Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Теоретические основы изучения функционального материала в общеобразовательной школе 13
1.1. Понятие «функция» в науке и в школьной практике 13
1.2. Различные методические подходы к формированию понятия функция в современном школьном курсе алгебры 20
1.3. Дидактические условия реализации функциональной пропедевтики в 5-6 классах 27
Выводы по первой главе - 36
Глава 2. Учебные задания как средство организации деятельности учащихся 5 6 классов, направленной на подготовку к формированию понятия функции 38
2.1. Учебные задания, направленные на формирование функциональных представлений у учащихся 5-6 классов 38
2.2. Формирование функциональных представлений у учащихся при решении задач на прямую и обратную пропорциональные зависимости 48
2.3. Подготовка учащихся 6 класса к изучению понятия функции при изучении тем «Отношение», «Пропорции» и «Координатная плоскость» 61
Выводы по второй главе 82
Глава 3. Организация и результаты экспериментального исследования 85
3.1. Цели экспериментальной работы 85
3.2. Сравнительный эксперимент в 6 классах 86
3.3. Сравнительный эксперимент в 7-8 классах 101
Выводы по третьей главе 113
Заключение 115
Список литературы 117
- Различные методические подходы к формированию понятия функция в современном школьном курсе алгебры
- Учебные задания, направленные на формирование функциональных представлений у учащихся 5-6 классов
- Подготовка учащихся 6 класса к изучению понятия функции при изучении тем «Отношение», «Пропорции» и «Координатная плоскость»
- Сравнительный эксперимент в 6 классах
Введение к работе
Актуальность исследования. Основные тенденции развития современного школьного образования находят свое выражение в идеях гуманизации, гуманитаризации, деятельностного и личностно-ориентированного подхода к организации учебного процесса. В русле этих тенденций изменяет свои цели и математическое образование.
В качестве основополагающего принципа учебного предмета «Математика» в общеобразовательной школе выдвигается принцип приоритета развивающей функции обучения. «В соответствии с этим принципом главной задачей обучения математике становится общеинтеллектуальное развитие - формирование у учащихся в процессе изучения математики качеств мышления, необходимых для полноценного функционирования человека в современном обществе, для динамичной адаптации человека к этому обществу»1.
Не утратила своей актуальности и цель сохранить фундаментальность российского образования. В концепции модернизации российского образования на период до 2010 года сказано, что «...фундаментальным понятием школьной математики, составляющим основу ее практических приложений, является понятие функции. Идея функциональной зависимости - основополагающая для понимания и изучения процессов и явлений, происходящих в природе и обществе»2.
На современном этапе развития школьного образования с понятием функции учащиеся встречаются в курсе алгебры и поэтому не случайно предметом диссертационных исследований стали: процесс формирования функциональных умений и навыков у учащихся в курсе алгебры средней школы (М.В.Ткачева, 1987), сопоставление функциональной и алгоритмической линий с целью совершенствования методики изучения материала функциональной линии (Е.К. Попова, 1990), графические умения и навыки (Л.М. Савинцева, 1992), применение компьютерных технологий к изучению функций (М.Е. Степанов, 1994, Е.В. Никольский, 2000), система изучения функций, их свойств и графиков в условиях личностно-ориентированного обучения (Л.В. Тихонова, 2002), дифференцированный подход при формировании понятия функции (И.В. Антонова, 2004), разработка методики модульного изучения функциональной линии (О.В. Мишенина, 2004).
Анализ школьной практики позволяет констатировать, что учащиеся формально усваивают определение понятия функции, не имеют целостного представления о функциональной зависимости, т.е. не могут применить свои знания к решению математических и практических задач; связывают функцию исключительно с аналитическим выражением, в котором переменная у выражается через переменную х; не могут интерпретировать
Дорофеев Г. В. Гуманитарно-ориентированный курс - основа учебного предмета «Математика» в общеобразовательной школе // Математика в школе. - 1997. - №4. - С.59-66, с. 59.
2 Концепция модернизации российского образования на период до 2010 года: Приказ Министерства /
образования РФ от 11.02. 2002 № 393 // Вестник. - 2002. - № 6. - С. 11-40. /
представления о функции на различных моделях; затрудняются при построении графиков функций по ее свойствам и т.д.
Можно предположить, что причины этих трудностей связаны не только и не столько с методикой изучения функционального материала в курсе алгебры, сколько с неподготовленностью мышления учащихся к восприятию и усвоению понятия «функция». А это значит, что до введения понятия «функция» необходимо вести работу по формированию навыков функционального мышления, чтобы «в момент, когда общая идея функциональной зависимости должна будет войти в сознание учащихся, это сознание было достаточно подготовлено к предметному и действенному, а не только к формальному восприятию нового понятия и связанных с ним представлений и навыков» (А.Я. Хинчин)3.
Обосновывая основные положения авторской концепции курса алгебры, А.Г. Мордкович пишет: «Сложное математическое понятие (.. .такое, как функция...) следует вводить при выполнении двух условий:
1) у учащихся накопился достаточный опыт для адекватного
восприятия вводимого понятия - опыт, содействующий пониманию всех
слов, содержащихся в определении (вербальный опыт) и опыт использования
понятия на наглядно-интуитивном и рабочем уровнях (генетический опыт);
2) у школьников появилась потребность в формальном определении
понятия»4.
