Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Модели формирования коалиций . 22
1.1. Постановка задачи и формальное описание модели 22
1.2. Множество равновесий Нэша в зависимости от числа коалиций 27
1.3. Устойчивость равновесий Нэша
1.3.1. Устойчивость к локальному объединению 39
1.3.2. Устойчивость к расколу 48
Глава 2. Модели участия в голосовании. Множество равновесий в смешанных стратегиях .
2.1. Описание модели, существование равновесий в чистых стратегиях 57
2.2. Симметричные смешанные равновесия 58
2.3. Несимметричные равновесия 97
2.3.1. Частично смешанные равновесия 99
2.3.2. Полное описание множества смешанных равновесий для малой численности участников
Глава 3. Модели участия в голосовании. Устойчивость и свойства смешанных равновесий, анализ альтернативного механизма голосования .
3.1. Введение и постановка задачи 125
3.2.Локальная устойчивость частично смешанных равновесий 126
3.2.1. Модель адаптивного поведения при координации избирателей 126
3.2.2. Модель адаптивного поведения без координации избирателей 128
3.2.3. Модель фиктивного разыгрывания 139
3.3. Ожидаемые исходы голосования при равновесном поведении 145
3.3.1. Об оценке относительных издержек 145
3.3.2. Ожидаемый исход голосования и выборные парадоксы 146
3.4. Альтернативный механизм голосования 159
Заключение 172
Список литературы
- Устойчивость равновесий Нэша
- Устойчивость к расколу
- Симметричные смешанные равновесия
- Модель адаптивного поведения при координации избирателей
Введение к работе
Актуальность темы
В современном мире одним из важнейших способов принятия коллективных решений являются выборы. Они происходят как в политической, так и во многих других сферах жизни общества: в корпоративной, культурной и даже бытовой. В качестве примеров можно привести ситуацию принятия решения советом директоров корпорации, выборы победителей различных конкурсов. Сам выборный процесс можно разделить на два этапа. На первом этапе формируется коалиционная структура: участники разбиваются на группы, в рамках которых все их члены придерживаются единой позиции. На втором этапе происходит собственно голосование, в котором принимают участие группы сторонников каждой из альтернатив, сформировавшиеся на первом этапе. В настоящей работе рассматриваются два класса теоретико-игровых моделей, соответствующие указанным этапам выборного процесса.
Для описания первого этапа используются модели эндогенного формирования коалиций. Подобные модели предполагают, что участники выборного процесса (агенты) характеризуются идеальными точками, описывающими их предпочтения на некотором множестве. Из этого же множества участники каждой из коалиций выбирают политику своей коалиции (чаще всего это медиана распределения её сторонников). Чем ближе идеальная точка агента к политике коалиции и чем больше её размер, тем больше выигрыш агента. В литературе, посвященной исследованию формирования коалиций, рассматриваются равновесные по Нэшу наборы стратегий и соответствующие им распределения агентов по коалициям (совокупность таких распределений для всех коалиций задает коалиционную структуру). Важным вопросом является устойчивость коалиционных структур к различным типам коалиционных отклонений (сильное равновесие \ Р-ядро, квазиустойчивость 2).
В настоящей работе выполнен анализ равновесий Нэша и соответствующих им коалиционных структур, исследуется устойчивость к расколу и объединению существующих коалиций для модели эндогенного формирования коалиций, изучавшейся в работах А.А. Васина, Ю.В. Сосиной и Д.С. Степанова. В указанных работах остались нераскрытыми вопросы суще-
1 R.J. Aumann. The core of a cooperative game without side payments // Transactions of American
Mathematical Society, 1961
2 A. Savvateev. Achieving Stability in Heterogeneous Societies: multi-jurisdictional structures, and
redistribution policies // Moscow: EERC, 2005
ствования, вычисления и устойчивости равновесий Нэша в случае неравномерности распределения участников на множестве идеальных точек.
