Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Методология формирования понятий и их систем в школьном курсе математики 24
1.1. Теоретические основы содержания школьного математического образования 24
1.2. Философские основы процесса формирования: математических: понятий и их систем 38
1.3. Общая методология формированияматематических понятии и их:систем в школьномкурсе математики 52
Выводы по первошглаве 63:
Глава 2. Психолоро-шдатоеичеокие и дидактические основье формирования
2.1.Анализпсихолого-педагогическихконцепцийюбучения
2.2. Ассоциативно-рефлекторная;: теория обучения и образования по нятий
2.3: Концепция:формирования приемов по усвоению и применению понятий : 80;
2.4. Концепция поэтапного формирования умственных действий 841
2:5; Содержательно-генетическая концепция? формирования? теорети
ческих понятийв обучении? - 90
2.6; Изучение научных понятий в современной дидактике, теории и?
методике обучения математике 95
Выводы по второй главе 117
Глава 3. Теоретические основы формирования математических, понятий: и их систем ві обучении математике 121
3.1. Уровни; изложения и усвоения:понятий в практике обучения математике в школе 121
3.2. Способы и механизмы образования и развития математических понятий и их системв обучении математике 139
3.3. Концепция продуктивного формирования понятий и их систем в обучении математике
3.4. Структурно-содержательные модели систем понятий — как ориентиры организации учебно-познавательной деятельности учащихся 169
3.4.1. Содержание и структура системы понятий «Уравнения и неравенства» 176
3.4.2. Содержание и структура системы понятий «Функции, уравнения, неравенства» 181
3.4.3. Содержание и структура системы понятий «Функции, производная, интеграл» 189
3.5. Математический язык - средство познания в обучении математике 196
Выводы по третьей главе 214
Глава 4. Формирование фундаментальных понятий и их систем в современном обучении математике 219
4.1. Методико-дидактическая система формирования фундаменталь ных математических понятий и их систем 219
4.1.1. Критерии эффективности формирования: фундаментальных по
нятий, систем понятий по типу теоретического обобщения 226
4.2. Формирование системы- понятий «Уравнения- и неравенства»- в курсе математики средней школы 229
4.3. Формирование системы понятий «Функции? и их исследование с помощью различных научных теорий» в. курсе математики средней школы 252
4.4. Экспериментальное исследование эффективности формирования? математических понятий и их систем
4.4.1. Результативность формирования системы понятий «Уравнения и неравенства» 281
4.4.2. Функционирование-системы понятий «Уравнения и неравенства» в 9-11 классах 282
4.4.3. Заключительное концептуальное обобщение системы теоретических знаний по изучению уравнений, неравенств, тождественных- преобразований в курсе математики средней школы 284
4.5. Исследование эффективности формирования теоретическое сис
темы понятий «Функции, производная, интеграл» в курсе математики средней школы в ходе обучающего эксперимента 287
4.5.1. Результаты завершающего теоретического обобщения знаний учащихся по-сформированно систем фундаментальных понятий в курсе математики средней школы 290
Выводы по четвертой главе 295
Заключение 297
Библиография
- Общая методология формированияматематических понятии и их:систем в школьномкурсе математики
- Концепция:формирования приемов по усвоению и применению понятий
- Структурно-содержательные модели систем понятий — как ориентиры организации учебно-познавательной деятельности учащихся
- Формирование системы понятий «Функции? и их исследование с помощью различных научных теорий» в. курсе математики средней школы
Введение к работе
Актуальность исследования. В современных условиях углубляется перестройка школы, призванная обеспечить высокое качество образования и развития учащихся. Решение этой задачи во многом зависит от организации учебного процесса в средней школе.
В последние годы ученых-математиков, дидактов, психологов особенно волнует проблема поиска эффективных средств изучения предмета математики.
Специфика предмета математики состоит в том, что: 1) понятия этого предмета представляют собой сложную логико-гносеологическую категорию высокого уровня абстракции по сравнению с предметами естественнонаучного цикла; 2) процесс образования, развития и применения математических понятий – сложный, длительный, многоуровневый и многоэтапный процесс.
В целях повышения теоретического уровня, мировоззренческой и практической направленности предметного обучения неоднократно совершенствовались программы и учебники по математике. Произошли позитивные изменения в понятийном аппарате школьного курса математики: уточнены и усилены многие теоретические знания, модельные представления. Вместе с тем до настоящего периода времени не преодолены многие недочеты и противоречия в содержании предмета (в основном это касается курсов алгебры и алгебры и начал анализа), в существующих подходах формирования математических понятий. По-прежнему все теоретические знания изучаются рядоположенно и при этом в основном применяется индуктивно-эмпирическая схема обобщения.
Такой подход дает положительный эффект лишь в усвоении отдельных частных понятий и не способствует формированию теоретических систем знаний обучаемых. Обращает на себя внимание низкое качество усвоения фундаментальных математических понятий: «уравнение», «неравенство», «функция», «тождество», «производная», «первообразная», «интеграл», а также учебных умений оперировать этими понятиями в различных учебных ситуациях. Низки системность, обобщенность и функциональность теоретических знаний.
Требуется перестройка процесса обучения математике, с целью формирования у учащихся целостных систем понятий. Важнейшими ее стимулами становятся: перспективные социально-педагогические требования, успехи и тенденции развития методологии математической науки, достижения педагогической теории и практики обучения, их противоречия.
Проблеме формирования понятий посвящены многочисленные исследования философов, логиков, математиков, педагогов, психологов, методистов М.Н. Алексеева, Ф. Кумпф, В.Ф. Асмуса, В.Г. Афанасьева, А.С. Арсеньева, Е.К. Войшвилло, Н.К. Вахтомина, Д.П. Горского, Б.М. Кедрова, Г.А. Курсанова, Ю.А. Петрова, Н.И. Кондакова, А.Д. Александрова, В.Ф. Бутузова, Н.Х. Розова, А.Я. Хинчина, Г.В. Дорофеева, А.И. Маркушевича, Ю.К. Бабанского, В.П. Беспалько, А.В. Брушлинского, А.М. Матюшкина, В. Оконя, А. Крыговской, М. Вертгеймера, Д.Б. Эльконина, В.В. Давыдова, Л.С. Выготского, П.Я. Гальперина, Н.Ф. Талызиной, М.Б. Воловича, Ю.М. Колягина, А.А. Столяра, Г.И. Саранцева и других.
Анализ имеющихся исследований показал, что в них недостаточно исследован вопрос о поиске путей возникновения, дальнейшего развития и применения понятий в условиях развивающего обучения. Современные дидактические и психолого-педагогические концепции еще медленно внедряются в теорию и практику обучения.
Актуальность постановки проблемы математического образования в средней школе и ее решение конкретизируется в четырех взаимосвязанных аспектах, образующих проблемное поле данного диссертационного исследования.
