Содержание к диссертации
Введение
1. Постановка задачи 14
1.1. Возможные применения летательных аппаратов с электрической силовой установкой и их формализация 14
1.2. Основные этапы полета аппарата 15
1.3. Математическая постановка задач поиска оптимального управления аппаратом 17
2. Модель функционирования отдельных подсистем самолета и силовой установки как целого 24
2.1. Воздушный винт 25
2.2. Двигатель 32
2.3. Фотоэлементы 33
2.4. Батарея аккумуляторов 42
2.5. Уравнения аэродинамики 45
2.6. Электрическая схема включения. Электрические соотношения 47
3. Решение и анализ задач управлении прн полете только на энергии аккумуляторов 55
3.1. Задача о максимизации времени полета в рамках упрощенной модели..56
3.2. Задача о максимизации времени полета на аккумуляторах в рамках строгой модели 68
3.3. Задача о полете на максимальную дальность в рамках упрощенной модели 81
3.4. Полет при наличии ветра 84
3.5. Рекомендации по проектированию электрической силовой установки .. 89
3.6. Заключительные замечания по главе 3 92
4. Решение и анализ задач управлении в случае дистанционного подвода энергии 94
4.1. Задача о максимизации времени полета солнечного самолета без ограничений на траекторию в рамках упрощенной модели 96
4.2. Максимизация времени полета без ограничений на траекторию в рамках строгой модели 99
4.3. Максимизация времени полета по заданной траектории в рамках упрощенной модели 106
4.4. Максимизация дальности полета по заданной траектории в рамках упрощенной модели 118
4.5. Перелет из точки в точку в рамках упрощенной модели 122
4.6. Максимизация остатка энергии аккумуляторов при перелете из точки в точку при наличии ветра 124
4.7. Полет внутри ограниченного пространства 129
4.8. Рекомендации но проектированию электрической силовой установки 140
4.9. Заключительные замечания 145
Выводы 146
Литература 149
- Математическая постановка задач поиска оптимального управления аппаратом
- Электрическая схема включения. Электрические соотношения
- Рекомендации по проектированию электрической силовой установки
- Максимизация времени полета по заданной траектории в рамках упрощенной модели
Введение к работе
Экономическая эффективность применения аппаратов определяется возможным спектром решаемых задач, стоимостью и преимуществами перед аппаратами других типов. Основные задачи, которые на данный момент может выполнять БПЛА с электрической силовой установкой (ЭСУ), есть задачи наблюдения и ретрансляции.
Под обобщающим словом "наблюдение" подразумеваются следующие задачи: патрулирование на автодорогах и в населенных пунктах в интересах правоохранительных органов, ГИБДД, МЧС и прочих организаций, наблюдение за определенным объектом в интересах охранных предприятий, сельскохозяйственные наблюдения (за посевами, очагами болезни растений), наблюдение труднодоступных районов, в том числе и районов несанкционированного посева наркотических культур, и ряд других задач. В настоящее время в США для таких целей используется самолет "Пойнтер" (см, рис, 1) фирмы AeroVironment [2]. Кроме этого, рассматриваемые аппараты могут применяться в интересах вооруженных сил и других военизированных структур для проведения оперативно-разведывательной и, возможно, других видов деятельности. Это подтверждается опытом использования БПЛА типа "Пчела" и "Шмель" во время контртеррористической операции на Северном Кавказе. Планируется также использование малоразмерных аппаратов с характерным размером порядка 15 см (типа разрабатываемого компанией AeroVironment аппарата BlackWidow [2]) для разведки внутри зданий при проведении операций по освобождению заложников. Под термином "наблюдение" подразумеваются также мониторинг окружающей среды и метеорологические измерения.
Очевидно, что в задачах наблюдения БПЛА и ДПЛА имеют определенное преимущество перед пилотируемыми Л А. Возможность длительного нахождения на определенной территории и полет в труднодоступных районах, а также более высокое оптическое разрешение наблюдаемой картины (за счет меньшей высоты полета) является преимуществом перед космическими аппаратами (которое, однако, не перечеркивает важность и необходимость использования спутников). Отсутствие пилота на борту, малая эффективная площадь рассеяния и низкий уровень шума (в случае малоразмерных аппаратов) являются преимуществом в военных применениях. Отсутствие выбросов в атмосферу продуктов сгорания ЛА с электрической силовой установкой (ЭСУ) есть преимущество при проведении экологического мониторинга.
