Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Теоретические аспекты спецкурса «Некоторые вопросы теории мультипликативного интеграла» 20
1.1 Теоретический анализ состояния специальной математической подготовки студентов педвуза и путей ее совершенствования 20
1.2 Математические спецкурсы в системе специальной математической подготовки в педвузе 33
1.3 Место и роль понятия мультипликативного интеграла в курсе математики педвуза 40
ГЛАВА 2. Совершенствование специальной подготовки будущих учителей математики в процессе изучения спецкурса «Некоторые вопросы теории мультипликативного интеграла» в педвузе 48
2.1 Программа спецкурса 51
2.2 Примерный рабочий план и основное содержание занятий по спецкурсу «Некоторые вопросы теории мультипликативного интеграла 56
2.3 Методика проведения аудиторных занятий и организации самостоятельной работы студентов по спецкурсу 89
2.4 Результаты опытно-экспериментального обучения 109
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 118
БИБЛИОГРАФИЯ 121
ПРИЛОЖЕНИЯ 132
- Теоретический анализ состояния специальной математической подготовки студентов педвуза и путей ее совершенствования
- Математические спецкурсы в системе специальной математической подготовки в педвузе
- Программа спецкурса
Введение к работе
Сложившиеся социально-экономические условия способствуют появлению в нашей стране рынка педагогического труда, что свидетельствует о необходимости глубоких качественных изменений в подготовке педагогических кадров. Перед учебными заведениями стоит задача совершенствования учебно-воспитательного процесса, направленного на подготовку конкурентноспособных специалистов. Выпускник педагогического вуза должен обладать: глубокими знаниями фундаментальных наук, изучаемых в пединституте; умениями трансформировать их с учетом возрастных и индивидуальных особенностей учащихся; знаниями целей и задач современного математического образования; методической культурой; владеть навыками исследовательской работы. Он должен быть знаком с информационными технологиями: мультимедиа, дистанционное обучение и т.п.
Появление альтернативных учебных заведений: гимназий, лицеев, колледжей, частных школ, а также профильных классов и классов с углубленным изучением предметов в обычной общеобразовательной школе - обусловило потребность в специальной подготовке высококвалифицированных педагогов. Определенные коррективы в социальный заказ на подготовку педагогических кадров должны внести содержательные изменения, происходящие в школах, такие, как внедрение вариативных учебных планов, введение новых предметов.
Система высшего педагогического образования должна гибко реагировать на такие изменения. Педагогические вузы, удовлетворяя запросы сферы образования, должны готовить педагогических работников различной квалификации. Основополагающей характеристикой обучения является формирование личности человека, способного творчески решать научные, производственные, общественные задачи, самостоятельно мыслить и принимать решения. В исследованиях по педагогике высшей школы установлено, что обучающая и воспитывающая деятельность учителя, направленная на достижение целей среднего образования, віслючает в себя информационную, мобилизационную, организаторскую, коммуникативную и исследовательскую функции. Каждая функция проявляется в виде совокупности профессиональных знаний, умений и навыков, формирование которых обеспечивается психолого-педагогической, методической и специальной подготовкой. Психолого-педагогические исследования С.И.Архангельского, Н.В.Кузьминой, В.А.Сластенина, В.Д.Шадрикова и др. [3, 35, 77, 90] свидетельствуют о том, что основы мастерства будущего учителя закладываются в период его обучения в вузе, при этом особая роль в формировании учителя принадлежит специальным и методическим дисциплинам.
Проблема совершенствования специальной и методической подготовки учителя математики исследовалась в трудах В.Г.Болтянского, Н.Я.Виленкина, Г.Д.Глейзера, В.А.Гусева, Ю.М.Колягина, А.Г.Мордковича, Г.И.Саранцева, А.А.Столяра, П.М.Эрдниева и др. Вопросы преподавания математики в высших и средних учебных заведениях нашли отражение в работах видных математиков А.Н.Колмогорова, Л.Д.Кудрявцева, А.И.Маркушевича, Д.Пойа, Л.С.Понтрягина и др. Проблемам профессиональной подготовки будущих учителей математики посвящены докторские диссертации В.Н.Келбакиани, Г.Л.Луканкина, Н.В.Метельского, А.Г.Мордковича, И.А.Новик. Работы В.А.Далингера посвящены совершенствованию процесса обучения математики в школе и направлены на развитие профессиональных умений учителей математики.
