Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Научно-методические основы факультативной темы «Элементы высшей алгебры»
1.1. Обоснование целесообразности изучения элементов высшей алгебры в средней школе 13
1.2. Связь понятий высшей алгебры с основным курсом математики. 29
1.3. Психолого-педагогические предпосылки изучения элементов высшей алгебры на факультативных занятиях 46
1.4. Структура и методические особенности факультативного курса «Элементы высшей алгебры» 52
1.5. Основные методические идеи обучения учащихся на факультативе 63
.ГЛАВА II. Содержание и вопросы методики изучения факультативного курса «Элементы высшей алгебры»
2.1. Методика изучения темы «Множества и операции над ними» 76
2.2. Методика изучения темы «Алгебраические структуры» 89
2.3. Методика изучения темы «Элементы линейной алгебры» 104
2.4. Методика изучения темы «Многочлены от одной и нескольких неизвестных...
2.5. Методика изучения темы «Системы алгебраических уравнений»...125
2.6. Описание и результаты педагогического эксперимента 134
Заключение 143
Библиография 145
Приложение 1 158
Приложение 2 169
Приложение 3 179
Приложение 4 216
Приложение 5 225
Приложение 6 229
- Обоснование целесообразности изучения элементов высшей алгебры в средней школе
- Связь понятий высшей алгебры с основным курсом математики.
- Методика изучения темы «Множества и операции над ними»
Введение к работе
Современный период характеризуется стремительным прогрессом научных знаний, быстрой сменой технических идей, математизацией не только науки, но и большинства практических видов деятельности. Необычайно большое число будущих спепдалистов практически всех сфер деятельности человека нуждается в серьезной математической подготовке.
Прекрасные слова сказаны выдающимся педагогом И.Г. Песталоц-ци о необходимости математики для профессиональной подготовки: «Мы не можем не признать ту истину, если человек хорошо, т.е. природосооб-разно и удовлетворительным образом обучен считать, то он в себе самом уже содержит глубокие важнейшие основы всякого мастерства и всякой умелости» [87, с. 355].
Возросшая роль математики в жизни современного общества под-нимает значение математики как учебного предмета в средней школе и выдвигает перед современной школой задачу воспитания людей, способных не только извлекать из своей памяти готовые знания, но и умеющих ориентироваться в нарастающем потоке научной информации, владеющих общими идеями и методами, позволяющими охватить с общей точки зрения многообразные факты и явления.
Одной из важных и интенсивно развивающихся ветвей современной математики является общая алгебра. Проникновение ее идей и методов в самые различные разделы математики, например, топологию, функциональный анализ и др.- делает владение общей алгеброй необходимым элементом математической культуры.
Анализ содержания школьного математического образования позволил выявить ряд недостатков в обучении школьников:
Неподготовленность учащихся к пониманию современных научных идей и их применению. Это объясняется тем, что учебный предмет алгебры в настоящее время дает весьма узкое представление о современной алгебре. Курс алгебры средней школы содержит в основном материал, накопленный к середине XVII века, в котором переплетаются вопросы арифметики, алгебры и анализа. Такое разнообразие вопросов курса не может создать у учащихся представления о едином учебном предмете и о современной науке-алгебре.
Снижение уровня математической подготовки выпускников школ. Анализ ответов абитуриентов на вступительных экзаменах свидетельствует о том, что знания большинства учащихся носят формальный характер, наблюдается отсутствие структурности, т.е. взаимосвязи, как между раздельными понятиями, так и разделами школьного курса.
Студенты, особенно на первых ступенях обучения, испытывают серьезные трудности при обучении в вузе, поскольку познают большое число новых понятий, в логическом отношении значительно более сложных, чем школьные.
Перечисленные выше недс>статк«[ указывают на необходимость внесения изменения в содержание школьного математического образования. В своем исследовании мы предлагаем включить элементы высшей алгебры в содержание школьного математического обучения.
Основные понятия высшей алгебры, так или иначе, складываются у учащихся, поскольку они в своих конкретных проявлениях составляют основное содержание школьного курса математики. Поэтому одной из задач на современном этапе является организация процесса обучения основным понятиям современной алгебры, что позволит: - приблизить содержание школьного курса математики к современной математике; повысить уровень математической подготовки учащихся; подготовить учащихся к продолжению образования в вузе; развить мышление учащихся.
