Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Теоретические основы укрепления внутрипредметных связей школьного курса математики на основе элементов стохастики 14
1. Специфика понятия внутрипредметных связей в школьном курсе математики 14
1.1. Психолого-педагогический аспект проблемы реализации внутрипредметных связей в современном образовании 14
1.2. Внутрипредметные связи в школьном курсе математики 20
2 Проблема взаимосвязи элементов стохастики и традиционной школьной математики 30
2.1. Причины неудач внедрения элементов стохастики на протяжении истории развития отечественного школьного курса математики 30
2.2. Современный опыт преподавания элементов стохастики в школе в условиях обособленности от традиционных вопросов курса математики 38
3. Когерентно-интегративный подход к изучению элементов стохастики в школьном курсе математики 51
4. Последовательность изучения основных стохастических понятий в условиях взаимодействия с традиционным содержанием школьной математики 64
5. Когерентно-стохастические задачи как средство укрепления внутрипредметных связей школьного курса математики 86
Выводы по первой главе 97
Глава 2. Методика изучения элементов стохастики в условиях укрепления внутрипредметных связей школьного курса математики 100
1. Введение основных стохастических понятий на основе когерентно-интегративного подхода 100
- Специфика понятия внутрипредметных связей в школьном курсе математики
- Причины неудач внедрения элементов стохастики на протяжении истории развития отечественного школьного курса математики
- Введение основных стохастических понятий на основе когерентно-интегративного подхода
Введение к работе
Актуальность исследования.
В настоящее время система отечественного школьного математического образования находится в стадии реформирования, направленного на согласование её содержания и структуры с требованиями современной общественной жизни. В целях модернизации системы обучения математике Министерство образования и науки РФ в 2003 г. издало директиву “О введении элементов комбинаторики, статистики и теории вероятностей в содержание математического образования основной школы” (№ 03-93 ин/13-03 от 23.09.2003), на основании которой началось повсеместное изучение стохастического материала. Этому предшествовали многочисленные научно-методические исследования проблем организации обучения школьников стохастике, авторы которых заявляли о необходимости дополнить систему традиционно сложившихся содержательно-методических линий школьного курса математики новой вероятностно-статистической (стохастической) линией.
Среди всех методических исследований, направленных на формирование в курсе математики новой линии, следует выделить работы Л.О. Бычковой, Ж. Кудратова, Д.В. Маневича, В.Г. Потапова, А. Плоцки, В.Д. Селютина, В.В. Фирсова и других, посвященные решению основных научно-методических проблем обучения школьников элементам комбинаторики, теории вероятностей и математической статистики.
Вместе с тем, прошло уже достаточно времени для того чтобы проанализировать результаты проделанной работы и выявить недостатки, над которыми следует серьёзно задуматься. Главный из них состоит в том, что, несмотря на все усилия, новая стохастическая содержательно-методическая линия до сих пор не сформировалась, поскольку разрозненные методические приёмы изучения в школе отдельных элементов стохастики, разработке которых посвящено большинство исследований, не обеспечивают курсу математики необходимой систематичности и последовательности, а также не в состоянии отразить идейную сторону математики и стать важнейшим средством обеспечения преемственности всего изучаемого материала. Эти основополагающие требования, предъявляемые к содержательно-методическим линиям, в случае со стохастикой превратились в коренные проблемы, на которые многие не обращают внимания.
Именно поэтому появление в школьном курсе математики элементов стохастики порождает целый ряд трудностей. Так, методистами давно разработан перечень вопросов, рекомендованный Министерством образования и науки, для изучения в рамках школьного стандарта, однако до сих пор нет единого мнения относительно методики их изучения. Среди педагогов, прежде всего, нет однозначного представления о том, где следует искать резервы учебного времени для изучения элементов стохастики. Курс математики нельзя неограниченно расширять, добавляя всё новые и новые разделы, поскольку подобные структурные манипуляции могут сказаться на качестве знаний учащихся. В итоге, большая часть школьных учителей с недоверием относится к изучению стохастики и надеется на скорое избавление от очередной “моды”.
