Содержание к диссертации
Введение
1 Методологические основы построения модели обучения алгебре и началам анализа в профилях естественнонаучного направления 30
1.1 Формализация понятий „модель обучения" и „модель обучения алгебре и началам анализа" 30
1.2 Историческая ретроспектива развития математики 41
1.3 Рациональная логика как характерная особенность прикладной математики 64
1.3.1 Единство теоретической и прикладной математики как необходимое условие существования математики как науки 64
1.3.2 Подходы к определению понятий „рациональное рассуждение" и „рациональная логика" 70
1.3.3 Типология рациональных утверждений 83
1.3.4 Применение рациональной логики при построении математических моделей в естественнонаучных областях знания 103
2 Психолого-педагогические основы построения модели обучения алгебре и началам анализа в профилях естественно научного направления 114
2.1 Исторические предпосылки и современное состояние профильного обучения в России 114
2.2 Модели личностно ориентированного обучения 133
2.3 Психологические аспекты обучения в профилях естественнонаучного направления 144
2.3.1 Некоторые психологические особенности старшего школьного возраста 144
2.3.2 Особенности межполушарной асимметрии у учеников профилей естественнонаучного направления 152
2.3.3 Модель психологического строения интеллекта 156
2.4 Компетентностный подход как средство реализации обуче
ния алгебре и началам анализа на профильном уровне 167
3 Построение модели обучения алгебре и началам анализа в профилях естественнонаучного направления 180
3.1 Анализ содержания учебников по математике для старшей школы 180
3.2 Концепция и принципы построения модели обучения в профилях естественнонаучного направления на основе логики прикладной математики (Л-модели) 195
3.2.1 Система принципов построения Д-модели 195
3.2.2 Основные положения построения Я-модели 197
3.3 Модель курса алгебры и начал анализа для профилей есте ственнонаучного направления 200
3.3.1 Основные положения построения модели курса алгебры и начал анализа для профилей естественнонаучного направления 200
3.3.2 Содержание обучения модели курса алгебры и начал анализа в Д-модели 202
3.3.3 Методические особенности изучения содержания обучения модели курса алгебры и начал анализа 215
3.4 Применение метода математического моделирования в модели обучения алгебре и началам анализа для профилей естественнонаучного направления 242
3.5 Построение Я-модели 270
4 Методика реализации содержания обучения модели курса алгебры и начал анализа в профильных классах естественнонаучного направления в рациональной логике 285
4.1 Методические требования, предъявляемые к реализации содержания обучения модели курса алгебры и начал анализа 285
4.2 Методические особенности изучения понятий, утверждений и алгоритмов в модели курса алгебры и начал анализа 288
4.3 Элементы методики изучения общеобразовательного матери ала модели курса алгебры и начал анализа в профильных классах 294
4.3.1 Элементы методики изучения тригонометрических функций 294
4.3.2 Рекомендации к изучению темы „Решение показательных уравнений и неравенств" 297
4.3.3 Рекомендации к изучению темы „Производная и ее применения" 298
4.3.4 Изучение понятия „дифференциал" и приближенных вычислений 310
4.3.5 Изучение понятия „определенный интеграл" 314
4.4 Элементы методики изучения общепрофильного содержания обучения модели курса алгебры и начал анализа 322
4.4.1 Методика изучения темы „Элементы теории погрешностей" 322
4.4.2 Организация обучения математическому моделированию 328
4.5 Педагогический эксперимент 344
Заключение 363
Библиографический список
- Рациональная логика как характерная особенность прикладной математики
- Некоторые психологические особенности старшего школьного возраста
- Концепция и принципы построения модели обучения в профилях естественнонаучного направления на основе логики прикладной математики (Л-модели)
- Рекомендации к изучению темы „Решение показательных уравнений и неравенств"
Введение к работе
Актуальность темы исследования. Современный этап развития отечественного среднего образования направлен, как отмечается в Концепции модернизации российского образования до 2010 г., на создание условий для самореализации ученика в учебном процессе и формирование его готовности быть субъектом продуктивной деятельности в течение своего жизненного цикла. В Федеральном государственном образовательном стандарте общего образования, основывающегося на этих документах, сформулированы принципиальные положения, в соответствии с которыми под образовательными результатами понимаются "приращения" в личностных ресурсах учеников. Эти "приращения" должны будут использоваться при решении проблем, актуальных для личности, общества и государства. По сравнению с предыдущими этапами функционирования системы образования очевиден парадигмальный сдвиг от предметноцентрированной модели образования к модели вариативного, "личностно центрированного образования". Для достижения целей образования в новой образовательной парадигме ставится задача "формирования компетентности выпускников школы как интегрального качества личности", при этом приоритет отдается формированию универсальных учебных действий в образовательном процессе. В Проекте (2010 г.) Федерального государственного образовательного стандарта среднего (полного) общего образования, разработанного Институтом стратегических исследований в образовании РАО (Л.П. Кезина, А.М. Кондаков) указывается, что требования к предметным результатам освоения курса математики на профильном уровне должны включать требования к результатам освоения курса на базовом уровне и дополнительно отражать: владение опытом построения и использования моделей, проведения экспериментов и статистической обработки данных с помощью компьютера, интерпретации результатов, получаемых в ходе моделирования реальных процессов; умение оценивать числовые параметры моделируемых объектов и процессов, пользоваться базами данных и справочными системами.