В условиях совершенствования системы педагогического вузовского образования требования к уровню специальной подготовки будущих учителей математики возрастают. Для современного учителя большое значение имеют его глубокая и разносторонняя эрудированность, общая культура, широта интересов. Но особенно основательно учитель должен владеть тем предметом, который он преподает. Однако становление творческой личности педагога невозможно только в узких предметных рамках, оно требует также широкого общекультурного багажа в области преподаваемой науки, непрерывно пополняемого и обогащаемого. Учитель обязан видеть свою науку и смежные с ней области во всех существенных чертах, понимать и уметь передать учащимся логику ее развития. А.Н.Колмогоров отмечает [29], что «от преподавателя математики в высшей и средней школе требуется не только твердое знание преподаваемой науки. Хорошо преподавать математику может только человек, который сам ею увлечен и воспринимает ее как живую развивающуюся науку».
Математические курсы должны, в частности, обеспечивать знакомство студентов с современной математикой, ее задачами и принципами развития. Освещение фундаментальных вопросов современной математики должно обеспечить такой уровень математической подготовки будущего учителя, который даст ему возможность, в первую очередь, излагать на современном научном уровне материал школьного курса, а также, вооружить его методами, которые возможно применить в процессе самостоятельных научных исследований.
На современном этапе высшей целью педагогического процесса в системе образования на любом уровне становится формирование творческой личности. Ведущая роль в процессе обучения и воспитания отводится учителю. Он ответственен за то, чтобы вооружить учащихся глубокими, фундаментальными знаниями предмета, имеющими научную основу, развить у них умения самостоятельного мышления и творческого применения полученных знаний. А для этого учителю нужна такая специальная подготовка, которая обеспечивает математические знания в пределах, далеко выходящих за рамки школьного курса математики, согласованная с требованиями приобретаемой профессии и способствующая реализации своих творческих возможностей как в профессиональной, так и в научной деятельности.
Однако, как отмечает Г.И. Саранцев [87, с.54], несмотря на то, что «сейчас много пишут о новых образовательных технологиях, многоуровневой подготовке специалистов в вузе, стандартах высшего профессионального образования» уровень профессиональной подготовки учителя «катастрофически» снижается. Среди причин этого явления он указывает «неуклонное уменьшение количества часов, отводимых на изучение специальных и методических курсов», а также «отсутствие учебной литературы соответствующего уровня и недостаточные навыки работы с ней у студентов». При этом «с уменьшением числа аудиторных часов увеличивается объем самостоятельной работы студентов, в частности, внеаудиторной».
Говоря об уровне математической подготовки выпускников пединститута, мы солидарны с Г. Фройденталем [98, с.99-100], который сформулировал минимальные требования к математической подготовке учителей математики, которая, по его мнению, должна обеспечивать:
- возможность самостоятельно пользоваться фундаментальными методами современной математики;
- фундаментальные знания, необходимые для понимания структуры современной математики;
- определенное понимание того, как применяется математика, - а также давать представление о математических исследованиях.
Однако, как показывают, в частности, результаты государственных экзаменов по математике, уровень знаний студентов-выпускников зачастую оставляет желать лучшего. Как правило, по завершению изучения основных математических курсов студенты довольно часто испытывают затруднения в применении междисциплинарных знаний и умений. Это, с одной стороны, свидетельствует о формализме полученных знаний, а, с другой стороны - о восприятии математики не как единой науки, а как совокупности самостоятельных, разрозненных областей, не объединенных общими идеями.
Многие диссертационные исследования посвящены проблеме интенсификации обучения в высшей школе и, в частности в педвузе, а также отдельным ее формам (активизации, дифференциации, индивидуализации и др.). Так, в концепции Г.Л. Луканкина [39] профессиональной подготовки учителя математики раскрывается сущность перехода от экстенсивно-информационного к интенсивно-фундаментальному обучению. П.М.Эрдниев исследует проблему интенсификации обучения математике в плане рационального отбора учебного материала [112]. Докторская диссертация В.Т.Петровой [75] посвящена научно-методическим основам интенсификации обучения математическим дисциплинам в высших учебных заведениях, в том числе в педвузах, на примере преподавания курса алгебры и геометрии. Методические основы интенсификации обучения по курсу математического анализа в педвузе рассмотрены в кандидатской диссертации С.С. Тасмуратовой [92]. Диссертационное исследование Т.Л. Овсянниковой [61] посвящено проблеме систематизации знаний студентов посредством дифференцированных учебных заданий при изучении аналитической геометрии. В кандидатской диссертации Н.П. Рыжовой [86] раскрывается взаимосвязь специальной и методической подготовки будущих учителей математики при изучении алгебры и теории чисел.
Практика обучения выявляет трудности, связанные с необходимостью сокращения объема знаний. Поэтому существует проблема поиска такого содержания и такой формы его фиксации, которые создают возможность более удобного и более быстрого усвоения накопленной информации и ее эффективного использования в познавательной и практической деятельности. При этом интенсификация обучения характеризуется повышением емкости его содержания.
