Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Точечные фундаментальные симметрии 17
1.1. Определяющее уравнение 17
1.2. Обратная задача группового анализа. Фундаментальная симметрия 19
1.3. Интегрирование и основные способы понижения порядка с помощью однопараметрической группы 24
ГЛАВА 2. Дальнейшее изучение свойств фундаментальных симметрии 32
2.1. Алгоритм поиска общего решения 32
2.2. Фундаментализирующий множитель 44
2.3. Фундаментальные симметрии ОДУ высших порядков 48
ГЛАВА 3. Нелокальные фундаментальные симметрии 53
3.1. Экспоненциальные нелокальные симметрии уравнений 2-го порядка 53
3.2. Экспоненциальные нелокальные симметрии уравнений 3-го порядка 71
3.3. Неэкспоненциальные нелокальные симметрии уравнений 2-го и 3-го порядков 74
Заключение 85
Литература 87
- Обратная задача группового анализа. Фундаментальная симметрия
- Интегрирование и основные способы понижения порядка с помощью однопараметрической группы
- Фундаментальные симметрии ОДУ высших порядков
- Экспоненциальные нелокальные симметрии уравнений 3-го порядка
Введение к работе
Диссертационная работа посвящена групповому анализу обыкновенных дифференциальных уравнений, основное внимание уделяется фундаментальным симметриям. Термин "фундаментальная симметрия" был предложен В. Ф. Зайцевым в 2002 г. и введен в математическую практику в 2004 году [15].
Классическая теория интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) во многом представляется как огромное множество специальных методов и приемов, предназначенных для решения некоторых частных, на первый взгляд не связанных между собой типов уравнений (таких, как уравнения с разделяющимися переменными, однородные уравнения или уравнения в полных дифференциалах). Ситуация изменилась лишь с появлением нового подхода, состоящего в использовании инвариантности дифференциального уравнения относительно некоторой непрерывной группы симметрии.
Это научное направление, основы которого заложил в конце XIX века норвежский математик Софус Ли (Sophus Lie, 1842-1899), первоначально имело основной задачей вопрос о разрешимости ОДУ в квадратурах. Однако в то время теория Ли (названная впоследствии групповым анализом) не нашла широкого применения - подавляющее большинство математиков считало, что все, что можно проинтегрировать в замкнутой форме, уже проинтегрировано в работах классиков, и дальнейшие результаты могут быть получены лишь путем отказа от непременной представимости решения в замкнутом аналитическом виде. При этом считалось, что групповой анализ, входящий основной составной частью в теорию непрерывных групп преобразований, представляет интерес только с точки зрения классификации и упорядочения наших знаний в этой области, описывая процедуру интегрирования практически всех известных примеров с единых позиций и в ряде случаев в виде замкнутого алгоритма.
Возрождение интереса к групповому анализу произошло лишь в середине XX века, начиная с работ академика Льва Васильевича Овсянникова. В своей монографии [28] он убедительно показал, что идеи С. Ли применимы не только для построения общих решений ОДУ - описание свойств дифференциальных уравнений при помощи допускаемых групп позволяет строить классы точных инвариантных решений и помогает в качественных исследованиях уравнений механики и математической физики. Дальнейшее развитие симметрийного анализа шло по нескольким направлениям: обобщение понятия инфинитезимального оператора - определение нелокальных переменных, нелокальных и формальных операторов, появление алгоритмов поиска неклассических симметрии [10], широкое распространение обратных задач [12], доказательство теорем о факторизации [13], попытки применения дискретных симметрии, приведшие к появлению дискретно-группового анализа [6].
Оказалось, что пренебрежение к групповому анализу, прямо вытекающее из иллюзии, что "для ОДУ все уже получено", привело к парадоксальным ситуациям: к концу XX века о симметриях уравнений в частных производных знали гораздо больше, чем о симметриях ОДУ! В результате в ряде случаев мы без труда находим обыкновенное дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет инвариантное решение уравнения математической физики, но не можем найти его точное решение, так как "арсенал средств" группового анализа ОДУ оказывается слишком "бедным".
Тем не менее, заметим, что в довоенной литературе по ОДУ имеются параграфы, посвященные классическому групповому анализу, см., например, [1, 23]. Авторы этих книг (не потерявших актуальности и как учебники) отчетливо представляли важность симметрийного подхода.
Группа симметрии системы дифференциальных уравнений - это группа, преобразующая решение этой системы в другие ее решения. В классических рамках теории Ли эти группы состоят из геометрических преобразований пространства независимых и зависимых переменных системы и действуют на решения, преобразуя их графики. Типичные примеры - группы сдвигов и вращений, а также группы растяжений, но они, несомненно, не исчерпывают весь круг возможностей. Огромное преимущество рассмотрения непрерывных групп симметрии (в противоположность дискретным симметриям, таким, как отражения) состоит в том, что все их можно найти с помощью точных вычислительных методов. Это говорит не о том, что дискретные группы не важны в изучении дифференциальных уравнений (см., например, [3, 18]), а скорее о том, что нужно применять совершенно иные методы, чтобы их находить или использовать. Фундаментальное открытие Ли состояло в том, что сложные нелинейные условия инвариантности системы относительно преобразований из группы можно в случае непрерывных групп заменить эквивалентными, но гораздо более простыми линейными условиями, отражающими "инфинитезималыгую инвариантность" этой системы относительно образующих этой группы. Почти для каждой важной с точки зрения физики системы дифференциальных уравнений эти условия инфините-зимальной симметрии - так называемые определяющие уравнения полной группы симметрии системы - можно решить явно в замкнутом виде, таким образом, наиболее общая группа непрерывных симметрии системы может быть определена явно. Вся процедура состоит из полностью алгоритмизуемых вычислений, и для решения этой задачи уже разработано несколько пакетов для наиболее популярных компьютерных систем символьно-аналитических вычислений [29].