Увеличивающийся быстрыми темпами рост потребностей связи, в том числе и мобильной, и относительная дороговизна спутниковых видов связи привели к тому, что в настоящее время рассматривается вопрос о локальных ретрансляторах сигналов с радиусом действия порядка десятков или сотни километров, которые могут быть установлены на летательных аппаратах. В частности, для этого предполагается использовать самолеты Тлобал Хоук" [1] и "Helios" (см. рис. 1)т который использует солнечную энергию [2]. По оценкам специалистов, стоимость такой системы связи примерно в 10 раз ниже спутникового аналога [3], [4]. Кроме этого, снижается также стоимость услуг связи.
Как видно из вышеизложенного, в настоящее время имеется потребность в БПЛА различного типа, в том числе и с электрической силовой установкой, Разработкой и производством такого типа аппаратов занимались и занимаются ряд организаций в нашей стране и за рубежом. В СКБ-306 Московского авиационного института были построены самолеты с электрической силовой установкой (без фотоэлементов) «Электролит - 1», «Электролет - 2», «Электролет - 3» [5]. Стоимость летного часа этих самолетов была в 25 раз меньше, чем у самолета Ан - 2 [5]. В США ведется программа ERAST [2], результатом которой являются уже несколько реально летающих солнечных самолетов с полупроводниковыми фотоэлементами - "Pathfinder", "Pathfinder Plus", "Helios". В Италии проводятся исследования в рамках программы "Helinet" [3], [4] с целью создания самолета на солнечной энергии для нужд ретрансляции. По оценкам разработчиков, аппараты типа "Helios" или "Helinet" в количестве 4 штук способны обеспечить услугами ретрансляции всю территорию Италии, Есть также сведения о разработке таких аппаратов в ФРГ, Израиле и Японии [6].
ВҐТЛА с ЗСУ имеет ряд преимуществ перед аппаратами с поршневыми и реактивными двигателями. К ним можно отнести более низкий уровень шума, отсутствие выбросов в окружающую среду, возможность дистанционного подвода энергии, более высокий КПД силовой установки (СУ), меньший вес двигателя, отсутствие на борту горючих веществ, возможность подзарядки аккумуляторов при торможении двигателем, отсутствие механических устройств управления силовой установкой, более широкий диапазон частот вращения вала двигателя (включая нулевую частоту вращения и вращение в противоположную сторону) и т.п. Хотя удельная энергия (отношение запасенной энергии к массе энергетического резервуара) дли углеводородных топлив в настоящее время выше, чем для аккумуляторов, (для углеводородов она составляет порядка 45 МДж/кг [7], а для аккумуляторов - 0,5МДж/кг или примерно 140 Вт-ч/кг [S]) перечисленные преимущества позволяют ЭСУ конкурировать в ряде случаев с традиционными углеводородными. Помимо эгого, сущесгауег возможность использования в качестве источников питания топливных элементов (ТЭ), в которых энергия углеводородного топлива превращается непосредственно в электрическую энергию, минуя этап горения [3]. Возможны также конструкции регенерируемых ТЭ, в которых электрическая энергия выделяется при соединении водорода и кислорода с образованием воды, а также возможен обратный процесс гидролиза. Удельная энергия таких элементов равна 2МДж/кг или примерно 560 Вт-ч/кг [3].
Так как основные принципы функционирования регенерируемых топливных элементов и аккумуляторов идентичны, то в рамках исследования не конкретизировался тип аккумулирующих устройств, и в дальнейшем для упрощения изложения везде употребляется слово "аккумулятор".
Еще одним немаловажным фактором является то, что запасы месторождений нефти ограничены и по оценкам специалистов будут истощены в течение примерно ста лет. В настоящее время появляются проекты использования солнечной энергии в наземных устройствах) особенно для стран с высоким уровнем приходящего солнечного излучения [9], [10]. Поэтому разработка и внедрение аппаратов с ЭСУ является перспективной и в этом плане.
В нашей стране и за рубежом ведутся исследования в области анализа возможных применений, разработки конструкции и формированию режимов полета БПЛА с ЭСУ ([3], [5], [6], [11] - [26]). Однако если в области конструирования достигнут определенный прогресс, подтверждением чему служат, например, аппараты фирмы "AeroVironment" [2], то вопросы рационального управления подобными аппаратами (по публикациям в открытой печати) носили во многих случаях качественный характер.
