Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Теоретические основы изучения элементов математической логики в начальной школе
1. Отношения на множестве объектов 13
2. Законы логики 19
3. Высказывания, предикаты и операции над ними 27
ГЛАВА II. Психолого-педагогические и методические основы изучения элементов математической логики в начальной школе
1. Психолого-педагогические основы изучения элементов математической логики в начальной школе 38
2. Методические основы изучения элементов математической логики в начальной школе 54
ГЛАВА III. Практическая реализация методики по изучению элементов математической логики в начальной школе
1. Система упражнений при изучении элементов математической логики в 1-4 классах 75
2. Организация и результаты педагогического эксперимента 101
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 116
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 126
ПРИЛОЖЕНИЯ
- Отношения на множестве объектов
- Психолого-педагогические основы изучения элементов математической логики в начальной школе
- Система упражнений при изучении элементов математической логики в 1-4 классах
Введение к работе
В настоящее время в стране ведутся интенсивные поиски путей усовершенствования математического образования, его перестройка. Важнейшие общие идеи и положения, ее изложены в основах "Концепции непрерывного образования" и "Концепции общего среднего образования как базового в системе непрерывного образования". В связи с этим происходят пересмотр общих целей обучения математике и в начальной школе, усиление развивающей и воспитывающей роли математики в общем образовании младших школьников.
Вклад начального этапа математического образования в реализацию общих целей обучения должен состоять в том, чтобы создать необходимые условия для воспитания у учащихся математического стиля мышления, характеризующегося такими качествами, как доминирование логической схемы рассуждения, лаконизм, четкая расчлененность хода аргументации, точность использования символики при овладении научными понятиями. Овладение ими необходимо влечет за собой формирование у учащихся элементарных знаний по математической логике, а также пропедевтики развития основ математического языка. Умение пользоваться математическим языком в процессе познания законов окружающей действительности составляет смысл понятия "математическая культура" - важнейшего компонента математического образования (Х.Ш.Шихалиев).
В работах математиков А.Н. Колмогорова, А.И. Маркушевича А.С. Столяра, A.M. Пышкало, П.М. Эрдниева и др. освещены принципиальные вопросы совершенствования школьного математического
образования, в частности вопросы, связанные с усилением логической основы школьного курса, включением в него элементов математической логики.
Проблема введения элементов логики при обучении математике состоит не в том, чтобы изучить специально и обособленно логику, как отдельный учебный предмет, а в том, чтобы необходимые элементы стали неотъемлемой частью самого преподавания математики, важным инструментом, повышающим его эффективность и влияние на логическое развитие учащихся. "Необходима мыслительная, логическая программа, которая должна быть реализована в начальных и средних классах школы" (А.А.Столяр).
Отношения, включающие математические операции над выражениями, и отношения (эквивалентности, порядка, функциональные), приводящие к предложениям (высказываниям и высказывательным формам, равенствам и неравенствам, уравнениям, тождествам), должны выступать в качестве самостоятельной логической единицы содержания школьного курса математики, поскольку они являются основой выявления истинности или ложности наших суждений. Поэтому изучение различных отношений между объектами, и в частности, отношений на числовом множестве, может стать важным средством формирования элементов математической логики у младших школьников в процессе обучения математике.
Практика показывает, что изучение отношений на числовом множестве происходит крайне односторонне, акцентируя основное внимание на один вариант отношения - "равно", хотя в устной форме косвенно затрагиваются и другие варианты: "больше", "меньше". Это придает процессу формирования элементов математической логики
стихийный, не целенаправленный характер, что в конечном итоге отрицательно сказывается на уровне развития логического мышления учащихся.
Исследования психологов и педагогов В.В. Выготского, Д.Б. Леонтьева, С.Л.Рубинштейна, Л.В.Занкова, В.В. Давыдова, Н.М. Скатки-на и др. показывают, что при определенных условиях можно достичь не только высокого уровня ЗУН, но и общего развития. В традиционном обучении развитие выступает как желательный, но далеко не предсказуемый продукт обучения.
