Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ФОРМИРОВАНИЯ КУЛЬТУРЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ РЕЧИ УЧАЩИХСЯ В ПРОЦЕССЕ ОБУЧЕНИЯ АЛГЕБРЕ И НАЧАЛАМ АНАЛИЗА 16
1.1. Роль и место языка в обучении математике 16
1.2. Основные направления формирования культуры математической речи учащихся в процессе обучения математике 40
1.3. Характеристика особенностей языка школьного курса алгебры и начал анализа 72
Выводы по главе 1 87
ГЛАВА II. СОДЕРЖАНИЕ И МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ ФОРМИРОВАНИЯ КУЛЬТУРЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ РЕЧИ УЧАЩИХСЯ В ПРОЦЕССЕ ОБУЧЕНИЯ АЛГЕБРЕ И НАЧАЛАМ АНАЛИЗА 89
2.1. Комплекс заданий по алгебре и началам анализа, направленный на формирование культуры математической речи учащихся 89
2.2. Содержательный и процессуальный компоненты методики формирования культуры математической речи учащихся в процессе обучения алгебре и началам анализа 112
2.3. Организация, проведение и результаты педагогического эксперимента 143
Выводы по главе II 160
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 162
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ
ЛИТЕРАТУРЫ 165
- Роль и место языка в обучении математике
- Комплекс заданий по алгебре и началам анализа, направленный на формирование культуры математической речи учащихся
- Содержательный и процессуальный компоненты методики формирования культуры математической речи учащихся в процессе обучения алгебре и началам анализа
Введение к работе
В последние годы произошли и продолжают происходить коренные изменения во всех сферах общественной жизни России. Изменения в системе общественных отношений активно воздействуют на образование, требуют от него адекватного ответа на задачи, поставленные перед ним на новом этапе развития страны. В Концепции модернизации российского образования до 2010 года сказано: «Роль образования на современном этапе развития России определяется задачами ее перехода к демократическому и правовому государству, к рыночной экономике, необходимостью преодоления опасности отставания страны от мировых тенденций общественного развития... Школа - в самом широком смысле - должна стать важнейшим фактором гуманизации общественно-экономических отношений, формирования жизненных установок личности» [66, с. 5]. Между тем современная система образования далеко не в полной мере соответствует запросам общества. В этих условиях обновление общеобразовательной школы становится объективной необходимостью.
Среди основных направлений совершенствования школьного образования важное место занимает его гуманитаризация. В последнее десятилетие вопросы гуманитаризации школьного образования, в том числе математического, были детально разработаны Г.В. Дорофеевым [43], Т.А.Ивановой [49], А.Г. Мордковичем [89], Г.И.Саранцевым [104], Е.В. Шикиным [130] и рядом других авторов.
Под гуманитаризацией образования Т.А. Иванова понимает «процесс, направленный на усвоение личностью гуманитарного знания, гуманитарного потенциала каждой изучаемой области знаний, на присвоение личностью общественно значимых ценностей» [49, с. 32]. Гуманитарное знание включает в себя, прежде всего, гуманитарную культуру, компонентами которой являются культура мышления, культура чувств, культура языка и речи, культура общения и поведения, культура общественно-исторического самосознания.
Гуманитаризация образования предполагает выдвижение на первый план развивающей функции обучения. С точки зрения приоритета развивающей функции знания рассматриваются не столько как цель обучения, сколько как база для формирования личности учащегося. Основная задача гуманитаризации образования - сделать общественно значимые ценности любого вида образования (в том числе математического) личностно значимыми. На сегодняшний день самой приемлемой моделью образования, позволяющей решать эту сложнейшую задачу, является личностно ориентированное образование. Наиболее полно принципы личностно ориентированного образования представлены в работах Е.В. Бондаревской [11], В.В. Серикова [107], И.С. Якиманской [132].
Сущность гуманитаризации математического образования можно выразить одной фразой - она является целью и средством целостного развития личности средствами математики [49]. Математика как наука обладает значительным гуманитарным потенциалом. Еще более высоким гуманитарным потенциалом, как отмечает Г.В. Дорофеев [43], обладает соответствующий учебный предмет. Гуманитарный потенциал математики связан, прежде всего, с методологией научного поиска в математике и с историей математики. Он включает в себя ведущие идеи и понятия математики, связь с другими науками и практикой (математическое моделирование), методы научного познания, специфику творческой математической деятельности, культуру мышления, математический язык.
