Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Современная начертательная геометрия во ВТУЗах - как теоретическая основа компьютерной графики 18
1.1. Предмет начертательной геометрии 18
1.2. Краткий исторический обзор развития начертательной геометрии (устранение некоторых «белых пятен» в истории развития геометрической науки) 23
1.3. Как лучше назвать эту учебную дисциплину? 52
1.4. Роль и место начертательной геометрии среди фундаментальных, общетехнических и специальных (профилирующих)
учебных дисциплин 61
1.5. Начертательная геометрия - как теоретическая основа компьютерной графики 72
Выводы: 77
Глава 2. Систематизация и совершенствование обозначений и символики в начертательной геометрии 79
2.1. Анализ обозначений и символов, принятых в учебной литературе по начертательной геометрии до 1956 года 79
2.2. Анализ обозначений и символов, принятых в учебной литературе по начертательной геометрии после 1956 года 84
2.3. Систематизация и совершенствование обозначений и символики в начертательной геометрии 100
Выводы: 107
Глава 3. Алгоритмизация и классификация основных задач начертательной геометрии 109
3.1. Понятие алгоритма в начертательной геометрии 109
3.2. Классификация основных задач начертательной геометрии 121
3.3. Алгоритмы получения графических моделей пространства 129
3.4. Алгоритмы решения позиционных задач 133
3.5. Алгоритмы метрических задач 143
Выводы: 155
Глава 4. Обоснование и оптимизация содержания начертательной геометрии для различных специальностей ВТУЗов 157
4.1. Содержание начертательной геометрии - как учебной дисциплины, изучаемой студентами ВТУЗов на первом курсе 157
4.2.Поверхность - как главный раздел современной начертательной геометрии 169
4.3. Научные основы обоснования и оптимизации содержания начертательной геометрии 192
4.4. Начертательная геометрия в учебных планах различных инженерных специальностей 205
Выводы: , 211
Глава 5. Организация самостоятельной и творческой работы студентов по начертательной геометрии 213
5.1, Особенности самостоятельной работы студентов по начертательной геометрии 213
5.2, Самостоятельная работа студентов под контролем преподавателя218
5.3, Проблемное обучение и НИРС 229
4) 5.4. Предметная олимпиада 235
Выводы: 242
Глава 6. Дистанционное обучение начертательной геометрии на базе современных телекоммуникационных технологий 244
6.1.. Основные формы и направления дистанционного обучения начертательной геометрии 244
6.2. Методы и эффективность дистанционного обучения 251
6.3. Модели обучения в дистанционном образовании 256
6.4. Практическая реализация дистанционного обучения начертательной геометрии 260
Выводы 266
Глава 7. Проверка усвоения в начертательной геометрии и некоторые результаты педагогического эксперимента 268
7.1. Основные функции и принципы проверки усвоения в начертательной геометрии 268
7.2,Методы контроля усвоения в начертательной геометрии 273
7.3. Исследование начальной графо-геометрической подготовленности поступивших на первый курс 283
7.4. Некоторые результаты педагогического эксперимента 288
Выводы 294
Заключение 296
Список литературы 29$
Приложения. 326
- Предмет начертательной геометрии
- Анализ обозначений и символов, принятых в учебной литературе по начертательной геометрии до 1956 года
- Понятие алгоритма в начертательной геометрии
Введение к работе
Проблема исследования и ее актуальность. В результате перехода на рыночные отношения и образования СНГ возникла необходимость в перестройке высшей школы. В Республике Казахстан действует новый Закон об образовании, утвержден Государственный стандарт, предусматривающий многоуровневую структуру высшего образования. Если раньше выпускались из года в год все больше и больше специалистов с высшим образованием, то теперь резко сократился государственный заказ и появились коммерческие и частные высшие учебные заведения. Поэтому основной упор приходится делать на индивидуальную (штучную) подготовку специалистов, т.е. валовая педагогика уступает место персональной педагогике.
В новых учебных планах специальностей инженерно-технического профиля, а таких специальностей в Казахстане около 200, предусмотрено изучение начертательной геометрии и черчения. Общеизвестно, что начертательная геометрия является теоретической основой черчения. Детальное знакомство с учебной литературой по начертательной геометрии показывает, что в ней все еще много «белых пятен». Начертательная геометрия преподается в вузах почти 200 лет, но, к сожалению, нет научно-обоснованного современного определения предмета начертательной геометрии, имеются пробелы в освещении истории возникновения и развития ее как науки и учебной дисциплины, существует разнобой в принятых обозначениях и нет четкой системы в символических записях, отсутствуют алгоритмы конструирования поверхностей и решения геометрических задач. Существуют проблемы научного обоснования структуры, объема и определения оптимального содержания этого курса для разных специальностей, т.е. возникла необходимость в разработке новой концепции преподавания начертательной геометрии с учетом местных условий, возникших в Республике Казахстан.
