализации принципа дополнительности в обучении геометрии.
Цель, предмет и гипотеза исследования предопределили необходимость постановки и решения ведущих его задач.
Выявить дидактические условия и методические средства, позволяющие рассматривать процессы познания геометрии и физической реальности в условиях традиционной предметной системы профессионального образования как функционально-дополнительньїе.
Разработать формы и методы решения проблемы наглядной образности в обучении геометрии на базе реализации принципа дополнительности геометрии и физики.
3. Разработать методический аппарат и содержательные основы решения про
блемы дополнительности геометрии и физики на базе формирования понятия
пространственно-временной структуры мира в свете представлений о единстве
научного знания.
Разработать специальный курс «Геометрия и теория относительности».
Экспериментально проверить эффективность реализации принципа дополнительности геометрии и физики в обучении геометрии.
Методологические и теоретические основы исследования. Методологическую основу исследования в самом общем плане составляют мировоззренческие положения о всеобщей связи и взаимообусловленности явлений и процессов, непрерьюном развитии и целостности реального мира, а также всеобщий принцип взаимодополнительности Н. Бора и гносеологическая проблема концептуального выражения единой физической реальности. Следует отметить также, что настоящее исследование ориентировано на выражение ставших уже классическими идей, обусловленных принадлежностью к научной школе Эйнштейна, которая с момента создания и до настоящего времени снискала большое число противников. В этой связи следует цель нашего исследования считать также общенаучной, а к задачам его отнести и информирующую функцию - знакомство с определенной системой взглядов на научную картину мира, формирование когнитивных ориентиров деятельности, компетентности.
В основу исследования мы предлагаем положить концепцию совершенствования профессиональной подготовки учителя математики, основное содержание которой составляют следующие принципы.
(1) Принцип историзма, в соответствии с которым предполагается обращение к методологии истории развития математики, позволяющее увидеть, как исторические факты группируются вокруг фактов, касающихся обоснования науки, каким образом в их чередовании проступает строение и функционирование научного знания.
Принцип интегративности, который предусматривает реализацию взаимосвязи между курсами геометрии, оснований математики, математической логики, алгебры, физики и др.
Принцип инвариантности содержания, который обеспечивает определение роли и места курса геометрии и спецкурса «Геометрия и теория относительности» в системе профессиональной подготовки учителя математики.
Принцип актуальности, который предусматривает выявление связей излагаемого вопроса с актуальными проблемами настоящего и будущего. Следует рассматривать как вопросы, в отношении которых уже намечены пути их решения, так и вопросы, пути подхода к которым еще нуждаются в исследовании.
Принцип научности и методологической направленности, предполагающий обращение к методологическим и философским проблемам науки. Глубокая научная методология позволяет студентам взглянуть на проблемы математики с более широких позиций, понять, ради чего им следует изучать тот или иной раздел математики.
Принцип дополнительности, обеспечивающий органическое сочетание образного и логического компонентов информации на основе асимметричности полушарий головного мозга.
Принцип системности, позволяющий рассматривать учебный материал как совокупность объектов изучения, взаимодействие которых вызывает появление новых интегративных качеств, не свойственных отдельно взятым образующим систему компонентам.
Уровень теоретической и практической разработанности.
Вопросам взаимосвязи геометрии и теории относительности и популярному изложению основ теории относительности посвящен обширный список существующих в русской литературе изданий книг М.Борна, Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшица, Ю.Б.Румера, А.Д.Александрова, Д.В.Скобельцына, И.М.Яглома, П.К.Рашевского и др.
Вопросы методики преподавания элементов теории относительности в курсе физики средней школы рассматривались в трудах Ш.М. Валиходжаева, В.И. Веретынского, Н.М. Зверевой, Л.А. Ивановой, СЕ. Каменецкого, В.И. Ко-ломина, В.В. Мултановского, АН. Малинина, Р.Э. Нудельмана, И.Г. Пустельника, О.С. Руденко, Ю.И. Соколовского, В.А. Угарова, Б.М. Яворского, А.А. Пинского и др.