В работах В.Ф. Илларионова [25], [26] анализируется управление аппаратом без фотоэлементов на установившихся режимах полета, а также предложен вариант упрощенной мрдеди силовой установки, позволяющий подучить качественные аналитические результаты. Кроме этого, приводится анализ необходимых условий оптимальности траектории при помощи анализа второй вариации функции Гамильтона,
На основании исследований по формированию программ полета и оптимального управления можно определить примерную область режимов полета аппарата, что позволит получить требования и рекомендации по компоновке аппарата и определить примерные параметры конструкции и летно-технические характеристики, которые необходимы на этапе предварительной проработки конструкции и, возможно, на последующих этапах проектирования. Кроме того, знание законов рационального управления в сочетании с соответствующим выбором параметров ЛА позволяет создать самолет с более высокими летно-техническими характеристиками (ЛТХ).
Как следует из сказанного выше, энергетические возможности обеспечения полетов БПЛА с электрической силовой установкой существенно ограничены по сравнению с ЛА, использующим углеводородное гошщао. Данное обстоятельство в значительной степени затрудняет выбор параметров БПЛА рассматриваемого типа. В связи с этим знание рациональных законов управления самолетом с электрической силовой установкой на этапе формирования его облика может позволить проводить эффективный выбор параметров аппарата.
Эффективность, в том числе и экономическая, использования аппарата определяется, в числе прочих факторов, также и возможным спектром выполняемых самолетом задач. Действительно, с одной стороны предпочтительнее эксплуатировать многофункциональный аппарат, который при изменении полетной задачи потребует лишь незначительных операций по обслуживанию в полевых условиях (смена оборудования, уменьшение/увеличение количества аккумуляторов, перепрограммирование системы управления), чем иметь несколько аппаратов, каждый из которых может выполнять только какую-либо конкретную задачу, С другой стороны, увеличение спектра задач расширит круг потенциальных покупателей, что приведет к увеличению выпуска самолетов и снижению их стоимости.
Поэтому аппарат с электрической силовой установкой должен иметь возможность эффективного выполнения не одной конкретной полетной задачи, а достаточно широкого их круга. В свете этого необходимо рассмотреть возможные задачи полета и найти для них законы оптимального управления. Исходя из полученных результатов, можно получить требования к системе управления и рекомендации к параметрам элементов силовой установки и планера рассматриваемого самолета,
Основной целью диссертационной работы является формирование оптимальных законов управления БПЛА с ЭСУ и выработка на основе полученных законов рекомендаций по компоновке и проектированию силовой установки рассматриваемых аппаратов и аппарата как целого.
Первая глава диссертации посвящена предварительному анализу и математической формулировке задач оптимального управления.
Для решения задач оптимального управления необходимо знать зависимости, описывающие функционирование отдельных подсистем и всего аппарата в целом В то время как к настоящему моменту вопросы функционирования электрических двигателей, воздушных винтов, фотоэлементов, аккумуляторов и топливных элементов хорошо изучены ([27] -[3 Г J и пр.), исследования в области поиска рациональных законов управления и оптимальных параметров энергосиловой установки как одной системы в печати в достаточной степени не освещены, хотя на необходимость этого уже указывалось (например, в [3]). Поэтому во второй главе на основе уже известных законов функционирований отдельных элементов и узлов аппарата выводятся соотношения, описывающие функционирование энергосиловой установки в зависимости от параметров отдельных узлов и внешних условий. Получение данных зависимостей является первой задачей исследования.
Как указывалось в [32], на этапах предварительного анализа выгодно использовать упрощенные соотношения, которые, тем не менее, отражают основные свойства системы, для получения первичных результатов. Поэтому на основе полученных соотношений вводятся упрощающие предположения, которые позволяют при сохранении основных особенностей ранее полученных формул получить зависимости, более удобные для анализа. Второй задачей исследования является выработка упрощенных моделей функционирования ЭСУ,
Третьей задачей работы является получение на основе упрощенных моделей функционирования ЭСУ аналитических решений проблем оптимального управления для ряда полетных заданий. Четвертая задача -получение численных решений с использованием точных зависимостей и проверка при помощи этих решений справедливости сделанных упрощающих предположений.
Из всего класса траекторных задач для исследования были выбраны задачи полета на постоянной высоте.
Третья глава посвящена отысканию законов рационального управления самолетом без фотоэлементов (или, точнее, при полете только на энергии аккумуляторов) для сформулированных в первой главе подзадач.
Четвертая глава посвящена решению подзадач, сформулированных в первой главе, для самолетов с дистанционным подводом энергии.
