Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Обзор литературы. Постановка задачи исследования и основные его положения. 7
1.1 Обзор литературы 7
1.2. Постановка задачи исследования и основные его положения 11
Глава 2. Движение подводного аппарата в неоднородном нестационарном потенциальном потоке жидкости . 16
2.1. Постановка задачи. Определение потенциала скорости 16
2.2 Определение сил и моментов гидродинамического воздействия неоднородного потока на тело 18
Глава 3. Движение подводного аппарата под свободной взволнованной поверхностью . 32
3.1. Постановка задачи 32
3.2. Дополнительные члены сил и моментов от воздействия волнения 39
3.3. Уравнения установившегося и неустановившегося движения изделия в продольно-вертикальной плоскости 42
3.4. Оценка влияния волнения на некоторые гидродинамические характеристики подводного аппарата 44
3.5. Линеаризированные дифференциальные уравнения возмещенного движения ПА в условиях волнения. Кинематические зависимости 61
3.6. Анализ уравнений движения 65
3.7. Частотные характеристики и акустические эффекты, обусловленные продольной качкой ПА 71
3.8. Учет влияние глубины водоема. Численные примеры 80
3.9. Учет влияние течения на движение подводного аппарата 85
3.10. Оценка влияния дна водоема и свободной невозмущенной поверхности на гидродинамические характеристики тела 86
Заключение. 93
Краткие выводы. 95
Литература.
- Постановка задачи исследования и основные его положения
- Определение сил и моментов гидродинамического воздействия неоднородного потока на тело
- Дополнительные члены сил и моментов от воздействия волнения
- Линеаризированные дифференциальные уравнения возмещенного движения ПА в условиях волнения. Кинематические зависимости
Введение к работе
В начале хочу выразить свою благодарность первому научному руководителю д.т.н. профессору [Иконникову И.Б. Эта диссертация посвещена его памяти.
Проблемы освоения Мирового Океана требуют дальнейшего развития и совершенствования подводной техники (обитаемые и необитаемые подводные аппараты - весьма тихоходные технические объекты), а также быстроходные подводные аппараты.
В дальнейшем для этих двух объектов морской техники будем использовать термин «подводный аппарат».
Предметом исследования является оценка влияния границ потока жидкости на кинематику и динамику движущегося в ней подводного аппарата (ПА). Объектом исследования являеются подводные аппараты, движущиеся вблизи границ потока жидкости.
Динамика движения подводных аппаратов, движущихся в безграничной жидкости, хорошо разработана. Достаточно указать на курс под редакцией Д.П.Скобова и В.В. Рождественского др. и монографию Е.Н.Пантова, Б.Б.Шереметова и Н.Н.Махина «Основы теории движения подводных аппаратов», а также на ряд других статей в различных сборниках, связанных с этими вопросами.
Однако в реальных условиях подводные аппараты могут двигаться в условиях влияния границ потока, что, несомненно, должно сказаться на их характеристиках. Понятие границ потока можно понимать достаточно широко. К ним относятся: свободная невозмущенная и взволнованная поверхность, дно водоема. Эта задача рассматривается при движении малого объекта в гидродинамическом поле большого объекта. К этим же задачам относятся проблемы взаимодействия судов при их взаимном маневрировании (при встречах и обгонах).
Отметим, что в данной работе под вопросами исследования динамики движения подводных аппаратов подразумевается как составление уравнений их движения, так и их решение, позволяющее получить сведения об основных кинематических характеристиках (траектория движения, скорости, ускорения).
Обычная гидромеханика, как правило, ограничивается лишь определением гидродинамических характеристик тел. Частные вопросы определения гидродинамических сил при взаимодействии тел, движущихся вблизи твердой стенки, имитирующей наличие дна, рассмотрены в монографии Г.Лемба и А.А.Костюкова «Взаимодействие тел, движущихся в жидкости». Влияние поверхностных волн на гидродинамические характеристики при качке судов рассмотрены в монографии М.Д.Хаскинда «Гидродинамическая теория качки корабля». В ней же рассмотрена частная задача о гидродинамических силах, возникающих при обтекании тела однородным нестационарным потоком жидкости. В учебнике В.В.Рождественского «Динамика подводной лодки» кратко освещено влияние свободной поверхности и дна.
Отметим, что все подобные задачи по определению гидродинамических сил решались в предположении о потенциальном вызванном движении жидкости.