Как только коалиционная структура сформирована, определяется и множество альтернатив, из которых будут выбирать участники выборного процесса. На практике многие такие выборы могут быть сведены к голосованию при наличии двух альтернатив. Несмотря на то, что существует достаточно большое количество процедур голосования 3 4, наиболее распространенным является голосование по правилу простого большинства. Модели такого голосования рассматривались в работах таких авторов, как Т.Palfrey, H.Rosenthal 5 6, М. Haan, P. Kooreman 7. В этих работах было показано отсутствие равновесий Нэша в чистых стратегиях при неравных количествах сторонников альтернатив, а также найдены отдельные смешанные равновесия специального вида. Однако изучение множества всех смешанных равновесий Нэша, их количества и свойств в указанных работах не проводилось. В настоящей работе показано, что количество смешанных равновесий в исследуемой модели весьма велико. Это приводит к необходимости рассмотрения вопроса, какие из них наиболее соответствуют реальному поведению при голосовании. Для его решения рассматриваются модели динамики поведения, которые позволяют выделить среди точек равновесия устойчивые и неустойчивые. Актуальным и не исследованным прежде вопросом является устойчивость смешанных равновесий относительно различных динамик поведения (динамика адаптивного поведения, динамика фиктивного разыгрывания). Анализ всех этих вопросов является актуальной научной проблемой.
Цели работы — построение и исследование теоретико-игровых моделей формирования коалиций и участия в голосовании, анализ свойств равновесий Нэша, возникающих в этих моделях, в том числе их устойчивости.
Задачи работы
определить структуру множества равновесий Нэша теоретико-игровых моделей эндогенного формирования коалиций в случае неравно-
3 Алескеров Ф.Т., Ордешук П. Выборы. Голосование. Партии // М.: Академия, 1995
4 F.T. Aleskerov, V.I. Yakuba, D.S. Karabekyan, R.M. Sanver. On the manipulability of voting rules: the
case of 4 and 5 alternatives // Mathematical Social Sciences, 2012. Vol. 64. № 1. pp. 67—73
5 T.R.Palfrey, H.Rosenthal. A strategic calculus of voting // Public Choice, Vol. 41 (1), 1983, pp 7-53
6 T.R.Palfrey, H.Rosenthal. Voter Participation and Strategic Uncertainty // The American Political
Science Review, Vol. 79 (1), March 1985, pp. 62-78
7 Haan M., Kooreman P. How majorities can lose the election. Another voting paradox // Social Choice
and Welfare, Springer, Vol. 20, 2003
мерного распределения участников по идеальным точкам и исследовать их устойчивость к основным типам коалиционных отклонений;
для теоретико-игровой модели голосования с двумя альтернативами определить множество смешанных равновесий Нэша в зависимости от параметров модели (численности голосующих, их выигрышей и затрат на участие в голосовании) и исследовать сходимость к найденным смешанным равновесиям динамики адаптивного поведения и динамики фиктивного разыгрывания
Методы исследования.
Используются методы теории игр, теории оптимизации, теории устойчивости по Ляпунову стационарных точек систем дифференциальных уравнений.
Научная новизна
Для модели эндогенного формирования коалиций с неравномерным распределением агентов на одномерном множестве идеальных точек получены условия существования и разработан алгоритм вычисления равновесий Нэша, найдены условия локальной устойчивости полученных равновесий для функций выигрыша общего вида.
Для модели голосования с двумя альтернативами полностью исследовано множество симметричных смешанных равновесий в зависимости от соотношения затрат и выигрыша от участия в голосовании (относительных издержек). Показано, что при любом их соотношении существуют не более двух таких равновесий. Исследована адаптивная динамика поведения в окрестности подобных равновесий в предположении координированного поведения сторонников каждой из альтернатив.
Для модели голосования с малой численностью участников (два сторонника одной альтернативы, три сторонника другой) полностью исследовано множество всех смешанных равновесий Нэша. Исследована динамика поведения участников голосования в окрестности этих равновесий в отсутствие координации поведении участников.
Построена новая модель последовательного голосования избирателей. Показано существование единственного совершенного подыгрового равновесия, исследованы его свойства.