В соответствии с потребностями интенсификации обучения в вузе в настоящее время является актуальной проблема модифицирования содержания учебного материала с тем, чтобы, не увеличивая количества учебного времени, сделать математическое образование студентов более глубоким и фундаментальным, ориентированным на все возрастающий поток информации, на непрерывно обновляющиеся знания. Возможно, введение в содержание математического образования студентов педвузов некоторых, по существу фундаментальных, понятий современной математики не только расширит их математический кругозор, но будет способствовать углублению фундаментальных знаний по основным математическим курсам и разделам.
К таким понятиям, по нашему мнению, можно отнести понятие мультипликативного интеграла. Именно понятие мультипликативного интеграла и его связь с другими, известными студентам понятиями из основных курсов математики (высшей и школьной) находятся в центре внимания в данном исследовании.
Конструкцию мультипликативного интеграла можно определить во всякой ассоциативной топологической алгебре А с единицей Е. Если f(x) -непрерывная функция вещественного переменного t, принимающая значения в алгебре А, Т - разбиение отрезка [a,b]dR точками a=to ti ... tn. i tn=b, Atk = U - tk-u то по определению [115]
[E + f{t)dt= lim n(E + f(tk)Atk) (1)
J max(rt+1-rt)- -0 =0V s \ к/ к/ V/
Таким образом, мультипликативный интеграл определяется во многом аналогично интегралу Римана и представляет собой предел произведения бесконечного числа сомножителей, близких к единице. Как в случае риманова интеграла, так и в случае мультипликативного, речь идет о пределе произведения элементов, близких к единице, только в римановом случае произведение понимается в смысле групповой операции сложения в аддитивной группе R, а в случае мультипликативного интеграла произведение понимают в смысле операции в ассоциативной алгебре. С этой точки зрения вся специфика мультипликативного интеграла связана с неперестановочностью сомножителей в произведении, лежащим в основе определения конструкции мультипликативного интеграла.
Разумеется, важна структура ассоциативной алгебры, в которой рассматривается мультипликативный интеграл. При соответствующем выборе образующих ассоциативной алгебры, интеграл Римана будет частным случаем соответствующего мультипликативного интеграла.
Аналогично криволинейному риманову интегралу определяется криволинейный мультипликативный интеграл. Рассмотрим выражение
]Е + ±Р Х1, 1 = 1,2,...,/1, (2)
1=1
где Р. = Р.[х1,х2,...,х") — непрерывные функции п вещественных переменных
со значениями в алгебре Mat{n) матриц пхп с операцией матричного умножения. Если в п - мерном пространстве переменных х1 ,х2,...,х" дана кривая
Xі =x (t), te[a,b], (3)
то подставляя х из (3) в (2) сведем выражение (2) к виду (1). Выражение (2) называется криволинейным мультипликативным интегралом.
Несмотря на большую пользу и универсальность мультипликативного интеграла, он не занимает подобающего ему места в современной математической науке и математическом образовании, хотя основные конструкции, связанные с мультипликативным интегралом, возникают в различных разделах математики и физики.
Целые математические разделы представляют собой различные интерпретации мультипликативного интеграла. Примеры - теория систем линейных дифференциальных уравнений, теория связностей, теория уравнений в частных производных нулевой кривизны, теория
«хронологической экспоненты», экспоненциальное отображение и др. Однако игнорирование конструкции мультипликативного интеграла в вышеназванных разделах существенно обедняет возможности исследования.
Приложения мультипликативного интеграла разнообразны и с каждым годом расширяются. В последнее время мультипликативный интеграл используется в функциональном анализе, теории аналитических функций с операторными значениями, стохастических процессах, квантовой механике, теории нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных и др. Мультипликативный интеграл является естественным инструментом исследования для многих математических и физических задач. При этом оказывается важной структура конструкции мультипликативного интеграла как предела произведения определенного типа сомножителей. Однако круг публикаций по данной тематике достаточно узок.
Мы солидарны с авторами монографии [115], считающими, что, несмотря на то, что конструкция мультипликативного интеграла является одной из основных математических конструкций, она не занимает должного ей места в математическом аппарате. Между тем сама конструкция мультипликативного интеграла позволяет формулировать новые задачи и в ряде случаев подсказывает подходы к их решению.
Начиная с 1982 года на семинаре при кафедре геометрии и топологии МОПИ им. Н.К. Крупской (руководитель - профессор О.В. Мантуров), было предпринято исследование ряда вопросов, связанных с мультипликативным интегралом [41, 42, 44-47, 66-73]. Оказалось, что происходящие из понятий и конструкций мультипликативного интеграла задачи имеют приложения к общепризнанным вопросам. Описание этих исследований, некоторые расширения точки зрения на мультипликативный интеграл, а также применение мультипликативного интеграла к широкому кругу математических разделов, содержится в работе О.В. Мантурова [40], которая является значительным дополнением к литературе по предмету.
