Содержание к диссертации
Введение
1. Калибровочная симметрия 30 до и ее нарушение
1. Краткие сведения о группе 30 &N) 12
2. Многоэтапное нарушение SO (10) - симметрии 16
3. Перенормировки калибровочных констант связи 22
2. Иерархия вакуумных срщшх для широкого класса калибровочных теорий
1. Хиггсовский механизм нарушения симметрии в моделях великого объединения и проблема иерархии 30
2. Истинный хиггсовский бозон 34
3. Иерархия вакуумных средних для многоэтапных схем нарушения групп великого объединения 42
4. Вакуумные средние скаляров в SO (10) - модели 48
3. Массы фермионов
1. Следствия вторичной иерархии вакуумных средних для массовых матриц фермионов 63
2. Оценки нейтринных масс 76
3. Двухпетлевой вклад в массы нейтрино 85
4 Допустимые схемы нарушения 30 до - симметрии и время жизни протона
1. Массы тяжелых кварков и ограничения на масштаб нарушения L-R- симметрии 91
2. Схема нарушения симметрии и время жизни протона 96
3. Вклад скаляров с промежуточной массой в перенормировки констант связи 99
4. Порог-эффект и двухпетлевые поправки 103
5. Неопределенности в массе X - бозонов. Новые поколения фермионов 109
Выводы 112
- Многоэтапное нарушение SO (10) - симметрии
- Истинный хиггсовский бозон
- Оценки нейтринных масс
- Схема нарушения симметрии и время жизни протона
Введение к работе
Значительный прогресс в последнее время достигнут в построении моделей великого объединения фундаментальных, сильных и электрослабых взаимодействий С1-5] . В рамках этих моделей можно понять относительную силу различных взаимодействий, а также квантование заряда. Можно вычислить важнейший параметр стандартной теории [6-І2І - sin 8w t величина которого близка к экспериментальному значению. Малость нейтринных масс появляется естественным образом С13] , а в некоторых специальных случаях можно получить соотношения между массами фермионов, в частности, успешное предсказание т^ = т^ (при супервысоких энергиях). Наиболее важное предсказание большинства моделей великого объединения - распад протона. СР - нарушение совместно с распадом протона часто используют для объяснения малого количества антиматерии во Вселенной [14,15 J .
Простейшая модель великого объединения основана на калибровочной группе SU (5) [2І. Она содержит 15 левых ферми-онов каждого поколения в неприводимых представлениях группы 5 и 10. Предсказываемое в этой модели значение угла Вайнбер-га sin &w »#,SU(b) - модели значение Та = I028 - I03 лет, что несколько,меньше нижнего экспериментального предела 2 х 10й лет.
Хотя SU(b) - модель является очень экономной, имеет смысл рассмотреть и некоторые другие возможности. Еще одной
реально претендующей на роль теории великого объединения, является модель, основанная на группе^ (10) [3,4] . С эстетической точки зрения она интересна тем, что содержит все фермионы одного поколения в одном 16-мерном представлении, которое при редукции noSLL (5) разбивается как 16 = 5 + 10 + I. 31/.(5) - синглет отождествляется с правым нейтрино.(точ-нее с Vl , так как 16 состоит лишь из левых состояний), а 5 + 10 включает обычный SLL (5) - состав фермионов. Отметим, что SO (10) - модель является лево-право симметричной.
Если SO (Ю) - симметрия нарушается по простейшей схеме
miO)^-SUc{5hSUL(2)^U(1)^SUc(S)'UO)xo.i)
(0.2)
то модель воспроизводит предсказания^^/. (5) - симметрии для sin, Uw шТр, Новые явления связаны с существованием правых нейтрино ( Vq ). Первые попытки объяснить малость нейтринных масс связаны именно с SO (10) - моделью [4] , [із] , Посколь-ку уд ведет себя как синглетSLL (з) xSlLL{2) х //(1), его масса может быть порядка масштаба нарушения SO (10) (М). Эта ситуация реализуется, если в теории присутствует скалярный 126-плет и qtoSUl(2) - синглетная компонента имеет вакуумное среднее (ВС)~М. После нарушения стандартной группы появляются дираковские массовые члены нейтрино, а также майорановская масса VL . Гелл-Манн и др. [із] предположили, что майорановская масса 0 (/77л ) равна нулю, тогда нейтринная массовая мат-рица есть
где т ( - типичная фермионная масса. Диагонализуя эту матрицу, находим, что феноменологическое нейтрино почти совпадает с \)^ и имеет массу
mi) ~ mf/M. (0.3)
Численно оценка по этой формуле дает /72^~I0~5 эВ. Предположение о том, что/7^ = 0, было подвергнуто критике в работе[20] . Было показано, что такое условие не. является натуральным. Выход из этой трудности почти одновременно был предложен в [5] и [21] . Поскольку результат этих работ является основой всего дальнейшего изложения, остановимся на них более подробно. К майорановской массе 0^ приводит вакуумное среднее гиперзаряженного триплета SLLL(2), который входит в состав 126-плета. Помимо триплета в теории имеются дублеты и синглеты SLLL(2). Последние получают супербольшие вакуумные средние
(~ М ) после нарушения so (ю) до sub) х sup) х и т.