Выдвинутый Л.В.Занковым принцип "обучение на высоком уровне трудности" заставил методистов по-новому оценить реальные познавательные возможности младших школьников. Это повлекло за собой пересмотр содержания обучения по всем учебным предметам с точки зрения его доступности.
Идея повышения роли теоретических знаний в обучении младших школьников была выдвинута одновременно в ряде научных исследований (В.В.Давыдов, Л.В.Занков, А.И. Маркушевич, К.И. Нешков, A.M. Пышкало, П.М. Эрдниев и др.). Так, сформулированный Л.В.Занковым принцип "ведущей роли теоретических знаний в начальном обучении" и его реализация при отборе содержания обучения позволил увеличить долю теоретических знаний по сравнению с эмпирическими. В учебниках появились нетиповые, нестандартные задания и упражнения, приводящие к ряду обобщений теоретического характера. Однако степень разработанности и обоснованности этого принципа привели к недооценке необходимости формирования элементов математической логики в процессе обучения математике.
В психолого-методической литературе проблема формирования элементов математической логики у учащихся рассмотрена частично, применительно к обучению математике в старших классах. Специальных исследований, посвященных реализации этой проблемы в процессе обучения математике в начальных классах, нам не удалось обнаружить. Их отсутствие отрицательно сказывается на программно-методическом обеспечении процесса обучения в начальной школе, при подготовке будущих учителей в вузе и педколледжах, и в конечном итоге на уровне развития математической культуры учащихся - важнейшего компонента общечеловеческой культуры.
Таким образом, числовое множество, начиная с первых же классов общеобразовательной школы, представляет ту лабораторию, где можно более отчетливо формировать у учащихся навыки рассуждений, являющихся основой выяснения истинности или ложности того или иного подхода, той или иной постановки задачи. Возникает вопрос: "Является ли такая задача главной целью процесса обучения математике в школе и какая доля этой проблемы приходится на начальную школу"? Ответ на этот вопрос может быть получен только после тщательного анализа программы и учебников по математике для I - IV классов.
Все сказанное обосновывает актуальность проблемы совершенствования содержания обучения математике в начальных классах с целью формирования элементов математической логики у младших школьников.
Целью исследования являются обоснование необходимости и возможности изучения отношений на числовом множестве как средство формирования элементов математической логики при обучении
математике в 1-4 классах и разработка учебно-методических средств для ее реализации.
Объект исследования - процесс изучения отношений при обучении в начальной школе, а его предмет - методы и средства формирования у учащихся 1-4 классов элементов математической логики.
Гипотеза исследования. Мы исходили из предположения о том, что если усовершенствовать методику изучения числовых равенств и неравенств с позиции их истинности или ложности и сконструировать соответствующую систему упражнений, удовлетворяющих определенным требованиям с учетом возрастных особенностей учащихся, то это будет способствовать формированию элементов математической логики в едином процессе с изучаемым материалом.
Для достижения поставленной цели и реализации гипотезы были определены следующие задачи исследования:
1. Выявить психолого-педагогические и методические основы формирования у детей элементов математической логики в процессе обучения математике в начальных классах.
2. Обосновать необходимость совершенствования практического материала при обучении математике в начальных классах с целью формирования у учащихся элементов математической логики.
3. Определить требования к упражнениям для целенаправленного формирования у учащихся элементов математической логики.
4. Разработать и экспериментально проверить систему упражнений и методику формирования элементов математической логики и на основе этого подготовить методические рекомендации.
Методологической основой исследования являются: основные положения диалектико-материалистической философии и разработанное
на их основе учение о личностно-деятельном подходе в обучении (А.С.Выготский, А.Н.Леонтьев, С.Л.Рубинштейн и др.); исходные положения теории развивающего обучения (В.В.Давыдов, Л.В.Занков, Н.А.Менчинская, Д.Б.Эльконин, Н.С.Якиманская и др.); основополагающие идеи методистов-математиков (А.М.Пышкало, П.М.Эрдниев, Х.Ш.Шихалиев и др.).