Впервые мультипликативный интеграл был определен В. Вольтерра в 1887 году в работе [119]. Дальнейшее развитие теории мультипликативного интегрирования принадлежат Л.Шлезингеру. В 1912 году работа Шлезингера [118] была удостоена премии им. Н.И. Лобачевского Казанским физико-математическим обществом. Именно Шлезингер впервые использовал мультипликативный интеграл в дифференциальной геометрии при изучении вопроса в связи с изменением компонент вектора при параллельном переносе его вдоль конечной замкнутой кривой с тензором кривизны Римана [117]. Им были установлены аналоги теорем Грина, Стокса, Гаусса-Бонне для криволинейного мультипликативного интеграла, доказана теорема, согласно которой в случае нулевой кривизны мультипликативного интеграла существует потенциальная функция, удовлетворяющая системе линейных дифференциальных уравнений.
Г. Раш ввел для мультипликативного интеграла так называемое Q-преобразование, известное в современной литературе как калибровочное преобразование, и изучает комплексные контурные мультипликативные интегралы [116].
Г. Биркгоф определяет и изучает мультипликативные интегралы от инфинитезимальных преобразований, связанных с однопараметрической группой преобразований. Он перенес теорию мультипликативного интегрирования на случай нелинейных преобразований в пространстве Банаха, а также показал, что с точки зрения конструкции, мультипликативный интеграл принадлежит теории групп и алгебр Ли [114].
Вопрос об интегрировании мультипликативного интеграла в конечном виде есть вопрос об интегрируемости системы линейных дифференциальных уравнений. Этими вопросами в настоящее время занимается теория групп Ли и дифференциальная алгебра [27, 54, 64]. Глубокие результаты по теории линейных дифференциальных уравнений были получены И.А. Лаппо-Данилевским [36]. Исследованию структуры подынтегральной функции в случае Лаппо-Данилевского посвящены работы [6, 56, 76]. Интегрируемые системы линейных дифференциальных уравнений изучались Н.П. Еругиным [24].
Некоторые авторы рассматривают мультипликативные интегралы от функций, чьи значения, например, нелинейные операторы, элементы нормированного кольца или абелевой группы, неограниченные операторы и т.д. В этих работах, как правило, главным является доказательство существования мультипликативного интеграла и проверка того, что мультипликативный интеграл является решением соответствующего дифференциального или интегрального уравнения.
Н. Арли использовал мультипликативный интеграл для изучения стохастических марковских процессов, а также в квантовой механике [113].
Мультипликативный интеграл был успешно использован в теории нелинейных дифференциальных уравнений нулевой кривизны (метод обратной задачи), хотя авторы не пользуются термином мультипликативный интеграл (мультипликативный интеграл называют матрицей перехода) [93]. В современной геометрии для обозначения мультипликативного интеграла используется термин «хронологическая экспонента» [23].
Необходимо отметить, что на русском языке практически нет монографий по теории мультипликативного интеграла. В 1979 году в США вышла монография Д. Долларда и Ч. Фридмана [115] с добавлением П. Масани, в которой наряду с описанием многочисленных приложений мультипликативного интеграла поднят вопрос о том достойном месте, которое должно занять в математике понятие мультипликативного интеграла. Здесь же П. Масани, говоря о месте мультипликативного интеграла в современной математике, развивает мысль о недостаточности литературы по данной тематике. Вышедшая в 1990 году работа О.В. Мантурова «Мультипликативный интеграл» [40] и изданное в 1997 году пособие Л.Ж. Паланджянца «Геометрия мультипликативного интеграла» [65] являются значительным дополнением к литературе по предмету мультипликативного интеграла.
Заканчивая обзор литературы, отметим, что конструкция мультипликативного интеграла проста и удобна как в теории, так и в приложениях. И использование этой конструкции могло бы сэкономить труды по запоминанию учебного материала основных математических дисциплин. Однако процесс пересмотра учебных программ, особенно в высшей школе, является весьма сложным, и не до конца продуманные и недостаточно обоснованные попытки их изменения легко могут привести к снижению качества знаний.
Одним из эффективных средств совершенствования математической подготовки будущих учителей, не влияющим в целом на изменение действующих учебных программ, является введение в учебный процесс специальных курсов (спецкурсов), которые предусмотрены государственными стандартами высшего и среднего профессионального образования. Разработке и научному обоснованию спецкурсов по математике посвятили свои исследования Т.А. Дмитриева, В.К. Жаров, Н.П. Рыжова и др.
