Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I Научно-методические основы пространственных представлений учащихся при изучении геометрии в 7-9 классах 11
1. Теория познания и психолого-педагогические исследования о формировании пространственных представлений 11
2 . Формирование пространственных представлений учащихся как проблема методическая 31
3. Возможные пути пропедевтики стереометрических знаний в процессе обучения геометрии основной школы 44
ГЛАВА II Методика ознакомления учащихся с элементами трехмерного пространства в курсе геометрии 7-9 классов 73
1. Включение стереометрического материала в систематический курс планиметрии
2. Задачи как средство формирования и развития пространственных представлений учащихся
3. Описание эксперимента 108
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 127
ЛИТЕРАТУРА 129
ПРИЛОЖЕНИЕ 140
- Теория познания и психолого-педагогические исследования о формировании пространственных представлений
- . Формирование пространственных представлений учащихся как проблема методическая
- Включение стереометрического материала в систематический курс планиметрии
Введение к работе
Одной из современных мировых тенденций образования является гу-манизация школьного образования, ориентация процесса обучения на индивидуальные интересы учащихся. На передний план школьного образования выходит задача создания оптимальных условий для выявления и развития способностей учащихся, удовлетворения их интересов и духовных потребностей, обеспечения самоопределения и поиска «своего места» в жизни. Одним из аспектов развития личности является развитие мыслительной деятельности, в частности, пространственного мышления.
В процессе жизни и деятельности у людей формируются знания об, окружающем пространстве. При изучении геометрии в средней школе у учащихся происходит формирование представлений, развивается их пространственное воображение.
Проблемой формирования пространственных представлений занимались многие ученые психологи: Б.Г. Ананьев, О.И. Галкина, Л.Л. Гурова, В.П. Зинченко, Е.Н. Кабанова-Меллер, A.M. Леонтьев, Б.Ф. Ломов, С.Л. Рубинштейн, Е.Ф. Рыбалко, Б.А. Сазонтьев, Н.Ф. Талызина, И.С. Якиманская и другие. В их исследованиях раскрывается природа восприятия пространства и возникновение пространственных представлений, в частности, процессы ощущений, восприятий и представлений рассматриваются в неразрывном единстве.
Особенности и динамика формирования представлений, так же как ощущений и восприятий, зависят от деятельности, которую выполняет субъект. [63] Характер деятельности определяет также яркость и четкость представлений.
В трудах Б.Ф. Ломова показано, что пороги чувствительности органов чувств изменяются под влиянием трудовой деятельности. [67] Однако вопрос формирования и развития пространственных представлений с этой точки зрения психологами не рассматривался.
В процессе познания на чувственном уровне при целенаправленном восприятии происходит расширение границы ощущений. Это в свою очередь, позволяет шире и глубже рассматривать свойства объектов. Шире- значит узнавать большее количество свойств, а глубже- значит выделять из них существенные, тем самым, подготавливая почву для перехода от чувственного познания к рациональному.
Проблемой формирования и развития пространственных представлений занимались многие математики-методисты: Александров А.Д., Вернер А.А., Верченко СБ., Глейзер Г.Д., Гусев В.А., Жовнир ЯМ., Зазуляк Б.М., Знаменская Е.В., Корнфельд С.Г., Маслова Г.Г., Мухаммадов М., Пардала А., Петров СВ., Постнов А.А., Пышкало А.М., Рузиев Н., Семушин А.Д., Ходот Т.Г., Четверухин Н.Ф., Шарыгин И.Ф., Эргашев А. и другие.
