Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Дуополия Хотеллинга в метрике Манхеттена15
1.1. Введение 15
1.2. Равновесие в модели Хотеллинга с расстоянием по Манхеттену. Дискретный случай 17
1.3. Модель Хотеллинга с расстоянием по Манхеттену. Непрерывный случай18
1.4. Оптимальное расположение фирм, асимптотическое поведение . 24
1.5. Равновесные цены в дуополии на квадрате с евклидовой метрикой 25
1.6. Задача о размещении на квадрате 29
1.7. Выводы к первой главе 32
Глава 2. Дуополия в системе обслуживания с очередями. 33
2.1. Постановка задачи 33
2.2. Теоретико-игровая модель ценообразования 34
2.3. Конкурентные потоки и общественный транспорт38
2.4. Кооперативное поведение 41
2.5. Конкуренция n игроков 43
2.6. Выводы ко второй главе 47
Глава 3. Равновесие в транспортной системе М/M/m48
3.1. Теоретико-игровая модель ценообразования в транспортной игре 48
3.2. Конкуренция игроков на сегменте 50
3.3. Затраты, в которых учитывается время нахождения в очереди. 52
3.4. Конкуренция m игроков на сегменте 54
3.5. Конкуренция m игроков на линейном маршруте 56
3.6. Конкуренция игроков на графе G3 64
3.7. Выводы к третьей главе 68
Глава 4. Равновесие в транспортной игре с BPR-задержками. 69
4.1. Введение 69
4.2. Постановка задачи 70
4.3. Транспортная игра с линейной функцией задержки71
4.4. Транспортная игра с квадратической функцией задержки . 80
4.5. Транспортная игра с нелинейной функцией задержки 86
4.6. Транспортная игра на графе Эйлера 95
4.7. Выводы к четвертой главе 100
Заключение 102
Список литературы 105
Список иллюстративного материала 110
Список таблиц 111
- Модель Хотеллинга с расстоянием по Манхеттену. Непрерывный случай
- Конкурентные потоки и общественный транспорт
- Затраты, в которых учитывается время нахождения в очереди
- Транспортная игра с линейной функцией задержки
Введение к работе
Актуальность темы исследования. Модели принятия решений занимают важное место в экономической науке. К ним относятся математические модели ценообразования, среди которых центральное место занимает дуополия Хотеллинга (Hotelling, 1929), которая учитывает местоположение фирм на рынке. В этой модели рассматривается линейный рынок, где конкурируют две фирмы, и плотность распределения покупателей на этом рынке равномерная. Каждая из фирм независимо задает цену на свой товар. После объявления цен на рынке происходит деление покупателей на два множества: тех, кто предпочитает воспользоваться услугами первой фирмы, и тех, кто предпочитает вторую фирму. Причем сам покупатель является «рациональным» и руководствуется в своем выборе затратами, которые состоят из цены на продукт и транспортных расходов. Выигрыши фирм в данной модели представляют собой доходы фирм, то есть цену на товар, умноженную на количество людей, купивших его.
В модели Хотеллинга основной проблемой является нахождение равновесных цен. Однако важной является и сама задача оптимального расположения фирм на рынке. Эта модель исследовалась затем во многих работах методами как некооперативной, так и кооперативной теории игр при исследовании пространственной конкуренции. Д’Аспремонт с соавторами в своей работе (C. D’Aspremont, J. J. Gabszewicz, J. F. Thisse, 1979) исследовал эту задачу в случае квадратичных транспортных расходов.
Хотеллинг рассмотрел модель дуополии только на линейном рынке, на плоскости и графе модель значительно усложнилась. Салоп (S. C. Salop, 1979) распространил модель "линейного"города Хотеллинга на плоскость, представив модель «кругового» города, в которой фирмы располагаются вдоль окружности на одинаковом расстоянии друг от друга. Фирмы могут входить в рынок последовательно, друг за другом. В статьях (Z. Drezner, 1982), (S. L. Hakimi, 1983) были исследованы проблемы оптимального расположения в условиях кон-
куренции на плоскости и на графе.