В уравнения динамики движения подводных аппаратов должны входить члены, зависящие от вязкости. Современное состояние гидромеханики позволяет определить их на основе гипотезы стационарности, с помощью введения позиционных и вращательных производных. Позиционные и вращательные производные зависят от влияния границ потока. Однако поскольку эти производные определяются главным образом характеристиками пограничного слоя и следа за телом, т.е. областями, имеющими локализованный характер, то влияние границ потока может существенно сказаться на эти величины лишь в случае очень малых отстояний от границ потока. Эти проиводные определяются главным образом эксперементально.
Актуальность работы заключается в том, что была предпринята попытка на основании имеющейся разработанной теории движения тел в неоднородном потенциальном нестационарном потоке обобщить задачи, связанные с влиянием наличия границ потока и разработать методику учета влияния границ потока на гидромеханические и кинематические характеристики движения подводных аппаратов. Используя вполне обоснованные допущения, удалось получить весьма простые зависимости для дополнительных сил и моментов, обусловленных наличием нестационарного потока. Эти дополнительные члены должны быть вставлены в общие уравнения динамики изделий, движущихся в безграничной жидкости.
Целью работы является создание общей методики учета влияния границ і потока жидкости на динамические и кинематические параметры движения
V подводных аппаратов с выводом общих зависимостей для дополнительных сил и моментов, обусловленных влиянием неоднородного стационарного потока. Проведение на основе данной методики численных экспериментов, анализ которых позволяет в перспективе использовать предлагаемый метод в теории и на практике. В качестве примера иллюстрирующего использование предлагаемого метода, рассмотрена задача о движении подводного аппарата в условиях влияния поверхностного волнения (Глава 3). Рассматривается движение подводных аппаратов в продольно-вертикальной плоскости (продольная качка погруженного тела).
Как обобщение ранее полученных результатов других авторов в Главе 3 рассмотрено влияние на движение тел свободной невозмущенной поверхности и плоского дна.
Методы исследования - теоретико-численные. В силу сложности проведения физических экспериментов в работе был использован метод математического моделирования, некоторые результаты которого сопоставлены с немногочисленными опытными данными.
Научная новизна работы состоит в создании единой методики для учета влияния границ потока жидкости на движущееся в ней тело, а также установление на основе математического моделирования некоторых особенностей и закономерностей изменения кинематических характеристик движения подводного
V аппарата.
Применение метода возможно для расчетов динамических и кинематических характеристик движения подводного аппарата в условиях морского волнения, а также при взаимном маневрировании судов (встречах и обгонах).
Практическая ценность работы заключается в том, что разработанная методика позволяет рассчитывать движение различных подводных аппаратов в условиях влияния границ потока без привлечения дорогостоящего и технически сложного физического эксперимента.
На защиту выносятся следующие основные положения:
1. Методика определения дополнительных сил и моментов, обусловленных влиянием неоднородного нестационарного потенциального потока жидкости.
2. Методика оценки влияния поверхностного волнения на кинематические и динамические характеристики движения ПА.
3. Результаты расчетного анализа влияния поверхностного волнения и дна водоема на кинематические и динамические характеристики движения ПА.
Апробация работы и внедрение. Результаты работы докладывались и получили положительную оценку: на международном симпозиуме по гидромеханике, посвященном 85-летию со дня рождения Басина A.M., Санкт-Петербург, НТО, 1997 г.; на 38 Крыловских чтениях, Санкт-Петербург, 1997 г., на 39 Крыловских чтениях, Санкт-Петербург, 1999 г., отчет каф. №20 в СПбГМТУ, 1999 г., на конференции МОРИНТЕХ - Санкт-Петербург 1999, на 40 Крыловских чтениях, Санкт-Петербург, 2001 г. Основные результаты работы внедрены в учебный процесс СПбГМТУ.
Публикации. По теме диссертационной работы имеется 5 публикаций (см. в литературе).