«і В последние годы бурно развивалась прикладная геометрия, которая
превратилась в огромную область научного знания. Необходимо установить важную для современного инженера и необходимую ее часть, т. е. что из этой науки надо включить в ядро учебной дисциплины — начертательной геометрии. Далее, надо определить, какие из разделов и глав, ранее издавав-
т шихся учебников могут быть исключены из программы без ущерба качества
подготовки специалистов и какие разделы и главы, на которые ранее не уделялось должного внимания, теперь стали важными. Кроме того, с развитием компьютерной графики и широким ее внедрением для проектирования, про-
\ изводства и эксплуатации различных машин и оборудования, технических
устройств и сооружений, а также в технологии необходимо определить роль и место начертательной геометрии в современном образовательном пространстве. Какое влияние оказывает компьютерная графика на начертательную геометрию? Можно ли использовать методы начертательной геометрии
*) в компьютерной графике, разработаны ли алгоритмы визуализации геомет-
рических объектов и т.д.
Парадоксально, но факт, что во многих учебниках не сформулированы общие алгоритмы исследования геометрических фигур по их изображениям, определения позиционных свойств и метрических характеристик. Поэтому
^ надо на современном уровне решать проблему алгоритмизации начертатель-
ной геометрии.
С ростом объема научной информации и появлением новых учебных дисциплин в учебных планах высших технических учебных заведений уменьшается количество часов, выделяющихся на изучение начертательной
+1 геометрии. Возникает вопрос о пересмотре и оптимизации содержания этой
дисциплины в соответствии с современными требованиями. Выход из противоречивых современных требований находится в совершенствовании теории и методики преподавания начертательной геометрии на основе новых технологий обучения, активизирующих учебную деятельность студентов и разви-
* вающих их творческие способности. Важное значение имеет определение то-
*) го, что какие из новых методов обучения дают наибольший эффект при пре-
подавании начертательной геометрии и внедрение их в учебный процесс. Необходимо разработать методику проведения самостоятельной работы студентов под контролем преподавателя, предметной олимпиады и НИРС, дать обоснованные рекомендации по применению проблемного обучения и тесто-во-рейтинговых способов контроля знаний, умений и навыков по начертательной геометрии.
Современный уровень телекоммуникационных технологий позволяет осуществить дистанционное обучение, которое имеет важное значение в ус-
1 ловиях Казахстана (огромная территория с разбросанными культурными
г центрами и, следовательно, высокими транспортными расходами для студен-
тов-заочников из отдаленных районов). Возникает необходимость в исследовании и определении основных форм, методов и моделей дистанционного обучения начертательной геометрии.
*) Все сказанное свидетельствует об актуальности проблемы, заключаю-
щейся в систематизации, алгоритмизации и оптимизации содержания начертательной геометрии для высших технических учебных заведений Казахстана, исследованию которой посвящена данная диссертационная работа.
Степень разработанности проблемы. К настоящему времени в теории
*ч и практике преподавания начертательной геометрии накоплен достаточно
обширный материал, составляющий фундамент для совершенствования обучения. Основополагающими в психологии и педагогике высшей школы технического направления являются работы: С. И. Архангельского [13, 14], А. Д. Ботвинникова [31], П. Я. Гальперина [10, 182], Р. Г. Лемберга [180],
^ В.Л.Монахова [203], В.Т.Кудрявцева [171], И. Набиева [211],
П. И. Пидкасистого [11], Н. Ф. Талызиной [258, 259, 260], Н. Д. Хмель [179], Н. Ф. Четверухина [284, 286] и других. Исследованиями вопросов возникновения, развития и преподавания геометрии, в первую очередь начертательной геометрии, занимались: Аль-Фараби [8], Б. Л. Ван дер Варден [41],
4: П. П. Гнедич [62], В. П. Демьянов [69], О. А. Жаутыков [125], С. М. Колотов
[154], Э.Кольман [156], А.Кубасов [169], А. Ж. Машанов [192, 193], Б. А. Розенфельд [238], С. А. Фролов [275, 276], А. П. Юшкевич [294] и другие. Имеются замечательные учебники и учебные пособия по геометрии, в частности по начертательной геометрии: А. Адлера [4], П. С. Александрова [6], И. С. Алышулера [7], X. А. Арустамова [12], Л. С. Атанасяна [15, 16],