Практическая ценность
Работа имеет теоретический характер и вносит вклад в математическую теорию игр. Полученные в Главе 1 результаты могут быть использованы при построении и анализе моделей самоорганизации граждан, рассматриваемых в экономической географии и политологии для исследования
устойчивости соответствующих коалиционных структур. Результаты Главы 2 могут быть применены в теории общественного выбора, а также в политологии для анализа электорального поведения граждан и оценки исходов реальных голосований.
Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в 8 работах [1-8], в том числе [1-3] - статьи в реферируемых журналах, рекомендованных ВАК РФ для публикации научных результатов кандидатских диссертаций.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на научных семинарах факультета ВМиК МГУ им. Ломоносова, на XVIII, XIX, XX Международных научных конференциях студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов» (МГУ, Москва, 2010, 2011, 2012), научной конференции «Тихоновские чтения» (МГУ, Москва, 2012), на XIII Апрельской международной конференции по проблемам развития экономики и общества (НИУ ВШЭ, Москва, 2012), на Втором Российском Экономическом Конгрессе (Суздаль, 2013), на XIV Апрельской международной конференции «Модернизация экономики и общества» (НИУ ВШЭ, Москва, 2013), а также на научной конференции «Ломоносовские чтения - 2013» (МГУ, Москва, 2013)
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, состоящего из 66 наименований. Объем работы 179 страниц.
Устойчивость равновесий Нэша
В Главе 1 диссертации вопрос формирования коалиций рассмотрен с точки зрения теории игр. Взаимодействие членов общества, связанное с его разделением на коалиции, рассматривается в виде игры в нормальной форме с большим количеством игроков. В главе приводится формальное описание этой теоретико-игровой модели и проводится исследование соответствующих теоретико-игровых задач. В рассматриваемой модели общество представляет собой множество игроков-агентов. Агенты описываются идеальными точками, распределенными на некотором множестве (в данном случае - отрезке числовой прямой) и характеризующими предпочтения агентов на этом множестве. Интерпретация понятия идеальной точки агента зависит от конкретной области применения модели: это может быть, например, его место жительства или наиболее близкая ему политическая программа. Стратегией каждого агента в рассматриваемой модели является выбор коалиции, к которой он собирается присоединиться.
Под коалициями понимаются подмножества множества игроков (и множества идеальных точек этих игроков). Каждой коалиции ставится в соответствие её политика - идеальная точка, описывающая «агрегированные» предпочтения всех её членов. В данной работе политика коалиции определяется как идеальная точка её медианного члена. Функция выигрыша агента при присоединении к коалиции зависит от расстояния между его идеальной точкой и точкой, соответствующей выбору коалиции, а также от размера этой коалиции. При этом предполагается, что чем больше размер коалиции и чем ближе идеальная точка агента к её выбору, тем больше выигрыш агента.
Целью данной главы является исследование вопросов существования, количества и устойчивости равновесий Нэша к расколу и объединению входящих в него коалиций при неравномерном распределении агентов. Основные результаты, приведенные в данной главе, касаются случая функций выигрыша общего вида и распределений с монотонной функцией плотности.