При гуманитарной ориентации обучения математике язык математики выступает в качестве одной из главных целей обучения. Знакомство с ним является мощным средством развития личности. Еще А. Гумбольдт говорил, что «изучение нового языка подобно приобретению новой точки зрения в прежнем миропонимании» [129]. Обучение математике, наряду с обучением русскому языку, играет большую роль в формировании у учащихся языковой культуры. B.C. Леднев [72] прямо относит обучение математике, наравне с обучением родному языку, к коммуникативной подготовке школьников.
Такой подход к математике особенно важен применительно к старшим классам. Это обусловлено тем, что количество часов, отведенных на обучение учащихся русскому языку, по сравнению со средним звеном школы, в 10-11 классах либо уменьшается, либо обучение старшеклассников русскому языку не ведется вообще.
Заметим, что с понятием «языковая культура» тесно связано понятие «культура речи», что обусловлено близостью таких психологических категорий, как «язык» и «речь». Более того, соответствующие термины часто употребляются как синонимы. Вопрос о соотношении этих понятий рассматривается в первой главе диссертации.
Наряду с тем, что язык математики является целью обучения, он, в то же время, представляет собой средство обучения математике, так как позволяет раскрыть содержание и смысл математических понятий. Многие педагоги и методисты отмечают [9, 10, 18, 24, 28, 35, 43, 52, 89, 90, 119], что серьезные недостатки в математической подготовке учащихся определяются их недостаточной языковой культурой и даже неграмотностью. Это проявляется в неумении установить отношения между содержанием математического факта и его внешним выражением (семантические отношения), между математическими знаками (синтаксические отношения), в неумении адекватно понять или выразить содержащуюся в том или ином предложении информацию, причем это касается как естественного языка, так специфического математического языка.
С низкой языковой культурой связан формализм математических знаний учащихся. «Для всех проявлений формализма, - писал А.Я. Хинчин, -характерно неправомерное доминирование в сознании и памяти учащихся привычного внешнего (словесного, символического или образного) выражения математического факта над содержанием этого факта» [119, с. ПО]. Формализм всегда был и сейчас остается одним из самых тяжелых недостатков математической подготовки учащихся. Этот недостаток почти в равной мере препятствует достижению всех целей, которые ставит перед собой обучение математике в школе. Очевидно, что преодоление формализма знаний невозможно без повышения уровня языковой культуры школьников, а значит, и без повышения уровня культуры их речи вообще, и математической речи в частности.
Традиционно проблемой формирования культуры речи занимаются специалисты в области русского языка, а также теории и методики обучения русскому и иностранным языкам. Можно перечислить огромное число работ как теоретического, так и практического характера, посвященных тем или иным вопросам формирования культуры речи. Приведем лишь некоторые из них. Это исследования Ю.А. Бельчикова [8], А.Н.Васильевой [16], Б.Н.Головина [31], Ф.К. Гужвы [36], Г.Н. Приступы [98], Л.И. Скворцова [108], В.В. Соколовой [112] и др.
Однако указанная проблема на протяжении многих десятилетий была в центре внимания не только специалистов по русскому языку, но также и математиков, и специалистов по методике математики. В разное время проблемой формирования культуры речи учащихся при обучении математике занимались И.А. Гибш [24], Б.В. Гнеденко [28], Я.И. Груденов [35], Дж. Икрамов [52], А.Г. Мордкович [89], А.Я. Хинчин [119] и др. Они рассматривали развитие речи в процессе обучения математике в тесной связи с формированием культуры мышления.
И.А. Гибшу [24] принадлежат ставшие уже классическими исследования по развитию речи школьников при обучении математике. До настоящего времени большую ценность представляют как его методические рекомендации по развитию речи, так и данная им классификация ошибок и недочетов, наблюдающихся в устной и письменной математической речи учащихся. Б.В. Гнеденко [28] и А.Я. Хинчин [119] исследовали указанную проблему как часть общей проблемы преодоления формализма математических знаний. Определенный интерес представляет также исследование Я.И. Груденова [35], который рассматривал методику развития речи учащихся при обучении математике преимущественно в аспекте организации работы учителя. Дж. Икрамов [52] подробно анализировал языковой аспект формирования математической культуры школьников. А.Г. Мордкович [89] говорит о развитии речи на уроках математики как об особой цели математического образования, что нашло отражение в разработанных под его руководством учебно-методических комплектах по алгебре для 7-11 классов.