B. Т. Базылева [20, 21], С. В. Бахвалова [23], А. В. Бубенникова [33],
C. С. Бюшгенса [38], В. Н. Виноградова [47], М. П. Власова [49],
О. В. Вольберга [51], И. М. Гельфанда [53], Д.Гильберта [54],
Н. А. Глаголева [59], Е. А. Глазунова [61], В. О. Гордона [66],
A. И. Добрякова [74], Ж. М. Есмуханова [80, 82], Н. В. Ефимова [122, 123], Г.
С.Иванова [133], А. М.Иерусалимского [137], М.Искакова [140],
К. К. Конакбаева [142], А. Г. Климухина [146], Г. С. М. Кокстера [151, 152],
И. И. Котова [160], Н. Н. Крылова [167, 168], Н.С.Кузнецова [172],
B. И. Курдгомова [173], О.В.Локтева [186], Г.Г.Ломоносова [188],
Н. И. Макарова [189], В.А.Маневича [190], В. Е. Михайленко [188, 200],
Ш. Муродова [205], Е. А. Мчедишвили [206], И. Пал [220], А. В. Погорелова
[222, 224], Д.Пойа [225], Н. А. Попова [226], А. Д. Посвянского [228],
Д. Райана [236], Б. А. Розенфельда [238], А.Я.Севастьянова [251],
C. А. Фролова [273], А. А. Чекмарева [281], Н. Ф. Четверухина [282, 283, 285,
287, 288], В.И.Якунина [174] и других, которые способствуют подготовке
высококвалифицированных инженерных кадров. Исследованиями влияния
начертательной геометрии на развитие пространственных представлений,
творческих способностей и инженерного мышления студентов занимались:
И. Н. Акимова, А. Я. Блаус [26, 27], Г. Ф. Быкова [36, 37], И. Г. Виницкий
[44, 45], Е. И. Годик [63, 64], Ю. Г.Козловский [149], В. С.Левицкий [179],
Л. Н. Лихачев [185], Н. Н. Рыжов [242, 246], Н. А. Соболев [254] и другие.
Проблемы геометрического моделирования методами начертательной и вычислительной геометрии исследованы К. И. Вальковым [39, 40], В. Я. Волковым [50], И. С. Джапаридзе [71], Г. С. Ивановым [130, 132, 134], Ф. Препарата и М. Шеймос [231], Е. А. Стародетко [255], А. М. Тевлин [261],
* Ф, Препарата и М. Шеймос [231], Е. А. Стародетко [255], А. М. Тевлин [261],
В. Фокс и М. Пратт [271], В. И. Якуниным [297]. Вопросами алгоритмизации
и применения вычислительной техники для решения задач начертательной
геометрии занимались П. И. Аудзионис [17], С. И. Бородкина [30],
Ж. М. Есмуханов [94], И, И. Котов [164], Л. Н. Ланда [176], В. Е. Михаиленко
ф [197, 201], Н. Д. Никандров [213], В.С.Обухова [214], В. А. Осипов [217],
Н. Н. Рыжов [243], С. А. Фролов [273], В. И. Якунин [298] и другие. Методика организации предметной олимпиады и НИРС по начертательной геометрии отражена в работах Г. С. Иванова [135], Ж. М. Есмуханова [89, 90], В. Е. Михаиленко [199], С.В.Розова [239], В.Н.Сяськая [256], Б. Н. Филимонова [268] и других. Результаты анализа современной зарубежной (дальней) литературы по начертательной геометрии [299—314] изложены в статьях А. Д. Посвянского [227] и А. Е. Одинцовой [215].
Анализ, приведенных выше работ показал, что они требуют обобщения,
щ систематизации, алгоритмизации позволяющих решить поставленную про-
блему.
Цель исследования: теоретически обосновать, разработать и экспери
ментально проверить систему методических приемов и активных методов
обучения, развивающих навыки самостоятельной деятельности и формн
ої рующих творческие способности студентов, а также создать учебно-
методический комплекс по начертательной геометрии на русском и казах
ском языках.
Объект исследования: учебно-воспитательный процесс, учебно-
методическая литература по начертательной геометрии и геометро-
4 графическая деятельность студентов высших технических учебных заведе-
ний.
Предмет исследования: содержание втузовского курса начертательной геометрии и методика его преподавания, способствующая приобретению студентами более глубоких и достаточных для инженерной деятельности
# геометрических знаний.
! Щ Гипотеза исследования: качество графо-геометрических знаний, полу-
чаемых в результате изучения начертательной геометрии во втузах повысится, если:
— студенты заинтересуются этой учебной дисциплиной и осознают зна
чимость начертательной геометрии в их будущей профессиональной дея-
; щ тельности;
применять более обоснованную систему обозначений, привычных им из школьного курса геометрии, и несложные символические записи, чтение которых активизирует мыслительную деятельность;
сформулировать алгоритмы конструирования поверхностей, решения позиционных и метрических задач и показать пути реализации этих алгоритмов на различных обратимых плоскостных изображениях;
содержание аудиторных занятий и обязательных графических работ соответствует выбранной студентами будущей специальности и уровню их
4) подготовленности;
— организовать самостоятельную и творческую работу студентов путем
применения активных методов обучения, проведения предметной олимпиады
и привлечения их в НИРС по начертательной геометрии;
— применять прогрессивные методы контроля (программированный
*J контроль, тестирование и рейтинговая система) и дистанционное обучение;
— внедрить в учебный процесс современные учебники и методические
разработки, учитывающие местные условия Республики Казахстан.
