Содержание к диссертации
ВВЕДЕНИЕ 4
глава I. МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ ИЗУЧЕНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ ТЕОРИИ ДИСКРЕТНЫХ ГРУПП ПРЕОБРАЗОВАНИИ НА ФАКУЛЬТАТИВНЫХ ЗАНЯТИЯХ 16
1.1, ВОПРОСЫ теории дискретных групп преобразований внаучной и учебно-мотодической литературе 16
1.2, Основные методические проблемы обучения теме
"Дискретные группы движений в плоскости Евклида и Лобачевского" 27
1.3, Методические особенности постановки факультативного курса "Дискретные группы движений в плоскости Евклида и Лобачевского" 35
1.3.1. ПРИНЦИПЫ отбора содержания факультативного курса 35
1.3.2. Принципы отбора теоретического материала факультативного курса .43
Глава II. ФАКУЛЬТАТИВНЫЙ КУРС ДИСКРЕТНЫЕ ГРУППЫ ДВИЖЕНИИ В ПЛОСКОСТИ ЕВКЛИДА И ЛОБАЧЕВСКОГО" 57
Основные методические идеи обучения учащийся
на факультативе. ...*57
2.2. Методика изучения темы "Дискретные группы дви
жений в плоскости Евклида" 66
2.2.1. Методика изучения раздела "Основ
ные виды движений плоскости"... 68
2.2.2./методика' изучения раздела "Группы движений плоскости. 79
2.2.3. Методика изучения раздела "Дискретные группы движений Плоскости" 89
2.2.4 Методика изучения темы "Геометрия Лобачевского, дискретные группы движений плоскости Лобачевского 123
2.3.1. Методика изучения раздела "Элементы геометрии Лобачевского" 125
2.3.2. методика изучения раздела "Дискретные группы двшкений в плоскости Лобачевского"- » 143
особенности изучения факультативного курса в классак с углубленным изучением математики 152
Глава III. ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ЭКСПЕРИМЕНТ. 157
3. Организация и основные итоги эксперимента попроведению факультативного курса "Дискретные группы движений в плоскости Евклида и Лобачевского152
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 189
ЛИТЕРАТУРА 191
ПРИЛОЖЕНИЕ 201
ПРИЛОЖЕНИЕМ 249
ПРИЛОЖЕНИЕ 262
Введение к работе
В настоящее время в условиях современной гуманизации и гуманитаризации образования все большее значение приобретает личностный подкол к обучению- Цель современной школы - развитие личности учащегося, формирование его ценностного сознания. Современная концепция развития образования предполагает поиск новый Форм и методов организации учебного процесса, которые позволят максимально раскрыть индивидуальные особенности школьника, ориентируясь на способности и склонности учащегося, осуществление такого подхода вполне возможно на факультативный занятиям
Основная цель Факультативный занятий - расширение, ; углубление и развитие образования в средней школе, развитие интересов и способностей учащийся в избранных ими областях знаний. Применительно к математике эта цель заключается в сближении школьного курса математики с современной наукой, в ознакомлении школьников с важнейшими современными идеями математики. Специфика Факультативный КУРСОВ В современный условияк позволяет решать сложные проблемы: повышение интереса к наукам, обеспечение высокого теоретического уровня знаний; ориентация учащийся.в отношении выбора жизненного пути, существенным образом связанного в перспективе с математикой.
Как видно из трудов виднейший псикологов и педагогов С. Л. Рубинштейна С81), л. и.. Божович СібЗ, П.Я. Гальперина Сйб)? Н.А. менчинской С623» Н.Ф, Талызиной с943, психологические особенности развития учащихся старших классов благоприятствуют постановке довольно сложных по научному уровню Факультативных занятий.
Проблемам совершенствования математического образования,возможного сближения школьного курса математики с математической наукой, изучению на доступном для учащийся уровне идей современной математики посвящены работы известный математиков и педагогов, среди которых: А. Р. Кулшер і 48), К.Ф. Лебединцев С 533, В.В. Лермантов С54), К.А. ПОССЄ С77), В.Б. СТРУВЄ С 77), СИ. Шохор-Трощшй С1053, Б.в. Гнеленко С283 А.Л. Александров С 1,2,33, В.Г, Болтянский CIS), Л.Д. Кудрявцев С473, А.Я. Хин-чин (104).
В качестве одной из фундаментальный теорий современной математики, элементы которой могут изучаться на факультативных занятиях, мы предлагаем теорию дискретных групп преобразований теория дискретных групп преобразований - это современная и быстро развивакщаяся область геометрии, изучающая действия дискретных групп на многообразиях, стимулом развития теории дискретных групп преобразований явились потребности таких наук, как теория дифференциальных уравнений, теория функций, геометрия, теория чисел, кристаллография и других областей науки. Наиболее интересным и приемлемым для изучения в средней школе материалом, на наш взгляд, является применение теории дискретных групп преобразований в решении задачи замощения плоскости Евклида и Лобачевского. Опыт научно-исследовательской работы показал, что изучение элементов теории дискретных групп преобразований Скак в плоскости Евклида, так и в плоскости Лобачевского) на Факультативных занятиях в старших классах вполне реально.
