Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. ПСИХОЛОГО-ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ УЧЕТА КОМПОНЕНТОВ МАТЕМАТИЧЕСКИХ СПОСОБНОСТЕЙ СТУДЕНТА ПРИ ДИФФЕРЕНЦИРОВАННОМ ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ В ТЕХНИЧЕСКОМ ВУЗЕ 16
1.1 Математические способности и их компоненты в психолого-педагогических исследованиях 16
1.2 Адаптация структуры математических способностей, предложенной В. А. Крутецким, применительно к студенту технического вуза 38
1.3 Психолого-педагогические основы формирования типологических групп студентов, образованных с учетом различий компонентов математических способностей 58
ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ 1 77
ГЛАВА 2. МЕТОДИКА ДИФФЕРЕНЦИРОВАННОГО ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ С УЧЕТОМ УРОВНЯ РАЗВИТИЯ КОМПОНЕНТОВ И ТИПА СТРУКТУРЫ МАТЕМАТИЧЕСКИХ СПОСОБНОСТЕЙ СТУДЕНТА ТЕХНИЧЕСКОГО ВУЗА 79
2.1 Диагностика и развитие компонентов математических способностей студента технического вуза на основе построения и использования циклов задач по математике 79
2.2 Методика диагностики уровня развития компонентов и типа структуры математических способностей студента технического вуза 104
2.3 Методика развития математических способностей у студентов разных типологических групп 123
ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ 2 141
ГЛАВА 3. МЕТОДИКА И РЕЗУЛЬТАТЫ ПРОВЕДЕНИЯ ПЕДАГОГИЧЕСКОГО ЭКСПЕРИМЕНТА 143
3.1 Экспериментальная проверка гипотезы об инвариантности структуры математических способностей студента, проявляемой им на разном математическом материале 143
3.2 Методика и результаты проведения педагогического эксперимента 15
ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ 3 162
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 163
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 166
ПРИЛОЖЕНИЯ 183
- Математические способности и их компоненты в психолого-педагогических исследованиях
- Диагностика и развитие компонентов математических способностей студента технического вуза на основе построения и использования циклов задач по математике
- Экспериментальная проверка гипотезы об инвариантности структуры математических способностей студента, проявляемой им на разном математическом материале
Введение к работе
Сущностью инженерной деятельности является интеллектуальное обеспечение процессов создания и обслуживания технических систем в соответствии с потребностями общества. Общепризнанно, что в условиях нарастания темпов технического прогресса, когда знания и технологии устаревают достаточно быстро, на первый план выходит не столько проблема вооружения выпускника технического вуза знаниями и методами, сколько развития его мыслительных способностей, необходимых для освоения и разработки новых инженерных технологий. Как в период обучения во втузе, так и в самостоятельной работе специалиста-инженера, основным аппаратом технического творчества является математика. В работах М. М. Зимовкиной, В. В. Кондратьева, С. А. Татьяненко обосновано, что готовность к инженерному творчеству включает в себя развитое математическое мышление как одну из необходимых составляющих [72; 87; 173]. Анализ второго поколения Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования 2001-2010 гг. [48] показывает, что к развитию мышления будущего инженера предъявляются серьезные требования: оно должно быть логичным, критичным, гибким, креативным. В Концепции модернизации российского образования на период до 2010 года [88], а также в Доктрине высшего инженерного образования России развитию креативного мышления инженера уделяется большое внимание [144]. Это закономерно, поскольку математическое мышление и математические способности необходимы инженеру для описания и исследования проектируемых им технических систем. Тем не менее, исследования инженерного образования России показывают, что математическая подготовка и уровень развития математических способностей выпускника технического вуза являются недостаточными для инженерной деятельности.
Проблема повышения качества математического образования и развития мышления традиционно решается в рамках индивидуально-дифференцированного подхода к обучению. Под индивидуальным подходом в обучении (вслед за Г. Д. Глейзером) будем понимать систему управления учебно-познавательной деятельностью, организованную с учетом индивидуально-психологических особенностей каждого студента. При учете в обучении групп преобладающих особенностей указанную систему управления будем называть дифференцированным подходом к обучению, который может быть реализован посредством изменения целей обучения, его содержания, форм и методов. Термин «дифференцированное обучение» рассматривается в двух значениях: как форма организации учебного процесса, при которой учитель (преподаватель) работает с группой обучающихся, составленной с учетом наличия у них каких-либо значимых для учебного процесса общих качеств (уровневая дифференциация) - в этом смысле термин употреблен в нашей работе; либо как часть дидактической системы, обеспечивающей специализацию учебного процесса для различных групп обучающихся (профильная дифференциация).