Первый аспект обусловлен социально-педагогической значимостью идеи формирования систем понятий у учащихся общеобразовательных школ. Данный аспект испытывает потребность в педагогическом профессионализме и способности проектирования ситуаций математического развития. Исследованиями многих ученых установлено, что в системе математического образования приоритет отдается умениям решать математические задачи. Становление учителя математики как субъекта деятельности требует категориального и практического разрешения ряда нерешенных проблем по формированию математических понятий (А.Д. Александров, В.Г. Болтянский, B.C. Владимиров, Л.С. Понтрягин, А.Н. Тихонов, А.И. Маркушевич, Б.В. Гнеденко, А.Н. Колмогоров, Г.В. Дорофеев, Л.В. Канторович, Ю.М. Колягин, В.Н. Осинская, З.И. Слепкань, Е.И. Лященко, В.А. Тестов и др.)
Второй аспект обусловлен социально-педагогической значимостью идеи формирования систем математических понятий у учащихся общеобразовательных школ. Поэтому важно проделать серьезную работу по структурированию и группировке понятий вокруг ведущих идей и научных теорий, по активному использованию функций понятий (систематизирующей, прогностической, эвристической и др.) в учебно-познавательной деятельности учащихся. Следует коренным образом перестроить процесс формирования фундаментальных математических понятий, раскрывая их как теоретические системы знаний, отразив передовой опыт школ, а также современные достижения математической науки и наук психолого-педагогического цикла (А.Д. Александров, А.И. Берг, В.Г. Болтянский, А.А. Ляпунов, Н.Я. Виленкин, А.Н. Колмогоров, Г.П. Матвиевская, Г.Ю. Ризниченко, Л.Д. Кудрявцев, В.Ф. Бутузов, В.А. Садовничий, Н.Х. Розов, Е.М. Вечтомов, Н.Ф. Талызина, М.Б. Волович, Г.А. Китайгородская, Л.Я. Зорина, З.И. Калмыкова, А.В. Усова, Г. Клаус, И.Я. Лернер, М.И. Махмутов и др).
Третий аспект актуальности проблемы настоящего исследования обусловлен необходимостью конкретизации значения понятий: «учебный материал», «содержание школьного учебного материала», «математические понятия», «система понятий», «формирование системы понятий», «технология обучения» и др. Основанием для их различения выступают ключевые позиции современного школьного математического образования, которое включается в деятельность формирования (Л.Д. Арестова, В.П. Беспалько, Л.Я. Зорина, Г.Д. Кириллова, В. Оконь, Г.И. Щукина, А. Крыговская, К. Коффка, В.В. Краевский, Н.Ф. Талызина, А.М. Сохор, М.Б. Волович, П.И. Пидкасистый, А.К. Сухотин, Э.Стоунс, А.И. Раев, Ю.Е. Калугин, И. Шуман, В. Феллер и др.).
Анализ образовательных программ в системе обучения школьников показал, что их разработчики по-прежнему ориентируются на предметно-знаниевый подход, где формированию приемов учебно-познавательной деятельности, обобщенных способов действий почти не уделяется внимания.
Четвертый аспект актуальности проблемы представленного исследования определяется, во-первых, необходимостью рассмотрения механизмов возникновения, формирования и интеграции математических понятий (В.В. Давыдов, А.К. Маркова, Н.Ф. Талызина, Л.В. Берцфаи, Д.Х. Рубинштейн, А.В. Усова и др.), во-вторых, необходимостью формирования систем математических понятий на основе инновационных технологий обучения, которые непосредственно направлены на формирование творческого мышления обучаемых.
Состояние изученности проблемы. Базовыми для построения теоретических основ формирования систем математических понятий у учащихся являются:
- учения о диалектике понятий, диалектическая концепция развивающегося понятия (Л.Д. Арестова, А.С. Арсеньев, В.С. Библер, Б.М. Кедров, Н.К. Вахтомин, Е.К. Войшвилло, Д.П. Горский, В.В. Мадер, Ю.А. Петров, Г. Пиппиг, Г.И. Рузавин, А.К. Сухотин, С.А. Шапоринский, А.Н. Шимина и др.);
- концептуальные положения по теории познания (Л.С. Выготский, П.П. Блонский, С.Л. Рубинштейн, А.Н. Леонтьев, Ю.А. Самарин, А.Ф. Эсаулов и др.);
- исследования выдающихся математиков, математиков-методологов, математиков-психологов (А.Д. Александров, В.Г. Болтянский, В.С. Владимиров, Л.С. Понтрягин, А.И. Маркушевич, Б.В. Гнеденко, Г.В. Дорофеев, А.Н. Колмогоров, Г.П. Матвиевская, В.А. Садовничий, Н.Х. Розов, Н.Ф. Талызина, А.Я. Хинчин, А.А. Столяр, Ю.М. Колягин, А. Крыговская, А.М. Сохор, М.Б. Волович, Г.А. Буткин и др.);
- исследования по теории системного подхода (А.И. Уемов, Э.Г. Юдин, В.А. Штофф, Л.Я. Зорина, Г.Д. Кириллова, В.П. Беспалько, А.М. Сохор, Н.Ф. Талызина, И.П. Калошина, Г.А. Китайгородская, А.В. Усова, А.Н. Шимина и др.);
- исследования по теории деятельностного подхода (Л.С. Выготский, С.Л. Рубинштейн, А.Н. Леонтьев, П.Я. Гальперин, Н.Ф. Талызина, В.В. Давыдов, Л.В. Берцфаи, Д.Б. Эльконин, Н.Г. Салмина, А.З. Рахимов, А.К. Маркова, И. Ломпшер, В. Оконь, Т.И. Шамова и др.).
На содержание школьного математического образования большое влияние оказывает математическая наука, которая оперирует определенными «идеальными» объектами и представляет собой сложное, многогранное и многоаспектное явление: это и изучение реального мира с количественной стороны, и язык описания науки, и абстрактная модель мира, и логически выстроенная структура научно–теоретических фактов. Все теоретические знания: математические понятия, системы понятий, математические утверждения, методы их доказательства и научные теории, представляют собой знания наиболее глубоких и общих свойств реальной действительности.
При изучении предмета математики учащимся приходится выполнять одновременно несколько видов деятельностей по: 1) обнаружению, постановке учебных проблем и целенаправленному поиску выхода из создавшихся проблемных ситуаций; 2) выделению данного понятия из ряда других понятий по наличию существенных признаков; 3) конструированию математических объектов с заданными свойствами; 4) осуществлению поиска решения математических задач и выделению блока необходимых теоретических знаний для выполнения самого процесса решения; 5) применению имеющихся знаний в различных учебных ситуациях: аналогичных, измененных, новых. Ведь в современных условиях необходим человек новой формации, способный к активному творческому овладению знаниями, умеющий анализировать, обобщать, моделировать и прогнозировать результаты своей деятельности и делать аргументированные выводы.