В заключительных частях третьей и четвертой глав на основе полученных результатов формируются рекомендации по компоновке и проектированию силовой установки рассматриваемых аппаратов. Для решения задач оптимального управления широко используемым методом является принцип максимума JLC. Понтрягина, который часто применяется при решении траекторных задач (см., например [32] [33]), Он был использован для исследования оптимальных траекторий в данной работе. При решении задач об оптимизации параметров силовой установки использовался прямой метод отыскания минимума функции с привлечением метода множителей Лагранжа.
Научная новизна исследования заключается в том, что в работе получены зависимости, описывающие законы функционирования электрической силовой установки в зависимости от параметров отдельных узлов установки и внешних параметров (скорости полета, плотности атмосферы, интенсивности принимаемого излучения). Выработаны рекомендации по компоновке и проектированию силовой установки и аппарата как целого. Найдены основные алгоритмы рационального управления рассматриваемым типом самолета для ряда задач. Кроме того, в силу постоянства массы аппарата и дистанционного подвода энергии уравнения механики полета такого типа аппаратов отличны от уравнений для самолетов традиционного типа. Поэтому решения, представленные в данной работе, могут представлять определенный интерес с точки зрения приложений теории оптимального управления,
Результаты проведенных исследований предназначены для использования при проектировании самолетов с дистанционным подводом энергии, законы рационального управления могут быть заложены в программу управления такими аппаратами. Полученные в процессе анализа зависимости следует использовать при дальнейшем анализе и решении задач оптимального управления рассматриваемым типом аппаратов, а выработанные методы, приемы и полученные результаты - при анализе подобных задач оптимального управления.
Результаты работы были доложены в 3 докладах международных, 2 докладах всероссийских, 3 докладах студенческих конференций, опубликованы в 1 статье и трудах 2 международных конференций.
На защиту выносится следующие положения:
- полученные законы функционирования силовой установки как единой системы и их зависимость от параметров отдельных узлов,
- алгоритм управленца силовой установкой при помощи рационального соединения элементов питания в батарею,
- принципы оптимального управления аппаратом, полученные на основе упрощающих положений,
- численные и аналитические решения отдельных задач оптимального управления, полученные на основе более точных зависимостей,
- рекомендации по компоновке и проектированию силовой установки и аппарата как целого.
Математическая постановка задач поиска оптимального управления аппаратом
В работах В.Ф. Илларионова [25], [26] анализируется управление аппаратом без фотоэлементов на установившихся режимах полета, а также предложен вариант упрощенной мрдеди силовой установки, позволяющий подучить качественные аналитические результаты. Кроме этого, приводится анализ необходимых условий оптимальности траектории при помощи анализа второй вариации функции Гамильтона,
На основании исследований по формированию программ полета и оптимального управления можно определить примерную область режимов полета аппарата, что позволит получить требования и рекомендации по компоновке аппарата и определить примерные параметры конструкции и летно-технические характеристики, которые необходимы на этапе предварительной проработки конструкции и, возможно, на последующих этапах проектирования. Кроме того, знание законов рационального управления в сочетании с соответствующим выбором параметров ЛА позволяет создать самолет с более высокими летно-техническими характеристиками (ЛТХ).
Как следует из сказанного выше, энергетические возможности обеспечения полетов БПЛА с электрической силовой установкой существенно ограничены по сравнению с ЛА, использующим углеводородное гошщао. Данное обстоятельство в значительной степени затрудняет выбор параметров БПЛА рассматриваемого типа. В связи с этим знание рациональных законов управления самолетом с электрической силовой установкой на этапе формирования его облика может позволить проводить эффективный выбор параметров аппарата.
Эффективность, в том числе и экономическая, использования аппарата определяется, в числе прочих факторов, также и возможным спектром выполняемых самолетом задач. Действительно, с одной стороны предпочтительнее эксплуатировать многофункциональный аппарат, который при изменении полетной задачи потребует лишь незначительных операций по обслуживанию в полевых условиях (смена оборудования, уменьшение/увеличение количества аккумуляторов, перепрограммирование системы управления), чем иметь несколько аппаратов, каждый из которых может выполнять только какую-либо конкретную задачу, С другой стороны, увеличение спектра задач расширит круг потенциальных покупателей, что приведет к увеличению выпуска самолетов и снижению их стоимости.