После того как найдена полная группа симметрии системы дифференциальных уравнений, становится доступным ряд приложений. Для начала можно действовать в соответствии с определением группы симметрии, чтобы строить новые решения системы по уже известным. Группа симметрии, таким образом, доставляет средство классификации множества решений (два решения полагаются эквивалентными, если одно можно перевести в другое некоторым элементом группы). Можно использовать группы симметрии по-другому - для классификации семейств дифференциальных уравнений, зависящих от произвольных параметров или функций; часто имеются серьезные физические или математические причины предпочитать в качестве моделей уравнения с наиболее высокой симметрией. Еще один подход - определить, какие типы дифференциальных уравнений допускают данную группу симметрии. Эта задача также решается инфинитезимальными методами с помощью теории дифференциальных инвариантов. Также интересна и полезна задача о преобразованиях данного дифференциального уравнения. Если известна допускаемая группа, то можно с ее помощью искать такие преобразования, чтобы преобразованное уравнение имело по возможности наиболее простую и удобную для отыскания конкретных решений дифференциальную структуру.
В случае обыкновенных дифференциальных уравнений из инвариантности относительно однопараметрической группы симметрии следует возможность понижения порядка уравнения на единицу, причем решения исходного уравнения восстанавливаются по решению редуцированного посредством единственной квадратуры. В случае одного уравнения первого порядка этот метод доставляет явную формулу для общего решения. Многопараметрические группы симметрии приводят к дальнейшему понижению порядка, однако мы не всегда можем восстановить решения исходного уравнения по решениям редуцированного посредством одних лишь квадратур, за исключением случая, когда сама группа удовлетворяет дополнительному требованию "разрешимости".
Как уже говорилось, Л. В. Овсянников показал, что описание свойств дифференциальных уравнений при помощи допускаемых групп обнаруживает свою силу не только в вопросах о полной разрешимости, но и при построении отдельных классов точных решений и качественном исследовании дифференциальных уравнений механики и математической физики. Такое расширение области применений потребовало существенного углубления методов группового анализа, разработки новых понятий и алгоритмов. Возникшие в связи с этим проблемы и перспективы развития стимулировали большое число исследований. Стало ясно, каким действенным инструментом является групповой анализ при решении сложных задач. Он существенно расширяет и уточняет интуитивное понимание симметрии, вооружает конструктивными методами ее использования, ведет к правильной постановке задач, а во многих случаях позволяет увидеть возможные пути решения. К сожалению, приходится констатировать, что и сегодня практическое применение свойств симметрии основывается чаще всего не на знании методов группового анализа, а на случайных, более или менее удачных догадках.
Заметим, что хотя перечисленные выше направления развития группового анализа позволили существенно увеличить число разрешимых случаев для ряда классов ОДУ, востребованных в приложениях, для ряда задач существующие алгоритмы оказываются либо неэффективными, либо чрезвычайно трудоемкими. К таким задачам относятся, в частности:
Прогнозирование последовательных редукций исследуемого уравнения к уравнениям более низкого порядка.
Проблема поиска новых симметрии по нескольким известным.
Проблема применения неэкспоненциальных нелокальных симметрии для редукции уравнений.
Если для исследуемого уравнения известно достаточное количество локальных симметрии, решение первой задачи хорошо известно -она была решена еще Софусом Ли. В этом случае оказываются гармонично связанными несколько совершенно различных математических объектов. В силу определения бесконечно-малого преобразования определяющая система для поиска локальных симметрии линейна, поэтому ее решения образуют линейное векторное пространство. Отсюда следует, что множество допускаемых операторов является алгеброй Ли. И если допускаемая /с-мерная алгебра Ли Ь^ разрешима, то порядок уравне- ния, ее допускающего, может быть понижен на к единиц по известному алгоритму, в котором существенную роль играет структура Lk-
Если же известные симметрии - нелокальные, вся эта конструкция разрушается. Для поиска нелокальных симметрии определяющая система оказывается нелинейной, и ниоткуда не следует, что ее решения будут образовывать линейное векторное пространство. И несмотря на то, что множество допускаемых операторов алгебраически замкнуто (коммутатор двух операторов является оператором той же структуры), оно не является алгеброй Ли. П. Олвер показал [33], что в таком множестве не выполняется тождество Якоби. Тем самым вопрос о решении указанных трех задач остается открытым.