Постановка задачи исследования и основные его положения
В безграничной жидкости инерционные силы ее воздействия на тело обычно определяют с помощью использования кинетической энергии жидкости Т . Однако в некоторых случаях (например, для неоднородного потока, вызываемого волнующейся жидкостью) Т равно бесконечности, что не позволяет использовать в подобных случаях этот подход. Поэтому определение гидродинамических реакций в работе проводится наиболее естественным путем: интегрированием нестационарных давлений по смоченной поверхности тела. Давления определяются из интеграла Лагранжа. В результате гидродинамическая реакция (и момент) складывается состоящим из четырех компонент. Компонента, связанная с потенциалом ф определяет инерционные силы, выражаемые через обобщенные присоединенные массы, определяемые для безграничной жидкости. Она считается известной. Компонента, зависящая от потенциала характеризует непосредственное воздействие неоднородного потока на тело. Это так называемая обобщенная архимедова сила. Поскольку потенциал F считается заданным, эта компонента легко вычисляется. Потенциал ф$ обуславливает появление дополнительных инерционных сил диффракционной природы. Она подлежит определению. Наконец, появляется дополнительная сила, связанная с наличием квадрата скорости в интеграле Лагранжа.
Помимо этих категорий сил на тело действует обычная архимедова подъемная сила, которую всегда можно вычислить отдельно. Для тела реальных обводов определение силового воздействия жидкости требует знания потенциала скоростей в точках на смоченной поверхности тела, что представляет собой сложную дополнительную проблему. При замене тела реальных обводов эквивалентным трехосным эллипсоидом (или эллипсоидом вращения) получены простые аналитические зависимости для определения сил и моментов. В эти зависимости входят проекции скоростей неоднородного потока и присоединенные массы, определенные для безграничной жидкости.
Приводятся выражения для силового воздействия на тело от влияния неоднородного потока при его движении в продольно-вертикальной плоскости. Уравнения движения тела в неоднородном потоке, при подобном подходе, получаются суммированием уравнений движения тела в безграничной жидкости и дополнительных членов, учитывающих влияние неоднородного потока. Вязкостные компоненты сил и моментов определяются с помощью позиционных и вращательных производных на основе использования гипотезы стационарности.
В главе 3 как приложение теории рассмотрена задача о продольной качке подводного аппарата, движущегося в разрез к прогрессивной волне относительно малой амплитуды, при курсовых углах Є = 0 (попутное волнение) и Є = К (встречное волнение). Этот частный случай значительно легче для исследования, поскольку при движении ПА в данных условиях изменения во времени угла атаки Act(t) и угла дифферента A6(t) одинаково. На основании рассмотрения этой задачи сделаны выводы как качественного, так и количественного характера: это позволяет в дальнейшем более обосновано подойти к решению задачи о качке ПА, движущегося под произвольным курсовым углом к направлению бега волн, - к задаче о движении тела с шестью степенями свободы.
Потенциал неоднородного потока уподобляется в данном случае потенциалу прогрессивных волн. В терминах теории качки компонента силы, связанная с потенциалом неоднородного потока соответствует крыловской части возмущающей силы [14], а две остальные компоненты силового воздействия - диффракционной части возмущающей силы. Все кинематические характеристики ПА (угол дифферента, амплитуда вертикальной качки, а изменение поступательной скорости) должны быть, строго говоря, определены из решения совместной системы трех уравнений продольной качки. Однако для получения достаточно общих выводов о влиянии волнения на характеристики движения ПА в работе был использован следующий прием. Он состоял в следующем: изменение во времени скорости поступательного движения u(t) представлялось в виде v(t) = us(l + ASin CTkt), (1.2) где U„ - постоянная во времени скорость движения ПА в отсутствии влияния волнения, (7, - кажущаяся частота колебаний, А - безразмерная амплитуда колебаний. На основании анализа уравнения продольных колебаний, с учетом гипотезы стационарности, было получено выражение для амплитуды А, через которую непосредственно выражается изменение угла дифферента. Согласно используемой при этом выводе гипотезе стационарности тяга и сопротивление ПА за период колебаний взаимно компенсируются. Произведена оценка величин амплитуд горизонтальных колебаний и вертикальных колебаний ПА в зависимости от глубины погружения и относительной скорости. Выявлено количественное (и качественное) различие между возмущением, возникающим при движении тихоходных и быстроходных ПА.
Для быстроходных ПА (скорости порядка 25 + 30 м/с) возмущающим воздействием волнения можно практически пренебречь; при этом вопрос об управлении их движением практически отпадает. Наоборот, при движении ПА (обитаемых и необитаемых) со скоростями порядка 1,5 + 3 м/с на небольших глубинах влияние волнения на кинематические характеристики движения становится весьма существенным и для уменьшения этого воздействия целесообразно использование средств управления движением.
Проведена оценка влияния конечности глубины водоема, показавшая, что в Л этих условиях возмущающее влияние волнения увеличивается по сравнению со случаем глубокой воды.