Академик А.Д. Александров отмечает: «Задача преподавания геометрии- развить у учащихся соответствующие три качества: пространственное воображение, практическое понимание и логическое мышление. Пространственное воображение составляет важный компонент в общей способности человека к воображению и имеет существенное значение в ряде отношений. Оно, разумеется, вообще необходимо человеку для ориентировки в окружающем мире и в развитой форме существенно для многих видов деятельно-сти.»([3], с.78-79)
Особый интерес представляют исследования Г.Д. Глейзера. Он описывает уровни развития пространственных представлений, которые дают возможность представить этапы этого процесса. «Так, «элементарный» уровень должен быть достигнут учащимися в начальной школе, «фрагментарный»- в 5-6 классах, «статически-динамический»- в 7-8, «динамический»- в 9-10, «творческий»- в 11 классе. Отдельные учащиеся, однако, могут продвигаться значительно быстрее.»([27], с.27) Рассматривая качественную характеристику каждого уровня с точки зрения представлений конкретных геометрических фигур, можно сделать вывод, что в 7-8 классах, когда учащиеся достигают «статическо-динамического» уровня, речь идет о представлениях пла-
ниметрических фигур, в то время как уровень развития представлений стереометрических фигур остается «фрагментарным». Это связано с тем, что в 7-9 классах изучается планиметрия. В десятый класс, когда начинается изучение стереометрии, учащиеся приходят с этим «фрагментарным» уровнем развития представлений стереометрических фигур, который ослабляется в результате оперирования плоскостными объектами в 7-9 классах. Однако аксиоматическое построение дедуктивного курса стереометрии требует более высокого уровня пространственных представлений стереометрических фигур. Таким образом, сложилось противоречие между потребностью практики и недостаточной научно-методической разработанностью проблемы формирования и развития пространственных представлений учащихся в 7-9 классах, что и определяет актуальность исследования.
Актуальность названной проблемы подтверждают и результаты вступительных экзаменов, например, в Коломенский педагогический институт. Приведем типичные ошибки, допущенные абитуриентами при выполнении письменной экзаменационной работы по математике на физико-математическом факультете. При решении геометрической задачи неверно изображали геометрические фигуры в параллельной проекции. Например, неверно изображали высоту пирамиды, боковые ребра которой наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом. Плоский угол при основании боковой грани заменялся углом наклона боковой грани к плоскости ос-нования.([10], с. 57-59)
Анализируя результаты третьего международного исследования математического образования, Л. Денищева и К.. Краснянская отмечают хорошую математическую подготовку учащихся российских школ. Вместе с тем проявились некоторые недочеты, характерные для наших школьников: слабое развитие пространственных представлений; неумение увидеть известную плоскую фигуру в различных ракурсах, распознавать ее в нестандартной ситуации; слабое развитие умения решать стандартные практические задачи, связанные с вычислением площади, периметра и неизвестных элементов фи-
гуры прямоугольной формы. Необходимо отметить, что недочеты пространственных представлений восьмиклассников объясняются тем, что элементы стереометрии изучаются только в 5-6 классах и при этом им уделяется незначительное внимание, а в 7-9 классах изучаются только плоские фигуры.([42], с.11-12)
Изучение и анализ курса планиметрии показали, что в нем содержатся богатые возможности для формирования и развития пространственных представлений учащихся, ведь геометрия, как учебный предмет, имеет в своем распоряжении огромный потенциал, содержащийся в задачном материале, имеющем решающее значение для развития пространственного и логического мышления учащихся. Задачи в геометрии не только объект, реализующий теорию на практике, но и средство, раскрывающее содержание этого курса. Возникает естественная потребность в специальных задачах стереометрического характера, которые, с одной стороны, способствуют развитию пространственных представлений, с другой стороны, направлены на формирование понятий и усвоение теорем планиметрии. Таким образом, возникает необходимость в пропедевтике стереометрических знаний, одной из возможных реализаций которой является заданный материал.
Объектом исследования является процесс обучения геометрии в 7-9 классах ; предметом исследования- методика развития пространственных представлений учащихся 7-9 классов на основе введения элементов стереометрии.
Проблема диссертационного исследования состоит в выявлении и раскрытии возможных путей пропедевтики стереометрических знаний в процессе обучения геометрии в основной школе.
Гипотеза исследования. Формированию пространственных представлений учащихся 7-9 классов способствует включение в курс планиметрии стереометрических задач, выработанных с учетом условий формирования и развития пространственных представлений учащихся подросткового возраста и критериев отбора задач.
Следовательно, целью нашего исследования является разработка стереометрических задач, направленных на формирование пространственных представлений учащихся, и методики их включения в учебный процесс.
Проверка гипотезы исследования потребовала решения следующих задач:
Провести анализ психолого-педагогической и методической литературы по проблеме исследования с целью выявления условий формирования и развития пространственных представлений учащихся 7-9 классов.
Сформулировать основные требования к пропедевтике стереометрических знаний при изучении планиметрии. На основе критериев отбора содержания геометрического материала выявить основополагающие темы пропедевтики стереометрических знаний.