Самостоятельное применение знаний учащимися в измененных и нестандартных учбных ситуациях станет возможным в том случае, если они овладеют теоретически обобщенными структурами понятий, систем понятий, различными видами математических утверждений и методами их доказательства, методами решения различных типов математических задач.
Все это вместе взятое и определило выбор темы данного диссертационного исследования: «Формирование систем математических понятий у учащихся общеобразовательных школ», проблема которого заключается в осуществлении структурирования содержания школьного курса математики с целью выделения, формирования и интеграции систем фундаментальных математических понятий, которые соответствуют современным требованиям, предъявляемым к математическому образованию. Решение данной проблемы и составляет цель исследования.
Объектом исследования выступает математическое образование в средней общеобразовательной школе.
Предмет исследования составляют теоретические основы и методы формирования фундаментальных математических понятий и их систем в школьном курсе математики.
Концепция исследования:
-
Структурирование содержания школьного курса математики: представление его в виде взаимосвязанных, взаимообусловленных блоков: содержательного (понятийного), логико-формирующего, блока средств (дидактических и методических).
-
Необходимость выделения, формирования и интеграции фундаментальных математических понятий и их систем обусловлена современными требованиями к образованию, воспитанию и развитию учащихся.
-
В современных условиях, когда происходит частая смена учебных программ и учебников, существенное значение приобретает качественное усвоение инвариантов теоретических систем понятий, которые при соответствующей подготовленности учащихся, можно легко конкретизировать и творчески применять в различных учебных ситуациях.
-
Формирование фундаментальных математических понятий и их систем должно строиться с учетом их логико-гносеологической природы с позиций системного и деятельностного подходов, диалектического метода, содержательного обобщения и включать в себя продуктивную понятийно-теоретическую деятельность учащихся.
-
Моделирование процесса формирования математических понятий и их систем должно осуществляться с целью проявления в обучении двуединой сущности: способности концептуально отражать математическую природу и быть одновременно мыслительной деятельностью.
-
Деятельностная природа систем фундаментальных понятий школьного курса математики предполагает отражение в их содержании и структуре адекватной им деятельности обучающего и обучаемых. Это позволяет использовать структурно-логические модели инвариантов систем понятий в качестве прогностических основ деятельности учителя по формированию структурно-организованных и действенных знаний учащихся, по самостоятельному построению ими и усвоению этих теоретических конструктов, по реализации их разнообразных функций в процессе активного учения.
В соответствии с объектом, предметом и концепцией исследования была сформулирована гипотеза, направляющая весь ход данного исследования:
-
процессы обучения математике, развития учащихся, будут эффективными и результативными, если они будут опираться на модель целостного процесса формирования математических понятий и их систем, включающую компоненты: содержательно-целевой, процессуально-деятельностный, контрольно-оценочный и оценочно-результативный;
-
если в обучении полноценно реализовать принципы развивающего обучения, алгоритмическую деятельность учащихся сочетать с эвристической;
-
если формирование фундаментальных математических понятий и их систем строить с учетом их логико-гносеологической природы с позиций системного и деятельностного подходов;
-
если развивать способности концептуально отражать математическую природу и одновременно формировать мыслительную деятельность учащихся, то это даст ожидаемые результаты;
-
если формирование систем математических понятий осуществлять с помощью диалектического метода, содержательного обобщения и включать их в продуктивную понятийно-теоретическую деятельность учащихся, то это позволит сформировать такие качества знаний, как гибкость, осознанность, глубина, критичность мышления.
Задачи исследования были поставлены в соответствии с проблемой, концепцией и гипотезой:
-
Проанализировать состояние теории и практики формирования фундаментальных математических понятий и их систем у учащихся средних общеобразовательных школ в свете новых требований, которые предъявляет общество к образованию, воспитанию и развитию личности обучаемых.
-
Выполнить логико-гносеологический анализ процесса возникновения, развития и применения фундаментальных математических понятий и их систем в современном обучении математике.
-
Представить общую методологию формирования фундаментальных математических понятий и их систем на основе использования системного и деятельностного подходов.
-
На основе выполненного анализа современного состояния теории и практики школьного математического образования выявить и сформулировать теоретические и методические основания концепции продуктивного формирования математических понятий и их систем.
-
Спроектировать на основе разработанной концепции прогностическую модель целостного процесса формирования понятий и их систем, содержащую компоненты: содержательно-целевой, процессуально-деятельностный, контрольно-оценочный и оценочно-результативный.
-
Осуществить экспериментальную проверку выдвинутой гипотезы и эффективности теоретически обоснованной методики формирования фундаментальных математических понятий и их систем, выявить ее влияние на развитие творческого мышления учащихся, на сформированность учебных умений устанавливать содержательные и процессуальные связи между понятиями, системами понятий.
-
Выполнить статистическую и качественную обработку полученных результатов и сделать обоснованные выводы с целью окончательного подтверждения гипотезы исследования.
Методологическую основу исследования составляют научные положения диалектики о социально-деятельностной сущности человека, о единстве эмпирического и теоретического, о развитии личности школьника в процессе учебной деятельности.
Высший философский уровень методологии исследования основан на диалектическом методе познания; отражение философских категорий всеобщего, особенного, единичного как в самом математическом образовании, так и в формировании систем математических понятий.
Общенаучный уровень методологии опирается на общенаучные принципы и формы исследования и включает следующие теории и научные концепции: теорию познания; диалектическую концепцию развивающегося понятия (Л.С. Выготский, С.Л. Рубинштейн. А.Н. Леонтьев, B.C. Библер, И.В. Блауберг, Б.М. Кедров).
Конкретно-научный уровень методологии исследования представляют системный и деятельностный подходы, а также современные психолого-педагогические, дидактические концепции обучения (Л.С. Выготский, С.Л. Рубинштейн, П.П. Блонский, Е.Н. Кабанова-Меллер, А.А. Люблинская, Л.В. Занков, П.Я. Гальперин, Н.Ф. Талызина, Л.В. Берцфаи, В.В. Давыдов, А.З. Рахимов и др.)
Ведущая идея теоретической концепции исследования заключается в следующем: качественное усвоение систем фундаментальных математических понятий и развитие творческого мышления учащихся достигается через отражение в содержании и структуре теоретических знаний и целостной модели их формирования характера и структуры соответствующей познавательной деятельности обучаемых, активизируемой и развиваемой целенаправленным руководством обучающего.