Мы полагаем, что методическая реализация первого условия может начинаться не в курсе алгебры, а значительно раньше, до знакомства учащихся с понятием «функция», то есть в курсе математики 1-6 классов. Конечно, при этом необходимо учитывать возрастные особенности учащихся, тот программный материал, который изучается в этих классах, а также делать это «совершенно непринужденно, исподволь, не обременяя детского сознания непосильными ему абстракциями, и в то же время настойчиво, планомерно и повседневно вести формирование навыков функционального мышления»5.
В числе исследований, посвященных функциональной пропедевтике в начальных классах, можно назвать диссертации М.А. Байтовой (1961), Л.Г. Петерсон (1985), Е.Д. Цыдыповой (1994). В работе М.А. Байтовой исследовалось формирование представления о функциональной зависимости у младших школьников в процессе решения определенных типов задач на прямую и обратную пропорциональные зависимости, позволяющих на конкретном материале рассматривать идею соответствия путем раскрытия существующих связей и зависимостей без использования специальной терминологии, относящейся к понятию функции.
Л.Г. Петерсон предлагала начать формирование понятия функции с построения моделей функциональной зависимости в третьем классе при решении задач на движение.
3 Хинчин А.Я. Основные понятия математики и математические определения. - М.: Учпедгиз, 1940, с.38.
4 Мордкович А.Г. Алгебра 7-9 кл.: методическое пособие для учителя. - 3-е изд. - М.: Мнемозина, 2004, с. 5.
5 Хинчин А.Я. Основные понятия математики и математические определения. - M.: Учпедгиз, 1940, с. 37.
Особый интерес с точки зрения нашего исследования представляет диссертация Е.Д. Цыдыповой, в которой функциональная пропедевтика направлена на формирование у детей 1-4 классов представлений об изменении, соответствии, закономерностях и зависимостях.
Приоритет в современном математическом образовании деятельностного метода, его направленность на развитие интуиции, логического мышления, на способность учащихся применять знания и умения в практической деятельности создают условия для продолжения этой работы в курсе математики 5-6 классов, предметное содержание которых включает такие понятия как «прямая и обратная пропорциональная зависимости», «координатная плоскость», «график» и т.д.
По отношению к 5-6 классам исследований, связанных с подготовкой учащихся к формированию понятия «функция», не проводилось, хотя это представляет научный интерес как с точки зрения проблемы преемственности, так и с точки зрения предметного содержания курсов пятого и шестого классов.
Это обусловило выбор темы диссертационного исследования, актуальность которой определяется:
модернизацией математического образования на современном этапе развития школы;
недостаточной разработанностью способов организации деятельности учащихся 5-6 классов, направленной на подготовку к формированию понятия «функция»;
потребностью школьной практики в преемственности различных этапов школьного математического образования.
Проблема исследования заключается в поиске средств и способов организации учебной деятельности учащихся 5-6 классов, направленной на подготовку к восприятию и усвоению понятия «функция».
Объект исследования - процесс обучения математике в 5-6 классах.
Предмет исследования - средства и способы организации учебной деятельности учащихся, направленной на подготовку к формированию понятия функции в процессе обучения математике в 5-6 классах.
Целью исследования является разработка учебных заданий, включение которых в процесс обучения математике учащихся 5-6 классов, обеспечит их подготовку к восприятию и усвоению понятия функции в курсе алгебры.
Гипотеза исследования. Если разработать учебные задания, нацеленные на развитие функционального мышления школьников, и систематически их использовать в процессе усвоения программного содержания курса математики 5-6 классов, то это позволит повысить качество усвоения понятия «функция» в курсе алгебры средней школы.
Для достижения поставленной цели и проверки гипотезы необходимо решить следующие задачи:
1. Выявить состояние проблемы изучения функционального материала в
теории и практике обучения математике.
Выявить и обосновать дидактические условия, при которых возможно организовать деятельность учащихся 5-6 классов, направленную на подготовку к формированию понятия функции.
Выделить виды учебных заданий, способствующих формированию функциональных представлений и понятий, необходимых для усвоения и восприятия понятия «функция».
Провести педагогический эксперимент с целью проверки гипотезы исследования.
Методологическую основу диссертационного исследования составили системный подход, принцип ведущей роли обучения в развитии, теория поэтапного формирования умственных действий (П.Я. Гальперин, Н.Ф.Талызина), теория о структуре учебной деятельности (Д.Б. Эльконин, В.В. Давыдов), методическая концепция развивающего обучения математике в 1-6 классах (Н.Б.Истомина), современные представления о развитии когнитивных структур (Н.И.Чуприкова).
Для решения поставленных задач использовались следующие методы исследования:
теоретические: анализ психолого-педагогической, дидактической, методической, научно-методической литературы и документов по проблемам модернизации школьного образования; анализ изучения функционального материала в теории и практике обучения математике.
экспериментальные: анкетирование, тестирование, наблюдение, беседы с учителями и учащимися, констатирующий, формирующий и сравнительный педагогические эксперименты, экспериментальное преподавание (организация учебной деятельности учащихся 5-6 классов, направленной на подготовку к формированию понятия функции посредством учебных заданий), статистические методы интерпретации данных педагогического эксперимента.
Организация исследования. Исследование проводилось с 2003 года по 2009 год и включало три этапа.