Выработать критерии отбора задач стереометрического характера при изучении планиметрии. Подобрать и классифицировать задачи на основе выработанных критериев.
Разработать методику включения задач в учебный процесс.
Экспериментально проверить эффективность методики включения задач стереометрического характера в учебный процесс.
В ходе решения поставленных задач применялись различные методы исследования:
теоретические - анализ психолого-педагогической, физиологической и методической литературы;
социопедагогические - анализ школьных программ, учебников, учебных пособий, наблюдение за педагогическим процессом и учет личного опыта автора как учителя; анкетирование учителей-математиков, беседы с ними;
экспериментальные - организация и проведение опытного обучения; проведение контрольных срезов с целью выявления уровня развития пространственных представлений учащихся; анализ результатов педагогического эксперимента.
Научная новизна и теоретическая значимость исследования заключа-
ется в том, что разработана методика развития пространственных представлений учащихся 7-9 классов посредством пропедевтики стереометрических знаний, удовлетворяющая возрастным особенностям подростков; определены критерии отбора задач стереометрического характера при изучении планиметрии и методика их включения в учебный процесс.
Практическая значимость исследования заключается в том, что оно предлагает учителю математики 7-9 классов методические рекомендации для организации пропедевтики стереометрических знаний при обучении планиметрии. Предложенные материалы могут быть использованы в практике преподавания геометрии учителями 7-9 классов.
Обоснованность и достоверность результатов исследования обеспечивается: построением исследования на основе положений современной психологии, физиологии, дидактики и методики; согласованностью полученных выводов с основными положениями методики обучения математике и концепцией школьного математического образования; положительной оценкой учителями и методистами разработанных учебных материалов и методики их использования; результатами опытного обучения и внедрения.
Апробация и внедрение. Основные положения диссертации докладывались на научно-методических конференциях (г. Москва, г. Ульяновск), на семинарах учителей и методистов (г. Ульяновск). Результаты исследования отражены в 3 публикациях.
Этапы исследования. Исследование проводилось поэтапно. На первом этапе при изучении и анализе психолого-педагогической и учебно-методической литературы по проблеме исследования проводился констатирующий эксперимент.(сі994 по 1996г.г.) На втором этапе проводился поисковый эксперимент (с1995 по 1997г.г.). С целью учета возрастных особенностей учащихся выработаны психолого-педагогические условия формирования и развития пространственных представлений учащихся 7-9 классов. При рассмотрении возможных путей пропедевтики стереометрических знаний в 7-9 классах выделены два подхода к включению элементов стереометрии.
Кроме того, сформулированы требования к пропедевтике, на основе которых выработаны критерии отбора задач стереометрического характера. В результате поискового эксперимента были составлены задачи стереометрического характера, расположенные в блоках на основе выработанных критериев отбора задач, была разработана методика включения стереометрических задач в учебный процесс.
На третьем этапе проводился формирующий эксперимент с целью проверки доступности задачного материала и эффективности предлагаемой методики.(с 1996 по 1998г.г.)
Экспериментальная база. Эксперимент проводился в 7-ых классах ср. школы №8 г. Ульяновска (учителя - Жигалина 3. А., Соловова С. А.)., ср. школы №4 г. Ульяновска (учитель - Шихобалова Л. А.), ср. школы №45 г. Ульяновска (учителя - Егорова Т. BL). Всего в эксперименте участвовало 150 учащихся. В ходе формирующего эксперимента использовались: составленные задачи стереометрического характера, расположенные в блоках на основе выработанных критериев отбора задач, разработанная методика включения стереометрических задач в учебный процесс, комплекс наглядных средств (модели, развертки, рисунки и т. п.), предназначенные, с одной стороны, для оптимального усвоения школьниками курса планиметрии, с другой стороны, для формирования и развития пространственных представлений учащихся стереометрических фигур. Результаты эксперимента показали эффективность разработанной методики.
На защиту выносятся следующие положения:
Методические основы формирования пространственных представлений учащихся посредством пропедевтики стереометрических знаний в процессе обучения планиметрии.
Блоки задач, разработанные на основе критериев отбора задач стереометрического характера, направленные на формирование пространственных представлений учащихся, и методика их включения в учебный процесс при изучении планиметрии.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, списка используемой литературы, приложения.