Проблема индивидуализации и дифференциации обучения математике тесно связана с исследованием тех индивидуально-психологических отличий, проявляющихся в процессе обучения предмету, которые подлежат учету, формированию и развитию. Общие психологические основы различий в индивидуальных свойствах мышления рассматривались в работах Б. Г. Ананьева, Д. Б. Богоявленской, Дж. Брунера, А. В. Брушлинского, Л. С. Выготского, В. Н. Дружинина, Е. Н. Кабановой-Меллер, Ю. Н. Кулюткина, 3. И. Калмыковой, А. Г. Ковалева, А. Ф. Лазурского, Н. С. Лейтеса, А. Н. Леонтьева, А. К. Марковой, Н. А. Менчинской, С. Л. Рубинштейна, Ю. А. Самарина, Б. М. Теплова, М. А. Холодной, Н. И. Чуприковой, В. Д. Шадрикова. Проблеме различий в индивидуальных особенностях при обучении в вузе посвящены работы Б. Г. Ананьева, Э. А. Голубевой, Т. В. Кудрявцева, В. Д. Небылицына, П. И. Пидкасистого, К. К. Платонова, Ю. А. Самарина, И. С. Якиманской. Основное внимание исследователей было сосредоточено на различиях в таких свойствах, как тип нервной системы, темперамент, особенности внимания, памяти, мышления, уровень обученности, обучаемость, интеллект, способности.
Дифференцированный подход в обучении достаточно полно разработан для школьного образования. В современных исследованиях, посвященных дифференцированному обучению математике, главным образом, в школе и, в меньшей степени в вузе, реализован учет следующих особенностей: мотивации (Е. Г. Козлова, А. В. Макаркин), познавательного интереса (Р. Р. Бикмурзина), межполушарной асимметрии (В. А. Далингер), геометрических умений (В. А. Гусев), творческих способностей к математике (Т. Н. Брянцева, С. М. Макарова), темперамента (Н. Ю. Деревякина), уровня знаний (Р. А. Утеева), учебных возможностей (А. А. Бударный), психологических особенностей решения задач (Р. А. Атаханов), общеучебных приемов деятельности (О. Н. Бердюгина, О. Б. Епишева), особенностей математического мышления студентов гуманитарного профиля (И. К. Берникова, Т. А. Ширшова). В методических и психолого-педагогических исследованиях В. А. Гусева (дифференциация обучения геометрии в средней школе), Р. А. Утеевой (методика дифференцированного обучения математике школьников), С. В. Демисеновой, Н. Г. Дендеберя, И. В. Дробышевой (методика подготовки будущего учителя • к дифференцированному обучению школьников), Г. Д. Глейзера, В. В. Монахова, И. М. Осмоловской, И. Э. Унт (общие основы индивидуализации и дифференциации обучения в школе) показано, что реализация данного подхода в различных его аспектах является действенным средством повышения качества обучения.
Применительно к техническому вузу проблема математической подготовки будущего инженера ранее рассматривалась в следующих аспектах: математический «аппарат» инженера (Д. Пойа, В. П. Сигорский); модернизация содержания курса математики во втузе (Н. Р. Жарова, Л. Д. Кудрявцев, B. В. Кондратьев); обучение решению прикладных задач, математическому моделированию (И. И. Блехман, В. И Карпова, И. Л Куликова); формирование профессиональной компетентности инженера при обучении математике во втузе (Е. Ю. Белянина, Т. В. Кудрявцев, Б. Ф. Ломов, С. А. Татьяненко); уровневая дифференциация студентов технического вуза с помощью компьютерных технологий при обучении математике (Т. Ю. Горюнова). Ряд исследователей (М. И. Дьяченко, В. В. Кондратьев, И. Л. Куликова) указывают на необходимость усиления дифференцированного подхода во втузе. Методисты В. В. Кондратьев [87], И. Л. Куликова [106] отмечают, что математическая подготовка приблизительно 20% выпускников технических вузов является недостаточной для инженерной деятельности. По данным C. А. Татьяненко [173], 60% выпускников технического вуза (по разным причинам) не готовы к будущей профессиональной деятельности, из них 26% имеют недостаточную математическую подготовку. Результаты Федерального Интернет-экзамена в сфере профессионального образования во втузах России студентов-второкурсников подтверждают недостаточный уровень освоения ими Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по математике.