Для решения поставленных в исследовании задач, а также подтверждения исходных положений и проверки гипотезы исследования использовалась совокупность взаимодополняющих методов исследования:
теоретических: изучение и теоретический анализ литературы в области математики и истории математики, философии и логики, дидактики и теории и методики обучения математике (и других частных методик); нормативных документов, монографий, диссертаций, материалов международных, всероссийских и республиканских научно-практических конференций, связанных с проблемой исследования, школьных программ, учебников, учебных пособий по математике для учащихся средней школы; теоретико-методологический анализ содержания современного школьного математического образования; логико-дидактический и системно-структурный анализы учебного материала; научное моделирование систем фундаментальных математических понятий;
эмпирических: изучение и обобщение массового и передового педагогического опыта учителей математики; сравнение, обобщение, классификация, синтез психолого-педагогических концепций обучения; анализ многолетней педагогической деятельности автора исследования; анкетирование, тестирование, интервьюирование (учащихся и учителей); педагогический эксперимент по проверке эффективности разработанной методики формирования теоретических систем понятий; статистическая и качественная обработка полученных результатов.
На основе анализа научно-методической литературы, собственного опыта педагогической деятельности была построена логика исследования, состоящая из четырех этапов, на каждом их которых рассматривалась одна из частных проблем в тесной связи с другими.
Первый этап (организационно-подготовительный) - (1985-1993 гг.). Изучение философской, психолого-педагогической, научно-методической литературы, нормативно-программной и учебно-методической документации. Изучалось состояние проблемы в теории и практике обучения математике, осуществлялся ее разносторонний анализ, разрабатывались и проверялись методики изучения ведущих тем и разделов школьного курса математики: «Линейная функция», «Квадратные уравнения», «Неравенства», «Тождественные преобразования выражений», «Тригонометрические функции, уравнения и неравенства», «Производная и ее применение», «Показательная и логарифмическая функции» и другие. Осуществлялось локальное структурирование и моделирование систем математических понятий. Это позволило выделить и сформулировать проблему, определить объект и предмет исследования.
Второй этап (поисково-теоретический) – (1994-1999 гг.). Уточнение гипотезы исследования, изучение многих аспектов проблемы; определение теоретических основ и направлений совершенствования процесса формирования фундаментальных математических понятий и их систем; проведение констатирующего эксперимента и обработка его результатов; экспериментальная проверка результативности разработанной методики в общеобразовательных учреждениях различных городов и регионов.
Третий этап (содержательно-процессуальный) – (1999-2003 гг.). Разработана концепция продуктивного формирования систем фундаментальных математических понятий и создана прогностическая модель целостного процесса формирования понятий и их систем; полностью выполнен констатирующий эксперимент и обобщены его результаты. Проведен формирующий эксперимент, в котором приняло участие свыше 4000 учащихся различных регионов; осуществлена экспериментальная проверка целостной методики формирования теоретических систем понятий: «Уравнения и неравенства», «Функции, уравнения, неравенства», «Функции и их исследование с помощью различных научных теорий» «Функции, производная, интеграл»; осуществлена оценка эффективности разработанной методики.
Четвертый этап (аналитический, завершающий) – (2003-2009 гг.). Завершен формирующий эксперимент, произведены систематизация и обобщение научных результатов, их качественно-статистический анализ; сформулированы выводы; осуществлена публикация основных результатов исследования в центральных научных изданиях, рекомендованных ВАК РФ; осуществлено внедрение в учебный процесс теоретических основ и целостной методики формирования теоретических систем понятий.
Опытно-экспериментальной базой исследования были общеобразовательные учреждения гг. Великого Новгорода, Новгородской области, Саратова, Саратовской области (гг. Петровск, Аткарск), Магнитогорска, Уфы, ряда регионов Башкортостана (Мелеузовский, Аургазинский, Абзелиловский и др.), Алматы, Рязани, Нальчика и др.
Личный вклад диссертанта состоит в теоретической разработке концептуальных идей и положений исследования, непосредственном руководстве и осуществлении длительной опытно-экспериментальной работы в качестве преподавателя педвуза и университета, учителя математики, педагога Областного автономного образовательного учреждения дополнительного профессионального образования (повышение квалификации специалистов) «Новгородского института развития образования».
Научная новизна исследования:
выполнены логико-гносеологический и методологический анализы содержания общего математического образования;
разработана и реализована концепция продуктивного формирования фундаментальных математических понятий и их систем в современном обучении, основу которой составляют системный и деятельностный подходы, а также диалектический метод обучения и учебного познания – восхождения от абстрактного к конкретному;
в рамках разработанной концепции создана прогностическая модель целостного процесса формирования систем фундаментальных математических понятий; модель воедино связывает содержательно-целевой, процессуально-деятельностный, контрольно-оценочный и оценочно-результативный компоненты процесса формирования систем понятий;
разработанная нами концепция и созданная на ее основе прогностическая модель ориентированы на образование, дальнейшее развитие и интеграцию теоретических систем математических понятий;
разработаны и обоснованы новые методические подходы к изучению и применению математического языка в процессе обучения математике.
Теоретическая значимость настоящего исследования заключается в решении актуальной и крупной научной проблемы создания теоретических основ и технологии формирования систем понятий в обучении математике, соответствующей современным социальным требованиям. На основе разностороннего и многоуровневого анализа данной проблемы:
даны логико-гносеологическая и методологическая характеристика фундаментальных математических понятий, определена их природа, выделены функции и связи понятий, механизмы образования и развития;
определены принципы отбора понятий и оценочные параметры для их логико-дидактического анализа, разработана классификация систем понятий;
разработана модель целостного процесса формирования фундаментальных математических понятий и их систем в современном обучении математике;
разработана целостная методика формирования теоретических систем понятий, реализующая принципы: системности, обобщенности, функциональности понятий, интенсификации процесса формирования теоретических систем понятий, активизации понятийно-теоретической деятельности учащихся в обучении математике;
выделены уровни и этапы формирования фундаментальных понятий и их систем, что позволило реализовать основные функции понятий: обобщающую, систематизирующую, объяснительную, эвристическую, развивающую, прогностическую;
разработана типология учебных задач и учебных действий, на основе и с помощью которых осуществляется целостный процесс формирования теоретических систем понятий;
определены принципы отбора математических задач (алгоритмических, полуалгоритмических, полуэвристических, эвристических), включающих учащихся в активную познавательную деятельность по усвоению и применению фундаментальных математических понятий.