Во введении обосновывается актуальность проблемы исследования, определяется объект, предмет исследования, формулируются проблема, гипотеза, цель и задачи исследования, раскрывается его научная новизна, практическая значимость, излагаются основные положения, выносимые на защиту.
В первой главе «Научно-методические основы пространственных представлений учащихся при изучении геометрии в 7-9 классах» дан анализ проблемы формирования и развития пространственных представлений в теории познания, психолого-педагогической и методической науке; сформулированы условия формирования и развития пространственных представлений учащихся 7-9 классов; определены требования к пропедевтике стереометрических знаний в процессе обучения геометрии основной школы, выработаны критерии отбора задач стереометрического характера, направленных на формирование и развитие пространственных представлений учащихся, составлены блоки задач на основе выработанных критериев.
Во второй главе «Методика ознакомления учащихся с элементами трехмерного пространства в курсе геометрии 7-9 классов» излагаются вопросы реализации возможности включения стереометрического материала в систематический курс планиметрии, описывается методика включения задач стереометрического характера в учебный процесс. Здесь же представлены результаты экспериментальной проверки и внедрения теоретических положений диссертации.
В заключении приводятся итоги исследования, формулируются общие выводы и научно-практические рекомендации.
Теория познания и психолого-педагогические исследования о формировании пространственных представлений
На современном этапе одна из задач школьного обучения состоит в обогащении пространственных представлений учащихся и развитии их пространственного воображения. «Геометрия в ее расширенном объеме важна для формирования научного мировоззрения, ибо нельзя понять, как устроен мир, не зная геометрии.»([114], с.З)
Л.В.Занков был против термина «формировать личность», который предполагает какие-то насильственные действия вопреки природе человека. Он ставил другую цель: система обучения и воспитания должна помочь раскрыться духовным силам, зреющим в ребенке, создать благоприятные, при-родосообразные условия для их созревания и развития, а не насильно развертывать их.[5]
Так и «формирование пространственных представлений» нужно понимать, как создание таких условий обучения, которые бы благоприятно влияли на развитие пространственных представлений учащихся, а не иначе. Для этого необходимо изучить психологические особенности детей данного возраста. Кроме того, необходимо изучить уже имеющиеся у них пространственные представления, чтобы на их основе сопутствовать развитию и дальше.
«Развитие- понятие, характеризующее качественные изменения объектов, появление новых форм бытия, существование различных систем, сопряженное с преобразованием их внутренних и внешних связей. В обыденном употреблении понятие развития тесно связано с понятием прогресса. Однако в сфере философского и научного употребления оно фиксирует бытие системы как единство прогресса и регресса, обновления и разрушения, самоутверждения и самоуничтожения.»[111] При отсутствии направленности изменения не могут накапливаться, и потому процесс лишается характерной для развития единой, внутренне взаимосвязанной линии.[117]
Таким образом, развитие происходит целенаправленно. Пространственные представления (образы) отражают соотношения и свойства реальных предметов, то есть свойства трехмерного пространства. Различают два вида пространственных представлений: образы памяти и образы воображения. Пространственные представления памяти отражают предмет так, как он был воспринят ранее: образы реальных предметов, материальных моделей, рисунки геометрических фигур и т. д. Учащиеся воспроизводят по памяти виденные ими ранее образы. Представления воображения отличаются от представлений памяти тем, что они являются новыми образами, возникающими после мысленной переработки заданного материала. Например, учащиеся по словесному описанию представляют стереометрическую фигуру, или по условному изображению представляют стереометрическую фигуру. Образы воображения создаются на основе образов памяти. При их создании учащиеся опираются на усвоенные знания, на свой прошлый опыт. Однако образы воображения характеризуются созданием нового образа на основе имеющихся представлений.
«Пространственные представления- необходимый элемент познания и всей практической деятельности.»([95], с.288) Источником, генетически исходной формой психического отражения человеком окружающей действительности являются ощущения и восприятия. Природу восприятия и представлення впервые научно раскрыли великие ученые физиологи И.М.Сеченов и ИЛПавлов.