Для решения поставленных задач и проверки гипотезы применялись следующие методы исследования: изучение и аналитический обзор философской, психолого-педагогической и методической литературы; анализ существующих программ, учебников и методических пособий по математике для начальных классов; наблюдение за деятельностью учителей и учащихся, индивидуальные собеседования с учащимися, учителями, анкетирование, тестирование; педагогический эксперимент; методы математической статистики.
»
Научная новизна и теоретическая значимость исследования состоит в том, что обоснована необходимость и возможность формирования элементов математической логики в процессе обучения математике в начальных классах, определены пути и средства формирования элементов математической логики на основе изучения отношений на числовом множестве, разработана система упражнений по формированию элементов математической логики и определены требования к ним.
Практическая значимость состоит в том, что результаты
исследования и разработанная система упражнений могут быть ис пользованы в практике работы учителей и методистами при совершен ствовании программ, учебников и методических пособий для школы,
педколледжей и институтов.
Апробация и внедрение результатов исследования проводились в течение ряда лет как в сельской, так и в городской школах Дагестана, в частности: в Шамильском районе (с. Кахиб, с. В. Колоб, с. Хебда), в поселке Ленинкент (СШ), в г. Махачкале школы №№ 50, 29, 5, 46 , в Казбековском районе с. Гуни. Всего 10 школ, около 20 классов, более 450 учащихся. Решение поставленной задачи выполнялись в течение 7 лет (1992 - 1997 гг.) в три этапа.
На первом этапе (1992 - 1994 гг.) были определены предмет, цель и задачи исследования, проводились наблюдения, изучение и анализ психолого-педагогической и методической литературы; готовились и выборочно проверялись экспериментальные методические рекомендации.
На втором этапе (1994-1996 гг.) разработаны и определены основные положения предлагаемой методики, а также материал для более широкой экспериментальной проверки.
На третьем этапе (1996-1998 гг.) проводился педагогический эксперимент, в котором проверялись наши предположения и рекомендации. На этом этапе обобщались его результаты и вносились коррективы в требования к отбору содержания, в систему упражнений, в методические рекомендации.
Основные положения, результаты и материалы исследования докладывались и обсуждались: на заседаниях кафедры методики начального обучения факультета начальных классов ДГПУ (г. Махачкала, 1993-1996 гг.); в ходе педагогической практики студентов этого университета и на инструктаже групп студентов-участников нашего эксперимента; на августовских совещаниях учителей начальных классов школ Шамильского района РД (с. Хебда, 1993, 1995 гг.); на
методическом совете Буйнакского педколледжа по итогам проверки профессиональных качеств у учащихся и преподавателей (г. Буйнакск, 1996г.); в цикле лекций для учителей в Дагестанском институте повышения квалификации педагогических кадров (г. Махачкала, 1997-1998 гг.); на заседаниях кафедры теории и методики обучения математике и информатике ДГПУ; внутри университета на научно-практических конференциях (1996-1999 гг.).
Результаты исследования частично внедрены в форме методических разработок и учебных материалов для начальных классов школ.
По результатам исследования были опубликованы следующие материалы:
1. Об упражнениях с числовыми равенствами и неравенствами в начальных классах. //Махачкала, ДГПУ, 1998. - С.33-34. (2 стр.).
2.Альтернативный подход к решению уравнений и неравенств в начальной школе. \\ В кн.: Проблемы и тенденции развития высшего образования в Республике Дагестан. \\ Махачкала, ДГПУ, 1998. - С.42-43. (3 стр.).
3. Учебно-тренировочный материал по формированию у учащихся элементов математической логики в 1-4 классах. - Махачкала, ДГПУ, 1998.- (17стр.).
4. Игровые формы усвоения элементов математической логики в начальных классах - принята к печати и будет опубликована в одном из номеров (4-6).- Начальная школа. М.: 2000. - (4стр.).