Развитие математического мышления определяется взаимодействием двух групп факторов: состоянием математических знаний и умений, а также наличием математических способностей. Математические способности многие ученые рассматривают как индивидуально-психологические особенности мышления, обеспечивающие быстрое, легкое и успешное овладение соответствующими знаниями, умениями и навыками, а также опытом творческой деятельности в области математики (подходы В. А. Крутецкого, Б. М. Теплова). Изучением математических способностей и мышления школьников занимались математики и методисты Б. В. Гнеденко,, A. Н. Колмогоров, Н. В. Метельский, Д. Пойа, А. А. Столяр, А. Я. Хинчин, С. И. Шварцбурд и другие. Математики Ж. Адамар и А. Пуанкаре пытались обнаружить механизмы научно-математического- творчества и состав способностей ученого-математика. Д. Пойа и А. Пуанкаре рассматривали математические способности студентов с точки зрения методики. С психологической точки зрения математические способности и мышление в различных аспектах исследовали Р. А. Атаханов (психологические особенности решения математических задач), И. Верделин (соотношение общих и математических способностей школьников), И. М. Дубровина (математические способности младших школьников), В. А. Крутецкий (феномен математической одаренности, структура учебно-математических способностей школьника и их корреляция с другими предметными способностями, диагностика компонентов математических способностей школьника), А. Ф. Лазурский (психологические функции арифметического мышления), Н. А. Менчинская (состав арифметических способностей младших школьников), А. Г. Ковалев, B. Н. Мясищев (лонгитюдная характеристика развития математических способностей), Ж. Пиаже (особенности понятийного и операционного мышления дошкольника и младшего школьника), Н. А. Подгорецкая- (степень полноценности логических операций взрослых людей), Э. Торндайк (состав алгебраических способностей), С. И. Шапиро (математические способности старшеклассников). Несмотря на большое количество исследований математических способностей, следует отметить, что они затрагивают либо учебно-математические способности школьника, либо научно-математические способности ученого-математика. Ученые приводят около 30 различных компонентов, среди которых можно выделить особенности мышления, особенности личности, ее направленности, а также другие индивидуально-психологические особенности.
Согласно данным психологов (Б. Г. Ананьева, В. Н. Дружинина,. A. Г. Ковалева Е. Ф. Рыбалко), период юности, совпадающий с первыми двумя годами обучения в вузе, является сензитивным периодом для развития математических способностей. Анализ достижений известных ученых- математиков позволяет сделать вывод о том, что один из пиков проявления творческих способностей в математике приходится на период до 20 лет. Подтверждением данному факту может служить анализ биографий великих математиков Н. Абеля, Э. Галуа, К. Ф. Гаусса, Ж. Л. Лагранжа, Г. В. Лейбница, И. Ньютона, Б. Паскаля, Л. Эйлера, совершивших первые математические открытия в этом возрасте. Тем не менее, несмотря на несомненный интерес психологов к проблеме мышления и способностей в школе, психолого- педагогические исследования учеными студенческого возраста касаются изучения логического мышления, пространственного мышления, изменений в вербальном и невербальном интеллекте, либо математического мышления вообще.
Основным средством реализации дифференцированного подхода при обучении высшей математике в большинстве работ, является предложение системы разноуровневых задач (Н. А. Семина, Ю. А. Семеняченко, B. В. Кертанова), отвечающих выбранным в качестве оснований дифференциации особенностей, гораздо меньше внимания уделяется дифференцированному обучению с помощью организационных форм деления на типологические группы. Структурный подход к развитию математических способностей представлен в методических исследованиях недостаточно полно. Исследователи, даже если и приводят в работе структуру математических способностей, в дальнейшем предпочитают их рассматривать в целом, а деление обучающихся происходит традиционно на три уровневые группы (высоких, средних, низких) математических способностей (Н. Г. Дендеберя, И. В. Дробышева, В. П. Ефремов, В. В. Кертанова). Однако, при таком делении не учитывается структура математических способностей, поэтому возникает необходимость поиска других критериев дифференциации по способностям; представляется, что она будет эффективнее традиционной. В условиях комплектования неоднородных студенческих групп (в силу различий в математических способностях, в уровне обученности) вопрос осуществления дифференцированного подхода является центральным для преподавателя, заинтересованного в результативном развитии мышления каждого студента.
В качестве препятствий для реализации дифференцированного обучения с учетом компонентов математических способностей во втузе можно выделить ряд проблем: недостаточно исследована проблема структуры математических способностей студента втуза; диагностические средства не адаптированы для систематической диагностики и учета в обучении компонентов математических способностей студентов.
Результаты опросов преподавателей технических вузов подтверждают, что при обучении высшей математике, в основном, происходит дифференциация студентов по уровню обученности, понятие же способности к изучению дисциплины используется преподавателями интуитивно и трактуется неоднозначно. Кроме вышесказанного, данные, полученные нами при анкетировании преподавателей втузов, указывают на существование ряда трудностей в организации учебного процесса: преподавателю сложно из-за большой учебной нагрузки осуществлять дифференцированное обучение, поскольку требуется время на подготовку методических материалов, а также на проверку результатов их применения; преподаватель втуза имеет недостаточные для организации дифференцированного обучения представления о структуре математических способностей; уровень базовой математической подготовки некоторых студентов является недостаточным для освоения высшей математики.
