Содержание к диссертации
ВВЕДЕНИЕ 7
1. НАВЫКИ, ПРИОБРЕТАЕМЫЕ В ПРОЦЕССЕ ИЗУЧЕНИЯ НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ 19
1.1. Анализ навыков и умений 19
1.2. Построение изображений 20
1.2.1. Геометрическое описание объектов 22
1.2.2.Необходимые геометрические знания 25
1.2.3.Проекционный аппарат и алгоритмы его работы 32
1.3. Работа с плоскими изображениями трехмерных объектов 52
1.3.1. Основания для классификации 52
1.3.2. Решение позиционных задач 54
1.3.3. Построение теней 60
1.3.4. Решение метрических задач. Развертки 62
1.3.5. Перспектива- эпюр Монжа. Взаимный переход 75
1.3.6. Эпюр Монжа - Аксонометрия 83
2. СТРУКТУРА КУРСА И ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ИЗЛОЖЕНИЯ 86
2.1. Основная задача начертательной геометрии 86
2.2. Составные части учебного курса начертательной геометрии и их соотношения 90
3. ОСНОВНЫЕ ДИДАКТИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ УЧЕБНОГО КУРСА НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ 96
3.1. Характерные особенности основных дидактических принципов 96
3.2. Научность 97
3.3. Доступность 100
3.4. Наглядность 103
3.5. Связь теории с практикой 104
3.6. Активизация обучения 106
4. ЭКтЕРИМЕНГАЛЬНЬШДАННЫЕСЗД 110
4.1. Основные положения эксперимента 110
4.2. Геометрические знания. Способы построения изображений 111
4.1. Построение геометрических моделей 121
4.2. Позиционные задачи 142
4.3. Построение теней 162
4.4. Домашние задания 188
4.5. Итоги сравнительного анализа 197
ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ 199
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 202
ПРИЛОЖЕНИЕ 212
1. ПРЕДМЕТ НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ 220
2. ШЖІЕТРИЧЕіСКгаПРОСТРАНСТ^ 221 2.1. Примеры геометрических пространств и конструкций 226
2.1.1. Линии 227
2.1.2. Поверхности 239
2.1.3. Другие геометрические конструкции 245
3. ПРОЕЦИРОВАНИЕ КАК МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ 246
3.1. Проекционный аппарат 246
3.2. Разновидности проецирования 247
3.3. Инварианты проецирования 247
3.4. Основной принцип конструирования геометрических моделей..250
4. ГОМОЛОГИЯ 252
5. МЕТОД ДВУХ ИЗОБРАЖЕНИЙ 256
5.1. Характеристика проекционного аппарата 256
5.2. Моделирование основных геометрических образов 258
5.2.1. Модель точки 258
5.2.2. Определение положения точки в пространстве по ее модели 265
5.3. Модель прямой 269
5.4. Модель плоскости 274
5.4.1. Построение точек и прямых плоскости на модели 279
5.5. Моделирование плоских кривых второго порядка 281
5.6. Моделирование поверхностей 285
6. ПОСТРОЕНИЕ ДОПОЛНИТЕЛЬНОГО ПОЛЯ ПРОЕКЦИЙ. АЛГОРИТМ ГАУКА 293
6.1. Общий случай 293
6.2. Частные варианты алгоритма Гаука 296
7. ПОЗИЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ 297
7.1. Пересечение прямой с плоскостью 298
7.2. Пересечение прямой с поверхностью 300
7.3. Пересечение плоскостей 303
7.4. Пересечение поверхностей 303
7.5. Алгоритм Гаука в решении позиционных задач 315
8. МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ 320
8.1. Определение натуральной величины отрезка прямой 321
8.2. Определение натуральной величины плоской фигуры 323
8.3. Развертки поверхностей 325
8.3.1. Примеры построения точных разверток 325
8.3.2. Примеры построения приближенных разверток 331
Построение условных разверток 334
8.3.3. Линии на развертках 336
9. ТЕНИ 338
9.1. Тени основных геометрических образов 338
9.1.1. Источник освещения 338
9.1.2. Тень от точки 342
9.1.3. Тень от прямой 345
9.1.4. Тень от плоской фигуры 348
9.1.5. Тени на поверхностях 352
9.2. Тени на архитектурных деталях 362
9.2.1. Тени в нишах 362
9.2.2. Тени карнизов 365