На защиту выносятся:
1). Обоснование необходимости и возможности формирования элементов математической логики в процессе изучения отношений на числовом множестве в 1-4 классах.
2). Система упражнений и методика, обеспечивающие целенаправленное формирование элементов математической логики на уроках математики в начальных классах.
Достоверность и обоснованность полученных в диссертации результатов и выводов обеспечивается:
- многообразием и полнотой изученного фактического материала;
- широким набором методов исследования, соответствующих поставленным задачам;
опорой на результаты фундаментальных психолого-педагогических и методических исследований;
- поэтапным повторением и данными эксперимента, включающим повторную проверку полученных результатов;
- внедрением в практику разработанных автором системы упражнений и методических рекомендаций и их положительной оценкой преподавателями школ.
Задачи исследования определили структуру диссертации, которая состоит из введения, трех глав, заключения, списка использованной литературы и приложения.
Отношения на множестве объектов
Слово " логика" происходит от греческого слова " logos", которое означает мысль, речь, разум. Наука логика - это совокупность наук о законах и формах мышления. Основоположником формальной логики считается древнегреческий философ Аристотель (384-322 г.г. до н.э.), разработавший впервые теорию логического вывода (дедукция). Логика Аристотеля дополнялось, изменялось и совершенствовалась в течении многих веков, в ней стали применять математические методы и математический язык, в результате чего и возникла современная формальная логика- математическая логика.
Математическая логика (теоретическая логика, символическая логика) - это раздел математики, посвященный изучению математических доказательств и вопросов оснований математики. Последняя отличается от формальной логики тем, что она, исходя из законов формальной логики, исследует закономерности логических процессов на основе применения математических методов. Таким образом, для математической логики характерна формализация логических операций, полное абстрагирование от конкретного содержания предложений, выражающих какое либо суждение.
Определяя понятие "математическая культура", Шихалиев Х.Ш. связывает его с понятием " математический язык", состоящий, по мнению автора, из шести компонентов, образующих единое понятие: язык быта - язык арифметики - язык геометрии - язык алгебры - язык теорий множеств - язык математической логики, которые равнозначны и взаимосвязаны между собой (см. 121).
Умение пользоваться этим языком как средством познания и описания законов окружающей действительности является важной целью математического образования вообще.
Составной частью математического языка является "язык математической логики". Овладение последним необходимо требует изучение раздела "Математическая логика", которой должен быть пронизан весь школьный курс математики, начиная с первых же дней учебы в школе. Как отмечает А.И.Фетисов, "...ни один раздел математики не может быть изложен без постоянного обращения к правилам логики". С другой стороны, логическое развитие учащихся выступает как средство формирования математической культуры, как необходимый компонент общечеловеческой культуры. Следовательно, общеобразовательная школа должна способствовать формированию знаний, служащих основой общечеловеческой культуры на современном этапе развития общества. Такая культура необходима для всех людей, независимо от их профессий. Люди нуждаются не столько в математике как таковой, сколько в той математике, которая нужна им для решения практических задач, для разработки программ решения той или иной возникшей на практике или производстве задачи.
Логика основывается на отношениях между объектами одной и тоже или же различной природы. На практике отношения выступают как одна из форм, один из необходимых моментов всеобщей взаимосвязи всех предметов, явлений, процессов в природе, обществе и мышлении. Выдвигая роль отношений в природе и познании на первый план, В.И.Ленин в философских тетрадях пишет: "В жизни, в движении все и вся бывает как "в себе" так, как и для других в отношениях к другому" (48, т. 29 с. 95).
Известно, что отношение является основой выяснения истинности или ложности суждений, и характерно любым явлениям или множествам объектов. "Совокупность всех сторон явления, действительности и их (взаимно) отношения - вот из чего складывается истина" (48, т.29. с. 178).