На первом этапе (2003-2004 гг.) анализировалась психолого-педагогическая литература по проблемам развития мышления, осуществлялся анализ программ и учебников для 5-6 классов с точки зрения возможности организации деятельности учащихся, направленной на подготовку к формированию понятия функции.
На втором этапе (2005-2008 гг.) выявлялись условия, в которых возможно организовать деятельность учащихся 5-6 классов, направленную на подготовку к формированию понятия функции, разрабатывались виды заданий, способствующих формированию у учащихся 5-6 классов функциональных представлений и понятий, необходимых для восприятия и усвоения понятия «функция»; проводились формирующий и сравнительный эксперименты, в процессе которых проверялась эффективность учебной деятельности учащихся 5-6 классов, направленной на подготовку к формированию понятия функции посредством учебных заданий.
На третьем этапе (2009 г.) анализировались полученные результаты, проводилась статистическая обработка результатов эксперимента, выполнялось оформление диссертационного исследования.
Научная новизна проведенного исследования состоит в том, что:
1. Выявлены, теоретически обоснованы и экспериментально проверены
дидактические условия эффективной подготовки учащихся к восприятию
и усвоению понятия функции в курсе математики 5-6 классов:
наличие в курсе математики идей, непосредственно связанных с
функциональными представлениями, таких как идея изменения,
соответствия, закономерности и зависимости;
наличие в содержании курса математики понятий, необходимых для
осознанного усвоения понятия функции;
создание проблемных ситуаций в процессе усвоения программного
содержания;
систематическое использование различных моделей (предметной,
вербальной, символической, схематической и графической);
использование учебных заданий, в основу которых положены приемы
выбора, сравнения, преобразования и конструирования;
организация целенаправленного наблюдения, сравнения, анализа и
обобщения в процессе выполнения учебных заданий.
2. Разработаны ситуационные задачи для оценки сформированности
функциональных умений.
Теоретическая значимость исследования заключается в том, что:
Определены виды заданий в курсе математики 5-6 классов, способствующие формированию функциональных представлений и понятий, необходимых для восприятия и усвоения понятия «функция» (на тождественные преобразования числовых выражений (равенств) на основе смысла арифметического действия; на соотнесение предметной модели с числовым выражением (равенством); на соотнесение предметной, графической и символической моделей; на выявление закономерности; на установление соответствия между символическими моделями; на конструирование символической модели по заданной вербальной модели; на выбор символической модели, соответствующей вербальной модели; на конструирование числовых равенств по заданным условиям; на установление соответствия между символической и графической моделью; на выбор графической модели соответствующей символической модели; на преобразование на плоскости; на конструирование графической модели, соответствующей символической модели и т.д.).
Выявлены основные характеристики заданий, направленных на подготовку учащихся к восприятию и усвоению понятия функции (вариативность, неоднозначность решений, нацеленность на формирование приемов умственной деятельности (таких, как анализ и синтез, сравнение, аналогия, классификация и обобщение), отображение разнообразных закономерностей и зависимостей, включенность их в содержательную линию курса математики 5-6 классов).
Практическая значимость исследования заключается в том, что разработанные виды учебных заданий и ситуационные задачи могут быть использованы для совершенствования учебников математики для 5-6 классов, а также для совершенствования методической подготовки студентов педвузов, педколледжей, учителей школ.
Обоснованность и достоверность полученных в диссертационном исследовании результатов и выводов обеспечивается методами исследования, адекватных задачам.
Апробация и внедрение результатов исследования. Основные положения диссертационного исследования обсуждались на заседаниях кафедры теории и методики начального образования Московского государственного гуманитарного университета им. М.А. Шолохова, научно-методических семинарах кафедры методики начального обучения Благовещенского государственного педагогического университета, на городских семинарах учителей математики г. Благовещенска, а также на региональных научно-методических конференциях преподавателей и студентов БГПУ (март 2005 г., март 2006 г., март 2007 г., март 2008 г.), Всероссийской научно-практической конференции (Биробиджан, апрель 2006 г.).
На защиту выносятся следующие положения:
Для организации учебной деятельности учащихся 5-6 классов, направленной на эффективную подготовку к формированию понятия функции должны выполняться следующие дидактические условия: наличие в курсе математики идей, непосредственно связанных с функциональными представлениями, таких как идея изменения, соответствия, закономерности и зависимости; наличие в содержании курса математики понятий, необходимых для осознанного усвоения понятия функции; создание проблемных ситуаций в процессе усвоения программного содержания; систематическое использование различных моделей (предметной, вербальной, символической, схематической и графической); использование учебных заданий, в основу которых положены приемы выбора, сравнения, преобразования и конструирования; организация целенаправленного наблюдения, сравнения, анализа и обобщения в процессе выполнения учебных заданий.
Для организации деятельности учащихся, направленной на формирование функциональных представлений и понятий, необходимых для восприятия и усвоения понятия «функция», целесообразно использовать учебные задания следующих видов: задания на тождественные преобразования числовых выражений (равенств) на основе смысла арифметического действия; на соотнесение предметной модели с числовым выражением (равенством); на соотнесение предметной, графической и символической моделей; на выявление закономерности; на установление соответствия между символическими моделями; на конструирование графической модели по заданной графической модели; на конструирование символической модели по заданной вербальной модели; на выбор
символической модели, соответствующей вербальной модели; на конструирование числовых равенств по заданным условиям; на установление соответствия между символической и графической моделью; на выбор графической модели соответствующей символической модели; на преобразование на плоскости; на конструирование графической модели, соответствующей символической модели и т.д.
