Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Теоретические основы целостного подхода к обучению математике 20
1. Принцип целостности в различных науках 20
2. Целостный подход к обучению математике 40
3. Целостный подход к обучению теоретической составляющей курса «Алгебра и начала анализа» 56
Выводы по главе I: 69
Глава II. Реализация целостного подхода при обучении теоретической составляющей курса алгебры и начал анализа 72
4. Типология задач, направленных на формирование целостного представления о математическом понятии 72
5. Организация работы с учебным материалом, направленная на формирование целостного представления о понятии при обучении теоретической составляющей курса «Алгебра и начала анализа» 85
6. Организация и основные итоги эксперимента 101
Выводы по главе II: 118
Заключение 119
Библиографический список 124
Приложение 138
- Целостный подход к обучению математике
- Целостный подход к обучению теоретической составляющей курса «Алгебра и начала анализа»
- Организация работы с учебным материалом, направленная на формирование целостного представления о понятии при обучении теоретической составляющей курса «Алгебра и начала анализа»
- Организация и основные итоги эксперимента
Введение к работе
Одной из основных целей школьного образования является формирование целостного мировоззрения учащихся, целостной системы знаний, в том числе, и внутри каждого учебного предмета, а также умения применять знания на практике.
Умение применять знания в различных ситуациях, в разных предметных областях является требованием и современного информационного общества, для которого характерны быстрый рост объема информации, и стремительно меняющегося мира в целом. Однако, как показывают результаты нашего исследования и практика работы в школе, ученики, усваивая учебный материал по математике, часто успешно справляются с вычислительными операциями, связанными с понятиями, и при этом не владеют сутью понятий, не связывают между собой различные их смыслы. Такая разобщенность знаний, отсутствие связи между различными смыслами понятий не только не позволяет сформировать целостную систему знаний, но и является основной причиной неспособности учащихся к практическому применению математических знаний как в окружающем мире, так и при изучении других предметов.
Причинами неспособности учащихся к практическому применению математических знаний является формальная подача знаний, невыявление связи с окружающим миром, отсутствие мотивации. В результате ученик запоминает полученную информацию, но не всегда ее понимает, и, поэтому, не применяет. Такое положение привело к необходимости разработки новых требований к образованию, которые легли в основу федерального государственного образовательного стандарта второго поколения для средних общеобразовательных школ (ФГОС). Во ФГОС второго поколения прописаны как предметные результаты освоения учебных предметов, ориентированные на формирование целостных представлений о мире и общей культуре обучающихся, путем освоения систематических научных знаний и способов действий на метапредметной основе, так и метапредметные результаты, ориентированные на формирование целостного мировоззрения. Достижение таких результатов обучения формирует у учащихся способность восприятия объекта (явления, предмета) в его целостности, в его сущности, в совокупности всех его связей и отношений, в том числе с окружающим миром, с другими предметами. Но объект может быть задан разными формами представления информации, поэтому ученику для целостного восприятия информации необходимо владеть разными способами представления учебного материала, и уметь переходить от одного способа представления к другому. Так, например, выделяют следующие способы представления информации:
словесный (информация представлена на естественном языке - формулировка заданий, задач и пр.);
символьный (информация записана средствами алгебраического языка -формулы, цепочки рассуждений и пр.). В дальнейшем, так как в математике используются знаки, мы будем называть этот способ «знаково-символьный»;
образно-графический (информация представлена с помощью визуально-пространственных характеристик - графики, схемы, рисунки, чертежи, диаграммы, таблицы и пр.);
тактильно-кинестетический (информация представляется через чувственные впечатления с доминированием тактильно- осязательных ощущений) (М А. Холодная).
Все вышесказанное подтверждает необходимость реализации целостного подхода к обучению. Термин «целостный подход» часто встречается в философской и психолого-педагогической литературе (Е.А. Марковская, Н.В. Маслова, С.Г. Башаева,
Ю.Н. Солонин и др.), но, несмотря на это, четкое определение данного понятия отсутствует.
Для того, чтобы определить понятие «целостный подход» применительно к обучению математике, необходимо выделить специфику данного учебного предмета. Математика, и алгебра в частности, оперирует идеальными объектами, требующими сформированности абстрактного мышления. Математический язык относится к формальным языкам, он выражен знаками, которые иногда называют символами. И именно при обучении алгебре в школе ставится задача овладения символьным (знаково-символьным) языком, имеющим высокий уровень абстрактности. При обучении алгебре и началам анализа многие понятия даются в столь абстрактной и обобщенной форме («производная», «непрерывная функция», «интеграл»), что главная трудность состоит в умении установить связь с реальным миром, увидеть за математическими понятиями множество конкретных образов, обобщением которых они являются. К тому же, курс алгебры и начал анализа является завершающим в процессе обучения математике, и именно поэтому он должен взять на себя функции формирования целостного мировоззрения учащихся, целостной системы знаний.
Анализ научно-педагогической, методической литературы, результатов
международных исследований позволил выделить ряд противоречий между:
- процессами интеграции в науке и построением процесса обучения на основе «изолированности»
друг от друга учебных предметов и изучаемых на них научных понятий;
- способностью учеников, осваивающих учебный материал по математике, успешно справляться с
вычислительными операциями, связанными с понятиями, и неспособностью учащихся к
практическому применению математических знаний и умений как в окружающем мире, так и при
изучении других предметов;
- предметными результатами обучения, прописанными во ФГОС (формирование целостных
представлений о мире), и результатами, полученными при обучении математике в рамках
преобладающей в настоящее время в школе методике обучения, для которой характерно отсутствие
систематической работы по установлению связи между различными смыслами понятий, изучаемых в
различных учебных предметах и в рамках предмета математики.