Эту же идею рационального поведения покупателей можно распространить на рынок пассажирских перевозок. В таких задачах поведение пассажиров влияет на интенсивности движения пассажирского транспорта. Хотя проблема математического моделирования транспортных потоков достаточно хорошо изучена (Е. А. Нурминский, Н. Б. Шамрай, 2010), (В. И. Швецов, 2003), конкурентным потокам посвящено небольшое количество работ. В работе (E. Altman, N. Shimkin, 1998) модель, связанная с функционированием системы массового обслуживания с двумя параллельными сервисами M/M/2, иллюстрирует формирование очередей у двух бензозаправочных станций, находящихся на одной трассе. Клиенты, прибывшие к обслуживающему сервису, сравнивали очереди в системе, и решали, следует ли им остановиться у одной из станций или проследовать к другой. В другой модели, исследованной в статье (E. Altman, L. Wynther, 2004), рассматривалась игра А^ лиц на сетях с разной топологией, в которых каждый игрок обслуживал заданный поток, направляя заявки из начального пункта до места назначения. В этой модели использовались полиномиальные функции затрат и было доказано, что равновесие по Нэшу единственно. В статье (М. Е. Корягин, 2006) исследуется конкуренция на рынке пассажиропере-возок, где распределение пассажиров по фирмам обслуживания определяется с помощью логит-анализа. Определен оптимальный график движения городского транспорта, который является равновесием по Нэшу в бескоалиционной игре на рынке пассажирских услуг.
Для моделирования дорожного трафика должны быть определены функции задержки на пути. Вид функции задержки может быть различным. Если рассматриваются транспортные системы с заторами, то задержка может иметь вид
с — А где с - пропускная способность канала, А - размер трафика. Такой вид задерж-
ки используется в системах массового обслуживания М/М/1. Другой популярный вид задержки - это >РД-задержка, которая впервые была использована в департаменте транспорта США (U.S. Bureau of Public Roads. Traffic Assignment Manual, 1964). Эта задержка используется во многих практических задачах. Она имеет вид
Se(Xe) = te ( 1 + (^г) )-
Здесь Se(Xe) - затраты на передвижение по ребру е и они зависят от потока на этом ребре Ле, удельных затрат на передвижение по пустому ребру te, пропускной способности ребра de. Эти параметры определяют время перемещения по данному пути е, которое зависит от числа и ширины полос движения, качества дорожного покрытия, числа светофоров и, конечно, интенсивности трафика. Основным инструментом для нахождения решения является равновесие по Вардропу (Wardrop, 1952). Идея равновесия по Вардропу состоит в том, что на дорогах, которые используются для трафика, задержки всех участников движения одинаковые. В данной работе, идея равновесия по Вардропу распространяется на случай, когда в затраты включены не только задержка на дороге, но и цены на сервис. В транспортных моделях, как и в модели Хотеллинга, затраты пассажиров можно представить как цену на билет плюс ожидаемое время обслуживания. Тогда поток пассажиров, который предполагается пуассоновским, будет разбиваться на подпотоки пассажиров, которые будут использовать различные сервисы. Данную модель можно представить, как конкуренцию между транспортными компаниями, стратегиями которых является назначение определенной цены на билет на всех отрезках их маршрутов. В этом случае, нахождение равновесия может дать рекомендации управлению транспортными перевозками: каким образом вводить маршруты в городе, какой из транспортных компаний предоставить преимущество (например, муниципальный транспорт), а самим компаниям определить оптимальное количество транспортных средств на маршруте и цены на билет.
Цели и задачи диссертационной работы. Целью диссертационной работы является построение и исследование математических моделей массового обслуживания, относящихся к задачам ценообразования и размещения для двух и более лиц в условиях конкуренции и кооперации методами теории игр. Для достижения поставленных целей были решены следующие задачи:
-
Задача ценообразования и задача о размещении в дуополии Хотеллинга на плоскости, когда расстояние представлено в метрике Манхеттена, и сделано сравнение с оптимальным решением задачи в евклидовой метрике;
-
Задача ценообразования и определение оптимальной интенсивности в игре, связанной с транспортной системой M/M/m на линейном сегменте;
-
Задача нахождения равновесия в транспортной системе, включающей в себя муниципальный транспорт (в условиях конкуренции и кооперации);
-
Задача нахождения равновесия в транспортной игре на графе, с различными типами задержек.
Научная новизна. Все основные научные результаты диссертации являются новыми.