Образование реализует две основные функции: образование с помощью предмета, направленное на развитие учащихся, и собственно предметное образование как основа будущей профессиональной подготовки. Международные мониторинговые исследования уровня математической подготовки российских школьников (например, PIRLS, TIMSS) фиксируют достаточно высокий уровень предметной математической подготовки учеников и весьма скромные результаты применения полученных математических знания в реальных ситуациях. Эти умения связаны: 1) с переработкой учебной информации; 2) с выполнением рассуждений и их аргументацией; 3) с умением решать проблемы в процессе коммуникативного взаимодействия. Вместе с тем, невысокий уровень развития прикладных умений вполне закономерен, т.к. традиции обучения математике в советской школе всегда связывались с обучением в логике теоретической математики, несмотря на то, что в методической науке всегда актуальными были исследования, связанные с решением проблемы прикладной направленности обучения математике, причем на каждом этапе развития науки и техники ставилась задача усиления этой направленности по сравнению с предыдущими этапами. При этом имело место противоречие системного характера - проблема "реализации и усиления прикладной направленности обучения математике" и формирования "прикладных умений и навыков" решалась при доминирующей в обучении логике теоретической математики. Кроме этого, обобщение результатов анализа философской, психолого-педагогической, методической литературы, диссертационных исследований, современного состояния практики применения знаний для решения практических проблем учащимися при обучении алгебре и началам анализа в профилях естественнонаучного направления (ЕНН) даёт возможность выделить дополнительно ряд противоречий:
между теоретическим и прикладным аспектами математики как науки и несбалансированным представительством их дидактических проекций в обучении алгебре и началам анализа в школе: в настоящее время обучение алгебре и началам анализа осуществляется преимущественно в логике теоретической математики;
между форматом подготовки выпускника современной школы в логике теоретической математики и потребностями высшей школы в выпускнике, подготовка которого позволяет формировать у него достаточно высокий уровень культуры прикладного математического исследования, т.е., прежде всего, умений по составлению и анализу математических моделей, а также интерпретации полученных результатов;
между достаточно большим числом методических теоретических и практических исследований по вопросам прикладной направленности обучения математике в школе и методики ее реализации и стабильно невысокой результативностью применения результатов этих исследований в практике обучения алгебре и началам анализа;
между отсутствием целостной теоретической концепции обучения алгебре и началам анализа в профильных классах естественнонаучного направления и наличием практической потребности в научно обоснованной модели, учитывающей специфику обучения в классах данного направления и оптимально сочетающей теоретическую и прикладную составляющие школьной математики.
Одним из эффективных средств преодоления указанных противоречий и достижения целей современного образования является профильное обучение, идея которого в России имеет давнюю историю, и возвращение к которому в настоящее время, на наш взгляд, объясняется следующими причинами: 1) профильное обучение является средством реализации ведущей деятельности старшеклассника (учебно-профессиональной), выполняет профориентацион- ную функцию, что позволяет ученику сделать выбор сферы будущей профессиональной деятельности более осознанным; 2) оно выполняет пропедевтическую функцию, знакомя ученика с теми знаниями по ряду предметов, которые ему предстоит осваивать в высшей школе; 3) у ученика имеется возможность овладеть на школьном этапе обучения некоторыми предпрофес- сиональными умениями и навыками, такими как построение и исследование математических моделей; построение и реализация вычислительных алгоритмов; проведение приближенных вычислений; умение интерпретировать полученные решения.
Указанные выше противоречия и результаты анализа научно - методических исследований по проблемам обучения алгебре и началам анализа в старшей профильной школе являются основной причиной исследования путей совершенствования обучения алгебре и началам анализа в профильных классах ЕНН, определяют актуальность исследования и дают возможность сформулировать проблему исследования и его объект.
Проблема исследования: поиск средств и способов обучения алгебре и началам анализа на профильном уровне, реализующих во взаимосвязи теоретический и прикладной аспекты математики.
Объект исследования: процесс обучения алгебре и началам анализа в старших классах на профильном уровне.
В настоящее время в старшей школе выделяются профили, в которых математика изучается на базовом или на профильном уровне. Наше исследование посвящено проектированию и разработке модели обучения алгебре и началам анализа для профильных классов естественнонаучного направления. Под профильными классами естественнонаучного направления мы понимаем классы, в которых в качестве ведущего профильного предмета выступают физика, химия, биология, география, т.е. это классы физико-химического, химико - биологического, географического профиля и т.д.
Существенные различия в математической подготовке учеников профилей ЕНН и учеников других профилей определяются, прежде всего, отношением к математике как к инструменту их будущей профессиональной деятельности: для учеников профилей ЕНН математика - основное средство, которое будет использоваться ими для решения широкого круга профессиональных задач, в отличие от учеников других профилей. Это требует определенного уровня сформированности прикладных умений и навыков с последующим переходом к соответствующему уровню умений и навыков построения, исследования и интерпретации математических моделей.
В рамках философии системного подхода (Э.Г. Винограй, Ю.А. Гастев, И.В. Прангишвили и др.) математика как наука трактуется как система, элементами которой являются две подсистемы - теоретическая математика и прикладная математика со своими математическими объектами как элементами указанных подсистем. Эти подсистемы диалектически сосуществуют. Отношения между элементами подсистем определяются применяемой логикой. При этом логика прикладной математики (И.И. Блехман, А.Д. Мышкис,
Я.Г. Пановко) существенно отличается от логики теоретической математики. В настоящее время это обстоятельство в процессе обучения алгебре и началам анализа в профилях ЕНН не учитывается, что ведет к формированию у учеников неправильных представлений о математике как науке и, в дальнейшем, к снижению эффективности профессиональной подготовки студентов вузов соответствующего направления, поэтому актуальным является исследование возможности проектирования модели обучения алгебре и началам анализа, свободной от указанных выше недостатков системного характера. В этой связи предметом исследования является модель обучения алгебре и началам анализа для профилей естественнонаучного направления на основе логики прикладной математики.
Таким образом, целью данного исследования становится теоретическое обоснование, разработка и описание модели обучения алгебре и началам анализа в профилях естественнонаучного направления на основе логики прикладной математики, а также механизмов ее реализации.
В наиболее общем виде мы определили цель изучения алгебры и начал анализа как развитие ученика в процессе деятельности по освоению предметного содержания и изучению закономерностей окружающего мира. Выявление и преобразование опыта ученика, освоение им содержания предмета возможно только при его активной предметной деятельности. С.Л. Рубинштейн писал, что "попытки учителя внести в ребенка познание и нравственные нормы, минуя собственную деятельность ребенка по овладению ими, подрывают ... самые основы здорового умственного и нравственного развития ребенка, воспитания его личностных свойств и качеств". Эта идея отражена и в концепции школьного математического образования: "Ознакомление школьников с математикой как специфической формой познания мира требует отказа от сложившейся практики школьного математического курса как безупречной в логическом и структурном отношении последовательности готовых результатов и сведений. Лучшие традиции преподавания математики предполагают такую методическую систему, при которой здание математики создается на глазах у учащихся и с их посильным участием".