Таким образом, возникает необходимость разработки методики обучения математике в старшей школе на основе целостного подхода.
Вопрос о реализации целостного подхода к формированию теоретической составляющей базового курса алгебры и начал анализа в методике обучения математике рассматривается впервые.
Все вышесказанное определяет актуальность темы исследования, направленного на построение процесса обучения курсу алгебре и начал анализа на основе целостного подхода.
Проблема диссертационного исследования заключается в поиске путей и средств реализации целостного подхода к обучению базового курса алгебры и начал анализа.
Объектом исследования выступает процесс обучения алгебре и началам анализа.
Курс математики включает теоретический и задачный материал. Задачный материал, в свою очередь, базируется на теории. Поэтому теоретический материал играет определяющую роль в курсе математики. Теоретическая составляющая базового курса алгебры и начал анализа включает основные теоретические компоненты – понятия, утверждения и их доказательства.
Предметом исследования является методика обучения теоретической
составляющей курса алгебры и начал анализа на основе целостного подхода.
Цель исследования – разработка методики обучения теоретической составляющей курса алгебры и начал анализа на основе целостного подхода.
Одной из основных задач обучения является обеспечение понимания изучаемого материала. Алгебра, как школьный предмет, имеет свою специфику, связанную с проблемой понимания, а именно – использование преимущественно знаково-символьного способа представления информации, который вызывает трудности у учащихся.
В психологии термин «понятие» у человека рассматривается как многоуровневая иерархическая организованная структура, включающая образы разной степени обобщенности, а, значит, формирование понятия в сознании человека предполагает формирование образов (объема понятия) и существенных свойств (содержание понятия) (Л.М. Веккер). При этом первичность образов и выделение существенных свойств на их основе самими учащимися дает более высокие результаты при усвоении учебного материала, как соответствующие психологическим закономерностям понятия в сознании человека.
Понимание в процессе обучения алгебре включает две взаимосвязанные составляющие:
1. Понимание рассматривается как процесс включения алгебраических знаний в
субъектный опыт ученика.
2. Понимание предполагает владение разными образами (значениями)
алгебраических понятий, отраженными в объеме понятия, и постижение разных
смыслов алгебраических понятий, отраженных в содержании алгебраического
понятия; а также установление связей между ними (Н.С. Подходова, Д.А. Филиппова).
В соответствии с первой составляющей процесса понимания в ходе обучения предполагается работа с субъектным опытом учащегося. Излагаемая на определенном уровне строгости система математических знаний требует приспособления ученика к задаваемому уровню абстракции, что может вступить в противоречие с его субъектным опытом. И.С. Якиманская считает, что «далеко не все понятия, организованные в систему по всем правилам логики, усваиваются учащимися, а только те, которые входят в состав их личного опыта». Это делает необходимым включение субъектного опыта ученика в процесс изучения алгебры и начал анализа в 10-11 классах и его постоянное соотнесение с отраженным в учебниках общественно-историческим опытом. В рамках данного исследования под субъектным опытом, вслед за И.С. Якиманской, мы будем понимать «принадлежащий конкретному ученику жизненный опыт, включающий различные формы и способы деятельности, источниками которого являются биография ученика (влияние семьи, национальной, социокультурной принадлежности), результаты его повседневной жизнедеятельности, взаимоотношений с миром вещей и людей, итоги обучения, в том числе и специально организованного».
Согласно второй составляющей процесса достижения понимания предполагается работа с различными характеристиками понятия - имя, смысл, значение. Понятие является основным теоретическим компонентом, причем оно является базой для усвоения других теоретических компонентов, в том числе и теорем. Поэтому при изучении алгебры, как и любого другого учебного предмета, в первую очередь, необходимо создавать условия для реализации целостного подхода к формированию понятия.
Каждое научное понятие объединяет в себе множество объектов (значение этого понятия) и существенные свойства, присущие всем элементам этого множества (содержание понятия). К тому же, характеристики понятия могут быть представлены различными способами, но обязательно во взаимосвязи.
Таким образом, умение устанавливать связи между характеристиками понятия, представленными различными способами, а также включение этих характеристик в субъектный опыт ученика, фактически характеризует достижение учащимися понимания сути понятия и формирование у них целостного представления о понятии.
Гипотеза исследования:
Если обучение теоретической составляющей базового курса «Алгебра и начала анализа» построить на основе целостного подхода, то это будет способствовать:
-
формированию целостного представления о понятии;
-
повышению уровня усвоения учебного материала;
-
развитию целостного мышления на уроках алгебры и начал анализа.
Для достижения поставленной цели и проверки достоверности сформулированной гипотезы необходимо решить следующие задачи исследования:
описать особенности целостного подхода к обучению курса алгебры и начал анализа;
раскрыть суть реализации целостного подхода к формированию математических понятий;
раскрыть суть реализации целостного подхода при работе с теоремой и ее доказательством;
охарактеризовать процесс формирования целостного представления о понятии при обучении курса алгебры и начал анализа;
разработать типологию математических задач, направленных на формирование целостного представления о математическом понятии;
выделить уровни сформированности целостного представления о понятии при обучении курсу алгебры и начал анализа;
-обосновать необходимость разработки целостного подхода к обучению теоретической составляющей курса алгебры и начал анализа;
на основе выделенных требований и этапов разработать методику обучения частным видам функциональных зависимостей в основной и старшей школе;
осуществить экспериментальную проверку разработанной методики.
