Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Теоретические основы формирования математических понятий
І. Философские и логические основы теории понятий С. 11 - 25
2. Психологические основы формирования математических понятий в школе . 25 - 34
3. Формирование математических понятий в учебно-методической литературе и практике обучения математике С. 35 - 55
4. Методическая концепция формирования математических понятий в школе С. 56 - 71
Глава 2. Методические аспекты формирования математических понятий в школе
1. Мотивация изучения математических понятий С. 72 - 87
2. Усвоение определений математических понятий С. 88 - 119
3. Методика обучения применению и систематизации понятий С. 120-150
4. Методика формирования отдельных понятий С. 150-158
5. Организация педагогического эксперимента С. 158 - 164
Заключение С. 165
Литература
- Философские и логические основы теории понятий
- Психологические основы формирования математических понятий в школе
- Мотивация изучения математических понятий
Введение к работе
Образование на современном этапе характеризуется усилением внимания к ученику, к его саморазвитию и самопознанию. Поэтому главную цель обучения формулируют следующим образом - подготовить человека к жизни так, чтобы он максимально реализовал свои возможности. В связи с этим меняется взгляд на назначение образования, целью образовательного процесса является уже не просто усвоение математики, физики, химии и т.д., а развитие личности средствами математики, физики, химии. На первый план выдвигаются развивающие функции обучения предмету.
Развитие личности средствами математики невозможно без овладения ею определённой системой научных знаний. Одной из главных составляющих системы научных знаний любого предмета, в том числе и математики, являются понятия. Не оперируя понятиями, нельзя сформулировать ни один закон и, следовательно, создать научную теорию. Без усвоения соответствующих понятий не может быть ни усвоения законов, ни усвоения теорий. Это обусловливает ведущую роль понятий при формировании в сознании учащихся системы научных знаний в соответствующей научной области. Процесс формирования системы знаний выступает как процесс овладения понятиями.
Оперирование понятиями требует от учащихся активной мыслительной деятельности, поскольку только в этом случае можно обеспечить глубокое понимание сущности изучаемых предметов и явлений теории, отражённой в системе научных понятий. Но и само мышление невозможно без понятий. Умение мыслить включает и умение оперировать понятиями. «Всё, что существует в качестве наших мыслей, упорядочивается, организуется как единое целое посредством той системы понятий, которой мы владеем». [103 С. 27] Процесс усвоения понятий влияет и на развитие логического мышления учащихся, так как именно они составляют его фундамент.
Таким образом, развивающие функции обучения математике реализуются и в процессе овладения понятиями. Умственное развитие ребёнка при обучении математике можно рассматривать и как развитие его способностей к осмыслению понятий, оперированию ими и конструированию новых понятий. Перечисленные способности и являются, в сущности, показателями математического развития ученика.
С учётом сказанного можно предположить, что приоритетной проблемой теории и методики обучения математике является проблема формирования понятий в средней школе. От степени её решения зависит и качество усвоения знаний по предмету, и уровень развития мышления обучающихся.
Процесс формирования понятий находится в центре внимания многих авторов, среди которых следует выделить исследования В.Г. Болтянского, Н.Я. Виленкина, М.Б. Воловича, Я.И. Грудёнова, О.Б. Епишевой, Ю.М. Колягина, Г.И. Саранцева, А. В. Усовой, А.Я. Хинчина и других.
Однако в работах, посвященных проблеме формирования математических понятий в школе, она рассматривается преимущественно односторонне. В частности, большая группа исследований посвящена разработке средств формирования отдельных понятий и некоторых их классов. В других достаточно подробно освещаются отдельные этапы формирования понятий: усвоение определений, применение понятий и др.
В учебной литературе по методике преподавания математики разработаны общие вопросы, теории понятий (содержание, объём, определение, классификация), а также некоторые вопросы усвоения понятий. Причём, усвоение понятия отождествляется с усвоением его определения. В ряде работ выделяются этапы формирования понятий, но при этом остаются в стороне вопросы выделения действий, адекватных каждому этапу.