Вопросам философско-мировоззренческой функции теории относительности посвящены философские работы М.Д.Ахундова, К.Х.Делокарова, Б.Г.Кузнецова, А.М.Мостепаненко, Н.Ф.Овчинникова, М.Э.Омельяновского, Г.Рейхенбаха, Э.М.Чудинова и др.
Вопросам, связанным с профессиональной подготовкой будущего учителя математики в рамках курса геометрии, посвящены труды академиков А.Д.Александрова, АН.Колмогорова, А.В.Погорелова, и др., известных математиков и методистов Л.С.Атанасяна, В.Т.Базылева, А.Л.Вернера, Н.Я.Виленкина, Г.Д.Глейзера, В.АХусева, Г.В.Дорофеева, Ю.М.Калягина, Г.И.Саранцева, Г.Л.Луканкина, О.В.Мантурова, Е.Тоцки, Л.М.Фридмана, Р.С.Черкасова и др., а также диссертационные исследования Н.В.Батькановой, И.И.Беловой, Л.Н.Евелиной, С.Г.Марковой, В.Л.Рабиновича, АМ.Сазоновой, О.И.Федяева, Е.В.Силаева и др.
Однако ни в одном из перечисленных исследований даже не ставилась проблема специально организованной реализации принципа дополнительности геометрии и физики в обучении, высказывались лишь предположения о необходимости связи геометрии с реальными вещами, особенно с физикой. В методическом плане вопросы изложения элементов геометрии и физики в их действительном слиянии, взаимодополнительно практически не рассматривались.
Методы исследования. Теоретические основы выявлялись преимущественно научно-теоретическими методами. Это прежде всего теоретический анализ проблемы, а также общенаучные методы - обобщение, конкретизация, классификация, дедуктивный метод, сравнительно-сопоставительный анализ и др.
Основными экспериментальными методами исследования являются констатирующий, поисковый и обучающий эксперименты, которые проводились в течение 5 лет. В ходе констатирующего эксперимента массовый срез уровня знаний, умений и навыков студентов, их компетентности в области прикладных аспектов геометрии проведен с помощью таких диагаосггаческих методов как опрос, тестирование, беседа. Тактика поискового эксперимента определялась методами педагогического наблюдения, самооценки, анализа деятельности. Эффективность обучающего эксперимента обосновывалась сравнительно-сопоставительным методом. Для обработки полученных в ходе обучающего эксперимента данных использовались количественные и качественные методы. Обобщение, объяснение полученных фактов, их взаимосвязей производились с помощью логической дедукции.
Основные этапы исследования. 1997-98 гг. Установление исходных фактов исследования, осознание его замысла, разработка его методического аппарата, выявление отсутствия систематичности в изложении вопросов взаимосвязи геометрии и физики.
1998-99 гг. Разработка структуры и содержания реализации принципа дополнительности геометрии и физики в обучении. Проведение обучающего эксперимента. Работа над учебным пособием [199].
1999-2001 гг. Публикация учебного пособия [199]. Проведение заключительной фазы обучающего эксперимента - контролирующего эксперимента, сравнительно-сопоставительный анализ итогов обучающего эксперимента, выявление эффективности реализации принципа дополнительности геометрии и физики. Публикация монографии [198]. Систематизация, теоретическое обоснование и оформление результатов исследования в виде докторской диссертации.
Апробация и внедрение результатов исследования. Результаты исследования докладывались и получили одобрение на постоянно действующих федеральных и региональных конференциях в Москве, Томске, Липецке, Ельце, Усмани. Внедрение научных результатов осуществлялось в процессе публика-
ции учебного пособия [199], монографии [198], статей общим объемом более 30 п.л., а также организации опытно-экспериментальной работы в ЕГУ. Научная новизна исследования состоит в следующем:
уточнено содержание инвариантной составляющей фундаментальных геометрических знаний и умений выпускников педвузов;
предложена концепция реализации принципа дополнительности геометрии и физики как вариативный компонент профессиональной подготовки учителя математики;
разработана система дидактических условий и методических средств, позволяющих рассматривать процессы познания геометрии и физической реальности в условиях традиционной предметной системы профессионального образования как функционально-дополнительные;
разработаны формы и методы осуществления синтеза элементов геометрии и физики в их действительном слиянии, взаимодополнительно;
уточнены содержание и объем понятий геометрии и физики на базе формирования понятия пространственно-временной структуры мира в свете представлений о единстве научного знания;
разработаны методический аппарат и содержательные основы решения проблемы дополнительности геометрии и физики на базе формирования понятия пространственно-временной структуры мира.