Дублеты же получают их на уровне Mw лишь после нарушения стандартной группы. Следует отметить существенную разницу масштабов М и Mw, а именно: М^Ю ГэВ, а А/^100 ГэВ. В настоящее время мы еще не знаем причин, которые приводят к такому громадному отношению М/ Mw . Этот вопрос составляет содержание проблемы иерархии и широко обсуждается в литературе [22-24] . Масштабы М и Mwim будем называть основными. Возможен еще один массовый масштаб MW(MW/M) , который естественно назвать вторичным. Исследуя структуру скалярного потенциала, авторы работ [б] и [21] показали, что этот
масштаб реализуется на вакуумных средних SU-^2) триплетов , причем, появляется в теории естественно (в отличие от Mw ), Естественная малость этого масштаба обеспечивает натуральность оценки (0.3).
Существенное дополнение к работе Гелл-Манна было сделано Виттеном [26] . Он рассматривал возникновение массы правых нейтрино в случае, когда в теории отсутствует скалярный 126-плет. Конечно, при этом/л^ =0 в древесном приближении, однако, масса Од появляется в двухпетлевом приближении и оценивается как(о^) гпг(М/М w),8l масса феноменологических нейтрино
г$Ы
м; (0.4)
Численно (0.4) дает/72^^10 эВ, что очень.интересно в связи с космологическими соображениями [27,28] , а также сообщением об обнаружении массы нейтрино [29] . .
Отличительной особенностью S0 (10) - модели является также возможность выбора различных путей для нарушения сим- . метрии. Только для простейшей схемы нарушения группа S0 (10)
сразу нарушается до sub) х mLi& х //(і), а все остальные схемы содержат между ними одну или несколько групп про-. межуточной симметрии. Каждая промежуточная группа, характеризуется своим масштабом нарушения Mj, MV>, ... , MR. -Сложные схемы нарушения были использованы в литературе для. того, чтобы ослабить жесткие предсказания для sin 9 и \, .
"- Еще раньше этот факт был замечен в [25] при исследовании минимальной S 11(b) - модели.
В работах [ЗОІ и [Зі] для этой цели между SO (10) и
SiL (3)xSLLj2)xU(-f) была введена одна промежуточная группа.
Особый интерес представляют три подгруппы S0(10) [зі] :
2)SUL(2)*LLR(J)xSU(4);
^SU^SU^ysu^Uij). (0.5)
Здесь «Ш(4) - группа Пати и Салама [і] , трактующая лептони как четвертый цвет. Задавая масштаб нарушения промежуточной группы Мд-, будем получать различные значения sin Qw и массы объединения М. В случае промежуточных групп I) и 3) из (0.5) М растет экспоненциально с ростом sin 9Wf а Тр растет еще быстрее (пропорционально М4). Большинство возможных схем нарушения SO (10) и перенормировки физических величин для них рассматривались в [32j .
Еще одной областью, в которой с успехом использовалась SO (10) - модель, являются соотношения между массами фер-мионов. В рамках SU-(b) - модели такие соотношения возникают, если считать, что массы фермионам дают лишь скалярные 5-плеты. При этом массы заряженных лептонов и кварков с GL = - 1/3 оказываются связанными:
meL^mt9 т^гпу,, гпв=гпТ. (о.е)
Это справедливо при супервысоких энергиях, больших М. При современных энергиях (~10 ГэВ) массы сильно перенормируются и [33]
т^хдт^, ms^3rnU} т^5тТ . (о.7)
Соотношение между массами тяжелых лептонов и кварков дейст-
вительно хорошо согласуется с известными значениями масс. Для легких же фермионов согласие плохое. Аналогичные результаты можно получить в SO (ю) - модели, если ограничиться скалярными 10-плетами в юкавском лагранжиане. Предлагалось несколько способов устранения трудоности с массами легких фермионов в (0.7). Наиболее простой путь состоит во введении в юкавский лагранжиан более сложных скалярных мультиплетов. В этом случае, однако, разрушаются все три равенства (0.6), что значительно ослабляет предсказательную силу теории. Авторы [34] считают, что источником нарушения первого равенства (0.6) могло служить некоторое эффективное неперенорми-руемое взаимодействие, сила которого пропорциональна обратным степеням массы Планка. При некоторых дополнительных предположениях имеется возможность разрушить два первые равенства (0.6) в рамках 6 - модели [б] .
Настоящая диссертация посвящена развитию идеи о вторичных массовых масштабах, которая была впервые высказана в
[25] , а затем дополнена в работах [5] и [2l] . Особое внимание уделяется исследованию вторичной иерархии для многоэтапных схем нарушения S0( 10)-симметрии, а также ее следствиям для масс нейтрино, заряженных фермионов, времени жизни протона и др.
В первой главе кратко перечислены свойства групп S0(2M). Выписаны все возможные схемы нарушения SO(10)-симметрии и набор скалярных полей, необходимый для реализации той или иной схемы. Записаны конечные формулы для перенормированных «s^/г 9W и oLs для любой схемы нарушения.
Во второй главе разбирается явление вторичной иерархии
для произвольной группы великого объединения. Прежде всего мы сосредоточим свое внимание на простейшей схеме нарушения. По сравнению с работами [5] , [2l] новым является метод оценок вакуумных средних скаляров* Мы предпочитаем работать с массовой матрицей скалярных полей вместо потенциала. Будут исследованы оценки не только триплетов SUh(2) f но и представлений с высшими изоспинами. Общая формула, справедливая для всех ^(2)-мультиплетов, имеет вид
<(p(I)>~Mw(Mw/M)2I~', (0.8)
где Ф(і)~ скалярное поле, преобразующееся по представлению с полным изоспином/. Для многоэтапных схем нарушения группы указаны общие принципы, которые позволяют оценить вакуумные средние различных скаляров через основные масштабы М, Mj, Mg, ... , Мк, Uw , используя только групповые свойства этих полей. Метод иллюстрируется на примере группы SO (10) с фиксированным набором скалярных полей. Указаны возможные оценки всех нейтральных и бесцветных компонент этого набора для всех схем нарушения.