Исследования по проблеме формирования культуры речи учащихся при обучении математике нельзя рассматривать в отрыве от исследований, касающихся вопроса о роли языка, прежде всего, математического, при обучении математике. Этой научной проблеме посвящены работы многих ученых. Так, Г.В.Дорофеев [43] рассматривает коммуникативный аспект гуманитарно-ориентированного курса математики и обсуждает, в связи с этим, строгость реального языка математики, которым пользуются в процессе обучения школьники, учителя и авторы школьных учебников. A.M. Сохор [114] исследовал особенности языка обучения математике (и не только математике) с точки зрения их влияния на понимание учащимися и учителем друг друга в ходе обучения, на понимание учащимися текста учебника.
Однако большая часть исследований в этой области посвящена отдельным компонентам математического языка и их роли в обучении. Особенно много работ посвящено методике работы с символикой, терминологией, определениями и теоремами школьного курса математики. Ограничимся здесь несколькими примерами. В.Г. Болтянский [9, 10] и А.А. Столяр [116] обсуждают возможность использования логической символики и элементов логического языка в обучении математике. В книге Дж. Икрамова [52] представлен обширный материал по работе с символикой и терминологией. Н.Я. Виленкин с соавторами [18] посвятил известную и часто цитируемую статью определениям в школьном курсе математики и методике работы над ними. Среди фундаментальных трудов, посвященных актуальным вопросам теории и методики обучения учащихся доказательству теорем, наиболее близким к нам по времени создания, является монография В.А. Далингера [38].
Имеется также ряд диссертационных исследований, в которых затронуты отдельные аспекты формирования языковой или речевой культуры учащихся при обучении математике. Это работы Н.А. Егоровой [45], В.Г. Ежковой [46], Л.В. Лобановой [78], Е.А. Рудаковой [101] и др.
Несмотря на то, что существует достаточно большое число работ, посвященных как общим вопросам развития речи учащихся, так и рассматривающих отдельные аспекты формирования культуры речи при обучении математике, имеется совсем немного работ, всесторонне исследующих потенциальные возможности конкретных разделов школьного курса математики в формировании культуры речи учащихся. В качестве исключения можно назвать, из уже упомянутых, диссертационное исследование Е.А.Рудаковой [101], в котором она изучает возможности совершенствования математического образования младших школьников посредством языковой работы, и диссертационное исследование Л.В. Лобановой [78], в котором рассматриваются методические особенности формирования коммуникативно-речевых умений младших школьников в процессе обучения математике. В большинстве же случаев авторы ограничиваются приведением примеров из разных разделов школьной математики, причем чаще всего встречаются примеры из математики 1-6 классов или геометрии, реже - из курса алгебры неполной средней школы, и уже совсем редко - из алгебры и начал анализа.
Таким образом, приходится констатировать, что материал алгебры и начал анализа оказался наименее востребованным с точки зрения реализации его потенциала при работе по формированию культуры математической речи учащихся. Можно назвать всего несколько работ, имеющих хотя бы опосредованное отношение к теме данного диссертационного исследования. Так, в диссертации В.А. Илякова [53] рассмотрена методика использования логико-математических понятий при обучении алгебре и началам анализа.
П.Г. Сатьянов [105] разработал методику использования задач графического содержания при обучении алгебре и началам анализа, основанную на представлении о процессе решения задачи как о преобразовании входной информации (условия задачи) с одного подъязыка языка обучения на другой подъязык. Ш.М. Вакилов [14] рассматривал владение учащимися математическим языком в качестве одного из критериев развития их математического мышления и выделял уровни мыслительной деятельности, соответствующие уровням владения языком.
