Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Детерминированные игровые модели управления материальными запасами 14
1. Детерминированная модель управления материальными запасами с допущением дефицита
2. Описание бескоалиционной игры в нормальной форме 16
3. Детерминированная модель управления материальными запасами для случая количественной конкуренции 18
3.1. Постановка задачи и описание модели 18
3.2. Решение внутренней задачи оптимизации системы управления материальными запасами
3.3. Существование ситуаций равновесия по Нэшу в чистых стратегиях 21
4. Детерминированная модель управления материальными запасами для случая ценовой конкуренции 25
4.1. Постановка задачи и описание модели 25
4.2. Внутренняя задача оптимизации 27
4.3. Ситуации равновесия по Нэшу в чистых стратегиях во внешней задаче 27
5. Пример модели управления материальными запасами для случая количественной конкуренции 33
6. Пример модели управления материальными запасами для случая ценовой конкуренции 36
Глава II. Детерминированные игровые модели циклической перевозки в логистических системах 44
1. Задача циклической перевозки в логистических системах 44
2. Детерминированная игровая модель циклической перевозки для случая количественной конкуренции
2.1. Постановка задачи и описание модели
2.2. Решение внутренней задачи оптимизации циклической перевозки в логистических системах
2.3. Условия существования ситуаций равновесия по Нэшу в чистых стратегиях 54
3. Детерминированная игровая модель циклической перевозки для случая ценовой конкуренции 61
3.1. Постановка задачи и описание модели 61
3.2. Решение внутренней задачи 63
3.3. Нахождение ситуаций равновесия по Нэшу в чистых стратегиях . 64
4. Пример игровой модели циклической перевозки для случая количественной конкуренции 71
5. Пример игровой модели циклической перевозки для случая ценовой конкуренции 74
Глава III. Игровые модели оперативного управления материальными запасами при случайном спросе 83
1. <у, И>-модель управления материальными запасами в случае учета неудовле творенных требований 83
2. Игровая модель оперативного управления материальными запасами при случайном спросе для случая количественной конкуренции 85
2.1. Постановка задачи и описание модели 85
2.2. Решение внутренней задачи оперативного управления материальными запасами при случайном спросе 88
2.3. Существование ситуаций равновесия по Нэшу в чистых стратегиях 97
3. Игровая модель оперативного управления материальными запасами при случайном спросе для случая ценовой конкуренции 106
3.1. Постановка задачи и описание модели 106
3.2. Внутренняя задача оперативного управления материальными запасами при случайном спросе 108
3.3. Существование ситуации равновесия по Нэшу в чистых стратегиях ПО
4. Пример игровой модели оперативного управления материальными запасами для случая количественной конкуренции 117
5. Пример игровой модели оперативного управления материальными запасами для случая ценовой конкуренции 124
Заключение 132
Список литературы
- Описание бескоалиционной игры в нормальной форме
- Детерминированная игровая модель циклической перевозки для случая количественной конкуренции
- Пример игровой модели циклической перевозки для случая количественной конкуренции
- Игровая модель оперативного управления материальными запасами при случайном спросе для случая количественной конкуренции
Введение к работе
Логистика - это наука о планировании, организации, управлении и контроле движения материальных и информационных потоков в пространстве и во времени от их первичного источника до конечного потребителя [б, 15, 28]. В логистике важную роль играют логистические процессы, представляющие собой реализацию определенных последовательностей логистических операций и управления ими в рамках соответствующих систем. Управление логистическими процессами происходит в рамках систем логистического менеджмента субъектов рынка на микроэкономическом уровне, а их регулирование - государством на макроэкономическом уровне. Особое значение в логистическом менеджменте имеет управление запасами. Под запасами понимается совокупность товарно-материальных ценностей, ожидающих вступления в процесс производственного потребления, транспортировки и конечной реализации. Взаимосвязь материальных потоков и запасов товарно-материальных ценностей предопределяет появление научного направления «теория управления запасами (Inventory Theory)» или «логистика запасов». Теория управления запасами - это научное направление и сфера практической деятельности по управлению материальными потоками и запасами в логистических системах и межсистемных образованиях, направленных на оптимизацию логистических издержек. Логистика запасов или теория управления запасами является одним из обеспечивающих разделов логистики, инструментальной дисциплиной, предлагающей оптимизационные модели управления и планирования тактической организации логистических процессов в производственно-коммерческих и торговых структурах. Задачи управления запасами, которые определяют управление закупок (снабжения), относят к тактической логистике, а задачи контроля запасов - к операционной логистике.
Основная ситуация в теории управления запасами всегда конфликтна: чем больше запас, тем меньше вероятность неудовлетворенного спроса (или дефицита), но с другой стороны, тем больше логистические издержки, связанные с хранением, потери из-за старения или порчи.
Возникновение теории управления запасами связано с работами Ф. Харриса, Р. Уилсона и Ф. Эджоурта, в которых исследовалась простейшая оптимизационная модель для определения экономического размера заказа EOQ (Economic Order Quantity) при детерминированном спросе. После них Т. Уайтииом был разработан стохастический вариант простой модели размера партии заказа. Из ранних работ в дайной области нужно отметить книги Дж. Хедли и
Уйатина [57], Ф. Хэнссменна [60], Ю. И. Рыжикова [49], Дж. Буканаи Э. Кенисберга [2], А. Л.
Первозванского [44], Г. Б. Рубальского [48], Г. Я. Шаховой [61]. В них описаны модели оптимального управления материальными запасами, которые приобрели характер классических результатов, например, формулы Уильсона для определения EOQ при детерминированном спросе и их обобщения; модели оперативного управления запасами при случайном спросе и модели управления запасами в системе с периодическими проверками при случайном спросе; динамические модели управления запасами, основанные на принципе оптимальности Белл-мана и т.д.