В третьей главе полученные оценки вакуумных средних применяются для ограничений на массовые матрицы фермионов. Важным следствием вторичной иерархии для многоэтапных схем нарушения является то, что ВС SUL{2)-дублетов, приводящие к дира-ковским массам фермионов, могут быть различными по порядку величины. Это происходит тогда, когда такие дублеты по-разному преобразуются под воздействием промежуточных групп симметрии. Если в массовой матрице оставить только вклад максимальных ВО, то возникают соотношения типа (0.6) для самого произволь-
ного юкавского взаимодействия. Отличие от (0.6) заключается лишь в том, что наши соотношения являются приближенными. Учет вклада в массовую матрицу от остальных скаляров разрушает равенства масс легких кварков и лептонов и почти не влияет на тяжелые фермионы. Анализируются следствия вторичной иерархии для нейтринных масс. Разобран случай чисто петлевой майоранов-ской массы правых нейтрино. Указано, что, такой механизм возможен только для схемы нарушения, содержащих промежуточные группы SU(b) х U(I) vl/шш SU(5).
В четвертой главе мы покажем, что в SO{10) - модели недопустимы лево-право симметричные промежуточные группы, поскольку они ведут к заведомо неверному равенству масс & и t -кварков. Следствием этого факта является то, что время жизни протона в 6$ (10) - модели не может быть сколько-нибудь существенно увеличено по сравнению с его предсказанием в SU(5) - модели.
Основные результаты собраны под заголовком "Выводы" в конце диссертации.
На защиту выносятся следующие основные положения.
Существование вторичных массовых масштабов, их связь с вакуумными средними скаляров и возможное физическое значение.
Многоэтапное нарушение SO (10) - симметрии причина нарушения асимптотических равенств между массами легких кварков
и лептонов Wd = ҐПе и ttls ~ ҐПу^ .
Новая оценка массы нейтрино в случае многоэтапного нарушения 60(10).
Ограничение на масштаб нарушения лево-правой симметрии.
Время жизни протона в SO (10) - модели.
Многоэтапное нарушение SO (10) - симметрии
Мы не будем здесь подробно останавливаться на описании SO (10) -модели великого объединения, поскольку этот.вопрос достаточно полно освещен в литературе [3,4,31-33] . Напомним лишь, что восемь левых фермионов и.восемь антифермио-нов одного поколения помещаются в 16-плет. Векторные бозоны образуют 45-мерное представление, в котором содержатся 24 калибровочных бозона 51/(5). Здесь и в дальнейшем мы предполагаем, что механизм нарушения симметрии хиггсовский. Явное исследование скалярного потенциала для различных способов нарушения SO (10) проводилось в работах [35-3?] . В SU(5) - модели великого объединения возможен лишь один путь нарушения симметрии: где М и М у/- масштабы нарушения (характерные массы калибро-вочных бозонов) групп SLL (5) ж SU (з) х SUL(2) х 11(1). SO (10) - модель более гибкая в этом отношении и допускает различные схемы нарушения. Для каждой схемы нарушения существуют свои специфические эффекты,.которые позволяют, в принципе, отличить одну схему от другой. Наиболее существенное отличие большинства схем нарушения друг от друга состоит в том, что в них по-разному перенормируются калибровочные константы связи и отношения масс фермионов. Простейшая схема нарушения SO (10)-симметрии подобна (І.П) Предсказываемые в этом случае значения угла Вайнберга и времени жизни протона почти такие же, как в SU(5) - модели, В SO (Ю) - модели можно избежать столь.жестких предсказаний, если усложнить схему нарушения.и в (I.I2) ввести меж-ду SO(ю) и SLL (з) х SUL{2) х U(I) одну или несколько групп промежуточной симметрии. Такие схемы нарушения будем называть многоэтапными. Группой промежуточной симметрии могут быть только такие подгруппы SO (10), которые содержат в себе стандартную группу SLL (з) х SUL(2) х LL(I). Всего таких подгрупп шесть, а именно: вого изоспина. Все возможные схемы нарріения 30 (10)-симметрии следующие: Здесь M, Mjt M2, M3, Mw - масштабы нарушения соответствующих групп. Схемы (I.I5) - (I.I7) содержат максимально возможное количество этапов. Конечно, возможны и более короткие схемы, но все они содержатся в уже перечисленных.