Специальная подготовка будущих учителей обеспечивается изучением математических дисциплин, спецкурсами, спецсеминарами, написанием курсовых и дипломных работ по математике. Мы рассматриваем спецкурс как завершающий этап обучения студентов и высшую форму их специализации в вузе.
На спецкурсе студенты имеют возможность углубленно знакомиться с научными проблемами, а также, возможно, и с основными этапами процесса получения нового научного результата. Поэтому спецкурс считается ценной формой обучения, способствующей развитию у студентов интереса к научным исследованиям. На семинарских занятиях у будущих учителей формируются навыки самостоятельной работы. Они учатся подбирать,
систематизировать и анализировать научную, учебную и учебно-методическую литературу, составлять доклады и выступать с ними перед аудиторией, отмечать успехи и недочеты своих коллег.
Наше внимание к спецкурсам обусловлено еще и тем, что при переходе на многоуровневую систему обучения значительная часть времени на старших курсах может быть использована на проведение различных специальных курсов и семинаров, выбор которых осуществляют сами студенты. Со спецкурсами целесообразно связывать научно-исследовательскую работу студентов, темы курсовых и дипломных работ. Кроме того, в период, когда первоочередной задачей является переход от массового обучения к индивидуальному, особый акцент делается на развитие творческих способностей студентов, на активные формы и методы обучения, что еще раз подтверждает необходимость повышения внимания к спецкурсам. Вместе с тем анализ литературы показывает, что в педвузах страны еще не сложилась система спецкурсов по математике. Вопросы, связанные с обоснованием содержания и методики проведения занятий спецкурса по математическим дисциплинам, еще недостаточно разработаны.
По нашему мнению, для будущих учителей математики важны такие курсы, которые позволяют еще раз закрепить уже изученные разделы основных математических дисциплин, особенно, если они связаны с программным материалом школьного курса. Будущий учитель должен видеть и понимать взаимосвязи отдельных математических дисциплин, знать историю развития и формирования основных математических понятой, представлять дальнейшую перспективу развития математической науки. С этих позиций представляется полезной постановка таких специальных математических курсов, которые позволят максимально обеспечить достижение указанных целей.
Таким образом, актуальность исследования обусловлена занимаемым местом мультипликативного интеграла в современной математике и обоснованным выше интересом к возможностям обучения математике на занятиях по спецкурсу.
Проблема нашего исследования состояла в поиске средств, форм и путей повышения уровня математической подготовки будущих учителей в процессе изучения интегрирующих спецкурсов.
Цель - исследовать процесс изучения элементов теории мультипликативного интеграла в курсе математики педвуза как компонента профессиональной подготовки учителя математики.
Объектом исследования является процесс математической подготовки студентов педвуза по специальности "Математика".
Предметом исследования является обучение математике на занятиях по спецкурсу «Некоторые вопросы теории мультипликативного интеграла»1.
Основная рабочая гипотеза исследования сформулирована нами следующим образом:
ЕСЛИ в специальную математическую подготовку будущих учителей математики включить спецкурс «Некоторые вопросы теории мультипликативного интеграла», ТО это будет способствовать: повышению уровня специальной математической подготовки студентов педвузов за счет углубления фундаментальных знаний; развитию и совершенствованию навыков самостоятельной, в том числе, исследовательской работы, формированию творческой личности учителя-профессионала.
Работа по проверке выдвинутой гипотезы предполагала решить ряд задач исследования:
1. Проанализировать роль специальной подготовки в процессе обучения студентов педвуза и пути ее совершенствования, выявить необходимость использования спецкурсов для повышения уровня их математической подготовки.
2. Определить место и роль понятия мультипликативного интеграла в углублении фундаментальной подготовки будущих учителей математики.
3. Разработать методическую систему - спецкурс «Некоторые вопросы теории мультипликативного интеграла» (программа, пособие, методика проведения аудиторных занятий и организации самостоятельной работы студентов), являющийся вариативным системообразующим компонентом профессиональной подготовки учителя математики.
4. Экспериментально исследовать изменение качества фундаментальных математических знаний будущих учителей математики в процессе изучения спецкурса «Некоторые вопросы теории мультипликативного интеграла».
Для решения поставленных задач нами использовались следующие методы исследования: изучение и анализ стандартов математического образования в педвузе, примерных учебных планов, психолого-педагогической, методической, специальной математической литературы, а также диссертационных исследований, имеющих отношение к теме работы; тестирование, анкетирование студентов, наблюдение за учебным процессом; обобщение опыта работы коллег - преподавателей и личного опыта преподавания в педвузе; педагогический эксперимент и анализ его результатов.
Исследование осуществлялась поэтапно.