Теоретическая значимость настоящего исследования имеет место для дисциплин естественного цикла, - исследование вносит определенный вклад в разработку концепции образования, поиски образовательного поля в различных областях знаний, дебаты по поводу содержания образования.
Осуществляемый нами синтез геометрии и физики в свете представлений о единстве научного знания имеет стремление
- преодолеть существующую в настоящее время чрезмерную дифференциа
цию дисциплин, «разрушить» как бы возведенные между дисциплинами искус
ственные стены, благодаря которым каждая учебная дисциплина рассматривает
только ей присущую сторону действительности, вскрывая свойственные ей связи и отношения в отрыве от других, что противоречит интегративному характеру современного научного знания;
- показать приложение геометрии к задачам естествознания, осуществляя тем
самым целостный подход к процессу профессионально-педагогической подго
товки будущего учителя, дающий возможность рассматривать все явления в
системе, т.е. обеспечивает реализацию дидактического принципа системности в
учебном процессе, его целостность;
- осуществить синтез элементов геометрии и физики в их действительном слия
нии, взаимодополнительно, что соответствует двойственной природе геометри
ческого знания и означает «постижение качественно более высокого уровня
информации, а именно структурной информации науки».
Практическая значимость исследования состоит в проведении эксперимента по осуществлению в процессе профессиональной подготовки учителя математики реализации принципа дополнительности геометрии и физики на базе решения проблемы соотношения геометрии и физической реальности, эффективность которого убедительно подтверждена. Она обеспечена также разработкой и публикацией содержательных, теоретических и методических основ реализации принципа дополнительности [198], [199]. Таким образом, созданные нами методическая и содержательная модели могут быть применены в практике работы любого педвуза.
Достоверность и обоснованность полученных научных результатов гарантированы прежде всего методологическим и методическим инструментарием исследования, адекватным его целям, предмету, задачам, а также отобранным на основе всестороннего анализа современного отечественного педа-гогико-математического образования и перспектив его развития.
Положения и результаты, выносимые на защиту. На защиту выносятся:
теоретическая концепция реализации принципа дополнительности геометрии и физики, практически осуществляемой на базе разработанного спецкурса «Геометрия и теория относительности», являющегося вариативным компонентом профессиональной подготовки учителя математики;
система дидактических условий и методических средств, позволяющих рассматривать процессы познания геометрии и физической реальности в условиях традиционной предметной системы профессионального образования как функционально-дополнительные;
формы и методы осуществления синтеза элементов геометрии и физики в их действительном слиянии, взаимодополнительно;
уточненные содержание и объем понятий геометрии и физики на базе формирования понятия пространственно-временной структуры мира в свете представлений о единстве научного знания;
методический аппарат и содержательные основы решения проблемы дополнительности геометрии и физики на базе формирования понятия пространственно-временной структуры мира;
результаты педагогического эксперимента по внедрению в процесс обучения геометрии спецкурса «Геометрия и теория относительности», практически реализующего принцип дополнительности геометрии и физики.
Краткая характеристика основных положений и результатов исследования.
1. Для современного развития высшего математического образования в педвузах характерно доминирование формально-логической составляющей, преобладание детализирующих аналитических методов в противовес первосиг-нальным компонентам знания - механизмам симультанного мышления, ускоренной переработки информации. В свете актуальных требований для успешного обучения математике наряду с этим необходимо также развивать умение создавать целсютный, логически обработанный, отвлеченный образ реальных объектов (но не естественных вещей, как у гуманитариев), разрабатывать новые методы преподавания с учетом образного типа переработки информации.
