Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Теоретико-методологические основы организации обучения дифференциальным уравнениям с использованием информационных технологий 14
1. Тенденции современного математического образования 14
2. Особенности изучения курса дифференциальных уравнений 25
п.2.1. Исторический обзор методов решения дифференциальных уравнений 25
п.2.2. Прикладная направленность и математическое моделирование в курсе дифференциальных уравнений 34
п.2.3. Анализ стандартов нового поколения и курса дифференциальных уравнений с точки зрения применения информационных технологий 41
3. Роль и место программных средств в курсе дифференциальных уравнений 53
п.3.1. Информационно-коммуникационные технологии в образовании 53
п.3.2. Системы компьютерной математики и компьютерно- ориентированные задачи в курсе дифференциальных уравнений 57
п. 3.3. Наглядность в процессе обучения решению прикладных задач в курсе дифференциальных уравнений 74
Выводы по первой главе 83
Глава II. Методика обучения решению дифференциальных уравнений с использованием информационных технологий 84
1. Методика обучения решению дифференциальных уравнений 84
п. 1.1. Принципы обучения 85
п.1.2. Цели и содержание 89
п.1.3. Формы обучения 103
п.1.4. Компьютерно-ориентированные задачи 108
2. Содержательный компонент методического обеспечения практических занятий по дифференциальным уравнениям с применением компьютерныхпрограмм 133
3 Экспериментальная проверка эффективности использования предложенной методики 157
п.3.1. Критерии оценки уровней сформированности компетенций у будущих учителей математики 157
п.3.2. Экспериментальная проверка уровней сформированности компетенций у будущих учителей математики 159
Выводы по второй главе 169
Заключение 172
Литература 175
Приложения
- Исторический обзор методов решения дифференциальных уравнений
- Анализ стандартов нового поколения и курса дифференциальных уравнений с точки зрения применения информационных технологий
- Содержательный компонент методического обеспечения практических занятий по дифференциальным уравнениям с применением компьютерныхпрограмм
- Критерии оценки уровней сформированности компетенций у будущих учителей математики
Введение к работе
Актуальность исследования. На современном этапе развития общества происходит информатизация всех сфер человеческой деятельности. Таким образом, современное общество и его постоянно развивающаяся экономика нуждаются в целеустремленных и инициативных высококвалифицированных специалистах, умеющих грамотно использовать новые информационные технологии во всех сферах деятельности и, в первую очередь, в своей профессии. На данном фоне вдвойне важной видится информатизация профессиональной подготовки выпускников и, что особенно важно, выпускников педвуза, так как педагогическая наука и педагогическое образование должны занять опережающие позиции по отношению к образовательной практике.
Впервые упоминания об информатизации образования встречаются в 1990 году в связи с опубликованной в журнале «Информатика и образование» концепцией информатизации образования. В то же время, несмотря на правительственные документы и распоряжения, опубликованные с 1990 года, данная проблема и в настоящее время не решена до конца. Об этом свидетельствует и «Концепция Федеральной целевой программы развития образования на 2011– 2015 годы», в которой одной из важнейших проблем современного образования называется процесс эффективного использования информационно-коммуникационных технологий в сфере образования.
Особую роль при этом играет информатизация педагогического образования: студент – будущий учитель (в частности, учитель математики) – выступает, с одной стороны, как объект информатизации, а с другой – как проводник идей информатизации образования в школе.
Методика использования информационных технологий в образовании была исследована во многих работах отечественных педагогов (В.Л. Андреев, В.П. Беспалько, Б.С. Гершунский, А.П. Ершов, И.Г. Захарова, В.Г. Кинелёв, И.Л. Лернер, Б.И. Машбиц, В.М. Монахов, П.И. Образцов, Ю.А. Первин, Е.С. Полат, Г.К. Селевко и др.). К отечественным ученым, занимающимся этой проблемой, также можно отнести Ю.С. Брановского, Я.А. Ваграменко, С.Г. Григорьева, В.В. Гриншкуна, Г.А. Кручинину, С.Д. Каракозова, И.В. Роберт, В.А. Трайнёва и др. Ими разрабатываются и конкретные пути применения информационных технологий в обучении: использование данных технологий в качестве дидактического средства обучения, для реализации различных форм обучения, при проведении психолого-педагогических исследований; автоматизация обучения с применением автоматизированных обучающих систем; создание компьютерных учебных курсов и программно-методических комплексов, включая разработку сценария, экспертизу и оценку качества педагогических программных средств и т. п.
Существует множество работ, в которых исследуются проблемы подготовки будущего учителя математики. К ним можно отнести работы И.И. Баврина, Д.А. Власова, Г.Д. Глейзера, В.А. Горелика, В.А. Гусева, О.Б. Епишевой, А.Ж. Жафярова, О.А. Иванова, В.И. Игошина, Ю.М. Колягина, Э.И. Кузнецова, В.Ф. Любичевой, В.Л. Матросова, В.М. Монахова, А.И. Нижникова, Г.И. Саранцева, Н.Л. Стефановой, В.А. Тестова, И.Л. Тимофеевой, Г.Г. Хамова, М.В. Шурко-вой и др.
