Содержание к диссертации
Введение
1 Резонансные явления в кинк-антикинк рассеянии 10
1.1 Уединенные волны в (1+1)-мерной классической теории поля 10
1.2 Столкновения кинков. Механизм резонансного обмена энергией 12
1.3 Модель "двойной синус-Гордон" 16
1.4 Дискретный спектр возбуждений системы К К в модели "ДсГ" 21
1.5 Численные расчеты и заключительные замечания 26
2 Об эволюции домена дезориентированного кирального кон денсата 28
2.1 Дезориентированный киральный конденсат в физике высоких энергий 28
2.2 Одномерный случай 32
2.3 Трехмерный случай 35
2.4 Пузырек большой амплитуды 40
2.5 Заключительные замечания 46
3 Динамика столкновений доменных стенок в модели с двумя действительными скалярными полями 48
3.1 Нетривиальные точные решения 48
3.2 Временная зависимость для BPS-насыщенных конфигураций 56
3.3 Временная зависимость для не BPS-конфигураций 59
3.4 Заключительные замечания 64
4 Заряженный топологический солитон в системе двух взаимо действующих скалярных полей 65
4.1 Заряженные топологические дефекты в различных теориях 65
4.2 Топологические и нетопологические Q-боллы 66
4.3 Точное решение для топологического Q-болла 71
4.4 Улучшенная вариационная процедура 75
4.5 Заключительные замечания об описанных топологических дефектах, несущих U(l) заряд 79
4.6 Проблема динамической устойчивости решения, постановка спектральной задачи 81
4.7 Аналитические свойства спектральной задачи 93
4.8 Численное исследование устойчивости 100
Заключение 106
- Столкновения кинков. Механизм резонансного обмена энергией
- Одномерный случай
- Временная зависимость для BPS-насыщенных конфигураций
- Улучшенная вариационная процедура
Введение к работе
В последнее десятилетие значительно возрос интерес к всевозможным топологическим дефектам [1]. Доменные стенки представляют собой, пожалуй, наиболее наглядный пример топологических дефектов: они возникают в полевых моделях с лагранжианами, потенциальная часть которых имеет дискретный набор минимумов, и представляют собой полевые конфигурации, соединяющие эти минимумы [2].
Спонтанное нарушение симметрии и механизм Хиггса [3] играют чрезвычайно важную роль в современной теоретической физике. Топологические решения, называемые обычно кинками, представляют собой классические топологические решения уравнений движения в (1+1)-мерных моделях со спонтанным нарушением симметрии, имеющие различные асимптотики на пространственных бесконечностях. Для конечности энергии такого решения необходимо, чтобы асимптотические значения поля, совпадали с вакуумами модели - минимумами потенциала лагранжиана [4]. По этой причине простейшая модель, имеющая решения типа кинка должна иметь, по меньшей мере, два минимума потенциала.
Далее, можно рассматривать аналогичные модели в (З-Ы)-мерном пространстве-времени. Тогда одномерное решение типа кинка приобретает смысл доменной стенки [5]. Например, плоская доменная стенка, перпендикулярная оси X в (З-Ы)-мерном пространстве Минковского в модели с двумя вырожденными вакуумами, - это такая зависящая только от одной пространственной координаты х конфигурация, что поле заметно отличается от вакуумных значений лишь на небольшом интервале оси X (толщина стенки), а по обе стороны от стенки быстро выходит на вакуумные значения (строго говоря, поле равно вакуумным значениям лишь в пределе х —У ±оо). При этом энергия кинка приобретает смысл поверхностной плотности энергии стенки
(или, как иначе говорят, поверхностного натяжения). Замечательно, что во многих случаях уравнения Эйлера-Лагранжа для статических конфигураций в (1+1) могут быть решены аналитически, и конфигурации типа доменных стенок выписываются в явном виде [6]. В других случаях решения типа доменных стенок получаются в результате численного интегрирования уравнений движения [7].
Выделим теоретико-полевые модели, допускающие решения в виде доменных стенок. Введем условное их деление на четыре класса, каждый из которых в той или иной степени обсуждается в настоящей диссертации.
Пожалуй, самыми простыми примерами здесь являются кинки в моделях с одним действительным скалярным полем и 0 симметрией потенциала, например, кинк теории \фА или солитон модели sine-Gordon [8], [9] (в последнем случае потенциал периодический).
Помимо кинков (доменных стенок) в упомянутых моделях с одним действительным скалярным полем и с двумя вырожденными вакуумами, можно выделить модели с одним действительным скалярным полем, но с потенциалами, допускающими существование по крайней мере двух различных типов доменных стенок. Примером может служить модель двойной синус-Гордон (double sine-Gordon) [10], в которой при некоторых значениях параметра имеются два различных кинка - "малый" и "большой".
К третьему классу отнесем модели с двумя и более действительными скалярными полями, которые проявляют новые интересные свойства: в них возможно существование доменных стенок с внутренней структурой, а также появляется возможность образования пересечений доменных стенок (в моделях с двумя полями в случае потенциала, имеющего так называемые "неколлинеарные" минимумы на плоскости полей).
И, наконец, следует сказать о так называемых Q-боллах (Q-шарах, Q-balls) и Q-стенках (Q-walls) - топологических и нетопологических решениях в моделях с действительным полем Хиггса и комплексным скалярным полем, несущим сохраняющийся U(l) заряд в силу глобальной U(l) симметрии лагранжиана. Некоторые решения такого рода были впервые рассмотрены Коулменом [11].