Без участия движения наши ощущения и восприятия не обладали бы качеством предметности, то есть отнесенности к объектам внешнего мира, что только и делает их явлениями психическими.[108] Это и есть главный пункт в воззрениях И.М.Сеченова на природу чувственного познания. Движение, осуществляя практический контакт, «реальную встречу» руки с внешним объектом, необходимо подчиняется его свойствам; ощупывая предмет, рука воспроизводит, следуя за его очертаниями, его величину и контур и через посредство сигналов, идущих от ее двигательного аппарата, формирует их «слепок» в мозгу. И.М.Сеченов определил представления-как «элементарное чувственное знание» внешнего мира. В своих исследованиях И.М.Сеченов вскрыл механизм восприятия формы предмета при помощи различных органов чувств, причем он подчеркнул огромную познавательную роль руки и глаза. Им была заложена общая теоретическая основа рефлекторной концепции ощущения.
Дальнейшее развитие рефлекторной концепции ощущений шло в системе исследований ИЛ.Павлова и его школы. Вклад ИЛЛавлова в научное понимание природы и механизмов ощущения, конечно, не сводится только к учению об анализаторах. Уже исходное различение, введенное И.П.Павловым, а именно различение безусловных и условных рефлексов, которое связывалось им с капитальным биологическим различением двух типов связей организма со средой- прямых и сигнальных, имело важнейшее значение для общей теории ощущения. Оно позволило ввести в психологию положение о сигнальной, ориентирующей функции ощущения.[86] Представление И.П.Павлов понимал как процесс, протекающий по законам условно-рефлекторной деятельности в первой сигнальной системе, но связанный по законам торможения и индукции со второй сигнальной системой.
Формирование пространственных представлений учащихся как проблема методическая
Проблемой формирования и развития пространственных представлений занимались многие математики-методисты: Александров А.Д., Вернер А.А., Верченко СБ., Глейзер Г.Д., Жовнир ЯМ., Зазуляк Б.М., Знаменская Е.В., Корнфельд СТ., Маслова Г.Г., Мухаммадов М., Пардала А., Петров СВ., Постнов А.А., Пышкало A.M., Рузиев Н., Семушин А.Д., Ходот Т.Г., Четверухин Н.Ф., Шарыгин И.Ф., Эргашев А. и другие.
А.А. Постнов исследовал вопросы, связанные с формированием и развитием пространственных представлений и развитием пространственного воображения у учащихся восьмилетней школы (1966г.) в процессе изготовления наглядных пособий, применения средств наглядности при формировании новых понятий и решении задач в связи с изучением стереометрического материала. Важным источником пополнения пространственных представлений у учащихся восьмилетней школы является использование трехмерных тел при изучении планиметрии. В практике работы школ, как правило, плоские фигуры изучаются в отрыве от тех тел, которым они в большинстве случаев принадлежат в окружающей обстановке. В результате такого изучения запас пространственных представлений у учащихся пополняется слабо, и при изучении стереометрического материала они затрудняются выделить ту или иную фигуру в окружающей обстановке. Использование моделей пространственных тел и предметов окружающей обстановки при изучении планиметрии крайне желательно, так как позволяет абстрактные геометрические понятия связывать с конкретными реальными образами, способствует развитию пространственных представлений у учащихся. В его работе дана система упражнений для формирования и развития пространственных представлений (с использованием стереометрической наглядности), при выполнении которых закрепляются основные планиметрические понятия. Система методических приемов предусматривает конструирование и изготовление наглядных пособий по математике и решение задач-проблем. Кроме того, в процессе исследования вскрыты физиолого-психологические факторы: использование зрительных, осязательных, двигательных и других ощущений реального мира, рассматривание фигур с разных точек зрения, мотивация деятельности и другие. [92] Однако, в его работе не были учтены особенности учащихся подросткового возраста.