В теории управления запасами выделяют три системы регулирования [15, 16, 28]: 1) релаксационный метод, основанный на системе регулирования запасов с фиксированным размером заказа (fixed order quantity system); 2) периодический метод, основанный на системе регулирования с фиксированной периодичностью заказа; 3) двухуровневая система регулирования запасов (система «минимум-максимум»).
Модели управления материальными запасами можно классифицировать по следующим признакам [19, 47, 50, 51, 53]:
По числу компонентов: - однономенклатурные (однопродуктовые); - мпогономенклатур-ные (многопродуктовые);
По топологии: - локальные (один склад); - эшелонированные складские системы (последовательные склады, параллельные склады, последовательно-параллельные склады);
По поведению во времени: - статические; - динамические;
По степени определенности параметров модели: -детерминированные; - стохастические;
- неопределенные (полная неопределенность);
5. По характеру пополнения и потребления запасов: - стационарные или нестационарные;
- детерминированные или стохастические; - дискретные или непрерывные; - коррелиро
ванные или некоррелированные;
По характеру ограничений: - критериальные; - прочие;
По характеру целевой функции: - линейные; - нелинейные.
Определенный класс задач управления материальными запасами описываются динамическими сетевыми моделями. Так, например, можно привести системы снабжения, транспортные системы, системы производства-распределения, где учитываются следующие факторы: 1) объем потребления; 2) действующие транзитные или заказные нормы; 3) величина транспортно-заготовительных расходов; 4) уровень материальных запасов (производственных и товарных). Одно из основных направлений улучшения использования материальных запасов - это экономически оправданная концентрация их на снабженческо-сбытовых орга-
пизациях и предприятиях-поставщиках. Вопросам выбора формы снабжения (оптимизации потоков на сети) посвящены исследования Ю. И. Мошинского [42], Э. 10. Локшина [29], II. Д. Фасоляка [55], Б. Л. Геронимуса [12, 13], В. Т. Наумика [41], Г. Н. Чеботаревой [66], II. А. Товбина [52], Е. А. Хруцкого, В. А. Саковича, С. П. Колосова [59], В. М. Лагуткина [27]. Новые результаты в этой области получены в работах [24, 64, 65].
Разнообразие действительных условий осуществления логистических процессов в производственных и коммерческих структурах, наличие внутренних и внешних возмущений создают множество задач управления запасами. В настоящее время теория управления запасами предлагает для практического использования различные математические методы и модели, развивающиеся по следующим тенденциям:
Анализ многопродуктовых логистических систем с коррелированным и некорреливапным спросом [30, 31, 32, 71];
Исследование систем управления запасами с частично наблюдаемым спросом [32];
Исследование игровых задач управления запасами [3, 35, 70, 79, 80];
Развитие статистических методов и подходов, стохастических моделей управления логистическими системами [20, 32, 36, 48, 69];
Исследование систем управления запасами в условиях неопределенности [14, 43, 63, 64].
Предлагаются модели управления запасами, основанные на современных методах и под
ходах аппарата теории стохастической оптимизации, динамического программирования, мар
ковских процессов и т.д, Множество экономико-математических моделей управления запа
сами рассматриваются в [1, 17, 25, 37, 38, 39, 40, 46, 76].
Таким образом, в современной теории оптимизации логистических процессов (теории управления запасами) разработано множество моделей, предлагающих оптимальное управление в детерминированных pi стохастических средах. Но при моделировании большинства задач управления запасами не учитывается одна важная сторона - конкурентная рыночная среда, в которой конкурируют несколько производственно-коммерческих структур (фирм). Неучет этого факта приводит к тому, что внедрение соответствующих разработанных моделей в логистические системы организационных структур оказывается нерациональным. Это вызывает необходимость применения новых научных теорий, с помощью которых возможно моделировать конфликтные ситуации. Один из возможных подходов для решения задач управления материальными запасами в условиях наличия нескольких конкурирующих фирм предлагает теория игр [5]. Теория игр позволяет анализировать принятие решений экономическими субъектами (называемыми, в соответствии с установившейся традицией, игроками)
в ситуациях, когда на результат этих решений оказывают влияние действия, предпринимаемые другими экономическими субъектами. Математические модели таких ситуаций принято называть играми. Как оказалось, исследователи, занимавшиеся моделированием экономических и социальных явлений, предлагали решения, которые совпадают с теми или иными концепциями равновесия современной теории игр, еще до того, как эти концепции были сформулированы в явном виде и вошли в инструментарий теории игр. Можно привести несколько примеров: модели олигополии (А. Курно, Ж. Бертран, Г. Штакельберг), модель рынка «лимонов» (Дж. Лкерлов), модель сигнализирования на рынке труда (М. Спепс), анализ аукционов в условиях неполной информации (У. Викри). Интересные игровые задачи управления логистическими процессами рассмотрены в работах [67] (детермииировая несетевая модель ологиполии (модель Штакельберга) без учета неудовлетворенных требований), [68] (детерминированная кооперативная игра на одном рынке без учета неудовлетворенных требований), [70] (стохастическая сетевая модель кооперативной игры распределения товара между дистрибьютерами), [72] (детерминированная сетевая модель кооперативной игры с несколькими поставщиками, минимизирующих свои сетевые затраты), [75] (сетевая некооперативная игра распределения товара по логистическим каналам между дистрибьютерами, алгоритм нахождения партии пополнения запасов), [74] (стохастическая модель вероятностного выбора между двумя поставщиками), [73] (стохастическая сетевая бескоалиционная игра распределения товара между несколькими дистрибьютерами, поиск ситуаций равновесия по Нэшу), [77] (детерминированная модель игры двух фирм с MRP, получающих некоторый товар с определенной вероятностью и оптимизирующих свою NPV). В этих работах построены модели, где в качестве принципа оптимальности рассматривается равновесие по Нэшу и Штакельбергу, а также рассматриваются задачи на поиск С-ядра [4, 5, 45]. Однако, в этих работах в детерминированных игровых моделях не рассматривается учет неудовлетворенных требований (дефицита). Кроме того, не рассмотрены сетевые логистические системы, где в каждом узле сети могут находиться несколько производственно-коммерческих структур, конкурирующих между собой. [21, 58].