Практическая значимость исследования:
разработанная автором теоретическая концепция формирования математических понятий и их систем может широко применяться и в других школьных предметах, а также и в вузовских курсах;
универсальный характер результатов и материалов исследования позволяет использовать их при разработке новых учебных программ и совершенствовании действующих по различным предметам, альтернативных авторских программ, учебных пособий по многоуровневому математическому образованию; образовательных стандартов школьного и вузовского образования;
представлены научно обоснованные материалы, которые могут использоваться преподавателями высших учебных заведений, институтов повышения квалификации кадров при разработке лекций по методологическим проблемам совершенствования образования, обновлении содержания лекционных курсов психолого-педагогических и специальных дисциплин, в научно-исследовательской работе студентов, магистрантов, аспирантов и педагогов-практиков;
основные идеи и положения исследования получили положительную оценку учителей-практиков различных регионов (Великий Новгород, Саратов, Рязань, Уфа, Нальчик, Алматы и др.). Материалы исследования отражены в выпускных квалификационных (27) и курсовых работах (106) студентов выполненных под руководством автора исследования, в монографии, учебно-методических пособиях, рекомендациях, научных статьях, изданных по результатам исследования, которые нашли применение в математическом образовании школьников, студентов и в системе подготовки и повышения квалификации педагогических кадров.
Достоверность и обоснованность научных положений, выводов и рекомендаций обеспечивались согласованностью их с фундаментальными положениями теории познания, методологии математики, дидактики, психологии, педагогической акмеологии; многосторонним и многоуровневым качественным и количественным анализом большого фактологического материала, полученного в процессе исследования; применением совокупности взаимосвязанных и взаимозависимых теоретических и эмпирических методов исследования, адекватных целям и задачам; массовым характером констатирующего и формирующего педагогического эксперимента и его позитивными результатами, их глубоким анализом и обобщением, статистическими методами обработки, широкой апробацией результатов исследования.
Апробация и внедрение результатов исследования. Основные результаты исследования внедрены в практику работы школ через монографию, учебно-методические пособия, методические рекомендации, научные статьи, доклады и тезисы, предназначенные научным сотрудникам, преподавателям, аспирантам и студентам педвузов и университетов, а также учителям математики. Работы опубликованы в Москве, С.-Петербурге, Великом Новгороде, Варшаве, Чебоксарах, Челябинске, Перми, Екатеринбурге, Уфе, Кирове, Архангельске, Казани, Самаре, Ростове-на-Дону, Твери, Тольятти, Костроме, Воронеже, Красноярске, Калуге, Тамбове и др.
На основе разработанных теоретических положений, конкретной методики и результатов выполненного исследования разработаны отдельные лекции по курсу теории и методики обучения математике, которые многие годы читаются студентам - будущим учителям математики и физики Новгородского государственного университета имени Ярослава Мудрого. Также разработан и читается студентам спецкурс «Современные педагогические технологии». Многие теоретические положения исследования и конкретная методика составили основу лекций для учителей различных предметов, директоров школ по формированию теоретических систем понятий, по их дальнейшему обобщению и систематизации, читаемых в многоэтапном цикле лекций в ОАОУ профессионального образования (повышения квалификации специалистов) в «Новгородском институте развития образования»; на курсах повышения квалификации учителей математики (гг. Великий Новгород, Старая Русса, Боровичи, Валдай, Пестово, Малая Вишера, Окуловка, Магнитогорск, Саратов, Уфа, Алматы, Элиста, Кокчетав).
Материалы диссертации обсуждались с ведущими специалистами страны в области дидактики, психологии, частных методик и многократно докладывались на научных и научно-практических конференциях международного, российского и регионального уровня: Москва (1990, 1994, 2000, 2001), Челябинск (1988-2009), Алматы (1990, 1992), Казань (1992), Воронеж (2003), Киров (1994, 2004, 2006, 2009), Вологда (2001, 2006), Тюмень (1991), Уфа (1989, 1990, 2000, 2005, 2007, 2008), Красноярск (1993), Саранск (1995, 1998), Тверь (1995, 2003, 2006), Архангельск (1985, 1987, 1999), Сыктывкар (1988), С.-Петербург (1984-1991, 1993, 1996-1998, 2004), Великий Новгород (1988, 1989, 1997, 2000), Брянск (1999), Тольятти (2003, 2005, 2007, 2009), Минск (1985-1988, 1992), Ульяновск (1991), Липецк (1993), Самара (2007), Пермь (2008), Чебоксары (2007-2009).
Результаты исследования также докладывались на научных семинарах Института математики и информатики Новгородского государственного университета имени Ярослава Мудрого, Башкирского государственного педагогического университета имени М. Акмуллы, факультета математики и информатики Вятского государственного гуманитарного университета, факультета педагогического образования Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.
Основные положения, выносимые на защиту:
-
Исходная идея и принципы разработки теоретических основ и методики формирования систем фундаментальных математических понятий. Идея заключается в том, что системно-структурная организация содержания систем фундаментальных понятий, отражающая адекватную структуру деятельности учителя и учащихся, повысит обобщенность и функциональность понятий в обучении, и продуктивность познавательной деятельности учащихся.
-
Концепция продуктивного формирования математических понятий и их систем в современном обучении (обоснованный отбор и структурирование понятийного содержания, повышение роли и значимости математического языка, функций понятий; выделение учебных задач, в ситуациях которых происходит овладение теоретически обобщенными структурами понятий, систем понятий).
-
Прогностическая модель целостного процесса формирования систем понятий в обучении математике, содержащая компоненты: содержательно-целевой, процессуально-деятельностный, контрольно-оценочный, оценочно-результативный и их взаимосвязи.
-
Структурно-содержательные модели систем понятий - как ориентиры организации учебно-познавательной деятельности учащихся.
-
Целостная методика формирования систем фундаментальных математических понятий и управление учебно-познавательной деятельностью учащихся по их овладению.
Общая методология формированияматематических понятии и их:систем в школьномкурсе математики
Математические, философские, психолого-педагогические, дидактические, методические исследования последних десятилетий [1, 39, 40; 4 Г,. 47, 49, 53, 54, 55, 70, 22, 24, 64, 66, 67, 82, 90, 157, 210, 220, 234, 238 и др.] показали, что математическое образование не сводится к передаче ученику базы готовых теоретических знаний. Главное — это раскрыть логико-гносеологическую природу математических знаний, механизмы и закономерности их возникновения, дальнейшего развития углубления- и последующей интеграции.
Отсюда вытекают проблемы, связанные с построением содержания школьного математического образования: 1. Не расширяя объема учебного материала дать учащимся.необходимый запас теоретических знаний; 2. Раскрыть логико-гносеологическую природу формируемых понятий; 3. Способствовать объединению понятий в системы (подсистемы), осуществлять дальнейшее развитие и совершенствование систем, объединяя их в более общие теоретические системы знаний. При таком подходе на первый план должны выдвигаться следующие компоненты: содержательно-целевой, процессуально-деятельностный, контрольно-оценочный и оценочно-результативный.
В содержании школьного математического образования и в содержании школьного предмета математики нами выделено три взаимосвязанных, взаимозависимых и взаимообусловленных блока: содержательный, логико-формирующий, дидактические и методические средства.
Прежде чем представить структуру содержательного блока, установим, что мы будем понимать под содержанием учебного материала.