Проблема исследования заключается в разрешении противоречия между необходимостью подготовки высококвалифицированных инженеров с развитым креативным мышлением, включающем математические способности как одну из необходимых составляющих, и недостаточной разработанностью методики дифференцированного обучения математике, ориентированной на учет и развитие компонентов математических способностей студента в процессе обучения математике во втузе.
Объект исследования: процесс обучения математике в техническом вузе.
Предмет исследования: дифференцированное обучение математике в техническом вузе с учетом уровня развития компонентов структуры математических способностей студента.
Цель исследования: в ходе теоретико-методологического и экспериментального исследования разработать и апробировать методику дифференцированного обучения математике в техническом вузе, направленную на развитие компонентов структуры математических способностей студента.
Гипотеза исследования заключается в том, что развитие математических -способностей студента технического вуза результативно, если при организации дифференцированного обучения математике учитываются уровни развития компонентов и тип структуры математических способностей студента посредством предложения специализированных циклов задач, направленных на развитие компонентов структуры и изменение типа структуры математических способностей.
Задачи исследования:
1. Адаптировать представления о структуре математических способностей применительно к студенту технического вуза на основе анализа психолого-педагогических подходов к структуре математических способностей, существующих структур математических способностей, а также современных требований к подготовке инженера.
2. Предложить типологию групп с учетом структуры математических способностей студента, применимую для организации дифференцированного обучения математике во втузе.
3. Модифицировать и адаптировать методику исследования математических способностей В. А. Крутецкого для диагностики уровня развития компонентов и типа структуры математических способностей студента втуза.
4. Разработать методику дифференцированного обучения математике с учетом уровня развития компонентов и типа структуры математических способностей студента на основе построения и использования циклов задач, предназначенных для диагностики и развития компонентов математических способностей: разработать критерии отбора задач в циклы, предложить формулировки требований задач каждого цикла, определить критерии и стратегии использования циклов задач в процессе обучения математике в техническом вузе.
5. В рамках педагогического эксперимента проверить эффективность предложенной методики дифференцированного обучения математике для развития компонентов математических способностей студента.
Методологической основой работы являются ? Дифференцированный подход к процессу обучения (Г. Д. Глейзер, И. М. Осмоловская, И. Э. Унт).
? Структурный подход к изучению математических способностей (И. Верделин, В. А. Крутецкий, А. Ф. Лазурский, Н. А. Менчинская, Э. Торндайк, Ч. Спирмен, И. С. Якиманская).
? Деятельностный подход к процессу обучения (Л. С. Выготский, А. Н. Леонтьев, С. Л. Рубинштейн).
Теоретической основой работы являются следующие группы исследований: Q Психолого-педагогические исследования способностей (Б. Г. Ананьев, С. Л. Рубинштейн, Н. А. Менчинская, Б. М. Теплов), в том числе математических способностей (В. А. Крутецкий, С. И. Шапиро), а также технических способностей (А. Г. Головенко, Т. В. Кудрявцев, И. С. Якиманская), исследования процесса творчества в математике (Ж. Адамар, Д. Пойа).
Теория развивающего обучения (Л. С. Выготский, В. В. Давыдов, Л. В. Занков, Д. Б. Эльконин, И. С. Якиманская).
Теория учебных задач в обучении (Г. А. Балл, Ю. А. Колягин, И. Я. Лернер, Д. Пойа, Л. М. Фридман).
? Исследования математической подготовки будущего инженера в техническом вузе (В. В. Кондратьев, Л. Д. Кудрявцев, В. П. Сигорский).
? Концепция профессиональной компетентности инженера (Т. В. Кудрявцев, Б. Ф. Ломов).
В процессе работы над диссертацией использованы следующие методы исследования: анализ психолого-педагогической и методической литературы, а также интернет-ресурсов по теме исследования; выборочный анализ задачного материала учебников, учебных и методических пособий, применяемых во втузе; анкетирование, опрос преподавателей втузов; констатирующий, поисковый и формирующий эксперименты; мониторинг учебного процесса; адаптация и модификация методик исследования математических способностей для систематической диагностики в техническом вузе; экспериментальная проверка гипотезы исследования; статистическая обработка результатов педагогического эксперимента (ранговая корреляция Спирмена, корреляция Пирсона, критерий Колмогорова-Смирнова, критерий Научная новизна работы заключается в следующем:
? впервые разработана методика дифференцированного обучения математике студентов втуза с учетом уровня развития компонентов структуры математических способностей, адаптированной для будущего инженера;
? реализация методики основана на построении и использовании циклов задач, отвечающих уточненной структуре и авторской типологии структуры математических способностей студентов втуза;
? предложенные циклы задач позволяют осуществлять систематическую диагностику и направленное развитие компонентов структуры математических способностей в рамках учебного процесса.