Приведенный анализ и обзор литературы, потребности в практической действительности подтверждают актуальность разработки и исследования детерминированных и стохастических моделей оптимизации сетевых логистических систем в условиях конкуренции. Это, в свою очередь, обуславливает актуальность данной диссертационной работы, целью которой является: 1. Построение и анализ теоретико-игровых моделей управления материальными запасами
для случая количественной конкуренции при детерминированном спросе с учетом неудовлетворенных требований (с допущением дефицита);
Построение и анализ теоретико-игровых моделей управления материальными запасами для случая ценовой конкуренции при детерминированном спросе с учетом неудовлетворенных требований (с допущением дефицита);
Исследование детерминированных игровых моделей циклической перевозки в логистических системах для случая количественной конкуренции;
Исследование детерминированных игровых моделей циклической перевозки в логистических системах для случая ценовой конкуренции;
Построение и анализ теоретико-игровых моделей оперативного управления материальными запасами при случайном спросе для случая количественной конкуренции;
Построение и анализ теоретико-игровых моделей оперативного управления материальными запасами при случайном спросе для случая ценовой конкуренции;
В настоящей работе для оптимизационного моделирования логистических систем производственно-коммерческих и торговых структур в условиях рьшочной конкуренции различной природы применяется аппарат теории игр, в частности, бескоалиционных игр. Конкуренция имеет характер типа олигополии. В зависимости от условий внешней среды игровая задача имеет то или иное некооперативное поведение: ценовой конкуренции или количественной конкуренции. Задачи управления логистическими процессами разделяются на две подзадачи: на внутреннюю - задачу оптимизации систем управления материальными запасами относительно внутренних логистических стратегий при фиксированных внешних условиях, и на внешнюю - бескоалиционную игровую задачу относительно внешних (игровых) стратегий.
Научная новизна
Особый интерес вызывает тот факт, что теория игр (аппарат теории игр) практически не применяется в задачах управления запасами. В диссертационной работе сформулированы и решены задачи управления материальными запасами в теоретико-игровой постановке, а, именно, в рамках теории бескоалиционных игр. Для рассмотренных детерминированных и стохастических сетевых и несетевых игр были сформулированы и доказаны теоремы о существовании ситуаций равновесия по Нэшу в чистых стратегиях, на основе которых были предложены методы и алгоритмы построения внешнего управления при оптимизации глобальных логистических процессов в условиях количественной и ценовой конкуренции. Показаны зависимости оптимальных значений переменных внутренних задач от внешних
(игровых) стратегий.
Методы исследования
При выполнении диссертационной работы использовались и методы теории игр, логистики (теории управления запасами), теории вероятностей, теории оптимального управления, математического программирования, теории организации промышленности.
Основные результаты, полученные в работе:
Необходимые и достаточные условия существования ситуаций равновесия по Пэшу в чистых стратегиях для детерминированных и стохастических сетевых и несетевых моделей управления материальными запасами при допущении дефицита (учета неудовлетворенных требований) в случаях ценовой и количественной конкуренции между несколькими производственно-коммерческими и торговыми структурами (фирмами), оптимизирующими свои логистические процессы.
Достаточные условия, позволяющие определить в рассмотренных бескоалиционных играх ситуации равновесия по Нэшу в чистых стратегиях.
Аналитические зависимости оптимальных значений переменных внутренних задач от внешних (игровых) стратегий в детерминированных моделях.
Итеративный метод нахождения оптимальных значений переменных внутренних задач в стохастических моделях.
Условия положительности значений выигрышей в детерминированной модели ценовой конкуренции для функций спроса специального вида.
Достоверность полученных результатов подтверждается аналитическими выкладками и результатами примеров. В случаях, когда на рынке имеется только одна фирма, для оптимальных внутренних логистических управлений получаются известные (классические) формулы для определения размера партии заказа и критического (предельного, точки заказа) уровня.
Теоретическая и практическая ценность
Следует отметить, что исследование свойств среды, в которой проходят логистические процессы, является одной из основных задач современной логистической теории. Данная диссертационная работа является перспективной в теоретическом плане, поскольку все представленные в работе теоретические результаты являются новыми и, следовательно, могут быть использованы для дальнейшего развития логистики, могут быть применены для даль-
нейших исследований в теории управления запасами, а так же при изучении практических задач в логистике.
Структура и объем работы
Настоящая диссертационная работа состоит из введения, основного текста, заключения и списка литературы. Параграфы каждой их трех глав имеет свою нумерацию. Формулы внутри каждой главы также имеют свою нумерацию с добавлением через точку номера параграфа. Основной текст разбит на 3 главы и содержит 4 рисунка. Список литературы включает 80 наименований. Общий объем работы - 139 страниц.
Содержание работы
В первой главе рассматриваются теоретико-игровые модели управления материальными запасами при релаксационном методе регулирования запасов и планировании дефицита для двух случаев олигополии между N фирмами: количественной конкуренции (модель Курно), ценовой конкуренции (модифицированная модель Бертрана). Здесь предполагается, что у каждой фирмы имеется одна складская система на одном определенном рынке, где спрос является детерминированным. Фирмы решают задачу оптимального планирования логистических процессов на двух уровнях: на первом уровне (внутренней задаче) оптимизируются системы управления запасами относительно внутренней стратегии
эти ситуации, в общем случае являются трансцендентными, поэтому для решения игровой задачи применяются математические пакеты типа Maple 11, Matlab 7. В конечном итоге, для случая количественной конкуренции каждая фирма будет осуществлять оптимальное управление (Q*, у*, S*), а для случая ценовой конкуренции - (р*, у*, S*). Результаты применены на нескольких примерах.