В последнее десятилетие достигнут значительный прогресс в изучении свойств доменных стенок в различных теоретико-полевых моделях. Это обусловлено пристальным вниманием к этому типу топологических дефектов,
связанному с важной ролью доменных стенок, а также более сложных структур на их основе, которую они играют в современной космологии, физике элементарных частиц и теории процессов в жидкостях и твердых телах. В этой связи следует упомянуть также проблему темной материи и темной энергии [12] (подробнее об этом см. в главе 4 настоящей диссертации). Высказываются предположения, что доменные стенки могут образовывать структуры типа сетей, несущих значительные энергии. (Присутствие таких структур во Вселенной имело бы следствием некоторую анизотропию реликтового излучения, которая, однако, невелика и не выходит за пределы современных экспериментальных оценок.)
Диссертация изложена на 125 страницах и состоит из введения, четырех глав, заключения, приложения, списка иллюстраций, предметного указателя и списка цитируемой литературы. В тексте диссертации содержится 31 иллюстрация, список литературы состоит из 110 пунктов.
Первая глава диссертации посвящена исследованию механизма резонансного обмена энергией в процессе столкновения кинка и антикинка модели "двойной синус-Гордон" (ДсГ). Явление резонансной передачи энергии в столкновениях конфигураций типа уединенных волн было обнаружено и исследовано применительно к модели Хф4 и "двойной синус-Гордон" в (1+1) измерениях. Однако при некоторых значениях параметра модели в столкновениях кинков уравнения ДсГ наблюдались так называемые квазирезонан-сы, механизм возникновения которых, как предполагалось, аналогичен механизму резонансного обмена энергией. При этом в спектре локализованных возбуждений кинка ДсГ не было найдено подходящей дискретной моды, в которую могла бы переходить часть кинетической энергии кинков. В работе [13], в которой опубликованы основные результаты, положенные в основу первой главы, был предложен новый подход к проблеме резонансных частот. Показано, что спектр возбуждений следует рассматривать для системы кинк-антикинк в целом, что нельзя пренебречь взаимным влиянием уровней дискретного спектра, расположенных вблизи границы непрерывного спектра. Еще раз подчеркнем, что развитый подход к проблеме резонансных частот является новым и позволил дать объяснение явлению квазирезонансов в кинк-антикинк столкновениях в модели ДсГ.
Вторая глава диссертации посвящена исследованию эволюции первоначально сформированного пузырька дезориентированного кирального конден-
сата (ДКК) - области пространства, в которой вакуумное состояние повернуто в изотопическом пространстве полей (сг, 7г) относительно вакуума в остальном пространстве. Предполагается, что распад высоковозбужденных состояний, образующихся в столкновениях при высоких энергиях, может происходить через образование ДКК, который, в свою очередь, будет распадаться в обычный вакуум с излучением 7г-мезонов. Основные новые результаты, излагаемые во второй главе, были опубликованы в статьях [14] и [15]. Отметим, что, в отличие от большого количества других работ по тематике ДКК, мы поставили и качественно и полуколичественно решили вопрос о пространственно-временной картине распада пузырька ДКК. Для упрощения рассмотрения использовалась упрощенная модель с парой полей а и 7г. Существенным и новым результатом исследования является продемонстрированная возможность образования долгоживущих излучающих состояний.
В третьей главе исследуется процесс столкновения доменных стенок в модели с двумя действительными скалярными полями в (1+1)-мерном пространстве-времени. Рассматривается лагранжиан для скалярных компонент киральных суперполей, потенциальный член которого имеет четыре вырожденных минимума - вакуумных состояния. Вследствие этого в модели возможно шесть типов доменных стенок, разделяющих области пространства с различными вакуумами. В работе [16] рассматривались конфигурации типа пересечений доменных стенок под небольшими углами. Нами же была поставлена и решена задача о временной картине процесса столкновения двух плоских доменных стенок. При этом в случае BPS-насыщенных конфигураций в исследовании удалось продвинуться аналитически, а в случае не BPS-насыщенных - в основном численно. Результаты исследования, представленного в третьей главе диссертации, опубликованы в статье [17].
Четвертая глава диссертации посвящена рассмотрению топологического солитона в системе двух взаимодействующих скалярных полей - действительного и комплексного. Такой лагранжиан в (3+1) был впервые рассмотрен еще в работе [18], где были найдены классические сферически-симметричные решения, несущие U(l) заряд (Q-боллы). В работах [19] и [20], положенных в основу этой главы, найдено неизвестное до этого точное топологическое решение уравнений движения в (1+1), несущее U(l) заряд. Проведено детальное сравнительное исследование этого решения и других топологических и нетопологических конфигураций, несущих U(l) заряд. В рамках линейной
теории возмущений поставлена и решена задача о динамической устойчивости найденного точного решения. Проведенные аналитические и численные исследования позволяют сделать вывод о динамической устойчивости найденного точного решения.
В заключении кратко сформулированы основные новые результаты и выводы настоящей диссертации.
Перечислим основные цели и задачи исследования.
Объяснение явления квазирезонансов в столкновениях кинка и антикин-ка в модели "двойной синус-Гордон" при значении параметра R — 0.5 в рамках механизма резонансного обмена энергией. Качественное объяснение сдвига резонансной частоты в системе кинк-антикинк по сравнению с частотой уровня дискретного спектра в потенциальной яме уединенного кинка.