Поскольку математические модели многих явлений реального мира формулируются в виде дифференциальных уравнений, то становится ясным, что одним из наиболее существенных приложений симметрийной теории является их использование в общей теории дифференциальных уравнений. Групповой анализ является хорошим инструментом при решении сложных задач, однако его методы пока еще недостаточно развиты. Поэтому поиск новых алгоритмов, новых методов необходимо продолжать, и тема настоящего исследования представляется весьма актуальной.
Целью данной работы является построение основ теории фундаментальных симметрии обыкновенных дифференциальных уравнений. В работе поставлены и решаются следующие основные задачи:
Исследование свойств фундаментальных симметрии ОДУ и определяющих уравнений, решениями которых являются координаты канонических операторов фундаментальных симметрии.
Доказательство теорем о структуре оператора точечной фундаментальной симметрии и о построении всех симметрии ОДУ 2-го порядка на основе одной фундаментальной.
Исследование структуры ОДУ, имеющей фундаментальную симметрию, и возможности редукции обычной точечной симметрии в фун- даментальну ю.
Поиск класса ОДУ, имеющих фундаментальную экспоненциальную нелокальную симметрию (решение обратной задачи).
Поиск класса ОДУ, имеющих фундаментальную неэкспоненциальную нелокальную симметрию (решение обратной задачи).
Объектом исследования являются обыкновенные дифференциальные уравнения.
Предметом исследования является групповой анализ.
Теоретическую основу диссертации составили труды ведущих отечественных и зарубежных ученых и специалистов как в области группового анализа обыкновенных дифференциальных уравнений в частности, так и в области теории дифференциальных уравнений в общем.
Методы исследования. В диссертации использованы методы теории дифференциальных уравнений, включающие в себя методы группового анализа; методы общей алгебры, в частности, теория групп и алгебр Ли; элементы функционального анализа.
Основные определения. Для того, чтобы теория фундаментальных сммметрий, представленная в диссертации, имела некий компактный, законченный, стройный вид, приведем основу теории - определения тех понятий, на которых будет строиться теоретический раздел данной диссертации. Ведь базис, основа наших исследований не является чем-то новым, а представляет собой набор знаний, которые были получены еще в XVIII - XIX вв. Мы расширяем эти знания и предлагаем альтернативный метод исследования дифференциальных уравнений, базирующийся на классических знаниях. В диссертации используется терминология, принятая в работах [19, 21, 27].
Группа точечных преобразований. Рассматриваются обратимые преобразования на плоскости (х,у): х = Ч>{х,у,а), у = ф(х,у,а), (0.1) зависящие от вещественного параметра а, причём
И«=0 = *> 4,=0=^- (-2)
Здесь предполагается, что функции (риф- достаточно гладкие, в частности, бесконечно дифференцируемы по параметру а. Говорят, что эти преобразования образуют однопараметрическую группу преобразований G, если последовательное выполнение двух преобразований равносильно применению третьего преобразования того же вида (0.1). Путём подходящего выбора параметра а это групповое свойство может быть записано в аддитивной форме: x = ip{x,y,b) = (p(x,y,a + b), у = ф(х,у,Ь) = ф{х,у,а + Ь). (0.3)
Преобразования (0.1) называются точечными (в отличие, скажем, от контактных, когда преобразованные значения х, у зависят также от произ- / dy ,, водной у = —, а на преобразования производной накладывается допол- ах нительное условие сохранения касания), а группа G - группой точечных преобразований. Из (0.2), (0.3) видно, что обратное к (0.1) преобразование получается путём изменения знака группового параметра а: х = (р(х,у,-а), у = ф{х:у,-а). (0.4)
Обозначив через Та преобразование (0.1) точки (ж, у) в точку (х,у), через I - тождественное преобразование, через Т"1 - обратное к Та преобразование, переводящее точку (х,у) в точку (х,у), а через ТьТа - композицию двух преобразований, можно суммировать свойства (0.2)-(0.4) в виде следующего определения.
Определение 0.1. Совокупность G преобразований Та называется однопараметрической группой преобразований, если
Т0 = /ЄС,
Ть о Та = Та+Ь Є G,
Г"1 = Т_а Є G.
Разложим функцию ір,ф в ряд Тейлора по параметру а в окрестности а = 0 и запишем инфинитезимальное (бесконечно малое) преобразование (0.1) с учётом (0.2) в виде ж«ж + С(ж,2/)а, ytty + v(x,y)a, (0.1') ^y)=MW) ф,у)=?ФІХ^а) а=0 да (0.5) а=0
Вектор (^, 77) с компонентами (0.5) является касательным вектором (в точке (ж, у)) к кривой, описываемой преобразованными точками (х,у), и поэтому называется касательным векторным полем группы.
Однопараметрическая группа полностью восстанавливается, если известно её инфинитезимальное преобразование (0.1), с помощью решения задачи Копій для уравнений Ли: L (0'6)
Касательное векторное поле записывается также в виде линейного дифференциального оператора первого порядка X : С —> Сс Х = ^у)^ + Т]{х>У)Ъу' (07) который ведёт себя как скаляр при произвольной замене переменных (в отличие от вектора (,т/)). С. Ли называл оператор (0.7) символом инфинитезимального преобразования (0.1'); позже в употреблении вошло словосочетание инфинитезимальный оператор группы (или кратко оператор группы), а в физической литературе часто встречается термин генератор группы.