Преодоление разрыва между традиционной системой подготовки учителя математики и актуальными требованиями обусловливает необходимость реализации принципа дополнительности в обучении на базе решения проблемы дополнительности геометрии и физики, которая способствует разрешению накопившихся противоречий.
2. Концептуальные основы реализации принципа дополнительности вбирают в себя следующие взаимосвязанные подходы к обучению:
совместное и одновременное изучение дихотомических пар методов - индуктивного и дедуктивного; конструктивного и аксиоматического; рационального и чувственного; априорного и апостериорного;
обеспечение единства определений понятий геометрии и физики друг через друга, в их действительном слиянии, взаимодополнительно;
выявление сложной двойственной природы математического знания, достижение системности знаний на примере роли аксиоматически строящейся геометрии в конструктивном познании об устройстве реального мира;
реализация принципа дополнительности геометрии и физики в обучении, обеспечивающая достижение понимания в результате межкодовых переходов между образным и логическим в мышлении, между сознательным и подсознательным компонентами, интуицией и логикой.
При этом создаются условия для проявления фундаментальных закономерностей мышления:
закона единства и борьбы противоположностей;
взаимопроникновения и расхождения аксиоматической и конструктивной процедур, ассоциативно-образного и логического компонентов;
перемежающегося противопоставления контрастных раздражителей (И.П. Павлов);
принципа обратных связей, системности и цикличности процессов (П.К. Анохин), обратимости операций (Ж. Пиаже).
Уровень усвоения студентами вербально, формально-логически определенных геометрических понятий, соответствующих системе представлений, базирующихся на теоретических абстракциях, требующих ориентации не в реальном физическим, а в абстрактном математическом пространстве, чрезвычайно низок. Методологические познания о материалистических корнях геометрии, о роли ее в конструктивном познании теории реального мира практически отсутствуют. Все это диктует необходимость реализации принципа дополнительности в процессе профессиональной подготовки учителя математики.
Предложенная нами идея реализации принципа дополнительности в обучении посредством созвучной ему концепции дополнительности геометрии и физики научно обоснована и органично встроена в систему университетского педагогико-математического образования, представляет собой системообразующий вариативный его компонент. Она выполняет важнейшие интеграционные функции, позволяет рассматривать учебный предмет «Геометрия» как систему видов учебно-познавательной деятельности, инвариантным содержанием которых выступает упорядоченное знание об определенных аспектах действительности, подчеркивая тем самым гносеологический аспект рассмотрения, выступает в качестве значимого фактора развития образного ассоциативного мышления.
Реализация принципа дополнительности в процессе подготовки учителей математики включает в себя содержательный и методический компоненты. Базисом содержательного компонента является разработанный нами вариативный курс «Геометрия и теория относительности». Основы методического компонента определяются вьщеленными нами особенностями двух типов восприятия.
Реализация принципа дополнительности опирается как на вербально-логические, так и на итуитивные правополушарные представления о реальном пространстве и создает условия для единой линии развития понимания пространства, а также для исследований психологических механизмов перехода от реального к математическому пространству, функциональной двойственности
процессов познания идеальных геометрических пространств и теории реального мира.
7. Разработанные нами теория и методика реализации принципа дополни
тельности в обучении на базе решения проблемы соотношения геометрии и фи
зической реальности показали свою эффективность, обеспечив высокую дина
мику роста знаний, умений и навыков студентов, их компетентности в области
прикладных аспектов геометрии, приложения ее к задачам естествознания и
получив высокую оценку влияния на различные параметры профессиональной
подготовки будущих учителей математики, в том числе на обеспечение
возможности построения достаточно детализированной и одновременно целостной картины многообразия применения разделов математического знания;
формирования адекватных аксиологических ориентации в сфере определенной системы взглядов на научную картину мира;
формирования когнитивных ориентиров деятельности, компетентности.
8. Идейное и концептуальное единство разработанных нами содержания и
методического аппарата обеспечило целостность внедрения концепции допол
нительности геометрии и физики в практику работы математического отделе
ния физико-математического факультета Елецкого государственного универси
тета им. И.А.Бунина.
Структура исследования. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложений.