В этом состоит отличие от работ В. П. Ефремова (2004 г.), Ю. А. Семеняченко (2006 г.), В. В. Кертановой (2007 г.), в которых деление на типологические группы связывается с уровнем сложности решаемых задач (алгоритмических, частично-поисковых и творческих), а развитие математических способностей обеспечивается использованием профессионально ориентированных (В. В. Кертанова), творческих (В. П. Ефремов) и творчески ориентированных задач (Ю. А. Семеняченко), направленных на комплекс математических способностей; в то время как в нашем исследовании такое деление связывается с уровнем успешности решения диагностических циклов задач, а развитие обеспечивается включением в учебный процесс развивающих циклов задач, направленных на определенные компоненты структуры математических способностей. Предложены критерии построения циклов задач и связанные с ними способы отбора задач в циклы (анализ формулировки задачи и методический анализ решения задачи), определены стратегии использования этих циклов в процессе дифференцированного обучения математике.
Теоретическая значимость состоит в том, что:
? Адаптированная структура математических способностей применительно к студенту технического вуза (структура В. А. Крутецкого, содержащая общие компоненты математических способностей, дополнена специальными компонентами, необходимыми будущему инженеру) уточняет представление о математических способностях современного инженера.
? Предложенные критерии построения и использования циклов задач в учебном процессе обогащают методику обучения через задачи.
? Указанные в исследовании возможности использования психологических знаний о структуре математических способностей применительно к дифференцированному обучению математике являются одним из направлений совершенствования методики преподавания математики.
Практическая значимость заключается в следующем:
Разработанная методика организации дифференцированного обучения математике в техническом вузе на основе типологии групп, образованных с учетом различий в уровне развития блоков компонентов математических способностей, может быть использована в практической работе преподавателей технических вузов.
Предложенное построение циклов задач, направленных на диагностику и развитие компонентов полной структуры (13 компонентов) математических способностей, может использоваться при создании учебников нового поколения, разработке учебно-методических пособий для технических вузов, ориентированных на развитие математического мышления. Положения, выносимые на защиту:
1. Предложенная структура математических способностей студента технического вуза и созданная на ее основе типология структуры математических способностей позволяют организовать дифференцированное обучение математике, при котором учитываются и направленно развиваются компоненты математических способностей, необходимые современному инженеру. Структура математических способностей, предложенная В. А. Крутецким, дополняется специальными компонентами, необходимыми инженеру. Типология создается с помощью выделения стержневого качества в каждом блоке и с учетом взаимосвязей между блоками компонентов указанной структуры (L - блок логичности, G — блок гибкости, Р - блок пространственного мышления, К— блок креативности).
2. Разработанная методика дифференцированного обучения математике на основе построения и использования в процессе обучения циклов задач позволяет эффективно осуществлять диагностику, а также результативное развитие компонентов и изменение типа структуры математических способностей студента технического вуза в условиях организации дифференцированного обучения с учетом предложенных структуры (13 компонентов) и типологии (7 групп). Для этого диагностические и развивающие циклы задач строятся и используются с учетом критериев: 1) прямое или косвенное указание в постановке задачи на развитие какого компонента математических способностей она направлена; 2) необходимость проявления данного компонента математических способностей при выбранном способе решения задачи; 3) соответствие способа решения задачи содержанию Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по математике; 4) учет возможностей учебной программы данной специальности; 5) учет уровня развития компонентов и соответствующего типа структуры математических способностей каждого студента.
Достоверность и обоснованность результатов исследования обеспечивается опорой на фундаментальные работы в области психологии, педагогики и методики преподавания математики; использованием методов, адекватных предмету, цели и задачам исследования; результатами педагогического эксперимента, обработанными методами математической статистики, подтвердившими достоверность гипотезы исследования.
Экспериментальная проверка теоретических положений диссертации проводилась в Сибирской государственной автомобильно-дорожной академии в рамках лекционных и практических занятий, проведения дополнительных занятий в 2004-2005 гг. В эксперименте участвовали две группы 1 курса факультета «Промышленное и гражданское строительство» (внебюджетный факультет, ускоренная форма обучения): 12 ПГС (контрольная) в составе 25 человек и 11 ПГС (экспериментальная) в составе 22 человек. Этапы исследования.
На первом этапе (2001-2003 гг.) проходил констатирующий эксперимент, включающий сбор информации, определение направления исследования, обоснование актуальности исследования, проведение анкетирования преподавателей втузов, анализ психолого-педагогической и методической литературы по теме исследования.
На втором этапе (2003-2004 гг.) происходило создание и апробирование элементов методики в рамках поискового эксперимента.
На третьем этапе (2004-2008 гг.) проведен формирующий эксперимент и осуществлена статистическая обработка его результатов, изложены результаты и выводы диссертационного исследования.