Вторая глава является расширением Главы I, когда рассматривается сеть из рынков, и посвящена математическим моделям процессов циклической перевозки в логистических системах для случая количественной и ценовой конкуренции. Рассматривается сеть из п пунктов, в каждом из которых есть N фирм со своим складом. Складские системы каждой из них соединены логистическими каналами. Во всех пунктах сети спрос носит детерминированных характер. При моделировании систем управления каждой фирмой применяется релаксационный метод регулирования запасов с допущением дефицита. Каждая фирма осуществляет циклическое снабжение с помощью разбиения сети на не пересекаемые маршруты (маршрутные логистические каналы). Фирмы решают задачу планирования логистических сетевых процессов на двух уровнях: на первом уровне оптимизируются системы управления логистическими процессами относительно внутренних стратегий {Tik}f=1 и {Sl}"=l, где 1\ - период одного цикла по маршруту /&, / = l,...,pi, pi - количество маршрутов па сети фирмы I, I = 1,..., N, S\ - максимальный уровень запаса фирмы I в пункте і, і = 1,..., п; на втором уровне разрешается игра для обоих видов конкуренции, где в качестве принципа оптимальности рассматривается равновесие но Пэшу в чистых стратегиях. Игровой стратегией каждой фирмы при количественной конкуренции является вектор {<5'}"=1 R", компонентами которого являются объемы поставок на склады Q\ за некоторый период. При ценовой конкуренции игровыми стратегиями являются векторы цен {р'}._, Є Rn, где р\ - цена на товар фирмы / в пункте г. Получены формулы для определения оптимальных внутренних стратегий для каждой фирмы, которые являются вектор-функциями явно зависящими от игровых ситуаций. Важным моментом является переход от переменных у\ (размер партии заказа) к стратегиям Tik, тем самым уменьшив количество внутренних управлений на сети, так как число маршрутов не больше числа складов: pi < п. Налагаются условия на параметры логистические системы каждой фирмы, при которых ее функция прибыли (выигрыша) на сети будет вогнутой по своей игровой стратегии и непрерывной в совокупности по стратегиям всех фирм. Выводятся и доказываются теоремы о существовании ситуаций равновесия Пэша в чистых стратегиях для разных видов конкуренции. Кроме того, выведены условия для определения ситуаций равновесия по Нэгпу в чистых стратегиях. Оказывает-
ся, что ситуации равновесия невозможно в общем случае найти аналитически (применяются математические пакеты типа Maple 11, Matlab 7). В конечном итоге, для каждой фирмы получим I, I = 1,...,JV оптимальное управление ({Ql*)ti' {Тік}?к=1 ASl*}ti) е R2"+P' и ({pNLi ' {^!}Г=і' {^*}і=і) е К2п+И Для случаев количественной и ценовой конкуренции соответственно. Приведено несколько примеров.
В третьей главе исследуются игровые стохастические < y,R >-модели оперативного управления материальными запасами при учете неудовлетворенных требований также для двух случаев олигополии между ЛГ фирмами: количественной конкуренции и ценовой конкуренции. Здесь предполагается, что у каждой фирмы имеется одна складская система на одном определенном рынке, где интенсивность потребления носит вероятностный характер. Фирмы решают задачу оптимизации логистических процессов на двух уровнях: на первом уровне оптимизируются системы управления запасами относительно внутренней стратегии (т/г, R{), где у і - размер одной партии заказа, / - критический (пороговый) уровень запаса (точка заказа) фирмы і, г = 1,..., N; па втором уровне разрешается игровая ситуация по принципу равновесия Нэша в чистых стратегиях для обоих видов конкуренции. Игровой стратегией каждой фирмы для случая количественной конкуренции является общий объем продукции Si, которую она поставляет на склад за некоторый период. Для случая ценовой конкуренции игровыми стратегиями являются цены Pi, которые устанавливают фирмы на свою продукцию. Оказывается, что оптимальная стратегия (у*, Щ) каждой фирмы принимает значения на границах множества стратегий или является решением системы трансцендентных уравнений. Для решения этой системы разработан итеративный метод. Таким образом, оптимальная внутренняя стратегия либо не зависит от игровой ситуации, либо зависит неявно. Доказаны теоремы о необходимых и достаточных условиях существования ситуаций равновесия в чистых стратегиях. Кроме того, выведены условия для определения ситуаций равновесия. В конечном итоге, для случая количественной конкуренции каждая фирма будет осуществлять оптимальное управление (S*,y*,S*), а для случая ценовой конкуренции -(р*, у*, S*). Приведено несколько примеров.
Апробация работы
Основные результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях:
- 38-й международной научной конференции аспирантов и студентов «Процессы управления и устойчивость» (Россия, Санкт-Петербург, 2006);
Всероссийской научно-практической конференции «Математика, информатика, естествознание в экономике и в обществе» (Москва, 2006);
39-й международной научной конференции аспирантов и студентов «Процессы управления и устойчивость» (Россия, Санкт-Петербург, 2007);
- Международного конгресса «Нелинейный динамический анализ-2007» (Россия, Санкт-
Петербург, 2007).
Публикации
По теме диссертации опубликованы печатные работы [7, 8, 9, 10, 11].
В заключении формулируются основные положения диссертационной работы, выносимые на защиту.
Описание бескоалиционной игры в нормальной форме
Мы будем здесь анализировать равновесные ситуации—ситуации, при которых ожидания экономических субъектов (игроков) оказываются оправдавшимися, т. е. ожидаемые ими действия других экономических субъектов совпадают с фактически выбранными. Определение 1. [5, 45] Система V = {N,{Xi}ieN,{Ui}ieN), (2.1) в которой N = {1,2, ...,п} - множество игроков, ХІ - множество стратегий игрока і, Пі - функция выигрыша игрока і, определенная на декартовом произведении множеств стратегий игроков X = ПГ=і - (множество ситуаций игры), называется бескоалиционной игрой.
