Введение к работе
Цель работы - установление некоторых достаточных условий од-олистности аналитических функций, построение однолистных решений инейнего дифференциального уравнения Егорого порядка с переменны-.и коэффициентами и дифференциального уравнения типа Риккати, рас-мотрение вопроса об интегрировании первого и второго дифферен-іиальннх уравнений Іевнера-іїуфарева в общем и в некоторых частных ілучаях, построение параметрических семейств однолистных функций с щределенными свойствами, указание аналитических функций, при которых некоторые- интегральные операторы являются однолистными в
E-iZ-'IZI^O функциями, экстремизация функцяокалоЕ, определен-шх на введенных специальных классах функций.
Актуальность теин.В теории дифференциальных уравнений известен факт, .что однолиотнооть решения
цифференциального уравнения Шварца
где и , и - любые линейно независимые решения уравнения
имеет место тогда и только тогда, когда никакое решение последнего уравнения не обращается в нуль более одного раза в рассматриваемой области. В этой связи приобретает актуальность построение однолистных решений линейного дифференциального уравнения второго порядка с переменными коэффициентами, которые, как известно, не обращавтоя з нуль более раза в рассматриваемой области.
Круг задач, которыми занимаются в геометрической теории функций комплексного переменного, в основном, делится на следувщие направления:
-
исследувтся достаточные условия однолистности аналитических функций;
-
решавтся экстремальные задачи для различных классов однолистных функций по оценке функционалов или по нахождении областей значений систем функционалов;
-
рассматриваются интегральные операторы, определенные на
классе локально однолистных аналитических функций;
ч) изучается геометрические свойства конформного отображения производимого функциями специальных классов.
Актуальность рассмотренных в диссертации задач обусловлена вхождением их в перечень 1)-4).
Общая методика исследования. В работе использует-.я методы теории функций комплексного переменного, геометрической теории фун ций комплексного переменного, теории дифференциальных уравнений.
Научная новизна. В диссертации получены следующие результаты Построены параметрические семейства однолистных функций, отли ные от-семейств, построенных Базилевичем.
Указаны геометрические свойства изучаемых функций. Найдены ня тагральивд представления" одиолистлых функций. Указаны достаточные условия однолистности функций в виде интегрального представления функций. Рассмотрены экстремальные задачи на некоторых построенных классах однолистных функций. Дано решение дифференциального уравне ния однолистных функции Левнера-Куфарева в частных и обоих случаях Введено понятие показательно выпуклых областей и функций, которые используется для указания однолистных функций в круговых секторах.
Теоретическая и практическая значимость. Полученные результаты представляет интерес в геометричеокой теории функций комплексно го переменного, в частности, в части достаточных условий однолистности аналитических функций.
Значимость рассмотренных в диссертации задач, так же как и ак. туальиость, обусловлена вхождением их в перечень I) - ч).
Интеграция некоторых дифференциальных уравнений, рассматривав мых в аналитической теории дифференциальных уравнений, приводятся к интеграции уравнения Риккати. Указанный в диссертации метод интег рирования уравнения Риккати может" быть использован при рассмотрена вышеуказанных дифференциальных уравнений.
Построение решений линейных дифференциальных уравнений второг порядка с переменными коэффициентами в виде функционального ряда'
с указанием рекуррентных формул для определения коэффициентов тіл* позволяет использовать полученные результаты при приближенных вычи лениях значений решений этих уравнений или уравнений типа Риккати.
Положения v. выводи дасоертадки применимы к исследования дифференциальных уравнений с производной Сзарца, к установлений однолистности решений дифференциальных уравнений, частини случаем которых язлявтся некоторые дифференциальные уравнения математической физики.
По нерв развития методов решения экстремальных задач в классе. однолистных функций построенные параметрические сеыейства однолистных функций вида ^(2}2)-Ь(1}+2- Sj(z)+J{2SJa)+-будут содействовать ресениа экстремальных задач.
Объектен исследования является дифференциальные уравнения Дев-нера-КуфарвЕа и решения этих уравнений.
достоверность исследований вытекает из математической строгости постановки исследуемых задач и обеспечения необходимой точности при построения рееения, а такяе совпадением результатов з частных случаях е известными в литературе.
Апробация работы. Результаты дпосертации докладывались на научных семинарах ъ г. г. 'Томске, Ленинграда, Москве, Казана, Донецке, Києез, Махачкале, на 1-й Северо-Кавказской региональной конференции "ункционально-дифференциальніш уравнения и их прилогения", на научной сессии Томского городского семинара по теории функций комплексного переменного им. П.П.Куфарева, посвященной 80-летию со дня рождения П.П.Куфарева.
Публикация. По материалам диссертации опубликовано 17 работ, из которых в автореферате приведен список, содержаний 15 работ по теме диссертации.
Объем работы. Диссертация состоит из введения, шести параграфов, списка литературы. Работа содержит 121 страницу машинописного текста. Список литературы содержит- 44 наименования.