Проблема наглядной образности в обучении геометрии
В настоящее время особенно остро стоит проблема повышения качества подготовки будущих учителей математики к преподаванию школьного курса геометрии. Совершенно очевидно, что геометрия как учебный предмет имеет приоритет в развитии пространственного мышления как разновидности образного;, в формировании умений и навыков расслокдать и доказывать, которые являются базой для изучения других предметов и необходимы любому человеку в повседневной жизни. Однако дело с обучением геометрии в общеобразовательных учреждениях, и особенно в педвузах, сейчас обстоит не совсем благополучно. Отмена обязательного выпускного экзамена в школе, сокращение количества учебных часов в школе и в педвузе (объем часов в педвузе сокращен почти в два раза!) привело к резкому снижению уровня математической и общей культуры выпускников, развития их пространственного и логического мышления.
Всякому преподавателю высшей педагогической школы хорошо знакома проблема: кого готовят в университете - учителей, которые могут преподавать математику, или математиков, которые могут работать учителями? Очевидно, что этот вопрос, сама постановка которого схоластическая, требует диалектического разрешения: необходимо готовить хороших математиков, умеющих хорошо преподавать. Однако на практике в процессе профессиональной подготовки учителя всегда происходит перекос в какую-либо крайность.
С этой точки зрения попытаемся проанализировать основные проблемы геометрической подготовки будущего учителя математики, являющейся одним из инвариантных компонентов профессиональной подготовки в педвузе. Опыт работы в вузе, анализ учебной программы курса геометрии, соответствующих пособий для студентов математических факультетов педвузов (А. Д. Александрова и Н.Ю.Нецветаева, Л.С.Атанасяна и В.Т.Базылева, А.В.Погорелова) позволяет нам выделить ряд объединяющих общих принципов геометрической подготовки будущего учителя математики:
1) При современном понимании предмета геометрии и строгости изложения имеет место излишняя формализация педвузовского курса геометрии, которая не способствует профессиональной подготовке учителя.
2) В основном преподавание геометрии ориентировано на обеспечение фундаментальной подготовки учителя и реализует в полной мере соответствующие цели:
- понимание основных идей, понятий, теорий и методов геометрии;
- формирование представлений о геометрии как о науке;
- знание структурной и групповой точек зрения на геометрию.
3) Недостаточно реализуются цели, обусловленные прикладной направ ленностью подготовки учителя:
- демонстрация практических приложений геометрии в науке, технике, искус
стве, архитектуре и т.п.;
- обучение созданию и использованию геометрических моделей при решении практических задач, прогнозированию явлений;
- развитие конструктивного, наглядно-образного мышления;
- обеспечение междисциплинарного подхода,
4) а также цели, обусловленные профессиональной направленностью подготовки учителя и потребностями школьного курса геометрии:
- приведение в систему знаний школьного курса геометрии;
- освещение школьного курса геометрии с более общей точки зрения;
- приложение полученных знаний и умений к доказательству теорем и решению задач школьного курса геометрии;
- овладение методикой обучения решению геометрических задач и методикой формирования приемов мыслительной деятельности учащихся.
Итак, в процессе геометрической подготовки будущего учителя математики, на наш взгляд, имеет место перекос в сторону фундаментальной подготовки. Недостаточная ориентация на профессиональную направленность делает необходимым при построении систематического курса геометрии в педвузе обращение к проблемам школьного геометрического образования.
Как известно, основное содержание школьного курса геометрии имеет своими истоками «Начала» Евклида и сохраняется стабильным примерно 200 лет. Однако характерная для конца XX в. «математическая экспансия» - вторжение математики в самые различные области знания - привела к проблеме необходимости усиления математической подготовки школьников, которая вызвала к жизни широкое международное движение за модернизацию учебных планов, программ и период серьезных реформ, затрагивающих интересы учащихся, их родителей, учителей, преподавателей вузов и др. При этом, если общее направление преподавания курса алгебры средней школы в общих чертах всегда представлялось довольно ясным, то пути перестройки школьного курса геометрии по сей день остаются недостаточно определенными.