Отметим еще один важный аспект проблемы формирования культуры математической речи старшеклассников, связанный с введением обязательного Единого государственного экзамена (ЕГЭ) по математике. Контрольно-измерительные материалы для ЕГЭ по математике включают, с одной стороны, задания с развернутым ответом, выполнение которых требует от учащихся умений достаточно подробно объяснять решение, строить связный математический текст. При этом такими умениями обладает меньшая часть старшеклассников. С другой стороны, выполняя задания с выбором ответа и с кратким ответом, учащиеся должны записывать решение на черновике максимально коротко, чтобы сэкономить потраченное на выполнение этих заданий время, что также предполагает наличие у них определенных умений и навыков. Таким образом, одним из условий успешной сдачи ЕГЭ по математике является высокий уровень сформированности культуры математической речи старшеклассников.
Все вышеизложенное свидетельствует об имеющем место противоречии между существующей объективной потребностью в научно обоснованной методике формирования культуры математической речи учащихся при обучении алгебре и началам анализа и ее фактическим состоянием. Необходимость разрешения этого противоречия определяет актуальность проблемы исследования, которая состоит в изыскании методических возможностей формирования культуры математической речи учащихся в процессе обучения алгебре и началам анализа.
Целью настоящего исследования является теоретическое обоснование методики формирования культуры математической речи учащихся в процессе обучения алгебре и началам анализа.
Объектом исследования является процесс обучения алгебре и началам анализа в общеобразовательной школе.
Предметом исследования является процесс формирования культуры математической речи старшеклассников при обучении алгебре и началам анализа.
При решении поставленной проблемы мы исходили из гипотезы о том, что если в процессе обучения алгебре и началам анализа использовать комплекс математических заданий, направленный на формирование базовых коммуникативных качеств математической речи учащихся;
систематически включать в структуру урока диалоговые формы взаимодействия между учителем и учащимися и между учащимися;
систематически использовать монологическую речь (объяснения) учителя в качестве образца для устной и письменной математической речи учащихся;
систематически организовывать самостоятельную работу учащихся с письменными обучающими математическими текстами;
осуществлять мониторинг динамики сформированности культуры математической речи учащихся,
то в совокупности это обеспечит повышение уровня сформированности культуры математической речи учащихся.
Для реализации поставленной цели и подтверждения выдвинутой гипотезы необходимо решить следующие задачи:
1. Выявить психолого-педагогические основы формирования культуры математической речи учащихся в процессе обучения математике.
Опираясь на анализ текстов школьных учебников алгебры и начал анализа, выявить особенности языка школьного курса алгебры и начал анализа.
Разработать комплекс заданий, направленный на формирование культуры математической речи учащихся в процессе обучения алгебре и началам анализа.
Разработать методику оценки уровня сформированности культуры математической речи учащихся.
Разработать методику формирования культуры математической речи учащихся в процессе обучения алгебре и началам анализа и проверить ее эффективность в ходе педагогического эксперимента. Теоретико-методологическую основу исследования составили концепции гуманизации и гуманитаризации математического образования (Г.В. Дорофеев, Т.А. Иванова, Г.И. Саранцев и др.), личностно ориентированного образования (Е.В. Бондаревская, В.В. Сериков, И.С. Якиманская и др.); исследования философов, психологов, филологов и лингвистов по проблемам языка и речи (Л.С. Выготский, Б.Н. Головин, В.В. Ким, С.Л. Рубинштейн и др.); работы по проблеме понимания обучающих текстов (Л.П. Доблаев, Я.А. Микк, A.M. Сохор и др.); труды специалистов в области теории и методики обучения математике (И.А. Гибш, Дж. Икрамов, А.Г. Мордкович, А.А. Столяр, Л.М. Фридман, А.Я. Хинчин и др.).
При решении задач исследования использовались следующие методы:
изучение и анализ философской, психолого-педагогической, лингвистической и методической литературы по теме исследования;
анализ государственных образовательных стандартов, школьных программ и текстов учебных пособий по алгебре и началам анализа;
наблюдение за обучающей деятельностью учителей и учебно-познавательно.ч деятельностью учащихся при обучении алгебре и началам анализа, беседы с учителями и учащимися, их тестирование и анкетирование;
изучение и анализ письменных работ учащихся 10-11 классов по алгебре и началам анализа;
проведение педагогического эксперимента и обработка его результатов средствами математической статистики.