В докторских диссертациях Р.М. Асланова, В.С. Корнилова, Г.Л. Луканки-на, А.Г. Мордковича, Ю.В. Сидорова, М.И. Шабунина, кандидатских диссертациях Х.А. Гербекова, Т.И. Глушковой, Б.А. Найманова, Н.Д. Мань, А.В. Син-чукова и др. находит свое развитие профессиональная и прикладная направленности обучения решению дифференциальных уравнений в высших учебных заведениях.
Однако в данных работах недостаточно отражены аспекты, связанные с переходом на федеральные государственные образовательные стандарты высшего профессионального образования нового поколения. В частности, не отражены вопросы использования информационных технологий в профессиональной подготовке учителя математики при изучении математических дисциплин, не отражены дидактические возможности данных средств в процессе обучения математике в педвузе. Применительно к курсу дифференциальных уравнений большинство исследователей сходится во мнении о большом потенциале данного раздела математики в плане его прикладной направленности. В то же время не существует работ по реализации этой направленности средствами информационных технологий. Таким образом, имеется ряд противоречий, связанных с математической подготовкой будущих учителей математики. Среди них можно выделить следующие:
между необходимостью строить образовательный процесс в вузе в строгом соответствии с федеральным государственным образовательным стандартом, предусматривающим использование информационных технологий, и созданием методического обеспечения математических курсов, способствующего формированию умения применять информационные технологии у будущих учителей математики, и недостаточной разработанностью данных вопросов в научно-методической литературе и современных исследованиях;
наличием средств информационных технологий, в частности компьютерных программ, обладающих большими возможностями для решения разного рода математических задач, в том числе и задач, связанных с дифференциальными уравнениями, и недостаточностью разработок, связанных с их применением в математической подготовке будущих учителей.
Указанные противоречия определяют выбор темы данного исследования.
Проблема исследования вытекает из перечисленных противоречий и состоит в разработке методики обучения решению дифференциальных уравнений будущих учителей математики в педвузе с использованием средств информационных технологий.
Объект исследования – процесс подготовки учителя математики в системе высшего педагогического образования.
Предмет исследования – обучение будущих учителей математики решению дифференциальных уравнений в педвузе в условиях использования информационных технологий.
Цель исследования – разработка методики обучения решению дифференциальных уравнений в условиях информатизации образования, позволяющей подготовить квалифицированных учителей математики, понимающих прикладное значение курса дифференциальных уравнений и умеющих применять сред-
ства новых информационных технологий для решения дифференциальных уравнений.
Гипотеза исследования заключается в том, что обучение решению дифференциальных уравнений с использованием информационных технологий, в частности компьютерных программ, будет способствовать повышению качества математической подготовки будущих учителей математики и позволит усилить прикладную направленность курса, если разработать методику обучения решению дифференциальным уравнениям, которая будет оптимально сочетать традиционные методы, формы и средства с методами решения дифференциальных уравнений, реализованными компьютерными программами.
В соответствии с целью, объектом, предметом и гипотезой исследования были поставлены следующие задачи исследования:
проанализировать понятие «информационные технологии в образовании» и выявить возможности применения компьютерных программ в качестве средств информационных технологий в подготовке будущего учителя математики;
определить и обосновать целесообразность применения компьютерных программ для решения определенного класса задач по курсу дифференциальных уравнений, в том числе и прикладных;
проанализировать возможности компьютерных программ для решения дифференциальных уравнений и выбрать наиболее подходящие программы;
разработать модель и соответствующую ей методику обучения решению дифференциальных уравнений с применением компьютерных программ, определить соответствующие цели, содержание, методы, формы и средства обучения.
экспериментально проверить эффективность применения предложенной методики обучения.
Теоретико-методологической основой исследования являются: исследования в области профессиональной подготовки учителя математики в педвузе (А.В. Абрамов, Р.М. Асланов, И.И. Баврин, В.А. Гусев, В.И. Игошин, Э.И. Кузнецов, С.И. Калинин, Н.Д. Кучугурова, Г.Л. Луканкин, В.Л. Матросов, А.Г. Мордкович, В.Р. Майер, А.И. Нижников, Л.В. Павлова, Е.И. Смирнов, И.Л. Тимофеева, Г.Г. Хамов, М.И. Шабунин, Л.В. Шкерина и др.); теория информатизации образования (Ю.С. Брановский, А.П. Ершов, С.А. Жданов, Т.Б. Захарова, С.Д. Каракозов, О.А. Козлов, Г.А. Кручинина, А.А. Кузнецов, Д.Ш. Матрос, Е.И. Машбиц, П.И. Образцов, Е.С. Полат, И.В. Роберт, Г.К. Селевко, Н.В. Соф-ронова и др.); методические аспекты использования информационных и телекоммуникационных технологий в вузе при обучении математическим дисциплинам (В.В. Алейников, И.В. Беленкова, Д.П. Голоскоков, И.Б, Горбунова, Е.А. Дахер, В.П. Дьяконов, С.А. Дьяченко, Е.В. Клименко, Т.Г. Кузьмичева, С.В. Поршнев, С.Е. Савотченко и др.).