Для того чтобы познакомить учащихся с элементами высшей алгебры вовсе не обязательно вводить их в основной курс алгебры. В современных условиях работы школ для этой цели наилучшим образом подходит факультатив, который является одним из средств повышения теоретической и практической подготовки учащихся по математике. По сравнению с другими формами повышенной подготовки учащихся, факультативные занятия являются самой массовой формой, доступной для всех учащихся.
Все вышеизложенное свидетельствует о необходимости разработки содержания и методики изучения элементов высшей алгебры на факультативных занятиях, а, следовательно, подтверждает актуальность данного исследования.
Вопросы содержания факультативных курсов, основы их организации являются объектом исследования, начиная с момента их создания.
Исследования, посвященные проблеме факультативного обучения математике в современной школе, можно условно разделить на две группы. К первой группе относятся исследования, посвященные разработке общих основ факультативов, развитию организационных форм факультативных занятий (МЛ. Кашин, Д.А. Эпштейн, СИ. Шварцбурд, В.В. Фир-сов, И.й. Поздняков, В.Д. Кадыров и др.). Вторую группу составляют исследования, в которых разрабатывалось содержание и методика проведения отдельных вопросов на факультативных занятиях (И.А. Барыбина, Г.А. Гинзбург, Г.Н. Бычкова, П.К. Одинцов, Ф.М. Рафикова, Э.П. Вереснева, А.Т. Лялькина, Н.П. Жукова и др.).
Перечисленные выше диссертационные исследования свидетельствуют о непреходящем интересе к проблемам факультативного курса.
В приложениях 1-5 текста диссертации предлагается методическая разработка факультативного курса повышенного теоретического уровня «Элементы высшей алгебры». Содержание материала данного факультатива составляют следующие темы:
1. Множества и операции над ними. у2. Алгебраические структуры.
Элементы линейной алгебры.
Многочлены от одной и нескольких переменных.
Системы алгебраических уравнений.
Каждая из тем непосредственно связана с материалом общеобразовательного курса математики и включает следующие понятия современной ^математики: множество, операция, группа, векторное пространство и др. Изучение этих основных почти для всей математики понятий, обзор числовых систем с точки зрения их структуры позволяет учащимся с общих позиций взглянуть на школьную математику и увидеть единство предмета и методов математической науки.
При изучении данных тем школьники учатся вскрывать связи и отношения, существующие между понятиями, овладевают умением строить умозаключения, делать содержательные выводы, проводить аналогии, обобщать, т.е. создаются реальные возможности для развития их математического мышления.
Как показало наше исследование, изучение вышеупомянутых тем обеспечивает более гибкий переход от содержания математического образования средней школы к содержанию математического образования в вузе, так как аппарат теории множеств, алгебраических структур, линейной алгебры, алгебры многочленов входит в базовый курс математики боль- « шинства вузов. * По нашему мнению, идея введения элементов высшей алгебры в і школьный курс математики состоит не столько в том, чтобы специально и обособленно изучать вопросы высшей алгебры, а в том, что их изучение позволит повысить уровень математического развития учащихся.
Проблема исследования заключается в поиске путей постановки факультативного курса по изучению элементов высшей алгебры в старших классах средней школы.
Цель исследования - методическое обоснование целесообразности изучения элементов высшей алгебры на факультативных занятиях, разработка содержания и методики изучения факультативного курса «Элементы высшей алгебры».
Объект исследования: процесс обучения математике учащихся на ; факультативных занятиях. т Предметом исследования является содержание учебного материала по теме «Элементы высшей алгебры» и методика его изучения.
Гипотеза исследования: школьный курс математики располагает большими возможностями для изучения элементов высшей алгебры на фа культативных занятиях в старших классах. Факультативный курс «Эле- менты высшей алгебры» будет способствовать повышению прочности зна- ний по предмету, уровня интеллектуального развития школьников, подго товит учащихся к пониманию современных научных идей и их применен ния, тем самым приблизит школьное преподавание к современной науке и ее приложениям. |
Исходя из сформулированной гипотезы, для достижения цели иссле-| т дования необходимо было последовательно решить следующие задачи:
1. Провести анализ научной и учебно-методической литературы по теме исследования.
Выявить связь понятий высшей алгебры с основным школьным курсом математики.
Разработать структуру и содержание факультативного курса «Элементы высшей алгебры» на уровне, адекватном для учащихся старших классов.
Разработать методические рекомендации по изучению тем факультативного курса.
Провести экспериментальную проверку разработанных материалов.
