Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ ФАКУЛЬТАТИВНОГО КУРСА ДЛЯ СТАРШЕКЛАССНИКОВ «НЕЕВКЛИДОВЫ ГЕОМЕТРИИ» 12
1. Роль и место факультативных занятий в системе школьного математического образования 12
2. Анализ развивающего компонента школьного математического содержания 21
3. Элементы неевклидовых геометрий как компонент школьного математического содержания 31
4. Принципы организации факультатива «Неевклидовы геометрии» в старших классах средней школы 40
ВЫВОДЫ ПО ПЕРВОЙ ГЛАВЕ 51
ГЛАВА II. МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ФАКУЛЬТАТИВА «НЕЕВКЛИДОВЫ ГЕОМЕТРИИ» 55
1. Структурно-содержательная характеристика факультативного курса «Неевклидовы геометрии» 55
2. Стратегия поиска пути решения математической задачи в рамках факультатива «Неевклидовы геометрии» 82
3. Результаты педагогического эксперимента 94
ВЫВОДЫ ПО ВТОРОЙ ГЛАВЕ 105
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 106
ЛИТЕРАТУРА 109
ПРИЛОЖЕНИЯ
- Роль и место факультативных занятий в системе школьного математического образования
- Элементы неевклидовых геометрий как компонент школьного математического содержания
- Структурно-содержательная характеристика факультативного курса «Неевклидовы геометрии»
Введение к работе
Актуальность исследования. В настоящее время математика занимает особое положение в ряду базисных направлений развития личности учащегося и, в частности, развития его мышления. Именно математическое образование, характеризующееся рядом специфических особенностей, таких, как относительно высокий уровень абстракции рассматриваемого понятийного аппарата; диалектическое сочетание строгих логических умозаключений и правдоподобных рассуждений; ведущая роль задач, при решении которых используются различные компоненты поисковой деятельности; наличие возможности описания изучаемых фактов и закономерностей в терминах различных «математических языков», обладает весьма значительным потенциалом для развития творческих компонентов интеллекта человека, его способности к продуктивной деятельности, логическому и абстрактному мышлению, его сознания и самосознания, то есть всего того, что помогает личности в самых различных обстоятельствах проявить свою неповторимую индивидуальность.
Анализ развивающих возможностей математического содержания представлен в трудах таких известных математиков и педагогов, как А.Д. Александров, Ж. Адамар, Г. Вейль, А. Пуанкаре, А.Я. Хинчин, Д. Пойя, В.А. Гусев, Т.А. Иванова, В.А. Крутецкий, ЮМ. Колягин, Г.И. Саранцев, В.А. Тестов, В.В. Фирсов, Л.М. Фридман, ГТ.М. Эрдниев и многие другие. В этих работах подчеркивается, что содержание образования, направленное на формирование личности ученика средствами математики, может быть установлено лишь с учетом специфики творческой математической деятельности, и, в частности, ее структуры и качественного своеобразия.
Вместе с тем, многие авторы указывают на то, что традиционное содержание математического образования, изначально сориентированное на приобретение школьниками зафиксированного в соответствующих нормативных документах набора знаний, умений и навыков, не может
полностью обеспечить эффективное формирование всех компонентов мышления в целостной структуре личности.
Одним из средств усиления развивающих возможностей школьного математического образования является организация факультативных курсов соответствующей направленности. Отечественная школа обладает большим опытом в разработке и реализации таких курсов достаточно широкого содержательного спектра. В рассматриваемом ракурсе можно отметить работы таких известных ученых, как М.Б. Балк, В.Н. Березин, О.А. Боковнев, Л.А. Басов, Н.Я. Виленкин, О.Б. Епишева, И. Кадыров, М.П. Кашин, Л.М. Лоповок, В.М. Монахов, М.А. Петрова, И.М. Смирнова, В.В.Фирсов, СИ. Шварцбурд, И.Ф. Шарыгин, М.А. Шубин, Л.А. Эпштейн и др., а также диссертационные исследования, посвященные, как общим вопросам содержания, организации и проведения факультативных и внеклассных занятий, так и содержанию и методике изучения отдельных вопросов на факультативных занятиях (Н.В. Аммосова, Ашкын Суат, СВ. Бабаджанян, И.А. Барыбина, Г.Н. Бычкова, ГЛ. Гинзбург, Н.П. Жукова, Н.Н. Иванова, А.Н. Колобов, И.В. Кузнецова, А.Т. Лялькина, ТТ. Макаровская, СМ. Новиков, П.К. Одинцов, И.И. Поздняков, Ф.М. Рафикова, М.Е. Сангалова, ТА. Симановская, В.Д. Степанов, З.А. Шилова, А.П. Шихова и др.).