Известные отечественные и зарубежные математики А.Д: Александров, А.И. Берг, B.F. Болтянский, Н.Я. Виленкин; Б.В. Гнеденко, А. Крыговская, М: Вертгеймер,.Д. Пойа, А.И. Маркушевич, Л:С. Понтрягин, И.Иі Баврин, В.Ф. Бутузов;, В:А. Садовничий, Н:Х. Розов, Г.П. Матвиевская, Г.Ю. Ризни-ченко, Е.М. Вечтомов и многие другие [7, 8, 24, 25, 39, 40, 41, 47, 53, 54, 72, 73, 45 341, 335, 191, 192, 193, 210, 211, 220, 52 и др.] под содержанием школьного предмета математики понимают теоретические знания: понятия и их определения, различные виды математических утверждений" (леммы и теоремы) и методы их доказательства: дедуктивный, аксиоматический, векторный, координатный, метод уравнений и неравенств, метод математического моделирования.
Логики и методологи науки, в частности, математической науки, М.Н. Алексеев, А.С. Арсеньев, И.В. Блауберг, Н.К. Вахтомин, Е.К Войшвилло, Д.П. Горский, B.C. Готт, В:А. Извозчиков, АЛ. Хинчин, Л.М. Фридман, Н.И. Кондаков, Ю.М; Колягин, П.А. Компанииц, И: Шуман, В. Феллер и др: под содержанием учебного материала понимают различные понятия [10, 16; 36, 48, 56, 57, 74, 75,77,103, 132, 315, 314, 128, 131, 144, 344, 345 и др.].
Отечественные и зарубежные дидакты Л.Д. Арестова, Л.Я1 Зорина, Ю.К. Бабанский, В.П. Беспалько, Дж. Брунер, В.В. Краевский, В.Ф. Паламарчук, Г.Д. Кириллова, А.К. Громцева, З.И. Калмыкова, Г.А. Китайгородская, H.H. Тулькибаева, А.В. Усова, В: Оконь, К. Коффка, Е. Голдинг, П.И . Пидка-систый и др. выдвигают принцип системности знаний. В качестве единицы содержания образования они предлагают рассматривать не отдельные понятия, а научные теории [15, 22, 33, 42, 79, 100, 101, 111, 119, 136, 177, 185, 186, 307, 310, 311, 342, 339 и др.].
Крупные отечественные и зарубежные психологи П.Я. Гальперин, Н.Ф. Талызина, Н.Г. Салмина, Л.Б. Ительсон, Л.В. Берцфаи, А.В. Брушлинский, В.В. Давыдов, А.З. Зак, А.К. Маркова, И.П. Калошина, Г. Клаус, Р: Клацки, Эг Стоуне в качестве объектов содержания- учебного предмета выделяют учебно-познавательные действия: подведение под понятие, выведение следствий из факта принадлежности объекта понятию, сравнение, обобщение и другие, которые включают в себя определенную систему теоретических знаний и обеспечивают применение этих знаний в заранее установленных границах [62, 63, 235, 237, 238, 221, 222; 84, 85, 43, 94; 107, ПО, 121, 122, 232 и ДР-] Наличие разных точек зрения на понятие «содержание учебного материала» показывает их правомерность, позволяющую-выделить в содержании школьного математического образования, а также в школьном предмете математики разные объекты: понятия и их определения; математические утверждения и методы их доказательства, научные теории, учебно-познавательные действия, а также различные родовидовые связи и отношения, которые объединяют эту совокупность в целостный единый.курс.
Анализируя, различные точки зрения о понятии «содержание учебного материала», и, учитывая специфику предмета математики, мы под содержанием учебного материала будем понимать: 1) теоретические знания и методы их получения, обоснования, развития и интеграции; 2) математические задачи и методы их решения; 3) различные взаимосвязи, существующие между теоретическими знаниями и математическими задачами. Выделенные аспекты представляют структуру содержательного блока. К теоретическим знаниям мы отнесли: математические понятия и их определения, системы математических понятий, математические утверждения (леммы, теоремы) и методы их доказательства.
Высшей формой математического мышления являются понятия, которые не могут существовать изолированно друг от друга. Они взаимосвязаны, взаимообусловлены, взаимозависимы.
Понятия школьного курса математики различны по содержанию, объему, структуре, по способам образования, развития и интеграции. Одни из них являются неопределяемыми (точка, прямая, плоскость), другие — общими, третьи — фундаментальными.
Концепция:формирования приемов по усвоению и применению понятий
Целостный процесс формирования понятий в обучении и его отдельные компоненты - предмет исследования дидактики и предметных методик. Поэтому вопросы формирования понятий в этих науках решаются прежде всего с опорой на научную теорию познания и педагогическую психологию. В теории обучения научные понятия рассматриваются как основной вид знаний, дидактическая единица содержания образования и процесса обучения (M.H. Скаткин, В.В. Краевский, Л.Я. Зорина, И.Я. Лернер, Л.Н. Ланда, З.И. Калмыкова, В. Оконь и др.) [116,136,100,151,147,111, 342 и др.].
В теории обучения основы формирования научных понятий складывались в период становления отечественных методик и дидактики (М.А. Данилов, Н.М. Верзилин, Н.М. Рыков, В.М. Брадис, СЕ. Ляпин, Е.С. Ляпин, П.А. Компанийц, В.И. Иванов и др.). В наиболее целостном виде дидактико-методические основы были разработаны в 50-70-е годы 20-го столетия ди-дактами-естественниками: А.В.Усовой, С.Г. Шаповаленко, Д.Х. Рубинштейном, М.В. Зуевой и другими.
Докторская диссертация А.В .Усовой «Влияние систем самостоятельных работ на формирование у учащихся научных понятий», выполненная в 1969 году - первое дидактическое исследование по проблеме формирования понятий у учащихся. Базируясь на теории познания, формальной логике и психологических концепциях Ю.А. Самарина, Н.А. Менчинской, Д.Н. Богоявленского, П.Я. Гальперина, а также на практике обучения в школе, А.В. Усова обстоятельно рассмотрела физические понятия как логико-гносеологическую категорию, проанализировала процесс их формирования в условиях школьного обучения, выделив и обосновав, в этом сложном и длительном во времени процессе 14 этапов. А.В. Усова раскрыла содержание многих физических понятий, выделила и представила закономерности процесса формирования понятий, выделила и обосновала совокупность дидактических средств и методов изучения понятий; разработала принципы и построила систему самостоятельной работы учащихся. Также ею выделены коэффициенты полноты усвоения содержания, объема понятий, определены уровни и критерии усвоения понятий. Последние широко использовались нами в исследовании проблемы формирования систем фундаментальных математических понятий. Заслуживает большого внимания точка зрения ученого, что при формировании понятий, при выделении критериев их сформиро-ванности, при установлении различных видов связей между понятиями не может быть использована какая-то одна психологическая концепция, ибо, односторонние пути формирования понятий, предложенные в разных психологических концепциях, часто не оправдывают себя в предметном обучении. Формирование естественнонаучных понятий может и должно идти разными путями [310]. Разработанные А.В. Усовой психолого-дидактические основы формирования естественнонаучных понятий нашли отражение и получили более глубокое развитие в её последних работах [311].