Численное и аналитическое исследование временной эволюции первоначально сформированного пузырька дезориентированного кирального конденсата. Исследование зависимости процесса распада от самодействия пионных полей, выяснение возможных наблюдаемых следствий нелинейности процесса.
Исследование процесса столкновения двух параллельных доменных стенок в суперсимметричной модели с двумя действительными скалярными полями. Рассмотрение случая как BPS-насыщенных, так и случая не BPS-насыщенных конфигураций.
Исследование свойств точного топологического решения - U(l)-заряженного солитона в модели с одним действительным и одним комплексным скалярными полями в (1+1)-измерениях. Исследование его устойчивости относительно распада в конфигурацию типа "кинк + плоские волны" (из энергетических соображений), а также устойчивости в рамках линейной теории возмущений.
В диссертации получены следующие новые научные результаты.
1. Для объяснения явления квазирезонансов в столкновениях кинка и анти-кинка в модели "двойной синус-Гордон" при значении параметра R = 0.5
развит метод расчета частот дискретного спектра возбуждений системы кинк-антикинк. Учтено взаимное влияние уровней в потенциальных ямах, соответствующих кинку и антикинку. При некоторых значениях параметра модели обнаружено одновременное появление как квазирезо-нансов, так и окон разлета.
При исследовании эволюции первоначально сформированного пузырька дезориентированного кирального конденсата выяснено, что при некоторых значениях параметров модели возможно образование долгожи-вущих источников пионных полей в центре первоначального пузырька. Для пузырька большой амплитуды обнаружено наличие продолжительной предраспадной стадии, что является следствием существования мно-госолитонных решений уравнения синус-Гордон.
В качестве динамической переменной при рассмотрении процесса столкновения двух параллельных доменных стенок в суперсимметричной модели с двумя действительными скалярными полями использован внутренний параметр BPS-насыщенной конфигурации, имеющий смысл расстояния между стенками.
В столкновениях доменных стенок, не являющихся BPS-насыщенными, обнаружено наличие критического значения Va- начальной скорости. При начальных скоростях Vi < vcr наблюдается отражение, не сопровождающееся изменением вакуумного состояния между стенками. При значениях начальной скорости Vi > vcr вакуумное состояние между стенками в результате столкновения изменяется.
Найдено точное топологическое решение - и(1)-заряженный солитон в модели с одним действительным и одним комплексным скалярными полями в (1+1)-измерениях. Исследована его динамическая устойчивость в рамках линейной теории возмущений.
Основной материал диссертации опубликован в 6 статьях в журналах "Ядерная физика" [14,15,17], "Журнал экспериментальной и теоретической физики" [19], "Журнал вычислительной математики и математической физики" [20], "Physical Review Е" [13], докладывался на конференции "Научная сессия МИФИ" [21,22].
На защиту выносятся следующие результаты.
Для объяснения явления квазирезонансов в столкновениях кинка и анти-кинка в модели "двойной синус-Гордон" при значении параметра R = 0.5 развит метод расчета частот дискретного спектра возбуждений системы кинк-антикинк. Учтено взаимное влияние уровней в потенциальных ямах, соответствующих кинку и антикинку.
При исследовании эволюции первоначально сформированного пузырька дезориентированного кирального конденсата выяснено, что при некоторых значениях параметров модели возможно образование долгоживу-щих осциллирующих состояний в центре первоначального пузырька, что является следствием существования многосолитонных решений уравнения синус-Гордон.
При рассмотрении процесса столкновения двух параллельных доменных стенок в суперсимметричной модели с двумя действительными скалярными полями в качестве динамической переменной может быть использован внутренний параметр BPS-насыщенной конфигурации, имеющий смысл расстояния между стенками.
В столкновениях доменных стенок, не являющихся BPS-насыщенными, присутствует критическое значение vcr начальной скорости. При начальных скоростях vi < vcr наблюдается отражение, не сопровождающееся изменением вакуумного состояния между стенками. При значениях начальной скорости vi > Va- вакуумное состояние между стенками в результате столкновения изменяется.
В модели с одним действительным и одним комплексным скалярными полями в (1+1)-измерениях найдено точное топологическое решение -и(1)-заряженный солитон. Исследована его динамическая устойчивость в рамках линейной теории возмущений.
Столкновения кинков. Механизм резонансного обмена энергией
На примере модели Хф рассмотрим процесс столкновения кинка и анти-кинка (для краткости в дальнейшем часто будем говорить "кинков"). В работе [26] для этого численно исследовалась эволюция начальной конфигурации вида с соответствующей производной по времени (ж,0), отвечающей движению кинков навстречу друг другу со скоростями V{. При не слишком больших начальных скоростях (т.е. меньпгах некоторого порогового значения Va-) после столкновения наблюдалось образование биона - локализованного осциллирующего слабозатухающего со временем решения с большой амплитудой. При начальных скоростях V{ v наблюдалось неупругое отражение кинков. В [26] была предпринята первая попытка объяснить наблюдаемое в численных экспериментах поведение сталкивающихся кинков. Было сделано предположение, что при низких энергиях можно ввести эффективный потенциал взаимодействия кинка и антикинка U(X). Он определяется как энергия статической конфигурации К К (т.е. (1.12) при V( = 0), которые находятся на расстоянии X друг от друга. При X —У +оо потенциальная энергия постоянна и равна сумме масс двух кинков. При X = 0 потенциал обращается в нуль. При отрицательных X в системе К К возникает сильное отталки- вание, потенциал U(X) растет линейно с увеличением \Х\, рис. 1.1. Теперь, если предположить, что поведение К К системы сводится к нерелятивистской задаче двух точечных частиц с массами Мк, взаимодействующих с потенциалом U(X), то очевидно, что в такой задаче имеется два типа движения: финитное движение в яме (образование биона) при Е 2Мк и инфинитное движение при Е 2Мк, отвечающее задаче рассеяния. Наличие "трения" в системе, т.е. излучение волн малой амплитуды, может приводить к захвату кинка, что и наблюдалось в численных экспериментах. Таким образом, потенциальное приближение с учетом возможности потери энергии системой вследствие "трения" удовлетворительно в целом описывало наблюдаемую картину столкновений. Однако не все явления, обнаруженные в первых численных расчетах, можно было объяснить в рамках предложенного потенциального подхода. Например, в колебаниях биона наблюдались нерегулярности. Кроме того, возникли разногласия по поводу численного значения критической скорости захвата vcr. В работе [26] она считалась равной 0.25, в то время как, например, в [27] было получено значение 0.20 ± 0.01.