Проблема, цели и задача исследования обусловили выбор следующих методов исследования: „-„изучение и анализ психолого-педагогической, научно-методической и учебной литературы по теме исследования; - изучение и сообщение опыта постановки факультативных курсов; | - беседы и анкетирование учащихся, учителей, студентов;
1- организация и проведение педагогического эксперимента; - обработка данных, полученных в ходе эксперимента.
Научная новизна исследования состоит в разработке концепции, содержания факультативного курса «Элементы высшей алгебры» для учащихся старших классов и методических рекомендаций по его изучению.
Теоретическая значимость исследования заключается в том, что обоснована целесообразность и возможность изучения элементов высшей алгебры на факультативных занятиях в старших классах.
Практическая значимость исследования состоит в том, что разработаны и внедрены в практику работы школ Архангельской области методика преподавания элементов высшей алгебры на факультативных занятиях в старших классах средней школы; Поморского государственного университета программа и методические рекомендации к проведению спецкурса «Элементы высшей алгебры и методика их изучения на факуль- « тативных занятиях в старших классах средней школы».
Материалы исследования могут быть использованы в практической деятельности учителей средних школ, преподавателей вузов, а также студентами при написании курсовых и дипломных работ, в процессе их педа-готической практики. Результаты работы найдут широкое распространение в системе повышения квалификации учителей математики.
На защиту выносятся: концепция, содержание и методически * обоснованная программа факультативного курса «Элементы высшей ал- гебры».
Апробация результатов исследования. В период исследования ос новные методические выводы и результаты излагались и обсуждались на заседаниях кафедры высшей математики КФ 111 У им. М.В. Ломоносова; научно-практических конференциях, проводимых на базе Поморского го сударственного университета; курсах повышения квалификации учителей #1 математики (г. Коряжма, 1998 г.; г. Москва, 1994, 1999 гг.), а также по- средством публикаций ряда статей и работ.
Структура диссертации определена логикой и последовательностью решения выдвинутых задач.
Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, библиографии и шести приложений.
Наиболее важные положения и результаты исследования отражены в следующих публикациях:
1. Геометрические приложения элементов теории Галуа в школьной математике. Методическая разработка.- Архангельск: Изд-во ПМПУ,
1995.-51 с. ш 2. Факультативные занятия как одна из форм оптимизации обучения теории бинарных отношений в средней школе // Совершенствование образовательного процесса и управления им: Сб. науч. тр. выпуск 1.- М.: МПУ, 1997.- С.112-113.
Многочлены от нескольких переменных и их применение к решению задач. Методическая разработка.- Архангельск: Изд-во ПТУ, 1998.-58с.
Система ознакомления учащихся средней школы с элементами высшей алгебры на факультагавных занятиях // Подготовка и повышение квалификации педагогических кадров: проблемы, опыт, перспективы: Сб. науч. трудов, под ред. проф. Симонова B.IL Выпуск третий- М.: Международная педагогическая академия, 1999.- С.40.
Алгебра. Часть 1.- Архангельск: Изд-во ПГУ, 1999.- 30 с.
Алгебра. Часть 2. - Архангельск: Изд-во ПГУ, 1999.- 31 с. (в соавторстве).
7. Изучение элементов высшей алгебры в средней школе //Математическое образование в инновационных учебных заведениях: Те зисы докладов региональной научно-практической конференции 16-18 но ября 1999 г. - Архангельск: Изд-во ПГУ, 1999.- С.58-59.
Преемственность обучения математике в школе и вузе // Проблемы преемственности в современном народном образовании: детский сад -школа - колледж - вуз - Орел: 1999. - С.82-83.
Алгебраические структуры на факультативных занятиях в средней школе //Актуальные проблемы подготовки и повышения квалификации педагогических кадров: Сб. науч. трудов, под ред. проф. Симонова В.П. Выпуск первый - М.: Международная педагогическая академия, 2000.- С. 93.
10. К вопросу о связи некоторых понятий высшей алгебры с основ ным курсом математики //Актуальные проблемы подготовки и повышения квалификации педагогических кадров: Сб. науч. трудов, под ред. проф. Симонова В.П. Выпуск второй - М.: Международная педагогическая академия, 2000.- С. 53-54.
Обоснование целесообразности изучения элементов высшей алгебры в средней школе
Возросшая роль математики в жизни современного общества поднимает значение математики как учебного предмета в средней школе и выдвигает перед школой задачу повышения уровня математической культуры, развития у учащихся математических способностей, склонностей и интересов.