В этих работах раскрывается преимущество факультативов в плане развития внутреннего потенциала учащихся, создания условий для их самореализации и саморазвития, организации индивидуального подхода к каждому учащемуся с учетом его способностей и потребностей. Однако, в организации факультативных занятий есть еще и нерешенные проблемы, связанные, в частности, с вопросом о том, какие именно компоненты мышления могут быть целенаправленно актуализированы на том или ином математическом содержании и какая методическая поддержка учащимся должна быть при этом оказана. В числе таких компонентов особое место занимает возможность восприятия человеком впечатлений, не
соответствующих или даже противоречащих имеющимся у него сложившимся представлениям, которые он изначально оценивал как единственно правильные и очевидные. Наличие такой возможности, называемой различными авторами латеральным (Э. Боно), толерантным (М.А. Холодная) или дивергентным (Дж. Гилфорд) мышлением, в основном обнаруживает себя в ситуациях, для которых характерна неопределенность, двусмысленность, обеспечивая актуализацию особых способов организации интеллектуального поведения в условиях искусственно сконструированного «нарушения» «нормального» отражения действительности. Рассматриваемое качество мышления, по мнению М.А. Холодной, является достаточно валидным показателем уровня интеллекта человека, его открытости познавательным контактам с противоречиями окружающего мира и способности гибко реагировать на постоянно изменяющиеся условия реальности.
В качестве математического содержания, являющегося основой факультатива для старшеклассников соответствующей направленности, могут быть избраны элементы неевклидовых геометрий, которые можно рассматривать, как формальные или полуформальные представления альтернативных пространств («воображаемых миров») по отношению к привычному для нас евклидову пространству, выводящие учащихся за пределы непосредственного чувственного восприятия.
В настоящее время в методической литературе представлено довольно большое количество исследований, посвященных возможностям знакомства школьников с неевклидовыми геометриями (Т.А. Агафонова, Л.С. Атанасян, Н.М. Бескин, В.Г. Болтянский, А.Л. Вернер, Н. Гайбулаев, И.С. Герасимова, Е.А. Ермак, П.В. Мартиросян, Н.А. Масалкина, Б.А. Розенфельд, Т.И. Салматова, Е.Е. Семенов, А.В. Силин, П.И. Совертков, С.А. Франгулов, Г.Г. Шеремет, Н.А. Шмакова и др.). В этих работах показывается, что ознакомление школьников с фактами неевклидовых геометрий, и, прежде всего, геометрии Лобачевского, позволяет существенно усилить логический
(новая аксиоматика геометрии), познавательный (изучаются примеры неевклидовых геометрий), исторический (показывает роль великих математиков в развитии науки), прикладной (открывается математическая основа теории относительности), философский (формируются представления о геометрии реального физического пространства) и общекультурный компоненты школьного математического образования. Вместе с тем, в известных нам работах в недостаточной мере оказался затронут развивающий аспект рассматриваемого содержания, и, в частности, не задействованы достаточно объективные параметры, которые могли бы служить критериальной основой для оценки уровня развития школьников в ходе изучения данного содержания; не определен комплекс основных методических условий достижения этих параметров в реальной учебной практике; недостаточно «выпукло» представлено своеобразие работы школьников по поиску решения задач из содержательного тезауруса неевклидовых геометрий.
Таким образом, актуальность предлагаемого диссертационного исследования обусловлена сложившимся к настоящему времени противоречием между большим развивающим потенциалом материала о неевклидовых геометриях и слабой ориентацией базового и факультативных геометрических курсов соответствующей тематики на полноценную актуализацию данного потенциала в реальной школьной практике. Разрешение данного противоречия составляет основную проблему исследования.