Второе крупное диссертационное исследование - это докторская диссертация Д.Х. Рубинштейна [214]. Данное исследование с позиции диалектического подхода и психологии мышления раскрывает дидактические основы формирования теоретического мышления школьников при усвоении фундаментальных естественнонаучных понятий (физических и химических). Фундаментальные понятия представляются как основная дидактическая единица содержания образования. В основе исследования фундаментальных физических и химических понятий - концепция смены логики структурирования содержания. Автором выделена и обоснована трёхэтапная структура процесса формирования естественнонаучных понятий, обеспечивающая трансформацию эмпирического мьппления в теоретическое. Первый этап формирования понятия строится по предметно - орудийному принципу, на втором этапе формирования используется логика объективной общности, на третьем этапе - логика сущностей общности. Дидактическая модель формирования понятий математически интерпретирована. Также в исследовании обоснованы условия и признаки сформированности понятий. Данное исследование привлекает нас интересным подходом к решению проблемы трансформации эмпирического мышления в теоретическое.
Следует отметить, что в области дидактики больше нет крупных исследований, посвященных непосредственно проблеме формирования понятий. Далее мы обратимся к дидактическим исследованиям, с: точки зрения раскрытия вопросов: структурирование содержания школьного образования/ (в том числе, математического), раскрытия логики учебного предмета.
М.А. Данилов отмечает: «Логика учебного предмета, отражающая, в конечном итоге логику соответствующей науки, — характеризуется системой-научных понятий, входящих в программу курса, строгой последовательностью их расположения и характером связей, существующих между ними» [87,с.42].
Значительное: большинство отечественных и. зарубежных дидактов (А.В. Усова, ЛІЯ! Зорина,Л.Б; Ительсон; М Н; Єкаткин, В!В1 Краевский- F.A. Китайгородская А.К. ІГромцева, Г.ИІ: Щукина, A.Ml охор; Вї конь, ГС.Д; Кириллова, И: Шуман и дрО5 [310, 311, 101, 107, 1X6; 228- 119 79; 327, 158; 159; 342, 118, 335, 344 и др.] при выполнении структурирования учебного материала приходят к единому мнению: учебный материал следует группировать вокруг ведущих идей и: теорий: курса; располагать в определенной? последовательности, котораяш; конечномштогеютражаетлогическую;структуру изучаемой научной дисциплины. Логическую основу для выполнения структурирования понятийного содержания дают исследования А.МІ.Єохора шВ. Оконя [228,229; 177, 342]. Этими; учеными детально разработаны и представлены структурные формулы учебного материала (учебник, тема, раздел, параграф); которые могут быть применены к различным предметам как школьного, так и вузовского курсов. На основе структурных формул учебного материала, нами сконструирована дидактическая модель, в которой заключена логика учебного содержания: темы, раздела, урока. Дидактическая модель представлена в нашем исследовании [343, с. 124-125].
Важными направлениями совершенствования процесса формирования понятий и их систем являются оптимизация и в особенности интенсификация процесса обучения, дидактические основы которых разработаны Ю.К. Бабан-ским [22, 23]. Интенсификация применительно к общему образованию - это ускоренное воспроизводство в обучении элементов культуры, общей и функциональной грамотности, заложенных в содержании образования вообще и математического, в частности. Анализ литературы [22, 42, 43, 48, 49, 148, 162,163,292] позволяет раскрыть суть интенсивного обучения.
Структурно-содержательные модели систем понятий — как ориентиры организации учебно-познавательной деятельности учащихся
Школьный математический язык - это язык математики, дидактически переработанный в соответствии с целями и содержанием общего математического образования, с учетом возрастных особенностей учащихся. Он направлен на усвоение понятий курса математики средней школы, на образование, воспитание и развитие учащихся. В отличие от языка математической науки, школьный математический язык упрощен, доступен для понимания учащимися, освобожден от сложных языковых конструкций; значительно упрощена и его символика.
С одной стороны, математический язык способствует свертыванию, обобщению и систематизации знаний по предмету, выделению его структуры, с другой — это важное условие воспитания и развития учащихся. Именно с его помощью приобретаются и передаются программные знания, формируются математические системы понятий, осваиваются разные способы мыслительной и учебно-познавательной деятельности, устанавливаются внутри-предметные и межпредметные связи, развивается мышление учащихся, формируется их научное мировоззрение.
Математический язык участвует в эмпирическом познании, но особенно велика его роль в теоретическом познании математики. Для теоретическо го обобщения знаний широко используют: опорные конспекты, обобщающие таблицы, схемы, учебные карты и др.
Условные знаки облегчают системное усвоение знаний, их внутри-предметный и межпредметный перенос. Математический язык оптимизирует процесс усвоения математики, активизирует мышление и творчество учащихся.
Умение оперировать языком математики и применять его в разных ситуациях, является критерием не только усвоения основ математики, но и формирования творческого мышления учащихся на уроках. Все действия с языком математики относятся к интеллектуальным, ибо, основаны на сравнении, анализе, обобщении, абстрагировании, кодировании информации.
Правильно сформированный язык математики — эффективное и удоб-ное средство утверждения единства многообразия и материальности мира, его диалектики.
Гносеологическая общность языка математики в научном познании и в обучении определяет единую методологию его формирования. «Язык - это форма существования знаний в виде системы знаков» [104, с Л 92]. Они помогают выяснить суть, значение и функции языка науки в познании окружающего мира, особенности его отражения в знаках, вооружают способами раскрытия стоящих за ними знаний. Своеобразие математического языка связано с содержанием и логикой математической науки.
Становление языка математики исторически связано с утверждением ее научных теорий, для описания которых он создавался. В истории и методологии математики достаточно четко выделены и охарактеризованы исторические этапы становления и тенденции развития математического языка, что помогает выделить и обосновать методические подходы к его изучению, этапы и особенности его формирования.
Важное место в деятельности учителя математики должна занять организация работы учащихся над языком учебного предмета. Язык учебного предмета должен стать таким же объектом изучения, как и любое его содержание, так как владение математическим языком, использованным в учебнике является решающим условием и средством формирования и развития математического мышления школьников.
Порой сам язык, как целостный объект, ускользает от понимания учащимися и причина этого, как указывает А.Д.Александров, - состоит в том, что, в частности, в алгебре: алгебраическое буквенное исчисление излагается как набор мало связанных между собой правил. Порой "языковой материал" предстает в фрагментарном виде, очень часто расчленяется без учета своей внутренней связности [8, с.5-36].