Учебные задания, способствующие формированию функциональных представлений и понятий, необходимых для осознанного усвоения понятия функции, должны характеризоваться: 1) вариативностью; 2) неоднозначностью решений; 3) нацеленностью на формирование приемов умственной деятельности (таких, как анализ и синтез, сравнение, аналогия, классификация и обобщение); 4) отображением разнообразных закономерностей и зависимостей; 5) включенностью их в содержательную линию курса математики 5-6 классов.
Для оценки сформированности функциональных умений целесообразно использовать ситуационные задачи.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы.
Различные методические подходы к формированию понятия функция в современном школьном курсе алгебры
Формирование понятий - сложный психологический процесс, включающий следующие этапы: перцепт (образ восприятия); представление (вторичный образ. — создается в отсутствие наглядной основы); предпонятие (образный концепт, обобщенное представление, концепт, образ-понятие, «система» представлений); понятие; систему понятий (теория) [92, с. 117]: Каждый из этих этапов подчиняется определенным психологическим закономерностям, которые являются основой выделения условий организации деятельности при изучении математики.
Ощущение и восприятие возникают при непосредственном воздействии объектов на субъект. Представление же не связано с непосредственным воздействием предметов на наши органы чувств, поэтому представление отличается от восприятия значительно меньшей степенью ясности и отчетливости. Но различие между восприятием и представлением не сводится только к этому. Представление не является воспроизведением каждого единичного восприятия. По сравнению с восприятием представление является качественно новым образованием [104, с. 33].
Представлением называют вторичный образ предмета или явления. Он возникает у человека в основном благодаря ощущениям и восприятию. Но в отличие от образов ощущений и восприятий, т.е. непосредственных результатов этих процессов, образ представления может быть отсрочен во времени и пространстве от ощущения и восприятия. Образ представления как бы извлекается человеком из памяти, для того, чтобы что-то представить, нам не надо непосредственно видеть какой-то предмет. Другая группа представлений создается при помощи воссоздающего воображения. Такие представления возникают в результате преобразования имеющихся в памяти человека образов. Образ представления в этом случае создается при помощи словесной инструкции или демонстрации каких-либо действий или образов [93, с. 35].
В процессе познания образ обобщается, человек выделяет в нем наиболее важные, существенные элементы, частные и несущественные элементы отбрасываются. Таким образом, постепенно выделяется сама сущность образа. В этом случае в процесс включается мышление и его оперативная единица -понятие. В настоящее время понятие функция рассматривается в разделе «Числовые функции», где формируется и определяется понятие функции, осваиваются способы ее задания, изучаются отдельные виды элементарных функций и их свойства, причем свойства простейших из них (таких, как линейная, квадратичная функции, обратная пропорциональная зависимость, степенная функция) исследуются элементарными средствами в основной школе, а остальных (рациональных, иррациональных и трансцендентных функций) — с использованием средств дифференциального исчисления в старших классах.
Существуют различные подходы к изучению функционального материала, основным их отличием является место изучения понятия «функция» в систематическом курсе алгебры и то, каким образом определяется это понятие. Авторы учебника алгебры: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков и др., которые действуют в школьной практике с 1980 года, знакомят учащихся с понятием «функция» в 7 классе, ограничиваясь приведением нескольких примеров из практики (зависимость площади квадрата от его стороны, пути от времени, температуры от времени суток и т.д.) и формулируют его определение: «Если каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение- зависимой переменной, то такую зависимость называют функциональной зависимостью или функцией» [4, с. 44]. Так же поступают Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др.; после задачи на движение, где используются переменные s и t, формулируется следующее определение: «Зависимость переменной s от t называют функциональной зависимостью, где t - независимая переменная, a s — зависимая переменная или функция» [3, с. 121].
С.А. Теляковский при первом знакомстве с понятием «функция» предлагает определить ее как зависимость одной переменной от другой, т.к. «к этому определению учащиеся более подготовлены своим жизненным опытом и легче его воспринимают» [127, с. 91]. Но, в дальнейшем, «после того, как будут изучены многие конкретные функции ... и накоплен достаточный опыт работы с графиками, можно переходить к определению функции по Лобачевскому и Дирихле, когда каждому значению независимой, переменной х из области определения функции ставится в соответствие значение функции у...Определение функции как соответствия между элементами достаточно произвольных множеств в. школьном курсе не нужно, а для первоначального знакомства с понятием функции онолтросто неприемлемо. Кроме того, ...при . этом фактически происходит сужение самого понятия функции, поскольку в центре внимания оказываются функции, заданные на конечных множествах» [127, с. 91]. С этим можно не согласиться, так как исключение из школьного курса функций, заданных на произвольных множествах, сужает круг рассматриваемых функций до числовых. При этом о функциях, заданных на конечных множествах, как показывает опыт, многие учащиеся далее не имеют представления.
Поиски наиболее эффективных путей изучения функционального материала продолжаются в методике обучения математике и в настоящее время в связи с модернизацией школьного математического образования. Стали появляться альтернативные учебники, в которых, наряду с изменениями к изложению содержания курса алгебры, изменились и подходы к методике формирования понятия функции.