Этапы исследования. Исследование проводилось с 2001 по 2005 гг. в несколько этапов.
На первом этапе (2001 - 2002 гг.) осуществлялся анализ общей и специальной литературы с целью выявления и теоретического обоснования психолого-педагогических основ формирования культуры математической речи старшеклассников в процессе обучения алгебре и началам анализа; проводился констатирующий эксперимент.
На втором этапе (2002 - 2003 гг.) уточнялись объект, предмет, цель, задачи исследования, формулировалась научная гипотеза; разрабатывались комплекс заданий и основные положения экспериментальной методики; в ходе поискового эксперимента апробировались возможные варианты использования разработанных методических материалов с целью выбора наиболее эффективных методических решений в аспекте проблемы исследования; осуществлялся выбор базы и определялся план обучающего эксперимента.
На третьем этапе (2003 - 2005 гг.) проводился обучающий эксперимент, изучались и обрабатывались его результаты, формулировались выводы исследования, оформлялся текст диссертации.
Научная новизна проведенного исследования состоит в том, что выявлены средства курса алгебры и начал анализа, обеспечивающие формирование культуры математической речи старшеклассников, и определены особенности их реализации в учебном процессе.
Теоретическая значимость исследования:
выделены базовые коммуникативные качества математической речи (правильность, логичность, точность уместность), определено содержание этих качеств и охарактеризованы уровни их сформированности;
определены сущность и структура обучающей деятельности учителя и учебно-познавательной деятельности учащихся, обеспечивающих формирование культуры математической речи при обучении алгебре и началам анализа;
определены требования к комплексу заданий, направленному на формирование культуры математической речи учащихся в процессе обучения алгебре и началам анализа, разработана структура этого комплекса.
Практическая значимость исследования:
разработан комплекс заданий по алгебре и началам анализа, направленный на формирование культуры математической речи учащихся;
разработана методика оценки уровня сформированности культуры математической речи учащихся, основанная на оценке уровня сформированности базовых коммуникативных качеств математической речи;
на основе выделенных направлений работы по формированию культуры математической речи учащихся в процессе обучения математике и с учетом специфики курса алгебры и начал анализа разработана методика обучения алгебре и началам анализа, нацеленная на формирование культуры математической речи старшеклассников. Разработанная методика формирования культуры математической речи учащихся, комплекс заданий по алгебре и началам анализа, а также методика оценки уровня сформированности культуры математической речи учащихся могут быть использованы учителями математики общеобразовательных школ при обучении старшеклассников алгебре и началам анализа, преподавателями вузов при обучении математике студентов гуманитарных и естественнонаучных специальностей, а также преподавателями и студентами педагогических вузов при проведении спецкурсов и спецсеминаров, при выполнении курсовых и выпускных квалификационных работ по теории и методике обучения математике.
Достоверность и обоснованность результатов исследования обеспечиваются опорой на фундаментальные положения современной психологии, педагогики и методики обучения математике; использованием методов, адекватных задачам исследования; проведенным педагогическим экспериментом и статистической обработкой его результатов.
Апробация и внедрение результатов исследования. Основные положения диссертационного исследования докладывались и обсуждались на Межрегиональной научно-практической конференции (Иркутск, 2003 г.), Международной научной конференции (Тольятти, 2003 г.), Всероссийской научной конференции (Хабаровск, 2004 г.), Межвузовской научно-практической конференции (Омск, 2005 г.), на заседаниях кафедры теории и методики обучения математике ОмГПУ (2003 - 2005 гг.). Практическая апробация основных положений и результатов исследования осуществлялась в ходе экспериментальной работы, в которой принимали участие учителя математики старших классов школ №1, №5, №31 г. Ишима, Ишимского городского общеобразовательного лицея и школы №20 г. Тюмени. В настоящее время учебно-методические материалы, разработанные в процессе исследования, используются в этих и ряде других школ Тюменской области при обучении старшеклассников алгебре и началам анализа.
По теме исследования имеется 10 публикаций, в том числе одно методическое пособие.
На защиту выносятся следующие положения:
1. Культура математической речи характеризуется совокупностью взаимосвязанных коммуникативных качеств математической речи, причем уровень ее сформированности может быть оценен по сформированности четырех базовых коммуникативных качеств математической речи: правильности, точности, логичности и уместности.