Определение 0.2. Функция F(x,y) называется инвариантом группы преобразований (0.1), если для каждой точки (х,у) функция F постоянна вдоль траектории, описываемой преобразованными точками F{x,y) = F{x,y). Теорема 1. Функция F(x, у) является инвариантом тогда и толь- ко тогда, когда она удовлетворяет уравнению в частных производных: dF 8F XF = {х, у)—+ ф, У)-^- = 0, (0.8)
Следовательно, всякая однопараметрическая группа точечных преобразований на плоскости имеет один функционально-независимый инвариант, в качестве которого можно взять левую часть первого интеграла 1(х, у) = С сопряжённого с (0.8) обыкновенного дифференциального уравнения (уравнения характеристик):
Любой другой инвариант является тогда функцией от / [4].
Теорема 2. Всякая однопараметрическая группа G преобразований (0.1) подходящей заменой переменных t = t(x,y), и = и(х,у) V д приводится к группе переносов t = t + а, и — и с оператором л = —.
Такие переменные t, и называются каноническими переменными.
Доказательство. При замене переменных инфинитезимальный оператор (0.7) преобразуется по формуле X_XW| + XW|-. (0.9)
Таким образом, канонические переменные находятся из уравнений X(t) = 1, ^ ' ' (0.10)
Х{и) = 0. (из чего непосредственно вытекает, что в качестве одной из переменных и выбирается инвариант).
Например, для группы растяжений х = жехр(а), у = г/ехр(2а) с оператором X = х——Ь 2у— уравнения (0.10) легко решаются и дают ох оу . , У замену t = шж, и — —77, приводящую группу растяжении к группе переносов: t = \nx = \nx-\-a = t + a, й= -^ = —^ = и.
Продолжение группы и инфинитезимального оператора.
Выпишем формулы преобразования производных у', у" при точечных преобразованиях (0.1), рассматриваемых как замена переменных. Удобно будет при этом использовать символ "полного" дифференцирования д , д „ д дх ду ду'
Преобразования производных даются формулами: гЛЛ = *ІЙгР(і,^,.), (o.ii) ах Dip (рх + y'ify _„ _ dy> ^ DP _ Рх + у'Ру + у"Ру. 12) dx Dip ipx + у'<ру
Если исходить из группы G точечных преобразований (0.1), то после добавления формулы (0.11) получается продолженная группа G, действующая в пространстве трёх переменных (ж, г/, у'), а после добавления ещё формулы (0.12) - дважды продолженная группа G, действующая в пространстве (х,у,у',у").
Подставляя в формулы (0.11), (0.12) инфинитезимальное преобразование (0.1') х = ж4-а, у = у + аг] и пренебрегая членами порядка о(а), получаем инфинитезимальное преобразование производных: у' = у^75 = У + «ОД] [1 - aD(i)] = = у'+ [D(V) - y'D(0] а = у' + а, аналогично у" = У[ііщї) == [?/" + aD{Cl)] [1 - ат] = y"+[D(C1)-y"D(0}a = y" + aC2.
Следовательно, инфинитезимальные операторы продолженных групп G і и G, соответственно, равны -— — С —і дх ду ду'1 Ci = D(V)-y'D(0- (0.13) X = XH2^jn C,2 = D{^)-y"D{0. (0.14)
2 і ду"
Они называются первым и вторым продолжениями инфинитезимально- го оператора (0.7). Часто формулами продолжения соответствующего порядка называются выражения для дополнительных координат:
О = D{v,) - y'D(0 =ъ + (rjy - ЬУ - у%, (0.13') (2 = D(Ci)-y"D^) = + {2г]ху - хх)у' + {т]уу - 2ху)у' - - У%у + (г)у - Чх - Зу'у)у". (0.14')
Дифференциальные уравнения, допускающие группу.
Пусть G - группа точечных преобразований, a G и G - её первое и второе продолжения, определённые ранее.
Определение 0.3. Говорят, что обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка F(x,y,y') = 0 (0.15) допускает группу G, если уравнение (0.15) (рассматриваемое как уравнение двухмерной поверхности в пространстве трёх независимых переменных х, у, у') инвариантно относительно продолженной группы G-
Аналогично дифференциальное уравнение второго порядка F(x,y,y',y") = 0 (0.16) допускает группу G, если это уравнение в пространстве четырёх переменных х, у, у\ у" инвариантно относительно дважды продолженной группы G-
Определение очевидным образом обобщается на дифференциальные уравнения более высокого порядка. Координаты допускаемого ин-фипитезимального оператора находятся из определяющего уравнения, которое в классической теории записывается на многообразии решений исследуемого уравнения - для уравнения n-го порядка ^(Жіу,ї/,...,у^)=0 оно имеет вид XF(x,y,y',...,yW) где символ [F] означает "на многообразии F и всех его дифференциальных следствиях".