В настоящей диссертации проиллюстрированы принципы отбора содержания и организации учебного материала факультативного курса ".ДИСКРРТННР ГРУППЫ ПЙИЖРННЙ в шюгапгти Нвклидя и Лпба ыевсшш . и его ДВУХ частей: "Дискретные группы движений в плоскости Евклида" и "Геометрия Лобачевского, дискретные группы движений плоскости Лобачевского" - для изучения В 10,11 классам средней школы.
Выбор этик тем можно обосновать следующими соображениями:
- в основе Факультативного курса "Дискретные группы движений в плоскости Евклида и Лобачевского" лежит одно из основный понятий математики - геометрическое преобразование;
- геометрические преобразования являются одной из содержательный линий школьного курса геометрии:
- множество движений плоскости относительно ик суперпозиции образует группу, являщуюся примером математической структуры» которая имеет наиболее богатые приложения в различных областях науки и техники, то есть появляется возможность показа на конкретном примере целостной теории;
- школьный КУРС геометрии» построенный на аксиоматической основе, таит в себе благоприятные возможности и обладает достаточными резервами для изучения в рамках факультативных занятий элементов геометрии Лобачевского;
- наиболее наглядным примером показа целостной теории является изложение элементов теории дискретный групп преобразований как в геометрии Евклида, так и в геометрии Лобачевского.
Под целостной теорией мы понимаем здесь минимальную структуру, адекватную общепринятой структурной единице науки, которая состоит из двух основный частей: оснований сосновные понятия и исходные посылки) и следствий (объяснения и интерприта-ция известных Фактов и предсказание новых).
Через применение структур появляется возможность раскрыть учащимся абстрактный характер математики, показать возникновение математических абстракций, значение математических методов, умение осмыслить математику с точки зрения СТРУКТУР - это значит умение отвлечься от конкретного содержания, воспользо
ваться методом, языком математики, в чем и состоит ее практическая ценность. Понятие математической структуры позволяет установить единство в многообразии математических Фактов и методов.
Понимание роли структур может быть достигнуто через изучение конкретных структур и вопросов, которые помогают понять значение структурного подхода при изучении конкретного материала. Знакомство с основами аксиоматического метода при изучении элементов геометрии Лобачевского, построение новой геометрии и ее модели позволяет привести учащихся к общему понятию математической структуры, первым примером которой рассматривалось понятие группы геометрических преобразований.
Ознакомление учащихся с геометрией Лобачевского, само по себе, важно с различных точек зрения: с логической - это новая аксиоматика геометрии; с познавательной - как один из примеров неевклидовой геометрии; с исторической - на примере геометрии Лобачевского можно показать учащимся РОЛЬ русских ученых в развитии науки; с прикладной - изучение геометрии Лобачевского способствует изучению других разделов науки, в частности, теории относительности; с философской - у учащихся формируются представления о геометрии реального физического пространства и т.д. Таким образом, ознакомление с геометрией Лобачевского -элемент общей культуры, с ней должен быть знаком каждый человек.
Основная цель изучения теории состоит, как известно, в том, чтобы научиться ее применять. Всякая теория может jприменяться либо для изучения, развития другой теории, либо ДІІЯ ре-шения практических задач. Поэтому, применительно к нашей! теме, необходимо показать конкретно, с одной стороны, применение элементов теории дискретных групп в геометрии с Евклида и лобачев-скогоз, с другой - приложения теории дискретных групп преобра зований к построению орнаментов, паркетов и решению практический и прикладным задач.
Вопросам теории дискретных групп преобразований посвящено значительное количество литературы, касащейся как геометрии действия этик групп, так и приложений С к теории функций комплексного переменного, топологии,, дифференциальным уравнениям, теории чисел, кристаллографии). Этим вопросам посвящены; работы А. Пуанкаре С109), В. Тёрстона С110), Е.Н. Дпанасова С?,8), А. Б9РД0На С13), KLM РябухИДО С 82), З.Б. ВйНберга С2±,ІЗ&,23), а также д. Гильберта С27) с Кон-Фоссен с27), М.верже с 14), Г.СМ. Коксетера С42) и других авторов. Все перечисленные работы являются строго научными или научно-популярными. Практически, не существует литературы, ориентированной на неподготовленного читателя, на первое знакомство с предметом. ВОПРОСЫ обучения этим темам в методической литературе еще не рассматривались.