При решении поставленных задач нами использовалась следующая
методологическая основа исследования:
- философское учение о целостности мира и его отражение в сознании человека,
в частности, триединство логической структуры понятия - имя, смысл, значение
(Г. Фреге);
-психологические теории о значении субъектного опыта (Л.С. Выготский, А.К. Осницкий, О.К. Тихомиров, И.С. Якиманская) и теоретические разработки в области формирования понятий в сознании человека, методики формирования понятий (Л.М. Веккер, Л.С. Выготский, Н.А. Менчинская, Е.И. Лященко, Н.С. Подходова) при формировании целостного представления о понятии;
- комплекс педагогических подходов к осуществлению образовательной
деятельности как условие формирования целостной картины мира (Л.С. Выготский,
С.Л. Рубинштейн, Д.Б. Эльконин, А.Н. Леонтьев, И.В. Блауберг, Э.Г. Юдин,
В.А. Сластенин, И.С. Якиманская, Н.Л. Стефанова и др.).
Для решения поставленных задач и проверки гипотезы использовался комплекс взаимоуточняющих и взаимодополняющих методов исследования:
- научно-теоретические: теоретический анализ научной литературы по фило
софии, педагогике, возрастной и педагогической психологии, математики и методике
ее преподавания, нормативных и программно-методических документов по проблеме
исследования; изучение и анализ педагогического опыта отечественного и
зарубежного математического образования;
диагностические: различные виды опросов, тестирования, проведение контрольных работ;
экспериментальные: констатирующий, поисковый и обучающий эксперимент;
математические методы обработки результатов исследования, их системный и качественный анализ.
Кроме этого, в ходе исследования учитывался собственный опыт преподавания математики в средней школе.
Основные этапы и организация исследования.
Исследование проводилось на кафедре методики обучения математике в РГПУ им А.И. Герцена с 2009 по 2013 годы и включало три этапа.
1 этап (2009-2010 гг.) — поисково-теоретический. Изучение и анализ
отечественной и зарубежной философской, психолого-педагогической, учебно-
методической литературы по проблеме исследования. Выбор темы исследования и
обоснование её актуальности. Выбор методологических основ и методов
исследования. Проведение констатирующего эксперимента. Полученные данные
позволили определить проблему, цель, предмет и объект исследования, выдвинуть
гипотезу и задачи исследования, наметить план экспериментальной работы.
-
этап (2010-2012 гг.) — опытно-экспериментальный. Продолжалось изучение методической и психолого-педагогической литературы по теме исследования. Была сформулирована концепция целостного подхода к обучению математике учащихся, на ее основе разработана методика работы с понятием и утверждением на основе целостного подхода. На этом же этапе был проведен поисковый эксперимент, для которого были разработаны учебные материалы по темам курса «Алгебра и начала анализа» 10-11 классов и методика работы с ними. Также была выполнена разработка и реализация программы формирующего этапа эксперимента, направленного на проверку выдвинутой гипотезы исследования.
-
этап (2012—2013 гг.) — аналитико-обобщающий. Проведены формирующий и контрольный эксперименты, направленные на проверку разработанной методики в процессе обучения алгебре. Осуществлен сбор, количественная и качественная обработка полученных данных. Были сформулированы общие выводы и заключения по проведенному исследованию.
На защиту выносятся следующие положения:
-
Процесс обучения курсу «Алгебра и начала анализа» целесообразно строить на основе целостного подхода. Это обусловлено необходимостью формирования целостного мировоззрения учащихся, целостной системы знаний, в том числе и внутри каждого учебного предмета, а такжеумения применять знания на практике. Но как показывают практика работы в школе и результаты нашего исследования, ученики зачастую не владеют сутью понятий, не связывают различные смыслы понятий, что является основной причиной неспособности учащихся к практическому применению математических знаний и умений в окружающем мире и при изучении других предметов. Поэтому любой учебный предмет, в том числе и математика, должен изучаться таким образом, чтобы ученики воспринимали его в целостности, во взаимосвязи всех компонентов, теоретического и задачного материала. Организация таких связей возможна при всестороннем рассмотрении изучаемого объекта, организации связей объектов и их частей, как внутри математики, так и во взаимодействии различных дисциплин. Обеспечить такую организацию возможно на основе целостного подхода к процессу обучения математике.
-
Суть целостного подхода к обучению математике раскрывается во взаимосвязи философского, психолого-педагогического и генетического аспектов.
В рамках философского аспекта целостность достигается за счет установления связей между перцептивным пространством (то, которое ученик воспринимает своими органами чувств), реальным (в котором отражены свойства и отношения предметов и явлений объективной реальности) и различными концептуальными пространствами (те, которые состоят из абстрактных моделей и структур, изучаемых в рамках учебных предметов).
Целостность в психолого-педагогическом аспекте обеспечивается учетом в процессе обучения субъектного опыта учащихся, а так же специфики внелогического и логического мышления (Б.В. Раушенбах). Учет психологических особенностей разных учащихся позволит создать условия для развития целостного мышления, которое психологи видят в активизации образных и логических компонентов мышления и рассматривают как один из важнейших психологических ресурсов, оказывающих существенное влияние на успешность учебной деятельности школьника (А.В. Брушлинский, О.М. Железнякова, В.П. Зинченко, Н.В. Маслова, И.В. Смоквина и др.).
В рамках генетического аспекта целостность достигается при учете особенностей формирования понятия, как в истории науки, так и в сознании человека (МЛ. Веккер).
-
Любая наука представляет собой систему понятий, а, значит, понятие является основным элементом содержания материала, изучаемого на уроках, в том числе и на уроках математики. Одно и то же понятие может иметь разные смыслы, как в различных учебных дисциплинах, так и в рамках одного учебного предмета. Реализация целостного подхода к обучению математике предполагает формирование целостного представления о понятии, которое характеризуется умением устанавливать связи между именами, смыслами и значениями этого понятия, представленными разными способами (словесный, символьный, образно-графический, тактильно-кинестетический). Также необходимо учитывать особенности формирования понятий в сознании человека и их связи с субъектным опытом учащихся, субъективными смыслами понятия. Поэтому при обучении курсу «Алгебра и начала анализа» на основе целостного подхода необходимо отслеживать факт включения полученных знаний в субъектный опыт учеников.