Причины слабого владения учащимися математическим языком следует искать в формальном усвоении; ими знаковых математических средств ив недостаточном внимании учителя к развитию речемыслительной деятельности школьников.
Как показал педагогический эксперимент, учитель, работая над формированием математического языка с учащимися, должен на первых порах соблюдать принцип последовательного перехода от терминов естественного языка к математическим терминам. Например, справедливо - истинно, показать - доказать и т.д.
Таким образом, в математическом плане важно осознать генетическую связь и подчиненность математического языка естественному. Функция отражения может быть выполнена им в тесной связи с естественным языком и другими формами логического познания. Из данного положения вытекают важные методические выводы: 1) о необходимости увязывать знак с объектами и явлениями окружающего мира; 2) о необходимости взаимосвязанного изучения всех компонентов языка математической науки.
Для обучения учащихся сознательному чтению математических текстов, учителю следует специально вести работу по уяснению учащимися смысла таких логических связок, как «И», «ИЛИ», «ЕСЛИ..., ТО», «ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА», «НЕОБХОДИМО», «ДОСТАТОЧНО» и т.п.
Следует обращать внимание учащихся на то важное обстоятельство, что употребление логических связок имеет свои особенности. Так, например, конъюнктивная связь в предложениях может выражаться не только союзом «И», но и другими словами и словосочетаниями: «а», «но», «хотя», «такие», «причем», «как..., так и» и т.д.
В математических текстах часто используются кванторы общности и существования (в настоящее время в школьном курсе математики эти кванторы символически не обозначаются), но присутствуют в виде слов: «для любого» и «существует». Учащимся, прежде всего, следует показать, что в математических текстах встречаются слова, имеющие достаточно близкий с кванторами смысл, Так, слова «каждый», «любой», «для всех» и т.п. имеют очевидный смысл квантора общности; признаком квантора существования часто являются слова «существует», «некоторый», «есть», «имеется» и др.
Учителю следует прежде всего избегать употребления языковых средств, допускающих неоднозначность толкования, а в случае их употребления на уроках, обязательно уточнять смысл оказанного.
Организация познавательной деятельности учащихся по оперированию математическим языком требует опоры на психологию переработки знаковой информации. Действия с условными знаками означают переход от эмпирического уровня познания к теоретическому. Усвоенный язык математики становится оператором логических действий, внутренним орудием психологической деятельности учащихся. Тезис об орудийной функции слова и условных знаков был впервые выдвинут и обоснован физиологами И.П. Павловым, И.М. Сеченовым [180,181] и психологом Л.С. Выготским [59, 60, 61].
Формирование системы понятий «Функции? и их исследование с помощью различных научных теорий» в. курсе математики средней школы
Первый этап - этап содержательной абстракции и обобщения. На данном этапе исследование свойств функций может быть осуществлено графическим методом, а отдельные свойства обоснованы и аналитически. Через специально подобранные типы конкретно-предметных задач, мы четко выделяли и доводили до понимания учащихся алгебраический, функциональный и логический аспекты, которые составляют общую основу процесса решения уравнений, неравенств и исследования свойств функций.
Выше было отмечено (Глава З, 3.4.), что в учебниках математики не только для девятилетней, но и средней школы графический метод исследования свойств функций фактически отсутствует, имеет место только графическая иллюстрация свойств, что негативно сказывается на знаниях учащихся.
Формирование теоретически обобщенного способа решения задач на исследование свойств функций графическим методом в экспериментальном обучении осуществлялось на основе использования диалектического метода.
Задание 1. Дана линейная функция у = kx + b (к 0, Ь 0). Построить график и выполнить исследование по графику: 1) найти область определения, 2) найти область значений; 3) найти нули (корни) функции; 4) установить промежутки монотонности (возрастания, убывания). Свойства 1-3 установить также аналитически.
В распоряжение учащихся давался общий способ действия по исследованию свойств функций графическим методом, который соответствовал ООД четвёртого типа [235, с. 93-94]. Этот способ затем отрабатывался на конкретно-предметных задачах. 1. Область определения - проекция графика функции на ось ОХ. 2. Область значений - проекция графика функции на ось ОУ. 3. Нули (корни) функции - абсциссы точек пересечения графика функции с осью ОХ. 4. Промежутки монотонности (возрастания): если х2 расположено правее Хі на рассматриваемом промежутке и при этом f(x2) расположёно выше f(xi). Аналогично определяется монотонность убывания.
Учащиеся должны понимать, что каждый из методов исследования свойств функций имеет свой понятийный аппарат и терминологию.
Первый этап можно считать завершенным, если учащиеся смогут: 1) исследовать линейную функцию графическим методом, подробно обосновывая каждую выполняемую операцию; 2) осуществлять переходы от геометрических образов к соответствующим аналитическим фактам и наоборот; 3) конструировать линейную функцию, обладающую указанными свойствами.
Второй этап — этап восхождения от абстрактного к конкретному. На данном этапе осуществлялось исследование процессов действительности с помощью линейной функции и линейного уравнения, а также конструирование прикладных задач по заданным математическим моделям.
Генетический уровень в формировании понятия линейной функции можно считать завершенным, если учащиеся при полной самостоятельности смогут: 1) исследовать линейную функцию графическим и аналитическим методами; 2) моделировать и исследовать процессы действительности.
При формировании понятия линейной функции по типу теоретического обобщения на каждом из представленных уровней осуществлялось формирование и дальнейшее развитие действий контроля и оценки.
В формировании действия контроля выделено: 1) контроль по конечному результату, 2) пооперационный контроль: ученик не только убеждается в том, придерживается ли он при выполнении действия принятого образца, но и еще раз осмысливает применяемый способ действия — его ориентировочную основу [235].
Учебное действие оценки можно считать сформированным на данном этапе деятельности, если учащиеся смогут: 1) обнаружить ошибки в предложенных решениях; 2) соотнести свои мыслительные и познавательные операции с соответслжующими операциями других учеников и сделать обоснованные выводы.
Таким образом, на каждом из представленных уровней имело место органическое сочетание образного и логического компонентов информации, что обеспечивало прочное, осознанное и глубокое их усвоение учащимися, создавало определенные условия для методологического анализа данного понятия в науке и реализации концепции развивающегося понятия, системы понятий в практике обучения [15,17,37,38, 60, 75,66,213,223,329,330].
По мере того, как у учащихся 7-8ш классов формировались различные виды функций, уравнений, неравенств, тождеств, методы их исследования.; решения, доказательства и при этом осуществлялось обобщение на содержательной и логической основах, а также путем установления подчиненности вида роду (в случае сопоставимых понятий), — происходило постепенное образование системы понятий о функциях, их исследование и установление межсистемных связей, в частности, с системой понятий «Уравнения и неравенства».