Гипотеза исследования состоит в следующем: если реализовать построенную на разработанных теоретических положениях модель обучения алгебре и началам анализа в профилях естественнонаучного направления на основе логики прикладной математики, то это будет способствовать:
эффективному и осознанному освоению учебного материала, отражающего диалектический характер взаимодействия теоретической и прикладной составляющих науки математики, и, следовательно, повышению качества базовых знаний, а также повышению результативности обучения ведущим профильным предметам (физика, химия, биология, и др.);
формированию устойчивой мотивации выбора профессии и формированию предпрофессиональных умений и навыков за счет вовлечения ученика в систематическую деятельность по применению метода математического моделирования и использованию информационных технологий;
- росту умственного развития ученика средствами предмета алгебры и начал анализа, следствием чего будет развитие личностных функций ученика: самостоятельности, рефлексивности, способности к самоорганизации, самообразованию, общению.
Таким образом, конкретными задачами исследования, определяемыми его предметом и целью, стали следующие.
-
-
Исследование истории развития математической науки в контексте использования логики прикладной математики при решении практических задач в ходе исторического развития общества и выявление ее влияния на эволюцию фундаментальных математических понятий и формирование математических теорий, а также истории математического образования с позиции выявления реализации прикладной направленности обучения математике.
-
Анализ истории развития профильного образования в стране в контексте проблемы нашего исследования.
-
Выявление характерных особенностей логики прикладной математики и исследование понятий "рациональная логика" и "рациональное утверждение" (установление типологии, способов их использования; разработка методики изучения материала учебного предмета с применением рациональных рассуждений).
-
Выявление психолого-педагогических основ построения модели обучения алгебре и началам анализа в профилях естественнонаучного направления на основе логики прикладной математики.
-
Разработка принципов построения модели обучения алгебре и началам анализа в профилях естественнонаучного направления на основе логики прикладной математики, а также методических и содержательно - технологических требований, обеспечивающих организацию изучения учебного материала и личностное развитие ученика.
-
Развитие в методике математики представлений о математическом моделировании в контексте обучения алгебре и началам анализа в профилях ЕНН, разработка методики обучения математическому моделированию с учетом применения логики прикладной математики.
-
Разработка методики реализации модели обучения алгебре и началам анализа в профилях естественнонаучного направления на основе логики прикладной математики.
-
Экспериментальная проверка эффективности созданной модели обучения и интерпретация полученных экспериментальных результатов.
Источником исследования являются научные разработки в области педагогики, психологии, философии образования, математики, теории и методики обучения математике, посвященные проблемам фундаментальных основ математики и методики обучения математике, т.е. теоретико - методологическую основу исследования составляют:
исследования по истории математики и математического образования (В.В. Бобынин, Н. Бурбаки, И.Г. Башмакова, М.Е. Ващенко-Захарченко, Ф. Клейн, Ю.М. Колягин, Т.С. Полякова, К.А. Рыбников, О.А. Саввина, А.П. Юшкевич и др.);
работы по методологическим основам математики и методологии математического образования (Ж. Адамар, А.Д. Александров, В.И. Арнольд, М.И. Башмаков, Г.Вейль, Д. Гильберт, Б.В. Гнеденко, М. Клайн, Ф. Клейн,
-
Н. Колмогоров, Л.Д. Кудрявцев, А.Г. Мордкович, Д. Пойа, М.М. Постников, А. Пуанкаре, В.А. Садовничий, Г.И. Саранцев, В.М. Тихомиров, Г. Фройденталь, А.Я. Хинчин и др.);
теория деятельностного подхода в образовании и теория развивающего обучения (Л.С. Выготский, В.В. Давыдов, О.Б. Епишева, Л.В. Занков, В.П. Зинченко, А.Н. Леонтьев, Е.И. Лященко, А.А. Столяр, З.И. Слепкань, Н.Ф. Талызина, Д.Б. Эльконин и др.);
работы по проблемам методов обучения и организации учебной деятельности (Ю.К. Бабанский, Н.В. Бордовская, Т.В. Габай, П.Я. Гальперин, С.И. Гессен, В.В. Давыдов, В.К. Дьяченко, Л.Б. Ительсон, Е.Н. Кабанова- Меллер, В.В. Краевский, И.С. Якиманская и др.);
исследования по проблемам системного подхода в целом и его применение к анализу педагогического процесса (В.Г. Афанасьев, И.В. Блауберг,
-
И. Егорченко, Л.С. Капкаева, В.И. Крупич, В.С. Леднев, В.М. Монахов, И.В. Прангишвили, Г.И. Саранцев, И.Л. Тимофеева, А.И. Уемов, И.З. Цехми- стро, В.И. Штанько, П.Г. Щедровицкий, Э.Г. Юдин и др.);
исследования по проблемам: психологии познания (Б.Г. Ананьев, Дж. Андерсон, Дж. Брунер, Л.С. Выготский и др.); психологии мышления (С.В. Маланов, А.М. Матюшкин, Н.А. Менчинская, О.К. Тихомиров и др.); психологии познавательно-поисковых процессов и концепции учебной мотивации (Н.А. Бакшаева, А.А. Вербицкий, В.К. Вилюнас, Е.П. Ильин, А.К. Маркова, Р.С. Немов, Ж. Пиаже, К. Роджерс, М.А. Родионов, С.Л. Рубинштейн и др.);
психолого-педагогические исследования, раскрывающие представления о субъекте и его жизненной активности (Е.Д. Божович, Г. Клаус, Л.А. Коростылева, А.Н. Леонтьев, Д.А. Леонтьев, Н.С. Подходова, И.С. Якиманская и др.);
исследования по внедрению различных подходов в практику обучения математике (Э.К. Брейтигам, В.И. Горбачев, В.А. Гусев, О.Б. Епишева, Т.А. Иванова, В.В. Орлов, Н.С. Подходова, Н.Л. Стефанова, В.А. Тестов, В.М. Туркина и др.);
работы по проблемам совершенствования методик обучения компонентам школьного математического образования (Я.И. Груденов, В.А. Гусев, В.А. Далингер, Т.Е. Демидова, Ю.М. Колягин, Е.И. Лященко, А.Г. Мордко- вич, В.В. Орлов, Н.С. Подходова, Г.И. Саранцев, Н.Л. Стефанова, А.В. Ястребов и др.);
концепции гуманизации и гуманитаризации математического образования (Г.В. Дорофеев, Т.А. Иванова, Т.Н. Миракова, А.Х. Назиев, Г.И. Саранцев и др.);
работы по проблемам совершенствования школьных учебников (Е.Б. Арутюнян, А.Л. Вернер, М.Б.Волович, Г.Г. Граник, В.А. Гусев, Л.А. Концевая, А.Г. Мордкович, В.В. Орлов, Н.С. Подходова и др.);
концепции дифференциации и индивидуализации обучения математике (М.И. Башмаков, В.Г. Болтянский, Г.Д. Глейзер, В.А. Гусев, Л.Н. Журбенко, Е.Е. Семенов, И.М. Смирнова, М.В. Ткачева, Р.А. Утеева, В.В. Фирсов и др.);
исследования по различным аспектам реализации прикладной направленности обучения математике (В.Г. Болтянский, Н.Я. Виленкин, Э.Г. Гот- ман, В.А. Гусев, В.А. Далингер, Г.В. Дорофеев, М.И. Зайкин, Н.И. Зильбер- берг, И.А. Иванов, Е.С. Канин, Ю.М. Колягин, В.И. Крупич, А.А. Максютин, В.И. Мишин, В.М. Монахов, А.Г. Мордкович, Е.Н. Перевощикова, Д. Пойа, Я.П. Понарин, Н.Х. Розов, В.И. Рыжик, А.Д. Семушин, А.А. Столяр, Л.М. Фридман, Р.Г. Хазанкин, И.И. Чучаев, И.Ф. Шарыгин, А.Ю. Эвнин, П.М. Эрдниев и др.).