Однако большинство исследователей обходят эту проблему стороной, выделяя в своих учебных пособиях для изучения стохастического материала преимущественно заключительные параграфы или разделы, которые слабо взаимосвязаны с остальными разделами курса. Поэтому, несмотря на методически удачное фрагментарное изложение в ряде учебников, элементы стохастики пока еще остаются не охваченными внутрипредметными связями и им не удается преодолеть статус “инородности” внутри традиционной математики.
В результате можно констатировать, что проблема построения целостной, непротиворечивой и эффективной системы обучения стохастике, логично интегрированной в структуру школьного курса математики, решена лишь в общих чертах. Однако в исследованиях А. Плоцки и В.Д. Селютина было показано, что стохастика, включённая в школьную программу в виде сквозной содержательно-методической линии, может быть не просто согласована с традиционным содержанием курса математики, но и способна укрепить внутрипредметные связи между другими его разделами. Одним из сформулированных В.Д. Селютиным принципов построения стохастической содержательно-методической линии является принцип интегративности, который выражает необходимость укрепления внутренней целостности курса математики средствами стохастики.
Вместе с тем, анализируя все проведённые исследования, можно заключить, что теоретические идеи, заложенные в принципе интегративности, до сих пор не реализованы на практике и в сфере отечественного математического образования существует своеобразный методический вакуум, порождённый отсутствием внутрипредметной взаимосвязи стохастических и традиционных понятий в рамках школьной программы.
Таким образом, можно с уверенностью утверждать, что на современном этапе развития системы школьного математического образования возникли противоречия между:
предписаниями Министерства образования и науки РФ и настороженностью и недоверием учителей к преподаванию стохастического материала ввиду нерешённости проблемы дефицита учебного времени;
необходимостью введения стохастической содержательно-методической линии и прогрессирующим в среде учителей убеждением в инородности элементов стохастики в структуре традиционного курса математики;
возможностью эффективного применения стохастики непосредственно при изучении традиционных тем курса математики для укрепления их взаимосвязей и сложившейся методикой обучения математике, не предусматривающей использование интегрирующего потенциала стохастики.
Выявленные противоречия обусловили выбор темы исследования, проблема которого формулируется следующим образом: каково влияние элементов стохастики на укрепление внутрипредметных связей школьной математики? Решение данной проблемы составляет цель исследования.
Объект исследования: школьный курс математики.
Предмет исследования: элементы стохастики как средство укрепления внутрипредметных связей школьного курса математики.
Гипотеза исследования состоит в том, что элементы стохастики могут выступать в качестве эффективного средства укрепления внутрипредметных связей школьного курса математики, если:
усиление существующих и формирование новых внутрипредметных связей будет осуществляться в процессе становления новой стохастической содержательно-методической линии курса математики, направленной на овладение учащимися средствами и методами анализа окружающего их мира случайных явлений;
реализация интегрирующего потенциала стохастической содержательно-методической линии будет основана на последовательном применении стохастических понятий и представлений для решения образовательных задач большинства традиционных тем школьной математики;
анализ случайных явлений будет осуществляться не только методами стохастики, но и путём широкого привлечения средств традиционной математики;
основным методическим средством обучения стохастике станут специально разработанные задачи, направленные на объединение традиционных и новых разделов математики путем применения учащимися знаний, умений и навыков, полученных на протяжении всего обучения.
В соответствии с объектом, предметом, целью и гипотезой исследования были поставлены следующие задачи:
-
Выявить специфику понятия “внутрипредметные связи” школьного курса математики в условиях формирования новой стохастической содержательно-методической линии и её согласования с традиционной математикой.
-
Установить основные причины неудач внедрения элементов комбинаторики, статистики и теории вероятностей в школьный курс математики на протяжении истории развития отечественного образования.
-
На основе анализа существующих подходов к изучению стохастики разработать подход, направленный на укрепление внутрипредметных связей путём согласования элементов стохастики с традиционным содержанием школьной математики.
-
Обосновать последовательность изучения основных стохастических понятий, обеспечивающую органичное вхождение элементов стохастики в традиционные разделы школьной математики.
-
Разработать специальные задачи, требующие для своего решения комплексного взаимодействия стохастической линии с другими линиями школьного курса математики.
-
Разработать методику обучения элементам комбинаторики, статистики и теории вероятностей, отвечающую целям укрепления внутрипредметных связей школьной математики.