-
Обучение алгебре и началам анализа на основе целостного подхода требует включения в учебный материал не только заданий на выявление смыслов понятия и его значений, но и заданий на установление связи между ними, представленными разными способами. Основным средством формирования целостного представления о понятии являются задачи В качестве основы типологии задач, направленных на формирование целостного представления о понятии, нами были выделены следующие:
характеристики понятия (имя, смысл, значение), представленные в тексте задачи;
связи, устанавливаемые между характеристиками понятия («имя - значение», «имя - смысл», «смысл - значение», «имя - значение - смысл»), с учетом способа их представления, и специфики характеристик понятия, отраженных в субъектном опыте ученика.
5. Целостное представление о понятии может быть сформировано на трех разработанных нами
уровнях, которые должны осваиваться учащимися последовательно:
Уровень 1. Ученик умеет связывать имя понятия как с его значением, так и с его смыслом, представленными одним (не обязательно одинаковым для различных понятий) способом.
Уровень 2. Ученик способен связывать между собой любые две характеристики понятия, при этом умеет переводить характеристики понятия из одного способа представления в другой
Уровень 3. Ученик способен устанавливать связи между всеми характеристиками понятия, представленными различными способами, в различных концептуальных пространствах, в том числе и с субъективными смыслами понятия.
В процессе обучения ученик последовательно проходит эти уровни.
-
Методика работы с математическими понятиями и теоремами должна строиться на основе разработанных требований к учебному материалу, которые являются основой реализации целостного подхода. Эти требования включают группы требований к этапам урока и задачному материалу.
-
Обучение теоретической составляющей курса «Алгебра и начала анализа» на основе целостного подхода способствует формированию целостного представления о математическом понятии, повышению уровня усвоения учебного материала, развитию целостного мышления на уроках алгебры и начал анализа.
Научная новизна исследования состоит в следующем:
раскрыта суть целостного подхода к обучению математике;
описан процесс реализации целостного подхода к обучению курса «Алгебра и начала анализа»;
выделены требования к учебному материалу, направленному на реализацию целостного подхода к обучению курса «Алгебра и начала анализа»;
-разработана типология математических задач, направленных на формирование целостного представления о понятии в курсе алгебры и начал анализа;
описаны уровни сформированности целостного представления о понятии в курсе алгебры и начал анализа;
описана специфика работы с понятиями и утверждениями в условиях реализации целостного подхода к обучению курса «Алгебры и начал анализа».
Теоретическая значимость исследования состоит в том, что:
обоснована целесообразность использования целостного подхода к обучению математике;
выделена специфика целостного подхода при обучении курсу алгебры и начал анализа;
разработана трактовка целостного представления о понятии;
-обоснована необходимость формирования целостного представления о математическом понятии;
-выделены основы типологии математических задач, направленных на формирование целостного представления о понятии в курсе алгебры и начал анализа;
раскрыто содержание этапов формирования математических понятий и этапов работы с теоремой на основе целостного подхода к обучению математике;
выделены уровни сформированности целостного представления о понятии;
обоснована последовательность работы с задачами, направленными на формирование целостного представления о понятии.
Практическая значимость исследования состоит в:
- разработке методики формирования целостного представления о понятии на
уроках алгебры и начал анализа;
-разработке учебного материала, который можно использовать для обучения теоретической составляющей курса алгебры и начал анализа на основе целостного подхода;
-возможности применения основных аспектов реализации целостного подхода не только к математическим понятиям, но и к понятиям других учебных дисциплин
Рекомендации по использованию результатов диссертационного исследования: разработанная методика и учебный материал могут быть использованы учителями математики общеобразовательных школ в процессе работы, результаты исследования могут быть
использованы преподавателями педагогических вузов при подготовке учителей математики, а также в системах повышения квалификации учителей математики.
Обоснованность и достоверность полученных выводов основывается на анализе научной литературы по проблеме исследования; проведении констатирующего и формирующего экспериментов, в которых участвовали 256 учащихся из городов Санкт-Петербург, Архангельск, Бокситогорск; применении методов исследования, адекватных предмету, целям, задачам исследования; апробацией результатов в процессеопытной работы в школах.
Апробация результатов исследования: основные теоретические и практические положения исследования докладывались на конференции Герценовские чтения (2009, 2010, 2012 гг.), конференции «Метаметодика как перспективное направление предметных методик» (2010, 2011 гг.), Всероссийской научно-практической конференции (г. Барнаул), международной конференции «Традиции и инновации в современном образовании и воспитании: детский сад, школа, вуз» (г. Архангельск, 2013). на методологических и научно-методических семинарах кафедры методики обучения математике РГПУ им. А.И. Герцена.
Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, двух глав (6 параграфов), заключения, библиографического списка и трёх приложений. Содержательная часть диссертации иллюстрирована 7 таблицами, 4 схемами, 12 рисунками, 3 диаграммами.
Целостный подход к обучению математике
Философский аспект целостного подхода к обучению может быть раскрыт на основе исследований в философии образования. В философии образования выделяют три вида пространств - реальное, концептуальное и перцептивное [36]. Рассмотрим каждое из этих пространств: - в реальном пространстве отражены свойства и отношения предметов и явлений объективной реальности; - концептуальные пространства состоят из абстрактных моделей и структур, которые выступают средствами научного описания и познания реального и перцептивного пространства. В процессе обучения любое концептуальное пространство (например, физическое, геометрическое и прочие) задается понятиями и основными положениями (законами, правилами, теоремами и пр.); - перцептивное пространство представляет собой то пространство, которое ученик воспринимает своими органами чувств, и прежде всего, зрением и осязанием, иными словами, чувственное пространство, которое, следовательно, является сугубо индивидуальным. Опора на перцептивное пространство в процессе изучения различных учебных предметов позволяет создать базу (преимущественно на уровне представлений) для введения ученика в концептуальные пространства соответствующих наук.