В учебнике СМ. Никольского изучение функционального материала сосредоточено в курсе алгебры 8 класса, где сначала идет повторение и изучение вопросов, связанных с понятием функции, таких, как числовые неравенства, числовые множества, координатная ось, координатная плоскость, график и т.д., а потом дается определение понятия функции через понятие соответствия: «Пусть М есть некоторое множество чисел и пусть каждому х из М в силу некоторого (вполне определенного закона приведено в соответствие (одно) число у, тогда говорят, что у есть функция от х, определенная на множестве М; при этом х называют независимой переменной или аргументом, а у зависимой переменной или функцией от х, множество М - областью определения функции)» [5, с. 18].
Г.В. Дорофеев перестраивает логику всего курса и переносит знакомство школьников с понятием «функция» в курс алгебры 8 класса, для того, чтобы в 7 классе провести работу, подготавливающую учащихся к изучению этого понятия. Впервые понятие функции появляется только в 8 классе, где оно трактуется следующим образом: «Переменную у называют функцией переменной х, если каждому значению х из некоторого числового множества соответствует одно определенное значение переменной у» [81, с. 232].
Автор учебника алгебры А.Г. Мордкович отказывается от определения понятия функции в 7-8 классах, «ограничиваясь описанием, не требующим заучивания» [101, с. 11]. По его мнению, определение функции целесообразно ввести в курсе алгебры 9 класса, когда учащиеся уже накопят достаточный опыт в оперировании этим понятием. В 9 классе А.Г. Мордкович, обобщая все знания о функциях, полученные учащимися в течение предыдущих двух лет изучения курса алгебры, и, определяя понятия закон и числовое множество, формулирует следующее определение: «Если даны числовое множество X и правило f, позволяющее поставить в соответствие каждому элементу х из множества X определенное число у, то говорят, что задана функция у— f (х) с областью определения X; пишут у= f (х), хєХ, при этом переменную х называют независимой переменной или аргументом, а переменную у — зависимой переменной» [99, с. 67].
А.Г. Мордкович наряду с непрерывными включает изучение кусочных функций - функций, заданных разными формулами на разных промежутках. Он считает, что именно кусочные функции являются во многих случаях математическими моделями реальных ситуаций и их использование позволит исключить отождествление учащимися функции исключительно с ее аналитическим заданием, а также готовит учащихся к понятию непрерывности [101, с. 11-12]. Концепция изучения функций А.Г. Мордковича предполагает единообразную структуру изложения материала и создание системы упражнений при изучении любого нового класса функций и включает в себя 6 направлений: 1) графическое решение уравнений; 2) отыскание наибольшего и наименьшего значений функции на заданном промежутке; 3) преобразование графика функции; 4) функциональная символика; 5) кусочные функции; 6) чтение графика функции [101, с. 15].
Учебные задания, направленные на формирование функциональных представлений у учащихся 5-6 классов
В настоящее время при обучении математике стал активно использоваться деятельностный подход, что повлекло за собой изменения в организации учебного процесса. Психологическую основу концепции деятельностного подхода составляет положение: усвоение содержания обучения и развитие ученика происходят не путем передачи ему некоторой информации, а в процессе его собственной активной деятельности. Знания приобретаются и проявляются только в деятельности.
По общему мнению психологов, учебная деятельность является особой формой активности личности, целью и результатом которой является изменение самого себя как субъекта деятельности; а не изменение предмета, с которым действует человек [114, с. 396].
Доминирующими в психологической концепции учебной деятельности является ряд положений:
1. Усвоение знаний и умений происходит в форме учебной деятельности, в процессе которой ученик усваивает теоретические знания.
2. Учебная деятельность является основной и ведущей среди других видов деятельности школьников.
3. Формирование и развитие полноценной учебной деятельности осуществляется при систематическом решении учебных задач.
4. Учебная задача решается посредством учебных действий.
5. Для учебной деятельности характерно ее коллективное выполнение. В коллективной учебной деятельности осуществляется социальное взаимодействие учеников и учителя. Это приводит к усвоению определенных ценностей, понятий и умений, выражающих общезначимые культурные нормы.
6. Учитель организует коллективную учебную деятельность, а затем создает условия для постепенного ее превращения в индивидуальную [33, с.247].
Указанные положения отражаются в структуре учебной деятельности, которая включает следующие компоненты: мотивы, учебные задачи, способы действий, самоконтроль и самооценку.
Ядро учебной деятельности составляет учебная задача и ее решение. Учебная задача выполняет роль обобщенной цели деятельности, она обычно формулируется в виде обобщенного задания. В отличие от конкретно-практической, учебная задача ориентирована на способ получения результата, направлена на усвоение общих способов решения всех конкретно-практических задач данного класса и способствует переносу способа деятельности на новый объект. Учебная задача предполагает не просто усвоение способа действия, но и тех теоретических оснований, на которых строятся способы действия, т.е. усвоение принципов построения знаний. Постановка учебной задачи составляет сущность ориентировочной части деятельности.
Учебные задачи бывают различного характера - частные, локальные, общие и перспективные. Подготовку учащихся к формированию понятия функции можно рассматривать как перспективную учебную задачу. Эта учебная задача решается посредством учебных заданий, направленных на формирование функциональных представлений и понятий, необходимых для формирования понятия функции.