Диссертация состоит из трех глав, введения и заключения. В первой главе вводится определение фундаментальной симметрии, даются определения ряда терминов, связанных с понятием фундаментальной симметрии, доказываются теоремы, исследуются свойства определяющего уравнения, рассматриваются классические методы понижения порядка обыкновенных дифференциальных уравнений. Во второй главе приводится алгоритм поиска общего решения ОДУ, рассматриваются фундаментальные симметрии ОДУ высших порядков. В третьей главе приводится алгоритм поиска экспоненциальных нелокальных симметрии, допускаемых уравнением второго и третьего порядков, решается обратная задача для уравнений второго и третьего порядков, допускающих фундаментальные неэкспонеициальные нелокальные симметрии.
Список литературы состоит из 34 источников, среди которых стоит выделить труды Ибрагимова [19, 21, 20], монографии Овсянникова [28, 27] и Олвера [29].
Основные результаты диссертации опубликованы в 5 работах [15, 17, 16, 25, 24]. В [15] автор диссертации описал алгоритм поиска всех симметрии ОДУ 2-го порядка и привел наглядный пример; в [17, 16] -сформулировал и доказал теоремы, опубликованные в статьях.
Обратная задача группового анализа. Фундаментальная симметрия
Возникшие в связи с этим проблемы и перспективы развития стимулировали большое число исследований. Стало ясно, каким действенным инструментом является групповой анализ при решении сложных задач. Он существенно расширяет и уточняет интуитивное понимание симметрии, вооружает конструктивными методами ее использования, ведет к правильной постановке задач, а во многих случаях позволяет увидеть возможные пути решения. К сожалению, приходится констатировать, что и сегодня практическое применение свойств симметрии основывается чаще всего не на знании методов группового анализа, а на случайных, более или менее удачных догадках.
Заметим, что хотя перечисленные выше направления развития группового анализа позволили существенно увеличить число разрешимых случаев для ряда классов ОДУ, востребованных в приложениях, для ряда задач существующие алгоритмы оказываются либо неэффективными, либо чрезвычайно трудоемкими. К таким задачам относятся, в частности: 1. Прогнозирование последовательных редукций исследуемого уравнения к уравнениям более низкого порядка. 2. Проблема поиска новых симметрии по нескольким известным. 3. Проблема применения неэкспоненциальных нелокальных симметрии для редукции уравнений. Если для исследуемого уравнения известно достаточное количество локальных симметрии, решение первой задачи хорошо известно -она была решена еще Софусом Ли. В этом случае оказываются гармонично связанными несколько совершенно различных математических объектов. В силу определения бесконечно-малого преобразования определяющая система для поиска локальных симметрии линейна, поэтому ее решения образуют линейное векторное пространство. Отсюда следует, что множество допускаемых операторов является алгеброй Ли. И если допускаемая /с-мерная алгебра Ли Ь разрешима, то порядок уравнения, ее допускающего, может быть понижен на к единиц по известному алгоритму, в котором существенную роль играет структура Lk Если же известные симметрии - нелокальные, вся эта конструкция разрушается. Для поиска нелокальных симметрии определяющая система оказывается нелинейной, и ниоткуда не следует, что ее решения будут образовывать линейное векторное пространство. И несмотря на то, что множество допускаемых операторов алгебраически замкнуто (коммутатор двух операторов является оператором той же структуры), оно не является алгеброй Ли. П. Олвер показал [33], что в таком множестве не выполняется тождество Якоби. Тем самым вопрос о решении указанных трех задач остается открытым. Поскольку математические модели многих явлений реального мира формулируются в виде дифференциальных уравнений, то становится ясным, что одним из наиболее существенных приложений симметрийной теории является их использование в общей теории дифференциальных уравнений. Групповой анализ является хорошим инструментом при решении сложных задач, однако его методы пока еще недостаточно развиты. Поэтому поиск новых алгоритмов, новых методов необходимо продолжать, и тема настоящего исследования представляется весьма актуальной. Целью данной работы является построение основ теории фундаментальных симметрии обыкновенных дифференциальных уравнений. В работе поставлены и решаются следующие основные задачи: 1. Исследование свойств фундаментальных симметрии ОДУ и определяющих уравнений, решениями которых являются координаты канонических операторов фундаментальных симметрии. 2. Доказательство теорем о структуре оператора точечной фундаментальной симметрии и о построении всех симметрии ОДУ 2-го порядка на основе одной фундаментальной. 3. Исследование структуры ОДУ, имеющей фундаментальную симметрию, и возможности редукции обычной точечной симметрии в фун даментальну ю. 4. Поиск класса ОДУ, имеющих фундаментальную экспоненциальную нелокальную симметрию (решение обратной задачи). 5. Поиск класса ОДУ, имеющих фундаментальную неэкспоненциальную нелокальную симметрию (решение обратной задачи). Объектом исследования являются обыкновенные дифференциальные уравнения. Предметом исследования является групповой анализ. Теоретическую основу диссертации составили труды ведущих отечественных и зарубежных ученых и специалистов как в области группового анализа обыкновенных дифференциальных уравнений в частности, так и в области теории дифференциальных уравнений в общем. Методы исследования. В диссертации использованы методы теории дифференциальных уравнений, включающие в себя методы группового анализа; методы общей алгебры, в частности, теория групп и алгебр Ли; элементы функционального анализа. Основные определения. Для того, чтобы теория фундаментальных сммметрий, представленная в диссертации, имела некий компактный, законченный, стройный вид, приведем основу теории - определения тех понятий, на которых будет строиться теоретический раздел данной диссертации. Ведь базис, основа наших исследований не является чем-то новым, а представляет собой набор знаний, которые были получены еще в XVIII - XIX вв. Мы расширяем эти знания и предлагаем альтернативный метод исследования дифференциальных уравнений, базирующийся на классических знаниях. В диссертации используется терминология, принятая в работах [19, 21, 27].