Проблема, цель, объект, предмет и гипотеза исследования определили
необходимость решения следующих задач:
а 1. Изучить и систематизировать историю развития способов изображе-
ния, возникновения и становления начертательной геометрии, уделив особое внимание на труды средневековых и современных ученых Казахстана.
«.
2. Определить предмет современной начертательной геометрии и вы-
явить ее значение и место среди фундаментальных и общеинженерных дисциплин в эпоху новых информационных технологий (НИТ).
3. Определить более совершенную и логически обоснованную систему
обозначений и символов, применяемых в начертательной геометрии,
^ сформулировать грамматику символического языка.
4. Разработать классификацию основных задач начертательной геомет
рии, алгоритмы получения плоскостных графических моделей про
странства, а также алгоритмы определения позиционных и метриче
ских свойств геометрического объекта по их изображениям.
5. Определить и обосновать оптимальную структуру, содержание и объ
ем начертательной геометрии для каждой из инженерных специаль
ностей, логическую последовательность изучения (изложения основ
ных дидактических единиц) отдельных глав.
$ 6. Выявить эффективные формы самостоятельной и творческой работы
студентов по начертательной геометрии и разработать методику организации СРС КП, предметной олимпиады и НИРС.
7. Изучить возможности и определить формы, методы и модели дистан
ционного обучения начертательной геометрии на базе современных
*] телекоммуникационных технологий.
Разработать тесты для текущего, рубежного и итогового контроля знаний, умений и навыков по начертательной геометрии.
Создать учебно-методический комплекс, включающий типовую программу, учебник, учебные пособия и методические разработки на
4- русском и казахском языках.
Ю.Проверить эффективность разработанного учебно-методического комплекса предложенных форм и способов активного обучения, путем проведения педагогического эксперимента и обработки его результатов методами математической статистики.
* Теоретическую и методологическую основу исследования составили:
* —результаты исследований и рекомендаций ведущих специалистов в
области психологии и педагогики высшей школы;
— учебники и учебные пособия по начертательной геометрии, написан
ные крупными учеными и педагогами стран ближнего и дальнего зарубежья;
— Закон об образовании, Государственный стандарт высшего образова-
ф ния и другие нормативные документы Республики Казахстана;
труды в области теории и методики обучения математике, начертательной геометрии и графическим дисциплинам;
теория алгоритмов;
— теория деятельности, педагогического творчества и сотрудничества.
Основными методами исследования.явились:
— изучение, анализ и обобщение научных, методических и монографи
ческих работ по педагогике, психологии и втузовских учебников, учебных
планов и программ;
$ — изучение передового педагогического опыта работы преподавателей
кафедр начертательной геометрии втузов РК и СНГ;
— наблюдение за учебным процессом, анализ познавательной и творче
ской деятельности студентов, а также результатов контроля усвоения начер
тательной геометрии;
*> — анкетирование студентов;
— педагогический эксперимент;
— статистическая обработка результатов исследования.
Основные этапы исследования: На первом этапе (1987—1989 г.г.) осуществлялось изучение состояния
# проблемы, степень ее разработанности, определялась методология исследо
вания и разрабатывалась его методика, выдвигалась гипотеза, намечались це
ли, задачи, методы исследования.
На втором этапе (1989—1992 г.г.) уточнялись теоретические позиции,
определялось содержание опытно-экспериментальной работы, разрабатыва-
щ лись учебные пособия и методические указания, определялись формы актив-
ной самостоятельной работы и творческой деятельности студентов, проводился педагогический эксперимент.
На третьем этапе (1992—1995 г.г.) разрабатывались алгоритмы получения плоскостных моделей пространственных форм и определения характеристик геометрических объектов на основе их обратимых изображений, систематизировалась символика, отрабатывалась методика проведения предметной олимпиады и организации НИРС, проводилась апробация учебных пособий и методических разработок, составлялась типовая программа начертательной геометрии, разрабатывались тесты, были написаны учебники на русском и казахском языках.
Четвертый этап (1995—1998 г.г.) посвящен анализу и обобщению результатов теоретического и экспериментального исследований, осуществлению их статистической обработки и оформлению диссертационной работы, а также обсуждению содержания диссертации и опубликованию учебников.