В исследовании использовались следующие методы исследования: анализ психолого-педагогической, исторической и методической литературы, научной и учебной литературы по алгебре и началам анализа школьного и вузовского курсов, программ и учебников по математике XX-XXI веков; теоретическое исследование проблемы; анализ собственного опыта преподавания курсов алгебры и начал анализа, физики, астрономии и информатики в средней школе, а также математических курсов в высшей школе по различным программам и учебникам (с 1987 года по настоящее время), анализ уроков учителей и студентов; беседы с учащимися, студентами и учителями, их анкетирование, тестирование; экспериментальная работа, обработка результатов педагогического эксперимента и их анализ.
На защиту выносятся следующие положения.
1. Исторически развитие математики и математического образования происходит во взаимосвязи и взаимодействии их теоретической и прикладной составляющих. В теоретической математике используется формальная логика, а в прикладной - рациональная. В настоящее время использование только логики теоретической математики в школьном курсе сдерживает его развитие, а выделенная в стандарте профильного обучения математике его направленность на формирование умения моделировать как универсального учебного действия требует привлечения логики прикладной математики. Таким образом, для профильных классов естественнонаучного направления должна использоваться такая модель обучения, в которой реализуются во взаимосвязи теоретическая и прикладная составляющие математики, что делает целесообразным использование при построении модели обучения не только логики теоретической математики, но и логики прикладной математики.
Разработанная концепция модели обучения алгебре и началам анализа, состоящая в рассмотрении модели с позиций системного подхода с явным выделением в ее составе модели ученика, модели учителя, модели учебного предмета, модели методики реализации; отражении в модели в диалектическом единстве теоретической и прикладной составляющих математики как научной системы с постепенным усилением роли последней; понимании обучения алгебре и началам анализа как содержательно и логически завершенной ступени непрерывного математического образования, направленного не только на завершение изучения учащимися ведущих содержательно- методических линий модели курса алгебры и начал анализа, но и на успешное продолжение математического образования в высшей школе в выбранной области деятельности; отборе содержания модели курса на базе стандарта профильного обучения алгебре и началам анализа с учетом исторического опыта изучения математики в отечественной школе и необходимости использования полученных знаний и опыта деятельности для освоения смежных учебных предметов на профильном уровне и подготовки к получению профессионального образования позволяют сконструировать модель, которая учитывает дуализм целей обучения математике на профильном уровне, реализует обучение на основе логики прикладной математики, направлена на реализацию общеобразовательной и предпрофессиональной подготовки в области математики и способствует повышению качества знаний по ведущим профильным предметам (по физике, химии, биологии и др.).
Модель обучения алгебре и началам анализа для профилей естественнонаучного направления на основе логики прикладной математики является открытой системой. Эта модель, содержащая в качестве структурных компонентов, модели ученика, учителя и двухядерную модель учебного курса алгебры и начал анализа, дает возможность строить различные варианты методики обучения алгебре и началам анализа в профилях ЕНН. Предложенная функциональная модель обучения отражает основной принцип функционирования модели обучения как системы - принцип отрицательной обратной связи.
Выделенные нами и используемые в модели обучения типы рациональных утверждений (утверждения, содержащие некорректно определенные понятия; утверждения, допускающие применение понятий вне рамок их первоначального определения; допускающие изменение статуса понятия в зависимости от контекста; основанные на интуиции; основанные на индукции; распространяющие результаты локального исследования на нелокальные случаи; основанные на аналогии; уточняемые в процессе исследования; рабочие гипотезы; феноменологические законы и полуэмпирические закономерности; утверждения, основанные на эксперименте), включение в ее содержательный блок новых разделов ("Элементы теории погрешностей", "Элементы математического моделирования", "Элементы численных методов") и разработанная методика изучения математического содержания позволяют эффективно использовать возможности рациональной логики для реализации прикладной направленности школьного курса математики и подготовки к продолжению математического образования в высшей школе. Это позволяет осуществлять эффективное обучение методу математического моделирования как одному из основных методов познания закономерностей окружающего мира в естественнонаучных областях знания.
Научная новизна результатов исследования заключается в следующем:
Впервые в методике обучения математике решена задача построения модели обучения (интегрирующей теоретическую и прикладную составляющие математики) алгебре и началам анализа для профильных классов естественнонаучного направления на основе логики прикладной математики. Для этого:
-
-
Определена специфика обучения алгебре и началам анализа учащихся профилей ЕНН, которая состоит в следующем: ориентация учеников на преимущественное усвоение математических знаний и способов действий, необходимых для успешного освоения алгебры и начал анализа и ведущих профильных предметов, для осуществления математического моделирования, что является основой для продолжения математического образования в высшей школе; снижение уровня логической строгости изложения учебного материала.