Оказалось, что расхождения связаны не с неточностями расчетов и что ситуация с рассеянием кинков значительно сложнее, чем казалось вначале. В работе [28] было замечено, что захват имеет место не при всех начальных скоростях сталкивающихся кинков ниже некоторого Vcr. В частности, в [28] наблюдался захват при V{ = 0.25, в то время как при Vi — 0.22 и V{ = 0.26 наблюдался разлет кинков. В [29] была замечена другая интересная особенность поведения кинков вблизи порога захвата: при начальной скорости кинков vi = 0.3 после столкновения наблю- дался их разлет с конечной скоростью vj = 0.135. При v\ — 0.25 - захват кинка и образование биона. При г г- = 0.2 опять наблюдался разлет кинков, но с конечной скоростью V/ = 0.155. Таким образом, упругость столкновения в "окне разлета" вблизи vi = 0.2 оказалась выше, чем при V{ — 0.3. Такое явление, имеющее характер резонанса, указывало на наличие нетривиального механизма захвата, отличающегося от первоначально предположенного захвата за счет потери энергии на излучение. Обнаружение "окон разлета" повлекло за собой открытие сложной структуры ПереХОДНОГО СЛОЯ между Непрерывным СПеКТрОМ С V{ Va- 0.2598, в котором всегда наблюдается разлет кинков, и V{ 0.192575 - в этой области всегда наблюдается захват кинка и образование биона. В [30], [31] было отмечено необычное поведение кинков в области "окон разлета". Если при V{ vcr столкновение кинков носило однократный характер, то в "окнах разлета", столкнувшись раз, кинки расходились на значительное расстояние, останавливались и сталкивались второй раз, после чего происходил их разлет на бесконечности. Таким образом, требовалось найти механизм, при котором кинетическая энергия кинков могла быть отнята в первом столкновении и возвращена при втором столкновении. В работе [32] такой механизм перераспределения и сохранения энергии был найден. Было предложено следующее объяснение: после первого столкновения у расходящихся кинков может оказаться возбужденной первая дискретная мода (1.11). Эта мода связана с кинком, т.е. является локализованным решением, сохраняющим энергию вблизи центра кинка. Частота колебаний этой моды равна о 1 — уЗ/2 (в единицах га). В случае, если в результате второго столкновения фазы дискретной моды и взаимного движения кинков будут подобраны надлежащим образом, то возможно возвращение части энергии дискретной моды в кинетическую энергию кинков и их разлет на бесконечности. Если предложенное объяснение верно, то передача энергии осуществляется в основном в дискретную моду кинка. На рис. 1.2 изображена функция (0,t) в области первых восьми "окон разлета". Отличие между решениями для различных начальных скоростей V{ заключается в разном числе малых колебаний между столкновениями самих кинков, которым отвечают всплески большой амплитуды.
В случае справедливости гипотезы период колебаний малой амплитуды должен быть близок к периоду колебаний первого дискретного уровня кинка. Численное значение периода малых колебаний оказалось равным Техр 5.2, замечено, что их расположение подчиняется определенной закономерности: вблизи каждого "двукратного окна" имеется примыкающая серия "трехкратных окон", для каждого из "трехкратных окон" имеется примыкающая серия из "четырехкратных" и т.д. Таким образом, в расположении многократных "окон разлета" прослеживается фрактальная структура. Более подробно о взаимодействиях уединенных волн в классической теории поля см. в обзоре [2]. Обратимся теперь к модели, исследованию некоторых важных свойств которой посвящена данная глава. Исследование решений "двойного синус-Гордон" (ДсГ) уравнения важно для экспериментальной физики и с точки зрения технических приложений. Уравнения такого типа возникают при описании процессов в джозефсонов-ских контактах. При изучении вольт-амперной характеристики джозефсонов- ских контактов обнаруживается так называемый эффект Джозефсона [35,36]. Обычно под эффектом Джозефсона понимают совокупность явлений при протекании электрического тока через слабую связь между двумя массивными сверхпроводниками. Примерами таких связей являются: туннельный переход, узкий сверхпроводящий мостик (мостик Дайема), S-N-S контакт (сверхпроводник - нормальный металл - сверхпроводник), точечный контакт и др. В последнее время большое внимание привлек так называемый внутренний эффект Джозефсона в сильноанизотропных высокотемпературных сверхпроводниках. Эти соединения имееют слоистую структуру и джозефсоновская связь осуществляется между сверхпроводящими слоями. При пропускании через джозефсоновские контакты достаточно слабого тока напряжение на контакте отсутствует, то есть ток является чисто сверхпроводящим (джозеф-соновский ток). Его существование связано с неполным разрушением купе-ровских пар электронов при их прохождении через очень тонкую несверхпроводящую прослойку. Такой режим называется стационарным эффектом Джозефсона, он обнаружен экспериментально в 1963 году. При увеличении тока через контакт на контакте возникает напряжение (это называется уже нестационарным эффектом Джозефсона). Свойство джозефсоновских контактов переключаться с нулевого на конечное напряжение при превышении током критического значения в совокупности с малой емкостью позволяет использовать их в качестве быстродействующих логических элементов компьютера.