Исходя из выводов, полученных в первом параграфе при рассмотрении принципа целостности в рамках философии, можно сказать, что целостность с позиций философского аспекта целостного подхода к обучению будет обеспечиваться: 1) учетом связей между тремя видами пространств - реальное (окружающее нас), концептуальное (физическое, геометрическое, и пр., в которых «работают» разные науки), перцептивное (воспринимаемое человеком через органы чувств). Ученик познает реальное пространство, изучая разные учебные предметы. Каждый из них знакомит его с концептуальным пространством, имеющим свой понятийный аппарат. В свою очередь, это знакомство происходит через перцептивное пространство, которое связано с субъектным опытом ребенка; 2) учетом связей между концептуальными пространствами, то есть учетом межпредметных связей. В процессе обучения ученик встречается с понятиями, полное представление о которых, невозможно получить на уроках какой-либо одной дисциплины (например, такие понятия как функция, система, модель и пр.), поэтому необходимо организовать изучение таких понятий во взаимосвязи различных учебных дисциплин; 3) целостностью относительно формирования понятий и утверждений внутри концептуальных пространств [103].
Основной задачей обучения является знакомство ученика с реальным пространством через изучение концептуальных пространств (каждое из которых имеет свой понятийный аппарат) в их взаимосвязи (схема 2). У ребенка уже имеются представления о реальном пространстве на чувственном уровне, эти представления носят личностный характер и часто далеки от объективности. Обучение должно помочь учащимся максимально приблизить собственное перцептивное пространство к реальному через работу в концептуальных пространствах.
Изучая различные учебные предметы, ученик работает в концептуальных пространствах; с помощью знаний и умений, полученных в концептуальном пространстве, познает реальное пространство. Никакое концептуальное пространство принципиально не может соответствовать реальному, например, ряд моделей неевклидовых пространств не существуют в реальном пространстве. Да и евклидово пространство, изучаемое в школе на уроках геометрии, является моделью реального мира только на ограниченных участках, доступных органам чувств человека. Евклидова геометрия в двух измерениях - это геометрия на плоскости. Если перенести эту геометрию на искривлённую поверхность (например, поверхность Земли), то пятый постулат Евклида перестаёт быть справедливым. Чтобы понять, почему, рассмотрим на глобусе «прямую» линию, скажем, отрезок меридиана; попробовав провести параллельную ему линию, легко убедиться, что это невозможно. Прямая линия, проведённая параллельно другой прямой, обязательно пересечётся с ней - точно так же, как все меридианы пересекаются на земных полюсах. В геометрии Евклида через точку, расположенную вне прямой, можно провести только одну параллельную ей линию, в римановой - ни одной, а в геометрии Лобачевского - бесконечно много. Геометрия Евклида справедлива на плоскости, а геометрия Римана «работает» с искривлённой поверхностью, причём эта кривизна положительна, как у поверхности сферы. Геометрия Лобачевского описывает поверхность с отрицательной кривизной; такую поверхность имеет, например, седло. Если на ней начертить треугольник, сумма его внутренних углов будет меньше 180 [92].
Целостный подход к обучению теоретической составляющей курса «Алгебра и начала анализа»
Каждое понятие объединяет в себе множество объектов {объем этого понятия) и существенные свойства, присущие всем элементам этого множества и только им {содержание понятия). Например, понятие «треугольник» соединяет в себе множество всевозможных треугольников (объем этого понятия) и существенные свойства - иметь три стороны, три вершины, три угла (содержание понятия). Понятие «отношение эквивалентности» соединяет в себе множество всевозможных отношений эквивалентности (равенство множеств, логическая эквивалентность высказываний, равенство чисел, конгруэнтность и подобие фигур, параллельность прямых и др.) с характеристическими свойствами таких отношений: рефлексивность, симметричность и транзитивность. Содержание понятия раскрывается с помощью определения, объем - с помощью классификации. Посредством определения и классификации отдельные понятия организуются в систему взаимосвязанных понятий [124]. Итак, любое понятие характеризуется именем (термином, названием); содержанием, которое отражает смыслы понятия; объемом, который отражает значения понятия. Например, рассмотрим объем и содержание понятия «корень логарифмического уравнения». Например, дано задание: решите уравнение log3(x — 2) + log3(x + 6) = 2. В этой задаче требуется найти числа, являющиеся корнями данного логарифмического уравнения, то есть найти конкретные объекты из объема математического понятия «корень логарифмического уравнения» или доказать их отсутствие. Содержание данного понятия - корень логарифмического уравнения, определяется конкретным уравнением. Получается, что в предложенном задании требуется найти «объем» (сами числа) понятия, при заданном «содержании». Сформулируем обратное задание: составьте логарифмическое уравнение, корнем которого является число 3. В этом примере при заданном объеме математического понятия, необходимо найти его содержание, которое может быть представлено конкретным логарифмическим уравнением. При этом может быть приведено несколько вариантов уравнений, удовлетворяющих данному условию.