-
Сформулирована концепция построения модели обучения алгебре и началам анализа в профилях естественнонаучного направления на основе логики прикладной математики, разработаны структурные, содержательные и технологические требования к ее компонентам.
-
Разработана модель обучения алгебре и началам анализа в профилях естественнонаучного направления на основе логики прикладной математики, являющаяся основой для построения других моделей обучения алгебре и началам анализа в различных профилях и для построения моделей обучения другим предметам.
-
В качестве подсистемы в модели обучения алгебре и началам анализа в профилях естественнонаучного направления на основе логики прикладной математики разработана двухядерная модель курса алгебры и начал анализа, реализующая пропедевтику содержания математических курсов высшей школы.
-
Выделен метод математического моделирования в качестве основного структурного элемента в модели обучения алгебре и началам анализа в профилях естественнонаучного направления на основе логики прикладной математики, что позволит обеспечить формирование учебно-познавательной компетенции учеников.
-
Уточнены технологические схемы введения понятий и проведения обоснований в логике прикладной математики.
-
Определены типы рациональных утверждений, используемые при построении реальных математических моделей, а также из них выделены те типы, которые используются в курсе алгебры и начал анализа в профилях естественнонаучного направления.
Теоретическая значимость исследования заключается в следующем:
-
обоснована целесообразность построения модели обучения алгебре и началам анализа для профилей естественнонаучного направления, отличной от существующей модели обучения математике на профильном уровне, на основе логики прикладной математики, в рамках которой обучение алгебре и началам анализа рассматривается как ступень непрерывного математического образования. В этой модели в качестве ведущей деятельности учителя выделяется деятельность по обучению математическому моделированию.
-
разработана концепция построения модели обучения алгебре и началам анализа для профилей естественнонаучного направления, реализующего в единстве теоретический и прикладной аспекты математики как науки, что также позволяет целостно подойти к построению моделей обучения различным учебным предметам на профильном уровне;
-
уточнен и дополнен понятийный аппарат теории и методики обучения математике: предложены определения понятий "модель обучения алгебре и началам анализа", "модель обучения алгебре и началам анализа в профилях естественнонаучного направления", "модель курса алгебры и начал анализа" в рамках системного подхода; показана возможность классификации моделей обучения в общем случае;
-
обосновано использование различных типов рациональных утверждений как основы построения технологических схем обучения компонентам математического содержания и математического моделирования;
- обоснована целесообразность включения в профильный курс алгебры и начал анализа для профилей естественнонаучного направления новых математических разделов.
Практическая значимость исследования состоит в разработке учебных материалов для изучения профильного курса алгебры и начал анализа и методики их использования для классов ЕНН, а также в разработке методики изучения новых разделов курса; курса по выбору для студентов математических факультетов педагогических вузов, направленного на подготовку будущих учителей к обучению математике на основе логики прикладной математики и материалов для организации и проведения курсов повышения квалификации учителей.
Достоверность разработанных положений и полученных результатов исследования обеспечивается корректностью исходных методологических позиций; адекватным анализом проблемы, основанном на основных положениях современной дидактики; достаточной базой эксперимента; использованием статистических методов обработки экспериментальных данных; репрезентативностью выборки; устойчивой повторяемостью результатов при проведении экспериментальных исследований.
Апробация результатов исследования. Результаты исследования докладывались на международных конференциях "Герценовские чтения" (Санкт-Петербург, 1994 - 1999, 2003-2009), на межвузовской конференции, посвященной 105-летию со дня рождения В.М. Брадиса (Тверь, 1995), на научной межрегиональной конференции "Проблемы гуманизации математического образования в школе и вузе" (Саранск, 1995), на Всероссийских семинарах преподавателей математики университетов и педагогических вузов (Орск, 1995; Санкт-Петербург, 1996; Саратов, 2005; Киров, 2006), на 2-й международной научно-методической конференции "Проектирование инновационных процессов в социокультурной и образовательной сферах" (Сочи, 1999), на международном семинара под эгидой ЮНЕСКО в рамках работы BSTEN "Культурное наследие, туризм и устойчивое развитие стран Черноморского бассейна" (Сочи, 2004), на Всероссийской научно-практической конференции "Наука и высшая школа - профильному обучению" (Санкт- Петербург, 2006), а также на заседаниях методологического семинара кафедры методики обучения математике РГПУ им. А.И. Герцена (Санкт- Петербург, 2004-2009), кафедры общей математики СГУТиКД (Сочи, 20042009), на заседаниях методического объединения учителей математики ряда школ г. Сочи (2003-2009).
Результаты исследования внедрены в ряде школ города Сочи и Санкт- Петербурга, в системе повышения квалификации учителей г. Сочи, а также при организации и проведении лекционных, практических, лабораторных занятий и в процессе педагогической практики студентов факультета информационных технологий и математики СГУТиКД.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы, приложений, схем, рисунков, таблиц и диаграмм.
Рациональная логика как характерная особенность прикладной математики
Указанные выше противоречия и результаты анализа научно - методических исследований по проблемам обучения алгебре и началам анализа в старшей профильной школе являются основной причиной исследования путей совершенствования обучения алгебре и началам анализа в профильных классах ЕНН, определяют актуальность исследования и дают возможность сформулировать проблему исследования и его объект.
Проблема исследования: поиск средств и способов обучения алгебре и началам анализа на профильном уровне, реализующих во взаимосвязи теоретический и прикладной аспекты математики.
Объект исследования: процесс обучения алгебре и началам анализа в старших классах на профильном уровне.
В настоящее время в старшей школе выделяются профили, в которых математика изучается на базовом или на профильном уровне. Наше исследование посвящено проектированию и разработке модели обучения алгебре и началам анализа для профильных классов естественнонаучного направления. Под профильными классами естественнонаучного направления мы понимаем классы, в которых в качестве ведущего профильного предмета выступают физика, химия, биология, география, т.е. это классы физико-химического, химико - биологического, географического профиля и т.д.