Ю.А. Самарин отметил: «Задача формирования хорошо организованного ума - это задача, которая остро стоит сегодня и еще более остро и актуально встанет завтра» [108, с.493]. Уровень обучения школьников должен соответствовать потребностям современного общества, что является реализацией одной из составных частей принципа научности.
Между современной математикой и математикой школьной существует разрыв, год от года увеличивающийся. Содержание последней не успевает за стремительными темпами обновления информации.
Учебный предмет алгебры в настоящее время дает учащимся весьма узкое представление о том, «что такое алгебра». Это связано с тем, что курс математики средней школы включает в основном материал, накопленный к середине XVII века. В нем переплетаются элементы трех математических дисциплин: арифметики, алгебры и анализа.
Основными понятиями, изучаемыми в этом курсе, являются: число, фушщия, уравнение, неравенство; вопросы анализа - пределы, производная, интеграл. Такое разнообразие в курсе вопросов не может создать у учащихся представление о едином учебном предмете и о современной науке - алгебре.
Содержание современной алгебры лишь отчасти можно охватить следующей формулировкой: алгебра есть наука об операциях и отношениях на множествах произвольной природы, удовлетворяющих определенным аксиомам.
Предмет современной алгебры составляют такие4 теории, как теория групп, теории колец и полей, линейная алгебра, алгебра многочленов. Эти вопросы, в настоящее время, относятся к элементам «высшей алгебры» и изучаются в вузовском курсе. Так как математика является единой наукой от ее начальных вопросов до ее высших разделов, то деление на элементарную и высшую математику весьма условно и относительно.
Кроме того, необходимо отметить, что перечисленные выше вопросы высшей алгебры в своих конкретных проявлениях составляют основное содержание школьного курса математики. Так, например, одним из фундаментальных понятий современной математики является понятие отношения.
Отношения играют немаловажную роль в формировании математических знаний, поскольку изучение математики в значительной мере сводится к изучению отношений. Отношения равенства, больше, меньше - на числовых системах; равенства, подобия - на множестве геометрических фигур; параллельность, перпендикулярность - на множестве прямых; равносильности на множестве уравнений или неравенств; равенства на множестве алгебраических выражений и другие изучаются до сих пор традиционно, без выявления общих свойств и основных типов таких отношений.
Столь же широко, как и примеры отношений, в школьном курсе ма тематики представлены примеры алгебраических операций, на изучение которых отводится значительная часть учебного времени.
Школьный курс насыщен многочисленными примерами алгебраи ческих структур. Учащиеся на уроках математики знакомятся с важней шими числовыми системами: N, Z, Q, R, изучают свойства операций в этих множествах, т.е. фактически уже работают со структурами, однако, глубокого осознания, постижения сущности не достигают, хотя «произво дя действия над целыми числами... и многочленами, смутно чувствуют нечто общее между ними, но им очень редко объясняют причину этой общности при переходе от чисел к многочленам» [66, с.57].
Важное место в школьном курсе математики занимает понятие век торного пространства, но входит в него в неявном виде (пространство векторов плоскости, пространство действительных чисел и др.).
Рассмотренные выше примеры свидетельствуют о том, что в содер-жание школьного курса включены, хотя и в неявном виде, многие понятия высшей алгебры.
Таким образом, основной курс математики предоставляет богатей « шие возможности для формирования у учащихся основных понятий современной алгебры, поэтому имеет смысл говорить о целесообразности их изучения в школе.
Связь понятий высшей алгебры с основным курсом математики
Выявим связь некоторых понятий высшей алгебры с основным кур ф сом математики и наметим возможные пути пропедевтики этих понятий в школе.
1. Теория множеств.
С понятием множества учащиеся встречаются на протяжении всего школьного курса математики. Уже в первом классе они знакомятся с множеством натуральных чисел. По мере обучения числовое множество натуральных чисел расширяется до множества действительных чисел.
Приведем наиболее важные примеры числовых множеств школьно го курса математики:
1)множества натуральных, целых, рациональных, иррациональных, и действительных чисел;
2) с каждым уравнением f(x)=0 связаны два множества: множество, на котором выражение f(x) имеет числовое значение; множество чисел, удовлетворяющих этому уравнению;
3) решая неравенства, учащиеся знакомятся с числовыми проме жутками (отрезок, луч, интервал, полуинтервал), которые являются подмножествами известных учащимся числовых множеств.
