Введение к работе
Актуальность теш. Одной из характерних черт интегрируемых систем является их способность к понижению размерности, Е результате чего, например, решение уравнения в частных производных может бить сведено к ратанию конечномерной динамической системы. Здесь наиболее общепринятом является использование симметрии уравнения, как классических лиевских, так и высших - солитонных. Например, условие стационарности относительно высших симметрии уравнения KdV приводит к
конечнозонннм решениям, другим способом является использование преобразований Бэклунда. В работах Дк. Вейсса, А.Б, Шабата, А.П. Веселова, Р.И. Ямилова показано, что 'конечнозонные решения могут быть описаны, как решения, инвариантные относительно периодически замкнутой цепочки преобразований Бэклунда.
В диссертации показывается, что при этом подходе естественно возникает еще один уровень дискретизации, то есть от систеыы обыкновенных дифференциальных уравнений можно перейти к чисто дискретной системе, а именно», нелинейному действию группы дискретных автопреобразований порожденных формулой нелинейной суперпозиции преобразований Бэклунда. Таким образом, теория конечнозонных решений оказывается тесно связанной с активно развиваемой в последнее время теорией интегрируемых дискретных отображений (В.И. Арнольд, А.П. Веселов, J. Мозег, G.R.W. Quispel, F.w. Nljhopf, S. Bruschl, 0. Ragnlsco, P.M. Santlnl и др.).
.Рассматриваемые автопреобразования полезны и в других постановках. А.П. Веселов и А..Б. Шабат показали, что комбинация периодического замыкания преобразований Бэклунда и калибровочного преобразования приводит к уравнениям Пенлеве в
их высшим аналогам. В диссертации такие представления приводятся для всех уравнений Пенлеве, кроме первого. При этом формулы нелинейной суперпозиции приводят к преобразованиям Шлезингера для этих уравнений. Их изучением занимались А.П. Воробьев, В.И. Громак, Н.А. Лукашевич, Н. Alrault, М. Boltl, A..S. Fofca3, А.С. Newell и др.. Используемый в диссертации подход не только значительно упрощает вывод этих преобразований, но и делает более прозрачной их групповув структуру.
Объект исследования - автопреобразования нелинейных цепочек, то есть преобразования вида / » Р*і/1, переводящие решения бесконечных систем ОДУ вида
в решения. При этом, как правило, рассматриваемые нелинейные цепочки интерпретируются как последовательность преобразований Бэклунда для уравнений в частных производных, а исследуемые автопреобразования - как формулы нелинейной суперпозиции для них.
Целью работа является построение новых примеров формул нелинейной суперпозиции преобразований Бэклунда и изучение их свойств. В частности, а) построение при.помощи этих формул новых примеров интегрируемых дискретных отображений; б) исследование на их основе трансформационных свойств уравнений Пенлеве.
Общая ыетоднка исследования. Для построения и изучения нелинейных цепочек используются представления нулевой кривизны вида
где W,U - матрицы, зависящие от полевых перэменшх /. и спектрального параметра X. Формула нелинейной оуперпозиции для цепочки (1) находится при разрешении системы
'Л-. = ffA-, (2)
относительно переменных /,. Для приложений важны конечномерные системы, получаемые из бесконечной цепочки (1) при различных редукциях. Самой простой является периодическое замыкание
приводящее к коночнозоншм решениям. При этом дискретное-'
.лоответствие, пороадаемое преобразованиями (2), интегрируемо
и может быть описано в терминах факторизации .матрицы ІУ? =
ITN. ..fft, то есть подходит под схему из работы . Комбинация
периодического замыкания с калибровочным преобразованием
приводит к трансцендентам Пенлеве и их высшим аналогам. В
этом случае вывод преобразовании Шлезингера для уравнений
Пенлеве состоит в простом переписывании преобразований (2) в
нужных переменных. '
Научная новизна н практическая ценность. В диссертации предложен метод построения автопреобразований для цепочек преобразований Бэклунда ва основе матричного представления нулевой кривизны. С его помощью эти автопреобразования найдены для целого ряда моделей. Установлена групповая структура этих автопреобразований. На примерах уравнений KdV и N15 показано, что дискретные отображения, порождаемые автопреобразованиями соответствующих цепочек, на которые
1 Веселов А.П. (1991) Функц. анализ и прьиож. 25(2), 38-49
нажжено условие периодичности, являются интегрируемыми пуассоновими соответствиями. Найдены представления в виде цепочки, инвариантной относительно композиции сдвига и калибровочного преобразования, для уравнений Пеклеве ?г-?6-Показано, что эвтопреобразования соответствующих цепочек порождают преобразования Шлезингера для этих уравнений.
Апробация работы. Результата диссертации докладывались на семинаре по интегрируемым системам в институте Математики УВД РАН (руководитель д.ф.-м.н. В.В, Соколов), семинаре по квантовой теории поля в Математическом Институте РАН руководитель д.ф.-м.н. А.К. Погребков), семинаре по дифференциальной геометрии в МГУ (руководитель акад. СП. Новиков), на заседании ученого совета Института Теоретической Физики им. Л.Д. Ландау РАН.
Структура диссертации. Диссертация состоит из 23 разделов, объединенных в 5 глав. Обьем диссертации 127 стр. Нумерация утверадений, формул и рисунков своя в каадом разделе; при ссылках на другие разделы используется запись типа "Теорема 1.1", "формула {3.1)". Библиография содержит 63 наименования.