Для тихоходных обитаемых подводных аппаратов, когда возмущающее влияние волнения достаточно велико, возникают значительные по величине ускорения, которые неблагоприятно воздействуют на акванавта, вызывая у него морскую болезнь.
Проанализирована возможность возникновения резонансных режимов продольной качки; показано, что в некоторых случаях частоты собственных колебаний ПА могут быть близки к частотам вынужденных колебаний, т.е. находиться в околорезонансной зоне.
В работе кратко освещены вопросы движения ПА около плоской стенки имитирующей дно водоема или невозмущенную свободную поверхность. Показано при этом, что при наблюдающихся на практике соотношениях главных размерений ПА и отстояния до стенки этим влиянием можно практически пренебречь.
Определение сил и моментов гидродинамического воздействия неоднородного потока на тело
В соответствии с ранее высказанными общими положениями введем в рассмотрение потенциал неоднородного нестационарного потенциального потока F(x,y,Z,t), считаемый заданным.
Его конкретное выражение зависит от рассматриваемого класса задач, связанных с учетом влияния границ потока. Напомним, что согласно основному принятому допущению учитывается влияние заданного (номинального) потенциального потока на тела, а обратным влиянием тела неоднородный поток пренебрегается.
Граничные условия задачи предполагаем линейными. В силу этого для суммарного вызванного потенциала Ф, удовлетворяющего уравнению Лапласа АФ = 0 являющегося линейным, справедлив принцип суперпозиции решений и, тем самым, его представление в форме .
Величины Q и Коо представляют собой векторы количества движения и момента количества движения без учета влияния неоднородного потока (в безграничной жидкости) и выражаются через обычные обобщенные присоединенные массы. Индекс oo , еще раз подчеркнем, показывает, что эти члены определяются для движения тела в безграничной жидкости (без учета влияния неоднородного потока). Члены ER и Ем характеризуют непосредственное влияние неоднородного потока (обобщенные Архимедовы силы и моменты (Ламб [3])). Члены Q$u. Лід- обусловлены влиянием дифракционной части потенциала, наконец, члены JR И JМ - зависят от квадрата скорости в интеграле Лагранжа. На тело действуют еще обычные архимедовы силы, учет которых всегда может быть проведен дополнительно. В уравнениях динамики движения тела в неоднородном потоке, помимо обычных членов, связанных с обобщенными массами, а также поступательными и вращательными производными, и определяемыми для безграничной жидкости, должны быть дополнительно включены силы Re и моменты А1в. В дальнейшем для проведения конкретных вычислений примем, что тело реальных обводов может быть аппроксимировано эквивалентным эллипсоидом. При определении дифракционного потенциала (р.=(рл + Р± + р воспользуемся решением задачи об обтекании трехосного эллипсоида потоком, имеющим на бесконечности скорость V (Кочин Н.Е., Кибель Н.А., Розе Н.В., «Теоретическая гидромеханика часть I» Гитл 1949 г.). Второй член правой части представляет собой вызванный потенциал, вводимый для учета условия непротекания на эллипсоиде. При решении задачи обтекания скорость U - не зависит от времени, однако, эта формула для вызванного потенциала течения может быть применена и в случае, если О есть функция времени t-V (t). Уподобим скорость и (t) скорости - скорости от заданного неоднородного потока (F x зависит от координат х, у, z и времени t). При этом учтем, что размеры тела малы по сравнению с характерными размерами неоднородного потока, т.е. для определенной его области можно считать, что зависит лишь от времени t. Согласно граничному условию непротекания (2.4) требуется знать лишь значения дифракционного потенциала в точках на поверхности тела при A = AQ.
Для тела произвольных обводов определение интенсивности поверхностного распределения источников производится на основании решения уравнений Фредгольма второго рода [4], [8] и связано со значительными вычислительными трудностями, для преодоления которых необходимо использование ЭВМ.
Существенно отметить, что при допущении об аппроксимации реального тела трехосным эллипсоидом, во все члены, характеризующие воздействие заданного нестационарного потенциального потока входят лишь известные заранее проекции скоростей этого потока и присоединенные массы для безграничной жидкости. Для общего случая движения тела с шестью степенями свободы могут быть получены аналогичные формулы, определяющие составляющие возмущающих сил и моментов от неоднородного потока.
В силу громоздкости здесь они не приводятся, поскольку в дальнейшем будет подробно рассмотрен лишь случай движения тела в продольно-вертикальной плоскости.