Бескоалиционная игра п лиц происходит следующим образом. Игроки одновременно и независимо друг от друга выбирают свои стратегии ХІ ИЗ множества стратегий ХІ, І = 1,..., n, в результате чего формируется ситуация х = (хі, Х2, хп). В итоге каждый игрок і получает свой выигрыш IIІ = ПІ(Х) и на этом игра заканчивается. Определение 2 [45]. Ситуация х = {х\,х 2, ...,а) называется ситуацией равновесия по Нэшу, если для всех Х{ Є ХІ, І = 1,..., п имеет место неравенство lli{X ) Ui(Xl,X2,...,Xi_i,Xi,Xi+i,....,Xn). ( - ) Теорема 1 [26]. Предположим, что в игре (2.1) у любого игрока і Є N множество стратегий Х{ компактно и выпукло, а функция выигрыша П;(х) вогнута (или квазивогнута) по ХІ и непрерывна на X. Тогда в игре (2.1) существует равновесие по Нэшу в чистых стратегиях. Предположим, что для любого игрока і Є N функция прибыли Ui(x) дважды непрерывно дифференцируема по ХІ. ИЗ [21] имеем, что условие первого порядка для равновесия по Нэшу (необходимое) заключается в том, что для каждого игрока г Є N = 0. (2.3) дхі Условие второго порядка заключается в том, что ХІ = х , г = 1,...,п дает локальный максимум: Допустим, что функция выигрыша каждой фирмы всюду вогнута по своей стратегии, т.е. д2Пі(х)/дх] О для всех х Є X. В таком случае выполняется условие второго порядка (2.4) и, более того, условие первого порядка, заданное уравнением (2.3), является достаточным для равновесия по Нэшу в чистых стратегиях. Равновесная ситуация будет решением системы п уравнений с п неизвестными (2.3). Бескоалиционная игра может принимать форму олигополии. Определение 3 [21, 58]. Олигополией называют ситуацию, когда на рынке несколько фирм (поставщиков, производителей), и каждый из них может влиять на цену. Рассматриваются два вида олигополии, где игроки принимают решения одновременно: количественная конкуренция (модель Курно) и ценовая конкуренция (модифицированная модель Бертрана) [21]. 1. В модели Курно ./V фирм принимают решение относительно объемов поставок (про изводства) Qi О, некоторой однородной продукции и принимают эти решения одновре менно. Их технологии представлены функциями издержек Li(Qi), і = 1,..., TV. Пусть Q_{ = {Q\,Q2i —,Qi-i,Qi+i, —,QN) - вектор из ожидаемых (фирмой г) объемов поставок других фирм. Спрос на продукцию задается убывающей обратной функцией спроса p(Qi, Q_i) = V (Sfc=i Qk\ Тогда ожидаемая прибыль фирмы г составит величину ЩЯг, Q-i) = v {Qi, Q-І) - HQi). (2.5) Таким образом, получается бескоалиционная игра N лиц (2.1) с функциями выигрыша (2.5): Гк = ( ( )1,, )1,), (2.6) в которой ищется равновесие по Нэшу. Это равновесие называется равновесием Курно [21]. 2. В модифицированной модели Бертрана предполагается, что фирмы поставляют (про изводят) не вполне заменяемую продукцию, это случай так называемых дифференцирован ных благ. Это означает, что фирмы действуют на взаимосвязанных рынках близких про дуктов, которые различаются хотя бы по упаковке и потребитель способен покупать их по разным ценам pt,i = 1,..., N. Здесь следует ввести отдельную функцию спроса на продукцию каждой фирмы Qi = A(pj, р_{), которая зависит от собственной цены Pi и от цен конкурентов P-i = (РьР2, —tPi-uPi+it — PN)- Тогда ожидаемая прибыль фирмы г равна ЩРг, P-i) = PiDi (РІ, p_i) - Li(Di(pi, p_i)). (2.7) Таким образом, получается бескоалиционная игра N лиц (2.1) с функциями выигрыша (2.6): Гв = ( , ) ,(1}. (2.8) в качестве принципа оптимальности которой рассматривается равновесие по Нэшу. Здесь рассматривается один из типов олигополии, модель Курно (см. 2). Предположим, что на рынке есть N фирм, поставляющих и реализующих некоторую однородную продукцию через свои складские системы. При этом фирмы совершают логистические операции по проведению соответствующих логистических процессов с допущением дефицита и с использованием релаксационного метода регулирования запасов yi,Si (1). Они принимают решения относительно объемов поставок Qi и переменных (Ui,Si). В соответствии с (2.5) функция прибыли каждой фирмы і, і = 1,..., N равна ІШ, Q_i) = р {Qi, Q_i) Qi - Li(Qi), (3.1) где Li(Qi) - это функция логистических затрат по реализации продукции объемом Qi. Из (1.8) следует, что для каждого і ее можно определить по формуле Li(Qi) = Li(Qi,Уі,Si) = (Кі + ауі + Ы$- + giiyi Si)2) . (3.2) УІ \ 2UJ 2a; ) Заметим, что характер потребления в каждом периоде (цикле) для каждой фирмы і, і = 1,...,N можно рассмотреть в двух случаях, когда интенсивность потребления а;(-) зависит от установленной на рынке цены р: a, = аг(р), и когда, не зависит. В первом случае a,(p) = Q-i{p{Qu Q-i)) = k{Qi, Q-i)- Поэтому функция (3.2) примет следующий вид Нк + +к ш +в щЖ)- (з-з) Заметим, что логистические издержки каждой фирмы і будут зависеть от своих переменных (lJi,Si) и от стратегий (Qi, Q_{) всех фирм. Подставив выражение (3.3) в (3.1), получим - т, Q.n - ( +« +Ssjfe+«зИ,) " Так же заметим, что функция прибыли (3.4) каждой фирмы і зависит от стратегий всех фирм (Qi, Q_{) и от пары переменных (yi, Si), управляемыми только ею. Определение 1. Назовем пару (у , Si) внутренней стратегией, a Qi - внешней (игровой) стратегией фирмы і. Зададим множества стратегий каждой фирмы і, г = 1,..., N: = {Qi Qi Є \а{-\Ь?) С [0, со)}; П? = {Уі Уі є [a?\b? ] С (0,оо)}; (I? = {Si S( Є [af\ bf]) с [0, оо)}. Пусть a\j) b\j) для всех г = 1,..., iV и j = 1,2,3.