Теоретическая и практическая значимость. Результаты, изложенные в диссертации, могут быть использованы для задач оптимального расположения и ценообразования. Расстояние по Манхеттену возникает в задачах, когда для передвижения по городу используются улицы, что с практической точки зрения, является наиболее приближенным к реальности. Построенные транспортные модели объясняют закономерности в задачах ценообразования для различных видов графов маршрутов и различных интенсивностей обслуживания. Они могут быть применимы в транспортных сетях различной топологии.
Методология и методы исследования. В диссертации применяются методы теории массового обслуживания, некооперативной и кооперативной теории игр, линейной алгебры.
7 Положения, выносимые на защиту:
-
Найдено равновесие в задаче ценообразования и оптимальное расположение игроков в дуополии Хотеллинга с расстоянием по Манхеттену.
-
Предложена теоретико-игровая модель ценообразования в транспортной игре, в которой потоки пассажиров образуют пуассоновский процесс.
-
Предложена кооперативная постановка в транспортной игре. Разработана схема построения характеристической функции и найдено решение такой кооперативной игры.
-
Найдено равновесие в теоретико-игровой модели управления пассажиропотоками для различных видов транспортных сетей и различных типов задержки.
Степень достоверности и апробация результатов. Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях:
-
Конференция "Процессы управления и устойчивость"(2009, 2010, 2011), Санкт-Петербург,
-
Международный семинар "Scientific Publishing"(2011), Хельсинки - Санкт-Петербург,
-
Международный семинар "Networking Games and Management"(2012), Петрозаводск,
-
Международный семинар "4th Nordic Triangular Seminar in Applied Stochas-tics"(2013), Хельсинки,
-
Международная конференция "SING9"(2013), Виго.
Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 8 печатных работах, из них 3 статьи в рецензируемых журналах [–3], 5 статей в сборниках трудов конференций [4–8].
Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Все представленные в диссертации результаты получены лично автором.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения и библиографии. Общий объем диссертации 112 страниц, из них 104 страницы текста, включая 12 рисунков. Библиография включает 52 наименования на 5 страницах.
Модель Хотеллинга с расстоянием по Манхеттену. Непрерывный случай
Теперь перейдем к анализу общего случая. Предположим, что единичный квадрат разбит равномерной сеткой улиц на п2 частей. Фирмы располагаются в точках {xi,yi) = (ii/n, ji/n) и {x2,y2) = {i2/n,j2/n) соответственно, где 0 ik,jk п, к = 1,2. Без ограничения общности будем считать, что іг і2 и
Для заданных цен с\, с2 покупатели разобьются на два множества. Множество покупателей Si, предпочитающих фирму /, на рисунке 1.2 и 1.3 затемнено. Теорема 1.1. В игре Г: = /, І7, сьс2, Яь Я2 существует ситуация равновесия по Нэшу {с\,с\), которая принимает следующие значения: c2 Доказательство. Чтобы найти функцию выигрыша игрока I, нужно вычислить число покупателей, из множества S1, или в контексте задачи, длину улиц, принадлежащих множеству S1.