При изучении понятий необходимо организовать работу как с его смыслами, так и с его объемом, что будет способствовать формированию целостного представления о понятии. Несформированность целостного представления о понятии, в частности, неполнота объема понятия проявляется не только при выполнении отдельных заданий, но и при решении задач, как стандартных, так и нестандартных, при распознавании математического объекта. Так, при определении, моделью какой фигуры является пианино (без колесиков и ограниченное только плоскими поверхностями), лишь 2% учащихся (учителей больше, но менее 40%) видят в нем призму. При решении задачи, предлагаемой В.И. Арнольдом [10] (Девочка и мальчик хотели купить по букварю. Мальчику не хватило 1 копейки, девочке - 6 копеек. Решили купить один букварь на двоих. Все равно денег не хватило. Сколько стоит букварь?) причиной затруднения получения ответа в большинстве случаев является сужения объема понятия «нехватка денег», до понятия «наличие денег, которых мало для чего-либо», и исключением понятия «отсутствие денег». Вышесказанное обуславливает необходимость работы с объемом понятия, в то время как в школах при традиционной подходе к формированию понятий основное внимание уделяется работе с содержанием понятия.
Связь всех трех характеристик понятия - имя, смысл, значение, в рамках логического подхода может быть представлена с помощью логического треугольника Г. Фреге [135]. Изобразим связь характеристик понятия с помощью треугольника Фреге: Смысл Имя /_ \ Значение Рисунок 3 - Логический треугольник Фреге для понятий Построим логический треугольник Фреге для понятия «предел функции в точке х0» (рисунок 3). Смыслом данного понятия является его определение - «для любого числа є О существует такое число S О, что для всех х, удовлетворяющих условию JC-JC0 5, где хфхо, выполняется неравенство \f(x)-A\ є» [3, с. 228]. Значением понятия «предел функции в точке» является либо определенное число, либо бесконечность, любо значение не существует. Но одно и то же понятие может иметь не один смысл и (или) не одно значение, в этом случае треугольник Фреге принимает иной вид, появляются дополнительные вершины для каждой из характеристик, при этом все характеристики связаны между собой, (рисунок 4). МЫСЛ Смысл 2 „ Имя 1 Имя 2 Значение 1 Значение 2 Рисунок 4 - Связь нескольких имен, смыслов и значений понятия в треугольнике Фреге Построим треугольник Фреге для понятия «Синус угла а» (рисунок 5). Данное понятие имеет несколько смыслов: тригонометрическая величина, равная половине хорды двойной дуги, на которую опирается угол; длина перпендикуляра, опущенного из конца дуги на радиус единичной окружности; отношение катета, противолежащего углу треугольника, к гипотенузе этого треугольника. При этом эти смыслы могут быть даны с помощью разных способов представления, о чем речь пойдет ниже. Значением данного понятия является число. Рассмотрим еще один пример характеристик понятия, когда рассматриваемое понятие имеет несколько значений, одним из таких понятий, встречающихся в школьном курсе математики является понятие «показательная функция». Под смыслом понятия «показательная функция» понимают закон зависимости между элементами двух множеств X и У, согласно которому каждому элементу множества X (независимого) ставится в соответствие элемент множества У (зависимого) вида у=сґ, где а 0, афО. Значениями для понятия «показательная функция» являются либо конкретные показательные функции, которые представляют собой определенные зависимости (соответствия), либо множество чисел (значения зависимой переменной), это зависит от трактовки понятия «функция» (традиционная или теоретико-множественная). Смысл понятия отношение катета, противо лежащего углу треугольника, к гипотенузе этого треугольника длина перпендикуляра, опущенного из конца дуги на тригонометрическая величина, равная половине хорды двойной дуги, на которую опирается угол радиус Синус угла Sin а Число Имя понятия Значение понятия Рисунок 5 - Характеристики понятия «Синус угла» Одной из основных задач обучения является обеспечение понимания изучаемых понятий. Поэтому изображение понятия с помощью треугольника Фреге, вероятно, потребует корректировки. «Понимание - психический процесс включения информации о чем-либо в прежний опыт, в усвоенные ранее знания и постижение на этой основе смысла и значения события, факта, содержания воздействия» [46]. В работе Д.А. Филипповой было уточнено данное определение применительно к математическим понятиям. Понимание в процессе обучения математике, включает две взаимосвязанные составляющие: 1) Понимание предполагает владение разными образами (значениями) математических понятий, отраженными в объеме понятия, постижение разных смыслов математических понятий, отраженных в содержании понятия, и установление связей между ними. 2) Понимание рассматривается как процесс включения математических знаний в субъектный опыт ученика. Первое условие достижения понимания фактически характеризуется умением устанавливать связи между различными характеристиками понятия (между различными вершинами треугольника Фреге), что и было рассмотрено выше. Второе условие достижения понимания может быть осуществлено в рамках психолого-педагогического аспекта целостного подхода. Реализация этого аспекта предполагает выявление субъектного опыта ученика до введения понятия, его «окультуривания» на этапе закрепления [99]. Поскольку имена большинства изучаемых математических понятий уже знакомы ученику, то с каждым понятием он связывает определенное значение и определенный смысл, который определен как субъективный [100]. Субъективный смысл понятия не всегда совпадает с объективным, математическим, но именно на него опираются ученики при работе с учебным материалом и решении задач.
Организация работы с учебным материалом, направленная на формирование целостного представления о понятии при обучении теоретической составляющей курса «Алгебра и начала анализа»
В современной методике обучения математике выделяют следующие этапы работы с теоретической составляющей: 1. профессиональный этап, который предполагает подготовку учителя к уроку, в частности, выполнение учителем логико-математического анализа вводимой темы; 2. подготовительный этап, который включает в себя актуализацию необходимых знаний и умений, выявление субъектного опыта, мотивацию учащихся; здесь же необходимо организовать работу, направленную на выделение свойств объектов, существенных для понятия. В результате реализации этого этапа учащиеся сами могут сформулировать «вариант» определения; 3. основной (обучающий) этап, на котором происходит введение и первичное усвоение формулировки определения понятия; 4. этап первичного закрепления, на котором организуется применение введенного теоретического материала при решении типовых задач; 5. этап вторичного закрепления, на котором осуществляется установление и развитие связей и отношений с другими понятиями, систематизация и обобщение материала [83]. Реализация целостного подхода к обучению математике в старшей школе требует коррекции содержания каждого из этапов и предполагает дополнительную работу на этих этапах. Раскроем содержание этой дополнительной работы на подготовительном, основном этапах и этапах закрепления, направленной на реализацию целостного подхода, выделив подэтапы, и приведем примеры заданий при обучении математике в старшей школе для каждого такого подэтапа.