Приведем некоторые примеры из учебника «Алгебра 9» [2, с. 190]:
«Отрезок [а; Ь] - множество чисел, удовлетворяющих неравенствам а х Ь, где а Ь»;
«Интервал (а; Ь) - множество чисел х, удовлетворяющих неравен « ствам а х Ь, где а Ь».
4) Системы уравнений (неравенств):
Решить систему уравнений - значит найти множество ее решений.
Множество решений системы есть пересечение множеств решений всех ее уравнений. «Множество точек координатной плоскости, координаты которых являются решениями уравнения, называется графиком уравнения» [81, с.104]. Понятия и символы теории множеств широко ис-пользуются и в курсе геометрии. Так, например, сущность понятий «луч», «ломаная», «полуплоскость» и другие раскрываются через это понятие.
В школьном курсе широко используется и понятие «подмножество». Например, из множества целых чисел выделяют подмножества натуральных чисел, отрицательных целых чисел, чисел, кратных какому-либо натуральному числу и т.д.
Множество решений уравнения f(x)=g(x) является подмножеством множества решений уравнения fг (x)=g2 (х).
Операции над множествами применяются при решении систем уравнений (неравенств), так как множество решений системы уравнений (неравенств) есть пересечение множеств решений каждого из уравнений (неравенств). При решении уравнений вида f, (x)-f 2 (х)—f „ (х)=0 мы встречаемся с операцией объединения множеств.
Рассмотренные выше операции над множествами широко применяются в курсе геометрии при конструировании геометрических фигур. Отметим, что роль теории множеств в школьной математике больше сводится к использованию языка этой теории.
Одним из основных понятий теории множеств является понятие отношения, которое играет большую роль в формировании математических знаний учащихся. Школьные курсы алгебры и геометрии содержат большое число различных примеров отношений. Перечислим наиболее важные из них.
Методика изучения темы «Множества и операции над ними»
В основе многих разделов классической математики лежит теория множеств. Математические понятия, изучаемые в средней школе, естественным образом группируются в множества.
К девятому классу учащиеся уже знакомы со многими теоретико-множественными понятиями. Поэтому изложение этой темы должно строится на базе знаний и умений учащихся, когда изучены такие важные разделы школьного курса математики, как «Неравенства», «Уравнения», «Системы уравнений и неравенств».
Основная методическая линия курса состоит в теоретико-множественном подходе к рассмотрению известных математических понятий, который позволяет увидеть общее в вопросах школьной математики, представляющихся на первый взгляд очень далекими друг от друга.
Первоначально учащимся сложно увидеть за общими понятиями? теории множеств все многообразие конкретных образов, обобщением которых они являются. Это обуславливает необходимость изложения теоретического материала, сопровождающегося большим количеством реальных примеров из жизни и окружающей действительности.
В то же время нужно разобрать примеры из известных учащимся вопросов математики, научить подходить к ним с теоретико-множественной точки зрения. Особенно важно рассмотреть применение теории множеств к решению уравнений и неравенств, так как эти понятия получают естественное истолкование на языке теории множеств.
Рассмотрим методику изучения этой темы. Ввиду офаниченности объема диссертации упражнения, предлагаемые учащимся по этой теме, приведены в приложении 1.
1. Центральным понятием в данной теме, конечно, является понятие множества. Это понятие в математике является первичным и, следовательно, неопределяемым. Учащиеся могут привести достаточно много примеров множеств различной природы.
Понятие «множество» можно раскрыть, воспользовавшись, предложенным академиком Н.Н. Лузиным [67], образным представлением его в виде прозрачной непроницаемой оболочки, внутри которой заключены все элементы данного множества. Такое представление о множестве позволит объяснить учащимся, почему, например, одноэлементное множество нельзя отождествлять с самим элементом. Обсуждая понятие «элемент множества», следует подчеркнуть, что тот или иной предмет получает название элемента множества лишь после того, как установлена его принадлежность этому множеству. Выясняем с учащимися, какое множество считается заданным, какие называются равными. Отмечаем два основных способа задания множеств: перечисление и описание с помощью характеристического способа.
Для усвоения рассмотренных понятий предлагаем учащимся упражнения 1-9. Последнее упражнение представляет наибольший интерес, поскольку представляет собой множество, заданное уравнением, содержащем переменную под знаком модуля.
Похожие диссертации на Элементы высшей алгебры и методика их изучения на факультативных занятиях в средней школе
