Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕТОДИЧЕСКОЙ НАПРАВЛЕННОСТИ ОБУЧЕНИЯ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ СТУДЕНТОВ МАТЕМАТИЧЕСКИХ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ ПЕДВУЗА
1. Анализ проблемы методической направленности обучения математике в учебной и научной литературе
2. Методическая деятельность как основа методической направленности обучения элементарной математике
3. Приемы, средства и этапы формирования методических умений в процессе обучения элементарной математике
ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ 1 67
ГЛАВА П. ФОРМИРОВАНИЕ МЕТОДИЧЕСКОЙ НАПРАВЛЕННОСТИ ОБУЧЕНИЯ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ СТУДЕНТОВ МАТЕМАТИЧЕСКИХ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ ПЕДВУЗА
1. Методическая направленность обучения студентов элементарной математике при изучении арифметико-алгебраической линии курса
2. Методика формирования методических умений студентов при изучении геометрической линии курса элементарной математики
3. Педагогический эксперимент и анализ результатов исследования
ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ Н 116
ЗАКЛЮЧЕНИЕ... 118
ЛИТЕРАТУРА 121
ПРИЛОЖЕНИЯ 140
- Анализ проблемы методической направленности обучения математике в учебной и научной литературе
- Методическая направленность обучения студентов элементарной математике при изучении арифметико-алгебраической линии курса
- Методика формирования методических умений студентов при изучении геометрической линии курса элементарной математики
Введение к работе
Социально-экономические изменения в обществе, переориентация его ценностей, возникновение новых образовательных идей привели к расширению и усложнению задач подготовки студентов математических специальностей педвуза, Современный учитель математики наряду с умениями использовать теоретические положения в практике должен владеть методологией научного поиска, системным анализом, технологиями принятия оптимальных решений, умением адаптироваться к различным изменениям, прогнозировать ход развития той или иной ситуации и т.д.
Огромную роль в профессиональном становлении учителя математики играет вузовская подготовка. Именно в этот период закладываются и формируются необходимые профессиональные знания, умения, а также качества личности будущего учителя.
Одной из важнейшей составляющей вузовской подготовки является методическая подготовка, дисциплины которой претерпевают в последнее время сокращение числа часов на их изучение.
В сложившейся ситуации в обучении студентов нужно учитывать взаимосвязи методических и математических знаний. Эта взаимосвязь на современном этапе развития методического образования должна носить многоаспектный и сложный характер, поскольку должна учитывать современные образовательные концепции: фундаментализацию, гуманитаризацию, гуманизацию и др. Поэтому эта взаимосвязь может рассматриваться как методическая направленность обучения математике.
Проблеме методической направленности обучения математике в педвузе посвящены исследования Н. Я. Виленкина, В. А. Гусева, В. А. Далингера, С. Н. Дорофеева, М. И. Зайкина, Т. А. Ивановой, Л. С. Капкаевой, Г. Л. Луканкина, А. Г. Мордковича, И. А. Новик, М. А. Родионова, Г. И. Саранцева, Н. Л. Стефановой, Р. А. Утеевой,
Г. Г Хамова и др. Авторы полагают, что методика изучения математических дисциплин в педагогическом вузе должна служить для студентов источником методических идей, способствовать формированию современных методических взглядов и умений.
В исследовании проблемы методической направленности обучения
математике можно выделить несколько направлений ее реализации.