Глава имеет следующую структуру. В разделе 1.2 приведено формальное описание исследуемой модели. В разделе 1.3 исследуется существование и устойчивость равновесий Нэша, возникающих в описанной модели. В частности, в подразделе 1.3.1 исследуется вопрос существования равновесий Нэша и их количества. Подраздел 1.3.2 посвящен исследованию устойчивости равновесий к расколу, а подраздел 1.3.3 описывает условия устойчивости равновесий к локальному объединению. Приведем формальное описание игры. Множество идеальных точек агентов представляет собой отрезок X = [0,1]. Распределение агентов по идеальным точкам описывается функцией плотности f(x). Далее предполагается, что /( ) монотонно не убывает. Обозначим F(x) = jf(x)dx функцию распределения агентов по идеальным точкам. Каждый агент выбирает стратегию из множества 10 ={0,1,...,JV}, представляющего собой конечный набор меток: «Коалиция 1», «Коалиция 2», …, «Коалиция /», …, «Коалиция N». Выбирая одну из меток, агент присоединяется к соответствующей коалиции, или же воздерживается, не вступая ни в одну из них (что соответствует метке «0»). Набор стратегий всех агентов задает множество непустых коалиций 7 и набор функций ft(x) плотности распределения на множестве X агентов, выбравших коалицию /Є7І І{0}. Рассматриваются такие наборы стратегий, что каждой коалиции соответствует интегрируемая функция ft (JC) . Размер rt коалиции / 1 пропорционален доле ее сторонников (гг. = if xjdx), а её итоговая политика pt определяется как медиана распределения с плотностью ft (х): Выигрыш агента с идеальной точкой х в случае, если он присоединяется к коалиции / с размером rt и политикой Д, равен и{х,г{,р = К{г -Ь\\х- рП, где L(-), R(-) - дважды дифференцируемые и возрастающие по своим аргументам функции. Выигрыш, получаемый агентом в случае неприсоединения ни к одной из коалиций, считается нулевым. В силу содержательных особенностей модели будем полагать функцию Д(-) вогнутой, а функцию L(-) - выпуклой. Равновесием Нэша в рассматриваемой модели является такой набор стратегий агентов, в котором каждый из них присоединяется к той коалиции, в которой он имеет максимальный выигрыш, либо воздерживается от присоединения, если это является наилучшим выбором, при условии, что остальные не изменяют своего выбора:
Регулярным равновесием Нэша называется такое равновесие, в котором политики всех коалиций различны. Так как нерегулярные равновесия заведомо неустойчивы к объединению коалиций с одинаковыми политиками, далее рассматриваются только регулярные равновесия.
Следующее утверждение, доказанное в работе [63], описывает структуру регулярного равновесия. Утверждение (о структуре регулярного равновесия) (Сосина, 2006). Если выпукла, то в регулярном равновесии Нэша каждой коалиции 7 соответствует единственный интервал , такой что и , где - замыкание . Таким образом, множество в регулярном равновесии разбивается на конечное число непересекающихся интервалов , 7, и множество , где однозначно (с точностью до множества игроков меры нуль) соответствует множеству игроков, присоединившихся к коалиции , а - множеству игроков, воздержавшихся от присоединения к коалициям. Далее интервал Xt, і єі, будем называть носителем коалиции / . Также далее рассматриваются только такие наборы стратегий, в которых разным коалициям соответствуют носители - непересекающиеся интервалы. Совокупность всех интервалов, являющихся носителями коалиций, а также интервалов, соответствующие агентам, воздерживающимся от присоединения, будем называть коалиционной структурой.
Устойчивость к расколу
В данной главе исследуется теоретико-игровая модель голосования двух групп избирателей, каждая из которых поддерживает своего кандидата. Предполагается, что разбиение на группы известно заранее. В исследуемой модели стратегия каждого избирателя - принимать или не принимать участия в голосовании, при этом в случае участия он несет фиксированные издержки, не зависящие от исхода голосования. В случае победы «своего» кандидата избиратель получает фиксированный выигрыш, превышающий его затраты на участие в голосовании. Главное отличие постановки задачи в данной работе от предыдущих работ заключается в существенном ослаблении ограничений на численности сторонников каждого из кандидатов. Единственным предположением является то, что численность сторонников второго кандидата не меньше численности сторонников первого.
