Введение к работе
Актуальность теки. Теория симметрии (групповой анализ) дифференциальных уравнений является областью математических знаний, окончательно оформившаяся в последнее время. Предметом этого математического направления является совместное рассмотрение непрерывных групп преобразований и допускаюцих эта группы дифференциальных уравнений. Систематическое применение таких групп для исследования дифференциальных уравнений, начатот л обоснованное во второй половина проалого столетия С.Ли, А.Беклундом, продол-кили и углубили Е.Картон, Г.Биргоф, Л.С.Понтрягин, Н.Г.Чеботарев, Л.Н.Эйзенхарг, Л.В.Овсянников, Н.Х.ИСрвгимов, А.И.Виноградов, Ж.Помере и другиэ. Новый импульс своего развития групповой анализ дифференциальных уравнений получил в 70-е года. Это произошло благодаря тому, что наряду с классическими группами Ли точечных и контактных преобразований, используютс расширения этих понятий - группы Ли-Беклунда или высшие симметрии, введенные Н.Х.Ибрагимовым, и преобразования Беклундэ, которые позволяют интегрировать нелинейные дифференциальные уравнения. С высшими симметриями как правило, мокно связать высшие законы сохранения. Высшие симметрии и законы сохранения являются важными внутренними свойствами уравнения - они чрезвычайно полезны как при построения точных решений, так и для качественного понимания поведения решения в целом. Ценность такого расширения обусловлена также наличием связи между свойством интегрируемости нелинейных уравнений методом обратной задачи теория рассеяния и существованием у этих уравнений высших симметрии. Оказалось, что точно рвг-шаемые дифференциальные уравнения имеют .бесконечную алгебру высших локальных симметрии. Это позволило рассматривать наличие у уравнения бесконечной алгебры симметрии в качестве отличительного признака интегрируемости. В силу этих причин в групповом анализе возникло научное направление, которое моано назвать так " Симметрийные метода классификации интегрируемых нелинейных уравнений ". Таким образом актуальной является задача о классификации дифференциальных уравнений, допускающих бесконечную алгебру симметрии.
Целью дшшой работы является: груштовая классификация интегрируешь полулинейных гиперболических уравнений и полное описание допускаемой груша прэоОразований;. исследование связи меаду сишэтриями и законами сохранения; построение точных решений дифференциальных уравнений.
Методика исследования. Задачи, рассмотренные в диссертации, решаются с помощью использования теории групп преобразований Ли-Беклунда и алгебр Ли дафЗЕврэвдиалыых операторов. Применяется язык близкий к доЩарвнциальноЙ алгебре, используемый в групповом анализе дифференциальных уравнений. Основними понятиями являются критерий инвариантности многообразия относительно действия грушш, касательные и почти обратимые преобразования, заданные дифференциальными уравнениями.
Автором диссертации долучена следующие результаты, которые выносятся на ващиту:
-
Полные списки моделей Клейна-Гордона и их обобщений, обладающих высшими оимметриями, Описание допускаемой группы преобразований;
-
Классификация квазилинейных гиперболических уравнений инввриантйыг относительно грудпц преобразований Лит-Беклунда, содержащей произвольные функции;
-
Общие решения линейных гиперболических уравнений, связанных о уравнением Лиувидля;
4.'Исследование характеристических и полных .алгебр спаци-вльдах квадратичных систем дифференциальных уравнений и полное описание на их основе алгебр Ли-Баклундв;
Б. Необходимые условия полной интегрируемости двумерных динамических систем уравнений. Списки частично интегрируемых и ин-тегрируешх в квадратурах таких уравнений;
6. Полнее описание алгебр Лїи-Беклуида и- законов сохранения
уравнений описьшавди. волнавыа процессы, а именно уравнений
генврвиии второй гармоники, системы уравнений п - волн и системы
нелинейных урввийний Шрвдингерв;
7, Приложегша касвтельйых и почти обратимых, преобразований
к построению решения краевых вадач для интегрируемых вволюдион-
шх уравнений второго порядка.
Основные результата и выводы работы являются новыми.
Апробация работа. Основные результата диссертации были доложены на семинарах: теоретического отдела Института гидродинамики Сибирского огделания РАЯ под руководством академика Л.В.Овсянникова, Института математики я механики Уральского отделения РАН под руководством академика А.Ф.Сидорова, Института механики Уфимского научного центра РАН.
Отдельные результаты работы были доложены на конференциях и семинарах:
Всесоюзной школе по качественной теории дифференциальных уравнений (Новосибирск, 1979);
Всесоюзных школах по теории операторов в функциональных пространствах (Иркутск, 1981; Миасс,1935; Тамбов,1987; Куйбншф,1989); -Уральских региональных конференциях по функциональяо-дифферея-циальным уравнениям (Магнитогорск,1984; Пермь,1986; Уфа,1386>;
VII международном конгрессе по водородной энергетике (Москва, 19S9);
IV международной конференции по дифференциальным уравнениям и их прилокениям {Руссе,1989);
Межгосударственной научно-методической конференции Терцевов-скиэ чтения" (Ленинград,1991);
І, ІХ-ХІ межгосударственных коллоквиумах "Современный групповой анализ: метода и пршюяения"(Уфа, 1983,1991 ;Никшя-Новгород, 1992; Самара,1993);
а также на семинарах МГУ им. М.В.Ломоносова, Института теоретической физики АН РАЯ, Института математики к механики УАН, Института математики с вычислительным центром Уфимского научного центра РАН.
Публикации. Основные результата диссертация опубликованы в работах 11-211.
Структура диссертации. Работа состоит из введения, пяти глав и списка литературы. Текст разбит на 24 параграфа, а крупные параграфы разделены на пункты. Общий объем работы составляет 236 страниц, библиография содержат 82 наименования.