Апробация и внедрение результатов исследования проводились:
• посредством докладов на заседаниях кафедры методики преподавания математики ОмГУ в 2002-2008 гг.;
• посредством участия в работе секций международных и межвузовских научно-методических конференций, в том числе: «Педагогический менеджмент и прогрессивные технологии в образовании» (Пенза, 2004 -2005 гг.); «Проблемы модернизации высшего образования в условиях вхождения России в Болонский процесс» (Кемерово, 2005 г.); «Методика преподавания естественнонаучных дисциплин в вузах» (Омск, 2006 г.). Результаты диссертационного исследования изложены в 7 публикациях в сборниках научно-методических конференций, а также в 2 публикациях в журналах, входящих в перечень ВАК РФ.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, библиографического списка (197 источников), 5 приложений, 13 рисунков, 36 таблиц.
Математические способности и их компоненты в психолого-педагогических исследованиях
Возможность понимать математику и быть успешным в математической деятельности ученые связывают с наличием развитого математического мышления, с обладанием математическими способностями. Мышлением называют психологический процесс познания, связанный с открытием субъективно нового знания, с решением задач, с творческим преобразованием действительности [127]. В качестве определения математического мышления мы приняли определение психолога Р. А. Атаханова, понимающего его как «вид теоретического мышления, которое осуществлено на материале, формализуемом при помощи математических способов ориентации в количественных отношениях действительного мира» [14, с. 10]. При определении основы математического мышления ряд ученых (Р. А. Атаханов, И. Верделин, Ж. Пиаже) исходят из позиции, что математическое мышление базируется на общеинтеллектуальной основе, то есть становление математического мышления обусловлено развитием мышления вообще. К. Струнц и Л. С. Трегуб [101] на основе того, что математические методы являются общими методами человеческого познания, заключают, что математическое мышление не является специфическим видом мышления. В этом контексте Л. М. Фридман определяет математическое мышление как «предельно абстрактное, теоретическое мышление, объекты которого лишены вещественности и могут интерпретироваться произвольным образом, лишь бы при этом сохранились заданные между ними отношения» [180, с. 40-41]. Н. В. Метельский [123] подчеркивал, что, возможно, не существует специальных видов мышления (математического, географического). Таких же взглядов придерживается X. Ж. Танеев, утверждающий, что корректнее говорить об «определенных качествах мышления, проявлении математических способностей» [42, с. 91]. В этом вопросе нам близка данная позиция. Поэтому термин «математическое мышление» мы употребляем в том смысле, что процесс мышления осуществляется на материале математики.
Математики Ж. Адамар, Д. Пойа, А. Пуанкаре, Б. В. Гнеденко, А. Н. Колмогоров, А. И. Маркушевич, методист С. И.Шварцбурд, а также психологи А. Бине, А. Г.Ковалев, В. А. Крутецкий, в противоположность вышеуказанной позиции, настаивают на специфичности математического мышления. Указанные ученые рассматривают математическое мышление как мышление, связанное с особенностями математики как предмета, которая изучает пространственные формы и количественные отношения. С этой позиции У. Н. Абдиев [1], ссылаясь на Д. Пойа, приводит следующее определение: математическое мышление есть «совокупность взаимосвязанных логических операций; оперирования как свернутыми, так и развернутыми структурами; знаковыми системами математического языка, способность к пространственным представлениям, запоминанию и воображению, а также обобщению закономерностей, подмеченных в частных случаях; индуктивные доказательства; доказательства по аналогии; распознавание математических понятий в конкретных ситуациях или построение их на основе таких ситуаций». Данное определение, хотя и отражает содержание математического мышления, но, как нам представляется, является неполным. Развитие математического мышления детерминировано как минимум двумя группами факторов: фондом знаний и умений в области математики, а также математическими способностями.
Охарактеризуем понятие «способность». Ученые, пытаясь понять, в силу чего одни учащиеся быстрее и лучше других усваивают знания, умения и навыки, обращаются к понятию способностей. Вопрос о способностях разрабатывался в различных аспектах: понятие способностей; влияние среды и наследственности на проявление и развитие способностей; соотношение общих способностей и интеллекта; природа способностей (являются ли они врожденными или приобретенными и на какой основе формируются); соотношение способностей и основных психических процессов; соотношение общих и специальных способностей; возможности «измерения» способностей и методы эффективного развития способностей.
Первые упоминания о способностях восходят к философской школе. Понятие способностей в науку ввел древнегреческий философ Платон. Он высказал мысль о том, что способности обусловлены биологически, а обучение и воспитание могут лишь ускорить их проявление и развитие. Идею о врожденном «неравенстве» способностей развивали Г. Лейбниц, X. Вольф, Р. Декарт (автор теории «врожденных идей»). Диаметрально противоположное мнение - идею равенства умственных способностей людей от рождения, отстаивали философы Т. Гоббс, Ф. Бэкон, Дж. Локк (автор теории «чистой доски», согласно которой способности детерминированы только социальными условиями).