Методологическую основу исследования составляют: научно-философские положения о всеобщей связи, целостности и причинной обусловленности явлений, диалектической взаимосвязи случайного и необходимого; основные положения гносеологии; системный подход к обучению в форме структурно-функционального метода как его разновидности; синергетическая концепция развития сложных систем.
Теоретической основой исследования являются:
работы по методологии научного исследования (В.П. Кохановский, Т.Г. Лешкевич, В.С. Стёпин и др.);
концепции учебной деятельности и развивающего обучения (С.Л. Выготский, В.В. Давыдов, Н.Ф. Талызина, Д.Б. Эльконин и др.);
исследования по проблеме реализации внутрипредметных связей в школьном курсе математики (В.А. Далингер, В.К. Кириллов, Р.Ю. Костюченко, У.М. Махсудова, В.М. Монахов, А.В. Шевкин и др.);
исследования в области профессиональной подготовки учителей математики (Ф.С. Авдеев, Г.Л. Луканкин, М.Н. Скаткин и др.);
историко-генетические концепции математического образования (Т.К. Авдеева, Ю.М. Колягин, Т.С. Полякова, О.А. Саввина, О.В. Тарасова и др.);
научные идеи, касающиеся реформирования математического образования (Б.В. Гнеденко, Г.В. Дорофеев, А.Н. Колмогоров, А.И. Маркушевич, Л.С. Понтрягин и др.);
концепция прикладной направленности обучения математике (Н.А. Терешин, В.В. Фирсов, И.М. Шапиро и др.);
теория и методика обучения решению математических задач (Ю.М. Колягин, В.И. Крупич, Г.И. Саранцев, Л.М. Фридман, М.И. Шабунин и др.);
исследования проблем изучения элементов стохастики в школьном курсе математики (Е.А. Бунимович, Ж. Кудратов, Д.В. Маневич, А. Плоцки, В.Д. Селютин, и др.).
Для решения поставленной задачи были использованы следующие методы исследования:
Эмпирические (анкетирование и тестирование учащихся; анкетирование и интервьюирование учителей математики; опытно – экспериментальная работа по проверке положений диссертации).
Теоретические (гипотетико-дедуктивный метод изучения проблемы преподавания элементов стохастики в школьном курсе математики, основанный на анализе и систематизации исторической, философской, психолого-педагогической и методической литературы, педагогических первоисточников и периодики, учебных программ, учебных пособий и учебников, диссертаций и авторефератов по исследуемой проблеме).
Общелогические (сравнительный анализ передового педагогического опыта; обобщение сформулированных ранее подходов к обучению стохастике в школе; моделирование реальных жизненных ситуаций средствами стохастики; вероятностно-статистические методы обработки и анализа результатов проведенной опытно-экспериментальной работы).
Научная новизна исследования состоит в выдвижении когерентно-интегративного подхода к изучению элементов стохастики, основанного на идее согласования их с традиционным содержанием школьной математики, и в разработке способа укрепления внутрипредметных связей школьного курса математики средствами стохастики.
Теоретическая значимость исследования состоит:
в обосновании когерентно-интегративного подхода, укрепляющего внутрипредметные связи и неразрывно связывающего стохастику с традиционными разделами школьного стандарта по математике;
во введении в научный оборот понятия “когерентно-стохастическая задача” как основного методического средства реализации когерентно-интегративного подхода и выявлении основных требований, которым она должна удовлетворять;
в доказательстве новой последовательности изучения основных стохастических понятий в структуре школьного курса математики, основанной на теоретических идеях когерентно-интегративного подхода и применении когерентно-стохастических задач;
в теоретическом обосновании методики обучения элементам стохастики, обеспечивающей взаимодействие новой содержательно-методической линии с традиционными линиями.
Данное исследование вносит вклад в теорию построения школьного курса математики, расширяет представления о возможностях стохастики в плане оптимизации его внутренней структуры и составляющих связей.
Практическая значимость исследования состоит в возможности использования его результатов учителями, что позволяет сделать курс математики более логичным, компактным, внутренне целостным, адекватным целям и задачам обучения; в реализации когерентно-интегративного подхода путём разработки методики изучения элементов стохастики в органичном единстве с традиционным математическим содержанием; в разработке учебно-методического пособия “Стохастика в канве школьной математики”, адаптированного к непосредственному применению при планировании и проведении уроков в 5-9 классах, а также при подборе учебно-дидактического материала для организации самостоятельной познавательной деятельности учащихся.