Существенные различия в математической подготовке учеников профилей ЕНН и учеников других профилей определяются, прежде всего, отношением к математике как к инструменту их будущей профессиональ ной деятельности: для учеников профилей ЕНН математика - основное средство, которое будет использоваться ими для решения широкого круга профессиональных задач, в отличие от учеников других профилей. Это требует определенного уровня сформированности прикладных умений и навыков с последующим переходом к соответствующему уровню умений и навыков построения, исследования и интерпретации математических моделей.
В рамках философии системного подхода (Э.Г. Винограй, Ю.А. Га-стев, И.В. Прангишвили и др.) математика как наука может трактоваться как система, элементами которой являются две диалектически сосуществующие подсистемы - теоретическая математика и прикладная математика со своими математическими объектами как элементами указанных подсистем. Отношения между элементами подсистем определяются применяемой логикой. При этом логика прикладной математики (И.И. Блехман, А.Д. Мышкис, Я.Г. Пановко) существенно отличается от логики теоретической математики. В настоящее время это обстоятельство в процессе обучения алгебре и началам анализа в профилях ЕНН не учитывается, что ведет к формированию у учеников неправильных представлений о математике как науке и, в дальнейшем, к снижению эффективности профессиональной подготовки студентов вузов соответствующих направлений, поэтому актуальным является исследование возможности проектирования модели обучения алгебре и началам анализа, свободной от указанных выше недостатков системного характера. В этой связи предметом исследования является модель обучения алгебре и началам анализа для профилей естественнонаучного направления на основе логики прикладной математики.
Таким образом, целью данного исследования становится теоретическое обоснование, разработка и описание модели обучения алгебре и началам анализа в профилях естественнонаучного направления на основе логики прикладной математики, а также механизмов ее реализации.
В наиболее общем виде мы определили цель изучения алгебры и на чал анализа как развитие ученика в процессе деятельности по освоению предметного содержания и изучению закономерностей окружающего мира. Выявление и преобразование опыта ученика, освоение им содержания предмета возможно только при его активной предметной деятельности. С.Л. Рубинштейн писал, что „попытки учителя внести в ребенка познание и нравственные нормы, минуя собственную деятельность ребенка по овладению ими, подрывают ... самые основы здорового умственного и нравственного развития ребенка, воспитания его личностных свойств и качеств" [336, с. 192-193]. Эта идея отражена и в концепции школьного математического образования: „Ознакомление школьников с математикой как специфической формой познания мира требует отказа от сложившейся практики школьного математического курса как безупречной в логическом и структурном отношении последовательности готовых результатов и сведений. Лучшие традиции преподавания математики предполагают такую методическую систему, при которой здание математики создается на глазах у учащихся и с их посильным участием" [174, с. 28].
Школьные учебники математики выполняют, прежде всего, информационную функцию (передачу общественно-исторического опыта). Излагаемая на определенном уровне строгости система математических знаний требует приспособления ученика к задаваемому уровню абстракции, что может вступить в противоречие с его субъектным опытом. И.С. Якиманская считает, что „далеко не все понятия, организованные в систему по всем правилам логики, усваиваются учащимися, а только те, которые входят в состав их личного опыта" [423, с. 73]. Это делает необходимым, во-первых, включение субъектного опыта ученика в процесс изучения алгебры и начал анализа в 10-11 классах и его постоянное соотнесение с отраженным в учебниках общественно-историческим опытом; во-вторых, создание достаточной математической базы перед изучением курса алгебры и начал анализа, которая послужит основой математической составляющей субъектного опыта ученика. В рамках данного исследования под субъектным опытом, вслед за И.С. Якиманской, мы будем понимать „принадлежащий конкретному ученику жизненный опыт, включающий различные формы и способы деятельности, источниками которого являются биография ученика (влияние семьи, национальной, социокультурной принадлежности), результаты его повседневной жизнедеятельности, взаимоотношений с миром вещей и людей, итоги обучения, в том числе, и специально организованного" [423, с. 65].
В классических моделях обучения ученик изначально не рассматривался как личность, а становился ею в результате целенаправленного воздействия, причем значимыми были лишь типологические свойства личности, а индивидуальные особенности в расчет не принимались, формировалась общественная личность. Не избежали этого и технологии развивающего обучения (Л.В. Занков [287], В.В. Давыдов [127, 128, 129], Д.Б. Эль-конин [420] и др.), в которых развитие определялось специально организованным обучением теоретического типа. Считалось, что ученик становился субъектом только в процессе познавательной деятельности. Предлагаемое содержание детерминировало методы обучения, а индивидуальный опыт ученика и его личностные особенности также не принимались во внимание. Движение от признания специально организованного обучения как определяющей силы развития (по Л.С. Выготскому [95, 96, 97]) к пониманию развития как самодвижения субъекта, осуществляющегося благодаря его деятельности в предмете, способствовало усилению внимания к процессам саморазвития и самообразования как деятельности субъекта. Учебная работа ученика не исчерпывается только овладением способами действий, но и включает собственные авторские действия (замысел, анализ условий реализации, получение продукта). Образовательное пространство ученика должно создавать условия для авторских действий, поскольку на данном отрезке онтогенеза ученик строит свою субъектность как субъектность авторства [305].
Некоторые психологические особенности старшего школьного возраста
Анализ исторического развития математики как науки дает возможность увидеть диалектическое единство двух ее ветвей - теоретической математики и прикладной математики, объективно существующих и оказывающих влияние на все составляющие математической науки (прежде всего, содержание и применяемая логика). В данном пункте акцент делается на анализ процесса развития математики в контексте применения так называемых рациональных рассуэ/сдений, их роли в развитии математической науки (ее теоретической и прикладной составляющей), а также на характер задач, актуальных для культурно-логической ситуации конкретной исторической эпохи. Нами подробно рассматривается период развития до „нового времени" (XVIII в.), так как именно в этот период широко применялись рациональные рассуждения в процессе формирования фундаментальных разделов математики, которые составляют основу современного школьного курса математики. Такой подход соответствует и периодизации истории математики, предлагаемый академиком А.Н. Колмогоровым: период зарождения математики, на протяжении которого был накоплен достаточно большой фактический материал; период элементарной математики, начинающийся в VI—V веках до н.э. и завершающийся в конце XVI века; период математики переменных величин, охватывающий XVII—XVIII века; период современной математики — математики XIX—XX века.