Подготовительный этап включает следующие подэтапы: 1. Выявление субъектного опыта учащихся. Данный подэтап реализует психолого-педагогический аспект целостного подхода к обучению. Субъектный опыт учащихся рассматривался в 3 главы I. Структура субъектного опыта представляет собой систему субъективных смыслов понятий, процессов, явлений, а также действий над ними, имеющих ценностную и эмоциональную окраску. Субъектный опыт выполняет значимую роль в восприятии, усвоении и понимании учебного материала. Поэтому учет субъектного опыта должен осуществляться на всех этапах учебно-воспитательного процесса. Выявлять субъектный опыт учащихся целесообразно либо в начале урока введения нового понятия, либо на предшествующих уроках. Для выявления субъектного опыта учителя могут использовать различные методики [102]: - опережающая методика; - ситуационная методика; - методика изображений; - методика выявления смысловых характеристик; - методика исключения лишнего; - методика ассоциаций. Рассмотрим выявление субъектного опыта учащихся с помощью разных методов в старшей школе. Так, при введении понятия «производная» в ходе изучения темы «Производная функции в точке» учащимся было предложено задание: «Нарисуй производную». Выполняя данное задание, учащиеся чаще всего изображали процесс производства, очевидно, при этом они отталкивались от созвучности слов производная - производство. Приведем несколько рисунков «производной», выполненных учащимися (рисунок 8):
Методику исключения лишнего можно применять не только на вербальном, но и на образном уровне. Например, перед изучением темы «Перпендикулярность прямой и плоскости» ученикам было предложено найти лишний рисунок и обосновать свой выбор. На рисунке 9 изображены объекты реального мира (столбы электропередач, Пизанская башня, торшер, маяк).
Создание учебной доминанты. На данном подэтапе происходит активизация эмоционально-целостной составляющей субъектного опыта учащихся. Содержание данного подэтапа отражает реализацию психолого-педагогического аспекта целостного подхода к обучению.
«Задание (вопрос) на «создание учебной доминанты» должно удовлетворять ряду требований: казаться учащимся легким, но содержать «изюминку»; не требовать специальных предметных знаний; быть привлекательным для учеников за счет, например, сюжета, необычности вопроса; по возможности, быть связанным с темой урока» [104]. Целью создания учебной доминанты является «настройка» учеников на урок, снятие отрицательных эмоций.
В качестве одного из средств достижения данной цели целесообразно до объявления темы урока, дать название урока. «Название обращено к ученикам и носит личностно значимый характер, сообщается в начале урока или заранее. К теме учитель должен подвести учащихся (на этапе мотивации), обосновав необходимость изучения рассматриваемого понятия, закона, правила или предлагая задания, направленные на формирование познавательного интереса. Название связано с субъектным опытом ребенка, а тема фактически объясняет название с научных позиций» [102].
Например, для темы «Производная функции в точке» названием урока может служить вопрос: «Остановить мгновенье?». Ниже приведен пример возможного названия урока для темы курса геометрии старшей школы, также предложен вариант установления связи с названием урока и изучаемым материалом: Название Тема урока Задание на создание учебной доминанты урока Другподледруга Параллельные прямые Английскому математику Рекорду принадлежит изречение «Нет ничего более равного, чем две параллельные прямые». Изобретение какого из знаков отношения принадлежит этому математику? (этот ученый предложил современный знак равенства) 3. Создание образов понятия. Любое понятие, согласно психологической трактовке Л.М. Веккера, включает образы. Они являются базой, на основе которой выделяются существенные свойства понятия и формируется определение понятия. Введению содержания понятия должна предшествовать работа с объемом понятия, включающим конкретных представителей понятия (образы понятия), в результате которой формируется содержание понятия, то есть выделяются существенные свойства понятия. Например, перед изучением темы «Радианная мера угла» учащиеся знакомятся с понятием «числовой окружности» и для этого понятия могут быть предложены следующие образы (рис. 10): колесо обозрения, ветряная мельница, пароход с гребным колесом и пр.
Указанные образы представляют собой математическую модель окружности - моделью точки на окружности может быть кабинка колеса обозрения; птица, сидящая на крыле мельницы; эмблема, закрепленная на лопасти гребного колеса, т.е. материальные объекты, которые помогут учащимся создать образ материальной точки, движущейся по числовой окружности и в дальнейшем будет способствовать введению образа понятия «синус угла». Ниже показана работа с одним из данных образов в рамках обучающей релаксации.
В этом случае образы выполняют опорную функцию, то есть знакомство с понятием «числовой окружности» осуществляется от образов понятия к аналитическому определению, что отражено в психолого-педагогическом аспекте целостного подхода к обучению.