Надример, схема нарушения содержится в (I.I7; при условии, что Mj = М и Мз = Mg. идеология многоэтапного нарушения следующая. На первом этапе супербольшие вакуумные средние Уг получают синглетные Точнее порядка М/д, где д - калибровочная константа связи. Везде, где величина а не очень существенна, мы будем полагать й / (по первой промежуточной группе Gy ) компоненты полного набора скалярных полей теории. При этом калибровочные бозоны, не входящие в состав Gf , получают массы порядка М . На втором этапе группа Gf нарушается до Gz (вторая промежуточная группа) и синглеты G нетривиальные по , получают ВС порядка Mf и т.д. Все масштабы нарушения должны подчиняться условиям иерархии Если какой-либо масштаб сравним с соседним, то вообще не имеет смысла выделять соотвествующую этому масштабу группу в качестве промежуточной. Для того, чтобы реализовать какую-либо схему нарушения с помощью хиггсовского механизма, необходим набор скалярных полей, позволяющий произвести такое нарушение. В дальнейшем мы ограничиваем себя скалярными мультиплетами, которые преобразуются по спинорному представлению SO (10) и по представлениям, содержащимся в разложении произведений спинорных представлений 16 х 16 и 16 х 16. Так что будут использоваться SO (10) - представления Ш Ж» 45» 120» Ш» 210« (1.20) Такое предположение оправдывается в конечном итоге достаточностью этого набора для реализации любой схемы нарушения [37] и не очень существенно для дальнейшего. Позже нам понадобится структура SO (10) - представлений по промежуточным группам. Разложение низших представлений SO (10) по подгруппе SU (5) х 1/(1) приведено в табл. I, а по подгруппе SU iZ) х SU#(2) х SU() - в табл. 2. Так как любая симметрия великого объединения должна быть очень сильно нарушена, все предсказания этой симметрии остаются точными только выше масштаба ее нарушения М. При энергиях значительно меньших М такие предсказания будут модифицироваться [33] . Очевидным примером явлений такого рода в (5) -модели выступает единая калибровочная константа связи при супервысоких энергиях. При современных энергиях эта константа разделяется на сильную, слабую и электромагнитную константу связи, которые существенно отличаются друг от друга. Для вычисления зависимостей эффективных констант связи от энергии используется аппарат ренормгруппы.Здесь мы применим этот аппарат для многоэтапных схем нарушения 30 (Ю) -симметрии.
Вычисления будем производить в одноплетовом приближении, пренебрегая вкладом скалярных частиц в в -функции. Хотя уже разработаны методы более точных вычислений [38-44І , для наших целей вполне достаточно указанного приближения, поскольку большая часть результатов данной диссертации носит оценочный характер. Для оценки времени жизни протона необходимы более точные расчеты. Для некоторых схем нарушения они приведены в четвертой главе. Для отдельных схем нарушения SO (10) перенормировки калибровочных констант связи приводятся в работах [30-32]. Схема І Оператор заряда в группе SLL (5) определяется как Здесь С - коэффициент пропорциональности между генератором U{1) - подгруппы стандартной SU{3) х SUL{2) LL{1) и нормированным генератором Т0 группы SU{b). Для SLL (5) коэффициент . Поведение константы связи LL (I) -подгруппы SLL (5) х U{J) нас не будет интересовать, поскольку она не имеет отношения к наблюдаемым величинам. Пусть Of % Ог , Q}3 - калибровочные константы связи подгрупп U(I)t SU{2) и U(3) стандартной группы. Из (I.2I) получаем, что постоянная тонкой структуры осесть В отличии от схемы I в данном случае величина x.=si/i 9W не фиксирована из-за неопределенности масштабов нарушения, и жестские предсказания U(5) - модели (1.25) снимаются. Если взять значения и у из эксперимента, то с помощью (І.ЗІ) можно выразить два масштаба через третий. Если же в схеме нарушения отсутствует одна из промежуточных групп JUL(2) х SUgW х JUW х U{1) или SUL{$) х (2) х SU(4), то (І.ЗІ) дают вполне определенные предсказания для масштабов нарушения.
Истинный хиггсовский бозон
Понятие об истинном хиггсовском бозоне является очень важным для нашего анализа. Оно было введено в рамках стандартной модели с Л/ хиггсовскими дублетами ( - (і= /, ?,..., /У)[5В]. Пусть после минимизации скалярного потенциала Перейдем от набора полей ipL с помощью унитарного преобразования к новому набору (С = 4,2,...,АГ-4)я X , который удовлетворяет следующим требованиям: Условие (2.5) означает, что поля J" не нарушают симметрии, а все нарушение происходит только за счет нейтральной компоненты дублета X . Следствием (2.5) является также то, что массовая матрица скалярных полей не содержит смешивания X с полями 5" . В результате этого компоненты дублета X обладают определенной массой, а именно: X жигпХяв- ляются голдстоунами и имеют нулевую массу, а поле Не. X есть истинный хиггсовский бозон (ИХБ), масса которого во всяком случае меньше или порядка ( v2 Gf) . Ограничение на массу возникает из условия А / (слабая связь), где к -константа при ( X )4 в скалярном потенциале. В отличии от X на массы полей jf не возникает ни каких ограничений в силу того, что они не нарушают симметрию. Поэтому в потенциал всегда можно ввести затравочный инвариан-тный массовый член вида M AJOCJA + п-.с. , где М л положительно определенная матрица. Такой инвариантный массовый член совершенно естественно появляется в моделях великого объединения за счет взаимодействия SLL (2) - дублетов и синглетов, которые на первых этапах нарушения симметрии получили супербольшие вакуумные средние порядка М . Массы всех полей J в таких моделях, вообще говоря, также порядка М. Конечно мы не можем полностью исключить случай, когда массы некоторых линейных комбинаций toL значительно меньше М. Такая возможность может быть реализована, если существует какая-либо дополнительная симметрия, запрещяю-щая некоторым комбинациям f иметь супербольшие массы, как, например, это происходит в модели, предложенной в [ 4 }.