Выбор для расчета варианта движения изделия в продольно-вертикальной плоскости был определен целесообразностью первоначальной апробации метода на достаточно простом варианте движения.
Дополнительные члены сил и моментов от воздействия волнения
В отсутствии волнения, движение изделия под свободной поверхностью будет установившимся со скоростью V a—const при балансировочном угле атаки СС„ =const и угле перекладки руля Sn=const. Считаем при этом, что влияние свободной невозмущенной поверхности на динамику движения изделия отсутствует. Уже при погружении оси ПА относительно большого удлинения под невозмущенной свободной поверхностью на два-три диаметра это условие выполняется.
Влияние поверхностного волнения приводит к возмущению движения. Соответствующие уравнения основного возмущенного движения можно записать в форме [1], [2] с добавлением членов, учитывающих непосредственное влияние волнение. В них дополнительно положено ус =0; хс =0. Отметим, что эти уравнения являются приближенными, основанными на выполнении условий линеаризации. Это обстоятельство вполне согласуется с тем, что и вывод дополнительных сил волновой природы основан на использовании линейных представлений. В силу громоздкости эти уравнения здесь не приводятся.
Оценим относительные дополнительные члены волновой природы. Для этого, прежде всего, выясним, к каким величинам их целесообразно относить. С этой целью рассмотрим движение ПА с постоянной скоростью D„ под невозмущенной свободной поверхностью. В установившемся режиме движение ПА описывается системой уравнений (3.16-3.18). Наличие волнения сказывается на появлении дополнительных нестационарных сил и моментов. Их учет проведем методом наложения, прибавив в правой части нестационарных уравнений динамики ПА дополнительные возмущающие члены от волнения. Влияние волнения скажется на изменении скорости V\t)=l)„+Av\t) угла атаки ОС = ОС„ дифферента и появлению угловой скорости С0 = . Проведем качественный (и в определенной мере количественный) анализ основных } составляющих, входящих в эту формулу. Влияние коэффициента сопротивления. Из (3.25) видно, что с увеличением Cv (при прочих равных условиях) \1/Y уменьшается. Получим приближенную оценочную зависимость для определения величины Су.. Отметим, что эта величина как обычно принято в динамике ПА, отнесена к площади миделя S — /. (считаем ПА телом вращения). Полагаем, что ПА представляет собой хорошо обтекаемое тело со смоченной поверхностью Q. Вязкостное сопротивление голого корпуса Rr будет тогда выражаться зависимостью: R =г Р а.
Введем дополнительную поправку на шероховатость .=0,540 , а также на сопротивление стабилизаторов и рулей С,ст = 0,3 10 . С учетом этого суммарный коэффициент сопротивления , отнесенный к смоченной поверхности Q., будет равен: = „ +ш+( ст . К Пересчитаем этот коэффициент на коэффициент Сх , отнесенный к площади ЧЛ . Заменим приближенно смоченную поверхность Q площадью цилиндра х 2 4 2 2 откуда Сх=— (3.26) Полученные зависимости позволяют рассчитать Сх для ПА различного относительного удлинения. В среднем, для ПА различного относительного удлинения для проведения приближенных оценок у/х можно принять Сх = 0,2. Величину 2d = аЛ - безразмерную высоту волны, примем стандартной для теории качки, равной / — — . Для относительно коротких волны 2а Л—, для /Л 20 20 длинных волн 2а Л— , что может быть учтено в более детальных расчетах. s 20 Относительная скорость ПА может изменяться в весьма широких пределах, от Fr=3 (быстроходныеПА) до Fr 0,3 (самоходныеПА). Fr оказывает значительное влияние на величину у/х. При малых значениях Y, х становится весьма большим. С увеличением г, % уменьшается. Это вывод представляется совершенно естественным, т.к. при большой относительной скорости инерционность движения ПА позволяет уменьшить влияние волнового эффекта. Анализ множителя Шу 2л я показывает, что в случае попутного (знак «-«) влияние волновых возмущений значительно меньше, чем при встречном волнении (знак «+»). Отметим, что в приведенной приближенной постановке задачи предельный переход к F=0 (отсутствие перемещения ПА относительно волны) отсутствует. Величину безразмерных коэффициентов присоединенных масс /Z..,// 11 др., можно определить согласно данным справочника (25), при условии замены ПА эквивалентным эллипсоидом вращения. В среднем, для ориентировочных расчетов можно положить jUj і = 0,l,jU22 — 1 №б6— 1 Оценка величины вертикальных сил. В уравнение вертикальных сил при установившемся движении