Формирование культуры математической речи учащихся в процессе обучения алгебре и началам анализа представляет собой целостный процесс, основу которого составляют формирование навыков письменной и устной математической речи, навыков работы с письменным обучающим математическим текстом, навыков восприятия устной математической речи, навыков диалогового взаимодействия с учетом специфики предметного содержания и особенностей языка школьного курса алгебры и начал анализа.
Работа по формированию культуры математической речи старшеклассников в процессе обучения алгебре и началам анализа предполагает создание и реализацию соответствующей методики, содержательную основу которой образует комплекс заданий по алгебре и началам анализа, включающий следующие типы заданий: задания, предназначенные для работы с терминологией, символикой и графическими изображениями курса алгебры и начал анализа; задания, предназначенные для работы со словесно-логическими конструкциями языка школьного курса алгебры и начал анализа; задания, предназначенные для работы с письменными обучающими текстами по алгебре и началам анализа.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, библиографического списка использованной литературы (132 наименования) и приложений (10). Текст диссертации содержит 15 таблиц и 30 рисунков.
Роль и место языка в обучении математике
В Философском энциклопедическом словаре дается следующее определение языка: «Язык - это система знаков, служащая средством человеческого общения, мышления и выражения. Звуковой язык является естественной системой знаков — в отличие от искусственных языков, специально создаваемых в науке, искусстве и т. д.» [117, с. 783].
Специфической особенностью человеческого языка является наличие в нем высказываний о самом языке, что обусловливает способность языка к самоописанию и описанию других знаковых систем. Другой особенностью языка является его членораздельность, внутренняя расчленённость высказываний на единицы разных уровней (словосочетания, слова, морфемы, фонемы). Это позволяет ему строить тексты — сложные знаки, обладающие развитой системой модальности, временной мерой (разделением прошлого, настоящего и будущего) и выражением лица [117].
В специальной литературе, кроме данного выше определения, встречается большое количество других определений языка, имеющих иногда принципиальные отличия друг от друга. Тем не менее, как показывает в своем исследовании Н.Г. Салмина [103], можно выделить два основных подхода к понятию «язык», различающихся объектом исследования и способом анализа:
1) Лингвистический подход - структурно-функциональный способ исследования языка как системы, включая ее разные уровни (фонетика, морфология, синтаксис и др.). Этот подход ограничивает объект исследования естественным языком, то есть анализирует его в собственном смысле как язык звуковой, язык слов. 2) Семиотический подход (семиотика - теория знаковых систем) отличается направленностью на изучение свойств систем знаков, каждому из которых определенным образом сопоставлено некоторое значение. Такой подход можно охарактеризовать как направленность на исследование связи знака и значения. При семиотическом подходе к знаковым системам подчеркивается первичность естественного языка как основы коммуникации и сотрудничества для всех языков, зависимость всех искусственных знаковых систем от естественного языка.
Для семиотического подхода характерно выделение трех уровней исследования языка: 1) синтаксический - изучение синтаксиса языка, то есть структуры сочетаний знаков и правил их образования и преобразования;
2) семантический - изучение языка как средства выражения смысла;
3) прагматический - изучение отношения между знаковыми системами и теми, кто воспринимает, интерпретирует и использует содержащиеся в них сообщения.
Под знаком в самом широком смысле понимается материальный предмет (явление, событие), выступающий в качестве представления некоторого другого предмета, свойства или отношения и используемый для приобретения, хранения, переработки и передачи сообщений (информации, знаний). Различают языковые и неязыковые знаки. Языковые знаки не функционируют независимо друг от друга, а образуют систему [117].
В философии и традиционной логике значение знака обычно отождествляется со смыслом. В этом случае значением (смыслом) знака называется обозначаемый им предмет или класс предметов. Однако существуют теории, согласно которым понятия значения и смысла различают.
Одной из первых по времени возникновения была теория значения имен Г. Фреге и А. Черча, разработанная в рамках позитивизма -философского течения рубежа XIX и XX веков. Фреге проводил различие обозначаемого некоторым языковым выражением объекта («значения») и заключенной в этом выражении содержательной информации об объекте («смысла»). Одному и тому же объекту - значению - соответствует в языке определенная область лингвистических вариаций - смыслов. Смысл языкового выражения составляет заключенная в нем информация [62].