9.2.3. Тень от трубы на крыше 369
9.2.4. Тени на колоннах 369
9.2.5. Тень на лестнице 373
9.2.6. Тень от козырька 376
9.2.7. Тень от крыши на стене 376
9.2.8. Тени на пересекающихся крышах 377
10. ПЕРСПЕКТИВА - ЭПЮР МОНЖА. ВЗАИМНЫЙ ПЕРЕХОД .380
10.1.Построение перспективы по эпюру Монжа 381
10.1.1. Условия выбора точки зрения и картины 383
10.1.2. Последовательность построения 3 84
10.1.3. Некоторые специальные приемы построения перспективы..390
10.1.4. Построение деталей объектов на перспективном изображении 392
10.2.Построение ортогональных проекций объекта по перспективе...396
11. АКСОНОМЕТРИЯ - ЭПЮР МОНЖА. ВЗАИМНЫЙ ПЕРЕХОД 404
Характеристика проекционного аппарата 404
11.1.Построение аксонометрии по эпюру Монжа 406
11.2.Построение ортогональных проекций по аксонометрии 407
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 410
ЛИТЕРАТУРА 411
УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ 389
Введение к работе
С давних пор человечество владеет языком графики. Этот язык является универсальным средством общения. Им пользуются люди разных профессий: музыканты, художники, социологи, математики, педагоги и т.д. Это обусловлено тем, что любая информация об объектах, процессах и явлениях в различных областях знания часто требует визуализации. Или, иначе говоря, восприятие реальности никогда не будет полным, если будет опираться только на аналитическое мышление. Оно требует подключения образного воплощения. Этот факт явился причиной развития двух диалектически связанных частей математики: анализа и синтеза. Последняя часть тесно связана с графическим языком. Она обеспечивает возможность объяснения способов получения различных изображений и работу с этими изображениями.
Графический язык также является средством межвременного общения. Современному человеку понятны изображения, которые сделаны несколько тысячелетий назад. Мы получаем информацию об уровне развития древнейших цивилизаций по изображениям, которые они нам оставили. Такую же информацию получат о нас наши потомки, которые будут жить много веков спустя. Неоценимую роль играют изображения как фактор накопления культурных ценностей нашей цивилизации.
Язык изображений является средством межнационального общения. Изображение, которое сделал индус, может быть понятно и русскому, и французу, и якуту. На основе этого возникла идея поиска контактов с внеземными цивилизациями. С помощью изображений земляне пытаются установить общение с жителями иных планет.
Графический язык один из самых древних языков человечества. Едва ли найдется хотя бы одно археологическое упоминание о существовании человека без изображений. На обозримом временном отрезке существования человека можно выделить четыре вида изображений, которые актуальны и в настоящее время. Это перспектива, аксонометрия, эпюр Монжа и проекции с числовыми отметками.
Из всех этих видов, перспектива [5, 34, 59, 60, 61, 63, 64, 65, 66, 75, 91, 116, 118, 125,129, 141, 147, 169] раньше всех сформировалась как теория. Есть сведения, что египетские пирамиды, храмы древней Греции и Рима были построены по изображениям, напоминающим перспективные. Попытки объяснить построение перспективных изображений с геометрических позиций были еще в трудах древнегреческого ученого Эсхила (525 - 456 гг. до н. э.). Он внес значительный вклад в формирование наблюдательной перспективы. Использовал геометрию для описания процесса построения перспективных изображений и древнегреческий ученый Демокрит (460 - 370 гг. до н. э.). В конце первого века до новой эры греческий ученый Витрувий обобщил труды Эсхила и Демокрита и на основе этого предложил правила построения перспективы [166, 172].