Рассмотрим следующую математическую модель участия избирателей в голосования. Пусть в выборах участвуют два кандидата. Избиратели делятся на две группы в зависимости от того, кого из кандидатов они поддерживают. Каждая группа избирателей характеризуется своей численностью (в первой группе - iV1 участников, во второй -N2 ,N2 N1). Обозначим с., z = 1,2, затраты избирателя из группы і на участие в выборах (одинаковые для всех членов группы). Если побеждает кандидат і, то его сторонники получают выигрыши а . Если он терпит поражение, то его сторонники теряют столько же. В случае равенства голосов выигрыш любого участника равен нулю. Таким образом, выигрыш к-го избирателя из первой группы, если он не участвует в голосовании, равен где п2 обозначает число участвующих в голосовании сторонников второго кандидата, а /1 - количество голосующих сторонников первого кандидата за исключением к -го избирателя. Его выигрыш в случае участия равен f? (1, п2 О) = 1ignf1 - п2 +1). Аналогичный вид имеет функция f2 {щ,п2 у) выигрыша / -го участника второй группы, j = 0,1 . Таким образом, взаимодействие избирателей описано в виде игры в нормальной форме с Л + N2 игроками. Равновесием Нэша в рассматриваемой модели является такая ситуация, что никому из избирателей невыгодно индивидуально изменять свое решение об участии в голосовании при фиксированном поведении остальных участников. Заметим, что если для некоторой группы относительные издержки с мл = — 1, то для любого её участника неучастие в голосовании является доминирующей стратегией: для любых и,/ = 1,2 f1{n1,n2 1) {п1,п2 0). Поэтому далее рассматривается случай мл є(0,1) для / = 1,2. В работах [25] и [36] был получен следующий результат относительно существования равновесий Нэша. Утверждение ([25], [36]). В исследуемой модели равновесие Нэша в чистых стратегиях существует тогда и только тогда, когда N1=N2. В этом случае единственным равновесием является ситуация, при которой все избиратели принимают участие в голосовании.
Как следует из данного утверждения, при неравной численности групп равновесия Нэша в чистых стратегиях не существует. Таким образом, в дальнейшем основным объектом изучения являются равновесия Нэша в смешанных стратегиях, их количество и свойства.
Смешанная стратегия к-го избирателя первой группы задаётся вероятностью рк, а смешанная стратегия /-го избирателя второй группы вероятностью Чі его участия в выборах. Обозначим p = (pk,k = 1,...,N1) и q = ( /;,/= 1,...,iV2) . Тогда n1 и n2 - случайные величины, зависящие от p и q соответственно. Утверждение 2.1. Вероятности участия избирателей из первой и второй групп во вполне смешанном равновесии определяются из системы уравнений: \P(n1+1 = n2) + P(n1=n2) = w1jGA1 \Р(пк2 + 1 = 1) + Р\2 = n1) = w2,k є 2 Доказательство. Ожидаемый выигрыш произвольного члена к первой группы в случае участия в голосовании равен Fk (p,q1) = a1( p[1 +1 п2)-Р[1 +1 п2))-с1, а в случае неучастия Ff (p, q 0) = а1 (р (1 п2) - Р (1 п2 )) . Аналогичные выражения описывают ожидаемый выигрыш произвольного участника второй группы, в случае участия в голосовании он равен Fl2 (p, q 1) = а2 (р {rl2 +1 1) - Р (п 2 +1 1)) - с2, а в случае неучастия - F2 (p,q 0) = а2 (р(п2 1 -р(п2 1).
Для поиска вполне смешанных равновесий воспользуемся известным свойством равновесия Нэша (см. [55]): каждый игрок использует с положительной вероятностью только те чистые стратегии, которые дают ему наибольший выигрыш при фиксированном поведении остальных игроков. Тогда их смешанные стратегии находятся из системы уравнений, описывающей условие равенства выигрышей в случае неучастия и участия в голосовании:
Исследуем симметричные смешанные равновесия - равновесия, в которых любой избиратель из второй группы принимает участие в голосовании с одинаковой вероятностью q, а избиратель из первой группы - с вероятностью Р . Тогда все случайные величины 1 , keA1, имеют одинаковое биномиальное распределение, как и п 2, 1еА2. Это позволяет рассматривать только две случайные величины - 1 и й2, описывающих количество голосующих сторонников кандидатов 1 и 2 за исключением любого одного из них. Обозначим Х В(п,р) биномиально распределенную случайную величину с числом испытаний п и вероятностью успеха р.