Методологический смысл взаимосвязи геометрических и физических понятий
В разработанном нами спецкурсе "Геометрия и теория относительности !0 ], реализуя принцип дополнительности и используя дихотомические противоположности - конструктивный и аксиоматический методы, взаимодополняющие друг друга, мы показываем, что пространственно-временной континуум специальной теории относительности является моделью математической структуры четырехмерного псевдоевклидова пространства Таким образом, речь идет об интерпретации понятий аксиоматической геометрии с помощью реальных объектов нашего опыта, а также об экспликации физических понятий геометрическими формализмами, что соответствует классическим идеям «дополнительности геометрии и физики», а также «геометризации физики», поставленным и проанализированным А,Эйнштейном в теории относительности.
Обычные евклидовы соотношения, относящиеся к пространству-времени, при измерении времени особыми единицами, дающими основание назвать эти соотношения псевдоевклидовыми, то есть четырехмерные соотношения, аналогичные евклидовым, становятся физическим описанием действительности. Четырехмерная «мировая точка» соответствует событию - пребыванию частицы в данной пространственной точке в данный момент времени. Четырехмерная линия - «мировая линия», совокупность всех мировых точек, соответствует движению частицы. Такова точка зрения специальной теории относительности. Исчерпывают ли «мировые точки» и «мировые линии» физическое описание реальности? Другими словами, соответствует ли псевдоевклидова геометрия пространству реального физического мира? Отрицательный ответ на этот вопрос дает общая теория относительности.
Таким образом, специальная теория относительности придала физический смысл числу измерений пространства, а общая теория относительности придала конкретный физический смысл геометрической аксиоматике, различию между евклидовой и неевклидовой геометриями.
Как уже отмечалось, в настоящем исследовании речь идет об интерпретации понятий аксиоматической геометрии с помощью реальных объектов нашего опыта, а также об экспликации физических понятий геометрическими формализмами. Так, мы мыслим реальный мир событий как содержательную модель структуры псевдоевклидова пространства Минковского ЛЕА индекса к = 1. В то же время материальный четырехмерный мир прсютранственно-временных точек мы рассматриваем как геометрическое пространство Клейна, характеризуемое группой Г евклидовых преобразований подобия. «Смысл геометрии в понимании Клейна - это не что иное, как теория относительности в ее наиболее общем, формализованном варианте» [60, с. 269].
Итак, в контексте принципов дополнительности и двойственности геометрию можно понимать двояко: конструктивно и аксиоматически, наглядно содержательно и формально логически, апостериорно и априорно, как физику и как математику одновременно. Все геометрические понятия и положения отражают материальную действительность, законы материального мира (то есть имеют апостериорный характер). В то же время их «идеальный» (априорный) характер проявляется в отвлечении (абстрагировании) от несущественных в данной связи свойств, что приводит к приближенному, упрощенному, схематизированному воспроизведению материальной действительности. Благодаря такому отвлечению от реальных усложняющих обстоятельств физической материи «чистая» геометрия приобретает стройность и законченность. В то же время именно в силу своего абстрактного, «идеального» характера она лишь приближенно отражает свойства материального мира и имеет ограниченную применимость к его исследованию.
Здесь естественным образом возникает вопрос, какие стороны материальной действительности отбрасываются в процессе абстрагирования геометрии. К ним, прежде всего, относятся основные понятия кинематики: время, материальные массы, движение материальных масс во времени. Вводя в рассмотрение эти игнорируемые в геометрии механические понятия, мы тем самым приближаем ее к механике, придаем «чистой» геометрии наглядно-содержательный физический смысл. Такой подход, основанный на внедрении механики в геометрию, позволит в какой-то мере сгладить противоречие между необходимостью в наглядно-содержательном изложении материала для будущих учителей математики и излишней алгебраизацией вузовского курса геометрии, построенного на основе аксиоматики Вейля. Следуя основным принципам аксиоматического метода в теоретико-множественном понимании и структурной точке зрения на геометрию, мы, благодаря физическим «картинкам», в то же время придаем ей наглядно-содержательный эмпирический смысл.