Для удобства предположим, что (i2 -i1)+(j2 -j1) - нечетное число, иначе: сдвинем одну из фирм в соседнюю клетку. Вначале рассмотрим случай y2 -y1 x2 -x1. Симметричный случай
Предположим, что сі = с2. Тогда единичный квадрат разобьется на два множества 5\ и с границей 6, на которой расстояния до фирм I и II одинаковы (см. рисунок 1.2). Вычислим число покупателей из множества 5\, находящихся на улицах, которые не пересекаются с границей 6. На рисунке 1.2 это затемненная область под границей 6. Она состоит из двух множеств - прямоугольника п и трапеции Su. Число покупателей в множестве Sn равно n где первое слагаемое представляет общую длину вертикальных улиц в множестве /Sn, а второе - длину горизонтальных улиц. Число покупателей в множестве 5 12 равно
Теперь рассмотрим общий случай с\ ф с2. Для определенности пусть с2 С\. Тогда граница 5 между соответствующими множествами S\ и 5 2 сдвинется ближе к фирме II (см. рисунок 1.3) на величину /, которая находится из равенства затрат:
С2 — с\ + / = —. Теперь, чтобы вычислить число покупателей в множестве Si нужно сложить число покупателей в множестве S с числом покупателей в полосе между границей множества 5\ и границей 6: Su = (п + 1)/ + (i2 - Ц)1 + \nl] n l2 + l\ п где первое слагаемое представляет общую длину всех вертикальных улиц, а Рис. 1.3. Дуополия в метрике Манхеттена, несимметричный случай второе - длину горизонтальных улиц, [пі] - целая часть числа пі. Если же у2 — у\ х2 — Х\) то поменяем аргументы местами. Аналогичные рассуждения приводят к выводу что тогда функции выигрыша фирм можно записать следующим образом:
Наконец, самый простой случай, когда у2 - ух = х2 - хх. Тогда множества Si и S2 разбиваются прямой параллельной прямой у = -х и проходящей через середину отрезка, соединяющего точки (x1,y1) и (x2,y2). Несложно видеть, что функции выигрыша игроков принимают вид
Если же имеет место условие у2 — у\ х2 — х\, то равновесные цены равны с = -(2 + ж! + Отметим, что найденные равновесные цены являются необходимыми, но не достаточными условиями равновесия по Нэшу, поскольку, в частности, как показано Хотеллингом [1] и д Аспремонтом с соавторами [10], в описанной модели нет равновесия в смысле Нэша при слишком близком расположении игроков, кроме единственного тривиального равновесия с нулевыми ценами. 1.4. Оптимальное расположение фирм, асимптотическое поведение
Из (1.3)-(1.б) видно, что функции выигрыша игроков зависят от положения фирм в городе, поэтому представим их в виде функций Нi(хъх2;уъу2), і = 1,2. Следующей за задачей равновесных цен возникает задача оптимального расположения фирм на единичном квадрате. Выражения (1.3)-(1.б) определяют доходы фирм при равновесных ценах на рынке. Кроме этого, важным является само расположение фирм, например, рядом с железной дорогой или со складом товаров. Можно ввести затраты фирм на размещение в данной точке и включить их в доходы от продажи товара.
Конкурентные потоки и общественный транспорт
Рассмотрим случай трех игроков. Игроки ІиІІ обслуживают заявки с экспоненциальным распределением времени с параметрами \±1 и /І2 соответственно, игрок О (общественный транспорт) обслуживает заявки с параметром /І0-Игроки назначают цену на обслуживание С1 и с2 соответственно, a C0 - это фиксированная цена общественного транспорта. Посетители выбирают услугу игрока с меньшими затратами. Таким образом, входящий поток разбивается на три пуассоновских потока с интенсивностями Л0, Л1 и Л2, где Л0 + Л1 + Л2 = Л. Определим равновесные цены.Рассмотрим модель конкурентных потоков и общественного транспорта, которая описывалась в предыдущем разделе. Предположим, что игроки / и II могут организовать коалицию, которая обслуживает заявки с экспоненциальным распределением времени с параметром \±12 = \±1 + /І2. Игрок О (общественный транспорт), как и раньше, обслуживает заявки с параметром ц0. 1
Коалиция назначает цену на обслуживание с12, а общественный транспорт - С0. Как и раньше, посетители выбирают услугу игрока с меньшими затратами. Таким образом, входящий поток разбивается на два пуассоновских потока с интенсивностями Л0, Л12, где Л0 + Л12 = Л. Эти интенсивности можно найти из условия
Системой уравнений (2.20), (2.21) определяется оптимальная цена с\2. В кооперативной игре игроки должны разделить общий доход. В качестве правила дележа можно использовать вектор Шепли. Для игры двух лиц этот дележ имеет вид где v - характеристическая функция в кооперативной игре.
Рассмотрим случай, когда стоимость проезда на общественном транспорте фиксирована и равна с0 = 1, а интенсивность обслуживания ц0 = 3. Посчитаем выигрыши игроков в двух случаях: в условиях конкуренции и кооперации. Результаты приведены в таблице 2.3. В ней v(i) = Нг(с\,с 2) = Агс , і = 0,1, 2; с\,с"2 - решение системы (2.18) и кооперативный выигрыш v(12) = Я12(с2) = А12с2, где с\2 - решение системы (2.20), (2.21).