Представители первого направления (Д. Т. Белешко, Л. Н. Евелина,
О. И. Мартынюк, А. Е. Мухин, А. Г. Мордкович, И. А. Новик,
М. А. Сазонова, К. И. Ткаченко, Г. Г. Хамов и др.) особое внимание уде
ляют содержательной линии методической направленности обучения ма
тематике, акцентируя внимание на понятиях и методах, имеющих боль
шое значение в школьном курсе математики, различных способах их вве
дения. Также авторами разрабатываются различные системы упражнений
на формирование не только математических умений, но и других умений
учителя математики. Второе направление осуществления методической
направленности обучения математике студентов, раскрывающееся в ра
ботах Г. В. Денисовой, О. Б. Епишевой, С. В. Мясниковой,
Н. П. Рыжовой, 3. И. Янсуфиной и др., заключается в ориентации форм и
методов преподавания специальных дисциплин на формирование у сту
дентов методических умений. Авторами разрабатываются специальные
курсы, интегрированные курсы, практикумы и т.д. В исследованиях,
В. В. Антоновской, Н. И. Батькановой, Е. В. Мариной и др. В их работах
рассмотрен процесс формирования не только глубоких знаний школьного
курса математики, его научных основ и методического обеспечения, но и
качеств личности будущего учителя.
Современная концепция методической деятельности, раскрываемая в работах Г. И. Саранцева, требует соответствующего переосмысления методической направленности обучения студентов педвуза математике. Согласно этой концепции функции методической деятельности должны отражать функции науки теории и методики обучения математике. Таким
образом, методическая деятельность определяется как деятельность, реализующая функции теории и методики обучения математике: методологическую, прогностическую, объяснительную, описательную, систематизирующую, образовательную, эвристическую, эстетическую, практическую, нормативную и оценочную [113]. Сформированность методических умений, соответствующих каждому из аспектов методической деятельности, является показателем качества методической подготовки студентов.
Методическая подготовка студентов должна осуществляться непрерывно в течение всего времени обучения в педвузе, несмотря на то, что основная роль в этом процессе принадлежит теории и методике обучения математике, изучаемой на старших курсах. Не менее важная роль в формировании готовности студента к методической деятельности должна отводиться математическим дисциплинам. Поэтому под методической направленностью обучения математике будем понимать целенаправленное формирование методической деятельности в процессе математической подготовки студентов. Содержание математических дисциплин и методы обучения им обусловливают эффективность формирования всех аспектов методической деятельности. Большими возможностями в этом плане обладает курс элементарной математики, взаимосвязанный со школьным и вузовскими курсами математики, а также с курсом теории и методики обучения математике. Если в курсах математического анализа, алгебры и геометрии дается научное обоснование всех понятий, вводимых в школьной математике, и процесс решения задач по этим дисциплинам направлен, прежде всего, на отработку тех или иных сторон изучаемого понятия, то на практических занятиях по элементарной математике главное внимание уделяется решению задач. При этом студенты не только овладевают приемами решения задачи, но и стремятся раскрыть процесс поиска решения, выбора соответствующих методов рассуждения при решении задачи, моделирования школьных учебных ситуаций, что, в свою очередь, способствует формированию методического мышления будущего учителя математики. Од-
6 нако до настоящего времени потенциал этого курса в плане формирования прогностических, эвристических, эстетических умений будущего учителя математики использован не полностью.
Вышесказанное свидетельствует о наметившемся противоречии между возможностями курса элементарной математики в формировании у будущих учителей математики методических умений и фактическим состоянием преподавания этой дисциплины. Необходимость разрешения этого противоречия определяет актуальность проблемы разработки этапов, приемов и средств формирования методической направленности обучения студентов элементарной математике, а решение этой проблемы составляет цель исследования.
Объектом исследования является процесс обучения элементарной математике студентов педвуза, а его предметом — методическая направленность обучения элементарной математике.
Гипотеза исследования: если выделить методические умения учителя математики, адекватные различным аспектам методической деятельности, приемы и средства формирования этих умений, на этой основе разработать методику обучения студентов элементарной математике и внедрить ее в практику преподавания, то это повысит эффективность методической подготовки студентов педвуза.