Формирование научного понятия пространства на основе единства представлений о пространстве реальном и математическом
В настоящее время науки сильно дифференцировались, между дисциплинами как бы возведены искусственные стены, что мешает представлению у студентов о единстве научных знаний, о связи между наукой и практикой. Между тем, важно научить студентов видеть в понятиях математики и ее результатах абстракции реальных отношений между вещами окружающего нас мира. Все это противоречит существующей в настоящее время тенденции к чрезмерной формализации, абстрактности и логическому совершенству изложения материала в ущерб доступности и наглядности, раскрытию связей с задачами естествознания. Вот почему мы считаем целесообразным в число основных задач обучения геометрии в педвузе включить следующие.
1 .Формирование представлений о единстве пространства реального и пространства математического на основе аналогии между преобразованиями подобия (движения) евклидова геометрического пространства и классическими преобразованиями физического прсютранства-времени; преобразованиями движения псевдоевклидова пространства Минковского и преобразованиями Лоренца пространства-времени СТО; гомеоморфизмами псевдориманового пространства в геометрии и движениями пространственно-временного континуума ОТО.
2.Формирование представлений о реальном мире событий как о четырехмерном пространственно-временном континууме.
3.Формирование умения мыслить в терминах причинной структуры, которая, в противоположность привычной временной структуре, не означает разбиение Вселенной на временные слои t=const.
4.Формирование представлений о групповом подходе Клейна как о связующем звене геометрии и теории относительности.
5. Формирование представлений об основных фактах римановой геометрии и роли ее в построении теории реального физического пространства.
Научные теоретические понятия, как физические, так и математические, относятся к идеальным объектам. Идеальные объекты в отличие от реальных характеризуются не бесконечным, а вполне определенным числом свойств. В процессе абстрагирования все остальные свойства отбрасываются.
Так, материальные точки обладают лишь массой и возможностью располагаться в прскпранстве и во времени, а геометрические точки - только лишь возможностью располагаться в пространстве.
Известно, что соответствующие идеальным объектам математические понятия (в отличие от физических, также сскэтветствуюгцих идеальным объектам) не только не существуют в природе, но и не имеют прообразов - явлений или вещей, к которым они относятся.1
В реальном мире нет предметов, сосптаетствующих таким понятиям, как геометрическая точка, прямая, плоскость. Эти понятия являются абстракциями от точек, линий и поверхностей, с которыми мы встречаемся в практической деятельности.
Понятие геометрического пространства также является чисто математической абстракцией, не связанной с физической реальностью. В реальном мире нет геометрического пространства. Единственно реально существующее пространство - это пространство материального физического мира, изучение всех свойств которого по современным понятиям относится к физике.
В науке термин «пространство» имеет два смысла - пространства реального (физического) и пространства абстрактного (математического). До второй половины XIX в. трехмерное евклидово пространство считалось единственно возможным и соответствующим пространству реального физического мира.
И.Кант утверждал, что евклидова геометрия априорна. Только в свете открытия Я.Бояйи, Н.И. Лобачевским, К.Га}івсом неевклидовой геометрии такая ориентация Канта стала представляться наивной. Рухнул фундамент здания кантовской философии, основанной на представлениях об априорности евклидовой геометрии (и математики). Новые геометрические представления о пространстве не укладывались не только в прежние концепции, но и в прежнюю систему геометрических понятий. Возникли понятия кривизны пространства и многие другие.
Кардинальные изменения геометрических представлений о пространстве связаны с именем Б.Римана: им были введены в рассмотрение так называемые римановы пространства, а также многомерные евклидовы пространства.
Многомерная геометрия стала бурно развиваться после того, как были найдены многочисленные ее применения в физике. Так, например, движение системы молекул стали рассматривать как изменение положения точки в фазовом пространстве этой системы.1
Понятно, что в реальном мире (в природе) нет фазовых пространств, существует лишь система молекул с присущими ей изменениями координат молекул и компонент скоростей. Но для описания их совокупного движения использование понятия фазового пространства оказалось геометрически наглядным и позволило получить ряд интересных закономерностей.