Интегрирование и основные способы понижения порядка с помощью однопараметрической группы
Опишем алгоритм для нахождения всех симметрии уравнения Н, исходя из предположения о том, что нам известно одно решение уравнения (1.6) - формальный оператор X = Ф Эу, где функция Ф = = Ф(х,у,у ,у", ...), т. е. вообще говоря, зависит от производных сколь угодно большого порядка вплоть до бесконечного. Сначала будем искать симметрии, удовлетворяющие-однородному условию инвариантности (1.6).
Структура точечной фундаментальной симметрии определяется следующим утверждением.
Теорема 3 [17]. Фундаментальная точечная симметрия уравнения (1.5) имеет производящую функцию, не зависящую от производной. Иными словами, оператор фундаментальной точечной симметрии уравнения (1.5) имеет вид X = Ф(ж, у)ду.
Доказательство. Докажем, что функция Ф зависит от х и у, т. е. Ф = Ф(ж,у). Предположим противное: пусть Ф зависит от производной по у некоторого конечного порядка к оо. При подстановке в условие инвариантности (1.6) эта производная в третьем слагаемом перейдет в производную порядка к + 2 и не сократится ни с каким другим слагаемым, т. е. условие инвариантности не будет выполнено ни при какой функции Ф(х,у,у , ... ,у№). Например, пусть имеется зависимость от первой производной у , тогда после подстановки Ф(х,у,у ) в (1.6) ду дхду дуду Так как переменные х,у,у ,у",у " рассматриваются как независимые, можно "расщепить" это условие по степеням переменной у" . Приравнивая нулю коэффициент при первой степени у ", получим ду т. е. функция Ф зависит только от ж и у. Теорема доказана. В классическом групповом анализе рассматривались локальные симметрии (почти исключительно точечные и касательные), и только в конце XX в. в практику группового анализа были введены понятия нелокальной переменной и нелокальной симметрии [11, 21, 29].
Исторически сложилось так, что для построения условия инвариантности изначально возникли два способа. Классический алгоритм поиска допускаемых операторов предполагает решение определяющего уравнения на многообразии решений исследуемого уравнения:
Однако можно рассматривать инвариантность на всей плоскости. Этот второй способ ранее не использовался на практике, так как не были разработаны соответствующие алгоритмы поиска. Напомним, что при решении уравнения на многообразии мы заменяем старшую производную на правую часть уравнения, после чего расщепляем определяющее уравнение по степеням оставшихся "независимых переменных" (например, производных более низкого порядка) до переопределенной системы. При решении уравнения на всей плоскости "независимыми переменными" являются все производные, тем самым их число может стать существенно большим, чем в первом случае. В результате множество решений уравнения на плоскости может быть значительно уже, чем у уравнения на многообразии, что в конечном итоге и предопределило почти исключительное применение первого способа. Достаточно сравнить множества решений двух уравнений:
Очевидно, что все решения второго уравнения являются и решениями первого, однако обратное утверждение может и не иметь места.
Нами разрабатывается как раз альтернативный алгоритм поиска симметрии обыкновенных дифференциальных уравнений, рассматривая инвариантность на всей плоскости, а не только на многообразии. При использовании второго алгоритма, как правило, возникает вариант, когда решений будет найдено меньше, чем при первом алгоритме. Но это не является недостатком, поскольку по известным симметриям мы всегда можем найти все симметрии, на чем более подробно остановимся ниже.
Вообще говоря, количество решений уравнения на всей плоскости равно порядку этого уравнения. Это предложение относительно уравнений в полных производных (т. е. уравнений на функционалы) аналогично соответствующему утверждению об обыкновенных дифференциальных уравнениях. Другими словами, количество фундаментальных симметрии уравнения равно порядку этого уравнения, в частности, для уравнения второго порядка оно равно двум. Вместе с тем известно, что число обычных (точечных) симметрии может быть больше двух. Так, согласно теореме Ли, уравнение второго порядка может иметь 1, 2, 3 или 8 точечных симметрии (или не иметь их вообще). Изучение фундаментальной симметрии будет продолжено во второй главе - в частности будут сформулированы и доказаны теоремы о размерности алгебры фундаментальных симметрии.
Перейдем к применению однопараметрических групп в задачах интегрирования дифференциальных уравнений.