Этот анализ важен еще и потому, что математические рукописи этого периода непосредственно использовались как учебные пособия и послужили источниками для создания первых учебников математики и на их основе формировались первые модели обучения. Кроме этого, отдельные пункты приводимого ниже содержания, во-первых, послужили основой для создания элективных курсов, разработанных коллективом автором кафедры методики обучения математики РГПУ им. А.И. Герцена совместно с автором [417] и, во-вторых, представляют конкретный исторический материал, который может быть использован в обучении алгебре и началам анализа, с одной стороны, как исторические сведения, а, с другой, как обоснование возможности использования логики прикладной математики в учебном процессе.
Математика в древний период. Одной из первых интеллектуальных потребностей человека была потребность в счете. Преодолев стадию „чувственного счета" [172, с. 9], человек сделал первый шаг к возникновению счета путем установления „взаимно однозначного соответствия" между подсчитываемыми предметами и некоторым другим множеством-эталоном, которое символизировало некоторое конкретное число, а потом привело и к понятию числа (Древний Египет, Вавилон) [168, 172, 196, 251, 397].
В работах древних египтян обнаруживаются первые приемы счета чисел, основанные на аддитивности системы счисления, а также представления о дробях, делимости чисел, прогрессиях и первоначальные знания о площадях и объемах, вопросы исчисления времени. Математика используется для решения практических задач (землемерие) простейшими арифметическими, алгебраическими и геометрическими методами, т.е. математика в древнем Египте - наука прикладная, при этом в ней никак не систематизирована совокупность математических знаний [168, 172, 251, 339].
Вавилоняне разработали специальную нумерацию, технику вычисле ний, алгебраические методы решения квадратных уравнений (здесь же, приближенное вычисление квадратных корней) и некоторых видов систем алгебраических уравнений, а также поставили вопросы о вычислении некоторых бесконечных сумм [80, 339, 397]. С достаточно хорошей точностью в Вавилоне решались геодезические и астрономические задачи. Несмотря на обширный запас математических знаний, исследователи находят, что эти знания вавилонян не объединены в целостные системы, логические связи между многочисленными правилами слабы [168, с. 57].
Теоретическая математика, по-видимому, возникла впервые в Древней Греции в связи с софистикой и отличалась от прикладной математики дедуктивным способом построения теории. Такой способ построения теории считается одной из важнейших характерных черт математики (например, [109, с. 30]). Дедуктивное построение теории позволило древним грекам разрабатывать вопросы арифметики целых чисел и дробей, рассмотреть теорию отношений и делимости, а также вопрос о несоизмеримости отрезков. Античные математики являются основоположниками геометрической алгебры и разработчиками методов решения задач на построение с помощью циркуля и линейки. Им принадлежит открытие первых неразрешимых задач и парадоксов бесконечного (апории Зенона) [74, 168, 169, 196, 429].
Представителем другого направления в построении математической теории является Евклид. Его „Начала" (13 книг) построены в едином логическом формате: определения - постулаты - теоремы.
В этот период развития математики наряду с методами, использующими дедуктивные рассуждения, появляются методы, уровень строгости которых существенно отличается от уровня строгости теорий, построенных на дедуктивных рассуждениях с привлечением аксиоматического метода, например, „метод исчерпывания" Евдокса (фактически начала теории пределов).
Концепция и принципы построения модели обучения в профилях естественнонаучного направления на основе логики прикладной математики (Л-модели)
Обязательный минимум содержания основных образовательных программ (профильный уровень) представлен ниже.
Числовые и буквенные выражения. Делимость целых чисел. Деление с остатком. Сравнения. Решение задач с целочисленными неизвестными. Комплексные числа. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Действительная и мнимая часть, модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая и тригонометрическая формы записи комплексных чисел. Арифметические действия над комплексными числами в разных формах записи. Комплексно сопряженные числа. Возведение в натуральную степень (формула Муавра). Основная теорема алгебры.
Многочлены от одной переменной. Делимость многочленов. Деление многочленов с остатком. Рациональные корни многочленов с целыми коэффициентами. Схема Горнера. Теорема Безу. Число корней многочлена. Многочлены от двух переменных. Формулы сокращенного умножения для старших степеней. Бином Ньютона. Многочлены от нескольких переменных, симметрические многочлены.
Корень степени п 1 и его свойства. Степень с рациональным показателем и ее свойства. Понятие о степени с действительным показателем. Свойства степени с действительным показателем.
Логарифм числа. Основное логарифмическое тождество. Логарифм произведения, частного, степени; переход к новому основанию. Десятичный и натуральный логарифмы, число е. Преобразования выражений, включающих арифметические операции, а также операции возведения в степень и логарифмирования.
Тригонометрия. Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла. Радианная мера угла. Синус, косинус, тангенс и котангенс числа. Основные тригонометрические тождества. Формулы приведения. Синус, косинус и тангенс суммы и разности двух углов. Синус и косинус двойного угла. Формулы половинного угла. Преобразования суммы тригонометрических
функций в произведение и произведения в сумму. Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента. Преобразования тригонометрических выражений. Арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс числа. Простейшие тригонометрические уравнения и неравенства. Решение тригонометрических уравнений.
Функции. Функции. Область определения и множество значений. График функции. Построение графиков функций, заданных различными способами. Свойства функций: монотонность, четность и нечетность, периодичность, ограниченность. Промежутки возрастания и убывания, наибольшее и наименьшее значения, точки экстремума (локального максимума и минимума). Выпуклость функции. Графическая интерпретация. Примеры функциональных зависимостей в реальных процессах и явлениях. Сложная функция. Взаимно обратные функции. Область определения и область значений обратной функции. График обратной функции. Нахождение функции, обратной данной. Степенная функция с натуральным показателем, её свойства и график. Вертикальные и горизонтальные асимптоты графиков. Графики дробно-линейных функций. Тригонометрические функции, их свойства и графики, основной период. Обратные тригонометрические функции, их свойства и графики. Показательная функция, её свойства к график. Логарифмическая функция, её свойства и график.
Преобразования графиков: параллельный перенос, симметрия относительно осей координат, симметрия относительно начала координат, симметрия относительно прямой у — х, растяжение и сжатие.