Если такой симметрии нет, то малые собственные значения массовой матрицы полей J не являются естественными и радиационные поправки увеличат массы таких состояний до величины порядка Q М. В работах [49,20J была сделана гипотеза, получившая название гипотезы выживания {Sutt/Lt/od Hupoikesis, ): малые массы имеют те фермионы, которые не могут получить SLL (з) х SUL{2) х U (I) - инвариантную массу. Хотя здесь ничего не говорится о массах скаляров, а также о массах частиц, спо-собных иметь SLL (3) х SUL{2) х U (I) - инвариантную массу, часто гипотеза выживания трактуется более широко (см., например, [4] ), а именно: малые массы имеют лишь те частицы, которые не могут получить У - инвариантную массу . Здесь У - полная группа симметрии в интервале энергий от Mw Предполагается сначала простейшая схема нарушения: В указанных работах эта гипотеза не была сформулирована в явном виде. до М, которая может отличаться от стандартной SU-(3) х и (2) х U (I) дополнительной дискретной, непрерывной глобальной или локальной симметрией. Гипотеза представляется довольно естественной независимо от механизма, приводящего к иерархии основных массовых масштабов. Она остается справедливой, даже если иерархия обеспечивается какой-то более высокой симметрией, но при этом следует точно определить группу &. . Мы будем предполагать здесь, что 7 = SCI (з) х SU z) х U (I), если противное не оговорено особо. Применяя тогда гипотезу выживания в своей общей формулировке к скалярным частицам, получим, что только истинный хиггсовский бозон имеет малую массу, а все.остальные скалярные поля имеют супербольшую массу порядка М. Кроме синглетов и дублетов слабой SU(2), в теории великого объединения полный набор скалярных полей может включать SLl (2) - триплеты, а возможно и представления с более высоким изоспином. После нарушения группы & до # (3) х LLL (2) х L L (і) массовая матрица скалярных полей будет иметь блочно диагональную структуру, поскольку из различных представлений группы невозможно построить квадратичный инвариант. Если имеется /1 - синглетов, N& - дублетов, / -триплетов и т.д., то массовая матрица синглетов {1=0) имеет размерность /VJx/ , дублетов ( I = 1/2)- /1 хИ , триплетов ( 7 s I) - х/ и т.д. В соответствии со сказанным выше о массах скалярных частиц и нарушении симметрии, диагональные блоки полей с I = О, 1=1, I = 3/2, ... в (2.7) должны иметь только положи-тельные собственные значения, которые все порядка М . Исключение составляет лишь дублетный блок I = 1/2. Для того, что- Когда симметрия полностью разрушена, возникают отличные от нуля элементы в недиагональных блоках матрицы (2.7), описывающие смешивание различных представлений группы SLL (2). Все такие элементы должны быть меньше или порядка М М, поскольку они появляются только после нарушения стандартной группы.
Нас в первую очередь интересует смешивание нейтральной компоненты дублета X , обладающего малой массой, с нейтральными компонентами остальных скалярных мультиплетов. Поскольку все недиагональные элементы М -М, то Re X представляет собой почти чистый ИХБ. Примесь состояний с изоспином 1 Ф -р в истинном хиггсовском бозоне очень мала. Она появляется после диагонализации матрицы типа где указаны не сами матричные элементы, а лишь оценки для них. Для углов смешивания 9(1 ) из (2.8) находим где I - изоспин скаляра, с которым смешивается дублет. Пусть Ф (I, У ) - скалярный мультиплет со слабым изоспином / и гиперзарядом У . Основной вклад в смешивание ф ( 4- , / ) с Ф ( I, У ) дают инварианты в скалярном потенциале Полагая в (2.10) Ф(0,0) М и Ф(4 , j) Mw , получим, что элементы, приводящие к смешиванию синглетов и триплетов с дублетами, порядка MW M, а углы смешивания Прежде чем оценить вклад в истинный хиггсовокий бозон от скаляров с более высоким изоспином, выясним величину вакуумных средних триплетов. Это важно, поскольку все массовые матрицы (фермионов, векторных бозонов, скаляров) зависят явно от ВС соответствующих полей, а не от константы связи с ИХБ. Последний можно записать в виде или, сокращая запись, Здесь # - константы порядка единицы, 4 (0,0)=- Ф\0,0) - ,ф(0,О) % суммирование ведется по таким У , которым соответствует мультиплет с нейтральной компонентой, а многоточие указывает вклад представлений с высшими изоспинами. Разумеется, что в (2.13) входят лишь нейтральные компоненты мультип- летов. -//з. Поле X имеет ВС \-[iEGF) , а ортогональные к X комбинации ]f должны иметь нулевые средние по вакууму.