Цель исследования заключается в педагогическом обосновании структуры и содержания факультативного курса развивающей направленности «Неевклидовы геометрии» и разработке теоретически обоснованной и экспериментально проверенной методики обучения.
Объектом исследования является процесс обучения геометрии на факультативных занятиях в старших классах средней школы.
Предметом исследования являются теоретические основы и методические условия организации факультативного курса развивающей направленности «Неевклидовы геометрии».
Гипотеза исследования: эффективная актуализация развивающего потенциала математического образования может быть осуществлена в рамках специально разработанного факультативного курса «Неевклидовы геометрии», удовлетворяющего следующим требованиям:
- содержание материала факультатива естественным образом увязано с
фактами и закономерностями базового курса геометрии;
характер используемых методов предусматривает альтернативное рассмотрение и последующее сопоставление изучаемых «единиц содержания» (понятий, фактов, теорем, задач) с позиций евклидовой и неевклидовых геометрий;
обеспечена возможность для проявления учениками готовности к реализации творческого поиска в режиме относительно свободной познавательной позиции.
Для достижения поставленной цели и проверки сформулированной гипотезы необходимо было решить следующие задачи:
уточнить роль и место факультативных занятий в системе математического образования
исследовать возможности раздела «Неевклидовы геометрии» в плане усиления развивающей составляющей школьного математического содержания;
выявить систему условий, обеспечивающих эффективное изучение факультативного курса развивающей направленности «Неевклидовы геометрии» в старших классах средней школы;
разработать содержание и структуру факультативного курса развивающей направленности «Неевклидовы геометрии»;
разработать стратегию поиска пути решения задач неевклидовых геометрий;
экспериментально проверить эффективность разработанной методики
обучения старшеклассников элементам неевклидовой геометрии.
К научно-теоретическим предпосылкам, составляющим
методологическую основу исследования, относятся:
системный подход, основы которого заложены в трудах В.П. Кузьмина, В.Н. Садовского, А.И. Уемова, Э.Г. Юдина, М.И. Сетрова и др., а возможности реализации в методических исследованиях продемонстрированы в работах Ю.М Колягина, В.А. Гусева, Г.И. Саранцева, В.И. Крупича, М.И. Зайкина, В.А. Тестова и др.;
методологические положения, определяющие развитие системы современного среднего и высшего математического образования в русле следующих направлений этого развития: фундаментализации, гуманитаризации и гуманизации математического образования, личностно-ориентированного обучения математике (А.Д. Александров, Н.М. Бескин, В.Г. Болтянский, А.В. Гладкий, В.А. Гусев, Г.В. Дорофеев, М.И, Зайкин, Т.А. Иванова, А.Г. Мордкович, В.В. Орлов, Г.И. Саранцев, И.М. Смирнова и др.);
концептуальные идеи и принципы, имеющие основополагающее значение для определения путей реализации развивающей направленности обучения математике на факультативных занятиях в школе, как в общеметодическом, так и в частно-методическом ракурсах (М.Б. Банк, В.Н. Березин, О.А. Боковнев, Н.Я. Виленкин, С.Н. Дорофеев, О.Б.Епишева, М.П. Кашин, Л.М. Лоповок, В.М. Монахов, И.М.Смирнова, В.В.Фирсов, СИ. Шварцбурд, И.Ф. Шарыгин, Л.С. Атанасян, Н.М. Бескин, В.Г. Болтянский, А.Л. Вернер, Е.Е. Семенов, С.А. Франгулов и др).
Для решения поставленных задач использовались следующие методы исследования:
теоретический анализ социально-философской, психолого-педагогической научно-методической и учебно-методической литературы в ракурсе темы исследования;
синтез, анализ, сравнение, обобщение, классификация, методы описательной статистики;
анализ организации процесса преподавания математики на факультативных занятиях в средней школе; лонгитюдные наблюдения за педагогической деятельностью учителей и учебно-познавательной деятельностью старшеклассников, посещающих факультативные занятия по математике;
сравнительный анализ учебников и учебных пособий, учебных планов и программ по математике для факультативных курсов;
проведение педагогических измерений (анкетирование, интервьюирование, тестирование, собеседования, анализ продуктов учебной деятельности старшеклассников, создание ситуаций свободного выбора);
педагогический эксперимент по проверке эффективности методического обеспечения факультатива развивающей направленности «Неевклидовы геометрии»;
статистическая обработка результатов педагогического эксперимента (в соответствии с особенностями организации обучающего эксперимента был использован двусторонний критерий согласия х1 -Пирсона).