Для решения поставленных задач использовались следующие методы исследования: анализ математической, психолого-педагогической, учебной и научно-методической литературы по проблеме исследования; анализ и обобщение педагогического опыта преподавателей высшей школы; наблюдение за ходом
учебного процесса; беседы со студентами, преподавателями, выпускниками математических факультетов педвузов; анкетирование студентов; констатирующий, поисковый и обучающий этапы педагогического эксперимента; обработка и интерпретация результатов педагогического эксперимента.
Научная новизна исследования заключается в том, что в нем:
разработаны и представлены модель и соответствующая ей методика обучения решению дифференциальных уравнений с применением компьютерных программ (Dfield, Pplane, Odesolve);
раскрыты возможности сочетания традиционной формы обучения и обучения с использованием компьютерных программ, в соответствии с которыми одной из основных форм обучения является лабораторно-практическое занятие;
отобраны существующие и разработаны новые компьютерно-ориентированные задачи, в том числе и прикладные;
показаны возможности использования компьютерных программ как одного из средств наглядности в курсе дифференциальных уравнений.
Теоретическая значимость. Теоретически обоснована методика использования компьютерных программ для решения дифференциальных уравнений и предложена модель данной методики. Подробно исследованы компьютерные программы Dfield, Pplane, Odesolve с точки зрения их роли и потенциальных возможностей как средства новых информационных технологий при обучении решению дифференциальных уравнений. Выделены компьютерно-ориентированные задачи в курсе дифференциальных уравнений и обоснована целесообразность их решения.
Практическая значимость полученных результатов обусловлена, прежде всего, созданием учебного пособия «Задачник по дифференциальным уравнениям (с использованием систем компьютерной математики)». Кроме того, в диссертации содержатся конкретные рекомендации по внедрению в курс дифференциальных уравнений средств новых информационных технологий. Разработанная методика может быть использована в практике подготовки будущих учителей математики по дисциплине «Дифференциальные уравнения». Данная методика обучения может служить основой для дальнейшего совершенствования программ, учебных пособий и учебников по дифференциальным уравнениям и учебных планов для студентов математических специальностей педагогических вузов, направленных на повышение качества профессиональной подготовки будущих учителей математики.
Достоверность результатов и обоснованность выводов, полученных в диссертационном исследовании, обеспечиваются: методологической обоснованностью исходных теоретических позиций; использованием современных концептуальных и апробированных в науке методов исследования, адекватностью системы методов поставленным в работе цели, объекту, предмету и задачам исследования; репрезентативностью и достаточным объемом выборки экспериментальных и контрольных групп, корректным использованием процедур статистической обработки эмпирических данных, высокой частотой полученных положительных статистически значимых результатов педагогического экс-6
перимента; положительной оценкой разработанных методических материалов преподавателями, участвующими в проведении экспериментальной работы; непротиворечивостью промежуточных результатов и выводов.
Базой научного исследования и опытно-экспериментальной работы явились: кафедра математики, физики и методики преподавания Школы педагогики Дальневосточного федерального университета (г. Уссурийск, Приморский край), математический факультет Московского педагогического государственного университета.
Исследование проводилось с 2008 по 2013 год и включало в себя три этапа.
На первом этапе (2008–2009) было выявлено состояние рассматриваемой проблемы в теории и практике обучения, дифференциальным уравнениям в педагогических вузах, отобран материал по теме исследования, разработана методика исследования.
На втором этапе (2009–2011) было проведено теоретическое исследование. Выявлены психолого-педагогические основы использования информационных технологий при обучении решению дифференциальных уравнений, выявлены конкретные методические и практические пути и средства реализации основных теоретических положений, параллельно разрабатывалась методика обучения решению дифференциальных уравнений, основанная на использовании информационных технологий.
На третьем этапе (2011–2013) было осуществлено внедрение полученных результатов в практику преподавания на физико-математическом факультете Школы педагогики Дальневосточного федерального государственного университета и на кафедре математического анализа Московского педагогического государственного университета.