Школьная практика показывает, что учителей не удовлетворяет сложившаяся методика формирования понятий. Понимание важности этой проблемы и неудовлетворённость её решением побуждает учителей математики искать новые пути формирования понятий, которые оказываются эффективнее традиционных, что приводит к потребности обмена опытом. Однако учителями решаются, как правило, частные аспекты проблемы, а правильная расстановка акцентов в процессе формирования понятий предполагает знание его концепции.
Под концепцией формирования понятий мы понимаем определённую систему требований к рассматриваемому процессу, следование которой обеспечит высокое качество усвоения учениками основных понятий математики. Необходимо выделить конкретные действия, составляющие этот процесс и на этой основе разработать методические рекомендации, каким операциям (действиям) в том или ином случае надо учить.
Есть все основания утверждать, что завершённая методическая концепция формирования математических понятий в школе с учётом условий её реализации до сих пор не разработана. Её отсутствие влечёт появление множества субъективных рекомендаций, порой противоречащих друг другу, что не способствует математическому развитию учащихся. Этим объясняется актуальность выбора темы исследования.
Рассматривая данную проблему, необходимо обратиться к философии и логике, так как понятие является объектом изучения этих наук. Это одна из основных форм мышления, играющая важную роль в познании. Разрабатываемая концепция должна учитывать динамику исторического развития существующих в философии и логике взглядов на понятие. Вопросам выяснения сущности понятия посвятили свои работы такие исследователи, как B.C. Библер, Е.К. Войшвилло, Д.П. Горский, Н.И. Кондаков, Г.И. Рузавин, В.А. Светлов, Н.А. Шанин и другие. Сложность предмета является причиной многообразия взглядов на понятие в современной науке. Среди философов и логиков нет единого мнения по вопросу о том, что такое понятие. Чаще других понятие трактуют, как форму мысли (или мысль), в которой отражаются существенные признаки вещей и явлений. В работах логиков отражены различные схемы образования понятий, каждая из которых используется в практике обучения математике.
Нельзя также забывать, что проблема формирования понятий и развития мышления является одной из центральных в психологии. Теория формирования научных понятий у школьников разрабатывалась многими психологами, среди которых: Д. Н. Богоявленский, Л. С. Выгодский, П.Я. Гальперин, В. В. Давыдов, Е.Н. Кабанова-Меллер, Н. Ф. Талызина, М.А. Холодная и другие. В работах психологов обосновываются различные точки зрения на способы формирования научных понятий, но ни один из них не является универсальным. Высказываются предложения, как сделать процесс усвоения понятий более качественным, но, как правило, в исследованиях нет анализа рекомендаций с позиций приложения их к методике преподавания.
Резюмируя сказанное, мы выделяем:
Цель исследования - разработать методическую концепцию формирования математических понятий в средней школе.
Объектом исследования является процесс формирования математических понятий в школе.
Предмет исследования - этапы процесса формирования математических понятий, их содержание, средства и формы реализации процесса.
Реализация каждого этапа представляет особого рода деятельность, усвоение которой предполагает овладение действиями, её составляющими. Это позволило сформулировать гипотезу исследования.
Гипотеза исследования. Если выделить действия, адекватные усвоению понятия, разработать методику их формирования и применить её в практике обучения, то это будет способствовать улучшению качества математических знаний и умений школьников, так как понятия являются наиболее значительной составляющей содержания обучения математике.
Выбор цели, предмета и объекта исследования, а также сформулированная гипотеза исследования обусловили решение ряда задач. Задачи исследования:
1) Проанализировать имеющиеся в формальной и диалектической логике варианты образования понятий, выявить динамику развития взглядов на феномен "понятие", представленную в философских исследованиях.
2) Изучить точки зрения психологов и методистов на способы формирования понятий.
3) На основе проведённых исследований и анализа применяемой в школьной практике методики формирования понятий у учащихся, сконструировать концепцию формирования математических понятий в школе и обосновать возможность её применения.
4) Выделить совокупность действий, составляющих содержание каждого этапа концепции.
5) Разработать систему упражнений, соответствующих каждому этапу формирования понятий.
6) Экспериментально проверить эффективность разработанной методики формирования понятий в педагогическом процессе.