Одномерный случай
Рассмотрим сначала для простоты эволюцию первоначально сформированного пузырька ДКК в (1+1) измерениях. А. Безмассовый случай. В этом случае решение уравнения (2.7) тривиально где фо(х) - начальная полевая конфигурация. Если взять начальное условие в виде где а 1 - положительное целое, то из (2.10) сразу получаем, что детектор, размещенный на расстоянии X а от домена ДКК, зафиксирует всплеск излучения через время t Х/с. Сигнал имеет продолжительность г 2а/с и состоит из двух отдельных пиков, соответствующих передней и задней стенкам домена, проходящим через детектор. Концентрация энергии в границах отражает тот факт, что вакуум точно вырожден и, следовательно, вся энергия пузырька ДКК сосредоточена на его поверхности (градиентные члены в выражении для плотности энергии). Б. Случай массивного поля. Ситуация лишь немного усложняется при переходе к динамике массивного поля (2.8). В этом случае решение также может быть получено аналитически, так как уравнение (2.8) линейное. Эволюция начальной конфигурации (2.11) происходит совершенно по-разному в зависимости от безразмерного параметра = та. Случай С 1 похож на безмассовый, с той разницей, что внутренняя область домена ДКК несет теперь объемную энергию вследствие нарушения киральной симметрии в вакуумном секторе. Решение во внутренней области осциллирует по времени. Следует также отметить, что практически вся энергия излучается со скоростью, близкой к скорости света. Имеется также медленно движущийся хвост, но его энергия мала при условии ( 1. Ситуация меняется с увеличением параметра . Доля энергии, уносимой с околосветовыми скоростями, уменьшается. В то же время процесс излучения медленных частиц начинает доминировать. Поток энергии1 через точку X = 20 как функция времени при некотрых значениях представлен на рисунке 2.1. Очевидно, что = 0 соответствует безмассовому случаю (2.7). В. Случай уравнения синус-Гордон. В этом случае динамика поля описывается нелинейным уравнением синус-Гордон (2.9), и эволюция пузырька ДКК происходит совершенно по-разному в зависимости от начального среднего значения поля ф во внутренней области. 8.1. Рассмотрим сначала случай малых ф: \ф$\ С 1. При этом распад пузырька выглядит очень похоже на случай массивного поля. Отличие состоит в образовании в центре пузырька решения типа бризера малой амплитуды. Это хорошо известное решение уравнения синус-Гордон [8].
Оно стабильно и удерживает часть энергии пузырька в его центре. Таким образом, излучается не вся первоначальная энергия ДКК. 8.2. В случае \ф$ — 7г С 1 осцилляции поля происходят уже не около ф = 0, как при \фо\ С 1, а около ф — 7Г (второй локальный минимум в системе). Если взять начальную конфигурацию в форме (2.11) с фо — 7г, = та 1, то при больших временах полевая конфигурация будет выглядеть как кинк- с небольшими колебаниями, достаточно быстро покидающими область взаимодействия. Если \фо 7г ф 0, то наблюдается образование бризероподобного решения малой амплитуды в центральной области. Следует особо подчеркнуть, что в рассмотренном случае самодействия поля, часть энергии, первоначально заключенной в пузырьке ДКК, не излучается вовсе, а образует особое стабильное локализованное решение, называемое бризером. Сохранение части энергии ДКК внутри домена является прямым следствием интегрируемости уравнения (2.9) в одномерном случае. В сферически симметричном трехмерном случае решение уравнения (2.7) также тривиально. Сделав подстановку получаем уравнение решение которого известно аналитически, см. (2.10). Аналогичная ситуация и в случае с массивным полем. Для функции w(r,t) из уравнения (2.8) получаем Если же динамика поля описывается уравнением синус-Гордон, то уравнение для w(r, t) имеет более сложный вид: В дальнейшем будем рассматривать эволюцию доменов в соответствии с уравнениями (2.14) - (2.16) с начальными условиями следующего вида где а - положительное целое число, как и в (2.11). На рисунках 2.2 - 2.4 показан поток энергии в случаях (2.14) - (2.16). Видно, что в целом картина аналогична одномерному случаю. Тем не менее, необходимо сделать некоторые замечания о сравнении результатов для синус-Гордон уравнения в одно-и трехмерном случаях. В одномерном случае решение типа бризера стабильно. В трехмерном случае при \ф$\ С 1 численно мы также наблюдали образование осциллирующего решения типа бризера в центре первоначального пузырька ДКК. Такое трехмерное решение было найдено уже давно [64]. Известно, что это решение квазистабильно и распадается медленно, излучая радиальные волны. В процессе распада домена ДКК на начальной стадии происходило излучение основной части энергии и образование бризера в центре первоначального пузырька. Затем в течение долгого времени бризер, мало излучая, медленно распадался.