На защиту выносятся следующие положения:
выявленные возможности компьютерных программ (Dfield, Pplane, Odesolve), используемых в качестве средств новых информационных технологий при обучении решению дифференциальных уравнений будущих учителей математики, способствуют расширению знаний студентов о приближенных методах решения дифференциальных уравнений, повышению прикладной направленности данного курса и его наглядности;
разработанная на основе выявленных возможностей модель и соответствующая ей методика обучения решению дифференциальных уравнений с применением компьютерных программ для будущих учителей математики сочетает в себе традиционные формы и средства обучения с формами и методами, продиктованными использованием компьютерных программ, а именно, использование лабораторно-практических занятий, как основной формы обучения решению дифференциальных уравнений, и использование программ Dfield, Pplane, Odesolve как средства обучения решению дифференциальных уравнений;
предложенная модель и соответствующая ей методика обучения реше
нию дифференциальных уравнений с применением компьютерных программ
способствует повышению качества математической подготовки, за счет вклю
чения в обучение компьютерно-ориентированных задач, то есть задач, при ре-
7
шении которых требуется применение приближенных методов решения, в том числе и прикладных задач (решаемых графическими и численными методами). Основные положения исследования обсуждались и докладывались на: XXVII Всероссийском семинаре преподавателей математики университетов и педагогических вузов, посвященном 70-летию со дня рождения доктора педагогических наук профессора И.Д. Пехлецкого «Проблемы многоуровневой подготовки учителей математики для современной школы» (24–26 сентября 2008 г., г. Пермь); Московской областной научно-практической конференции «Актуальные вопросы преподавания математики в школе и педагогическом вузе» (Коломна, 2008); Международной научно-практической конференции, посвященной 100-летию со дня рождения З.А. Биишевой «Новые образовательные технологии в школе и вузе: математика, физика, информатика» (Стерлитамак, 2008); IV Международной научной конференции «Математика. Образование. Культура» (Тольятти, 2009); XXVIII Всероссийском семинаре преподавателей математики университетов и педагогических вузов «Проблемы преемственности в обучении математике на уровне общего и профессионального образования» (Екатеринбург, 2009); Международной научно-практической конференции «Современные достижения в науке и образовании: математика и информатика» (Архангельск, 2010); VIII Международных Колмогоровских чтениях (Ярославль, 2010); Всероссийском съезде учителей математики (МГУ, 2010); Межрегиональной научно-практической конференции «Модернизация высшего образования в Республике Коми: проблемы качества обучения» (Ухта, 2011); V Международной научной конференции «Математика. Образование. Культура» (к 75-летию В.М. Монахова) (Тольятти, 2011); IV Международной научной конференции «Современные проблемы прикладной математики, теории управления и математического моделирования» (Воронеж, 2011); ХХХ Всероссийском семинаре преподавателей математики высших учебных заведений «Инновационные технологии обучения математике в школе и вузе» (Елабуга, 2011); Международной научно-практической конференции «Информационные технологии в образовании» (Ульяновск, 2011); Международной научно-практической конференции «Информатизация как целевая ориентация и стратегический ресурс образования» (Архангельск, 2012); XXXI Всероссийском семинаре преподавателей математики университетов и педагогических вузов «Проблемы преподавания математики в школе и вузе в условиях реализации новых образовательных стандартов», посвященном 25-летию семинара (Тобольск, 2012); Четвертой Международной конференции, посвященной 90-летию со дня рождения члена-корреспондента РАН, академика Европейской академии наук Л.Д. Кудрявцева «Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования» (Москва, 2013); Международной конференции, посвященной 90-летию со дня рождения Г. Алиева (Баку, 2013); XXXII Международном семинаре преподавателей математики университетов и педагогических вузов «Современные подходы к оценке и качеству математического образования в школе и вузе», (Екатеринбург, 2013); VI Международной научной конференции «Математика. Образование. Культура» (Тольятти, 2013); Международной конференции, посвященной 150-летию Д.А. Граве «Математика в современном мире» (Вологда, 2013); научно-8
методическом семинаре математического факультета МПГУ «Актуальные проблемы преподавания математики и информатики в школе и педагогическом вузе» (Москва, 2013).
Внедрение результатов исследования осуществлялось в процессе преподавания дисциплины «Дифференциальные уравнения» (2010–2013).
По теме диссертации опубликовано 37 научных и учебно-методических работ, в том числе 8 статей в изданиях, рекомендованных ВАК Минобрнауки России, и учебное пособие с грифом УМО по образованию в области подготовки педагогических кадров.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы и двух приложений. Общий объем работы 211 с., основной текст составляет 174 с., список литературы содержит 213 наименований.
Исторический обзор методов решения дифференциальных уравнений
Г.В. Лейбниц говорил «кто хочет ограничиться настоящим, без знания прошлого, тот никогда его не поймет…». Именно поэтому рассмотрим историю возникновения теории дифференциальных уравнений.