Методологической основой исследования послужили положения теории системного анализа, деятельностного подхода к обучению, основные положения методики обучения математике, концепции задач в обучении математике.
Для проведения исследования применялись следующие методы исследования:
- изучение и теоретический анализ философской, психолого-педагогической и методической литературы по исследуемой проблеме;
- анализ учебных программ, учебников и учебно-методических пособий по математике;
- наблюдение, беседы, анкетирование учителей средней школы;
- анализ опыта работы учителей по формированию математических понятий в школе;
- экспериментальная проверка основных положений диссертационного исследования, применение разработанных учебно-методических материалов в учебном процессе;
- статистическая обработка результатов педагогического эксперимента. Научная новизна исследования состоит в том, что в диссертации:
- проблема формирования понятий решена на принципиально новой основе, которую составляет системное представление о содержании этапов формирования понятий, средствах и формах их реализации;
- концепция базируется на единстве логики образования понятий, психологических воззрений о роли мотивации и деятельности в этом процессе, собственных методических положений;
- проблема формирования понятий решена в контексте деятельностного подхода к этому процессу.
Теоретическая значимость исследования заключается в разработке требований к формированию понятий, в раскрытии сущности этапов формирования понятий, в выделении действий, адекватных им, в разработке групп упражнений, ориентированных на овладение выделенными действиями.
Практическая значимость работы определяется тем, что разработанные в диссертации методические рекомендации будут способствовать технологизации процесса формирования математических понятий, а использование системы упражнений позволит диагностировать овладение понятием на каждом этапе его формирования. Результаты исследования могут быть использованы при разработке и написании учебно-методических материалов.
Организация исследования. Исследование проводилось с 1996 по 2000 год и включало несколько этапов. В качестве основной опорно-экспериментальной базы была избрана школа № 37 г. Кирова.
На первом этапе (1996-1997) осуществлялся анализ философской, психолого-педагогической и методической литературы по проблеме исследования проводились наблюдение, анализ и обобщение опыта работы учителей по формированию математических понятий. Была сформулирована рабочая гипотеза исследования.
На втором этапе (1997-1998) разрабатывалась концепция формирования математических понятий и проводился констатирующий эксперимент.
На третьем этапе (1999 - 2000) осуществлялся обучающий эксперимент, в ходе которого происходила корректировка разработанной концепции, были обобщены результаты исследования, сделаны выводы и выполнено оформление диссертации.
Апробация результатов исследования.
Теоретические позиции проверялись в процессе выступлений на научно-практических конференциях Вятского государственного педуниверситета (1997, 2000 г.), на межрегиональной научной конференции "Проблемы современного математического образования в педвузах и школах России" (1998 г.)в г. Кирове, на Всероссийской научной конференции "Гуманизация и гуманитаризация математического образования в школе и вузе" (1998 г.) в г. Саранске, на научно-методических семинарах кафедры математического анализа и методики преподавания математики Вятского государственного педуниверситета.
Обоснованность и достоверность результатов исследования обеспечивается опорой на результаты фундаментальных методических исследований, непротиворечием полученных выводов с психологическими закономерностями усвоения знаний, многообразием и полнотой изученного фактического материала и сопоставлением полученных результатов с результатами опытно-экспериментального обучения
На защиту выносятся следующие положения:
1. Основой методической концепции формирования математических понятий является системное рассмотрение содержания этапов процесса формирования понятий, средств и форм его реализации, логических вариантов образования понятий и психологических рекомендаций по усвоению действий.
2. Этапами формирования понятий являются: мотивация введения понятия; выявление существенных свойств понятия, составляющих его определение; формулировка определения понятия; усвоение определения; применение понятия; систематизация понятия. Каждый этап представляется совокупностью определённых действий.
3. Средствами реализации этапов являются упражнения, ориентированные на формирование действий, адекватных каждому этапу и их совокупностям.
Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы. Общий объём работы 165 страниц.
Философские и логические основы теории понятий
Начиная с древнейших времен, существовало несколько концепций трактовки понятия.