Идея «использования трехмерных тел при изучении планиметрии» получила дальнейшее развитие в диссертации Рузиева Н. По его мнению, отрыв планиметрии от стереометрии вредно отражается на глубине познания основных фактов самой планиметрии и суживает возможности практического приложения геометрической теории в 6-8 (7-9) классах. По мнению автора, углубление изучения планиметрии происходит путем: а) рассмотрения плоских образов в различных положениях в трехмерном пространстве; б) рассмотрения взаимного расположения плоских образов в трехмерном пространстве; в) обобщения основных планиметрических отношений при выходе в трехмерное пространство. В его исследовании даются методические разработки более 50 уроков в 6-8 классах (1968г.), имеющие целью развитие пространственных представлений. В конце каждого урока дано по 8-10 задач и упражнений, имеющих теоретический и практический характер, с опорой на трехмерные фигуры.[103]
Например, урок по теме «Перпендикуляр к прямой. Построение перпендикуляра к прямой.» Фрагмент содержит описание наглядных пособий, план и ход урока. Приведем в качестве примера часть фрагмента: «Учитель объясняет теорему о единственности перпендикуляра, проведенного через данную точку прямой. Приведенные в учебнике примеры относятся только к таким взаимно перпендикулярным прямым, которые лежат на определенной плоскости. Если же взять прямую в пространстве, то можно провести бесчисленное множество перпендикулярных прямых через одну точку к данной прямой. Это можно показать наглядно и легко проверить при помощи угольника. Учитель должен добиться того, чтобы у учащихся появились два пред
ставлення о перпендикуляре в одной плоскости и в пространстве.»[103] Н. Рузиевым было выбрано учебное пособие по геометрии Н. Н. Никитина и разработана методика использования элементов стереометрии на уроках по геометрии именно по этому учебнику. В его работе не прослеживается методической линии, связывающей элементы стереометрии. Они появляются только в связи с соответствующей темой по планиметрии и не составляют систему.
А. Эргашев, исследуя взаимосвязь планиметрии и стереометрии в преподавании геометрии и обобщая результаты других исследователей по этому вопросу, пришел к выводу, что изучение даже отдельных логически связанных вопросов планиметрии и стереометрии на фузионистской основе эффективно способствует развитию пространственных представлений у учащихся и повышению качества знаний и успеваемости по геометрии. Благодаря описанной им методике активного привлечения трехмерных образов постепенно, при изучении планиметрии обогащались трехмерные пространственные представления учащихся. В опытном обучении учащимся каждый раз точно описывалась та или иная неплоская фигура, форма ее сечений и т. п. Как правило, демонстрировалась модель фигуры, ее чертеж и развертка. В результате происходил процесс обогащения, уточнения и исправления опытных сведений учащихся. Основные теоремы стереометрии при этом учащимся не доказывали, а лишь описывали.[127] В этом исследовании проведена аналогия между фактами планиметрии и стереометрии. На наш взгляд, уровень такой аналогии часто недоступен учащимся подросткового возраста.
Включение стереометрического материала в систематический курс планиметрии
С учетом принципов дидактики (глава I, 3), задачный материал внутри каждой темы должен быть подобран таким образом, чтобы его решение способствовало уяснению учащимися данной темы и новых математических идей, заложенных в ней; помогало осуществить повторение предыдущего материала. Правильная постановка задач и упражнений в обучении математике во многом определяет современную методику преподавания, так как решение задач служит различным конкретным целям обучения.
При косвенном включении стереометрического материала необходимо учитывать: 1. Соответствие логической структуре курса планиметрии и гармоническую взаимосвязь с ним; 2. Соответствие поставленным целям обучения; 3. Соответствие законам восприятия и принципу наглядности; 4. Дифференцированный подход. Перечисленные условия выработаны в результате данного исследования (глава I, 3).
Таким образом, в учебном процессе необходимо тесно переплетать элементы стереометрии с материалом планиметрии, являющимся основным.
Естественно, что введение элементов стереометрии сопровождается изображением пространственных фигур на плоскости. В соответствии с принципом наглядности и научной перспективности, ознакомление со стереометрическим материалом идет в следующей последовательности: реальный объект, модель, изображение. Поэтому к изображениям пространственных фигур на плоскости надо переходить постепенно, после изучения элементов стереометрических фигур на моделях. Вместе с рисунком должно идти разъяснение его пространственного содержания, способствующее созданию верного пространственного представления.
Каким образом подготовить учащихся к восприятию некоторых закономерностей изображения пространственных фигур? При параллельном проектировании на плоскость сохраняется отношение параллельности и пропорциональность отрезков. В связи с тем, что пропорциональные отрезки вводятся в 8 (9) классе, то и изображение пропорциональных отрезков мы будем вводить позже. А учащимся 7-го класса предлагается усвоить, что середина отрезка проецируется в середину изображения этого отрезка. При изучении начальных сведений по геометрии в теме «Отрезок» мы рекомендуем серию задач на усвоение того свойства, что при изображении середина отрезка проецируется в середину его изображения. Приведем примеры задач практического содержания.