Задачи, относящиеся к теории дифференциальных уравнений, появились на рубеже XVI- XVII веков связи с решением различных проблем физики, математики и механики. Считается, что с задачами, в той или иной степени связанными с дифференциальными уравнениями, математики впервые встретились, когда при создании таблиц логарифмов Дж. Непер положил в основу кинематическое представление о двух связанных между собой непрерывных прямолинейных движениях. Чуть позднее задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям, появились и в области математического естествознания. Здесь можно отметить проблему падения тела в среде без сопротивления, решенную Г. Галилеем, а также «обратную задачу на касательные», поставленную и решенную Р. Декартом после открытия в оптике закона преломления света. Сам термин впервые употребил Лейбниц в письме к Ньютону (1676), а затем он появился и в печати (с 1684). [10]
И. Ньютон в книге «Метод флюксий и бесконечных рядов», написанной 1671 году, используя метод последовательных приближений, решает целый ряд дифференциальных уравнений. В современных обозначениях эти дифференциальные уравнения имеют вид F(x, y) = 0 и F(x, y, y) = 0. При этом Ньютон занимается вычислением не общих, а частных интегралов и лишь иногда дописывает произвольную постоянную.
Однако сами создатели математического анализа – Ньютон, Лейбниц и их последователи столкнулись с ограничениями в области применения аналитических методов к решению ряда фундаментальных и прикладных задач. В частности, многие дифференциальные уравнения, важные для практики, не решались в квадратурах, т.е. не интегрировались аналитически. Попытки выразить аналитически корни алгебраических уравнений выше четвертой степени также оставались безуспешными. Поэтому параллельно с развитием аналитических методов математики разрабатывают методы приближенных вычислений для решения неотложных прикладных задач. [60]
Приближенные методы решения дифференциальных уравнений делятся на аналитические методы, представляющие решение в виде аналитического выражения, численные методы, позволяющие найти искомое решение лишь в отдельных точках, то есть в виде таблицы, и графические методы, использующие геометрические построения. К графическим методам решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, широко использующихся в наше время, можно отнести метод изоклин и метод ломаных.
Первое упоминание о графическом решении обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка встречается в 1694 г. у И. Бернулли, когда он опубликовал в «Acta Eruditorum» статью «Общий способ построения всех дифференциальных уравнений первого порядка». Здесь появились выражения «порядок» уравнения и «разделение» переменных – последним термином И. Бернулли пользовался еще в своих «Лекциях». Выражая сомнение в сводимости любого уравнения к виду с разделяющимися переменными, И. Бернулли предлагает для dy уравнений первого порядка f(x,y, )=0 общий прием построения всех инте-dx гральных кривых при помощи изоклин в определяемом уравнением поле направлений. Изоклины (И. Бернулли называет их директрисами) вводятся как линии f (x, y,k) = 0, в точках которых искомые интегральные кривые имеют касательные с одним и тем же наклоном k. Каждая интегральная кривая образуется из смыкающихся бесконечно малых прямых отрезков, проводимых соответственно наклону в данной точке от одной изоклины к другой. Из самого характера построения делается заключение о существовании бесконечного множества интегральных кривых. Особо рассмотрен вопрос об уравнении кривой точек перегиба инте гральных кривых. В заключение автор писал, что предложенная идея может быть распространена на уравнения второго и высших порядков.
Рассуждения И. Бернулли в данной статье напоминают своего рода геометрическое доказательство существования непрерывных интегральных кривых данного дифференциального уравнения, возникающих, когда сомкнутся стягивающиеся в точки отрезки прямых. Одним из достоинств такого геометрического построения Бернулли считал и то обстоятельство, что он позволяет обойтись не только без разделения переменных, чаще всего невозможного, но также в тех случаях, когда разделение возможно, без квадратур, из-за которых аналитическое решение нередко бывает практически неосуществимым. [212] В последующем для приближенного решения дифференциальных уравнений долгое время применялись исключительно аналитические методы. Например, метод Эйлера, или, как его часто называют, метод ломаных. Свой метод Эйлер описывает с аналитической точки зрения, не акцентируя внимания на графическом построении, но метод ломаных, который является геометрической интерпретацией метода Эйлера, относится к графическим методам.
Основной результат Л.Эйлера, касающийся этого метода, содержится в первом томе «Интегрального исчисления» (1768). Задача ставится сразу же в большой общности: для заданного уравнения dy/dx = V, где V – некоторая функция х и у , найти приближенно полный интеграл. Возникает вопрос: почему речь идет о полном, а не о частном интеграле? Последующее замечание Л.Эйлера показывает, что имеется в виду задача с начальными условиями. Действительно, то, что теперь ищется полный, а не частный интеграл, указывает Л. Эйлер, следует понимать в том смысле, что переменная у должна принимать некоторое заданное значение у = b, если другая переменная х принимает определенное значение х = а. Л. Эйлер отдает дань традиционной постановке задачи решения уравнения как задачи нахождения полного интеграла. Основание для такой постановки вопроса он видит в том, что начальные данные задаются в общей форме, а не в виде конкретных численных значений, как было в задачах, рассмотренных ранее.