Достоверность полученных результатов и обоснованность научных выводов обеспечиваются методическим и методологическим инструментарием исследования, адекватным его цели, предмету и задачам; опорой на результаты современных исследований по педагогике и психологии, теории и методике обучения стохастике; анализом различных взглядов на проблему реализации внутрипредметных связей школьного курса математики; положительной оценкой разработанных методических материалов учителями математики; итогами опытно-экспериментальной работы.
Апробация результатов исследования осуществлялась в виде докладов и выступлений на всероссийских, региональных и межвузовских научно-практических конференциях и семинарах в Ельце (2006), Мценске (2006), Орле (2003-2008), Тамбове (2008). Тема исследования отражена в 11 публикациях. Основные результаты исследования внедряются в образовательную практику школ г. Орла и Орловской области.
На защиту выносятся следующие научные положения:
-
В современных условиях внедрения элементов комбинаторики, статистики и теории вероятностей в школьную математику возникла потребность согласования традиционных и стохастических понятий, без которого невозможно построение полноценной содержательно-методической линии курса.
-
Элементы стохастики выступают в качестве эффективного средства укрепления внутрипредметных связей, способного проникать в различные разделы школьного курса математики, применяться на разных этапах обучения, привлекать к анализу проблемных ситуаций широкий спектр ранее изученных понятий и представлений, совершенствуя тем самым его внутреннюю структуру.
-
Изучение стохастики следует осуществлять в рамках когерентно-интегративного подхода, последовательно вводя важнейшие стохастические понятия и представления в традиционную математику, укрепляя тем самым ее внутрипредметные связи. При использовании этого подхода стохастика не только успешно согласуется с традиционным математическим содержанием, становится его необходимым компонентом, но и, вплетаясь в канву изучаемого материала, обеспечивает интеграцию различных тем.
-
Укреплению внутрипредметных связей курса математики способствует использование особых когерентно-стохастических задач, требующих для своего решения применения широкого спектра математических понятий и представлений. Когерентно-стохастические задачи – есть особого вида задачи, укрепляющие внутрипредметную взаимосвязь различных разделов математики, раскрывающие вероятностно-статистическую природу явлений окружающей действительности и допускающие возможность математической формулировки моделей проблемных стохастических ситуаций, для решения которых требуется комплексное применение математических понятий и представлений (определений, теорем и т.п.), изучаемых в школе.
-
Разработанная методика обучения школьников элементам комбинаторики, статистики и теории вероятностей, направленная на максимальное согласование стохастических и традиционных понятий, обеспечивает укрепление внутрипредметных связей школьного курса математики.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, приложений, списка используемой литературы; иллюстрирована таблицами и рисунками.
Специфика понятия внутрипредметных связей в школьном курсе математики
Среди других разделов математической науки, изучаемых в рамках школьного курса, особое место занимают элементы стохастики, привлекающие пристальное внимание современных педагогов-методистов благодаря значительному, не использованному полиостью образовательному и воспитательному потенциалу. Стохастические представления являются одними из основополагающих идей, образующих фундамент современной науки.
На современном этапе развития отечественной системы школьного математического образования появление элементов стохастики стало закономерным процессом, который, несмотря на значительное теоретическое обоснование, очень медленно реализуется на практике. Изучение данной проблемы непосредственно связано с анализом той системы внутрипредметных связей, которая сложилась в традиционном школьном курсе математики, и поиском наиболее эффективных средств её укрепления в связи с появлением нового стохастического материала. Эта работа требует глубокого понимания сущности внутрипредметных связей, её конкретизации именно на основании выяснения взаимозависимости элементов стохастики и традиционной школьной математики, а также уточнения собственного понимания важнейших категорий, невозможного без предварительной систематизации различных исследовательских позиций по этому вопросу.
Данная диссертация продолжает серию исследований проблемы внутрипредметных связей школьного курса математики [1, 50, 62, 68, 95, 116 и др.]. Поэтому в его начале необходимо рассмотреть историко- педагогический аспект проблемы внутрипредметных связей и проанализировать, достоинства и недостатки, имеющегося на сегодняшний день, различных вариантов её решения.