Начала математического анализа. Понятие о пределе последовательности. Существование предела монотонной ограниченной последовательности. Длина окружности и площадь круга как пределы последовательностей. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма. Теоремы о пределах последовательностей. Переход к пределам в неравенствах. Понятие о непрерывности функции. Основные теоремы о непрерывных функциях. Понятие о пределе функции в точке. Поведение функций на
бесконечности. Асимптоты. Понятие о производной функции, физический и геометрический смысл производной. Уравнение касательной к графику функции. Производные суммы, разности, произведения и частного. Производные основных элементарных функций. Производные сложной и обратной функций. Вторая производная. Применение производной к исследованию функций и построению графиков. Использование производных при решении уравнений и неравенств, при решении текстовых, физических и геометрических задач, нахождении наибольших и наименьших значений. Площадь криволинейной трапеции. Понятие об определенном интеграле. Первообразная. Первообразные элементарных функций. Правила вычисления первообразных. Формула Ньютона-Лейбница. Примеры использования производной в прикладных задачах. Нахождение скорости для процесса, заданного формулой или графиком. Примеры применения интеграла в физике и геометрии. Вторая производная и ее физический смысл.
Уравнения и неравенства. Решение рациональных, показательных, логарифмических и тригонометрических уравнений и неравенств. Решение иррациональных уравнений и неравенств. Основные приемы решения систем уравнений: подстановка, алгебраическое сложение, введение новых переменных. Равносильность уравнений, неравенств, систем. Решение систем уравнений с двумя неизвестными простейших типов. Решение систем неравенств с одной переменной. Доказательства неравенств. Неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом двух чисел. Использование свойств и графиков функций при решении уравнений и неравенств. Метод интервалов. Изображение на координатной плоскости множества решений уравнений и неравенств с двумя переменными и их систем. Применение математических методов для решения содержательных задач из различных областей науки и практики. Интерпретация результата, учет реальных ограничений.
Рекомендации к изучению темы „Решение показательных уравнений и неравенств"
Исходя из основных положений, на которых осуществляется построение модели обучения курса алгебры и начал анализа 10-11 в профильных классах естественнонаучного направления на основе логики прикладной математики (Л-модели) (п. 3.2, с. 197) сформулируем методические требования, необходимые для реализации Д-модели.
Одной из целей реализации Я-модели является целенаправленное обучение учеников умениям, связанным с использованием рациональных рассуждений, которые применяются практически на протяжении всего периода обучения в .R-модели, начиная с общеобразовательного материала, традиционно излагаемого в логике теоретической математики, и заканчивая общепрофильным материалом, где логика прикладной математики является доминирующей (модель курса на с. 202). Использование рациональных утверждений в общеобразовательном блоке носит преимущественно вспомогательный характер (для учителя) и призвано обеспечить возможность ему полнее излагать учебный материал, сосредотачиваясь на содержательной стороне изучаемых математических фактов (для ученика), при этом повышается темп изучения содержания и расширяется номенклатура изучаемого материала, создаются условия для формирования ключевых компетенций.
Разработанные нами методические требования можно объединить в следующие группы требований (Рис. 51).
Методические требования, обеспечивающие реализацию - организацию организацию обучения изучения изучения метода личностное рациональным учебного математического развитие рассуждениям материала курса моделирования Рис. 51. рациональная логика явно используется при изложении учебного материала (демонстрация допущений и пробелов в обоснованиях), что создает возможность перехода к более строгому изложению материала как к самостоятельной учебной задаче; особое внимание уделяется формированию методологических знаний, структуре определений, обучению поиску обоснований, без чего невозможно обучение моделированию; введение понятий, обучение утверждениям и правилам осуществляется преимущественно в логике конкретно-индуктивного подхода, как наиболее адекватного логике прикладной математики, с использованием примеров смежных дисциплин, изучаемых на профильном уровне (физика, химия, биология); часть учебного материала, в том числе и обязательного, представляется без обоснований, с частичным обоснованием, с использованием идеи „отложенного обоснования."
Требования, обеспечивающие организацию изучения учебного материала в R-модели: - теоретический материал представляется и изучается крупными бло ками, что позволяет устанавливать более тесные внутрипредметные связи, рационально организовывать учебное время, способствовать более эффек тивному развитию логического мышления школьников на этапе „системы понятий"; 286 - отказ от излишней прочности освоения материала (исключение большого числа однотипных задач, возможности школьных электронных и печатных справочных материалов); - наличие избыточного для отдельных профилей математического содержания позволяет школьникам расширить возможности самостоятельной исследовательской деятельности в ведущем профильном предмете, проводить исследования на стыке учебных дисциплина и в экономико - предметной сфере; - часть учебного материала, в том числе и обязательного, представляется в задачах, что также стимулирует самостоятельную деятельность школьника.
Требования, обеспечивающие организацию изучения метода мате матического моделирования в рамках R-модели: - изучение учебного материала осуществляется через моделирование, которое по мере продвижения ученика по образовательной траектории становится его ведущей учебной деятельностью при освоении математического содержания; - одним из средств организации самостоятельной учебно - исследовательской деятельности ученика выступает изучение математических моделей (варьирование допущений, при которых эта модель получена, исследование зависимости решения от значений исходных данных, получение прогноза); - широко используется вычислительная техника и соответствующее программное обеспечение.
Требования, обеспечивающие личностное развитие в условиях ре ализации разрабатываемой R-модели: - мотивация изучения компонентов математического содержания осу ществляется, в основном, на сюжетах, связанных с будущей профессио нальной деятельностью, а там, где это невозможно или нецелесообразно из-за сложности модели либо на сюжетах смежных дисциплин, либо на 287 исторически значимых задачах истории математики, которые впервые решались средствами рациональной логики; - при изучении материала реализуется уровневая дифференциация не только через задачи и возможность освоения дополнительного учебного материала, но и через овладение обоснованиями (на основе прикладной или теоретической логики), через выбор видов самостоятельной деятельности (репродуктивная, поисковая, исследовательская); - узкопрофильные модули и модели элективных курсов не являются единственным средством профильной дифференциации; первичное знакомство с математическим материалом, необходимым преимущественно для одной специализации, осуществляется в рамках основного курса; - при изучении материала допускается отложенное оценивание результатов обучения и накопительная система оценки.
Похожие диссертации на Модель обучения алгебре и началам анализа для профилей естественнонаучного направления на основе логики прикладной математики
-
-