Исследование проводилось поэтапно.
На первом этапе (2002-2003 гг.) осуществлялось изучение и анализ психолого-педагогической и научно-методической литературы по теме исследования, изучалось состояние рассматриваемой проблемы в школьной практике обучения математике.
На втором этапе (2003-2005 гг.) разрабатывались теоретические основы организации факультативного курса «Неевклидовы геометрии»;
создавалось соответствующее методическое обеспечение этого курса; проводился констатирующий и поисковый эксперимент.
На третьем этапе (2005-2006 гг.) проводился обучающий эксперимент с целью проверки эффективности и корректировки разработанной методики, произведена интерпретация и обобщение его результатов, подведены итоги и осуществлена первоначальная экспертиза исследования.
Научная новизна выполненного исследования заключается в формулировке основных принципов, определяющих структуру и содержание факультативного курса развивающей направленности «Неевклидовы геометрии»; построении и исследовании структурно-логической модели данного курса, которая включает в себя критерии отбора содержания факультатива, педагогические предпосылки, принципы, методы, формы его эффективной организации, а также планируемые результаты обучения; определении специфики поисковой работы старшеклассников при решении задач неевклидовой геометрии.
Теоретическая значимость исследования заключается в раскрытии развивающей роли факультативного курса «Неевклидовы геометрии»; педагогическом обосновании содержания и структуры факультативного курса; определении возможностей расширения диапазона поиска пути решения и конструирования геометрических задач на основе идеи сопоставления и противопоставления фактов и закономерностей евклидовой и неевклидовых геометрий.
Практическая значимость результатов и рекомендаций, выработанных в ходе исследования, заключается в возможности их непосредственного использования учителями при организации и проведении факультатива «Неевклидовы геометрии», а также преподавателями педагогических вузов при разработке спецкурсов и спецсеминаров, направленных на подготовку студентов к проведению факультативных занятий в школе.
На защиту выносятся следующие положения:
1. Целенаправленное изучение элементов неевклидовых геометрий,
изначально возникших как своеобразные альтернативы традиционной
евклидовой геометрии, позволяет естественным образом усилить
развивающий потенциал школьного математического образования в аспекте
развития таких важных качеств поисковой математической деятельности, как
способность к быстрой актуализации необычных ассоциативных связей;
привития «чувства новизны»; умения видеть объект под новым
«альтернативным» углом зрения, гибко переключаться с одних привычных
действий на другие, легко перестраивать собственный фонд знаний в
соответствии с требованиями задачи; формирования обобщенных способов
действия, имеющих широкий диапазон переноса и применения к нетипичным
частным случаям.
2. Возможность полноценной реализации развивающей
направленности факультатива «Неевклидовы геометрии» определяется
следующей системой принципов: альтернативности, соотнесенности,
адекватного контроля, мотивационной обусловленности, незамкнутости и
развивающего контекста обучения. Данные принципы лежат в основе
структурно-логической модели указанного факультативного курса,
представленной в тексте работы.
3. Представленная в диссертации методика работы с задачами
неевклидовой геометрии имеет определенную специфику по сравнению с
традиционным подходом, которая заключается в постоянном сопоставлении
и противопоставлении обнаруживаемых в ходе поиска решения той или иной
задачи фактов и закономерностей с аналогичными фактами, полученными
при решении той же задачи в рамках евклидовой геометрии.
На защиту также выносится методическое обеспечение выдвинутых положений в виде учебного пособия «Неевклидова геометрия: факультативный курс для старшеклассников».
Достоверность и обоснованность полученных выводов
обеспечивается внутренней согласованностью выдвигаемых теоретических
положений, их соответствием концепциям базисных наук, адекватностью используемого в исследовании методологического и методического инструментария его целям, предмету и задачам, результатами педагогического эксперимента.