Более важное значение имеет отношение между предметами реального мира. Сформировав самое элементарное суждение о предмете, мы снова возвращаемся к предмету и изучаем его, при этом наше знание о предмете уточняется, расширяется и углубляется. Далее мы составляем новое суждение об этом же предмете и т.д. Таким образом, происходит развитие суждений, причем весь процесс эволюции и динамика отношений и суждений протекает по законам логики. Сформулированные суждения не исчезают из нашего сознания, более того, эти суждения применяются не только к суждениям о предметах данной совокупности, но и к суждениям о предметах совсем другого класса предметов.
Психолого-педагогические основы изучения элементов математической логики в начальной школе
Пересмотр методики обучения математики как с точки зрения активизации учения, так и с точки зрения совершенствования содержания обуче- ния находится в центре внимания ученых и методистов в течении многих десятков лет. Еще в начале первой половины XX - века ученые резко кри тиковали сложившуюся систему обучения математике в начальных клас сах, выделяя в ней слабые места. В частности, Галанин Д.Д. писал: "Начальное обучение особенно настойчиво проводит мысль о том, что число есть совокупность однородных счетных единиц, а в этой мысли со вершенно не содержатся идеи отношения, в то время как понятие числа скорее содержится в отношении, для которого совокупность счетных еди- Ш ниц есть частный случай" (25, с.З.).
Анализируя современное состояние преподавания математики в начальных классах и сопоставляя его с идеями Галанина Д.Д., Менчинская Н.А. и Моро М.И. подчеркивают, что "приходится признавать, что этот недостаток в методике изучения чисел сохраняется до сих пор" (58, с. 84).
Другие исследователи (Л.В. Занков, В.В. Давыдов, П.М. Эрдниев и др.). указывают на неправильное облегчение учебного материала, неоправданно медленный темп его изучения, скудность теоретических знаний, их поверхностный характер и т.д.
Исследования психологов и педагогов В.В. Выготского, Д.Б. Леонтьева, С.Л. Рубинштейна, Л.В. Занков, В.В. Давыдова, М.Н. Скаткина и др. показывают, что при определенных условиях можно достичь не только высокого содержательного уровня знаний, умений и навыков, но и более высокого уровня общего развития.
В традиционном обучении развитие выступает как желательный, но далеко не предсказуемый продукт обучения. Так, в основе системы обучения, направленного на общее развитие школьников (дидактическая система Л.В. Занкова), лежат дидактические принципы: обучение на высоком уровне трудности; обучение быстрым темпам; ведущая роль теоретических знаний; осознание учащимися процесса учения; достижения оптимального результата в развитии всех детей, в том числе самых сильных и самых слабых.
Выдвинутый Л.В. Занковым принцип "обучение" на высоком уровне трудности" заставил методистов по-новому оценить реальные познавательные возможности младших школьников. Это повлекло за собой пересмотр содержания обучения по всем учебным предметам с точки зрения его доступности.
Идея повышения роли теоретических знаний в обучении младших школьников была выдвинута одновременно в ряде научных исследований (В.В. Давыдов, Л.В. Занков, А.И. Маркушевич, К.И. Нешков, A.M. Пыш-кало, П.М. Эрдниев и др.). Сформулированный Л.В. Занковым принцип "ведущей роли теоретических знаний в начальном обучении" и его реализация при отборе содержания обучения позволил увеличить долю теоретических знаний по сравнению с эмпирическими. В учебниках появились нетиповые, нестандартные упражнения, подводящие к ряду обобщений теоретического характера (например, к пониманию свойств арифметических действий). Это содействовало реализации более быстрого темпа обучения. Однако степень разработанности и обоснованности этого принципа привели к недооценке необходимости формирования элементов математической логики в процессе обучения математике. Стержневая идея исследований Д.Б. Эльконина и В.В. Давыдова заключается в том, что без целенаправленного систематического формирования учебной деятельности не может быть подлинно развивающего обучения. Целостное формирование учебной деятельности способствует более системному развитию у учащихся основ теоретического мышления, чем в принятой в начальной школе системе организации учебного процесса, где представлены только отдельные ее компоненты. Путь, по которому развертывается учебная деятельность, согласно трактовке В.В. Давыдова, - это путь восхождения от абстрактного к конкретному, от общего к частному. Применительно к обучению математике В.В. Давыдов делает попытку осуществить такой путь, на основе которого вводятся исходные понятия, раскрывающие внутреннее отношение вещей, затем конкретизируется на многих математических объектах. Автор соотносит такой принцип развертывания учебного предмета с принципом построения современной математики как науки (Н. Бур-баки и др.)