Например, смысл выражения «Наименьший из действительных корней уравнения х —5х +1 = 0» ясен, хотя мы и не знаем формулы для решения уравнения пятой степени и, возможно, это уравнение вообще не имеет действительных корней.
Большинство современных психологов, занимающихся проблемами психологии смысла, также различают понятия значения и смысла. Так, Д.А. Леонтьев [75] отмечает, что эти понятия, с одной стороны, не могут быть противопоставлены друг другу, между ними нельзя даже провести определенной границы. С другой стороны, они имеют качественные отличия: смысл более субъективен, чем значение; смысл - это, прежде всего, личностный смысл. По выражению А.А. Леонтьева «только мое отношение к значению (или к предмету как к значению) сообщает значению (предмету) смысл: смысл и есть «значение для меня значения» [73, с. 325].
Комплекс заданий по алгебре и началам анализа, направленный на формирование культуры математической речи учащихся
На основе требований, сформулированных в первой главе диссертации, нами был разработан комплекс заданий по алгебре и началам анализа, направленный на формирование культуры математической речи старшеклассников. При разработке этого комплекса был использован ряд учебных пособий, пособий для учителя и задачников по алгебре и началам анализа [5, 6, 15, 17, 22, 37, 47, 50, 51, 56, 58, 81, 102, 128].
Эффективность использования приведенного ниже комплекса заданий была проверена экспериментально.
Комплекс заданий можно представить в виде трех взаимосвязанных компонентов:
I. Задания, предназначенные для работы с терминологией, символикой и графическими изображениями курса алгебры и начал анализа:
- запись математических предложений (или отдельных терминов) с использованием символики;
- чтение символических записей;
- объяснение значения (или смысла) терминов, символов и символических выражений;
- преобразование символических выражений;
- переход от символической (словесной) формы обозначения к графическому изображению;
- переход от графической формы обозначения к словесно-символической форме («чтение» графических изображений);
- терминологический диктант.
Задания этой группы направлены, прежде всего, на формирование навыков правильной устной и письменной математической речи учащихся. Они также вносят вклад в работу по формированию таких качеств речи, как точность и ясность. Рассмотрим примеры, иллюстрирующие указанные типы заданий, отметим некоторые методические особенности работы с ними и, там где это необходимо, приведем образцы выполнения заданий.
Запись математических предложений (или отдельных терминов) с использованием символики.
Предложения (или термины), которые необходимо записать символически, могут быть предъявлены учащимся в письменной форме, а могут читаться вслух учителем.
Пример 1. Запишите следующие предложения с помощью принятой системы обозначений: а) Предел функции у = f(x) при х, стремящемся к 1, равен - 5; б) Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания степени.
Ответ: a) \imf(x) = -5; б) loga xr = г loga х.
Чтение символических записей.
я Пример 2. Прочтите запись: \s(x)dx.
р Ответ: Прочитать эту символическую запись можно двумя способами: «интеграл от р до q эс от икс дэ икс» или «определенный интеграл от функции у = s(x) по отрезку \р; q]».
К указанному типу можно отнести и такие задания, в которых требуется дать ответ не в устной, а в письменной форме. Очевидно, что в этом случае ответ следует записывать вторым способом.
Следует учитывать, что без знания сути, смысла математических понятий истолкование символических записей словами (и наоборот) может быть только формальным, не отражающим уровень достаточного понимания. Тем не менее, как показал эксперимент, правильное выполнение таких заданий в какой-то степени свидетельствует о понимании материала учащимися.
Объяснение значения (или смысла) терминов, символов и символических выражений.
Задания этого типа можно использовать как при повторении изученной темы или нескольких тем, так и при формировании у учащихся того или иного математического понятия.
Пример 3. Объясните значение следующих терминов: числовая последовательность, ограниченная последовательность, монотонная последовательность, предел последовательности.