Под функциональными представлениями мы будем понимать те представления, которые в том или ином виде находят отражение в различных определениях понятия «функция» (переменная величина, зависимость, правило, соответствие). Кроме того, эти представления должны быть доступны учащимся 5-6 классов, они должны быть связаны с содержанием курса математики 5-6 классов и- способствовать формированию функционального мышления учащихся.
Учитывая названные условия, мы отнесли к функциональным представлениям следующие: представление об изменении, представление о соответствии, представление о зависимости и представление о правиле (как описании-закономерностей).
Практически в каждой-теме развивающего курса математики 5-6 классов есть материал, который можно использовать для формирования функциональных представлений. Это задания на изменение результата арифметического действия в зависимости от изменения компонентов, на разгадывание правила, по которому построена та или иная последовательность чисел, представление какой-либо информации в виде таблиц, использование координатного луча для иллюстрирования отношений между числами и т.д.
Основным средством формирования функциональных представлений являются учебные задания. Исходя из общей направленности курса на формирование приемов умственной деятельности: анализа, синтеза, сравнения, классификации, обобщения, которые выполняет различные функции в процессе усвоения знаний, умений и навыков и рассматриваются как средства познания, в основу разработки заданий, направленных на формирование функциональных представлений у учащихся- 5-6 классов, были положены приемы выбора, сравнения, преобразования и конструирования.
Использование приема выбора при составлении заданий позволяет осознать сущность формируемых понятий, общих способов действий и содержательную зависимость между ними.
Сравнение - важный способ перехода от созерцания к абстрактному мышлению. В процессе формирования понятий и обобщенных способов действий этот переход осуществляется- путем установления соотношений между предметными, вербальными, графическими и символическими моделями. Прием сравнения лежит в основе: обобщения и систематизации знаний; установлении более глубоких связей ранее изученного материала с новым; поиска общих признаков при формировании понятий; поиска закономерностей.
Прием преобразования лежит в основе осознания детьми причинно-следственных связей между изучаемыми понятиями и обобщенными способами действий, способствует формированию у них умения выполнять различные преобразования с числовым и буквенным материалом.
Использование приема конструирования в процессе выполнения заданий способствует формированию умения самостоятельно устанавливать соответствия между предметными, графическими и символическими моделями, конструировать различные математические модели, переносить усвоенные знания, умения и навыки на область новых знаний.
На основе этих приемов были выделены следующие виды заданий, способствующие формированию функциональных представлений и понятий, необходимых для восприятия понятия «функция» в курсе математики 5-6 классов:
1) задание на тождественные преобразования числовых выражений (равенств) на основе смысла арифметического действия;
2) задание на соотнесение предметной модели с числовым выражением (равенством);
3) задание на соотнесение предметной, графической и символической моделей;
4) задание на выявление закономерности;
5) задание на установление соответствия между символическими моделями;
6) задание на конструирование графической модели по заданной графической модели;
7) задание на конструирование символической модели по заданной вербальной модели;
8) задание на выбор символической модели, соответствующей вербальной модели;
9) задание на конструирование числовых равенств по заданным условиям;
10) задание на установление соответствия между символической и графической моделью;
11) задание на выбор графической модели, соответствующей символической модели;
12) задание на преобразование на плоскости;
13) задание на конструирование графической модели, соответствующей символической модели и т.д.
Подготовка учащихся 6 класса к изучению понятия функции при изучении тем «Отношение», «Пропорции» и «Координатная плоскость»
В курсе математики 5-6 классов изучается ряд понятий (числовые и буквенные выражения, таблицы, шкалы, диаграммы, координатный и числовой луч, решение уравнений, площадь прямоугольника, квадрат числа, формула, проценты, объем, пропорция, масштаб, прямоугольная система координат, координаты точек, примеры графиков и т.д.), которые так или иначе связаны с понятием функции. Среди этих понятий выделим основные, т.е. те, которые необходимы для формирования понятия «функция»: формула, прямая и обратная пропорциональная зависимости, координатная плоскость и график.
Покажем, как организовать деятельность учащихся, направленную на формирование перечисленных понятий при изучении соответствующих тем, через учебные задания.
Такие понятия как «прямая пропорциональная зависимость» и «обратная пропорциональная зависимость» по существу являются функциональными зависимостями, которые изучаются в курсе математики 6 класса в неявном виде. Формируются эти понятия на основе следующих понятий: отношение, масштаб, пропорция. Кроме того, на этом материале конкретизируются те общие представления учащихся, которые были у них сформированы в начальной школе и в 5 классе.
Тема: «Отношения»
В результате изучения темы ученики усваивают смысл понятий «отношение», «масштаб», овладевают умением записывать отношение величин, упрощать отношения, записывать отношения в процентах, а также использовать понятие «отношение» для решения практических задач. Кроме того, содержание этих тем можно использовать для формирования функциональных представлений у учащихся.
Начать формирование понятия «отношение» можно со следующего задания на соотнесение предметной модели с числовым выражением:
Задание 27. Поле прямоугольной формы засадили картофелем.
Пользуясь данной схемой, ответь на вопросы, записав соответствующие выражения.
1. Во сколько раз площадь поля, занятая картофелем, больше площади поля, занятого свеклой?
2. Какую часть площадь, занятая под свеклу, составляет от площади, занятой картофелем?
3. Во сколько раз площадь всего поля больше площади, засаженной свеклой?
4. Во сколько раз площадь всего поля больше площади, засаженной картофелем?
