Введение к работе
Актуальность темы
Вычисление объема многогранника — это классическая задача, известная со времен Евклида и не потерявшая актуальность в наши дни. В основном это связано с тем, что объем фундаментального многогранника является одним из основных инвариантов трехмерного многообразия.
Вероятно, первый результат в данном направлении принадлежит Тар-тальи (Tartaglia, 1499-1557), который нашел объем евклидова тетраэдра. В настоящее время этот результат известен как формула Кэли—Менгера, в ней объем выражается как корень квадратного уравнения, коэффициенты которого зависят от квадратов длин ребер тетраэдра. Этот результат можно обобщить на случай произвольного евклидова многогранника. Около десяти лет назад это было сделано И. X. Сабитовым (1998).
В отличие от евклидова пространства в гиперболическом и сферическом случаях ситуация более сложная. Гаусс, один из создателей гиперболической геометрии, использовал слово „die Dschungel" (джунгли, дебри) в отношении вычисления объемов в неевклидовой геометрии. Формула объема для бипрямоугольного тетраэдра (ортосхемы) известна еще со времен Н. И. Лобачевского (1936), Я. Бойяи (1902) и Л. Шлефли (1950). Объем куба Ламберта и некоторых других многогранников получены Р. Келлер-хальц (1989), Д. А. Деревниным и А. Д. Медных (2002), А. Ю. Весниным, А. Д. Медных и Дж. Паркером (2004) и другими. Объемы гиперболических многогранников, имеющих хотя бы одну вершину на бесконечности, найдены Э. Б. Винбергом (1988).
Общая формула объема гиперболического тетраэдра долгое время оставалась неизвестной. Несколько лет назад Ю. Чо, X. Ким (1999), Дж. Мураками, У. Яно (2005) и А. Ушиджима (2006) добились успеха, установив такую формулу. Д. А. Деревнин, А. Д. Медных (2005) предложили более простую интегральную формулу объема гиперболического тетраэдра.
Удивительно, но еще более ста лет назад итальянский герцог Гаета-но Сфорца нашел формулу для вычисления объема неевклидова тетраэдра. Этот факт приобрел известность после дискуссии А. Д. Медных с X. М. Монтезиносом на конференции в Эль Бурго д'Осма (Испания) в августе 2006 г. К сожалению, выдающаяся работа Сфорца (1906) до этого была полностью забыта.
Отметим, что в случае симметрического тетраэдра, противоположные двугранные углы которого попарно равны, формула объема существен-
но упрощается. Впервые этот замечательный факт был установлен самим Лобачевским для идеального гиперболического тетраэдра, то есть тетраэдра, все вершины которого лежат на бесконечности. Дж. Милнор (1982) представил соответствующий результат в весьма элегантной форме.
Теорема 1 (Милнор, 1982). Пусть Т = Т(А,В,С) — идеальный гиперболический тетраэдр с двугранными углами А, В,С. Тогда объем V(T) задается формулой
V(T) = A(A)+A(B) + A(C),
где Л(х) = - /log |2 Sint| dt - фу»КЦия Лобачевского.