Оценки нейтринных масс
В объединенных теориях сильных и электрослабых взаимодействий, в которых барионное и лептонное числа не сохраняются, нейтрино должны иметь, вообще говоря, ненулевую массу. Из лабораторных и космологических ограничений С27І следует, что массы нейтрино малы по сравнению с массами заряженных фермионов. Тогда возникает вопрос: как это можно объяснить Ответ был предложен в рамках 30 (10) - модели, содержащей левые и правые нейтрино в одном мультиплете. Основой для решения этого во- с проса явился тот факт, что правые нейтрино есть SLL (3) х SLL, (2) х U. (I) - синглеты и могут иметь майорановскую ин- вариантную массу. Для простейшей схемы нарушения SO (10) гипотеза выживания ведет к тому, что масса ъ # порядка М. Это обстоятельство было использовано Гелл-Манном и др. [13] для построения модели, в которой массы обычных нейтри-но естественно малы. SLL (3) х SUL{2) х U (I) сингле-тную компоненту содержит лишь скалярное поле, преобразующееся по представлению 126. ВС этой компоненты приводит к супербольшой массе г)„ . После нарушения стандартной группы возникает полная массовая матрица нейтрино (см. (3.8) и (3.23)) где диагональные элементы пг и rnj - майорановские массовые члены T)L И V , а недиагональные - массовые члены дираковс-кого типа. Для простоты мы работаем здесь только с одним "усредненным" из-за смешивания поколением. Предполагаем как и раньше, что типичная юкавская константа а гпг/М„. «.Для простейшей схемы нарушения т возникает за счет ВС гиперзаряженного SLL (2) та, входящего в состав 126, и оценивается Дираковские массы т. должны иметь тот же порядок, что и типичная масса фермионов, поскольку появляются от вакуумных средних тех же SLL (2) - дублетов. После диагонализации получаем оценку массы феноменологического нейтрино которая совпадает с (3.39). Само же нейтрино есть почти чистое l)L с очень малой примесью ( М w /М) г . Полагая в (3.40) гпг = I ГэВ, находим т 10"" эВ. Столь малую массу трудно обнаружить экспериментально. Однако в последнее время в литературе стали появляться сообщения о наблюдении массы нейтрино [29] на значительно более высоком уровне, чем 10 эВ. Большие значения т можно получить, если отказаться от простейшей схемы нарушения симметрии.
На это уже было указано в ряде работ [21, 26, 66 3 , здесь же мы проведем детальный анализ влияния схемы нарушения на массу нейтрино и укажем новую возможную оценку, которая не была замечена ранее. В этом параграфе мы не будем рассматривать возможность генерировать массу нейтрино в двухплетовом приближении, что будет сделано позже..Так что наличие скалярного поля ф в теории предполагается. Схема I За массу правого нейтрино ответственна компонента фіг6 , преобразующаяся как (1,10/3) по группе SLL (5) х U(X). В 4 предыдущей главы были получены две.существенно разные оценки для 0 .(1,10/3) : (2.33) и (2.34). Массы i)R можно оценить тогда следующим образом: МЛ( М За майонрановский массовый член i)L отвечает поле ф (S&, 2). Поскольку его нейтральная бесцветная компонента преобразуется как компонента SU (2) - триплета, то Ф (I5,2) М (М w /М). Нейтринная массовая матрица имеет тот же вид, что и (3.37), Диагонализуя ее и используя (3.41) и (3.42), находим для масс обычных нейтрино две возможные оценки: Б случае а) основной вклад в нарушение 3U (5) х U (I) дает 0 (1,5/3), а в случае б) - ф (1,10/3). Оценка (3.44) приводит еще к меньшим значениям пг , чем (3.40), поскольку Mj » Mr, 10 ГэВ. Оценка (3.43) может давать несколько большую массу, но во всяком случае m 10 эВ, так что отличие от стандартного предсказания (3.40) не очень большое. Таким образом, мы видим, что для данной схемы масса нейтрино, возникающая в древесном приближении, очень мала. Схема П В этой схеме возможны более интересные предсказания для нейтринных масс. Как и в предыдущем случае, существует две оценки для ВС р 22g(I»3,I0), которые даются формулами Такие вакуумные средние приводят к массам обычных нейтрино Возможные оценки ВС JU(2) - дублетов, соответствующие оценке (3.45), содержатся в табл. 5. В предыдущем параграфе мы получили, что удовлетворительные массовые соотношения появляются только для варианта I из этой таблицы. Для этого варианта должно выполняться неравенство (2.55), которое ограничивает масштаб Мд. Никаких других экспериментальных или теоретических ограничений на Мд не существует. Используя (2.55), из (3.45) получаем Правая часть этого неравенства будет иметь наименьшее значение, если Mj = 1&э (нет промежуточной группы 3UL{2) х UR{2) х SU (3) х U (I) и M/Mj = 10 (при наших предположениях минимальное из возможных). При этих условиях ренормгрупповые уравнения (I.3I) дают (М w /Mj) 5х I0 13.