Поэтому аппарат с электрической силовой установкой должен иметь возможность эффективного выполнения не одной конкретной полетной задачи, а достаточно широкого их круга. В свете этого необходимо рассмотреть возможные задачи полета и найти для них законы оптимального управления. Исходя из полученных результатов, можно получить требования к системе управления и рекомендации к параметрам элементов силовой установки и планера рассматриваемого самолета,
Основной целью диссертационной работы является формирование оптимальных законов управления БПЛА с ЭСУ и выработка на основе полученных законов рекомендаций по компоновке и проектированию силовой установки рассматриваемых аппаратов и аппарата как целого. Первая глава диссертации посвящена предварительному анализу и математической формулировке задач оптимального управления.
Для решения задач оптимального управления необходимо знать зависимости, описывающие функционирование отдельных подсистем и всего аппарата в целом В то время как к настоящему моменту вопросы функционирования электрических двигателей, воздушных винтов, фотоэлементов, аккумуляторов и топливных элементов хорошо изучены ([27] -[3 Г J и пр.), исследования в области поиска рациональных законов управления и оптимальных параметров энергосиловой установки как одной системы в печати в достаточной степени не освещены, хотя на необходимость этого уже указывалось (например, в [3]). Поэтому во второй главе на основе уже известных законов функционирований отдельных элементов и узлов аппарата выводятся соотношения, описывающие функционирование энергосиловой установки в зависимости от параметров отдельных узлов и внешних условий. Получение данных зависимостей является первой задачей исследования.
Как указывалось в [32], на этапах предварительного анализа выгодно использовать упрощенные соотношения, которые, тем не менее, отражают основные свойства системы, для получения первичных результатов. Поэтому на основе полученных соотношений вводятся упрощающие предположения, которые позволяют при сохранении основных особенностей ранее полученных формул получить зависимости, более удобные для анализа. Второй задачей исследования является выработка упрощенных моделей функционирования ЭСУ,
Третьей задачей работы является получение на основе упрощенных моделей функционирования ЭСУ аналитических решений проблем оптимального управления для ряда полетных заданий. Четвертая задача -получение численных решений с использованием точных зависимостей и проверка при помощи этих решений справедливости сделанных упрощающих предположений.
Из всего класса траекторных задач для исследования были выбраны задачи полета на постоянной высоте.
Третья глава посвящена отысканию законов рационального управления самолетом без фотоэлементов (или, точнее, при полете только на энергии аккумуляторов) для сформулированных в первой главе подзадач.
Четвертая глава посвящена решению подзадач, сформулированных в первой главе, для самолетов с дистанционным подводом энергии.
В заключительных частях третьей и четвертой глав на основе полученных результатов формируются рекомендации по компоновке и проектированию силовой установки рассматриваемых аппаратов. Для решения задач оптимального управления широко используемым методом является принцип максимума JLC. Понтрягина, который часто применяется при решении траекторных задач (см., например [32] [33]), Он был использован для исследования оптимальных траекторий в данной работе. При решении задач об оптимизации параметров силовой установки использовался прямой метод отыскания минимума функции с привлечением метода множителей Лагранжа. Научная новизна исследования заключается в том, что в работе получены зависимости, описывающие законы функционирования электрической силовой установки в зависимости от параметров отдельных узлов установки и внешних параметров (скорости полета, плотности атмосферы, интенсивности принимаемого излучения). Выработаны рекомендации по компоновке и проектированию силовой установки и аппарата как целого. Найдены основные алгоритмы рационального управления рассматриваемым типом самолета для ряда задач. Кроме того, в силу постоянства массы аппарата и дистанционного подвода энергии уравнения механики полета такого типа аппаратов отличны от уравнений для самолетов традиционного типа. Поэтому решения, представленные в данной работе, могут представлять определенный интерес с точки зрения приложений теории оптимального управления,
Электрическая схема включения. Электрические соотношения
Однако данная переменная, как видно из вышеизложенного, не входит в выражения для определения нужных нам значений р\ , рп и /( поэтому Х0 в данной задаче не находилась.
Рассмотрим теперь случай наличия ограничений. Вариант максимальности q[ означает, что все элементы должны быть соединены последовательно. Данное условие соответствует тому, что интенсивность падающего на фотоэлемент излучения крайне мала (например, предзакатное время). В процессе полета выигрыш от использования фотоэлементов в такие моменты времени очень незначителен. Поэтому в дальнейшем будем считать, что для такого случая фотоэлементы просто отключены.