Согласно самой древней трактовке, которая берёт начало от Аристотеля, понятие являлось синонимом определения, а определение обозначало суть бытия. «В определение чего бы то ни было, - пишет Аристотель в «Метафизике», - должно содержаться определение сущности... Определение основывается на необходимости того, чтобы сказанное им что-то значило, ибо определением будет обозначение сути (logos) через слово... Определение есть обозначение сути бытия вещи, а суть бытия имеется для одних только сущностей, или главным образом для них, первично и прямо». [6 С. 185] В этих положениях с полной ясностью выражена связь определения с сутью вещи, что и позволяет сделать вывод о том, что Аристотель рассматривал понятие как определение сути вещи. Такая интерпретация понятия, развитая древнегреческим мыслителем, длительное время сохранялась в европейской философии и существует в наши дни.
Иной взгляд на понятие был выражен английским философом Дж. Локком в его теории познания, где эта форма мышления не рассматривается особо, а фактически отождествляется с абстрактным представлением. Также можно выделить концепцию немецкого философа И. Канта, который разграничил различные виды понятий. Он выделял эмпирическое понятие, чистое или рассудочное понятие (категорию) и понятие разума (идею). Но в его учении собственно понятиями являются только эмпирические.
Глубоко вопросы понятия разработал немецкий философ Гегель в своей диалектической логике. Он описал три типа форм мышления: категории, рефлексивные определения и понятия. Гегель первым выделил основные черты понятия как формы мышления, то есть разграничил понятие и представление. По Гегелю, понятие - синоним действительного понимания существа дела, а не просто выражение любого общего в наблюдаемых, изучаемых объектах. В понятии раскрывается подлинная природа, особенность объекта, а не внешнее сходство с другими объектами. Однако в учении Гегеля понятие несколько абсолютизируется. Согласно его учению, бытие и сущность - моменты становления понятия, «понятие же есть их основа и истина как тождество, в которое они погрузились и в котором они содержатся». [32 С. 9] Таким образом, понятие интерпретируется Гегелем как основа бытия (сущности), но познание начинается с постижения внешней стороны предмета, а не с его сущности. Лишь освоив предмет с точки зрения его количественных, качественных, пространственных и других характеристик, сознание человека разделяет его на явление (то, что появляется и исчезает) и сущность (то, что присутствует постоянно). И только после этого человек, освоив сущность, может получить понятие о предмете.
В современной философии вопросам теории понятия также уделяется немало внимания, так как это одна из основных форм мышления, играющая важную роль в познании. Роль понятия для научного познания, прогресса отмечается во всех исследованиях, связанных с этими проблемами. Познание ведет от незнания к знанию, от менее полного знания к более полному. Осваивая предмет или явление действительности в форме понятий, мышление движется от явления к сущности, последовательно раскрывая его разные стороны и связи. Первым этапом познания является чувственное познание в трех его формах: ощущения, восприятия и представления. Оно является источником всех знаний о предметах и явлениях мира, но проникнуть в их суть можно только на уровне абстрактного мышления, выражающегося в понятиях. Е. К. Войшвилло, подчеркивая важность понятия для мышления, отмечал: «Само мышление ... может рассматриваться как процесс оперирования понятиями, именно благодаря понятиям мышление приобретает характер обобщенного отражения действительности». [25 С.101]
Сложность предмета является причиной многообразия взглядов на понятие в современной науке. Заслуживает внимания точка зрения философа B.C. Библера, согласно которой понятие выступает в процессе мышления в трояком виде:
1) как предмет размышления, мысленная модель реального предмета. В таком виде понятие выступает как исходный пункт развития мысли. В результате работы мышления над воспринимаемыми и представляемыми предметами создаётся отправной понятийный образ. Предмет не просто «отображается» в понятии, он мысленно воспроизводится, строится как идеализированный мысленный предмет.
2) как орудие мыслительной деятельности, средство размышления. Мыслительный процесс, как указывалось выше, невозможен без оперирования понятиями.