В соответствии с целью и гипотезой исследования были поставлены следующие задачи:
проанализировать состояние проблемы методической направленности обучения математике в научно-методической литературе;
выявить аспекты методической деятельности и адекватные им умения, формируемые в процессе обучения студентов элементарной математике;
определить приемы и средства формирования выделенных методических умений;
разработать методику обучения элементарной математике студентов педвуза с использованием выделенных приемов и средств;
экспериментально проверить эффективность разработанной методики в процессе обучения студентов элементарной математике. Для решения поставленных задач были использованы следующие методы исследования: анализ научно-методической литературы по проблеме исследования, образовательных стандартов, программ, учебных пособий по элементарной математике, используемых в процессе обучения в педвузе, изучение и обобщение педагогического опыта преподавателей математических дисциплин, проведение педагогического эксперимента и статистическая обработка его результатов.
Методологическими предпосылками исследования явились системный и деятельностный подходы, идея фундаментализации образования, методические концепции формирования понятий, изучения .теорем, обучения решению задач.
Исследование было организовано поэтапно.
На первом этапе изучалась и анализировалась научно-методическая и учебно-методическая литература по теме исследования, изучалось состояние проблемы методической направленности в практике обучения в педвузе, выделялись методические умения, которые необходимо формировать в процессе специальной подготовки, проводился констатирующий эксперимент.
На втором этапе разрабатывалась методика обучения элементарной математике, ориентированная на овладение студентами, методическими действиями, проводился поисковый эксперимент.
На третьем этапе проводился обучающий эксперимент с целью проверки эффективности разработанной методики, полученные результаты анализировались, систематизировались и статистически обрабатыва-
лись, формулировались выводы исследования.
Научная новизна исследования заключается в том, что проблема методической направленности обучения студентов элементарной математике решена на основе нового подхода, предполагающего трактовку методической деятельности, как деятельности, реализующей функции методической науки. Этот подход позволил разработать приемы и средства формирования методических умений в курсе элементарной математики. Теоретическая значимость исследования состоит в: расширении представления о методической направленности обучения элементарной математике в контексте современной концепции методической деятельности;
выделении методических умений, адекватных методической деятельности, которые целесообразно формировать в процессе обучения элементарной математике;
формулировке требований к отбору задач, направленных на формирование методических умений;
выделении приемов формирования методических умений. Практическая значимость исследования заключается в том, что его результаты могут применяться в процессе обучения элементарной математике в педвузе для совершенствования учебного процесса, использоваться при создании учебно-методических пособий для преподавателей и студентов высших учебных заведений.
Достоверность и обоснованность результатов и выводов, полученных в ходе проведенного исследования, обеспечены опорой на основные положения теории и методики обучения математике, применением методов исследования, адекватных его целям, задачам, экспериментальной проверкой выводов с использованием методов математической статистики.
На защиту выносятся следующие положения:
1. Методическая направленность обучения элементарной математи-
ке призвана реализовать различные составляющие методической деятельности, главными из которых выступают прогностический, эвристический, эстетический аспекты.
Методическая направленность обучения элементарной математике реализуется путем формирования методических умений, адекватных составляющим методической деятельности. Наиболее значимым при обучении элементарной математике является формирование умений, составляющих прогностический, эвристический и эстетический виды методической деятельности.
Формирование методических умений осуществляется с помощью приемов: решения задач, составления задач, демонстрации образца выполнения соответствующих действий преподавателем, сравнения. Средством формирования методических умений студентов педвузов в курсе элементарной математики служат математические задачи.
Апробация основных положений и результатов исследования проводилась через публикацию статей, в виде докладов и выступлений на: всероссийских научных и научно-практических конференциях «Гуманитаризация среднего и высшего образования: состояние, перспективы (методическая подготовка учителя математики в педвузе в условиях фунда-ментализации образования) (Саранск 2005 г.), «Актуальные проблемы образования и педагогики: диалог истории и современности» (Саранск, 2005 г.), «Педагогическая наука и практика: российские и региональные тенденции развития» (Саранск 2008 г.), «Современное образование: научные подходы, опыт, проблемы, перспективы» (Пенза, 2008 г.), «Методическая подготовка студентов математических специальностей педвуза в условиях фундаментализации образования» (Саранск, 2009 т.); заседаниях научно-методологического семинара кафедры методики преподавания математики Мордовского государственного педагогического института имени М. Е. Евсевьева. По теме исследования имеется 15 публикаций, две из них представлены в изданиях, рекомендованных ВАК.