Вариант минимальности q\ соответствует тому, что батарея должна представлять собой один блок (т.к. ] 0). Рассмотрим, наконец, последний случай - переменные р\ и pi лежат на ограничениях. Так как данные величины стоят в знаменателе в выражении для 7-й, то они не могут быть равны нулю. Если;?і=Лґили;?г= , то это означает, что все фотоэлементы соединены параллельно. Однако при этом максимально возможное выходное напряжение батареи будет меньше требуемого для питания двигателя (см, начало раздела 2.3.2), В этом случае возможно протекание токов через фотоэлементы в обратном направлении (в этом случае мощность фотоэлементов будет уже не максимальная а минимальна). Из вышесказанного становится очевидным» что находить значений переменных \ii в принципе не требуется, так как они не входят в выражения для искомых Pi и qir поэтому значения этих переменных не отыскивались. Далее, если бы батарея состояла из п последовательно соединенных блоков, то функция Лагранжа была бы линейна по q\t q2 ... q&\. Аналогичные рассуждения приводят к тому, что в этом случае также либо все элементы должны быть соединены последовательно, либо параллельно, либо батарея должна представлять собой один блок. Для такого блока ВАХ имеет вид Система уравнений (2.35), (2.37) при заданном значении U позволяет найти величины / и qt и, с помощью (2.36), - значение Wpy. Однако система (2.35)т (2,37) в общем случае не имеет аналитического решения и должна решаться численно, Проведем предварительные оценки с целью упрощения нахождения WPy, Для современных фотоэлементов [40] при освещении солнечным светом Известно, что аккумулятор (так же как и гальванический элемент) обладает внутренним сопротивлением. При соединении аккумуляторов в батарею внутреннее сопротивление последней ге зависит не только от общего количества аккумуляторов, но и от варианта соединения их между собой. Так как на внутреннем сопротивлении выделяется определенное количество энергии, которое уже не будет использовано для питания силовой установки, то нужно обеспечить такое соединение аккумуляторов, чтобы потери на внутреннем сопротивлении были минимальными. Требуется найти такое соединение аккумуляторов в батарею, которое при фиксированном значении ЭДС (или сот) обладает наименьшим сопротивлением. Для решения этой задачи проанализированы различные варианты подключения элементов при фиксированном а т1 и было найдено, что батарея с минимальным сопротивлением должна быть скомпонована следующим образом. Пусть задано количество элементов N и ЭДС батареи ЕЕ В единицах, соответствующих ЭДС одного элемента (т.е. 1 элемент - 1 единица ЭДС). Находится значение N/EE. Если это целое число, то составляется батарея из N/EE рядов, в каждом из которых ЕЕ элементов. Если же N/EE не является целым, то в этом случае батарея должна состоять из двух последовательно соединенных секций. Первая секция состоит из [TV/jy+l рядов (здесь [N/EE] есть целая часть числа N/EE), В каждом из которых т.е. между этими значениями, формула принимает вид линейной зависимости ге от Е& Примеры оптимального соединения 40 аккумуляторов в батарею для разных значений ЭДС батареи показаны на рис. 9. На рис. 10 приведен график зависимости минимального сопротивления батареи от ЭДС для 40 элементов и аппроксимирующая парабола. В качестве единиц измерения взяты соответственно ЭДС и сопротивление одного элемента.Для любого количества аккумуляторов подобный график будет состоять из точек (ввиду дискретности значений ЭДС), которые лежат на отрезках прямых, расположенных под разными углами наклона к оси абсцисс. Точки излома графика (т.е. точки соединения отрезков прямых) лежат на параболе с вершиной в начале координат (см. рис. 10 и вышеприведенные рассуждения).
Для большого количества аккумуляторов число точек излома графика будет достаточно большим. Данные точки лежат на параболе, а остальные находятся от нее на достаточно близком расстоянии (максимальная погрешность не превышает 3.7% для значений ЭДС, меньших половины максимального, и 11% - для значений ЭДС, больших половины максимального, для рис. 10). Поэтому график re(com) можно аппроксимировать параболой с вершиной, расположенной в начале координат
Рекомендации по проектированию электрической силовой установки
Для решения задач оптимального управления, рассматриваемых а данной работе, необходимо знать соотношения, описывающие зависимость энергии аккумуляторов и тяги от внешних и внутренних параметров самолета, В принципе, решая совместно выражения для силы тяги и мощности винта, а также (2.22)-(2.24), (2.26), (2.40), можно получить требуемые зависимости. Однако, в силу сложности вышеупомянутых уравнений, аналитическое решение не может быть получено. Для ряда случаев желательно использовать аналитические зависимости, которые, тем не менее, являются аппроксимацией точного решения и отражают основные особенности функционирования установки. Это требуется, например, в случае необходимости получения аналитических результатов, когда точные зависимости не допускают аналитических решений. При этом достаточна удовлетворительная аппроксимация только в тех областях параметров, в пределах которых функционирует установка.