Апробация основных положений и результатов настоящего исследования проводилась в форме докладов и выступлений на всероссийских научно-практических конференциях (Саранск, 2005 г.; Пенза, 2005 - 2006 гг.); на международных научно-методических конференциях (Пенза, 2004 г.; Тольятти, 2004 г.; Саратов, 2004 г.; Санкт - Петербург, 2004 -2005 гг.), а также на заседаниях научно-методического семинара кафедры теории и методики обучения математике Пензенского государственного педагогического университета имени В.Г. Белинского (2002-2006 гг.).
Внедрение результатов диссертационного исследования
осуществлялось в ходе апробации разработанного методического обеспечения курса «Неевклидовы геометрии» на факультативных занятиях в средней школе № 35 г. Пензы. Внедрение научных результатов осуществлялось также через подготовку учебного пособия, методических материалов и научных статей в сборниках различного ранга общим объемом более 7 п.л.
Структура диссертации определена логикой и последовательностью решения задач исследования. Она состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы и приложения. Основное содержание работы изложено на 141 странице машинописного текста. Библиография составляет 154 наименования. В тексте диссертации имеются таблицы (8), рисунки (28), схемы (4).
Роль и место факультативных занятий в системе школьного математического образования
Как известно, цель обучения математике состоит в том, чтобы каждый ученик овладел такой системой математических знаний, и основанных на них умений и навыков, чтобы он понимал, что математика является методом познания действительности, чтобы он мог строить математические модели наиболее важных практических задач, исследовать их и решать, имел представление об истории науки, знакомящей учащихся с великими открытиями, с именами известных ученых, понимал значимость математики для современной науки, имел необходимую математическую подготовку для изучения других учебных предметов, для продолжения образования после окончания школы.
В достижении данной цели немаловажную роль играет система факультативных занятий по математике, введенная в школу с 1966 года. Цель этих занятий изначально декларировалась, как расширение, углубление знаний, развитие интересов и способностей, учащихся в избранных ими областях знаний и воспитание у них определенных навыков самостоятельной работы. Другими словами цели изучения математике на факультативных занятиях обусловлены общими целями математического образования.
Специфика факультативных занятий разрешает определенную автономность содержания факультативного курса, отличающуюся, более законченной систематичностью изложения материала с учетом особенностей данного раздела. Эту систематичность необязательно связывать с традиционной систематичностью, принятой в школе при изучении основ наук, можно использовать другую последовательность изложения и формирования математических знаний, если последние раскрываются в связи с уже известными понятиями.
Введение в среднюю школу факультативных занятий поставило перед учеными и педагогами важные вопросы обучения математике на факультативных занятиях. Какие методы и приемы обучения целесообразно использовать на факультативных занятиях, какие сочетания этих методов составляют рациональные методики обучения, в чем сходство и в чем различие между методиками обязательных и необязательных занятий - эти вопросы возникли и решались одновременно с задачами отбора содержания математических факультативов.
В период становления математических факультативов учителя и преподаватели факультативных групп часто использовали традиционные сочетания методов и приемов обучения, не связанные со спецификой факультативных занятий. Факультатив строился как урок или, лучше сказать, как продолжение урока, либо как математический кружок традиционного типа.
В первом случае факультативы превращались по существу в некое подобие дополнительных занятий, направленных на ликвидацию пробелов учащихся в знаниях по общему курсу математики. При этом многие факультативы имели и во многом имеют до сих пор ярко выраженный репетиторский уклон. В другом случае факультатив носил поверхностный, легковесный характер, и очень часто не достигал целей повышения уровня математического развития учащихся за счет углубления в изучении базовых математических курсов.
Вместе с тем, в практике работы передовых учителей - руководителей факультативов - уже в начальный период возникали и множились ростки той методики обучения, которая должна отвечать целям и задачам факультативных занятий и учитывать характерные особенности математических факультативов.
К числу этих особенностей можно, например, отнести относительную малочисленность группы учащихся, широкое применение индивидуальных методов обучения, опирающихся на уже сформированную в определенной мере познавательную самостоятельность школьников, а также изначальное наличие определенного интереса к математике у большинства участников факультатива. Следует отметить, что методы обучения на факультативных занятиях используются те же, что и при обучении основному курсу математики. Специфика факультативов же проявляется, в первую очередь, в нетрадиционных сочетаниях методов и приемов обучения, использовании этих методов в не совсем обычных контекстах.