Внедрение разработанных материалов осуществлялось в ходе экспериментальной проверки в процессе обучения элементарной математике студентов Мордовского государственного педагогического института имени М. Е. Евсевьева.
Структура диссертации определена логикой и последовательностью решения задач исследования. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы и приложений.
Анализ проблемы методической направленности обучения математике в учебной и научной литературеa
Анализ научно-методической литературы по проблеме методической направленности обучения математике показал, что данная проблема исторически возникла в рамках проблемы профессиональной направленности.
Проблема профессиональной направленности обучения достаточно широко представлена в научных исследованиях. Ее различные стороны, а именно установление межпредметных связей математики с профилирующими дисциплинами, формирование профессионально-значимых умений, формирование профессиональной мотивации и др. отражены в работах О. В. Бочкаревой, Р. М. Зайкина, Р. П. Исаевой, Л. М. Наумовой, Л. В. Карауловой, Е. А. Рябухиной и др. По мнению авторов, профессиональная направленность обучения заключается, в частности, в своеобразном использовании педагогических средств, при котором обеспечивается усвоение учащимися предусмотренных программами знаний, умений, навыков и, в то же время, успешно формируется интерес к получаемой профессии, ценностное отношение к ней, профессиональные качества личности.
Наиболее полно проблема профессиональной направленности подготовки специалистов разработана в области педагогического образования, в частности в обучении математике.
Проблема профессиональной направленности обучения математике студентов педагогического вуза имеет свои особенности. Поэтому исторически она стала называться профессионально-педагогической направленностью обучения математике. Вопросы ее совершенствования в педагогических вузах исследовалась в работах Н. Я. Виленкина, В. А. Гусева, Г. Л. Луканкина, А. Г. Мордковича, А. Е. Мухина, Г. И. Саранцева, Г. Г. Хамова и др. В этих работах подчеркивается, что изучение математических курсов в вузе должно оптимально сочетаться с нуждами будущей профессии, отмечается, что преподавание математических дисциплин должно обеспечивать подготовку высококвалифицированных учителей математики.
Проблема профессионально-педагогической направленности обучения математике возникла в связи с тем, что в основном изучение фундаментального курса в педвузе оторвано от курса школьной математике и методике ее преподавания. Ее характерной чертой является то, что обучение непосредственно влияет на формирование мотивации учебной деятельности и развитие интереса к будущей профессии.
В связи с обособлением теории и методики обучения математики, выражающемся в становлении ее как самостоятельной научной области, в последние годы из профессионально-педагогической направленности обучения математике отдельно выделилась проблема методической направленности обучения.
Характерным для исследований этой проблемы в педвузе является выделение важной роли специальных дисциплин в формировании методического мастерства будущего учителя. По мнению многих исследователей, методика преподавания математических дисциплин в педагогическом вузе должна служить для студентов — будущих учителей источником методических идей, способствовать формированию у них современных методических взглядов и умений.
Различные аспекты взаимосвязи математической и методической подготовок рассматривались в работах, С. Н. Дорофеева, М. И. Зайкина, Т. А. Ивановой, Л. С. Капкаевои, Ю. М. Колягина, Г. Л. Луканкина, А. Г. Мордковича, Г. И. Саранцева, Г. Г. Хамова, Р. А. Утеевой и др.