Начнем с уравнений первого порядка. Пусть рассматривается обыкновенное дифференциальное первого порядка, для которого известен допускаемый точечный оператор (т. е. инфинитезимальный оператор допускаемой однопараметрической группы). Тогда естественно воспользоваться теоремой 2 о приводимости любой однопараметрической группы к переносам путем перехода к каноническим переменным. Поскольку свойство инвариантности уравнения относительно какой-либо группы не зависит от выбора переменных, то после замены, приводящей известную допускаемую группу к группе переносов, приходим к уравнению, не зависящему от одной из переменных и потому интегрируемому в квадратурах. Приведем поясняющий пример.
Фундаментальные симметрии ОДУ высших порядков
Как уже говорилось, Dx - символ оператора полной производной, в уравнениях (1.6),(1.7) для краткости этот оператор обозначен штрихом ( ), D l - символ оператора, обратного к оператору полной производной. Этот оператор называют еще полным интегралом. Мы будем в ряде случаев использовать знак интеграла, при необходимости указывая, что интеграл — полный. Заметим, что теперь для доказательства теоремы 8 остается лишь доказать, что любое однородное линейное уравнение в полных производных (1.6 ) имеет хотя бы одно нетривиальное решение.
Теперь нам известны обе фундаментальные симметрии, и по ним можно найти вообще все симметрии уравнения (1.5), которые уже не будут фундаментальными. Для этого можно применить метод Лагранжа. Запишем уранение (2.2) в виде неоднородного линейного уравнения, заменяя символ [Н] на правую часть уравнения - некоторую функцию, обращающуюся в нуль на [Н]: где Ак - произвольные функции из бесконечно-продолженного пространства. Совершенно аналогично классическому методу Лагранжа ищем решение в виде где Фі, Ф2 - фундаментальные решения исходного однородого уравнения, а Сі, Сг - рассматриваем как функции от всех переменных продолженного пространства. Вычисляем последовательно производные функции Ф, накладывая дополнительные условия на первые производные функций Сі,С2. Получим Очевидно, что Ф является решением неоднородного уравнения (2.2), если функции Сі, С2 удовлетворяют линейной системе Таким образом, определяются все симметрии найденного класса уравнений. Конкретные классы симметрии можно выделить и найти, наложив дополнительные условия на найденное общее решение уравнения (2.1) до перехода на многообразие (1.5). Заметим, что предложенный выше алгоритм нахождения всех симметрии уравнения применим и для операторов, в которых Фі задана в виде бесконечного ряда, т. е. с нелокальной Ф. Теперь завершим доказательство теоремы 8, для чего покажем, что любое уравнение (1.6 ) имеет хотя бы одно нетривиальное решение в виде формального степенного ряда. Из-за громоздкости выкладок мы приведем лишь несколько первых шагов алгоритма на примере уравнения (1.6). Для уравнения (1.5) определяющее уравнение (1.6) можно записать в виде Пусть функция Ф может быть разложена в ряд Тейлора по третьему аргументу: Тогда решение - функция Ф - можно разложить в обобщенный степенной ряд Вычислив полные производные Ф и подставив их в исходное уравнение, получим Очевидно, что наивысший порядок производной у в любом члене ряда равен к + 2, причем производная у(к+2 входит линейно и лишь в первое слагаемое каждого члена ряда. Это позволяет построить регулярный алгоритм, расщепляя полученное выражение по степеням производных (аналогично методу разложение решения линейного ОДУ в обобщенный степенной ряд). Так, при к = 0 коэффициент разложения (точнее, свободный член) равен Так как следующие члены ряда обязательно содержат производные, можно выделить ту часть свободного члена, которая не содержит производных РОхх — fi fox - /о о = 0. Это обыкновенное линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка относительно f(x) (переменная у, от которой зависит if, является здесь параметром). Общее решение этого уравнения можно записать в виде Ро{х,у) = Ci(y)ipoi(x) + C2(y)ipo2(x). Подставив полученное решение в следующие коэффициенты ряда и выделив коэффициент при у в первой степени, находим С\{у) и С2(у) Дальнейшие вычисления позволяют найти любое число членов ряда. Заметим, что у данного алгоритма нет принципиальных ограничений на порядок исследуемого уравнения. Пробные расчеты показывают, что в ряде случаев удается "собрать" часть слагаемых в конечные выражения, а также найти рекуррентные формулы для вычисления следующих членов ряда, либо вообще выписать общий член ряда. Таким образом, теорема 8 доказана. 2.2. Фундамеытализирующий множитель. Фундаментальная симметрия очень удобна при факторизации уравнений - позволяет решать уравнения, для которых невозможно найти фундаментальную систему решений. В этом случае можно воспользоваться фундаментальными симметриями и с их помощью понизить порядок уравнения или факторизовать его. Пример этого будет приведен в третьей главе (пример 7). Тем самым, мы предлагаем другой - альтернативный метод решения и исследования дифференциального уравнения. В связи с этим возникает вопрос о возможности перевода "простой" симметрии в фундаментальную. Для этого будет доказана следующая теорема.