Организация и основные итоги эксперимента
Экспериментальная работа проводилась нами с 2009 г. по 2013 г. в три этапа. Всего в эксперименте приняли участие 256 учеников одиннадцатых классов. На формирующем этапе экспериментальная группа состояла из 74 человека, контрольная - из 52 человек. На первом этапе был выполнен анализ математической, психолого-педагогической и методической литературы, определены объект и предмет исследования, сформулированы цель и гипотеза, установлены задачи исследования и методы их решения. На втором этапе был проведен констатирующий эксперимент, включающий в себя исследование контрольных и экспериментальных групп школьников с целью определения уровня сформированности целостного представления о понятии. На этом же этапе проводился поисковый эксперимент с целью отбора заданий, направленных на формирование целостного представления о понятии. На третьем этапе на основе разработанной методики, описанной в 4 и 5 главы II, был проведен формирующий эксперимент при изучении тем «Определение синуса, косинуса и тангенса угла» и «Производная функции в точке». Опишем подробно каждый этап проведённой экспериментальной работы. Первый этап включал в себя констатирующий эксперимент. Задания констатирующего эксперимента состояли из двух блоков. Задания первого блока были направлены на выявление необходимости обучения курсу алгебры и начал анализа на основе целостного подхода. В ходе анализа школьных учебников курса алгебры и начал анализы было установлено, что и содержание, и объем понятия «секущая фигуры», даны лишь частично. В частности, есть определение секущей двух прямых, представлены примеры объема понятия секущая окружности, но не дано определение секущей графика функции (линии), а объем этого понятия представлен частично (для кривых и ломаных). Учащимся были предложены задания, целью которых являлось выявление уровня сформированности у учащихся целостного представления о понятиях «касательная» и «секущая» при изучении материла, представленного в школьных учебниках. Данные задания были предложены не только ученикам, но и школьным учителям математики в рамках курсов повышения квалификации.
Остановимся более подробно на результатах выполнения задания для графика линейной функции (9). Учащиеся при выполнении заданий, очевидно, опираясь на рисунки, делали вывод, что касательная к графику линейной функции не существует, но в тоже время могли вычислять производную линейной функции. Полученные результаты, объясняются недостаточным вниманием к формированию объема понятия представленного образами, отсутствием специальной работы на установление связи между разными смыслами и значениями понятия. Конечно, в данном случае трудно оценивать ответ, опираясь на теоретический материал учебника, так как определение секущей к графику функции в учебниках отсутствует, но для графиков функций, представленных кривыми, в учебниках имеются рисунки касательной и секущей, для графиков же функций, представленных прямой, таких образов нет, то есть объем понятия секущая к графику функции представлен, но неполно. Отсутствие внимания в школьных учебниках к объему понятия и привело к таким результатам эксперимента. И это при том, что большинство учеников прекрасно вычисляют производную линейной функции. Но связь на деятельностном уровне между разными смыслами (например, аналитическим и геометрическим) и значениями одного понятия у них не установлена, в частности, между вычислением производной линейной функции в точке и равенством ее тангенсу угла наклона касательной, проведенной к этой функции в этой же точке. Секущая для некоторых в данной ситуации существует, а касательная, являющаяся ее предельным положением, нет. Так, например, в учебниках в ситуациях «точки перегиба» не объясняется отсутствие касательной через несовпадение секущих справа и слева от точки А ни на образном (на конкретных рисунках), ни на аналитических уровнях. При введении понятия «производная функции у=/(х) в точке Хо» необходимо иллюстрировать геометрический смысл касательной с помощью совпадения секущих, построенных «справа» и «слева», если производная существует.
Анализ полученных результатов выполнения заданий, показал, что учащиеся не всегда различают смыслы и значения понятий, к тому же, при ответе они, как правило, указывали только один из возможных смыслов понятия и приводили лишь один пример его значения.
Итак, на первом этапе эксперимента явилось выдвижение предположения о том, что необходимо организовать процесс обучения на основе целостного подхода. Данное предположение стало основой первой части гипотезы: если обучение теоретическим компонентам базового курса «Алгебра и начала анализа» построить на основе целостного подхода, то это будет способствовать повышению уровня усвоения и пониманию учебного материала.
На констатирующем же этапе была определена степень развития целостного мышления учеников контрольных (КК) и экспериментальных (ЭК) классов. Вслед за С.Г. Башаевой, основными критериями развития целостного мышления, как было сказано в 1 главы I, мы выделяем степень развития каждого компонента целостного мышления и их гармонизацию в процессе обучения.
В качестве основных измерительных диагностик развития логического, эмоционально-образного и творческого компонентов целостного мышления были взяты классические и модифицированные современными авторами (X. Зиверт, Е.Е. Туник и др.) методики П. Торренса, опросник Шиана, методики исследования активности мышления (И.М. Лущихина, Р. Равенн), тест С. Медника, контрольные работы по дисциплине «Алгебра и начала анализа», проектные работы учащихся.
Данный учебный материал был апробирован в «ГБОУ школе №495 Московского районе Санкт-Петербурга», «МБОУ СОШ №55» г.Архангельска, «СОШ №2» г.Бокситогорска. В эксперименте приняли участие учащиеся одиннадцатых классов. В конце обучения была проведена контрольная работа. При этом нами была выявлена выраженная положительная тенденция (по сравнению с констатирующим экспериментом в этих же классах). На этом же этапе были разработаны требования к учебному материалу курса «Алгебра и начала анализа», построенному на основе целостного подхода к обучению математике. Итогом данного этапа эксперимента стала разработка и корректировка методики изучения учебного материала по выбранным темам. Третий этап экспериментальной работы носил формирующий и контролирующий характер. Этот этап был направлен на экспериментальную проверку выдвинутой гипотезы и статическую обработку полученных результатов. Необходимо было установить, действительно ли разработанная нами методика будет способствовать повышению уровня усвоения алгебраического материала и развитию целостного мышления. Чтобы убедиться, что предполагаемое повышение уровня усвоения учащимися учебного материала происходит именно под влиянием внедряемой нами методики, мы выделили контрольную и экспериментальную группы, со схожими уровнями успеваемости учащихся по алгебре.