Необходимой основой для изучения факультативного курса является тема "Геометрические преобразования". Разработка методики обучения теме "Геометрические преобразования" привлекала внимание многик методистов. Вопросам ознакомления учащийся с группами преобразований на факультативный занятияк посвящены диссертационные исследования А. Р. А. Сайед С 83), Н.В. Аммосовой С 6), А.М. Янченко С108), Т.К. Уткиной С 98), м.А. Петровой С 70) и другик авторов. Методика изучения элементов теории дискретных групп преобразований и ее приложений в решении задачи замощения плоскости на Факультативных занятияк еще не рассматривалась.
Для изучения ВТОРОЙ части Факультативного курса предполагается знакомство учащикся с элементами геометрии Лобачевского. Этим вопросам посвящены работы авторов: В. Г. Болтянского С18), А. В. Силина С 87), Н. А. Шмаковой С 87), Б. В. Кутузова С 49), Е.Е.
Семенова (86) и других. Программы факультативным курсов, знакомящий старшеклассников с элементами неевклидовых геометрий и методика организации их работы предлагались в разное время н. Р. гшбуллаевым с255; П. В.Мартиросян с б!}, т. И. саламатовой с843, Е.А.Ермак с333. Во веек перечисленных выше работах основной акцент делается на применение геометрии Лобачевского, в решении задач Физики, теории относительности и астрономии,:! в решении практических задач с помощью сферической и гиперболической геометрий. Вопросы дискретных групп движений в плоскости Лобачевского и методика изучения ЭТОЙ темы в работах перечисленных выше авторов не рассматривались.
Наряду с большим количеством имевдихся научных работ по геометрии дискретных групп и интенсивным развитием этого направления науки, элементы теории дискретных групп преобразований в плоскости Евклида и Лобачевского на Факультативных занятиях в школе не изучались Практически, не существует литературы, ориентированной на неподготовленного читателя. Вопрос методики изучения этой темы на факультативных занятиях не исследовался.
Кроме того, как показывает анализ современной педагогической и методической литературы, многие студенты-первокурсники естественно-научных и математических факультетов университетов испытывают серьезные трудности, прежде всего на первых этапах обучения в высшей школе, при изучении математических теорий высокого уровня абстракции. Поскольку на факультативах обучаются, как правило, те дети, которые связывают свое будущее если не с математикой, то с естественно-научным циклом дисциплин, безусловно, еще в средней школе следует готовить их к преодолению упомянутых выше трудностей. Одним из возможных путей их преодоления мы видим усиление роли математической теории ПРИ обуче
ний геометрии на Факультативный занятиях.
Таким образом, возникает необходимость разработки содержания факультативного курса "Декретные группы движений в плоскости Евклида и Лобачевского" на уровне, адекватном для школьников старшин классов, и методики его изучения с тем, чтобы на примере конкретной темы показать учащимся особенности математической теории и начать подготовку к более действенному изучению высоких математаческих абстракций.
Все сказанное выше определяет ак-луальнпгть темы исследования.
проблема ислепования заключается в поиске путей постановки Факультативного курса по изучению элементов теории дискретных групп преобразований в старших классах.
1 ль работы состоит в разработке содержания и методики изучения Факультативного курса "Дискретные группы движений в плоскости Евклида и Лобачевского", направленной на усиление теоретических аспектов геометрии, исследования является процесс обучения геометрии на Факультативных занятиях,
предметом исследовании является содержание учебного материала по теме:"дискретные группы движений в плоскости Евклида и Лобачевского" и методика его изучения,
В ходе исследования была выдвинута гипотеза согласно которой, реализация методических особенностей постановки Факультативного курса "Дискретные группы движений в плоскости Евклида и Лобачевского", направленных на усиление роли математической теории, будет способствовать более глубокому усвоению программного материала, создаст объективные предпосылки для повышения
уровня математической культуры и интеллектуального развития школьников.
Для решения проблемы исследования и проверки достоверности сформулированной гипотезы необходимо было последовательно решить следующие зшши.:
1. Произвести анализ научной и.учебно-методической литературы по теме исследования.
2. Выявить методические особенности постановки факультативного курса "Дискретные группы движений в плоскости Евклида и Лобачевского" в современный условиях с учетом усиления теоретический аспектов геометрии.
3. Разработать СТРУКТУРУ И содержание Факультативного курса "Дискретные группы движений в плоскости Евклида и Лобачевского" на уровне, адекватном для школьников стариш классов,
4. Разработать методические рекомендации по изучению тем Факультативного курса "Дискретные группы движений в плоскости Евклида и Лобачевского ".
5 Провести экспериментальную проверку разработанных материалов.
При решении поставленный задач использовались следующие
МЕТОДЫ исследования:
- изучение и анализ научной и учебно-методической литературы по теме исследования:
- обобщение опыта постановки Факультативным курсов;
- беседы с учителями школ и преподавателями вузов;
- беседы и анкетирование школьников;
- организация и проведение педагогического эксперимента;
- количественная, качественная и статистическая обработка данных, полученных в результате эксперимента.