Анализ стандартов нового поколения и курса дифференциальных уравнений с точки зрения применения информационных технологий
С 1995 – 2013 год, было принято четыре стандарта, которые отражали и отражают подготовку учителя математики. Рассмотрим данные стандарты с точки зрения содержания дисциплины «Дифференциальные уравнения». 1. ГОС ВПО по специальности 010100 – математика. Квалификация-учитель математики, срок обучения 5 лет (очное), Москва, 1995 г. Всего часов 8434. В рамках изучения дисциплины предметной подготовки «Математический анализ» изучается раздел «Дифференциальные уравнения». Содержание и количество часов по данному разделу в стандарте не указанно. [76] 2. ГОС ВПО Cпециальность 032100 Математика. Квалификация учитель математики, срок обучения 5 лет (очно), Москва, 2000 г. Всего часов 8884 ч. (ауд. 5104/ сам. 3780). В качестве дисциплины предметной подготовки указанна дисциплина «Дифференциальные уравнения и уравнения с частными производными». Содержание дисциплины: основные понятия теории обыкновенных дифференциальных уравнений, теорема существования и единственности решения задачи Коши, простейшие дифференциальные уравнения и методы их решения, линейные дифференциальные уравнения n-го порядка и линейные системы, уравнения с частными производными, метод Фурье. Всего на изучение данной дисциплины отводится 117 часов, в том числе 65 аудиторных и 52 часа самостоятельной работы, изучается в 7 семестре. [77] 3. ГОС ВПО Cпециальность 032100 Математика. Квалификация учитель математики, срок обучения 5 лет (очно), Москва, 2005 г. Всего часов 8884 ч. (ауд. 5104/ сам. 3780). В качестве дисциплины предметной подготовки указана «Диф ференциальные уравнения и уравнения с частными производными». Содержание дисциплины: основные понятия теории обыкновенных дифференциальных урав нений, теорема существования и единственности решения задачи Коши, поле на правлений, изоклины, простейшие дифференциальные уравнения и методы их решения, линейные дифференциальные уравнения n-го порядка и линейные сис темы, матричный метод интегрирования линейных систем дифференциальных уравнений, интегрирование линейных дифференциальных уравнений при помощи рядов, уравнения с частными производными, метод Фурье, история возникнове ния и развития теории дифференциальных уравнений. Всего на изучение данной дисциплины отводится 117 часов, в том числе 65 аудиторных и 52 часа самостоятельной работы, изучается в 7 семестре. [78] 4. ФГОС по направлению подготовки 050100 Педагогическое образование (квалификация (степень) «бакалавр»), Москва 2009. [195] Стандарт не предусматривает требований к обязательному минимуму содержания дисциплин. В рамках профессионального цикла вариативной части по профилю «Математика» основной образовательной программой (ООП) высшего профессионального образования предусмотрено изучение дисциплины «Дифференциальные уравнения». Согласно ООП при изучении данной дисциплины должны быть сформированы следующие специальные компетентности: владеет основными положениями классических разделов математической науки, базовыми идеями и методами математики, системой основных математических структур и аксиоматическим методом (СК-1); владеет культурой математического мышления, логической и алгоритмической культурой, способен понимать общую структуру математического знания, взаимосвязь между различными математическими дисциплинами, реа-лизовывать основные методы математических рассуждений на основе общих методов научного исследования и опыта решения учебных и научных проблем, пользоваться языком математики, корректно выражать и аргументировано обосновывать имеющиеся знания (СК-2); способен понимать универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость в различных областях человеческой деятельности, роль и место математики в системе наук, значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике, общекультурное значение математики (СК-3); владеет математикой как универсальным языком науки, средством моделирования явлений и процессов, способен пользоваться построением математических моделей для решения практических проблем, понимать критерии качества математических исследований, принципы экспериментальной и эмпирической проверки научных теорий (СК-4).
В результате изучения дисциплины студент должен: знать: основные методы решения дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными; наиболее известные практические проблемы, сводящиеся к решению дифференциальных уравнений; уметь: формулировать роль математики как универсального аппарата для решения практических проблем; владеть: навыками решения практических задач с помощью дифференциальных уравнений. Всего на изучение данной дисциплины отводится 4 зачетные единицы, что составляет 144 часа (72 аудиторной и 72 самостоятельной работы), изучается дисциплина в 7 семестре. [161]
Содержательный компонент методического обеспечения практических занятий по дифференциальным уравнениям с применением компьютерныхпрограмм
Мы рассмотрели все компоненты методики обучения дифференциальным уравнениям с использованием информационных технологий (программ Dfield, Pplane, Оdesolve). Цели обучения курсу дифференциальных уравнении с использования данных программ, содержание, формы и методы обучения. Представим все основные компоненты данной методики в виде модели (рисунок 17).