В настоящее время выполнен ряд научных исследований по общим вопросам содержания, организации и проведения факультативных занятий. Среди них сугубо математическим факультативам посвящены работы Н.В. Аммосовой [8], Ашкын Суата [12], Н.П. Мартиросяна [84], Н.Р. Гайбулаева [28], ЕЛ. Ермак [57], Т.И. Саламатовой [111], Н.П. Жуковой [61], Н.В. Горбачевой [33], А.Н. Колобова [72], Т.Г. Макаровской [82] и др. Их изучение позволяет выделить следующие методические особенности организации и проведения факультативных занятий по математике.
Опора на устойчивый интерес и склонность ученика к математике является фундаментальной особенностью, которая самым существенным образом должна влиять на выбор методов обучения и разработку методик, применяемых на факультативных занятиях. Любому учителю понятно, как могут преобразиться занятия математикой, если учащиеся проявляют заведомый интерес к науке. Для слушателей факультатива математика не может быть скучной, занятия происходят не по обязанности. А это существенным образом расширяет методические возможности учителя.
Во многих методических исследованиях показано, что при выборе методов и приемов обучения на факультативных занятиях необходимо учитывать содержание факультативного курса, уровень развития и подготовленность учащихся, их интересы к тем или иным разделам программы. Одно из главных требований к методам состоит в активизации мышления учащихся, развитию самостоятельности в различных формах ее проявления. Также необходимо учесть цели и задачи обучения, воспитания, развития, которые будут реализовываться, как непосредственно на данном занятии, так и на протяжении изучения всего материала факультативного курса.
Элементы неевклидовых геометрий как компонент школьного математического содержания
Исследование целесообразности изучения в школе элементов неевклидовых геометрий, являющихся неотъемлемой частью геометрического знания, целесообразно начать с обсуждения общекультурной и развивающей роли этого знания. Особая роль школьной геометрии по отношению к науке, причем не только к математике, состоит в том, что она является неисчерпаемым источником интересных и оригинальных идей, облегчает поиск решения самых различных научных и технических проблем, способствует развитию геометрической интуиции, которая составляет основу творческого развития человека.
В своей «Концепции школьной геометрии» известный методист И.Ф. Шарыгин, говоря о специфике математического образования, особо подчеркивает роль геометрических знаний в культурном, духовном, интеллектуальном и творческом развитии личности. Геометрия - это феномен общечеловеческой культуры. Человек, вообще не знающий геометрии, не может считаться культурным. Многие теоремы геометрии являются одними из самых древних памятников мировой культуры. История геометрии, по сути, является отражением истории развития человеческой мысли. Можно сказать, что геометрия является самым гуманитарным из негуманитарных предметов, так как с ее помощью реализуются многие цели, специфические именно для предметов гуманитарного цикла [l45,c.239j.
Очевидна большая роль геометрии в развитии мышления и интеллектуальных способностей человека. Геометрический критерий становится важнейшим именно на высоких уровнях интеллектуального развития. Не только исторически для всего человечества, но и генетически (для отдельного человека) геометрическая деятельность является первичным видом интеллектуальной деятельности, которой человеку приходится заниматься практически с рождения, манипулируя с предметами окружающей действительности. Уникальность геометрии как школьного предмета подчеркивает также тот факт, что геометрия, по сути, единственная школьная дисциплина, построенная на основе принципов научной теории.
В обучении геометрии необходимо сочетание логики и интуиции, дедукции и индукции, конкретизации и обобщения, анализа и синтеза. Курс школьной геометрии должен быть таким, чтобы он, прежде всего, побуждал учащихся к постановке вопросов, выдвижению гипотез, создавал бы условия для эффективных поисков, возможности проводить глубокие сравнения, широкие обобщения, выдвигать гипотезы и предположения, переносить знания, умения и навыки в новую ситуацию. Большую роль при этом будут играть интуитивные рассуждения по аналогии. Отсюда проблема - создание учебников геометрии, в которых в одинаковой степени были бы представлены и логический и интуитивный компоненты.