На первом этапе (1996-1997 гг.) была изучены научная литература по вопросам, связанным с мультипликативным интегралом, по теории учебной деятельности учащихся и студентов, учебные планы и программы основных математических курсов педвуза по специальности «Математика»; выполнен теоретический анализ состояния специальной математической подготовки в педвузе и путей ее совершенствования; разработаны примерная программа и примерное содержание спецкурса.
На втором этапе (1997-1998гг.) была сформулирована теоретическая идея, выраженная в данной работе в форме гипотезы, теоретически осмыслена существующая научная проблема, продолжено изучение специальной математической и методической литературы, в том числе авторефератов кандидатских и докторских диссертаций, проведен констатирующий и поисковый педагогический эксперимент.
Третий этап (1998-2000гг.) был посвящен разработке и организации обучающего эксперимента. Разработано математическое содержание спецкурса (учебная программа спецкурса и пояснительная записка к ней, курс лекций и содержание практических занятий). Созданы методические материалы к спецкурсу (тематическое планирование, вопросы и упражнения, задачи для самостоятельной работы студентов, темы докладов студентов, темы курсовых работ).
На четвертом этапе (2000-2002 гг.) было закончено написание пособия по спецкурсу «Некоторые вопросы теории мультипликативного интеграла» с учетом результатов педагогического эксперимента, завершен обучающий эксперимент, проанализированы его результаты. Оформлены итоги исследования.
Апробация и внедрение результатов исследования.
Основное содержание работы обсуждалось на заседаниях кафедры геометрии Московского педагогического университета (1997-2000 гг.).
Результаты исследования докладывались на заседаниях научно-методического семинара математических и методических кафедр факультета математики и информатики НГПИ (1998-2002 гг.), на Второй межрегиональной научной конференции «Проблемы современного математического образования в педвузах и школах России» (г. Киров, 2001г.), на Всероссийской научной конференции «54-е Герценовские чтения» по проблемам теории и практики обучения математике (г. Санкт-Петербург, 2001 г.). Автором опубликовано 8 печатных работ (статьи и тезисы), изданы учебно-методические пособия по спецкурсу «Некоторые вопросы теории мультипликативного интеграла».
Научная новизна и теоретическая значимость исследования заключается в том, что доказана возможность построения и эффективность использования интегрирующего спецкурса по математике, основанного на введении в математический аппарат студентов педвуза по существу фундаментального понятия современной математики - понятия мультипликативного интеграла и направленного на повышение уровня специальной математической подготовки будущих учителей математики, а также в формулировке принципов построения такого спецкурса. Практическое значение работы заключается в том, что:
- разработана и издана программа спецкурса "Некоторые вопросы теории мультипликативного интеграла" для студентов математических специальностей педвузов;
- издано учебное пособие к данному спецкурсу, составленное с учетом результатов проведенного исследования;
- в настоящее время проводятся занятия по спецкурсу "Некоторые вопросы теории мультипликативного интеграла" в рамках учебного плана факультета математики и информатики НГПИ.
Результаты исследования и пособие по спецкурсу могут быть использованы при подготовке будущих учителей математики в педвузах. Обоснованность и достоверность научных результатов обеспечивается:
- опорой на фундаментальные положения методики преподавания математики, дидактики, психологии;
- анализом существующей проблемы как с точки зрения теории, так и практики обучения математике в педвузе.
На защиту выносятся:
1. Концепция построения спецкурса, нацеленного на повышение уровня математической подготовки будущих учителей математики.
2. Методическая система - спецкурс "Некоторые вопросы теории мультипликативного интеграла", включающая в себя программу, пособие и методику организации аудиторных занятий и самостоятельной работы студентов.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, библиографии и приложений.
Теоретический анализ состояния специальной математической подготовки студентов педвуза и путей ее совершенствования
Предметом исследования является обучение математике в педагогическом вузе. Мы также исходим из того, что ключевым моментом при обучении студентов в педагогическом вузе является согласование взаимодействия фундаментальной и профессиональной составляющей в общей структуре педагогической подготовки.
Очевидно, что содержание математического образования, методика обучения математике определяются целями обучения математике (специальными и общекультурными) и задачами, которые будет решать на практике в своей профессиональной деятельности выпускник педвуза, изучающий этот предмет.
Будем рассматривать цель (обучения в целом, математического образования, обучения математике) как более общее понятие. Цель, сформулированная при определенных ограничениях или условиях, то есть при вполне определенных, конкретных обстоятельствах - это задача. В этом смысле задачу обучения математическим дисциплинам можно рассматривать как стратегию достижения цели в каждом конкретном случае.