Если для философов вопрос о способностях был связан прежде всего с теорией познания, то для психологов и педагогов, разрешение вопроса связывалось с возможностями обучения и воспитания. В Европе линию Дж. Локка продолжали философы и педагоги Д. Дидро, К. А. Гельвеций (считавший, что любую способность можно развить до уровня гениальности), И. Ф. Гербарт. В России эти взгляды разделяли мыслители и педагоги В. Г. Белинский, А. Н. Радищев, Н. А. Добролюбов. Чешский педагог Я. А. Коменский впервые поставил вопрос об «обучении всех всему». Принцип изучения способностей с целью индивидуализации был одним из главных в педагогических системах Л. Н. Толстого, К. Д. Ушинского.
Диагностика и развитие компонентов математических способностей студента технического вуза на основе построения и использования циклов задач по математике
Диагностика математических способностей студента является достаточно сложной психолого-педагогической проблемой, что подтверждается тем фактом, что на данный момент нет используемых в массовой практике диагностических методик оценки математических способностей в вузе, за исключением опыта проведения олимпиад. Первые попытки измерения способностей относятся к началу XX века. Труды Л. Терстоуна, Э. Торндайка положили начало диагностики математических способностей с помощью тестов. До сих пор диагностика математических способностей применялась учеными (И. Верделином, В. А. Крутецким, Э. Торндайком и другими) преимущественно в исследовательских целях. Психологи для исследования структуры способностей создавали батареи задач, ученые-математики занимались самоанализом. Диагностический аппарат математических способностей разработан недостаточно и применяется лишь для школьников. Кроме того, диагностика была предназначена для выявления и изучения математических способностей, но не для систематического использования с целью их учета в обучении. Отметим, что и для внедрения в практику обучения методик развития математических способностей существуют трудности. Имеющиеся методики развития математических способностей сводятся преимущественно к обучению студентов решению нестандартных задач, поэтому исследователи акцентируют внимание на подборе таких задач и обучении приемам поиска их решения. Очевидно, что решение таких задач доступно лишь способным учащимся, поэтому такому обучению обычно посвящается элективный курс, не охватывающий всех студентов.
Если наличие математических способностей студента реально диагностировать, ориентируясь на успешное решение им нестандартных или олимпиадных задач, а также на легкость и быстроту усвоения математики, то каким образом учитывать динамику развития указанных способностей в процессе обучения?
Для этого необходимо внедрение непрерывной системы диагностики в учебный процесс. Мы предлагаем модифицировать и адаптировать методику диагностики математических способностей школьников В. А. Крутецкого для систематической оценки уровня развития компонентов математических способностей студента технического вуза. Напомним, что для исследования компонентов структуры математических способностей В. А. Крутецким [101] были составлены 26 серий задач, каждая из таких серий представлена набором задач одного типа (приложение 2). Каждая серия задач была сформирована с целью диагностики одного или нескольких компонентов математических способностей из выдвинутой В. А. Крутецким гипотезы о структуре; математических способностей школьника. Анализ ориентации исследовательского материала показывает, что «серии» задач, в основном, образуют пересекающиеся классы по своему назначению. Например, назначением некоторых типов задач является диагностика нескольких качеств: обобщение - логичность - свернутость; восприятие данных задачи -обобщение. Это еще раз подтверждает, что некоторые компоненты математических способностей тесно связаны между собой.
Для диагностики способности к формализованному восприятию задачи В. А. Крутецким были подобраны такие типы задач: задачи с несформулированным вопросом; задачи с избыточными данными; задачи с недостающими данными. Исследованию способности обобщать математический материал адресованы следующие серии задач: система однотипных задач, система разнотипных задач, задачи с постепенной трансформацией из конкретного в абстрактный план, система однотипных усложняющихся доказательств, задачи на составление уравнений; последние два пункта проверяли также логичность рассуждения. В. А. Крутецкий для оценки гибкости математического мышления предлагал решение следующих типов задач: задачи с несколькими решениями, задачи с меняющимся содержанием, задачи на перестройку действия, задачи, наталкивающие на самоограничения (которые в действительности отсутствуют), системы разнотипных задач, пары задач со сходной внешне формулировкой, но отличающиеся логико-математической структурой решения, задачи на составление уравнений, математические софизмы. Для изучения обратимости мыслительного процесса использовались прямая и обратная задачи. Свернутость процесса математического мышления оценивалась В. А. Крутецким через учет пропущенных звеньев при решении задач вслух, причем применялись те же задачи, что и для проверки логичности. Оценке степени развития памяти служили задачи со сложным для запоминания условием. Для исследования пространственного мышления применялись планиметрические и стереометрические задачи. В. А. Крутецкий обнаружил тесную связь между успешностью решения различных серий задач; предназначенных автором (гипотетически) для оценки одного и того же компонента способностей. В. А. Крутецкий выявил взаимосвязи между решением различных серий задач с помощью факторного анализа. Так, предъявляя испытуемым наборы определенных серий задач, В. А. Крутецкий с помощью однофакторной модели Ч. Спирмена установил, что они являются действием единого фактора, который им интерпретировался как определенный компонент способностей. К примеру, установлено, что решение серий задач с лишними, недостающими и избыточными данными являются следствием действия фактора «формализованное восприятие математического материала» («способность в схватыванию формальной структуры задачи»), решение задач серий 5-12 (приложение 2) определяется действием фактора обобщения, поскольку успешность решения типов задач положительно коррелируют друг с другом).