Полагая в (3.47) Шг = I ГэВ, найдем, что пг ть 0,5 эВ. Однако уже при M/Mj » 50 т 100 эВ, что недопустимо из-за космологических ограничений [27J. Если в схеме нарушения участвуют обе промежуточные группы SUL(2) x SUf(2) x SU (4) и SUL(2) x SU#(2) x SU (3) x (І), то (3,47) и космологические ограничения на ms сразу исключают такую возможность. Когда в схеме нет промежуточной группы SUL(2) х SU#(2) х SU (4), то есть Mj = М, то из (I.3I) найдем и /71 ) 10 МэВ, что явно недопустимо. Таким образом, непротиворечивое ограничение на массу нейтрино возникает из (3.47) только для схемы нарушения SO (Ю) -— SLLL{2) х Наличие в этой схеме второй промежуточной группы необходимо, иначе невозможно будет разрушить SUC(3) х SUjX2) х /(1) (см. главу П, 4). Используя оценку (3.45) и космологическое ограничение /тг 100 эВ, можно указать нижнюю границу на масштаб нарушения 3-і симметрии М = Мд. С другой стороны из (2.55) можно найти верхнюю границу на тот же масштаб. Так что для схемы П мы ожидаем если основное нарушение 3-І - симметрии дает скалярный 16-плет. Обратимся теперь к оценке (3.46), которая реализуется, если 3-І нарушает ф (1,3,10). В этом случае масса нейтрино остает- ся неопределенной из-за того, что неизвестен масштаб Мд. Скорее даже наоборот, наблюдаемая малость нейтринных масс позволя- ет сделать ограничение Mg 10 ГэВ. Заканчивая обсуждение нейтринных масс в рамках SO (10)-симметрии, которая нарушается по схеме П, укажем, что в главе ІУ будет получено очень жесткое ограничение на масштаб нарушения L-R - симметрии: М п М, - так что сама схема П не очень привлекательна. Схема Ш Для этой схемы нарушения имеем те же самые оценки (3.45), (3.46). Если реализуется первая из этих возможностей, то снова вступает в силу неравенство (2.55), но в нем нужно заменить на Mj. Справедливо то же самое ограничение (3.47) на ль-і) , которое не противоречит космологическим ограничениям, если Mj s MV и 10 го M/Mj 50. Отличие от схемы П проявится при Mj = М, то есть, если нет промежуточной группы SUL{2) X SU.% (2) х SU (4). В этом случае неравенство (2.55) заведомо выполняется, и масса нейтрино дается формулой (3.45) с неопределенным масштабом Мд. Если в схеме нарушения имеется только одна промежуточная группа SUL (2) х U iX) х SLL (4), то масса нейтрино предсказывается однозначно. Зависимость /7 / /) от Sin &w для этого случая представлена на рис. 4, где верхняя прямая соответствует оценке (3.46), а нижняя - оценке (3.45). В первом случае наиболее естественное значение /гг —0,01 - 0,1 эВ. Оценка же (3.45) дает пг Ю эВ для sinz0w = 0,23.
Схема нарушения симметрии и время жизни протона
При трех поколениях фермионов время жизни протона, предсказываемое в SU (5) - модели, является очень низким [19] . Может ли SO (10) - модель спасти положение Ниже мы отвечаем на этот вопрос, и ответ отрицательный, а именно: в SO (10) -модели время жизни протона ( Г ) не может быть существенно больше, чем в SU(b), Мы будем сначала предполагать существование только трех поколений фермионов ( A/f ). В настоящее время существует только один серьезный аргумент в пользу л/, = 3: отношение масс гпр/гпр- которое сильно зависит от числа поколений. Нанопоу-лос и Росс [62, 63] вычислили m.g /rrifrпри современных энергиях, предполагая, что выше масштаба объединения гп = т В главе Ш мы видели, что такое предположение может выполняться независимо от выбора скалярного сектора модели. Их вывод вполне категоричен: л/г может быть равна только трем. Тем не менее не следует забывать возможность, указанную Фрамптоном, что /77 glrnT согласуется с наблюдаемыми значениями масс для У/ = 6, если начальным условием является 3rng mT. В предыдущем параграфе мы определенно исключили возможность нарушения ЗО (10) через лево-право - симметричную промежуточную группу для трех поколений. Но только в таких схемах нарушения масса объединения растет при уменьшении масштаба нарушения промежуточной группы, и возможен существенный рост времени жизни протона. Во всех остальных случаях, то есть для схем нарушения I и Ш (без промежуточной группы 3UL (2) х .SU# (2) х SU (4) J Мх остается почти такой же, как в SU(5). Допустим, что симметрия нарушается по схеме I: Тогда при энергиях, больших МЛ , справедлива эффективная SU(5) - теория, и все частицы, обладающие массами, значительно большими, чем Мх , можно не рассматривать. Тем самым мы попадаем в условия минимальной 3U(b) - модели. Массы МХ имеют скаляры 5 и 45 и векторные бозоны 24. При таких условиях неопределенности во времени жизни протона оказываются небольшими. Еще одна возможность нарушить ЗО (10), минуя L-R симметричную подгруппу, представляется схемой где одна из промежуточных групп может отсутствовать. В этом слу- чае можно получить большие значения sin. 8W ПрИ неизмен- ной массе унификации (см. рис. 2), Небольшие отклонения от предсказаний минимальной SU (5) - модели для Zfl могут возникнуть в силу двух причин. В SO (10) - модели кроме векторных бозонов X и У (таких же, как в SU(b))% ведущих к распаду протона, имеются бозоны X и У , которые также могут вызывать этот распад.