Однако вопрос о том, каким должен быть курс геометрии в школе, в какой мере целесообразно выдержать соотношение между наглядностью и логикой по сей день остается открытым.
Неевклидова геометрия является неотъемлемой частью геометрии как науки. При этом, с одной стороны, она обладает большинством дидактических и воспитательных возможностей традиционной евклидовой геометрии, а с другой - привносит в геометрию идею альтернативности, то есть позволяет знакомить ученика с различными точками зрения, сопоставлять и противопоставлять различные идеи и идеологии, приучая его реализовывать собственное право на выбор.
Как известно, многие исследователи обсуждали целесообразность введения неевклидовых геометрий в школьный курс геометрии. Еще на I съезде 27 декабря 1911 года в Петербурге один из математиков с мировым именем Д.Д. Мордухай-Болтовский высказался против введения неевклидовой геометрии в среднюю школу. Более того, он считал, что изучение ее сверх обязательной программы, как дополнения, представляет большие опасности. Он опасался, что неевклидова геометрия будет пониматься учащимися как действительная, реальная геометрия, а евклидова - как кажущаяся, недействительная, при этом чисто логическое значение неевклидовой геометрии, как и ее мировоззренческий потенциал, все равно не будет усвоено учащимися, поскольку оно редко усваивалось даже студентами.
Признавая вопрос об изучении школьниками неевклидовой геометрии достаточно интересным, Д.Д. Мордухай-Болтовский в то же время указывал на явную недостаточность методической проработки этого вопроса. В частности, при декларативном утверждении полезности неевклидовой геометрии для расширения кругозора учащихся и развития их мышления, не было обосновано, почему в школе целесообразно предпочесть именно неевклидову геометрию, а не математический анализ или, например, теорию чисел. Данный вопрос казался тем более важным по причине того, что в указанный период были еще далеко не всем понятны физические «выходы» неевклидовых геометрий.
После Д.Д. Мордухай-Болтовского многие математики - педагоги: В.Г. Болтянский [23], В.В. Гнеденко [Зі], И.М. Яглом [154] и др. утверждали полезность ознакомления учащихся с элементами неевклидовых геометрий и историей их открытия. Так, академик В.В. Гнеденко [154] считал, что глубокие идеи Н.И. Лобачевского о геометрической структуре окружающего нас пространства и о возможности различных геометрий для объяснения явлений макро - и микромира непременно заслуживают того, чтобы о них услышали школьники.
Под влиянием сложившегося мнения о полезности для всех школьников знакомства с геометрией Лобачевского, данный материал неизменно затрагивался в различных контекстах в большинстве учебников геометрии для основной и полной средней школы.
Так, например, уже в учебнике А.П. Киселева [68] можно найти сведения об аксиомах геометрии: знакомство с «Началами» Евклида, проблемой V постулата; построение Лобачевским новой геометрии, ее влияние на дальнейшее развитие науки. Учебное пособие под редакцией А.Н.Колмогорова [70] содержит в курсе планиметрии целую главу, посвященную логическому строению геометрии, где автор останавливается на аксиоме параллельности. В частности указывается на безуспешные попытки доказательства этой аксиомы и обоснование Н.И. Лобачевским невозможности последнего, что и привело в итоге к созданию им новой, «воображаемой», геометрии.
В более поздних изданиях [71] соответствующий материал дается после изучения аксиомы параллельных; в качестве дополнительного, где в пункте «Неевклидова геометрия. Геометрия и физика» рассматривается возникновение неевклидовых геометрий и, в частности, геометрии Лобачевского и Римана, а также их влияние на развитие представлений об окружающем нас реальном пространстве.
В учебном пособии по стереометрии под редакцией З.А. Скопеца [69] исторический очерк, приведенный в конце книги, включает в себя вместе с упоминанием имени Н.И. Лобачевского раскрытие сущности и значение сделанного им открытия, которому предшествует рассмотрение некоторых особенностей «Начал» Евклида.