5. Какую часть площадь, засаженная свеклой, составляет от площади всего поля? 6. Какую часть площадь, засаженная картофелем, составляет от площади всего поля?
Если возникнут затруднения, выбери к каждому вопросу соответствующее выражение:
а) 1:4; 6)1:3; в) 4:1; г) 4 : 3; д)3:1.
Чем похожи все выражения? Как они называются?
При выполнении этого задания важно обратить внимание учащихся на то, что участки, засаженные овощами, имеют прямоугольную форму и их площади можно сравнивать. По рисунку несложно установить, что площадь поля, засаженного картофелем в 3 раза больше площади поля, засаженного свеклой. Установив эту зависимость, шестиклассники каждому из вопросов поставят в соответствие предложенные выражения. Так, например, вопросу №1 будет соответствовать выражение д, №2 - б, №3 - в, №4 - г, №5 - а, №6 — 3:4.
Задание 28. Сторона одного квадрата 0,3 дм, другого 1,5 см. Найди отношение длины стороны меньшего квадрата к большему. Будет ли отношение длин сторон квадратов равно отношению их площадей?
Решение этой задачи нужно сначала обсудить устно со всем классом, не выполняя вычислений, выслушав мнение учащихся. Кто-то из них сразу сможет сказать, что отношения длин сторон и площадей квадратов не будут равны, кому-то потребуются вычисления в тетради, но после выяснения этого следует обратить внимание учащихся на то, что зависимость в этих отношениях существует (1:2 и 1:4). Чтобы выяснить, как именно зависят величины, данные в задаче, нужно изменить условие задачи, меняя длины сторон квадратов, таким образом, чтобы их отношение не менялось (например, 0,6 дм и 3 см и т.д.) и, чтобы отношение менялось (например, 0,3 дм и 1 см, т.е. отношение 1:3) и найти отношение площадей для каждого случая. После всех вычислений нужно сделать общий вывод, что если длины сторон квадратов находятся в некотором отношении, то их площади будут относиться как квадраты этих чисел. Замечание: можно рассмотреть случаи, когда длины сторон находятся, например в отношении 2:3, 4:5 и т.д.
Понятие «отношение» двух величин (чисел) используется на практике при выполнении чертежей и макетов предметов, при составлении карт и планов местности, при увеличении или уменьшении различных изображений.
Отношение длины отрезка на карте (плане) или на чертеже к длине соответствующего отрезка на местности или на другом изображении (чертеже) называют масштабом. Задание 29. На чертеже дан отрезок АВ.
Изобрази этот отрезок в масштабе: а) 1 : 2; б) 1 : 4; в) 1 : 12; г) 1 : 24.
Сможешь ли ты изобразить этот отрезок в масштабе 48 : 24? Обращаясь к определению масштаба необходимо выяснить с учащимися, что обозначает каждое число в записи отношения. После этого нужно обсудить с шестиклассниками во сколько раз нужно изменить длину отрезка, чтобы построить его в тетради в соответствии с заданным масштабом (уменьшить в 2, в 4, в 12 и в 24 раза).
Для того, чтобы ответить на последний вопрос задачи нужно проанализировать с учениками в каком отношении находятся числа 48 и 24. Это отношение равно 2, а значит в тетради нужно построить отрезок в два раза больший, чем дан, а он, скорее всего в тетради не уместится. Задание 30. Пользуясь определением масштаба, ответь на вопрос: «На каком чертеже деталь, длина которой 25 см, будет короче, если один чертеж выполнен в масштабе 1:5, а другой в масштабе 1:4?» Для решения этой задачи нужно проанализировать с учащимися как изменится длина изображения детали на чертеже. Пользуясь определением масштаба, они выясняют, что в первом случае она уменьшится в 5 раз, а во втором в 4 раза. Выполнив деление, учащимся не составит труда ответить на вопрос задачи. Задание 31. Определи масштаб чертежа, если отрезок длиной в 2 см изображен на нем в 20 см. Анализируя условие задачи нужно обратить внимание учащихся на то, что изображение на чертеже может быть не только меньше, но и больше оригинала. И для того, чтобы изобразить отрезок, его нужно увеличить в 10 раз, после чего несложно записать отношение 10:1, которое и будет искомым масштабом.
Сравнительный эксперимент в 6 классах
Первый этап сравнительного эксперимента проводился в конце 4 четверти 2006-2007 уч. года. Цель: проверить сформированность у учащихся 6 класса умений, необходимых для введения понятия «функция».
Этот этап сравнительного эксперимента представлял серию срезов. Учащимся экспериментальных и контрольных классов предлагались задания, выполнение которых требовало от учащихся умения: 1) находить значение координат точки в координатной плоскости, 2) строить точку по ее координатам, 3) читать график и 4) строить график по заданным значениям и отвечать на вопросы по заданному графику.
При проведении срезовых работ предлагались следующие задания (приведём один из вариантов)
Как видно из диаграммы, в экспериментальных классах с предложенными заданиями успешно справилось большее количество учащихся, нежели в контрольных. Тем не менее, эти различия несущественны. Это объясняется тем, что и те и другие учащиеся с заданиями, предложенными в контрольной работе, встречались в процессе обучения математике. В качестве одного из показателей эффективности разработанной учебной деятельности, направленной на формирование функциональных представлений и понятий, необходимых для усвоения понятия функции посредством учебных заданий, использовались результаты выполнения заданий, направленных на проверку умений находить значение координат точки в координатной плоскости, строить точку по ее координатам, читать график, строить график по заданным значениям и отвечать на вопросы по заданному графику. Выполнение работы каждым учащимся оценивалось следующим образом: за каждое верно выполненное задание начислялось от 4 до 11 баллов, в зависимости от входящих в это задание подзаданий. Таким образом, каждый учащийся мог набрать от 0 до 31 баллов.