Первые попытки сформулировать правила построения теней во втором веке новой эры дал в своих работах еще один древнегреческий ученый - Птоломей [174].
Новый толчок в своем развитии перспектива как теория получила в эпоху возрождения. Исследования в области построения перспективных изображений подхватили такие ученые, как Филиппо Брунеллески (1377 -1446), Лоренцо Гильберти (1378 - 1455), Леон Батиста Альберти (1404 -1472) и Пьеро дель Борго [170, 171, 173]. Наибольший вклад в построение теории перспективы внесли титаны возрождения - Леонардо да Винчи и Альбрехт Дюрер [59, 169, 175].
Успешно развивалась перспектива в трудах русских ученых и художников, таких как А.Г. Венецианов [138], С.К. Зарянко, П.П. Чистяков, А.П. Сапожников, Я.А. Севостьянов, Н.А. Рынин [128, 129, 130],. Н.И. Чечелев, Н.Н. Чернецов, И.П. Машков [91], и многих других. И в настоящее время эта теория помогает изображать трехмерные объекты на плоскости художникам, скульпторам, архитекторам и дизайнерам.
Специально следует обратить внимание на обратную перспективу, которая использовалась в русских иконах, ее особенности долго оставались загадкой, раскрытой только в XX в. в трудах П.А. Флоренского [141] и Б.В. Раушенбаха [125, 126].
Необходимость построения изображений, обладающих не только наглядностью, но и точностью, вызвала к жизни аксонометрию, впервые использованную в XVI веке для иллюстрации работ Г. Агриколы [12, 17, 45, 46, 42, 90, 141, 145]. Примерно в то же время Жирар Дезарг [30] предложил построение перспективы по координатам. Тем самым он положил начало методу аксонометрических проекций, который до сих пор применяется как средство выражения технической и архитектурной мысли.
Бурное развитие техники требовало изображений, которые бы сохраняли форму и размеры исходных объектов. Это требование было удовлетворено в VIII в. Гаспар Монж [6, 93] предложил такой способ построения изображений. Он характерен тем, что форма и размеры исходных объектов в основном не искажались, но практически отсутствовала наглядность. Иначе говоря, такие изображения мало напоминали те, которые воспринимает глаз человека. Они и в настоящее время широко используются в самых различных областях науки и техники [2, 14, 20, 36, 42, 57, 62, 71, 74, 77, 84, 120, 148, 153].
Последний из перечисленных видов изображений - это проекции с числовыми отметками [22, 74, 81]. Они очень широко используются там, где нужно изображать рельеф местности, проектирующийся из бесконечно удаленного центра, и совершенно не соответствуют тем изображениям, которые воспринимает глаз человека. Первое применение проекций с числовыми отметками было отмечено в XVI в. в навигационных картах.
В настоящее время теоретическая база эпюра Монжа, перспективы, аксонометрии и проекций с числовыми отметками достаточно хорошо представлена в курсе начертательной геометрии. Но традиционное изложение этих видов изображения порождает методические трудности, ибо оно предполагает доминирующее значение эпюра Монжа [20, 32, 81]. Аксонометрия и перспектива излагаются как производные от него. Обучающиеся должны сначала изучать построение изображений объектов на эпюре Монжа, по которым затем строится перспектива или аксонометрия. В то же время традиция не предполагает зависимость теоретической базы перспективы и аксонометрии от эпюра Монжа.
Кроме этого, при обучении студентов - архитекторов и дизайнеров не всегда целесообразно начинать обучение начертательной геометрии с эпюра Монжа. В этом случае необходима методика, позволяющая подходить ко всем существующим методам с общих позиций. И такая методика была предложена К.И. Вальковым [24, 26, 28]. Он показал, что перспектива и аксонометрия оптимально должны иметь два изображения, чтобы с ними можно было работать. Это позволило обобщить проекционные аппараты перспективы, аксонометрии и эпюра Монжа и объединить их под общим названием - метод двух изображений.