Приведенное в качестве примера задание предлагалось учащимся после изучения ими темы «Числовые последовательности. Предел числовой последовательности» по учебнику А.Г. Мордковича [88]. В данном случае мы включили в список всего четыре термина, понимание значения которых свидетельствует о понимании значения других терминов, используемых в теме. Разумеется, можно добавить в этот перечень и остальные термины, изученные учащимися, а именно: ограниченная сверху (снизу) последовательность, возрастающая (убывающая) последовательность, сходящаяся (расходящаяся) последовательность, окрестность точки. Однако, как свидетельствуют результаты педагогического эксперимента, включение в список только ключевых терминов темы более целесообразно. Действительно, объясняя, например, значение термина «монотонная последовательность», учащиеся вынуждены обращаться к объяснению терминов «возрастающая последовательность» и «убывающая последовательность», что способствует формированию у старшеклассников умения строить связный рассказ (пусть и небольшой), а также лучшему пониманию связей между понятиями курса алгебры и начал анализа.
Содержательный и процессуальный компоненты методики формирования культуры математической речи учащихся в процессе обучения алгебре и началам анализа
Рассмотренный в параграфе 2.1 комплекс заданий образует содержательную основу методики формирования культуры математической речи старшеклассников в процессе обучения алгебре и началам анализа. Предлагаемые нами задания не только способствуют повышению уровня сформированности культуры математической речи школьников, но и позволяют преодолеть многие трудности, возникающие у них в процессе освоения математического языка и предметного содержания алгебры и начал анализа в целом.
Остановимся на методических особенностях обучения отдельным темам курса алгебры и начал анализа, связанных с использованием описанных в предыдущем параграфе типов заданий.
Обучающий эксперимент показал, что все рассмотренные типы заданий могут быть использованы при работе с каждой темой курса алгебры и начал анализа. Хорошей иллюстрацией тому служат приведенные в параграфе 2.1 примеры, относящиеся практически ко всем темам курса. Тем не менее, необходимо сделать два важных замечания.
Во-первых, каждая тема имеет свои особенности, определяющие, насколько часто могут быть использованы при ее изучении те или иные типы заданий. К этим особенностям относятся: число новых для учащихся терминов, символов и обозначений; число определений математических понятий; способы определения математических понятий; число математических утверждений; сложность логической структуры определений и теорем; типы задач, которые традиционно решаются при изучении данной темы. Кроме того, следует учитывать, что изложение одной и той же темы в разных учебниках, как было показано в параграфе 1.3, характеризуется различиями в языке этого изложения.
Во-вторых, не все понятия и теоремы в курсе алгебры и начал анализа играют одинаковую роль. Некоторые понятия и теоремы являются более значимыми (например, основные понятия алгебры и начал анализа), чем другие. Необходимо также иметь в виду, что значительная часть учебного времени должна быть использована учителем на достижение требований к знаниям, умениям и навыкам школьников, определенных образовательным стандартом, причем многие из этих требований напрямую не связаны с речевыми умениями и навыками. Поэтому время, которое учитель может посвятить заданиям, предназначенным для работы по формированию культуры математической речи учащихся, ограничено, несмотря даже на то, что предложенный нами комплекс заданий достаточно хорошо интегрирован с содержанием уроков алгебры и начал анализа (об этом свидетельствуют результаты экспериментальной работы). Из сказанного вытекает, что в качестве основы для таких заданий целесообразно использовать наиболее важные определения и теоремы. Естественно, это не исключает того, что основой для заданий могут служить любые другие определения и математические утверждения, встречающиеся в курсе алгебры и начал анализа.
Приведем примеры, иллюстрирующие сделанные нами замечания.
1. В процессе изучения темы «Производная и ее применения» по учебнику [2] учащиеся знакомятся с большим числом новых терминов и соответствующих им символических обозначений (Ах, Ay, / (х) xmin, xmax, .Утіп .Утах min/, max/). Поэтому роль заданий, предназначенных для [а;Ь] [аф] работы с терминологией и символикой, при изучении этой темы очень велика. В теме же «Первообразная и интеграл» вводится всего одно новое ь символическое обозначение — jf(x)dx, и, следовательно, задания по работе с а терминологией и символикой занимают значительно более скромное место. Попутно заметим, что не всем терминам, употребляемым в курсе алгебры и начал анализа, соответствуют символические обозначения. Например, не имеют специальных обозначений термины «четная функция», «нечетная функция», «периодическая функция», «непрерывная функция», «криволинейная трапеция» и др.