Исследование проводилось с 1987 по 1998 год на базе кафедр начертательной геометрии и инженерной графики Актауского филиала Казахского политехнического института (ныне Актауский политехнический университет), Алматинского автодорожного института, Казахской академии транспорта и коммуникаций, Казахского национального технического университета. Экспериментом было охвачено более 2500 студентов.
На защиту выносятся:
новая концепция преподавания начертательной геометрии, трактующая ее как основу графической грамотности, фундамента общеинженерного образования и теоретической базы компьютерной графики;
методика организации аудиторных занятий СРС КП, предметной олимпиады, проблемного обучения и НИРС;
научно обоснованные символические обозначения, новая структура и оптимальное содержание начертательной геометрии по основным группам инженерно-технических специальностей;
научно обоснованная классификация задач и алгоритмы получения графических моделей геометрических объектов; алгоритмы определения позиционных и метрических характеристик;
научно-методические положения учебников, учебных пособий, методических разработок и тестов, опубликованных автором диссертационной работы.
Научная новизна и теоретическая значимость исследования состоит в том, что:
показано,что прикладная геометрия возникла в средние века, а не в середине двадцатого века как утверждалось до сих пор и значительный вклад в ее развитие внесли аль-Фараби, аль-Беруни, аль-Каши и другие ученые средневекового периода; доказано, что в условиях внедрения новых информационных технологий роль и значение начертательной геометрии еще больше возросли, так как она является логической основой для разработки алгоритмов визуализации проектируемых объектов и процессов;
символические обозначения геометрических объектов и логических операций рассматриваются как их абстрактные модели, развивающие пространственное воображение и творческое мышление;
обоснована необходимость алгоритмизации начертательной геометрии и выделения групповых, типовых и частных алгоритмов, позволяющих систематизировать содержание курса и открывающих широкие возможности для применения компьютеров; на основе системного подхода, применения теории графов и матричной алгебры определено оптимальное содержание этой учебной дисциплины для различных специальностей и рациональная последовательность изложения выбранного материала; разработаны задачи и задания трех уровней сложности, позволяющие работать со студентами слабыми, средними и сильными графо-геометрическими способностями; определена методика обучения студента с плохо развитым пространственным представлением;
обоснована необходимость введения в учебные планы аудиторных занятий СРС КП в нынешних условиях и разработаны организационные основы и методические принципы проведения таких занятий; разработаны проблемные лекции, естественными продолжениями которых являются научно-исследовательские работы студентов по затрагиваемым на лекциях темам; определены основные формы активизации самостоятельной и творческой деятельности студентов, которых следует рассматривать как составные части учебного процесса;
определены условия, основные формы и методы дистанционного обучения студентов начертательной геометрии с использованием Internet;
предложена рейтинговая система оценки усвоения дисциплины, обеспечивающая непрерывность контроля знаний, умений и навыков, что соответствует психологическим особенностям первокурсников; с применением комбинаторных принципов разработаны тесты.
Практическая значимость результатов заключается в подготовке типовой программы по начертательной геометрии для втузов РК; написании и издании учебников на русском и казахском языках, соответствующих новой программе; создании учебно-методического комплекса, включающего учебные пособия, методические разработки и указания, новые задания для обязательных графических работ, тестов, рекомендации по повышению творческой активности студентов на лекционных и практических занятиях, а также по организации предметной олимпиады и НИРС.
Достоверность полученных результатов и обоснованность выводов подтверждается практикой внедрения в учебный процесс, проведением педагогического эксперимента и анализом его результатов с применением методов математической статистики; подтверждается данными психологической и педагогической науки и обеспечивается общим методологическим подходом (целостным, системным, деятельностным, личностным, комплексным) к процессу обучения начертательной геометрии.
Апробация работы^ Основные результаты диссертационной работы до-
ложены и обсуждены на:
— всесоюзной конференции «Основные направления повышения каче
ства подготовки инженерных кадров в свете перестройки высшего
образования», г. Ленинград, 1988 г.;
щ — первой республиканской научно-технической конференции,
г. Шевченко, 1990 г.;
— второй республиканской научно-технической конференции, г. Актау,
1992 г.;
научно-методической конференции профессорско-преподавательского состава Алматинского автодорожного института, г. Алматы, 1993 г.;
четвертой научно-технической конференции ААДИ, г. Алматы, 1994 г.;
*'< — пятой научно-технической конференции ААДИ, г. Алматы, 1995 г.;
международной научно-технической конференции, г. Актау, 1996 г.;
научно-методическом семинаре кафедры прикладной геометрии Московского авиационного института с участием ведущих в области прикладной геометрии ученых СНГ, г. Москва, 1998 г.;
* — международной научно-практической конференции, г. Харьков,
1998 г.;
— международном симпозиуме, посвященном 100-летию со дня рожде
ния К. И. Сатпаева, г. Алматы, 1999 г.;
— научно-методических семинарах и заседаниях кафедр начертатель-
« ной геометрии и инженерной графики Казахского национального
технического университета, Казахской академии транспорта и коммуникаций, Алматинского автодорожного института и Актауского политехнического университета, г. Алматы и г. Актау, в 1988—1999 г.г.