Такой подход позволяет снять зависимость перспективы и аксонометрии от эпюра Монжа и дать им необходимую методическую самостоятельность. Кроме того, что очень важно, законы, которые объясняют устройство проекционного аппарата и его работу, являются законами, объясняющими процесс возникновения изображений. Изучение этих законов является важной составной частью методики изучения начертательной геометрии.
Поскольку изображения являются существенным аспектом жизни человека во все времена, то вопрос обучения грамотному изображению трехмерных объектов на плоскости стоит перед человечеством очень давно. В каждый определенный отрезок времени этот вопрос решался по-разному [1,119].
В настоящее время бытует мнение, что грамотно изображать трехмерный мир на плоскости может научиться только человек, обладающий соответствующими способностями. Но если бросить взгляд назад, мы увидим, что были времена, когда читать и писать могли только избранные. Все остальные считались, как бы, неспособными обучиться этим премудростям.
Прошло не так уж много времени, и неграмотный человек стал вызывать удивление. Но вот отношение к обучению изображениям трехмерных объектов на плоскости с тех времен мало изменилось, хотя попытки обучать этому всех поголовно все-таки существуют. В школах введены уроки рисования и черчения. Результаты этой попытки для многих оканчиваются плачевно.
При обучении рисованию, по существу, происходит разделение на тех, кто способен, и на тех, кто не способен к рисованию. Это происходит потому, что рисование в школах ведут педагоги, не имеющие специального художественного образования. А те, кто имеют его, далеко не всегда владеют методикой обучения рисованию. Они, как правило, далеки от педагогики. В результате большинство обучаемых получают приговор: к рисованию не способен.
Конечно, из этого правила существуют исключения. Некоторые специалисты предлагают достаточно хорошо разработанные методики обучения рисованию [4, 35, 47, 73, 159, 160]. Но, чтобы овладеть этими методиками, нужен достаточно высокий уровень художественного и педагогического образования, который, как правило, отсутствует у подавляющего большинства учителей рисования.
Методика обучения черчению разработана достаточно хорошо. При наличии в этой области высоко квалифицированных педагогов можно научить грамотно вычертить на плоскости изображение любого объекта. Но, к сожалению, квалификация педагогов по черчению либо чрезвычайно низка, либо этот предмет в школах ведут люди, не имеющие соответствующей подготовки.
На первый взгляд, человек, не владеющий графической грамотой, может жить долгую жизнь и довольно счастливо. Но это только на первый взгляд. Ситуация в настоящее время существенно изменилась. Исходя из классификации А.И. Субетто [136], сейчас мы живем в энергетической цивилизации, которая характеризуется резким скачком энерговооруженности человечества. Здесь закон «искажения великодушных идей» Достоевского, в соответствии с которым благие намерения, не соответствующие законам реальности, оборачиваются катастрофическими последствиями, тогда как малая энергетика предыдущей вещественной цивилизации и большие компенсаторские способности биосферы не ставили человечество на край гибели.
Весь драматизм энергетической цивилизации заключается в том, что возникла дисгармония между энергетическими возможностями преобразовательной деятельности человека и низкой предсказуемостью результатов этой деятельности. Общественный интеллект в настоящее время не обладает возможностью прогнозирования, потому что не владеет знанием законов общения с реальностью. В историческом масштабе наступает «момент истины»: или общество освоит законы общения с реальностью, или оно будет неуклонно двигаться к катастрофе. В этой связи возникает проблема подготовки специалистов по совершенно новой обучающей программе, поиск которой в настоящее время идет очень интенсивно[1, 160, 161, 163].
Новые обучающие программы должны научить методам общения с реальностью. Но на основе традиционных образовательных систем создать такие методы чрезвычайно сложно. Это происходит потому, что старые образовательные системы формировались из теорий, созданных людьми, которые жили в вещественную эпоху. Эти теории зафиксировали методы общения с реальностью, допускающие некоторые ошибки, которые в то время могли компенсироваться окружающей средой.