Начальное условие (2.18) соответствует минимуму энергии среди полевых конфигураций, соединяющих вакуумы модели, в то время как начальное условие (2.17) не является решением с минимальной энергией - оно имеет избыточную энергию, особенно при а 1. Эту разницу в энергии можно рассматривать как энергию возбуждений над решением (2.18). В случае уравнения синус-Гордон эти возбуждения принадлежат к непрерывному спектру и могут излучаться из области локализации решения. Таким образом, эволюция пузырька похожа на эволюцию конфигурации (2.18) с той разницей, что первоначально сформированный пузырек с вакуумом ф = 7Г внутри (фо = іг в (2.17)), не только схлопывается, но и излучает энергию со своей поверхности. Зависимость поля в начале координат ф(0,і) от времени и поток энергии представлены на рисунках 2.5 и 2.6. Временную зависимость ф(0, і) можно условно разделить на два периода. Первый период 0 t TQ характеризуется быстрозатухающими колебаниями большой амплитуды, в то время как Так как распад пузырька ДКК экспериментально можно фиксировать по потоку вылетающих пионов, то еще раз подчеркнем, что этот поток в основном следует временной зависимости рис. 2.6. Таким образом, можно обнаружить не только сигнал непосредственно от распадающегося домена ДКК, но также и некоторое пионное излучение от распадающегося в дальнейшем бризера. Заметим, что, несмотря на то, что рассмотрен лишь наиболее тривиальный случай двухкомпонентной сг-модели, результат на самом деле более общий. Действительно, если рассмотреть модель с тремя пионными полями и одним (Т-полем, то вакуумный сектор - сфера S3. Но эволюция системы будет происходить вдоль большого круга этой 53-сферы. По этой причине, полевая система будет эволюционировать аналогично рассмотренному здесь случаю S1. В этой главе мы не рассматривали влияния самодействия на зарядовые распределения. Мы полагаем, что зарядовое распределение не должно зависеть от самодействия и определяется соотношением (2.3). При т — 0 имеем случай ненарушенной киральной симметрии. Если же т ф 0, то киральная симметрия нарушена. В случае п = 1 теория имеет единственное вакуумное состояние при ф = 0. В терминах переменной ф пузырьку ДКК соответствует следующая полевая конфигурация: везде внутри сферически-симметричной области ф = const ф 0 (вакуум дезориентирован), везде снаружи этой области ф = 0 (истинный вакуум, т.е. а = 1, 7Г = 0). Распад такого пузырька в модели с п = 1 приводит к образованию состояния типа бризера [14], [67], расположенного в центре первоначального пузырька. Образование бризероподобных долгожи-вущих состояний типично для широкого класса нелинейных систем, включая и описываемую уравнением (2.19).
Временная зависимость для BPS-насыщенных конфигураций
В работе [16] исследовалась статическая конфигурация, соответствующая пересечению под малым углом двух доменных стенок в обсуждаемой суперсимметричной модели. Вместо решения точных уравнений движения для полей авторы использовали следующий прием. Конфигурация типа (3.24), как уже упоминалось, при больших s 1 представляет собой две параллельные доменные стенки 1 3 и 3 — 2, разделенные расстоянием 2s. Если теперь предположить, что s не является константой, а (слабо) зависит от координаты вдоль стенки (например, Y), перпендикулярной оси X, то получим конфигурацию, состоящую из двух непараллельных доменных стенок, которые образуют пересечение под небольшим углом. Мы рассмотрим задачу о развитии во времени процесса столкновения стенок 1 —у 3 и 3 — 2, используя сходные рассуждения [17]. Подставим выражения (3.24), которые описывают конфигурацию типа стенок 1- ЗиЗ— 2 в точках х = — s и х = +s, в выражение для энергии, получающееся из (3.3) с учетом определения полей / и h через поля ф и х- Предполагая, что параметр s не является константой, а зависит от времени t (при этом приближенность процедуры состоит в том, что функции (3.24) при s = s(t) не обязаны быть решениями уравнений движения для полей / и h; слабость зависимости s(t) пока не предполагается), получим Для того, чтобы исследовать процесс столкновения стенок, нужно взять начальную конфигурацию (3.24) с некоторыми s(0) 1 и s(0) 0. В силу того, что параметр s в (3.24) имеет смысл половины расстояния между стенками, такая начальная конфигурация соответствует стенкам 1 —У 3 и 3 —У 2, движущимся вдоль оси X навстречу друг другу с начальными скоростями s(0). Численное решение уравнения (3.26) с упомянутыми начальными условиями показывает, что s(t) уменьшается до нуля. В области малых s решение можно выписать аналитически: i-D где t обозначен момент времени, в который осуществляется сшивка численного решения уравнения (3.26) с аналитическим выражением (3.27). Видно, что функция s(t) ведет себя как y/t — to, где to тем ближе к , чем ближе момент сшивки і к моменту времени, в который численное решение для s(t) обращается в нуль.