*
Внедрение результатов исследований в практику. Занятия по начертательной геометрии в Актауском политехническом и Казахском национальном техническом университетах, а также в Казахской академии транспорта и коммуникаций проводятся по рабочим программам;, предусматривающим применение учебных пособий и методических разработок, составленных на основе диссертационных исследований автора. С участием автора составлена и утверждена Департаментом высшего образования РК программа курса начертательной геометрии, используемая всеми вузами Казахстана. Результаты и выводы, полученные в диссертации, отражены в двух учебниках: один на казахском языке (соавтор Ж. М. Есмуханов) и другой на русском языке, которые являются основными учебниками для втузов Республики Казахстан (других утвержденных учебников по начертательной геометрии нет).
Предмет начертательной геометрии
Для осознанного и заинтересованного изучения любой учебной дисциплины необходимо, прежде всего, ответить на вопрос: для чего изучается этот предмет? Нужна ли изучаемая отрасль науки студенту, а если нужна, то в какой степени? Нельзя ли обойтись без основательной и кропотливой работы по освоению данного учебного предмета? Многолетнее наше наблюдение и исследование психологии студентов показывает, что студент - это сугубо практичный народ. Подавляющее большинство студентов не отказывается от списывания контрольных и курсовых робот, курсовых и дипломных проектов, а также сдачи экзаменов по шпаргалке и т. д. Хотя они прекрасно знают, что от этого никакой пользы и в конечном итоге нужны знания, а не дипломы. Однако, такова психология «большинства» и «практичного индивидуума», выражаясь по современному «предприимчивого студента». Последние годы читальные залы библиотек пустуют, даже в период экзаменационной сессии. Интерес к книгам, в том числе учебникам и учебным пособиям, резко упал. В такой ситуации на первый план выдвигается мотивизация обучения. Если студент убежден в том, что можно обойтись без знания данного учебного предмета, то, сколько мы - преподаватели вуза не старались и не проповедовали необходимость прилежания - интереса и соответствующего прилежания со стороны студентов не прибавится. В этой связи, очень важным следует считать раскрытие содержания начертательной геометрии и объяснение, простейшими словами на доступном для первокурсника уровне, что изучает эта учебная дисциплина. Хотя начертательная геометрия изучается в высших учебных заведениях большинства государств почти 200 лет, нет единого определения ее предмета.
Приведем некоторые распространенные определения начертательной геометрии. Пожалуй, уместно начать с самого Гаспара Монжа (1746—1818): «Эта наука имеет две главные цели. Первая - точное представление на чертеже, имеющем только два измерения, объектов трехмерных... с этой точки зрения это язык, необходимый инженеру, создающему какой-либо проект... Вторая цель начертательной геометрии выводить из точного описания тел все, что неизбежно следует из их формы и взаимного расположения. В этом смысле - это средство искать истину» [204]. Обратимся к книге первого русского профессора Я. А. Севастьянова (1796— 1849) «...начертательная геометрия преследует две цели: во-первых, дать методы изображения на листе чертежа фигур, имеющих три измерения... Во-вторых, дать способ на основании точного изображения определить формы тел и вывести закономерности, вытекающие из их взаимного расположения» [251]. У Н. И. Макарова (1844—1904) дано следующее определение: «В начертательной геометрии излагаются способы...: во-первых, с необходимой для предположенной цели точностью определить графически геометрические величины, находящиеся в пространстве, по величине и положению; во-вторых, разрешать графически различные задачи, относящиеся к сказанным величинам, и в третьих, разрешать различные теоретические вопросы геометрии» [181]. Многие ученые знают крылатое выражение В. И. Курдюмова (1853—1904): «Если чертеж является языком техники, одинаково понятным всем образованным народам, то начертательная геометрия служит грамматикой этого мирового языка» [173]. В учебнике пяти авторов, написанном под редакцией профессора Н. Ф. Четверухина (1891— 1974), читаем: «Начертательная геометрия представляет собой тот раздел геометрии, в котором пространственные формы предметов действительного мира и соответствующие геометрические закономерности изучаются при помощи изображений на плоскости (чертежей). В связи с этим содержание начертательной геометрии сводится к двум основным вопросам: 1) разработке способов построения изображений (чертежей) пространственных фигур на плоскости; 2) изучению способов решения и исследования пространственных задач при помощи изображений (чертежей)... Начертательная геометрия является той научной дисциплиной, которая помогает развитию пространственных представлений, необходимых не только в технике, но и вообще в практической жизни человека» [287]. «Изображая какое-либо тело, можно преследовать двоякую цель. Можно стремиться к наглядности изображения, т. е. требовать, чтобы плоский рисунок производил на глаз впечатление, по возможности сходное с тем, какое производит изображаемый предмет. Эту задачу часто весьма успешно решают художники и фотографы. Но можно также требовать, чтобы плоское изображение позволяло, путем более или менее простых построений, узнать форму и размеры всех частей предмета, т. е. чтобы изображение полностью определяло геометрические свойства изображаемого предмета. Именно в таких изображениях нуждается техника, так как технический чертеж должен дать возможность изготовить предмет, который он изображает» [51]. «Наука, изучающая способы изображения любых предметов, называется начертательной геометрией» [219]. «Начертательная геометрия - раздел геометрии, в котором пространственные фигуры, оригиналы изучаются с помощью изображений на плоскости, чертежей. Предмет изучения начертательной геометрии - разработка методов построения и чтения чертежей, а также методов решения на чертежах геометрических задач, связанных с оригиналом» [174].