Известно, что общение с реальностью в общих чертах определяется следующими моментами:
1. получение той или иной информации от реального объекта;
2. конструирование на ее основе моделей, часто представленных в различного вида закономерностях и системах [23].
Но вот здесь следует обратить внимание на одну особенность. Все школьные предметы (кроме графической грамоты) дают человеку уже готовые модели. Очевидно, что эти модели помогают человеку ориентироваться и выживать в окружающем его мире в тех случаях, когда события развиваются по известным законам. В этом смысле: чем больше человек получает таких моделей, тем выше его выживаемость. Но реальность бесконечно многообразна. И сколько не создавай моделей, их все равно будет мало. Чтобы человек мог легко ориентироваться в постоянно меняющейся действительности, он должен уметь сам создавать ее модели. Но, как правило, существующие методики обучения не предусматривают формирование навыков создания таких моделей. Это приводит к тому, что в нестандартных ситуациях человек теряется и принимает неправильные решения. Особенно остра эта проблема в настоящее время, когда рушатся привычные нормы существования. Нет нужды специально говорить, сколько произошло человеческих трагедий по этой причине.
Конечно, из этого правила есть исключения. У некоторых людей существует природный талант непосредственного общения с реальностью. Они умеют получать необходимую информацию и конструировать нужные модели. Их принято считать творческими людьми. Других же обучают творческому мышлению по специальным методикам. Большинство таких методик основано на игре, в процессе которой обучающийся как бы сам конструирует давно уже созданные модели. Но здесь, к сожалению, имеется существенный недостаток: игра - есть игра. Она помещает человека в тепличные условия, где он непосредственно не сталкивается с многообразием реальности. Кроме того, обучающихся по таким методикам не так уж много. Их развитое творческое мышление не решает в кризисные моменты проблемы в целом.
Указанная проблема в некоторой степени может быть решена, если человека обучить графической грамоте, суть которой заключается в построении геометрических моделей реальности [23, 26, 28]. Изображая трехмерные объекты на плоскости, он учится самостоятельно получать геометрическую информацию и на ее основе создавать геометрические модели, которыми являются изображения. Они, конечно, не дают способов решения политических, экономических и других подобных проблем, но косвенным образом способствуют их решению, так как приучают человека к мысли, что окружающий его мир постоянно меняется и дает бесконечно много самой различной информации. Они показывают: каким образом можно получить необходимую информацию и как на ее основе создать рабочую модель интересующего процесса.
Особенно важно умение работать с реальностью для категории специалистов, которых принято называть "проблемники". Они должны находить решение вопросов, охватывающих значительное количество дисциплин, наук, областей знаний; осуществлять поиск совершенно новых подходов в отдельных научно - технических областях; уметь организовать решение проблем, зависящих от различных отраслей. «Проблемники», которые имеют высокий уровень общетехнической и общегуманитарной подготовки, имеют широкую эрудицию. Они знакомы с новейшими достижениями и имеют знания в широком диапазоне смежных областей. Но этого бывает часто недостаточно, поэтому их эрудиция должна обогатиться навыками общения с реальностью. Это позволит существенным образом повысить качество подготовки таких специалистов. Одним из методов общения с реальностью является владение грамотным изображением трехмерных объектов на плоскости.
Чтобы изобразить такие объекты на плоскости, необходимо объяснить последовательность этого процесса. Известно, что самым лучшим языком, с помощью которого описывается логика тех или иных феноменов, является язык математики. Для описания процесса возникновения изображений в настоящее время используется один из её разделов -«Начертательная геометрия». Но положение дел в настоящее время таково, что преподавание начертательной геометрии сопряжено с методическими трудностями, которые давно стали традицией [151, 161, 164]. Почему же так сложилось, что этот необходимый в системе образования курс так тяжело воспринимается? Причин тому несколько [100].