Экспоненциальные нелокальные симметрии уравнений 3-го порядка
В данной главе работы мы продолжим изучение понятия фундаментальной симметрии и подробно остановимся на фундаментальных симметриях, представимых в форме экспоненциального нелокального оператора (ЭНО). Как мы уже отмечали в предыдущей главе, экспоненциальная фундаментальная симметрия важна, прежде всего, тем, что инварианты соответствующего оператора вычисляются аналогично инвариантам точечных, т. е. практически алгоритм редукции уравнения остается регулярным. При этом дифференциальный инвариант первого порядка всегда существует, поэтому применима первая теорема о факторизации (теорема 6), и исходное уравнение факторизуется [9].
Дадим определение экспоненциальной нелокальной симметрии. Определение 3.1. Симметрия называется экспоненциальной нелокальной, если координата канонического инфинитезимального оператора имеет вид и при этом интеграл под знаком экспоненты - полный (= D l) и не берется в явном виде (т. е. невозможно найти в замкнутом виде такую функцию сг, что Dxa(x,y) = С). Соответствующий данной симметрии оператор называется экспоненциальным нелокальным оператором. Как мы уже говорили в конце второй главы, вторая фундаментальная симметрия уравнения второго порядка может содержать нелокальную переменную, входящую одним из множителей в координату оператора, например: Ф = А{х, у) + В{х, у) / Ф(ж, у, у ) dx. У оператора такого вида, как правило, не существует первого дифференциального инварианта. Здесь следует сделать весьма существенное замечание. Уравнение ду+и ду U которому удовлетворяет первый дифференциальный инвариант, имеет решение, но оно не является первым дифференциальным инвариантом, так как зависит от старших производных. Поэтому такой оператор может оказаться "пустым", и с его помощью нельзя факторизовать уравнения. Найдем условия, при выполнении которых вторая фундаментальная симметрия (нелокальная) может быть приведена к экспоненциальной форме (3.1). Заметим, что по известной фундаментальной нелокальной экспоненциальной симметрии мы можем вычислить все симметрии исследуемого уравнения - здесь имеется полная аналогия между точечными операторами и ЭНО. Теперь обратимся вновь к виду второй фундаментальной симметрии, который был представлен нами во второй главе, и докажем следующее утверждение: Теорема 11 [24]. Для того, чтобы вторая фундаментальная симметрия обыкновенного дифференциального уравнения 2-го порядка вида (1.5) могла быть приведена к экспоненциальной форме, достаточно, чтобы это уравнение имело следующий вид: Я = у" - f{x,y){y )2 - g(x,y)y - h(x,y). Доказательство. Очевидно, что для приведения второй фундаментальной симметрии к экспоненциальной форме достаточно, чтобы подынтегральное выражение в формуле для 1 2 было равно полной производной по х для некоторой функции Ф: ФГ2 exp (- J dx) =DX[V]- (3.2) Пусть Ф представима в виде: ф = Ф0ехР(- ). Тогда подстановка этого выражения в (3.2) дает уравнение для определения Фо: ФГ2 = АЛ] - Фо . Очевидно, что Фо может зависеть только от гс и у. Исходя из предположения, что фундаментальная симметрия Ф зависит только от тех же переменных (теорема 3), получаем: Левая часть этого выражения зависит только от х и у, поэтому и —.—7ТТ может зависеть только от этих же переменных. Интегрируя это д{у )2 выражение, получаем, что Н должно иметь следующий вид: Н = у" - f(x, y){y f - g{x, у)у - h(x, у). Теорема доказана. Таким образом, мы получили достаточное условие на вид уравнения второго порядка для того, чтобы данное уравнение допускало бы экспоненциальный нелокальный оператор в качестве второй фундаментальной симметрии. Необходимое условие теоремы пока не найдено. Однако можно доказать более общее утверждение, сформулировав и решив обратную задачу. Рассмотрим уравнение (1.5) и подействуем на это уравнение экспоненциальным нелокальным оператором, который представим в следующем виде: X = [(х, у)дх + т}(х, у)ду] ехр I / ((х, у, у ) dx J . Найдем, при каких , г] и Q этот оператор будет допускаться некоторым уравнением второго порядка, и каким условиям должна удовлетворять правая часть этого уравнения. Для этого подействуем вторым продолжением этого оператора на данное уравнение (1.5): X [у" - F{x, у, у )] = 0. Второе продолжение оператора имеет следующий вид: .D - символ полного дифференцирования. Подействовав на уравнение вторым продолжением, мы получаем определяющее уравнение, содержащее производные второго порядка. Расщепляя его по степеням у", находим условие на : (п - У ОСУ - 2 ЄС - Чх + ЧУУ щ Отсюда следует, что функция ( имеет следующий вид: с= а С{х, у) + т/(2Ь + зу - щ) - У2(2х + 3ю - ту,) (і - СУ )2 где С(х, у) - произвольная функция от х и у. Далее подставляем это выражение в (3.3) и расщепляем определяющее уравнение уже по степеням у . Получаем систему из семи уравнений, состоящую из приравненных нулю коэффициентах при различ ных степенях у :