Анализ обозначений и символов, принятых в учебной литературе по начертательной геометрии до 1956 года
Изучение учебной литературы по начертательной геометрии [12, 33, 46, 47, 51, 59, 61, 66, 74, 128, 137, 142, 146, 147, 168, 173, 188, 189, 204, 205, 219, 220, 251], изданной до появления учебника пяти авторов [287], показывает, что не существовала в них еще определенной системы обозначений геометрических элементов и отношений между ними. Видимо, авторы ориен-тировались на труды Г. Монжа и не обращали внимания, на уже устоявшую к этому времени в математике символику. Принятая в математике система обозначений развивалась с развитием математической науки. Особое влияние оказало возникновение таких направлений в математике, как теория мно жеств и математическая логика. В книгах, предназначенных для высших тех нических учебных заведений, применялись общие обозначения для элемен тов пространства и их проекций. Однако в них не встречаются обозначения, показывающие отношения между различными элементами пространства. К ним относятся труды Я. А. Севастьянова, Н. И. Макарова, В. И. Курдюмо 1% ва, М. Я. Громова, А. И. Добрякова, В. О. Гордона, Н. А. Рынина и некоторых других авторов. В качестве характерного представителя этой группы учебной литературы по начертательной геометрии рассмотрим учебник В. О. Гордона, М. А. Семенцова-Огиевского «Курс начертательной геометрии», изданный в 1964 г. и учебник Н. Н. Крылова, П. И. Лобандиевского, С. А. Мэн «Начертательная геометрия» [168].
Как известно, учебник В. О. Гордона переиздавался более 30 раз и яв лялся основным учебником для не строительных специальностей. В этом учебнике точки и плоскости обозначаются латинскими прописными буквами, проекции точек - латинскими строчными буквами. Например: Т- плоскость проекций; А - точка в пространстве (в натуре); а - проекция точки А на плоскости Т. В системе взаимно перпендикулярных трех плоскостей горизонтальная плоскость проекций обозначается латинской прописной буквой Я, фронтальная плоскость проекций - V и профильная плоскость проекций - W. Изображение точки В на плоскости Я называется горизонтальной проекцией точки В и обозначается строчной буквой Ь латинского алфавита. Ортогональную проекцию точки В на плоскости V называют фронтальной проекцией точки В и обозначают строчной буквой латинского алфавита с одним штрихом - Ь\ Для обозначения профильной проекции точки также применять соответствующая строчная буква теперь с двумя штрихами: Ь" - ортогональная проекция точки В на профильную плоскость проекций W. Иногда прямые также обозначаются прописными буквами латинского алфавита. Линия пересечения плоскости Я и обозначается буквой X латинского алфавита, линия пересечения плоскостей HVLW- буквой У и линия пересечения плоскостей V и W — буквой Z. Прямые X, У и Z называются осями проекций. След плоскости обозначается также как сама плоскость с добавлением индекса соответствующей плоскости проекций: QH - линия пересечения плоскостей Q и Я, т. е. горизонтальный след плоскости Q; Qy - фронтальный след плоскости Q VLQW- профильный след плоскости Q. Точка пересечения плоскости с осями проекций обозначается буквой, которой обозначена плоскость с добавлением индекса соответствующей оси проекций: Qx - точка пересечения плоскости Q и оси проекций X; Qy - точка пересечения плоскости Q и оси проекций Y\ Qz - точка пересечения плоскости Q и оси проекций Z. Плоскость аксонометрических проекций обозначается прописной буквой Р латинского алфавита. Натуральные оси обозначаются через OX, OY, OZ, а аксонометрические оси - через ОрХр, OpYp, OpZp. аксонометрическая проекция точки обозначается прописной буквой латинского алфавита с добавлением индекса аксонометрической плоскости проекций, а вторичная проекция на координатной плоскости XOY - соответствующей строчной буквой: Ар - аксонометрическая проекция точки А; аР- вторичная проекция точки А. на координатную плоскость XOY. Точки пересечения аксонометрической плоскости проекций с координатными осями обозначены через буквы X, Y и Z. Из математических символов, показывающих геометрические отношения, применяются только знаки параллельности и перпендикулярности, и то всего два-три раза. Таким образом, в этих работах нет определенной системы обозначений. Здесь обозначения геометрических элементов пространства выполняют вспомогательную и второстепенную роль. Нельзя отличить точку от плоскости по их обозначениям. Почему-то и точки, и прямые, и плоскости обозначаются прописными буквами латинского алфавита. Если взять букву Л то без дополнительных пояснений нельзя определить, является ли она обозначением точки, или прямой, или плоскости? Невозможно понять, почему проекция точки обозначается строчной буквой в методе Монжа, а в аксонометрии прописной буквой? Какая необходимость заставляет применять разные буквы для обозначения фронтальной V, горизонтальной Д, профильной W, аксонометрической Р плоскостей проекций?