В исследовании проблемы методической направленности обучения студентов математике можно выделить несколько направлений:
1) направление, характеризующееся выделением содержательной стороны методической направленности обучения;
2) направление, заключающееся в ориентации форм и методов преподавания специальных дисциплин на формирование у студентов различных методических умений учителя;
3) направление, заключающееся в использовании содержания, форм, методов и средств обучения таким образом, чтобы сформировать и развить различные профессиональные качества личности
Представители первого направления (Л. Н. Евелина, Д. Т. Белешко, О. И. Мартынюк, А. Е. Мухин, А. Г. Мордкович, И. А. Новик, М. А. Сазонова, К. И. Ткаченко, Г. Г. Хамов и др.) акцентируют внимание на содержательной стороне методической направленности обучения математике. По их мнению, преподаватели математических дисциплин должны акцентировать внимание на понятиях и методах, имеющих большое значение в школьном курсе математики, различных способах их введения, на отражении в содержании обучения действий, адекватных математическим понятиям и методам.
Так, А.Г. Мордкович при обучении студентов математическим дисциплинам предлагает целенаправленно и непрерывно формировать основы профессионального мастерства, базирующихся на активных и глубоких знаниях школьного курса математики, его научных основ и методического обеспечения, приобретаемых на благоприятном эмоциональном фоне положительного отношения к профессии учителя и к математике как научной дисциплине и как к учебному предмету [85]. К основам профессионального мастерства учителя математики автор относит синтез необходимого для успешной работы в школе уровня математических знаний, умений и навыков, математической культуры, ясного понимания целей и задач обучения математике в школе, идейной убежденности, гибкого и оперативного владения методикой преподавания, способности эффективно вести обучение школьников предмету и их воспитание в процессе обучения.
В диссертации Г. Г. Хамова разработана система упражнений, которая должна способствовать глубокому, полному и прочному усвоению знаний курса; овладению его основными понятиями и определениями; выработке профессиональных умений и навыков (умений самостоятельно составлять примеры и задачи, умения и навыки владения основными понятиями и определениями курса математического анализа, умения применять полученные знания в профессиональной деятельности) [161].
А. Е. Мухин выстраивает систему упражнений, способствующую выработке профессиональных умений и навыков (умений самостоятельно составлять примеры и задачи, умения и навыки владения основными понятиями и определениями курса математического анализа, умения применять полученные знания в профессиональной деятельности). На практических занятиях студенты должны достичь высокого уровня владения математическими знаниями и умениями, овладеть методами, с помощью которых учитель может формировать у учащихся, требуемые умения и навыки.
Большое внимание в работе Л. Н. Евелиной уделяется формированию у будущего учителя математики таких умений и навыков как: изучение учебной и научно-методической литературы, решение задач, организация учебно-познавательной деятельности учащихся, а также умение вести рассказ, умения решать задачи (работа над содержанием задачи, работа по выявлению ее структуры, поиск метода решения задачи) [44].
Методическая направленность обучения студентов элементарной математике при изучении арифметико-алгебраической линии курса
Как указывалось в предыдущей главе в соответствии с образовательными стандартами обучения элементарной математике студентов в педвузе ее арифметико-алгебраическая линия предполагает изучение следующих разделов:
1. Арифметика (свойства делимости, основная теорема арифметики, НОД и НОК, алгоритм Евклида, представление рациональных чисел в виде g-ичной дроби).
2. Комбинаторика (метод математической индукции, бином Ньютона, сочетания, размещения и перестановки, комбинаторные задачи на вычисление вероятности, комбинаторные тождества).
3. Элементарные функции.
4. Тождественные преобразования выражений.
5. Уравнения и неравенства.
6. Тригонометрия.
7. Задачи с параметрами. . ...
Анализ данных разделов показывает, что их содержание тесным образом переплетаются между собой. Например, при изучении раздела «Уравнения и неравенства» одним из направлений выступает проблема обучения студентов составлению уравнений различного вида (квадратных, тригонометрических, содержащих параметр и т.д.) и их последующему решению. При этом уравнения, содержащие параметр можно рассматривать как составную часть раздела «Задачи с параметрами». Умения решать тригонометрическое уравнения подразумевает сформированность у обучаемых навыков преобразования тригонометрических выражений, с одой стороны, и навыков построения графиков тригонометрических функций и использования их свойств при решении задач с другой стороны. Таким образом, проявляется взаимосвязь разделов «Уравнения и неравенства», «Тождественные преобразования выражений» и «Элементарные функции».