Исследование проводилось с 1333 по 1997 г.г. и включало в себя несколько этапов:
на пешпм этапа был проведен анализ математической, психолого-педагогической и методической литературы по проблеме исследования, изучен опыт постановки Факультативных курсов по математике, определен предмет исследования, организован констатирующий эксперимент на были подготовлены учебные материалы и методические рекомендации к ним по темам: "Дискретные группы движений в плоскости Евклида" и "Геометрия Лобачевского, дискретные группы движений плоскости Лобачевского", разработаны отобран комплекс задач на основе ик непосредственной взаимосвязи с теоретическими знаниями. Организован поисковый эксперимент разрабатывалась методика проведения обучающего эксперимента и осуществлялась его реализация на четвертом этапе была проведена количественная и качественная обработка материалов эксперимента, сформулированы общие выводы и заключение по проведенному исследованию научная ыпгаляма проведенного исследования состоит в разработке содержания Факультативного курса по математике "Дискретные группы движений в плоскости Евклида и Лобачевского" и методический рекомендаций по его изучению, теоретическая значимость исследования состоит в том, что:
- обоснована целесообразность и возможность изучения элементов теории дискретный групп преобразований на Факультативных занятиях;
- разработаны основы изучения элементов теории дискретных групп преобразований в плоскости Евклида и Лобачевского на факультативных занятиях по математике;
практичргкая значимость работы заключается в том, что:
- разработано содержание факультативного курса "Дискретные группы движений в плоскости Евклида и Лобачевского"?
- предложено примерное планирование факультативных занятий по данной теме для учащихся 10,11 классов;
- разработаны методические рекомендации по изучению тем Факультативного курса;
- разработанные по темам "Дискретные группы движений в плоскости Евклида." и "геометрия Лобачевского. Дискретные группы движений плоскости Лобачевского." материалы могут быть использованы учителями для проведения факультативных занятий и занятий по выбору, как в обычных классах, так и в классах с углубленным изучением предметов естественно-математического цикла, в лицеях и гимназиях:
- отдельные разделы Факультативного курса могут быть использованы автономно и в ДРУГИХ факультативах» а также для разработки факультативных занятий в классах с другими специализациями;
- материалы исследования могут быть использованы преподавателями педвузов для проведения спецкурсов, студентами для самостоятельного изучения.
на зашиту пшіпсмтс.я: содержание и методика изучения темы "Дискретные группы движений в плоскости Евклида и Лобачевского" на Факультативных занятиях в 10, и классах.
Апрпбатши ойзудътатпА игегадпаамия. ОСНОВНЫЙ методические выводы и результаты исследования обсуждались на кафедре геометрии МЛУ. Проводились доклады: на 4-ой научно-практической межвузовской региональной конференции Биробиджан, 1995г. ,: на семинарах методического объединения учителей математики г.Тобольска, на методическом семинаре преподавателей летней математической школы с Тобольск» 1936 г,Э« на семинаре "Передовые идеи в преподавании математики в России и за рубежом" СМПУ, 1997г.).
экспериментальная проверка, для оценки эффективности выдвинутый в ходе исследования положений был проведен педагогический эксперимент с 1ЭЭЗ по 199? г. г, на базе гимназии Мо 10 г. Тобольска и на базе летней математической школы г. Тобольска, где ежегодно обучаются дети с целью их раннего отбора, профориентации и профинформации,
Структура ; догартации- Диссертация состоит из введения,. трек глав, заключения, списка использованной литературы и трек приложений наиболее важные положения и результаты исследования отражены в следующих публикациях:
1. Группы симметрии. - Моск. пед. ун-т. -М. 1995. -Юс. ил. - Библиогр.: 6 назв. - Деп» В ВИНИТИ N 2898-В95.
2. р группах замощения Евклидовой и гиперболической плоскостей //Тезисы докладов 4г-ой научно-практической межвузовской региональной конференции, Ч.2 -Биробиджан, 1995 Г С. 33 -.34.
3. Школьникам о группах инвариантности. - Сб.: преподавание математики в условиях многоступенчатого обучения. - Нижневартовск, 1996 Г. - С. 65 - 70.
4. Проведение Факультативных занятий, посвященных проблемам организации учебного материала с усилением роли математичеасой теории. - Моск. пед. УН-Т. - М. 1997. - 14с. ил. - Биб-лиогр.: 4 назв. - Деп. в ОЦНИ "школа и педагогика" N 37-97.
5. Паркеты и дискретные группы преобразований. - Моск. пед. ун-т. - М. 1897. - 14 с. ил. - Библиогр.: 2 назв. - Леп. в ода "школа и педагогика" w 38-97.