Расчеты, проведенные в [73] , показывают, что изменения, вносимые этими новыми бозонами, максимальны, когда Мх у = х и ЯРИ этом вРемя жизни протона уменьшается в два раза по сравнению со случаем М х у —— Вторая причина может привести к более существенным изменениям. Речь идет о вкладе скаляров с промежуточной массой в перенормировки констант связи и об учете двухпетлевых поправок в уравнениях ренормгрушш.Эти эффекты будут вычисляться в двух последующих параграфах. При фиксированной массе объединения значительная неопределенность во времени жизни протона может быть связана со смешиванием правых фермионов [74, 75] .В стандартной модели такое смешивание тоже возникает, но оно не наблюдаемо, а в теории великого объединения проявляется во взаимодействии фермионов с X и У - бозонами. В SU(b) - модели такие эффекты исследовались в работе [64J Было показано, что смешивание правых фермионов будет малым (порядка кабиббовского), если массы ферми-онам дают только скалярные 5-плеты. Первопричиной малого смешивания являются соотношения между массовыми матрицами фермионов SO (10) - симметрии такие соотношения могут возникать даже для самого общего скалярного сектора (см. главу Ш, I). Если нарушение симметрии идет по схеме (4.II), то так оно и есть. Нарушающие эффекты важны только для первых двух поколений,сильное смешивание которых не может значительно изменить полное время жизни протона, хотя будет менять отдельные моды. В слу-чае же нарушения по схеме (4.12), вообще говоря, М фМи , и правые фермионы могут смешиваться сильно. Антисимметричный вклад М и дают ВС 120-плета. Если 120-плета нет в лагранжиане или его вклад невелик, то мы снова получаем малое правое смешивание. Простейшая схема нарушения SO НО) - симметрии почти эквивалентна неминимальной SU (5) - модели, для которой неопределенности в Тр велики. Однако, как показывают результаты третьей главы, эта схема менее интересна, чем многоэтапные. 3 Вклад скаляров с промежуточной массой в перенормировки констант связи С самого начала мы предполагали хиггсовский механизм нарушения группы великого объединения. Тогда, если происходит многоэтапное нарушение симметрии, то должны существовать скаляры, ответственные за нарушение групп промежуточной симметрии. Массы этих частиц должны быть того же порядка, что и масштаб нарушения соответствующей промежуточной группы. Следовательно, такие скаляры будут давать вклад в перенормировки констант связи в области энергий, где их массы пренебрежительно малы.
Изменения перенормировок за счет промежуточных скаляров малы и поэтому были несущественны для оценок, сделанных в предыдущих гла- вах. Однако, когда речь идет о вычислении массы объединения Му и оценке по ее значению времени жизни протона, такие поправки могут быть очень важны. Вклад промежуточных скаляров нужно исследовать только для схемы (4.12), а для схемы (4.II) их вклад в Мх нулевой. Для общей схемы нарушения (4.12) промежуточную массу - Шс имеет одна линейная комбинация скаляров (1,0,15) из SO (10) -представлений 45 и 210. Массы М» z могут иметь нейтральные компоненты полей (1,-1/2,4) или (1,-1,10) из 16 и 126 соответственно. Массы же остальных компонент должны быть МС . Массу - М w имеет одна линейная комбинация полей, преобразующихся как (2,-1/2,1). Следует отметить, что возможна ситуация, когда малую массу ( МС ) имеет не только (1,-1/2,4), но и (1,1/2,4). На первый взгляд утверждение это противоречит сформулированной ранее гипотезе выживания, но это не так. Для правильного нарушен ния симметрии необходимо расширить S0(IO) дискретным преобразованием [ 35-37J 0 —- - ф,5 . Нарушение L-R - симметрии в массовом члене ф (что и даст разные массы (1,-1/2,4) и (1,1/2,4) могло бы возникнуть от инвариантов в потенциале типа Однако первый запрещен дискретной симметрией. Второй не будет давать вклад в нарушение, если имеется только один скалярный 45-плет, поскольку 45 содержится в антисимметричной части разложения 45 х 45. Последний вариант проблематичен, так как возможно, что p3w тоже преобразуется под действием дискретной симметрии как ф —— YO Поэтому мы будем рассматривать обе возможности. Таким образом, на первом этапе нарушения симметрии в р функции дадут вклад скаляры (1,0,15), (1,-1/2,4) (или (1,-1, 10)) и (2,-1/2,1). На втором этапе останутся поля (1,-1/2,1,+1) !или (1,-1,1,+2) и (2,-1/2,1,0), свойства которых указаны по группе SUL(2) х UgiX) х SU(3) х ZZ(I). На третьем этапе остается вклад только от дублета SM-(2). При нарушении SO (10) по схеме (4.12) для эффективных констант связи получим уравнения, подобные (1.32). Они позволяют выразить два масштаба М у и М с через входные параметры jc t и , М w и третий масштаб - М „_.. Мы делаем это для двух вариантов нарушений 3-І - симметрии: вариант а) - к нарушению 3-L приводит ВС скаляра (1,-1/2,4); вариант б) -З-L нарушается за счет скаляра (1,-1,10). Вычисляя А - функции с учетом всех скаляров, для варианта а) будем иметь Однозначный ответ на этот вопрос может дать исследование скалярного потенциала, содержащего 45 и 210. Такое исследование проводилось для полей 45 и 54 в работе [37J , но оно не может быть непосредственно распространено на набор 45 и 210. Здесь /V - число легких скалярных дублетов, А - число легких ( Шс ) скаляров в представлении (1,0,15), /V- в представле-нии (1,±1/2,4) и /Vg - число легких ( Ш 3 ) скаляров (I, -1/2,1,+1). Число соответствующих скаляров мы выделили только для того, чтобы видеть явно их вклад в уравнения для перенормировок констант связи. Согласно обобщенной гипотезе выживания мы будем полагать A/- A/f= А/ = / и, как объяснялось выше, для A/z возможно N&= I или 2. В (4.12) представляет интерес также укороченная схема нарушения симметрии, не содержащая промежуточной группы # (2) х LL X) х JU(3) х //(І). Для этой короткой схемы необходимо в (4.14) и (4.15) положить М &L = Мс и Л/= I, /VJ = N& = 0, А = I или 2.