Проблема реализации внутрипредметных связей в структуре школьного образования с давних времен привлекает внимание выдающихся педагогов. У ее истоков стояли такие мыслители, как Я.А. Коменский, И.Г. Песталоцци, Ф.А. Дистервег, К.Д. Ушинский. В своих работах они рассматривали в качестве ведущей цели педагогической деятельности формирование у учащихся целостной системы знаний и в этой связи указывали на недопустимость изолированного изучения различных тем в учебном курсе. Так, К.Д. Ушинский образно сравнивал обособленные знания с мертвыми идеями, понятиями, которые "лежат в голове, как на кладбище, не зная о существовании друг друга" [149, С. 177]. "Только система, — писал он, — конечно, разумная, выходящая из самой сущности предметов, дает нам полную власть над нашими знаниями" [149, С. 365].
Однако, несмотря на усилия выдающихся педагогов, комплексный анализ проблемы внутрипредметных связей в содержании школьных курсов начинается только в XX веке. Большое внимание ему уделяют как отечественные, так и зарубежные психологи и дидакты. Например, C.JI. Рубинштейн, анализируя мыслительную деятельность человека, утверждал, что "объект в процессе мышления включается во все новые связи и в силу этого выступает во всех новых качествах, которые фиксируются в новых понятиях; из объекта таким образом как бы вычерпывается все новое содержание, он как бы поворачивается каждый раз другой стороной, в нем выявляются все новые свойства" [119, С. 98-99].
Данную точку зрения разделял и JT.C. Выготский который установил, что усвоение системы понятий приводит к образованию многосторонних связей между ними [38]. Именно поэтому М.И. Скаткин заявлял, что "каждая наука представляет собой систему взаимосвязанных понятий. Овладеть основами какой-либо науки значит, прежде всего, овладеть системой взаимосвязанных понятий этой науки" [131, С. 25]. Ж. Пиаже, П.Я. Гальперин, P.C. Немов в теории поэтапного формирования умственных действий не раз указывали на недопустимость наличия у учащихся изолированных знаний.
Многие исследователи рассматривали вопрос о систематизации знаний в процессе обучения в качестве одного из важнейших вопросов, стоящих перед современной школьной педагогикой. О приоритете данной проблемы заявляли М.А. Данилова и Б.П. Есипова: "Приведение знаний в систему не ограничивается связью фактов и понятий, относящихся к одному и тому же предмету, а включает логический порядок, тесную связь, подвижность и гибкость усвоенных фактов и понятий по учебному предмету. Исследованиями доказано, что системность знаний, а следовательно, их подвижность, не могут быть выработаны без тренировки учащихся в сопоставлении одних фактов и понятий с другими, без применения понятий в деятельности" [53, С. 143].
Приведенный тезис, указывающий, что установление существенных связей между явлениями и фактами учебного предмета являются важнейшими средствами систематизации знаний, разделяют представители самых разных отраслей педагогической науки. Так, JI.B. Занков, характеризуя важность внутренних связей, заявляет: "Система - это целое, представляющее собой единство закономерно расположенных и действующих во взаимной связи частей. ... Обязательным признаком системы служит ее целостность" [59, С. 86].
Причины неудач внедрения элементов стохастики на протяжении истории развития отечественного школьного курса математики
Проанализировав основные подходы к изучению элементов стохастики в современных методических исследованиях, мы убедились, что взаимодействие элементов стохастики и традиционной математики на сегодняшний день не является эффективным. Иными словами, они не приносят друг другу пользы, существуют параллельно и пересечение их возникает только искусственно под давлением внешних факторов, таких как разрабатываемые министерством образовательные стандарты и директивы. Однако насущная необходимость взаимодействия элементов стохастики и школьной математики назрела, но не проявила себя на страницах учебников и учебно-методических пособий.
Однако эта необходимость существует. Она осознана ведущими методистами, убеждёнными в том, что искомое взаимодействие возможно на пути усиления внутрипредметных связей традиционной школьной математики тем эффективным аппаратом, которым располагает стохастика, благодаря своей уникальной среди других разделов математики жизненно- практической ориентации. Именно укрепление внутрипредметных связей средствами стохастики представляет на сегодняшний день наименее разработанную методическую проблему, на которую направлено наше внимание.