Вследствие того что мы предлагаем разбить курс дифференциальных уравнений на несколько направлении, то этапы учебной деятельности мы также разбиваем на направления: аналитические методы решения дифференциальных уравнений (АМР), приближенные методы решения дифференциальных уравнений (ПМР), прикладных задач по курсу дифференциальных уравнений (ПЗ). Вслед за Л.М. Фридманом [200] мы разбиваем учебную деятельность на три этапа: мотивационный, операционно-познавательный, рефлексивно-оценочный. Остановимся на данных этапах более подробно. В ходе лекционных занятий изучения дисциплины «Дифференциальные уравнения» начинается мотивационного этапа АМР. На этом этапе раскрывается, какое отражение курс дифференциальных уравнений находит в школьном курсе математики, освещается его тесная взаимосвязь с другими разделами математики, уделяется достаточно времени систематизации знаний необходимых для дальнейшего изучения данного курса. После это
Принципы обучения: доступности, научности, наглядности, моделирования, связи теории с практикой, межпредметных связей в обучении, параллельности, содержательного повтора, однотипности, целесообразности.
Методы: объяснительно-иллюстративный; дедук тивно-репродуктивный; индуктивно репродуктивный; обобщающе-репродуктивный. Содержание обучения: изучение нового материала (рассмотрение общего вида дифференциального уравнения определенного типа и алгоритма его решения); первичное осмысление усвоенного материала; воспроизведение изученного материала; его применение (решение задач, в которых требуется определить тип дифференциального уравнения и применить необходимый алгоритм решения)
Методы: объяснительно-иллюстративный. Содержание обучения: мотивация изучения нового материала (рассмотрение уравнений, не решаемых аналитическими методами; обзор программ, реализующих решение дифференциальных уравнений и демонстрация их возможностей)
Методы: объяснительно-иллюстративный; дедук тивно-репродуктивный; индуктивно репродуктивный; обобщающе-ірепродуктивный. Содержание обучения: изучение нового материала (рассмотрение графических и численных методов решение, интерфейс программ и алгоритм реализации приближенных методов); первичное осмысление усвоенного материала; воспроизведение изученного материала; его применение (нахождение требуемого приближенного решения с помощью компьютерных программ, анализ полученного решения), осмысление.
Методы: объяснительно-иллюстративный; дедук тивно-репродуктивный; индуктивно репродуктивный; эвристический. Содержание обучения: изучение нового материала (основные этапы моделирования, исследование готовых математических моделей, составление дифференциальных уравнений по условиям задач); первичное осмысление материала; воспроизведение изученного материала; его применение в стандартных условиях (исследование задач с заданными моделями, составление задач по известным моделям, задачи на составление математических моделей, решение моделей с помощью компьютерных программ и аналитических методов).
В ходе этого этапа студентам сообщаются знания из теории дифференциальных уравнений, излагаются аналитические методы решения определенных типов дифференциальных уравнений. На данном этапе происходит формирования умений определять тип дифференциального уравнения и применять определенный аналитический метод решения. С этой целью студентам предлагаются соответствующие задачи. Далее студентам сообщается и о приближенных методах решения дифференциальных уравнений и вследствие этого происходит переход к мотивационному. этапу ПРМ. Необходимо уделить должное внимание тому, что большинство дифференциальных уравнений не решается аналитическими методами и вследствие этого существуют приближенные методы их решения, реализация которых весьма трудоемка и требует применения современных программных средств. На операционно-познавательном этапе ПМР студенты изучают интерфейс и основные возможности программ предназначенных для приближенных методов решения дифференциальных уравнений, а также алгоритмы их применения, у студентов формируется умение использовать программные средства для решения дифференциальных уравнений приближенными методами используя предложенные алгоритмы. После изучения аналитических и приближенных методов решения происходит переход к мотивационному этапу ПЗ. На данном этапе внимание уделяется взаимосвязи теории дифференциальных уравнений с другими науками, вопросу основных этапов математического моделирования. На операционно-познавательном этапе ПЗ происходит рассмотрение конкретных задач прикладного характера и составление дифференциальных уравнений описываемых в задачах процессах и явлений. Поскольку составленная математическая модель требует решения, данный этап тесно связан с операционно-познавательными этапами АМР и ПМР. Но здесь методы решения дифференциальных уравнений присутствуют в неявном виде.
Рефлексивно-оценочной этап подразумевает самоконтроль. Студенты сами контролируют усвоение, как теоретических знаний, так и правильность решения задач в ходе аудиторной и внеаудиторной работы. Также данный на данном этапе происходит текущий и итоговый контроль знаний студентов со стороны преподавателя. В ходе всего обучения студентам предоставляются разнообразные самостоятельные и контрольные работы по результатам, которых делается заключения об уровне усвоения изученного материала. Для эффективной реализации предложенной методики мы предлагаем рекомендации по применению. 1. Использование компьютерных программ, в качестве новых информационных технологий, не должно носить эпизодический характер, данные программы должны использоваться студентами и преподавателем систематически в ходе аудиторной и внеаудиторной работ. Именно по этой причи не одной из основных форм обучения следует использовать лабораторно практическое занятие, в ходе которого происходит сочетание обучения без использования компьютера и обучения с применением компьютерных про грамм. Следует использовать компьютерные программы для непосредственного решения задач и для объяснения теоретического материала. 2. Использование компьютерных программ должно быть обоснованным и понятным студентам. С этой целью целесообразно решать некоторые задачи как без компьютера, так и с применением компьютерных программ, при этом вместе со студентами выделять достоинства и недостатки каждого из методов. 3. Обучение должно происходить в следующей последовательности: изучение типа дифференциального уравнения и аналитических методов решения уравнения данного типа изучение приближенных методов решения дифференциального уравнения данного типа реализация приближенных методов решения с помощью компьютерных программ решения прикладных задач, моделью которых являются уравнения данного типа, с помощью компьютерных программ.