Таким образом, получим, что каждая фирма г при оптимизации логистических процессов управляет стратегиями на двух уровнях: на первом уровне управляет внутренней стратегией (уі, Si), решая задачу максимизации прибыли (3.4), - внутренняя задача, и на втором уровне управляет внешней (игровой) стратегией Qi - внешняя (игровая) задача. В качестве принципа оптимальности во внешней задаче, принимающей форму количественной конкуренции, рассмотрим равновесие по Нэшу в чистых стратегиях.
Детерминированная игровая модель циклической перевозки для случая количественной конкуренции
Здесь рассматривается модель из 1 для случая, когда на всей сети есть конкуренты. Предполагается, что в каждом пункте і, г = 1, ...,п есть N разных фирм (поставщиков), которые занимаются циклическим снабжением некоторой продукции (например, однородной). Каждая фирма 1,1 = 1, ...,N в каждом пункте имеет только одну складскую систему. Всего разных фирм на сети N. Можно допустить, что в каждом пункте і есть N фирм, полагая, что параметры N — Nt фирм, у которых нет складских систем в этом пункте, принимают нулевые значения. Тогда индекс / (далее верхний индекс), означающий номер фирмы на сети, в каждом пункте будет принимать значения от 1 до N, т.е. 1 = 1,..., N.
Фирмы совершают логистические операции по проведению соответствующих сетевых логистических процессов при использовании релаксационного метода регулирования запасов с допущением дефицита уi, Si на каждом складе (1). Каждая из них принимает решение относительно объемов поставок на сети {Q }"=1 бГи переменного вектора ({ іЯ =і {А }"=і) є К "1"" , кі - номер маршрута фирмы /, ki = l,...,pi, pi - количество маршрутов фирмы I на сети, I = 1,...,N. Пусть Qrl = {Q\,Q},...,Qlr\Q\+l,...,Qf) Є R _1 - вектор из ожидаемых (фирмой /) объемов поставок других фирм в пункте г, a Q l = {Q\\ Qj — Qnl) Є К" - вектор из ожидаемых (фирмой /) объемов поставок других фирм по всей сети. Аналогично моделям из 3 и 4 Гл. I предположим здесь, что характер потребления в каждом периоде (цикле) для каждой фирмы / = 1,...,N в каждом пункте і = 1,...,п можно рассмотреть в двух случаях, когда интенсивность потребления а\{-) зависит от установленной на рынке цены р . а\ = a\{pi), и когда не будет зависеть. Таким образом, получим, что каждая фирма / при оптимизации логистических процессов управляет стратегиями на двух уровнях: на первом уровне (внутренней задаче) управляет многомерными стратегиями Iі = {Т } =16 R+ и & = {Sl}"=1E R" и на втором уровне (внешней задаче) - вектором поставок на все склады сети ($ = {Q }"_j R". На первом уровне фирма решает задачу максимизации прибыли (2.5) в неигровых условиях (при фиксированных внешних стратегиях). На втором уровне возникает игровая проблема в форме количественной конкуренции (модель Курно), в качестве принципа оптимальности которой будем рассматривать равновесие по Нэшу в чистых стратегиях.
Критерием внутренней задачи является оптимизация логистических процессов по средством максимизации функции прибыли (2.5) относительно внутренних стратегий Iі и S1 при установленных объемах поставок на весь период планирования всеми фирмами {Q\, Q 1) во всех пунктах на сети.
Непрерывная дифференцируемость по Tkl и S\k на множестве R+ х R" очевидна из выражения (2.8). Покажем, что функция (2.8) вогнута по (Tkl,Slik) на R+ х R. Для этого рассмотрим миноры дифференциала второго порядка этой функции.
Получим стационарную точку (I1 , S1 ) = ({7}J=1, {5 } =1) Є RPi x Шп для каждой фирмы / = 1,..., N. По теореме 1 функция вогнута (2.5) в совокупности по внутренним стратегиям, поэтому стационарная точка будет определять ее максимум. Следовательно, (Iі , & ) удовлетворяет критерию (2.6). Таким образом внутренняя задача оптимизации циклических перевозок в логистических системах решена. 2.3. Условия существования ситуаций равновесия по Нэшу в чистых стратегиях
Так как по условию 4) функция интенсивности потребления Ь[(-) непрерывна на множестве А] х А х ... х А3, 5=1, ...,п, то из утверждения 1, учитывая виды (2.20), следует, что функции /2 (Qi,-) и /з (ФІ ) будут непрерывными в совокупности по всем своим переменным. Поэтому функция (2.21), как сумма непрерывных функций, будет непрерывной на всем множестве ситуаций игры А [33, 56]. Покажем, что функция (2.20) каждой фирмы / = 1,..., N будет вогнутой по стратегии { ЗІ}"=і на А .
Доказательство. Так как функция bls(-) I = 1,...,N, s = 1,...,я не зависит от цены ps, то она так же не будет зависеть от 5-ой компоненты внешних стратегий всех фирм (Ql,Ql,...,Qs) и будет являться константой. И, как следствие, функции fil(Ql3) и / (Qi) будут зависеть от внешних стратегий линейным образом. Поэтому функция выигрыша (2.21) каждой фирмы / = 1,...,N будет состоять из вогнутых функций по внешней стратегии (Q[,Ql2,..., Qln) на выпуклом компакте А при фиксированных стратегиях других фирм QJ1, s = 1, ...,я и будет непрерывной на всем множестве А (доказательство аналогично доказательству теоремы 2). Отсюда следует, что в игре (2.17) существует равновесная ситуация в чистых стратегиях.