Из табл. 2.3 видно, что v супераддитивная. Воспользуемся вектором Шепли, чтобы разделить выигрыш. При параметрах \±12 = 19 или \±1 = 10, а /І2 = 9 получим
Таким образом, игрокам / и І7 выгодно сформировать коалицию, при этом кооперативный выигрыш им следует разделить в данной пропорции.
Рассмотренную в п. 5 модель конкуренции двух серверов можно распространить на случай п игроков. Представим, что есть п конкурентных серверов, которые обслуживают заявки с экспоненциальным распределением времени соответственно с параметрами /І1, /І2, ..., М«,. Игроки назначают цены на свои услуги с1, с2, ..., сп. Тогда посетители будут выбирать сервис с меньшими затратами и входящий поток разобьется на п пуассоновских потока с интенсив-ностями Л1, Л2,..., Лп, где Л1 + Л2 + .. + Лп = Л. При этом затраты посетителя, воспользовавшегося г-м сервисом, будут равны
МІ — Л Тогда интенсивности потоков Л1, А2, ..., Лп для соответствующих сервисов можно найти из условия
Как и раньше, введем в рассмотрение особого игрока, который интерпретируется в модели как общественный транспорт. В случае, когда число игроков равно п, интенсивности Л;, і = 1, ...,п, определяются уравнениями
Затраты, в которых учитывается время нахождения в очереди
В настоящем параграфе покажем, как изменится вид равновесных цен, если рассматривать не задержки пассажиров в системе, а задержки в очереди. Как и раньше, рассмотрим бескоалиционную игру двух лиц с ненулевой суммой. Игроки I и II обслуживают входящий поток, при этом их время обслуживания имеет экспоненциальный вид с интенсивностями \±\ и /І2. Игроки назначают цены на свои услуги с\ и С2 соответственно. Тогда посетители будут выбирать сервис с меньшими затратами, и входящий поток разобьется на два пуассоновских потока с интенсивностями Лі и Л2, где Лі + Л2 = Л. При этом затраты посетителя, воспользовавшегося г-м сервисом, будут равны
Рассмотренную выше модель конкуренции двух серверов несложно распространить на случай m игроков. Представим, что есть m конкурентных серверов, которые обслуживают заявки с экспоненциальным распределением времени обслуживания соответственно с параметрами 1, 2, ..., m. Игроки назначают цены на свои услуги сі, с2, ..., сто соответственно. Тогда посетители будут выбирать сервис с меньшими затратами и входящий поток разобьется на т пуассо-новских потоков с интенсивностями Ль Л2,..., Лт, где Лі + Л2 + .. + Лт = Л. При этом затраты посетителя, воспользовавшегося г-м сервисом будут равны
Рассмотрим поведение т игроков на линейном маршруте G2 = {V2,E2}, представленном на рисунке 3.2. В качестве иллюстрации можно представить движение на междугородных маршрутах, в которых пассажиры садятся на начальной станции и постепенно выходят на промежуточных остановках. Здесь множество вершин V2 = {vhv2,..., vn}и множество ребер Е2 = {ei2,e23,...,en_in}. Игроки обслуживают пассажиров с экспоненциальным распределением времени обслуживания с параметром l\i = l,...,m. Предположим, что у всех игроков один и тот же линейный маршрут Z, = (vhv2, ...,vn) для і = 1, 2, ...,m. Заявки на обслуживание образуют пуассоновский процесс с матрицей интенсив-ностей пуассоновских потоков Л
Пусть имеется стационарная точка (Х0,к0) функции Лагранжа и окаймленная матрица Гессе вычислена в этой стационарной точке. Тогда точка (Х0, к0) является
1. Точкой максимума, если, начиная с углового минора порядка 2& + 1, последующие р-к угловых миноров окаймленной матрицы Гессе Я образуют знакопеременный числовой ряд, в котором знак первого члена определяется множителем
2. Точкой минимума, если, начиная с углового минора порядка 2к +1, последующие р — к угловых миноров матрицы Н имеют знаки, определяемые множителем
Эти условия являются достаточными для определения экстремальной точки. Утверждение 3.1. Решение системы (3.10J является точкой максимума функции выигрыша H(cz).