Кроме того изучение функций, их свойств, графиков и т.д. проходит сквозной нитью по алгебраическим темам рассматриваемой нами линии курса элементарной математики. Функциональная линия является одной из центральных в школьном курсе алгебры. Она концентрирует в себе математические знания, необходимые учащимся в повседневной жизни, например: для чтения информации, представленной в виде таблиц, диаграмм и графиков; для решения практических задач и др. Однако, несмотря на имеющийся положительный опыт в методике преподавания темы «Функция», учителя математики испытывают определенные затруднения в формировании этого понятия у школьников. Поэтому в педагогическом вузе необходимо уделять особое внимание организации изучения студентами свойств и графиков функций, систематизации знаний о функциях и т.д. Это должно происходить на занятиях не только по теории и методике обучения математике, но и, в частности, по элементарной математике. Это оказывает положительно воздействие на формирование у студентов необходимых методических знаний и умений будущего учителя по обучению школьников понятию «Функция».
В курсе элементарной математике изучение элементарных функций, их свойств, графиков и т.д. в соответствии с учебной программой (приложение 1) осуществляется на 1 курсе.
Содержание раздела «Элементарные функции» подразумевает изучение:
1) области определения и множества значений функции;
2) свойств элементарных функций (четности, нечетности, монотонности, периодичности и др.);
3) графиков функций и способов их построения;
4) видов функций;
5) геометрических преобразований графиков функций;
6) использование свойств функций при решении задач.
В контексте формирования у студентов методической направленности обучения элементарной математики при изучении данного раздела целесообразно организовывать анализ студентов школьных учебников и учебных пособий, тематического планирования, методического анализа выполненного решения задач, процесса составления новых задач и т.д. Данные аспекты методической подготовки студентов на рассматриваемом нами этапе необходимо реализовывать под руководством преподавателя.
Методика формирования методических умений студентов при изучении геометрической линии курса элементарной математики
В соответствии с образовательными стандартами обучения студентов элементарной математике в педвузе ее геометрическая линия предполагает изучение следующих разделов:
1. Планиметрия (аксиомы и теоремы абсолютной геометрии; многоугольники: выпуклые, невыпуклые, звездчатые, правильные, вписанные и описанные; замечательные точки и линии в треугольнике; геометрические места точек; построения на плоскости; преобразования плоскости: движение, подобие, гомотетия, инверсия; измерение геометрических величин).
2. Стереометрия (аксиомы стереометрии; параллельность и перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве; многогранные углы, многогранники: выпуклые, невыпуклые, правильные; полу правильные, звездчатые; тела и поверхности вращения; изображение пространственных фигур на плоскости; вычисление объемов и площадей поверхностей;, координатный и векторный методы в геометрии).
Покажем методику формирования методических умений у студентов при изучении ими геометрической части элементарной математики в период систематического изучения курса теории и методики обучения математике
(3-4 курсы). Данная методика раскрывается на примере изучения различных планиметрических разделов, поскольку это способствует методической подготовке студентов к преподаванию не только геометрии на плоскости, но и в пространстве.
В указанный период обучения в педвузе можно выделить два основных направления реализации методической направленности обучения студентов элементарной математике:
1) организация методической деятельности студентов по аналогии с этапом формирования методических умений при изучении арифметико-алгебраической части элементарной математики (раскрытом нами в предыдущем параграфе);
2) организация методической деятельности студентов в соответствии с их будущей профессиональной деятельностью.