Предлагаются два возможных варианта аппроксимации. Первый заключается в предположении о постоянстве КПД винта (или же в предположении о двух значениях FV/WB: одного для режима торможения, второго - для крейсерского режима и разгона). Предпосылки для такого предположения были рассмотрены в разделе 2,1, а также в приложении 1. Второй вариант заключается в предположении о том, что КПД силовой установки зависит только от скорости полета (эта модель была предложена В.Ф. Илларионовым). Ниже исследуется возможность использования этих моделей.
Рассмотрим самолет без фотоэлементов. Булем считать, что батарея аккумуляторов подключена непосредственно к двигателю (см, рис.11), а управление режимом работы двигателя осуществляется путем различного включения элементов в батарею. Как уже упоминалось в начале главы, возможен также вариант управления установкой при помощи электронного блока на полупроводниковых приборах, ограничивающего ток и напряжение, однако этот блок не исключает вариаций включения аккумуляторов и фотоэлементов. Кроме этого, в случае надобности можно ограничивать величину тока и при помощи увеличения внутреннего сопротивления батареи (например, включая элементы «нерациональным» путем с точки зрения минимизации внутреннего сопротивления). Все это указывает на принципиальную возможность исключения электронного блока ограничения тока и напряжения,
Полезная мощность, полная мощность и суммарный КПД силовой установки могут быть получены совместным решением системы уравнений, в которую входят выражения для силы тяги, мощности винта, (2.22)-(2,24), (2.26), (2.40). С целью получения как можно более точного результата для силы и мощности винта следует использовать данные, полученные в приложении \ для потерь мощности на вязкое трение.
Рассмотрим в качестве примера силовую установку t примерно соответствующую аппарату типа "Pointer", включающую двигатель Speed 700, винт Groupner 15/15 [35], и аккумуляторы TLR 7103 [43]. Такая силовая установка имеет следующие характеристики:
Обозначим как W полную мощность, выделяемую силовой установкой, в которую входят мощность Wzd выделяемая на двигателе, и мощность тепловых потерь в батарее аккумуляторов. Зависимость значения FV/W (которое при FVfW \ равно КПД силовой установки) от скорости и частоты вращения винта показана на рис. 12. Видны два характерных участка с большим градиентом. Один из них соответствует такому же участку для FVfW& и обусловлен тем, что из - за сил вязкого трения линии нулевой мощности и нулевой тяги не совпадают. Второй участок соответствует двигателю, а именно наличию сопротивления. Причина большого градиента та же, что и для винта с той только разницей, что роль вязкости играет омическое сопротивление,
Исследуем теперь зависимость значения Fr/ЇГот частоты вращения винта и скорости в предположении о постоянстве КПД винта, В данном случае выражение для FV/W может быть получено аналитически. Зависимость FV/W от скорости и частоты, а также погрешности упрощения по сравнению со строгой моделью силовой установки показаны на рис 13 - 14. Как видно из данных рисунков, в достаточно больших областях изменения параметров погрешности достаточно малы. В этих областях предположение о постоянстве КПД винта является оправданным.
Это указывает на возможность использования данного упрощающего предположения в дальнейшем анализе. Главным преимуществом такого упрощения является то» что в этом случае выражения для тяги и мощности могут быть получены в аналитическом виде.
Для этого выразим силу тяги и мощность через скорость и величину шш для случая постоянства КПД винта. Согласно второму закону Кирхгофа.
Максимизация времени полета по заданной траектории в рамках упрощенной модели
При фиксированном значении РЕ И при заданных начальных условиях система уравнений (3.4), (3.5), (3.20) при условии (3.21) для известных зависимостей силы тяги и мощности двигателя от скорости и управления позволяет однозначно найти время полета и конечное значение скорости при условии заданного конечного значения энергии аккумуляторов (например, полного израсходования энергии). Варьированием величины РЕ можно добиться равенства конечной скорости требуемому значению. Соответствующее значение продолжительности полета и будет искомым максимальным временем при заданных начальной и конечной скоростях.