Симметричные смешанные равновесия
Предположим, что для той же пары (p,q) —2(p,q) 0. Это эквивалентно тому, что при рассматриваемом значении р q = qlm (р) q2m {р), что возможно лишь при р р0 . В свою очередь, так как р = p2J(q),p0 = pl,(q0), последнее неравенство записывается в виде Pm{q) Рт{Чо), откуда в силу монотонного возрастания функции pl,(-) следует, что q q0. Это противоречит исходному предположению о том, что
Согласно Утверждению 2.2, значение w является пороговым: если w w, существуют два вполне смешанных равновесия (p ,q ) и (p 2,q 2), причем p =1-q ,p =1-p 2, и р - корень уравнения 01(p,1-p) = w. Так как функция Ф1(р,1 — р) является унимодальной с единственным максимумом в точке р0, равным w, то других корней, кроме р1 и р2, это уравнение не имеет. Рассмотрим случай w w. В этом случае ни одно из уравнений системы (2.9) при p + q = 1 не имеет решений, так как Ф1(р,1-р) = Ф2(р,1-р) м . Следовательно, в этом случае для любого равновесия р + дФ1, и в системе (2.2), приведенной к виду (2.9), можно сократить в первом уравнении множитель p + q-1. Таким образом, равновесие определяется из системы
Подставив во второе уравнение р = р ( ), получаем, что равновесные стратегии второй группы являются решениями уравнения Ф2( (д),д) = іі на интервале (0, ), то есть f2(q) = w. Согласно Лемме 2.7, функция f2(q) убывает при qG(q0,q2nc\ и возрастает при дє(0,д0), следовательно, для любого WG(W,/2 (q2„cr)) уравнение f2 (g) = w имеет ровно два решения (на рис. 2.4 они обозначены q H и q L), а при w є (f2 (q2cr),1) - только одно решение. Для каждого из этих решений соответствующее равновесное значение р определяется однозначно из условия р = р2т lq j.
Таким образом, при w w существует не более двух равновесий. Из Леммы 2.10 следует, что они являются ИИ- и LL-равновесиями. Более того, если равновесная стратегия второй группы q q0, то (p ,q j - это НИ равновесие, в противном случае равновесие имеет тип LL . Пусть w w. Согласно Утверждению 2.2, в этом случае существуют два вполне смешанных равновесия ip1 ,q1 ) и (p 2,q 2), причем р = 1 — q ,i = 1,2, и р1,р2 - корни уравнения ФЛр,1-р\ = w, р1 р2. Как уже было сказано, других корней, кроме р1 и р2, это уравнение не имеет. Кроме того, в силу унимодальности Ф1(р,1 — р) р1 и р2 лежат по разные стороны от её точки максимума р0. Согласно Лемме 2.9, (p1 ,q1 ) - HL -равновесие, (p 2,q 2) - Ш-равновесие. Покажем, что при w w других равновесий нет.
Предположим, что существует другое равновесие, обозначим его (p ,q ) . Согласно Лемме 2.2, для него справедливо хотя бы одно из двух условий: либо + =1, либо 2(/ , Л = 0. F ч дрУ Согласно предположению, не совпадает ни с одним из равновесий (p ,q ), г=1,2, следовательно, первое равенство не может быть для него выполнено. В самом деле, если бы это было так, то выполнялось бы равенство Ф2 (p ,q ) = Ф2 (р ,1-р ) = w. Однако, как следует из Леммы 2.2, в этом случае Ф1(р ,д ) = Ф1(р ,1-р ) = Ф2(р ,1-p ) = w и р являлось бы корнем уравнения Ф1(р,1-р) = w. Однако это уравнение не имеет других корней, кроме р , і = 1,2. Таким образом, p + q 1. Следовательно
Уравнение (p,q) = 0 имеет решение относительно р только при q (0,q2cr), и этим решением является p2 m(q) . Таким образом, р = р2т (q ). Подставляя эти значения в систему (2.2), получим, что Ф2(/ (q \q ) = w, или, с учетом обозначений, введенных ранее, /2 (q j = w. Рисунок 2.9. Вид функции /2 (д) = тахФ2 (p,q) Заметим, что qfncr=q, следовательно, согласно Лемме 2.8, на рассматриваемом интервале \0,qf) функция /2(д) = тахФ2(/?,д) является унимодальной с единственным минимумом, достигающимся в точке q0 (рис. 2.9). Следовательно, для любого w w уравнение f2(q) = w не имеет решений из интервала дє(0,д сг), так как min f2(q) = w. Это противоречит предположению о том, что f2(q ) = w. Таким образом, при w w не существует вполне смешанных равновесий, отличных от (pl,ql) и (p 2,q 2) .