Б.В. Гнеденко так формулировал общие задачи обучения математике в высшей школе: «Наша задача воспитывать таких специалистов, которые не только бы знали формальную сторону предмета и могли на экзамене с блеском ответить на любой вопрос, но чтобы они были в состоянии выдержать более строгий экзамен, который устроит для них жизнь с ее постоянно изменяющимися запросами, с ее непременным требованием вникать в существо встречающихся проблем ... Каждый математик должен иметь отчетливое представление о современном состоянии математики, ее перспективах, основных понятиях, направлениях исследований и хотя бы в общих чертах об истории своей науки. Эти знания окажут ему серьезную помощь в практической работе и позволят осмыслить методологические проблемы математики...» [14, с.29]
В книге «Современная математика и ее преподавание» общие цели обучения математике сформулировал Л.Д. Кудрявцев:
«Для успешного решения поставленной задачи необходимо ясно представлять цель обучения математике, заключающуюся в приобретении определенных знаний, умений использовать математические методы, в развитии математической интуиции и приобретении математической культуры, необходимой для чтения специальной литературы и продолжения в случае необходимости математического образования» [34, с. 184].
Таким образом, можно сделать вывод, что общей целью математического образования студентов, для которых математика - базовый предмет, независимо от их специализации, является качественная подготовка специалиста, способного решать как текущие, так и творческие проблемы в своей профессиональной математической деятельности.
Различным сторонам и проблемам профессиональной подготовки учителей математики в педагогических вузах посвящены многочисленные исследования. Среди них работы Н.Я.Виленкина и А.Г.Мордковича [8], Б.В.Гнеденко [14], С.П.Новикова [59], М.В.Потоцкого [84], Г.Фройденталя [98-99] и диссертации: докторские - Г.Л.Луканкина [39], А.Г. Мордковича [55], В.Т.Петровой [75], Г.Г. Хамова [100] - и кандидатские: Т.Л.Овсянниковой [61], Н.П.Рыжовой [86], С.С.Тасмуратовой [92].
Математические спецкурсы в системе специальной математической подготовки в педвузе
Одним из реальных путей обеспечения фундаментальности математической подготовки будущих учителей математики, осуществления взаимосвязи между различными математическими курсами мы считаем проведение соответствующего спецкурса.
Спецкурсы позволяют активизировать учебный процесс, усилить самостоятельную работу студентов, привлечь их к разработке теоретических и практических проблем науки, сформировать необходимые для работы в школе умения и навыки.
Целью спецкурсов является вовлечение студентов, преимущественно старших курсов, в исследовательскую работу, более углубленное обучение студентов одному из разделов математики. Через спецкурс проходит более узкая специализация студентов, помогающая им в выборе курсовой, а затем и дипломной работы.
С.И.Зиновьев [26], анализируя различные стороны учебного процесса, утверждает, что спецкурсы имеют наибольшие возможности для раскрытия методологии предмета и развития самостоятельности, творческой инициативы студентов, без которых невозможно добиться успехов в подготовке специалистов. По его мнению, лектор достаточно подробно может освещать систему и методы научных исследований, отводя значительное место изложению своего собственного опыта. При этом он обязан направлять мысль студентов на поиск новых путей тех или иных научных проблем, указывая или характеризуя при этом опыт других ученых.
Проблемы специальных курсов освещаются в различных сборниках по вопросам вузовской методики. В них нашли отражение вопросы соотношения общих и специальных курсов, соотношения специальных курсов и школьных факультативов, рассматривались вопросы о роли спецкурсов в теоретической подготовке студентов и приобретении ими практических навыков; дискутировались вопросы о роли спецкурсов в теоретической подготовке студентов и приобретении ими практических навыков; дискутировались вопросы о целях и задачах специальных курсов, их тематики и содержания, вопросы структуры и методики их проведения.