Экспериментальная проверка гипотезы об инвариантности структуры математических способностей студента, проявляемой им на разном математическом материале
Для исследования математических способностей материалом входного контроля служили задачи из исследовательских серий, предложенных В. А. Крутецким (приложение 3), а также составленные нами диагностические циклы (приложение 4). Цели диагностики следующие:
1) сопоставление типов структуры способностей, проявляемых студентами на разном материале (элементарной и высшей математики);
2) выявление типов структуры математических способностей способных студентов.
Первоначально предполагалось проводить диагностику полной j структуры способностей (13 компонентов), но рамки учебного процесса, а также идея учета типа структуры способностей, позволили ограничиться ее базовыми составляющими, которые были выделены в каждом блоке способностей. Итак, нами исследовались следующие семь компонентов способностей: Sx — способность к формализованному восприятию математического материала; S2 — логичность математического мышления; S3 — спо обность к обобщению математического материала; S4 - обратимость мышления при математическом рассуждении; S6 - гибкость математического мышления; S10 — пространственное мышление; S13 — креативность математического мышления.
Диагностика таких компонентов как свернутость математического мышления (S5), рациональность математического мышления (S7), когнитивная память (S9) была исключена, так как это требовало участия экспериментатора или детального анализа хода решений. Не были предметом диагностики такие компоненты математических способностей как, владение математической символикой и речью (S8), вычислительные способности (Su), инженерно-математическая интуиция (12), поскольку они не содержатся в базовой структуре математических способностей В. А. Крутецкого. Компонент пространственное мышление диагностировался В. А. Крутецким (но был исключен впоследствии В. А. Крутецким из предложенной им гипотетической структуры). Диагностику данных компонентов вполне можно проводить, но мы были ограничены рамками и идеями нашего эксперимента. Отметим, что вышеуказанные компоненты при наличии времени можно диагностировать и включать в соответствующие блоки.
Изучение компонентов и типа структуры математических способностей, сформированных за период школьного обучения, назовем входной диагностикой.
Входная диагностика математических способностей на материале элементарной математики
Студенты приступают к изучению высшей математики со сформировавшейся за период школьного обучения системой математических способностей.
Целью входной диагностики является изучение индивидуальной структуры математических способностей, сформировавшейся у студента к моменту поступления во втуз. Диагностика в эксперименте проводится два раза: на материале курса математики средней школы; на материале начал курса высшей математики. Для входной диагностики математических способностей мы выбрали задачи из серий, составленных В. А. Крутецким на основе материала курса математики средней школы. Номера серий В. А. Крутецкого, использованные во входной диагностике, представлены в таблице 24, а назначение серий указано в приложении 2.
На возможность выборочного использования серий, сообразно поставленным целям исследования, указывал автор методики [101]. Полную версию всех 26 серий можно найти в [101, с. 115-195]. Задачи данных серий, использованные нами для входной диагностики, приведены в приложении 3.
Указанное изменение было необходимо в силу следующих причин: серии были созданы для исследования данных качеств, и, исходя из объема задач некоторых серий, число задач было взято автором «с запасом»; методика не была рассчитана на использование всех серий подряд в короткие сроки 145 (занимает много времени); некоторые серии необходимо предлагать перед началом изучения какого- либо материала.
Кроме того, потребовалась модификация методики, поскольку экспериментальная методика В. А. Крутецкого предполагала в некоторых случаях участие экспериментатора, который беседовал с каждым испытуемым, задавал наводящие вопросы и вел протокол испытания. Исходя из задач нашего исследования (описать воспроизводимые процедуры оценки компонентов способностей в условиях учебного процесса) методика была упрощена. Выявление креативности при входной диагностике происходит при изучении решений задач на логичность и доказательство. При этом указанные решения должны быть достаточно оригинальными. Так как В. А. Крутецкий специально не выделял креативность (рассматривал ее совместно с логичностью мышления и для ее диагностики предлагал задачи на соображение, олимпиадные задачи), то цикл для диагностики креативности сформировали из таких задач. Результаты диагностики занесены в таблицы 1,2 приложения 5.