Статистическая обработка результатов проводилась с помощью критерия Колмогорова-Смирнова [27, с. 1Г6-117], т.к. в проведенном эксперименте выполняются все условия, необходимые для использования этого критерия для сравнения двух подходов к организации учебной деятельности учащихся на основе выполнения контрольной работы (четырех контрольных заданий) двумя выборками учащихся достаточно большого объема.
Проверке подлежала гипотеза Ho:F(x)=;G(x), или предположение об одинаковых функциях распределения числа верных ответов на контрольные задания среди учащихся контрольных и экспериментальных. Альтернативная гипотеза К]: F(x) G(x) предполагает, что функции распределения числа верных ответов различны в двух рассматриваемых совокупностях учащихся.
Из учащихся, писавших контрольную работу и обучавшихся в экспериментальных классах, отобрали методом случайного отбора 40 человек; из учащихся, обучавшихся в контрольных классах, тоже отобрали 40 человек. Составление выборок одинакового объема позволило упростить процесс вычислений, связанных с подсчетом статистики критерия, т.к. для проверки сформулированной гипотезы можно было использовать двусторонний критерий Колмогорова-Смирнова для выборок одинакового объема. Результаты выполнения работы учащимися двух выборок запишем в форме таблицы 2, удобной для нахождения статистики критерия.
Отсюда верно неравенство Тх иаблюд Wl_a (0,35 0,304) . Поэтому в соответствии с правилом принятия решения нулевая гипотеза отклоняется и принимается альтернативная гипотеза Нь что позволяет сделать вывод о различии распределений числа верных ответов на контрольные задания среди учащихся экспериментальных и контрольных классов. Анализ экспериментальных данных позволяет сделать вывод, что учащиеся экспериментальных классов дают стохастически больше верных ответов, т.е. первый вариант организации учебной деятельности эффективнее в отношении подготовки учащихся к выполнению деятельности, проверяемой контрольной работой.
На этом же этапе сравнительного эксперимента в конце 2006-2007 уч. года для оценки способности учащихся применять функциональные умения для решения практических задач учащимся 6 класса были предложены разработанные нами ситуационные задачи. Следует отметить, что в процессе обучения математике учащиеся ни экспериментальных, ни контрольных классов с такими задачами не встречались.
Проверить сформированность функциональных представлений у учащихся и применять функциональные умения для решения практических задач посредством ситуационной задачи представляется возможным именно потому, что она носит ярко выраженный практико-ориентированный (иногда даже прагматичный) характер, но для ее решения необходимо конкретное предметное знание. Зачастую для решения ситуационной задачи учащимся требуется знание нескольких учебных предметов. Кроме этого, такая задача имеет не традиционный номер, а красивое название, отражающее ее смысл. Обязательным элементом задачи является проблемный вопрос, который должен быть сформулирован таким образом, чтобы ученику захотелось найти на него ответ.
Модель ситуационной задачи выглядит следующим образом: название задания; личностно-значимый познавательный вопрос; информация по данному вопросу, представленная в разнообразном виде (текст, таблица, график, статистические данные и т.д.); задания на работу с данной информацией [1,с.25].
Решение многих ситуационных задач связано с анализом конкретных ситуаций, отражающих происходящие в обществе изменения. Эти ситуации могут быть новыми не только для учащихся, но и для учителя, что изменяет характер отношений между учителем и учеником. В обычной учебной практике учитель «знает», а ученики «не знают». При решении ситуационной задачи учитель и ученик выступают как равноправные партнеры, которые вместе учатся решать проблемы. Таким образом, возможности ситуационной задачи состоят в способствовании изменению отношений «учитель - ученик» в направлении их равноправного взаимодействия, когда учитель выступает не как источник верного ответа, а как помогающий взрослый.
Подходить к оценке результатов решения ситуационной задачи целесообразно исходя из позиции, что предлагаемые учащимся (или учащимися) решения нельзя разделить на «правильные» и «неправильные». Они могут быть разделены по степени риска, по обоснованности решения, по затратам ресурсов, но при этом самые разные решения будут правильными, то есть соответствующими заданию.
Решение самих заданий оценивается в баллах (нет - 0, скорее нет - 1, скорее да - 2, да - 3), причем оценке подвергаются четыре интегративных умения: понимание представленной информации (задания); предложение способа решения проблемы; обоснование способа решения проблемы (своего выбора); предложение альтернативных вариантов [1, с. 46]. Таким образом, ученик за выполнение одного задания может набрать максимально 12 баллов.
В силу своей межпредметности, интегративности ситуационные задачи способствуют систематизации предметных знаний на деятельностной практико-ориентированной основе, когда ученики, осваивая универсальные способы деятельности, решают личностно-значимые проблемы с использованием предметных знаний.
С целью проверки эффективности организации учебной деятельности, направленной на подготовку учащихся к формированию понятия функции, нами было разработано три варианта ситуационных задач