Доказательство. Для упрощения выкладок предположим, что число игроков равно 2. Тогда решение будет точкой максимума, если, начиная с углового минора порядка 2п — 1, последующие п — 2 угловых миноров окаймленной матрицы Гессе образуют знакопеременный числовой ряд, в котором знак первого члена определяется множителем (—1)п. Для двух игроков равновесием будет
Вычтем из первой строки (n + 1)-ю строку, домноженную на a1, затем вычтем (n+2)-ю строку, домноженную на a1, и т.д., вычтем (2n+1)-ю строку, домножен-ную на a1. Далее вычитаем из второй строки (n+1)-ю строку, домноженную на a1, затем вычтем (n+2)-ю строку, домноженную на a2, и т.д., вычтем (2n+1)-ю строку, домноженную на a1. Продолжая далее аналогичным образом получаем что означает, что последовательность миноров, начиная с (2п—1)-ого, окаймленной матрицы Гессе образуют знакопеременный числовой ряд, в котором знак первого члена, который соответствует г = 0, определяется множителем (—1)п. Утверждение доказано.П Несимметричный случай
Транспортная игра с линейной функцией задержки
Рассмотрим конкуренцию т транспортных компаний на т параллельных маршрутах. Каждая компания обслуживает пассажиров на своем маршруте, назначая цену на обслуживание а, і = l,...,m соответственно. Для удобства перенумеруем маршруты таким образом, чтобы задержки на них образовывали неубывающую последовательность, т. е. t1 t2 ... tm. Поток пассажиров m
Считая, что все игроки участвуют в конкуренции, можно записать выигрыши игроков, которые являются доходами транспортных компаний, а именно
Н{ = а\{, і = 1,2,..., т.
Одним из методов нахождения условного экстремума функции при ограничениях в виде равенств является метод Лагранжа, который был рассмотрен в предыдущей главе. Будем использовать этот метод и в настоящей главе.
Транспортная игра с линейной функцией задержки
Для того, чтобы сформулировать условия, при которых транспортные компании являются конкурентоспособными, и определить, как параметры BPR функции влияют на равновесие в игре ценообразования, начнем рассмотрение предложенной модели с линейного случая.
Транспортная игра на двух параллельных маршрутах с линейной функцией задержки
Начнем рассмотрение игры двух лиц на транспортной сети, состоящей из двух параллельных маршрутов, изображенной на рисунке 4.1. Уравнение баланса (4.1) при т = 2, /3 = 1 примет вид
Так как это уравнение является линейным относительно своих параметров, можно выразить Лі из этого уравнения. Тогда функция выигрыша первого первого игрока - это вогнутая парабола
Заметим, что в транспортной игре, где пассажиры выбирают сервис, исходя только из задержки, поток может пойти только по одному из маршрутов. В игре же с платой за сервис, пассажиры распределяются по всем каналам.
Таким образом, равновесием в игре ценообразования с линейной функцией задержки являются
Численные примеры Для того, чтобы понять как именно параметры модели влияют на равновесие и на разбиение потоков пассажиров в данной игре, рассмотрим численные примеры. Для начала рассмотрим симметричный случай, когда время передвижения по ребру и пропускная способность для обоих серверов одинаковая, т. е. t\ = Ї2 = t, d\ = d2 = d. Тогда очевидно, что цены в равновесии будут одинаковыми для двух сервисов, и поток пассажиров разобьется поровну, между двумя ними. Равновесные цены равны
Таким образом, цены в равновесии пропорциональны времени на передвижение по пустой дороге. Увеличение пропускной способности приводит к уменьшению цен.
Получаем, что при увеличении времени на передвижение у второго игрока, равновесная цена первого игрока увеличивается. В то же время, если весь поток Л меньше, чем пропускная способность ребра первого игрока, то увеличение времени на передвижение по первому ребру ведет к уменьшению равновесной цены первого игрока. Чтобы равновесие существовало, необходимо, чтобы выполнялось следующее условие
Увеличим количество игроков. Рассмотрим конкуренцию трех транспортных компаний на трех параллельных маршрутах (рисунок 4.2). Каждая компания обслуживает пассажиров на своем ребре, назначая соответственно цену на обслуживание а, і = 1,2, 3. Поток пассажиров Л разбивается на три потока Лг, Лі + Л2 + Аз = Л, в соответствии с балансовыми уравнениями