Аналогичное (3.26) уравнение, но с другим видом функции m(s), для случая двух взаимодействующих скирмионов в (2+1)-мерной сг-модели обсуждалось в работе [78]. Там же было найдено корневое (сингулярное) поведение вариационной функции s(t), определяющей расстояние между скирмионами, s(t) y/t — to. Когда s изменяется от + оо до 0, параметр а принимает значения от 0 до 1. При s = 0 (точка А на схематическом рисунке 3.3) мы имеем для полей (3.24): В области 1 а +оо параметр s, определенный в соответствии с (3.23), становится мнимым. Поэтому удобно ввести новую переменную s следующим образом: Эффективный гамильтониан для s аналогичен (3.25): Рис. 3.3: схематическое изображение процесса столкновения доменных стенок 1 — 3 и 3 — 2. Цифрами обозначены вакуумные состояния в соответствии с их расположением на рис. 3.1. В момент, когда а = 1 (или s = 0) мы переходим от s к s, которая возрастает от 0 до —. При s = — (точка В на рисунке 3.3) профили полей / и /і имеют вид: Затем s уменьшается до нуля и становится чисто мнимой. Поэтому в момент, когда s = 0 (точка С на рисунке 3.3), мы возвращаемся к переменной 5, которая начинает увеличиваться от 0 до +оо. Заметим, что при s « 1и С 1 мы также использовали приближенные аналитические решения уравнения движения. На рисунке 3.4 представлены временные зависимости s и для двух начальных скоростей стенок s(0) = 0.05 и s(0) = 0.1. Для проверки применимости развитого приближения динамической переменной s мы численно решили задачу Коши с теми же начальными условиями для системы полевых уравнений, следующих из лагранжиана (3.1): ленных решений уравнений движения (3.28) с приближенными решениями из эффективного лагранжиана. Это подтверждает, что использованное приближение динамической переменной является удобным при исследовании процесса взаимодействия доменных стенок.
С ростом начальных скоростей стенок s(0) численные решения полевой задачи (3.28) становятся существенно отличными от решений уравнения (3.26), следующего из эффективного гамильтониана с одной динамической переменной s, что говорит о существенной роли других степеней свободы в быстрых столкновениях. 3.3 Временная зависимость для не BPS-конфигураций Рассмотрим теперь процесс столкновения стенок Зч2и2- 4(а также 3— 1 и 1 —»-4).В отличие от предыдущего случая, не существует точного решения, дающего конфигурацию типа двух последовательно расположенных стенок 3— 2и2-»4 по аналогии с решением 1 - мы вынуждены сконструировать пробное решение типа 3 —У 2 —у 4. Это можно сделать, например, взяв суперпозицию двух "элементарных" стенок 3-)-2 и 2 —у 4, расположенных в точках х = —XQ я х = +жо соответственно: Здесь для краткости обозначено: f32 = /32( + a?o) /г32 == 32( + ж0), /24 = /24(2-2:0), 24 — h24{x — XQ). МЫ получили зависимость А-Е 324 от XQ численно, см. рис. 3.5 (сплошная кривая). В пределе больших XQ конфигурация (3.29) представляет собой две изолированные стенки 3 —у 2 и 2 —у 4. Поэтому их суммарная энергия равна 2EQ И Д#З24 0. Как видно из рис. 3.5, с уменьшением XQ энергия Д1?з24 возрастает. При XQ = 0 Д#324(0) « 1.560.
Улучшенная вариационная процедура
Обнаружение точного решения (4.39), (4.40) с энергией, меньшей, чем при использовании вариационной процедуры, описанной в разделе 4.2, говорит о том, что вариационная процедура, использовавшаяся ранее, должна и может быть улучшена. Кроме того, при заданных параметрах лагранжиана заряд (4.43) точного решения фиксирован, в результате чего точное решение не воспроизводит весь спектр топологических решений с различными зарядами Q при заданных параметрах лагранжиана (4.1). Попытаемся улучшить вариационную процедуру. Для этого возьмем вариационные функции в следующем виде: —— - и Р = -у= воспроизводит точное решение (4.39), (4.40). В то же время можно надеяться, что в силу непрерывной зависимости вариационных функций от параметров А и Р подстановка (4.46), (4.47) в функционал энергии (4.18) приведет к лучшей минимизации этого функционала по крайней мере в области параметров А и /3, близких к таковым для точного решения. Сделав подстановку (4.46), (4.47), получаем, что энергия и заряд этой конфигурации имеют следующие значения: Таким образом, значение константы А однозначно фиксируется зарядом. Подставляя найденное из (4.49) значение А в (4.48) и минимизируя энергию по Р при данном заряде Q, получаем, что минимальное значение выражения для энергии (4.48) равно и достигается при значении параметра /3, равном при зарядах, отличающихся от Q (4.43) достаточно мало, значение энергии (4.50) новой вариационной функции меньше как значения энергии (4.26) конфигурации (4.19), (4.20), так и значения энергии (4.17) конфигурации типа "кинк+плоские волны". О поведении выражения (4.50) при произвольных зарядах можно сказать следующее: - при Q — +оо имеем Emin = 7;hvQ + O(Q ), следовательно, при зарядах, больших некоторого Qf (значение Qf может быть найдено в общем случае из условия равенства Emin{Qf) (4.50) и Emin(Qf) (4.26)), вариационная конфигурация (4.19), (4.20) становится энергетически выгоднее, чем (4.46), (4.47); таким образом, при больших зарядах системы обычная "Q-больная" подстановка оказывается энергетически выгоднее; - при Q QY возможны в зависимости от отношения констант лагранжиана h к — — два случая: га - - условие устойчивости конфигурации относительно распада на "кинк+плоские волны" выполняется при любых Q 0.