входит величина {G—pgWj npgW, где п 0-коэффициент переутяжения (коэффициент отрицательной плавучести). При установившемся движении из этого уравнения определяются балансировочные углы атаки СС„ и угол перекладки S„ горизонтальных рулей. В условиях воздействия волнения (возникновения силы Rv ). Эти величины изменяются и могут быть определены лишь из решения трех Ув уравнений динамики движения ПА в продольно-вертикальной плоскости. Проведем приближенную оценку отношения R YipgW, использовав для этой цели уравнения (2.14), пренебрегая в выражении для Rv третьим малым Ув членом и не учитывая член с угловой скоростью СО-, который может быть найден лишь из решения уравнений динамики. С учетом сделанных допущений будем иметь для амплитудного значения этого отношения:
Линеаризированные дифференциальные уравнения возмещенного движения ПА в условиях волнения. Кинематические зависимости
Анализ зависимости для А позволяет сделать следующие основные выводы. При больших скоростях движение ПА — -«1, и амплитуда А мала. Это означает, что в этом случае изменения кинематических характеристик движения изделия практически не имеет места. Совершенно другая картина может иметь место при движении автономных самоходных аппаратов, обладающих скоростями порядка 2-і-5 узлов (1,25-і-2,5)м/с. При этом амплитуда А имеет порядок, близкий к единице.
Из формулы для А вытекает, что, как это естественно следует из зависимостей теории волн, влияния волнения с глубиной погружения ПА подчиняется экспоненциальному закону Є . На рис. 9, 10, 11 приведены зависимости A — f\kh\ при различных значениях скорости Us для двух волн, соответствующих четырем и пятибалльному волнению [26]. Как ранее было отмечено для быстроходных ПА в условиях его движения на маршевом участке траектории со скоростями порядка 50 узлов (25м/с) влияние волнения практически не сказывается на кинематических характеристиках движения, так что вопросы управления его движением практически не стоят.
Вопросы управления ПА становятся достаточно актуальными для самоходных обитаемых подводных аппаратов, скорости которых порядка (1-2,5)м/с в связи с возможными физиологическими воздействиями на акванавта находящегося либо внутри ПА, либо во вне его, подверженного воздействию ускорений возникающих при продольной качке изделия. Это физиологическое воздействие ускорений на организм человека, известное как «морская болезнь» возникает у подавляющего большинства людей при ускорениях, превосходящих (0,15 + 0,2) g.
В монографии [15] отмечается, что, по результатам ряда систематических обследований, именно при преодолении этого «порогового» значения ускорения обостряются проявления «морской болезни», включающие в себя симптомы головной боли, вялости, тошноты и потери ориентации.
Расчеты показали, что при встречном волнении 5 баллов уже на глубине 2 метра при движении СПА со скоростью 1)=2 м/с возникает ускорение 0,2 g что, как было сказано выше, приводит к морской болезни оператора - акванавта.
Соответствующие зависимости для амплитуды ускорения получены в предложении о регулярном характере морского волнения. В реальных условиях морское волнение всегда нерегулярно. Приведем, поэтому, некоторые соображения об учете влияния нерегулярности волнения.
Сделаем самое краткое замечание о возможности влияния на вышеназванные характеристики внутренних волн. Известно [31], что в условиях скачка плотности в океане возникают внутренние волны гравитационного типа. Параметры даже самых наиболее «коротких» внутренних волн - длины X порядка нескольких сотен метров, периоды - Т порядка нескольких минут.
В рамках линейной постановки задачи для случая осцилляции тела параллельно свободной невозмущенной поверхности (ось х) заменим тело овоидом вращения (овоид Ранкина) [9].
Отметим, что данная система источника-стока может быть названа «квазидиполем» [28], в котором гидродинамические особенности расположены на малом конечном отстоянии 2а. Из сопоставления этих величин с данными таблицы видно, что в ряде случаев периоды и частоты свободных колебаний ПА находятся в близкой к резонансным колебаниям частотам, что должно привести в этих случаях к более точному определению амплитуд в зоне резонанса. Этот вопрос требует дополнительного исследования и уточнения действительной величины метацентрической высоты. Отметим далее, что приближенный учет изменения углов дифферента при килевых колебаниях с помощью введения величины An - амплитуды горизонтальных колебаний скорости - было проведено выше.