В последние годы серьезное внимание специалистов привлекают вопросы модификации спецкурсов. Методика проведения спецкурса становится более гибкой и совершенной. В целях более активного и творческого усвоения материала предлагается использовать различные виды самостоятельной работы, чтобы избежать механического заучивания студентами материала лекции. Активизация мыслительной деятельности студентов в процессе восприятия лекционного материала осуществляется с помощью постановки проблемных вопросов, создания проблемных ситуаций при обсуждении различных точек зрения, использования наглядности, технических средств обучения. Все чаще высказываются мнения в пользу разработки спецкурса-семинара, то есть занятий, на которых лекционный курс сочетается с самостоятельной работой студентов по данной теме. Он проводится частично в форме лекций, частично в форме докладов студентов и способствует одновременному приобретению теоретических знаний и формированию умений самостоятельно изучать научные разделы. Спецкурс-спецсеминар предполагает сочетание лекционной и семинарской форм обучения: спецкурс предусматривает чтение лекций преподавателем, а семинар предполагает выступление студентов с докладами и сообщениями по заданной теме. С этой точки зрения, наш спецкурс следует отнести именно к разряду спецкурсов-спецсеминаров. Мы полагаем, что занятия по спецкурсу-спецсеминару проходят интереснее, студенты более активны и знания, получаемые с их непосредственным участием, не являются формальными. Спецсеминар преследует те же цели, что и спецкурс, но еще более активизирует познавательную деятельность студентов в процессе усвоения знаний. Характеристику семинарский занятий дает С.И.Зиновьев. «В условиях ... высшей школы семинар - один из основных видов практических занятий, проводимых под руководством преподавателя, ведущего научные исследования по тематике семинара и являющегося знатоком данной научной проблемы или отрасли научных знаний. Семинар предназначен для углубленного изучения той или иной дисциплины и овладения ... методологией применительно к особенностям изучаемой отрасли науки» [26,с 213]. В вузах семинарские занятия преследуют две цели: расширение научного кругозора студентов и ознакомление их с приемами техники научного исследования. Семинарская форма проведения занятий воспитывает творчески мыслящих специалистов, позволяет осуществить связь теории с практикой, дает возможность сформировать профессиональные умения студентов.
Спецкурсы в педагогическом вузе условно можно разделить на три группы:
- научные по специальности;
- психолого-педагогического цикла;
- ориентирующие на школу.
Программа спецкурса
Пояснительная записка
Несмотря на большую пользу и универсальность мультипликативного интеграла, он не занимает подобающего ему места в современной математической науке и математическом образовании, хотя основные конструкции, связанные с мультипликативным интегралом, возникают в различных разделах математики и физики. Целые математические разделы представляют собой различные интерпретации мультипликативного интеграла. И игнорирование конструкции мультипликативного интеграла в вышеназванных разделах существенно обедняет возможности исследований. Приложения мультипликативного интеграла разнообразны и с каждым годом расширяются. Мультипликативный интеграл является естественным инструментом исследования для многих математических и физических задач. При этом оказывается важной структура конструкции мультипликативного интеграла как предела произведения определенного типа сомножителей.
По нашему мнению, конструкция мультипликативного интеграла является одной из основных математических конструкций, но не занимает соответствующее ей место как в современном математическом аппарате, так и в математическом образовании, в том числе, будущих учителей математики. Между тем сама конструкция мультипликативного интеграла позволяет формулировать новые задачи и в ряде случаев подсказывает подходы к их решению. Происходящие из понятий и конструкций мультипликативного интеграла задачи имеют приложения к общепризнанным вопросам.
В условиях совершенствования системы педагогического вузовского образования требования к уровню специальной подготовки будущих учителей математики возрастают. В связи с этим математические курсы должны, в частности, обеспечивать знакомство студентов с современной математикой, ее задачами и принципами развития. Освещение фундаментальных вопросов современной математики должно обеспечить такой уровень математической подготовки будущего учителя, который даст ему возможность, в первую очередь, излагать на современном научном уровне материал школьного курса, а также, вооружить его методами, позволяющими облегчить труды в процессе самостоятельных научных исследований. Спецкурс «Некоторые вопросы теории мультипликативного интеграла», на наш взгляд, удовлетворяет вышеизложенным требованиям. Кроме того, этот курс способствует осознанию того, что различные математические разделы объединены общими идеями, и пониманию современной математики как единой науки - единой математики.
Преподавание такого спецкурса в педвузах безусловно должно иметь свою специфику, учитывающую будущую специальность их выпускников. При отборе материала для приведенной выше программы мы учитывали как междисциплинарные связи вузовской математики, так и связь спецкурса со школьным курсом математики. При этом акцент делается на связь понятий спецкурса с такими основными понятиями школьной математики, как «функция», «производная», «определенный интеграл», «дифференциальное уравнение», а также на использование методов, которые не менее актуальны в процессе изучения материала школьного курса математики.
Включение в программу вопросов: о связи мультипликативного и риманова интеграла, о мультипликативном интеграле и системе линейных дифференциальных уравнений, о представлении мультипликативного интеграла суммой ряда, о криволинейном мультипликативном интеграле и связности, о кривизне криволинейного мультипликативного интеграла -имеет целью установление и усиление межпредметных связей между понятиями, относящимися к различным математическим курсам и их разделам: дифференциальное и интегральное исчисление, теория рядов, дифференциальные уравнения; функциональный анализ; дифференциальная геометрия; алгебра. Рассмотрение этих вопросов создает благоприятные условия для конструктивного повторения, обобщения и систематизации тех важных теорий, которые студентам знакомы из изученных ранее основных математических курсов. Изучение некоторых вопросов программы напрямую связано с теорией матричных функций и матричных рядов, знакомство с которой призвано расширить математический кругозор студента педвуза.