Это имеет место при 3 — л/5 к, 3 + \/5. Характерный вид зависимостей энергии от заряда для обеих вариационных и для плосковолновой конфигураций, соответствующий этому случаю, приведен на рис. 4.3; - - равенство энергий вариационной и плосковолновой конфигураций Поэтому при Q Qc{ вывода о существовании устойчивых локализованных решений сделать нельзя. Характерное расположение кривых на графике зависимостей энергии конфигурации от заряда для этого Рис. 4.4: графики зависимостей энергии от заряда для вариационных конфигураций (4.19), (4.20) (штриховая кривая), (4.46), (4.47) (сплошная кривая), и для конфигурации типа "кинк+плоские волны" (пунктирная кривая), соответствующие к = л/ЬТТ = 0.31622... (Л = Существенно, однако, что, в соответствии со сделанным выше заключением, значение энергии (4.42) точного решения при любых 0 к у/2 меньше энергии (4.17) конфигурации типа "кинк+плоские волны" с соответствующим зарядом (4.43). Таким образом, вариационная функция (4.46), (4.47) является точным решением при значениях заряда Q = 0 и Q = 2v2{2/к? — 1). При этом функция (4.46), (4.47) при всех Q Q (или Q 0 в зависимости от значения к) дает меньшее значение функционалу энергии, чем конфигурация типа "кинк+плоские волны", и при всех значениях Q Qf приводит к меньшему значению функционала энергии, чем вариационная конфигурация (4.19), (4.20). Итак, мы уточнили вариационную функцию для значений зарядов, меньших критического Qcr для функции (4.19), (4.20), причем новая вариационная функция совпадает с точным решением (4.39), (4.40) при соответствующем значении заряда. Найденные точное решение (4.39), (4.40) и улучшенная ва- риационная процедура (4.46), (4.47) приводят к выводу, что топологические Q-боллы могут существовать в значительно более широкой области зарядов 5, чем это следует из стандартной вариационной процедуры, применяемой обычно к Q-боллам. 4.5 Заключительные замечания об описанных топологических дефектах, несущих U(l) заряд Мы продемонстрировали, таким образом, что одномерное решение типа стенки (кинк) для скалярного поля Хиггса может связывать комплексное скалярное поле, несущее U(l) заряд, причем величина связанного стенкой заряда Q может меняться в достаточно широких пределах. Возможность связать большой U(l) заряд топологической стенкой является основным новым результатом предыдущих пунктов этой главы. Этот эффект должен проявляться в задаче о рассеянии частиц доменной стенкой. Такая проблема впервые обсуждалась в работе Волошина [85]. При этом рассматривались две различные задачи. В первой задаче исследовалось рассеяние плоской волны поля Хиггса на кинке этого же поля.
При этом рассеяние оказывается безотражательным. Во второй задаче рассматривалось взаимодействие поля Хиггса с фермионным полем. Задача о рассеянии фермиона на кинке также сводилась к задаче о рассеянии в заданном потенциале, создаваемом полем кинка. Постановке этой задачи в рамках работы [85] в нашем случае отвечает исследование задачи рассеяния для уравнения (4.8) с заданным потенциалом ф{х). При подстановке ф(х) в виде кинка (4.12) задача сводится к известной задаче о рассеянии частицы в поле V{x) — 1/cosh" (mvx). Интересно, что при h —» 0 коэффициент отражения от такого потенциала стремится к единице при импульсе к —» 0 [25]. Такое поведение коэффициента отражения в случае h — 0 означает, что предел слабой связи не работает. В данной задаче это не является случайным, так как в одномерном случае в потенциале притяжения всегда существует связанное состояние. Следует отметить, что вопрос о рассеянии частиц на кинке в общем случае не сводится к задаче о рассеянии на заданном потенциале. На самом деле, кроме уравнения (4.8), определяющего поведение поля в заданном поле ф(х), требуется одновременно исследовать поведение поля ф{х) в поле плос- кой волны (#), т.е. проанализировать решение уравнения (4.9). Как видно из (4.9), при учете !;(х) в виде плоской волны вакуум поля ф и масса возбуждения поля ф над вакуумом меняются. Таким образом, задача о рассеянии частиц в поле кинка является самосогласованной, лишь если они являются малыми отклонениями от вакуума того же поля. Более того, даже связанное состояние поля в потенциале кинка поля ф может быть получено без учета обратного воздействия поля на поле ф формально только в случае достаточно сильно связанного уровня. Качественно это становится ясным из того, что волновая функция слабо связанного уровня медленно убывает на больших расстояниях, и поэтому отбрасываемый в (4.9) член 2/і2 / при ф(х) = v tanh (mvx) становится при х — ±оо экспоненциально большим по сравнению с членом (ф2 — ь2)ф cosh- [mvx). В случае наличия в потенциале —h2v2/ cosh (mvx) одного связанного уровня его волновая функция имеет вид [25]: Для того, чтобы член 2к2 ф не был при больших х экспоненциально велик по сравнению с остальными членами в (4.9), необходимо выполнение неравенства s 1, откуда получаем к \/2. Итак, не только задача о рассеянии, но также задача о слабосвязанной частице поля в поле кинка, должны, вообще говоря, решаться с учетом обратного воздействия поля на поле ф. Возможность существования топологических стенок, несущих U(l) заряд, может иметь непосредственное отношение к проблеме схлопывания доменных пузырей.