Усиление внутрипредметных связей курса математики является наиболее значимым направлением непрерывно протекающего совершенствования процесса обучения. Характеризуя этот глобальный образовательный процесс, В.А. Далингер пишет: "Одно из направлений состоит в определении преемственности учебного материала, установлении взаимосвязей и взаимообогащений учебных предметов, то есть в усилении внутрипредметных связей. Усиление внутрипредметных связей есть одно из важнейших направлений дидактического совершенствования методики преподавания школьных учебных дисциплин, поэтому актуальна задача выявления содержания и методов реализации этих связей, исследование их влияния на формирование знаний, умений и навыков учащихся, чтобы дать им не простую сумму, а систему знаний" [49, С. 98].
Таким образом, В.А. Далингер подчёркивает, что наиболее эффективные возможности совершенствования математического образования основываются не на расширении изучаемого материала, а на более плодотворном использовании внутренних резервов существующей учебной программы. Это очень важная теоретическая установка, которую забывают многие методисты в своих попытках привнести элементы стохастики в школьную математику тем или иным способом. Однако элементы стохастики не смогут послужить целям совершенствования математического образования, если будут использованы для развития математики "вширь". Она будет полезна, и поэтому легче принята большинством педагогов, если сможет послужить развитию традиционной математики "вглубь", то есть поспособствует усилению её внутрипредметных связей.
Подтверждение этой методической идеи мы можем найти не только в многочисленных работах А. Плоцки, Д.В. Маневича, В.Д. Селютина и некоторых других исследователей, специализирующихся на изучении стохастической содержательно-методической линии. Эта идея является закономерным следствием процесса развития и совершенствования современного образования. Она находит своё выражение и в работах тех методистов, которые напрямую никогда не занимались изучением проблемы обучения элементам стохастики в школе. Так, например, Г.Г. Маслова и J1.B. Кузнецова в статье "Внутрипредметные связи в курсе математики" указывают: "Следует заметить, что в новом курсе математики заложены и более "скрытые" внутренние связи, которые выявятся при дальнейшем совершенствовании математического образования, например, при включении в него изучения элементов теории вероятностей и математической статистики, а в более далекой перспективе и понятие векторного пространства" [80, С. 115]. Таким образом, о значительном внутрипредметном потенциале утверждают не только специалисты в области стохастики, но и ученые, специализирующиеся в других вопросах математического образования.
Этот потенциал стохастики раскрывается уже на основе самых общих рассуждений о сущности внутрипредметных связей. Основное предназначение всего комплекса внутрипредметных связей любой учебной дисциплины, а математики в особенности, состоит в упорядочении и систематизации получаемых учащимися знаний, умений и навыков. Действительно, согласно идеям В.А. Далингера, "поиск средств формирования системных знаний у учащихся нацеливает прежде всего на отыскание связей и зависимостей, которые должны быть установлены между предметной и деятельностной стороной содержания обучения. Одно из таких средств предполагает на определенном этапе обучения необходимость перекомпоновки, соподчинения, систематизации материала, выявление новых связей и отношений между элементами этой суммы знаний" [49, С. 106-107].
Становление стохастической содержательно-методической линии современного школьного курса математики более всего открыто именно для подобного рода средств укрепления внутрипредметных связей. Действительно, появление этого нового материала ориентирует педагогов, прежде всего, на перекомпоновку традиционного учебного материала, которая обязательно влечёт выявление новых связей между элементами той системы математических знаний, которую осваивают ученики в процессе обучения [49]. Причём этот эффект может быть достигнут только тогда, когда стохастика встраивается в саму структуру традиционного курса, то есть "вплетается в его канву", становится с ним одним неразрывным целым.
Введение основных стохастических понятий на основе когерентно-интегративного подхода
Современный школьный курс математики не рассматривает строгого определения натурального числа, предлагая каждому учителю самостоятельно обеспечить выполнение основной методической задачи данного этапа обучения - формирование у каждого ученика твердых представлений о том, что натуральные числа - это числа 1, 2, 3, 4..., которые можно записывать последовательно, без пропусков и притом без конца.