Таким образом, это единственный возможный случай, когда равновесия всех четырех типов могут существовать одновременно. Исследуем поведение при больших численностях участников голосования равновесий типов LH и HL , возникающих при малых относительных издержках. Опишем асимптотику поведения порогового значения w при
Как следует из Утверждения 2.6, с ростом численности избирателей пороговое значение w относительных издержек убывает, стремясь к нулю при #,.- оо, 1 = 1,2. Исследуем поведение равновесных значений р и q как функций относительных издержек w . Для них справедливо следующее утверждение.
Система (2.8) является линейной относительно неизвестных значений р" (w) и g (w), при этом её матрицей является матрица Якоби системы (2.2) в точке равновесия 1р (w),q (w)). Из системы (2.11) можно определить производные равновесных стратегий первой и второй групп избирателей по значению из предельных издержек. Так как всего возможны 4 типа равновесий, то для каждого из них производные /? (w) и g (w) имеют, вообще говоря, разный вид. В зависимости от значения относительных издержек рассмотрим два случая, соответствующих множествам (0, w) и (w,1). 1. w є (0, w) . При любом w из рассматриваемого интервала р (w) + q (w) = 1, / = 1,2. Так как 01(p,q) = 02(p,q) при p + q = 1, то матрица Якоби системы (2.2) вырождена в точке (р {w),q (w)), а р (w) = -q (w). Обозначим: Ф(р) = Ф1(р,1-р) = С +щ_1рщ 1-р)щ 1+С +щ_1рщ-11-р)щ . Тогда при любом фиксированном w значения p (w) определяются из уравнения Ф(р) = м . При этом, согласно Теореме о неявно заданной функции, на интервале (0, ) как p1 (w , так и p 2(w) являются непрерывными и дифференцируемыми функциями аргумента
Модель адаптивного поведения при координации избирателей
Так как в равновесии типа LH f О, то в случае положительности дискриминанта оба корня являются действительными и отрицательными, и стационарная точка, соответствующая равновесию, является устойчивым узлом. Если же дискриминант отрицателен, то собственные значения якобиана являются парой комплексно сопряженных чисел с отрицательной действительной частью. Таким собственным значениям соответствует стационарная точка типа устойчивого фокуса. В равновесии типа HL, напротив, / 0, и стационарная точка системы (3.1), соответствующая равновесию является неустойчивым узлом или неустойчивым фокусом. оба отрицательны, поэтому ему соответствует точка покоя (3.1) типа устойчивый узел. Аналогично, равновесию типа LL соответствует неустойчивый узел системы (3.1). Таким образом, из Утверждения 3.1 следует, что при любом значении относительных издержек w одно из симметричных равновесий является локально устойчивой стационарной точкой системы (3.1).
В отсутствии предположения о координации система, аналогичная (3.1), состоит из Л + N2 уравнений и имеет вид: где фь(р,q) = Р(р[ =п2) + Р(п[ +\ = n2)-w - разность ожидаемых выигрышей / -го участника первой группы в случае его участия и неучастия в голосовании, / 2j (р, q) - аналогичная величина для j -го участника второй группы.