3) как сама целесообразная деятельность, как акт понимания. С этой позиции понятие выступает как действие, элементарный акт мыслительного процесса, во время которого происходит преобразование «образа - в идею, орудия - в предмет, предмета в орудие».[13]
Психологические основы формирования математических понятий в школе
Разработка методической концепции формирования понятий предполагает анализ точек зрения психологов на способы формирования понятий в виду того, что проблема формирования понятий и развития мышления является одной из центральных и в психологии. Для правильной организации рассматриваемого процесса важно знать психологические основы формирования понятийного аппарата. Теория формирования научных понятий у школьников разрабатывалась многими психологами: Д.Н. Богоявленским, Л.С. Выгодским, П. Я. Гальпериным, В. В. Давыдовым, Е. Н. Кабановой-Меллер, Н.Я. Менчинской, Н.Ф. Талызизиной, М.Н. Шардаковым и др.
Все психологи неразрывно связывают усвоение понятий с мышлением. Термин «усвоение» по отношению к понятиям введен в психологию для обозначения процесса образования научных понятий у школьников. Существуют различные точки зрения по вопросу усвоения понятий. Л.С. Выгодский считает, что научные понятия становятся доступными ребенку не сразу. «Они могут быть долго непостижимы в системе, хотя каждое из них порознь и понятно ребенку».[29 С.416] Он вводит термин «спонтанное» (то есть «житейское») понятие, которое формируется у ребёнка в дошкольном возрасте путём «проб и ошибок» и отмечает, что «развитие спонтанных понятий должно достигнуть некоторого уровня, создать предпосылки в умственном развитии, для того чтобы усвоение научных понятий вообще стало для ребенка возможным». [29 С.416] Отрезок развития ребенка, с которого началось развитие научных представлений, он называет зоной «ближайшего развития». Точку зрения Л.С. Выгодского во взгляде на продолжительность формирования понятий во времени разделяет Н.Я. Менчинская и другие психологи, которые считают, что содержание понятия усваивается не сразу, а постепенно, по частям. «Данное извне понятие формируется в той мере, в какой оно является результатом мыслительной деятельности учащихся». Отсюда возникают последовательные этапы в овладении содержанием понятия, постепенное «движение от неполного знания к полному». [80 С. 186] Иное мнение по этому вопросу высказывают П.Я. Гальперин и Н.Ф. Талызина. Они полагают, что формирование понятий не следует растягивать на продолжительный период времени, что это можно осуществить в один прием, когда содержание нового понятия усваивается одновременно, в полном объеме и в правильном соотношении признаков, сразу применяется на всем диапазоне намеченного обобщения. П. Я. Гальперин вводит понятие «динамического стереотипа», который автоматически срабатывает при встрече ребенка с новым материалом и «прежде, чем ребенок приступает к «сознательному анализу» материала, перед ним выделяется совокупность значащих признаков и он непосредственно видит понятие (или наоборот, видит, что его нет)». [30 С. 32] «Видеть» понятие - значит уметь определить, обладает наблюдаемый объект выделенной совокупностью существенных признаков или нет.
Следует сказать, что содержание многих математических понятий не может быть раскрыто на одном уроке, а иногда и в процессе изучения одной темы. По мере изучения математики знания о содержании и объёме понятий постоянно углубляются. В этом случае содержание понятия раскрывается постепенно, на основе установления связей и отношений данного понятия с другими.
В работах психологов высказываются и обосновываются различные точки зрения на способы формирования научных понятий у школьников.
Н.А. Менчинская отмечает, что усвоение понятий в процессе обучения подчиняется определенным закономерностям. «Решающую роль в этом отношении играет характер того источника, той основы, на которой формируется понятие. В одних случаях сущность последнего может быть раскрыта в процессе восприятия фактов и явлений, в других основным источником является самоопределение, в котором сущность понятия выражена в обобщённой форме». [80 С. 189] Отсюда два пути усвоения понятия ребёнком:
- от конкретного к общему;
- от бессодержательно-абстрактного к конкретному и через конкретное к подлинно абстрактному.
Мотивация изучения математических понятий
Понятия возникают не как пассивно полученное отражение реальных предметов, они активно строятся в ходе мыслительной деятельности, поэтому их усвоение плодотворно только тогда, когда ученик является не только объектом обучения, но и субъектом познания, то есть принимает активное участие в процессе обучения. Важным условием повышения познавательной активности учащихся на уроке является их предварительная подготовка к усвоению новых знаний, то, что мы, применительно к изучению понятий, можем назвать мотивацией их изучения.