Первая причина заключается в том, что для освоения курса необходим определенный уровень геометрических знаний, которые требуются как для тех, кто изучает начертательную геометрию, так и для тех, кто пишет учебники и разрабатывает методические пособия. Но в настоящее время ситуация такова, что геометрическое образование на самом широком уровне практически отсутствует. В школе геометрия преподается в очень урезанном виде, а в программах технических вузах ее нет вообще [31]. Все это существенным образом тормозит процесс освоения курса, в котором геометрия играет ключевую роль. В начертательной геометрии она используется лишь для описания трехмерных объектов и способов их изображения на плоскости. Но, чтобы выполнить это, необходимы знания о геометрическом пространстве, о способах его образования, его свойствах, его элементах и об их различных взаимоотношениях, таких как позиционные и метрические. Очевидно, что решением этой проблемы является введение в курс обучения необходимых геометрических знаний. Но, к сожалению, об улучшении преподавания геометрии в школе пока даже не ведутся разговоры.
Вторая причина определяется сложившейся традицией в формулировке основной задачи начертательной геометрии как науки, развивающей, в основном, только пространственное мышление [73, 78, 132, 159, 160]. Конечно, развивать пространственное мышление благородная цель. Оно, несомненно, развивается в процессе изучения курса, но это не главная задача. Основной целью обучения начертательной геометрии является формирование у студентов навыков по грамотному изображению трехмерных объектов на плоскости [26]. Такие навыки, безусловно, необходимы не только будущим архитекторам, дизайнерам и художникам, но и специалистам в других областях знаний [47, 60, 61]. Любой человек будет чувствовать себя уверенней во всех отношениях, если будет владеть еще одним способом выражения своих мыслей.
Неточно определенная цель приводит к дезориентации как преподавателей, разрабатывающих методику курса, так и студентов, изучающих этот курс. Тогда как правильно сформулированная основная задача курса позволяет акцентировать наиболее важные разделы курса, произвести некоторую коррекцию в методике подачи, избавиться от ненужного балласта в учебном материале и ввести новые термины, облегчающие восприятие курса.
Третьей причиной является катастрофически малый объем времени, которое отпущено на освоение курса. Это ставит преподавателей в очень жесткие условия, при которых необходимо решать дилемму: либо научить хорошо чему-то немногому, либо научить плохо всему. Решение этой проблемы упирается в поиск ответа на вопросы: «Чему учить?», «От чего можно без ущерба избавиться?». Ответом на эти вопросы оказывается, во-первых, выявление оптимального объема учебного материала, на основе которого можно было бы сформировать все необходимые для студентов навыки. Во-вторых, избавление от рецептурной методики изложения материала, когда перемешаны в одной главе все задачи - метрические и позиционные, включая построение теней. Конечно, если время на обучение отпущено достаточно много, то такой способ подачи учебного материала может принести хорошие результаты, что подтверждает прошлый опыт обучения начертательной геометрии.
Но реальность такова, что в настоящее время этого времени как раз отпускается очень мало. И уже стало традицией урезать объем времени, отпущенного на изучение графических дисциплин. Поэтому, чтобы научить студентов так необходимой им графической грамоте, нужно коренным образом менять методику подачи учебного материала. Попытка решить эту проблему предлагается автором настоящего исследования.
Это решение было получено после подробного анализа структуры всего курса начертательной геометрии [109]. Благодаря этому анализу были сформированы крупные блоки учебного материала, установлена между ними логическая связь, выявлены общие методы их изложения, использованы новейшие разработки в области многомерной геометрии, которые упрощают изложение некоторых разделов курса, определен необходимый объем геометрических знаний, которые включены в курс, разработана рейтинговая форма всеобщего контроля знаний студентов [165]. Оптимальность предложенной методики подтвердили данные трехлетнего эксперимента, поведенного автором на кафедре начертательной геометрии и графики Пензенской архитектурно-строительной академии.