Исследуем её для случая Л = 2, N2 = 3, смешанные равновесия для него были полностью описаны в разделе 2.3.2 предыдущей Главы. Динамическая модель адаптивного поведения для рассматриваемой игры записывается в виде системы дифференциальных уравнений (здесь pt(t), q t) - смешанные стратегии участников первой и второй групп): \pi{t) = Рі{\- Рі)(Фи{РЛ)-)
Для того чтобы определить устойчивость равновесий каждого из типов, необходимо и достаточно найти собственные значения \,… Д5 якобиана системы (3.3) для равновесных значений д., z =1,2, и qp j = 1,2,3 . Если среди них найдется такое Лк , что Re \ 0, то данное равновесие является локально неустойчивым, в противном случае оно устойчиво.
Всякое смешанное равновесие не является устойчивым по линейному приближению для модели (3.3). Доказательство. Рассмотрим равновесия, возникающие в модели при WGW1, это равновесия (1,0,0,0,Я), (2,0,0,0,С/), (0,0,0,1,Я), (0,0,1,1,/), (0,0,2,0,С/), (0,0,2,1,С/).
Характеристический многочлен в рассматриваемом случае имеет вид: / (Я) = (Я2 - 2Я]2 + 3]22 ) (Я + j2 f (Я + j1). Два корня этого многочлена - Я = -j1 и Я = -j2 - отрицательны, однако корни многочлена Я2 — 2Я]2 + 3j2 Я = (1±/v2)y2 - имеют положительную вещественную часть. Таким образом, рассматриваемое равновесие устойчивым не является.
Его характеристический многочлен имеет вид /(1) = (_/2 + Л)(/2 + 1)(3/22 + 12)(А-/1) , таким образом, в равновесии рассматриваемого типа якобиан системы (3.3) имеет два собственных значения -Л = ±f2, одно из которых положительно. Таким образом, это равновесие не устойчиво.
Характеристический многочлен J равен / (Я) = (Я - j1) (j1 + Я) (3/ + Я2) (Я - у3) . Его корнями является пара Я = ±j1, один из которых заведомо положителен, таким образом, и равновесие типа (0,0,0,1, L) не является устойчивым. Кроме того, при w w23 существуют также смешанные симметричные равновесия типов HL и LH. Для них якобиан системы (3.3) имеет одинаковый вид:
Характеристический многочлен J равен f(X) = [X-j12)\X-j4). Его корнями является пара Л, = ±j1, один из которых заведомо положителен, таким образом, и равновесие типа (0,0,0,1, Я) не является устойчивым.
Траектории, начинающихся из окрестности любого из равновесий, могут вести себя по-разному. Так, например, на рисунке 3.1 приведен пример двух траекторий решений системы (3.3) для начальных значений из окрестностей симметричного равновесия (p ,q) типа HL . Одна из траекторий начинается в точке (p ,q ) + ej , где ] - собственный вектор, соответствующий положительному собственному значению якобиана. Эта траектория покидает окрестность симметричного равновесия и со временем образует предельный цикл вокруг равновесия типа (0,0,1,0,С/). Другая траектория, приведенная на рис. 3.1, также начинается из окрестности (p ,q j такой, что р1= р2, q1=q2=q3. Эта траектория сходится к исходному равновесию.
Она также описывает динамику адаптивного поведения, однако в предположении координации поведения участников внутри каждой из групп. Стационарными точками системы (3.4) являются смешанные симметричные равновесия исследуемой модели. Из Утверждения 3.1 при 7V1 =2 и N2 =3 следует, что при любом значении относительных издержек ровно одно из равновесий является устойчивым.
Утверждение 3.3. При w w2,3 равновесию типа LH соответствует устойчивый фокус системы (3.3), а равновесию типа HL - неустойчивый фокус. При w w23 равновесию типа НН соответствует устойчивый узел системы (3.4).
Заметим, что собственные векторы якобиана системы (3.3), соответствующие положительным собственным значениям, ортогональны множеству } . Это объясняет кажущееся противоречие между утверждениями 3.2 и 3.3: на множестве Xsym системы (3.3) и (3.4) совпадают, а таких направлений, которые бы соответствовали положительным собственным значениям якобиана системы (3. 3), во множестве Xsym нет. Рисунки 3.2 и 3.2 иллюстрируют это.