Соглашаясь с мнением методистов, мы считаем, что "при формировании понятия "натуральное число" как количественной характеристики множества возможна опора па житейский прототип, так как фактически школьники еще до целенаправленного обучения имеют такое же представление об этих числах" [52, С. 23]. Знакомясь с натуральными числами в начальной школе, учащиеся получают их путем прибавления или вычитания палочек, косточек и т.д. В процессе обучения учащиеся приходят к научной характеристике понятия, известного еще ранее из жизненного опыта. При этом совершается переход от предметных действий к выделению формального содержания и его изображению на уровне абстракции и обобщения.
При изучении натуральных чисел учащиеся используют ситуации, требующие статистического учёта различных совокупностей объектов. Именно поэтому при введении таких понятий, как натуральное число, сравнение натуральных чисел, координатный луч и т.п., высокоэффективным средством может служить арсенал специально подобранных стохастических задач. Использование средств стохастики уже на ранних этапах математического образования, при изучении натуральных чисел, позволяет учителю выйти за пределы абстрактной математики и начать познавательный процесс, опираясь на реальные жизненные ситуации, которые, благодаря их статистическому содержанию, легко и, что самое важное, ненавязчиво для учащихся формализуются до уровня математической абстракции.
Рассмотрим пример, который позволяет наглядно проиллюстрировать два способа сравнения натуральных чисел: с помощью статистической таблицы и с помощью координатного луча.
В этом примере отражена внутрипредметная связь школьного курса математики на уровне понятий. В учебном курсе понятия могут играть разную роль: одни из них являются общими, с широким спектром приложений, другие же играют подчинённую роль. В.А. Далипгер предлагает считать ведущими понятиями те, которые удовлетворяют следующим критериям: "Они должны формировать научное мировоззрение; значительно чаще других понятий служить средством изучения различных вопросов математики; активно работать па протяжении большого промежутка времени; способствовать наиболее полной реализации внутрипредметных связей, а в конечном счете, и межпредметиых; иметь прикладную и практическую направленность" [52, С. 10]. Понятие числа как раз и является примером ведущего понятия курса математики. К ним также следует отнести понятия "величина", "функция", "график", "уравнение", "неравенство" и подобные им понятия, лежащие в основе выделения в структуре курса математики основных содержательно-методических линий.
Продолжая рассмотрение числовой линии курса математики, обратимся к анализу системы арифметических действий над натуральными числами (сложение, вычитание, умножение и деление) как важнейшему этапу математического образования.
Соглашаясь с мнением В.М. Брадиса, отметим, что "нет никакого сомнения в том, что уменье производить более простые числовые выкладки без записи их и без использования каких бы то ни было вспомогательных средств вычисления представляет собой ценный навык, который школа должна дать учащимся" [26, С. 122-123]. Это так называемый "устный счет". Помимо ощутимой непосредственной практической пользы выработка навыков устного счета имеет большое воспитывающее значение, так как упражняется память, приобретается умение сосредоточиться, создается привычка самоконтроля.
Когерентно-стохастические задачи имеют практически неограниченный потенциал для развития у учащихся навыков устного счёта. Их преимущества перед существующими методиками определяются тем, что учащиеся могут получить задание для вычисления не в математизированной абстрактной форме, а из реальной жизненной (например, игровой) ситуации, которую сами же и организуют, в том числе и в свободное от учебных занятий время. Предложенная ниже задача наглядно иллюстрирует сказанное.
Данная задача рассматривается в 5 классе при изучении темы "Сложение натуральных чисел". В учебнике математики 5 класса [85] в этом параграфе уделено внимание таким внутрипредметным связям традиционного курса математики, как устный счет, обозначение натуральных чисел, соотношения между единицами измерения; а также вводятся первые элементы стохастики - заполнение таблиц. Кроме того, в данном параграфе проводится пропедевтика таких математических методов, как решение уравнений и тождественные преобразования. На интуитивном уровне (на примере № 221, стр. 54) проводится пропедевтика такого важного понятия курса, как часть (доля). Несмотря на все перечисленные достоинства этого параграфа, в нем слабо освещены внутрипредметные связи на уровне таких методов, как чтение таблиц и сравнение натуральных чисел. Поэтому, чтобы исключить этот недостаток, мы предлагаем к рассмотрению следующую задачу.