Пример игровой модели циклической перевозки для случая количественной конкуренции
Основная ситуация в теории управления запасами всегда конфликтна: чем больше запас, тем меньше вероятность неудовлетворенного спроса (или дефицита), но с другой стороны, тем больше логистические издержки, связанные с хранением, потери из-за старения или порчи. Возникновение теории управления запасами связано с работами Ф. Харриса, Р. Уилсона и Ф. Эджоурта, в которых исследовалась простейшая оптимизационная модель для определения экономического размера заказа EOQ (Economic Order Quantity) при детерминированном спросе. После них Т. Уайтииом был разработан стохастический вариант простой модели размера партии заказа. Из ранних работ в дайной области нужно отметить книги Дж. Хедли и Уйатина [57], Ф. Хэнссменна [60], Ю. И. Рыжикова [49], Дж. Буканаи Э. Кенисберга [2], А. Л. Первозванского [44], Г. Б. Рубальского [48], Г. Я. Шаховой [61]. В них описаны модели оптимального управления материальными запасами, которые приобрели характер классических результатов, например, формулы Уильсона для определения EOQ при детерминированном спросе и их обобщения; модели оперативного управления запасами при случайном спросе и модели управления запасами в системе с периодическими проверками при случайном спросе; динамические модели управления запасами, основанные на принципе оптимальности Белл-мана и т.д. В теории управления запасами выделяют три системы регулирования [15, 16, 28]: 1) релаксационный метод, основанный на системе регулирования запасов с фиксированным размером заказа (fixed order quantity system); 2) периодический метод, основанный на системе регулирования с фиксированной периодичностью заказа; 3) двухуровневая система регулирования запасов (система «минимум-максимум»). Модели управления материальными запасами можно классифицировать по следующим признакам [19, 47, 50, 51, 53]: 1. По числу компонентов: - однономенклатурные (однопродуктовые); - мпогономенклатур-ные (многопродуктовые); 2. По топологии: - локальные (один склад); - эшелонированные складские системы (последовательные склады, параллельные склады, последовательно-параллельные склады); 3. По поведению во времени: - статические; - динамические; 4. По степени определенности параметров модели: -детерминированные; - стохастические; - неопределенные (полная неопределенность); 5. По характеру пополнения и потребления запасов: - стационарные или нестационарные; - детерминированные или стохастические; - дискретные или непрерывные; - коррелиро ванные или некоррелированные; 6. По характеру ограничений: - критериальные; - прочие; 7. По характеру целевой функции: - линейные; - нелинейные.
Определенный класс задач управления материальными запасами описываются динамическими сетевыми моделями. Так, например, можно привести системы снабжения, транспортные системы, системы производства-распределения, где учитываются следующие факторы: 1) объем потребления; 2) действующие транзитные или заказные нормы; 3) величина транспортно-заготовительных расходов; 4) уровень материальных запасов (производственных и товарных). Одно из основных направлений улучшения использования материальных запасов - это экономически оправданная концентрация их на снабженческо-сбытовых орга пизациях и предприятиях-поставщиках. Вопросам выбора формы снабжения (оптимизации потоков на сети) посвящены исследования Ю. И. Мошинского [42], Э. 10. Локшина [29], II. Д. Фасоляка [55], Б. Л. Геронимуса [12, 13], В. Т. Наумика [41], Г. Н. Чеботаревой [66], II. А. Товбина [52], Е. А. Хруцкого, В. А. Саковича, С. П. Колосова [59], В. М. Лагуткина [27]. Новые результаты в этой области получены в работах [24, 64, 65].
Разнообразие действительных условий осуществления логистических процессов в производственных и коммерческих структурах, наличие внутренних и внешних возмущений создают множество задач управления запасами. В настоящее время теория управления запасами предлагает для практического использования различные математические методы и модели, развивающиеся по следующим тенденциям: Анализ многопродуктовых логистических систем с коррелированным и некорреливапным спросом [30, 31, 32, 71]; Исследование систем управления запасами с частично наблюдаемым спросом [32]; Исследование игровых задач управления запасами [3, 35, 70, 79, 80]; Развитие статистических методов и подходов, стохастических моделей управления логистическими системами [20, 32, 36, 48, 69]; Исследование систем управления запасами в условиях неопределенности [14, 43, 63, 64]. Предлагаются модели управления запасами, основанные на современных методах и под ходах аппарата теории стохастической оптимизации, динамического программирования, мар ковских процессов и т.д, Множество экономико-математических моделей управления запа сами рассматриваются в [1, 17, 25, 37, 38, 39, 40, 46, 76].
Таким образом, в современной теории оптимизации логистических процессов (теории управления запасами) разработано множество моделей, предлагающих оптимальное управление в детерминированных PI стохастических средах. Но при моделировании большинства задач управления запасами не учитывается одна важная сторона - конкурентная рыночная среда, в которой конкурируют несколько производственно-коммерческих структур (фирм). Неучет этого факта приводит к тому, что внедрение соответствующих разработанных моделей в логистические системы организационных структур оказывается нерациональным. Это вызывает необходимость применения новых научных теорий, с помощью которых возможно моделировать конфликтные ситуации. Один из возможных подходов для решения задач управления материальными запасами в условиях наличия нескольких конкурирующих фирм предлагает теория игр [5]. Теория игр позволяет анализировать принятие решений экономическими субъектами (называемыми, в соответствии с установившейся традицией, игроками) в ситуациях, когда на результат этих решений оказывают влияние действия, предпринимаемые другими экономическими субъектами.