Система упражнений при изучении элементов математической логики в 1-4 классах
Одним из главных и очень важных, на наш взгляд, моментов реализации практической части нашего исследования является то, что мы придерживались принципа только частичной деформации учебного процесса в начальных классах, чтобы учитель на уроках математики смог легко адаптироваться к реализуемой деформации и применяемой методике, которая вливается в традиционную методику без особых изменений. Этот принцип, как мы и прогнозировали, явился основополагающим в методике реализации нашего исследования в практическом плане. При этом учитель не нуждается в специальной переподготовке, а сможет легко ориентироваться в новизне предполагаемого учебного материала, системы упражнений для формирования тех или иных навыков у учащихся.
Для формирования прочных умений и навыков учащиеся должны выполнить достаточное число упражнений одного и того же типа по изучаемому материалу (или теме). В принципе, оставаясь на этих позициях, мы все время вносили незначительные изменения, чтобы шаблона не было, чтобы аналогия не доминировала все остальное.
При разработке учебных материалов системы упражнений мы придерживались следующих принципов:
1) последовательность рассуждений, повторяющихся при выполнении однотипных упражнений, ориентированных на развертывание (при необходимости) как в первоначальную цепь, так и в новых формах, при этом мы учитывали замкнутость цепи упражнений. Например, в качестве главного элемента выделяется одно отношение, скажем равно "= " (или меньше, или больше), а затем выясняется следующий шаг: верность или ложность записи, сравнивая числа в правой и левой частях относительно данного отношения;
2) по возможности, учащимся при первичном усвоении темы необходимо предлагать упражнения одного типа, сводящиеся к одной операции;
3) условия, встречающиеся в упражнениях, должны быть близки к жизненным ситуациям или к изучаемому материалу;
4) упражнения необходимо подбирать таким образом, чтобы учащийся в большинстве случаев был уверен в своих возможностях и способностях для их выполнения;
5) упражнения должны осложняться постепенно, внося незначительные изменения, включая примеры на различные операции;
6) конечной целью выполнения всех упражнений должен стать установление истинности или ложности данного предложения, выраженного в виде числового равенства или неравенства;
7) упражнения с числовыми равенствами или неравенствами необходимо подбирать таким образом, чтобы выполнение их подготавливало учащихся к решению простейших уравнений и неравенств.
Практическая реализация выделенных принципов в системе упражнений по формированию элементов математической логики при изучении нумерации чисел и арифметических действий в каждом концентре повлекло за собой и то, что в конечном итоге учащиеся сами составляли аналогичные упражнения. Это свидетельствует не только об углубленном усвоении традиционного программного материала, но и формированности у детей навыков по составлению отношений на числовом множестве. При этом развитие устных вычислительных навыков учащихся в каждом концентре становится следствием развития навыков по составлению отношений (верных числовых равенств и неравенств). Например, учащиеся, составляя верные числовые равенства вида 7= D+D (заменяя окошечки числами), убеждаются в многообразии таких вариантов, а в результате происходят развитие навыков устных вычислений и усвоение отношений на числовом множестве. Пары (0;7), (1;6), (2;5), (3;4), а также пары, получаемые из них путем перестановки элементов, исчерпывают всевозможные варианты выполнения такого задания. Если даже кто-то из учащихся, не успел или не смог подобрать все пары, то это не беда, главное в том, что он понял суть выполняемого здания.
Задания нами предлагались отдельными блоками в зависимости от изучаемого материала, что дает возможность учащимся ориентироваться в правильности их выполнения. Одним из таких блоков упражнений относится к теме: "Устная и письменная нумерация чисел первого десятка." (I кл.).