Понятие алгоритма в начертательной геометрии
Понятие алгоритма является одним из основных понятий современной математики. Термин алгоритм происходит от имени средневекового узбекского математика аль-Хорезми (о нем мы писали в первой главе), который в 825 году дал правила выполнения четырех арифметических действий в десятичной системе счисления. Процесс выполнения арифметических действий был назван алгоризмом. С 1747 года вместо слова алгоризм стали употреблять алгорисмус, смысл которого состоял в комбинировании четырех операций арифметического исчисления - сложения, вычисления, умножения и деления. К 1950 году алгорисмус стал алгорифмом. Смысл алгорифма чаще всего связывался с алгорифмами Евклида - процессами нахождения наибольшего общего делителя двух многочленов, наибольшей общей меры двух отрезков и т. п.
Вплоть до 30-х годов XX века понятие алгоритма имело скорее методологическое, чем математическое значение. Под алгоритмом понимали конечную совокупность точно сформулированных правил, которые позволяют решать те или иные классы задач. Такое определение алгоритма не является строго математическим, так как в нем не содержится точной характеристики того, что следует понимать под классом задач и под правилами их решения. В течении длительного периода математики довольствовались этим определением, поскольку общей теории алгоритмов фактически не существовало. Однако практически не было серьезных случаев, когда математики разошлись бы во мнениях относительно того, является ли алгоритмом тот или иной конкретно заданный процесс. Положение существенно изменилось, когда на первый план выдвинулись такие алгоритмические проблемы, положительное решение которых было сомнительным. Действительно, одно дело доказать существование алгоритма, другое - доказать отсутствие алгоритма.
Первое можно сделать путем фактического описания процесса, решающего задачу. В этом случае достаточно и интуитивного понятия алгоритма, чтобы удовлетвориться в том, что описанный процесс есть алгоритм. Доказать не существование алгоритма таким путем не возможно. Для этого надо точно знать, что такое алгоритм. В 20-х годах XX века задачи такого определения понятия алгоритма стала одной из центральных математических проблем. Решение ее было получено в середине 30-х годов в работах известных мате матиков Гильберта, Геделя, Черча, Клини, Поста и Тьюринга в двух формах. Первое решение было основано на понятии особого класса арифметических функций, получивших название рекурсивных функций, второе - на описании _ точно очерченного класса процессов. В последствии в работах Маркова, Калужнина появилось другое толкование теории алгоритмов, поставившее в основу определение алгоритма как особого соответствия между словами в том или ином абстрактном алфавите.
Первоначально теория алгоритмов возникла в связи с внутренними по- требностями теоретической математики. Математическая логика, основание математики, геометрия, алгебра, анализ остаются и сегодня одной из основ ных областей приложения теории алгоритмов. Другая ее область возникла в 40-х годах XX века в связи с созданием компьютеров. Появление компьютеров способствовало развитию теории алгоритмов, вызвало к жизни разделы этой теории, имеющие ярко выраженную прикладную направленность. В настоящее время создана достаточно развитая теория алгоритмов [17, 164,165]. Известно, что алгоритмы могут быть численными и логическими. Алгоритмы, в соответствии с которыми решение поставленных задач сводится к арифметическим действиям, называются численными алгоритмами. А алгоритмы, в соответствии с которыми решение поставленных задач сводится к логическим действиям, называются логическими алгоритмами. В дальнейшем речь будет идти о логических алгоритмах.