Если есть только одно фиксированное значение wmi и запас энергии аккумуляторов достаточно велик, то в этом случае, согласно (3.4), в течение полета скорость самолета будет асимптотически приближаться к значению к ("крейсерский режим"), для которого суммарная сила» действующая на аппарат, равна нулю. Так как в силу условия о большом запасе энергии время выхода на скорость, близкую к /, составляет лишь малую часть полета, то для максимизации времени полета необходимо потребовать, чтобы данное фиксированное значение ш„ соответствовало минимальной мощности на крейсерском режиме.
Пусть теперь ют может принимать ряд зн чений {mi}r а запас энергии аккумуляторов также велик. Очевидно, что в Этом случае для максимизации времени полета большую часть времени самолет должен лететь на режиме &„г&\ который соответствует минимальной по всем значениям шт мощности на крейсерском режиме. Кроме этого, для наилучЩего использования энергии следует на этапе проектирования подобрать Параметры планера и силовой установки таким образом, чтобы из всех шт данное о соответствовало минимальной мощности для всего Ш2 2&ей2_даапазона значений GV Очевидно, что в противном случае на режиме крейсерского полета будет реализовываться так называемый «скользящий р жим» [44].
Итак, большую часть полета самолет летит на режиме ш\ при скорости, близкой к V для данного режима. В силу справедливости (3.20) для любого момента полета и постоянства скорости / MO HQ оценить предварительное стартовое значение РЁ из
Так как в исследуемой задаче в конечный м0мент времени путем подбора значения РЕ требуется удовлетворить единственному условию - равенству скорости заданному конечному значению ук Т0 задача оптимизации эквивалентна решению уравнения с одной перемешгой:
В ходе решения достаточно в окрестности значения РЁ найти два значения функции О с разными знаками, а после этого решение может быть найдено, например, методом деления отрезка пополам. Для каждого из задаваемых значений РЕ Должно быть найдено начальное значение переменной Ру. Оно находилось следующим образом. Для всех і в уравнение (3.20) подставлялось значение и находилось РУі. Затем данное значение в качестве постоянной подставлялось в выражение (3.21), После этого находился минимум этого выражения по ющ (в выражение (3.21) подставлялись поочередно все значения ш„/7 и выбиралось минимальное значение (3.21)). Это минимальное значение реализовывалось при некотором оц. Если i=jt то значения ю„/ и Ру, принимались в качестве вариантов начальных условий. Такая процедура повторялась для всех значений /. Как было показано выше, может быть несколько вариантов начальных условий. Однако в силу непрерывности по времени значения Ру при заданном ее начальном значении в остальные моменты времени эта переменная определяется однозначно. При заданных начальных значениях РЕ и Ру решение уравнений механики полета при условиях (3.20)-(3.21) является стандартной процедурой. Реализованный вариант численного решения для данной задачи выглядел следующим образом. В каждый момент времени t для известных V, Р& Ру из (3.21) находится искомое йщ, Затем это значение подставляется в (3.4) и (3.5) для нахождения значений переменных в V и Е в момент /+dr. Подставляя значение FB(3.2G), получаем/V Кроме этого, значение Ру можно определить и при помощи уравнения В этом случае уравнение (3.20) можно использовать для проверки и оценки точности полученного решения. В реализованном алгоритме интегрирование уравнений движения проводилось при помощи метода Рунге - Кутта 4 порядка. Вычисление значения переменной Pv в промежутке постоянства шч проводилось при помощи формулы (3.20), а в моменты переключения управления - по формуле (3.25), Данный вариант, как показали тестовые расчеты, обеспечивает наименьшую погрешность вычислений. Стоит заметить следующее. В рассмотренном в разделе ЗЛ варианте задачи реализовывался режим особого управления, на котором скорость постоянна, Для рассматриваемой здесь задачи при конечном значении скорости, не равном такое решение реализовываться не будет. Это может быть объяснено следующим образом. На режиме особого управления скорость постоянна, а поэтому постоянно и значение Ру. Значит, данному значению Ру должны соответствовать три возможных значения управления - для выхода на этот режим (о)л), полета на этом режиме (щ) и схода с него (юс). Поэтому должно выполняться равенство (см. (3.22))
Для фиксированных значений частоты с учетом требования выполнения (3.20) и постоянства скорости при щ получаем систему из 4 линейно независимых уравнений для трех переменных Р& Ру и V. Очевидно, что в общем случае решение данной системы не существует. Также и для рассматриваемого вида гамильтониана решение отсутствует.