Критерии оценки уровней сформированности компетенций у будущих учителей математики
Как уже отмечалось ранее, ученые пока не пришли к единому мнению относительно определения понятия «компетенция». Мы в нашем исследовании разделяем мнения ряда авторов [163] и понимаем под компетенцией «сложное, интегрированное понятие, характеризующее способность человека реализовывать весь свой потенциал (знания, умения, личностные качества) для решения профессиональных и социальных задач в определенной области». Таким образом, компетенция подразумевает совокупность трех основных компонентов: когнитивный (использования теории и основных понятий), функциональный (профессиональные умения и навыки), личностный (целеустремленность, трудолюбие, нравственные ценности, ответственное отношение к своим обязанностям, мотивация).
В качестве критериев оценки компетенций обеспечивающих диагностику способностей студентов к осуществлению видов деятельности на основе сформированного опыта выделим следующие: когнитивный (знания по основным теоретическим вопросам); функциональный (умения действовать по образцу, умения действовать в нестандартных ситуациях); личностный (мотивация, личностные ориентации). Итоговая оценка уровня сформированности каждой компетентности (СК-1, СК-2, СК-3, СК-4,ОК-8, ПК-2) отдельного студента рассчитывалась с учетом оценок выделенных компонентов (мотивов, ценностей, математических знаний, умений, навыков). В соответствии с критериями оценки в нашем исследовании, мы определили уровни сформированности компонентов компетенций следующим образом: низкий, базовый, повышенный, высокий (таблица 6) (В приложение 2 описаны уровни для каждой компетенции).
Современная педагогическая наука и теория обучения имеет сложившиеся традиции в области экспериментальной проверки новых методик обучения. Эффективность разработанной методики определялась в ходе формирующего эксперимента. Непосредственным объектом формирующего эксперимента явились изменения уровней сформированности компетенций студентов, происходящие под влиянием педагогического воздействия применения в учебном процессе компьютерных программ. Эксперимент проводился в течение 2008-2013 гг. на кафедре математики, физики и методики преподавания Школы педагогики Дальневосточного федерального университета. На констатирующем этапе эксперимента в 2008—2009 гг. были выявлены направления внедрения средств новых информационных технологий в процессе обучения решению дифференциальных уравнений студентами педвузов, проанализированы возможности применения компьютерных программ для решения дифференциальных уравнений, проанализирована литература и исследования как по вопросам преподавания курса дифференциальных уравнений, так и по вопросам применения информационных технологий в обучении математике.
На поисковом этапе эксперимента 2009-2011 гг. сформулирована гипотеза исследования, цели и задачи исследования. На основе анализа научно-педагогической литературы и диссертационных исследований по теории и методике обучения математике в вузе, по дифференциальным уравнениям, по информатизации образования были выделены психолого-педагогические основы использования информационных технологий при обучении решению дифференциальных уравнений, были выявлены конкретные методические и практические пути и средства реализации предлагаемой методики.
В формирующем эксперименте 2011-2013 гг. на первом этапе был произведен выбор и выравнивание экспериментальной и контрольных групп по результатам предшествующей экзаменационной сессии. Далее были определенны условия эксперимента: в контрольной группе занятия проводятся в традиционной форме без применения компьютерных программ, в экспериментальной группе для решения использовались программы Dfield, Pplane и Odesolve.
В педагогическом эксперименте участвовало 69 студентов. Формирующий эксперимент проводился с 2011-2013 гг. С 2011-2012 число студентов в экспериментальной группе составило 19 человек, а в контрольной 16 человек. С 2012-2013 число студентов в экспериментальной группе составило 16 человек, а в контрольной 17 человек. Таким образом, состав экспериментальной группы 35 человек, а состав контрольной 33.
Учитывая тот факт что объем каждой из выборок не велик (меньше 60) то сопоставим данные об итоговой оценки уровня сформированности компе-160 тенции для экспериментальной и контрольной групп с U- критерия Вилкок-сона (Манна- Унтни). Выдвинем две гипотезы: Представим данные в виде диаграммы (рисунок 30). Анализируя диаграмму можно сделать выводы о том, что в экспериментальной группе все компетенции сформированы на более высоком уровне, особенно СК-3 и СК-4 которые отражают прикладную направленность курса дифференциальных уравнений и умение студентов по моделированию процессов и явлений. Именно по данным направлениям применялись компьютерные программы Dfield, Pplane, Odesolve.