Анализ учебно-методической литературы, посвященной формированию математических понятий, проведённый в главе 1, а также практика изучения понятий в школе показали, что мотивационному этапу при изучении математических понятий уделяется очень мало внимания. В некоторых источниках о таком этапе даже не упоминается, авторы других говорят о нём, как о составной части формирования понятий, не раскрывая при этом его сущности. Тем не менее, наши исследования подтверждают необходимость включения данного этапа в процесс формирования понятий. Поэтому возникает потребность в выяснении содержания данного этапа, а также в выделении действий, адекватных данному этапу.
Ученик может осознать поставленную перед ним задачу и принять её как свою собственную лишь при условии, что она понята, вызывает у него интерес и эмоциональные переживания, опирается в той или иной мере на его прошлый опыт и знания, а также указывает на жизненную необходимость и важность её решения. Таким образом, успешность усвоения нового понятия в немалой степени зависит от того, как мотивировано его изучение.
Каковы же условия, соблюдение которых поможет учителю стимулировать интеллектуальную активность школьников при изучении нового понятия, вызовет «деятельное состояние коры головного мозга», создаст предпосылки для успешного обучения? Чтобы ответить на эти вопросы, обратимся к психологической литературе.
Вопросами мотивации учения занимались и занимаются такие психологи как Л. И. Божович, Д. Н. Богоявленский, В. В. Давыдов, Ю. Н. Кулюткин, Н.А. Менчинская, А. К. Маркова, А. Б. Орлов, Г. С. Сухобская, Л. М. Фридман и др.
Для характеристики активности личности во время обучения психологи вводят понятие «мотивационной сферы» учения - индивидуальную и постоянно изменяющуюся у каждого ребёнка структуру, состоящую из разных побуждений. Место доминирующего побуждения в этой структуре неустойчиво и может быть занято то одним, то другим побуждением, в зависимости от условий обучения, обстоятельств общения с окружающими и т. д. А. К. Маркова отмечает, что для успеха учебно-воспитательного процесса «необходимо учитывать сложное строение мотивационной сферы, воздействовать на каждую из её сторон».[78 С.5]Одна из составляющих мотивационной сферы, которую надо учитывать в процессе обучения, это потребность. Всякая деятельность, в том числе и деятельность по изучению понятий, начинается с потребностей. Нужда, потребность - главный источник психического развития человека. Под потребностью в психологии понимают «направленность активности ребёнка, психическое состояние, создающее предпосылку деятельности». [78 С.5] Так как всякому ребёнку свойственна потребность в новых впечатлениях, то на неё учитель должен прежде всего опереться при изучении нового понятия, актуализировать эту потребность, сделать её более чёткой, осознанной у большинства учащихся. Примеры:
1) Мотивировать изучение смежных углов можно потребностью рассмотрения не только отдельных фигур, но и их объединений. Учитель предлагает учащимся построить угол и дополнить одну из его сторон до прямой. Получившаяся фигура является объединением двух углов (известных фигур), но обладает и новыми, присущими только ей свойствами, поэтому возникает потребность подробнее изучить эту фигуру.
2) Необходимость изучать квадратные уравнения ещё в древности была вызвана потребностью решать задачи с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Поэтому предварить изучение понятия квадратное уравнение можно решением практической задачи: «Найти длину и ширину сада, если его площадь 1,3 га, а одна из сторон на 30 м больше другой». Решая задачу учащиеся приходят к неизвестному им уравнению х2 + ЗОх -13000=0. Возникает потребность научиться его решать. Другой важный аспект мотивационной сферы, выделяемый психологами, -мотив. «Мотивом, наиболее адекватным учебной деятельности, является направленность школьников на овладение новыми способами действий». [78 С.7] Применительно к изучению математических понятий мотивом может служить желание овладеть способом решения задач нематематического характера (внешние мотивы), а для этого требуется познакомиться с новым математическим объектом и его свойствами. К числу таких задач относятся задачи практического, физического, биологического, химического и т.д. характера.