Игровая модель оперативного управления материальными запасами при случайном спросе для случая количественной конкуренции
В детерминированной модели количественной конкуренции (см. Гл. I, 3) интенсивность потребления йі каждой фирмы зависела от цены на рынке, а, в итоге, - от объемов поставок: йі = bi(Si,S-i). И в случае стохастического спроса можно предположить, что плотность распределения и математическое ожидание спроса в течение срока выполнения заказа также будут зависеть от цен и, как следствие, от объемов поставок (внешних стратегий): fi(xt) = ji\Xi, Ьі, /Э_г) и ХІ = ХІ(ОІ, b-i), г = 1,..., N. Функция 7 (j/i) определяет затраты на оформление заказа одной партии, r}i(Ri) - функция затрат от дефицита за один цикл, &(2/», Ri) функция затрат на содержание запасов за весь период планирования ТІ. Заметим, что фирма і будет обеспечивать спрос лишь на величину 5» А, отсюда следует, что период ее планирования не будет совпадать с периодом планирования (7Ї = 1 год), при котором спроса Д будет полностью удовлетворен. А значит, нужно изменить параметр hi, определяющий затраты на хранение единицы товара за единицу времени (за 1 год). Поэтому необходимо модифицировать формулу (2.2) или (2.3), учитывая специфику потребления (поступления требований). Для этого предположим, что затраты на содержание единицы запасов во времени определяются функцией /ij(-) по формуле hi(U) = hi «І Є [0, ТІ], і =1,..., N. Очевидно, что fti(O) = 0, hi(Ti) = h. Функция спроса Д( ) во временном интервале можно характеризовать двумя случаями: в первом случае спрос носит равномерный характер за период 7J: Д(&) = А\ U Є [О, Tj]; во втором случае спрос носит неравномерный характер за период Tf. Д({) = D + 5i(U), U Є [0, ТІ], 5i(U) - некоторая регулярная функция на отрезке [0,7J-], 5,-(0) — О, &(7Ї) = 0. Функция Д(-) неубывающая и Д(0) = 0, Д(7]) = Д. Равномерный спрос является лишь случаем неравномерного, поэтому случай неравномерного спроса является более общим случаем.
Суть процедуры численного решения системи уравнении (2.9) и (2.10) или (2.11) и (2.12) для каждого г — 1,...,АГ состоит в следующем. В качестве первого приближении стратегии у, выбирается значение //,(5,), т.е. //) = //,(5,-). Это значение подставляют и уравнение (2.10) или (2.12) для вычисления первого приближении В) . Далее полученное значение /г,- подставляют в (2.9) или (2.11) дли определения второго приближения //,- , его используют снова в уравнении (2.10) или (2.12) дли определения второго приближения В] и т.д. Если система уравнений (2.9) и (2.10) пли (2.11) и (2.12) имеет решение, то данная итеративная процедура будет сходиться к этому решению.
Дли того, чтобы доказать сходимость даіпюіі процедуры, предположим, что система уравнении (2.9) и (2.10) или (2.11) и (2.12) имеет решение, т.е. графики соответствующих функции (2.13) и (2.14) будут пересекаться (см. рис. 4). Графики соответствуют случаю, когда спрос задан нормальным законом распределения. Для графика, функции (2.13) прямая //,- = //,(5,) является асимптотой.
Сначала для определения значения Щ используется уравнение (2.14) при уі = у\ . Полученное Щ подставляется в (2.13) для вычисления у І = у\\ Таким образом, из точки (у\ ,R\ ) на кривой 2, описываемой (2.14), переходим к точке (у\ , R\ ) на кривой 1, описываемой (2.13). Далее значение у\ используется в уравнении (2.14) для вычисления Щ , т.е. от точки (у\ , Щ ) на кривой 1 переходим к (у\ , Щ ) на кривой 2. Очевидно, последовательность переходов точек (у, Щ ) на кривой 2 к точкам (у І , В. ) на кривой 1 сходится к пересечению (к общей точке) двух графиков (y (St, 5_j), R (Si, S-i)) при т — оо, которое является решением системы (2.9) и (2.10) или (2.11) и (2.12). Таким образом, функции наклонов обеих кривых принимают разные значения на отрезке [Щ,Щ ], поэтому они не имеют общих частей на этом интервале. В тоже время, кривая функции (2.14) будет параллельна оси ORi, так угол наклона равен нулю, а наклон кривой функции (2.13) отрицателен на [Л , R\ \. Отсюда следует, что они пересекаются на этом интервале в конечном числе точек, т. е. система уравнений (2.9) и (2.10) или (2.11) и (2.12) имеет конечное число решений. Получили противоречие, так как стационарных точек (Xy (Si, S-І) + (1-\)у №, S-І), XR (Si, S-І) + (1-X)R (Si, S-i)) бесконечное множество. Из этого противоречия следует, что функция ПІ(5;, 5_j, УІ, Ri) имеет только одну стационарную точку и для случая ее нестрогой вогнутости при выполнении условия (2.7). Таким образом, решением внутренней задачи оптимизации логистических процессов при оперативном управлении материальными запасами (критерия (А)), когда спрос носит вероятностный характер для каждой фирмы і, і = 1,..., N, является решение системы уравнений (2.9) и (2.10) или (2.11) и (2.12), если выполнены условия (2.7) и (2.8) в теореме 1, кроме того это решение будет единственным. Но возможно, что стационарная точка не будет принадлежать множеству внутренних стратегий О) х Щ , в таком случае максимум будет достигаться на границах данной области. Если не выполнены условия (2.7) и (2.8), то максимум функции прибыли Ui(Si, S-i,yi, Ri) также будет достигаться на границах П,- х П,- . В случаях, когда максимум достигается на границах множества внутренних стратегий, оптимальная внутренняя стратегия (у , Щ) не будет зависеть от внешних стратегий (Si, S-i).
Решение внутренней задачи для случая, когда спрос носит равномерный характер во времени для всех фирм. Таким образом, мы получили два случая решения задачи оперативного управления материальными запасами при случайном спросе (критерия (А)) для каждой фирмы г, і = 1,..., N: в первом случае оптимальная внутренняя стратегия, являющаяся решением системы (2.9) и (2.10) или (2.11) и (2.12) и стационарной точкой функции (2.5), зависит от внешних стратегий всех игроков (Si, S-i); во втором случае оптимальная внутренняя стратегия принимает значения на границах и- хщ и не зависит от (Si, S_,).