Школьные учебники геометрии, действующие в настоящее время, также касаются, хотя и с разной степенью глубины и подробности, вопроса о создании неевклидовых геометрий и их значении. Так, учебник для 7-9 классов средней школы Л.С. Атанасяна [11] как одно из приложений включает в себя «Некоторые сведения о развитии геометрии», где помимо других факторов указывается на особую роль пятого постулата Евклида в развитии геометрии, связанные с ним проблемы и их разрешение великим русским математиком Н.И. Лобачевским, при этом рассматривается влияние открытий этого ученого на развитие науки, попутно затрагивается вопрос о непротиворечивости, полноте и независимости систем аксиом.
Структурно-содержательная характеристика факультативного курса «Неевклидовы геометрии»
Пропедевтическое знакомство школьников с элементами неевклидовых геометрий целесообразно начинать еще в 9-м классе после прохождения курса планиметрии. Целесообразность такого знакомства обусловлена с одной стороны общекультурным значением открытия Н.И. Лобачевского, который произвел революцию в геометрической науки, внеся в ее идею множественности геометрий, а, с другой - необходимостью осознания сущности аксиоматического метода, как ведущего метода построения научных теорий.
Первая «встреча» девятиклассников с Н.И. Лобачевским и его геометрией может быть осуществлена, например, на внеклассном мероприятии, которое включает в себя рассмотрение следующих вопросов:
1. Краткая биография Н.И. Лобачевского.
2. Из воспоминаний современников о Н.И. Лобачевском.
3. Замечательные высказывания Н.И. Лобачевского.
4. Беседа о геометрии Лобачевского.
5. Отзывы русских и советских ученых о Лобачевском и его геометрии. Содержание этих вопросов подробно представлено в приложении к диссертации.
Основное знакомство с неевклидовыми геометриями предусматривается в 11- м классе на факультативном курсе. Данный курс рассчитан на годичное изучение.
Опираясь на сформулированные в первой главе принципы отбора содержания теоретического материала, был произведен отбор данного материала применительно к факультативу «Неевклидовы геометрии» и разработано тематическое планирование этого факультатива:
Организация изучения каждого раздела в основном подчиняется приведенной ниже схеме, в соответствии с которой изложение начинается с совместной актуализации необходимых сведений и постановки базовой проблемы. Новый материал вначале представляется учителем в лекционной форме, а его дальнейшее раскрытие предполагает варьирование эвристической беседы, организуемой в традиционном ключе, и групповой или индивидуальной самостоятельной работы (схема 3). В числе тем индивидуальных исследовательских проектов, в частности, можно указать: элементы сферической геометрии в схеме Вейля; элементы гиперболической геометрии в схеме Вейля; инверсии и их свойства, геометрия изотропного пространства; основные формулы тригонометрии сферической и гиперболической геометрий и некоторые другие [35,с.145]. Текущий контроль усвоения в соответствии с принципом адекватного контроля осуществляется либо при проверке индивидуальных заданий, либо при защите рефератов. Итоговая проверка предусматривает написание двух контрольных работ [35,с. 142-144].
Кратко рассмотрим содержание факультативных занятий.
В первом разделе факультативного курса с целью актуализации соответствующих знаний и опыта учащихся рассматриваются общие положения, характеризующие аксиоматический метод построения теории. В частности, здесь школьники вспоминают, как строится аксиоматическая теория, и какие предложения могут быть выбраны в качестве аксиом. Специально отмечается, что одна и та же геометрическая система может иметь разные системы аксиом, каждая из которых связана с выбором основных объектов и отношений геометрии.
Предлагается более подробно рассмотреть в качестве пропедевтических примеров аксиоматик классическую систему аксиом Д. Гильберта и аксиоматику А.Д. Александрова. Выбор последней продиктован ее существенным отличием от других школьных аксиоматик в плане приближенности к реальным жизненным представлениям школьников. В ходе рассмотрения обращается особое внимание учеников на то, что если не включать в список аксиом аксиому параллельности, то можно вполне определенно построить геометрическую систему, называемую абсолютной геометрией, которая включает в себя теоремы и их доказательства на основе известных четырех групп аксиом Гильберта.
Самостоятельная работа старшеклассников на первых занятиях в основном предполагает их выступления с сообщениями, в которых приводятся примеры систем аксиом, и рассматривается выполнимость известных требований к ним.