При реализации первого направления деятельность студентов по решению геометрических задач организуется по подобию той, что мы показали в параграфе 1 текущей главы. Заключается она в подборе преподавателем задач, связанных с данной по содержанию, включением студентов в решение аналогичных и обратных задач, демонстрацией ем более рациональных способов решения задач и т.д. Таким образом, преподаватель организует деятельность обучаемых так, что они выполняют действия по прогнозированию, выдвижению гипотез, применению эвристических приемов, проведению аналогии, выбору более эстетичных решений и т.д., т.е. их осуществлению под руководством преподавателя.
Покажем, как именно это происходит, обратившись крешению следующей задачи, предлагаемой студентам при изучении темы «Площади фигур».
Задача 1. ABCD — трапеция с основаниями AD и ВЄ. Диагонали AC = a, BD — Ь. Высота СН = h. Найдите площадь трапеции (рис. 5).
1) Анализируя требование задачи, приходим к тому, что площадь трапеции можно выразить двумя разными способами:
2) Для вычисления площади трапеции с использованием первой формулы неизвестны основания трапеции. Вычислить их по исходным данным сложно, поэтому проще воспользоваться второй формулой.
3) При ее использовании для вычисления площади достаточно найти синус угла между ее диагоналями, т.е. sin ZAOD.
4) Поскольку угол Z AOD - это угол треугольника AOD, то его можно вычислить, зная сумму углов двух других углов этого треугольника.
5) Углы ZOAD является общим для AAOD и АСАН, аналогично ZODA — общий для AAOD и ABMD (проводим высоту ВМ). Заметим что AAOD и ABMD - прямоугольные, у каждого из них известна как гипотенуза, так и один из катетов.
6) Поэтому sinZOAD = sin ZCAD = =— (вспоминаем, что если АС а углы равны, то и их синусы равны).
7) Аналогично, sinZODA =—.
8) Тогда ZOAD = arcsin —, ZODA = arcsin —.
9) Из пунктов 4), 8) следует: sinZAOD = sin (180 - (ZOAD + ZODA)).
10) Применяя соответствующие тригонометрические формулы, получим: sinZAOD = sin (ZOAD + ZODA) = sin (arcsin — + arcsin —) =a b b\ UJ a\ {bj 11) Из пункта 1), 10) и условия задачи получаем, что
На заключительно этапе решения задачи обращаем внимание студентов на то, что мы получили формулу вычисления площади трапеции по известным диагоналям и высоте, которую в дальнейшем можно использовать при решении задач с числовыми данными.
С целью анализа проведенного решения задаем студентам следующие вопросы:
- Какие действия выполняли Вы на первом этапе решения задачи? (Выделяли условие и требование задачи, объекты и отношения между ними выполняли рисунок, отмечали на нем данные и искомые элементы, составляли краткую запись задачи).
- На основе чего вы составляли план решения задачи, какие гипотезы Вы выдвигали? (На основе переосмысления отношений между объектами: одним из четырех углов, образованных диагоналями, является Z AOD, который также можно рассматривать как угол при вершине треугольника AOD. Поэтому если мы найдем этот угол в треугольнике AOD, то задача будет решена).
- Имеет ли решение задачи эстетическую привлекательность, т.е. обладает ли данная задача и ее решение такими характеристиками как простота, неожиданность, рациональность, логическую стройность шагов решения, наглядность чертежа? (Обладает не в полной мере, так как наряду с обоснованностью и логикой каждого шага решения, ему не присущ элемент неожиданности. Кроме того в простом и ясном чертеже задачи, отсутствуют симметричность — одна из категорий порядка).
- Использовали ли Вы эвристики, если да - то на каком этапе решения задачи? (Базовые и специальные эвристики использовались на этапе поиска решения задачи, например: «для того, чтобы найти один из углов треугольника достаточно знать два других его угла», «для того чтобы найти угол в прямоугольном треугольнике, достаточно знать две его стороны»).
- Какие понятия, их свойства и признаки, теоремы Вы использовали в решении задачи для обоснования шагов решения? {Понятие площади трапеции, теорема о сумме углов треугольника, соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике, понятие арксинуса, арккосинуса числа).
